Conceptos clave
4.1 Tasas relacionadas
- Para resolver un problema de tasas relacionadas, primero haga un dibujo que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo.
- En cuanto a las cantidades, indique la información dada y la tasa que se debe encontrar.
- Halle una ecuación que relacione las cantidades.
- Utilice la diferenciación, aplicando la regla de la cadena si es necesario, para hallar una ecuación que relacione las tasas.
- Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de hallar una ecuación que relacione las tasas.
4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
- Una función diferenciable se puede aproximar a mediante la función lineal
- Para una función si cambia de a entonces
es una aproximación al cambio en El cambio real en es
- Un error de medición puede provocar un error en una cantidad calculada El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado. El error propagado puede estimarse mediante
- Para estimar el error relativo de una determinada cantidad estimamos
4.3 Máximos y mínimos
- Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, tener solamente un extremo absoluto o no tener ni máximo ni mínimo absoluto.
- Si una función tiene un extremo local, el punto en el que se produce debe ser un punto crítico. Sin embargo, no es necesario que una función tenga un extremo local en un punto crítico.
- Una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto extremo.
4.4 El teorema del valor medio
- Si los valores de es continua en y diferenciable sobre y entonces existe un punto tal que Este es el teorema de Rolle.
- Si los valores de es continua en y diferenciable sobre entonces existe un punto de manera que
Este es el teorema del valor medio. - Si los valores de en un intervalo entonces es constante en
- Si dos funciones diferenciables y satisfacen en entonces para alguna constante
- Si en un intervalo entonces aumenta en Si en entonces disminuye en
4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
- Si los valores de es un punto crítico de como por como por entonces tiene un máximo local en
- Si los valores de es un punto crítico de como por como por entonces tiene un mínimo local en
- Si en un intervalo entonces es cóncava hacia arriba en
- Si en un intervalo entonces es cóncava hacia abajo en
- Si y entonces tiene un mínimo local en
- Si y entonces tiene un máximo local en
- Si y evalúe entonces en un punto de prueba a la izquierda de y en un punto de prueba a la derecha de para determinar si tiene un extremo local en
4.6 Límites al infinito y asíntotas
- El límite de ¿es a medida que (o cuando si los valores se acercan arbitrariamente a a medida que aumenta lo suficiente.
- El límite de ¿es cuando si aumenta arbitrariamente a medida que la aumenta lo suficiente. El límite de ¿es cuando si y aumenta arbitrariamente a medida que aumenta lo suficiente. Podemos definir el límite de cuando se acerca a de forma similar.
- Para una función polinómica donde el comportamiento final está determinado por el término principal Si se acerca a o en cada extremo.
- Para una función racional el comportamiento final está determinado por la relación entre el grado de y el grado de Si el grado de es menor que el grado de la línea es una asíntota horizontal para Si el grado de es igual al grado de entonces la línea es una asíntota horizontal, donde y son los coeficientes principales de y respectivamente. Si el grado de es mayor que el grado de entonces se acerca a o en cada extremo.
4.7 Problemas de optimización aplicados
- Para resolver un problema de optimización, hay que empezar por hacer un dibujo e introducir variables.
- Halle una ecuación que relacione las variables.
- Halle una función de una variable para describir la cantidad que se quiere minimizar o maximizar.
- Busque los puntos críticos para localizar los extremos locales.
4.8 La regla de L'Hôpital
- La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar el límite de un cociente cuando aparece la forma indeterminada o .
- La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que implique un cociente que tenga la forma indeterminada o
- La función exponencial crece más rápido que cualquier función potencia
- La función logarítmica crece más lentamente que cualquier función potencia
4.9 Método de Newton
- El método de Newton aproxima las raíces de partiendo de una aproximación inicial utilice entonces las rectas tangentes al gráfico de para crear una secuencia de aproximaciones
- Por lo general, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz determinada. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números no se aproxima a un valor finito o se aproxima a un valor distinto de la raíz buscada.
- Cualquier proceso en el que una lista de números se genera definiendo un número inicial y definiendo los números siguientes por la ecuación para alguna función es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, donde la función para una función determinada
4.10 Antiderivadas
- Si los valores de es una antiderivada de entonces toda antiderivada de es de la forma para alguna constante
- Resolución del problema de valor inicial
nos exige encontrar primero el conjunto de antiderivadas de y luego buscar la antiderivada específica que también satisface la condición inicial.