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Cálculo volumen 1

Conceptos clave

Cálculo volumen 1Conceptos clave

Conceptos clave

4.1 Tasas relacionadas

  • Para resolver un problema de tasas relacionadas, primero haga un dibujo que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo.
  • En cuanto a las cantidades, indique la información dada y la tasa que se debe encontrar.
  • Halle una ecuación que relacione las cantidades.
  • Utilice la diferenciación, aplicando la regla de la cadena si es necesario, para hallar una ecuación que relacione las tasas.
  • Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de hallar una ecuación que relacione las tasas.

4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales

  • Una función diferenciable y=f(x)y=f(x) se puede aproximar a aa mediante la función lineal
    L(x)=f(a)+f(a)(xa).L(x)=f(a)+f(a)(xa).
  • Para una función y=f(x),y=f(x), si xx cambia de aa a a+dx,a+dx, entonces
    dy=f(x)dxdy=f(x)dx

    es una aproximación al cambio en y.y. El cambio real en yy es
    Δy=f(a+dx)f(a).Δy=f(a+dx)f(a).
  • Un error de medición dxdx puede provocar un error en una cantidad calculada f(x).f(x). El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado. El error propagado puede estimarse mediante
    dyf(x)dx.dyf(x)dx.
  • Para estimar el error relativo de una determinada cantidad q,q, estimamos Δqq.Δqq.

4.3 Máximos y mínimos

  • Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, tener solamente un extremo absoluto o no tener ni máximo ni mínimo absoluto.
  • Si una función tiene un extremo local, el punto en el que se produce debe ser un punto crítico. Sin embargo, no es necesario que una función tenga un extremo local en un punto crítico.
  • Una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto extremo.

4.4 El teorema del valor medio

  • Si los valores de ff es continua en [a,b][a,b] y diferenciable sobre (a,b)(a,b) y f(a)=0=f(b),f(a)=0=f(b), entonces existe un punto c(a,b)c(a,b) tal que f(c)=0.f(c)=0. Este es el teorema de Rolle.
  • Si los valores de ff es continua en [a,b][a,b] y diferenciable sobre (a,b),(a,b), entonces existe un punto c(a,b)c(a,b) de manera que
    f(c)=f(b)f(a)ba.f(c)=f(b)f(a)ba.

    Este es el teorema del valor medio.
  • Si los valores de f(x)=0f(x)=0 en un intervalo I,I, entonces ff es constante en I.I.
  • Si dos funciones diferenciables ff y gg satisfacen f(x)=g(x)f(x)=g(x) en I,I, entonces f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C para alguna constante C.C.
  • Si f(x)>0f(x)>0 en un intervalo I,I, entonces ff aumenta en I.I. Si f(x)<0f(x)<0 en I,I, entonces ff disminuye en I.I.

4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico

  • Si los valores de cc es un punto crítico de ff como f(x)>0f(x)>0 por x<cx<c como f(x)<0f(x)<0 por x>c,x>c, entonces ff tiene un máximo local en c.c.
  • Si los valores de cc es un punto crítico de ff como f(x)<0f(x)<0 por x<cx<c como f(x)>0f(x)>0 por x>c,x>c, entonces ff tiene un mínimo local en c.c.
  • Si f(x)>0f(x)>0 en un intervalo I,I, entonces ff es cóncava hacia arriba en I.I.
  • Si f(x)<0f(x)<0 en un intervalo I,I, entonces ff es cóncava hacia abajo en I.I.
  • Si f(c)=0f(c)=0 y f(c)>0,f(c)>0, entonces ff tiene un mínimo local en c.c.
  • Si f(c)=0f(c)=0 y f(c)<0,f(c)<0, entonces ff tiene un máximo local en c.c.
  • Si f(c)=0f(c)=0 y f(c)=0,f(c)=0, evalúe entonces f(x)f(x) en un punto de prueba xx a la izquierda de cc y en un punto de prueba xx a la derecha de c,c, para determinar si ff tiene un extremo local en c.c.

4.6 Límites al infinito y asíntotas

  • El límite de f(x)f(x) ¿es LL a medida que xx (o cuando x)x) si los valores f(x)f(x) se acercan arbitrariamente a LL a medida que xx aumenta lo suficiente.
  • El límite de f(x)f(x) ¿es cuando xx si f(x)f(x) aumenta arbitrariamente a medida que la xx aumenta lo suficiente. El límite de f(x)f(x) ¿es cuando xx si f(x)<0f(x)<0 y |f(x)||f(x)| aumenta arbitrariamente a medida que xx aumenta lo suficiente. Podemos definir el límite de f(x)f(x) cuando xx se acerca a de forma similar.
  • Para una función polinómica p(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0,p(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0, donde an0,an0, el comportamiento final está determinado por el término principal anxn.anxn. Si n0,n0, p(x)p(x) se acerca a o en cada extremo.
  • Para una función racional f(x)=p(x)q(x),f(x)=p(x)q(x), el comportamiento final está determinado por la relación entre el grado de pp y el grado de q.q. Si el grado de pp es menor que el grado de q,q, la línea y=0y=0 es una asíntota horizontal para f.f. Si el grado de pp es igual al grado de q,q, entonces la línea y=anbny=anbn es una asíntota horizontal, donde anan y bnbn son los coeficientes principales de pp y q,q, respectivamente. Si el grado de pp es mayor que el grado de q,q, entonces ff se acerca a o en cada extremo.

4.7 Problemas de optimización aplicados

  • Para resolver un problema de optimización, hay que empezar por hacer un dibujo e introducir variables.
  • Halle una ecuación que relacione las variables.
  • Halle una función de una variable para describir la cantidad que se quiere minimizar o maximizar.
  • Busque los puntos críticos para localizar los extremos locales.

4.8 La regla de L'Hôpital

  • La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar el límite de un cociente cuando aparece la forma indeterminada 0000 o //.
  • La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que implique un cociente que tenga la forma indeterminada 0000 o /./.
  • La función exponencial exex crece más rápido que cualquier función potencia xp,xp, p>0.p>0.
  • La función logarítmica lnxlnx crece más lentamente que cualquier función potencia xp,xp, p>0.p>0.

4.9 Método de Newton

  • El método de Newton aproxima las raíces de f(x)=0f(x)=0 partiendo de una aproximación inicial x0,x0, utilice entonces las rectas tangentes al gráfico de ff para crear una secuencia de aproximaciones x1,x2 ,x3,….x1,x2 ,x3,….
  • Por lo general, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz determinada. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números x0,x1,x2 ,…x0,x1,x2 ,… no se aproxima a un valor finito o se aproxima a un valor distinto de la raíz buscada.
  • Cualquier proceso en el que una lista de números x0,x1,x2 ,…x0,x1,x2 ,… se genera definiendo un número inicial x0x0 y definiendo los números siguientes por la ecuación xn=F(xn1)xn=F(xn1) para alguna función FF es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, donde la función F(x)=x[f(x)f(x)]F(x)=x[f(x)f(x)] para una función determinada f.f.

4.10 Antiderivadas

  • Si los valores de FF es una antiderivada de f,f, entonces toda antiderivada de ff es de la forma F(x)+CF(x)+C para alguna constante C.C.
  • Resolución del problema de valor inicial
    dydx=f(x),y(x0)=y0dydx=f(x),y(x0)=y0

    nos exige encontrar primero el conjunto de antiderivadas de ff y luego buscar la antiderivada específica que también satisface la condición inicial.
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