4.1 Tasas relacionadas

Para resolver un problema de tasas relacionadas, primero haga un dibujo que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo.
En cuanto a las cantidades, indique la información dada y la tasa que se debe encontrar.
Halle una ecuación que relacione las cantidades.
Utilice la diferenciación, aplicando la regla de la cadena si es necesario, para hallar una ecuación que relacione las tasas.
Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de hallar una ecuación que relacione las tasas.

4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales

Una función diferenciable $y = f (x)$ se puede aproximar a $a$ mediante la función lineal

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a) .$
Para una función $y = f (x),$ si $x$ cambia de $a$ a $a + d x,$ entonces

$d y = f' (x) d x$

es una aproximación al cambio en $y .$ El cambio real en $y$ es

$Δ y = f (a + d x) - f (a) .$
Un error de medición $d x$ puede provocar un error en una cantidad calculada $f (x) .$ El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado. El error propagado puede estimarse mediante

$d y \approx f' (x) d x .$
Para estimar el error relativo de una determinada cantidad $q,$ estimamos $\frac{Δ q}{q} .$

Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, tener solamente un extremo absoluto o no tener ni máximo ni mínimo absoluto.
Si una función tiene un extremo local, el punto en el que se produce debe ser un punto crítico. Sin embargo, no es necesario que una función tenga un extremo local en un punto crítico.
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto extremo.

Si los valores de $f$ es continua en $[a, b]$ y diferenciable sobre $(a, b)$ y $f (a) = 0 = f (b),$ entonces existe un punto $c \in (a, b)$ tal que $f^{'} (c) = 0 .$ Este es el teorema de Rolle.
Si los valores de $f$ es continua en $[a, b]$ y diferenciable sobre $(a, b),$ entonces existe un punto $c \in (a, b)$ de manera que

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$

Este es el teorema del valor medio.
Si los valores de $f' (x) = 0$ en un intervalo $I,$ entonces $f$ es constante en $I .$
Si dos funciones diferenciables $f$ y $g$ satisfacen $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ en $I,$ entonces $f (x) = g (x) + C$ para alguna constante $C .$
Si $f^{'} (x) > 0$ en un intervalo $I,$ entonces $f$ aumenta en $I .$ Si $f^{'} (x) < 0$ en $I,$ entonces $f$ disminuye en $I .$

Si los valores de $c$ es un punto crítico de $f$ como $f^{'} (x) > 0$ por $x < c$ como $f^{'} (x) < 0$ por $x > c,$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c .$
Si los valores de $c$ es un punto crítico de $f$ como $f^{'} (x) < 0$ por $x < c$ como $f^{'} (x) > 0$ por $x > c,$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c .$
Si $f ″ (x) > 0$ en un intervalo $I,$ entonces $f$ es cóncava hacia arriba en $I .$
Si $f ″ (x) < 0$ en un intervalo $I,$ entonces $f$ es cóncava hacia abajo en $I .$
Si $f^{'} (c) = 0$ y $f ″ (c) > 0,$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $c .$
Si $f^{'} (c) = 0$ y $f ″ (c) < 0,$ entonces $f$ tiene un máximo local en $c .$
Si $f^{'} (c) = 0$ y $f ″ (c) = 0,$ evalúe entonces $f^{'} (x)$ en un punto de prueba $x$ a la izquierda de $c$ y en un punto de prueba $x$ a la derecha de $c,$ para determinar si $f$ tiene un extremo local en $c .$

El límite de $f (x)$ ¿es $L$ a medida que $x \to \infty$ (o cuando $x \to − \infty)$ si los valores $f (x)$ se acercan arbitrariamente a $L$ a medida que $x$ aumenta lo suficiente.
El límite de $f (x)$ ¿es $\infty$ cuando $x \to \infty$ si $f (x)$ aumenta arbitrariamente a medida que la $x$ aumenta lo suficiente. El límite de $f (x)$ ¿es $− \infty$ cuando $x \to \infty$ si $f (x) < 0$ y $| f (x) |$ aumenta arbitrariamente a medida que $x$ aumenta lo suficiente. Podemos definir el límite de $f (x)$ cuando $x$ se acerca a $− \infty$ de forma similar.
Para una función polinómica $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0},$ donde $a_{n} \neq 0,$ el comportamiento final está determinado por el término principal $a_{n} x^{n} .$ Si $n \neq 0,$ $p (x)$ se acerca a $\infty$ o $− \infty$ en cada extremo.
Para una función racional $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)},$ el comportamiento final está determinado por la relación entre el grado de $p$ y el grado de $q .$ Si el grado de $p$ es menor que el grado de $q,$ la línea $y = 0$ es una asíntota horizontal para $f .$ Si el grado de $p$ es igual al grado de $q,$ entonces la línea $y = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ es una asíntota horizontal, donde $a_{n}$ y $b_{n}$ son los coeficientes principales de $p$ y $q,$ respectivamente. Si el grado de $p$ es mayor que el grado de $q,$ entonces $f$ se acerca a $\infty$ o $− \infty$ en cada extremo.

Para resolver un problema de optimización, hay que empezar por hacer un dibujo e introducir variables.
Halle una ecuación que relacione las variables.
Halle una función de una variable para describir la cantidad que se quiere minimizar o maximizar.
Busque los puntos críticos para localizar los extremos locales.

La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar el límite de un cociente cuando aparece la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ o $\infty / \infty$ .
La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que implique un cociente que tenga la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ o $\infty / \infty .$
La función exponencial $e^{x}$ crece más rápido que cualquier función potencia $x^{p},$ $p > 0 .$
La función logarítmica $ln x$ crece más lentamente que cualquier función potencia $x^{p},$ $p > 0 .$

El método de Newton aproxima las raíces de $f (x) = 0$ partiendo de una aproximación inicial $x_{0},$ utilice entonces las rectas tangentes al gráfico de $f$ para crear una secuencia de aproximaciones $x_{1}, x_{2}, x_{3},… .$
Por lo general, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz determinada. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ no se aproxima a un valor finito o se aproxima a un valor distinto de la raíz buscada.
Cualquier proceso en el que una lista de números $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ se genera definiendo un número inicial $x_{0}$ y definiendo los números siguientes por la ecuación $x_{n} = F (x_{n - 1})$ para alguna función $F$ es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, donde la función $F (x) = x - [\frac{f (x)}{f^{'} (x)}]$ para una función determinada $f .$

Si los valores de $F$ es una antiderivada de $f,$ entonces toda antiderivada de $f$ es de la forma $F (x) + C$ para alguna constante $C .$
Resolución del problema de valor inicial

$\frac{d y}{d x} = f (x), y (x_{0}) = y_{0}$

nos exige encontrar primero el conjunto de antiderivadas de $f$ y luego buscar la antiderivada específica que también satisface la condición inicial.