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Cálculo volumen 3

4.5 La regla de la cadena

Cálculo volumen 34.5 La regla de la cadena

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.5.1 Indicar las reglas de la cadena para una o dos variables independientes.
  • 4.5.2 Utilizar los diagramas de árbol como ayuda para comprender la regla de la cadena para varias variables independientes e intermedias.
  • 4.5.3 Realizar la diferenciación implícita de una función de dos o más variables.

En el cálculo de una sola variable, encontramos que una de las reglas de diferenciación más útiles es la regla de la cadena, que nos permite calcular la derivada de la composición de dos funciones. Lo mismo ocurre con el cálculo multivariable, pero esta vez tenemos que tratar con más de una forma de la regla de la cadena. En esta sección, estudiamos extensiones de la regla de la cadena y aprendemos a tomar derivadas de composiciones de funciones de más de una variable.

Reglas de la cadena para una o dos variables independientes

Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse de la forma

ddx(f(g(x)))=f(g(x))g(x).ddx(f(g(x)))=f(g(x))g(x).

En esta ecuación, tanto f(x)f(x) y g(x)g(x) son funciones de una variable. Supongamos ahora que ff es una función de dos variables y gg es una función de una variable. O tal vez sean ambas funciones de dos variables, o incluso más. ¿Cómo calcularíamos la derivada en estos casos? El siguiente teorema nos da la respuesta para el caso de una variable independiente.

Teorema 4.8

Regla de la cadena para una variable independiente

Supongamos que x=g(t)x=g(t) y de y=h(t)y=h(t) son funciones diferenciables de tt y z=f(x,y)z=f(x,y) es una función diferenciable de xyy.xyy. Entonces z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) es una función diferenciable de tt y

dzdt=zx.dxdt+zy.dydt,dzdt=zx.dxdt+zy.dydt,
(4.29)

donde las derivadas ordinarias se evalúan en tt y las derivadas parciales se evalúan en (x,y).(x,y).

Prueba

La demostración de este teorema utiliza la definición de diferenciabilidad de una función de dos variables. Supongamos que f es diferenciable en el punto P(x0,y0),P(x0,y0), donde x0=g(t0)x0=g(t0) y de y0=h(t0)y0=h(t0) para un valor fijo de t0.t0. Queremos comprobar que z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) es diferenciable en t=t0t=t0 y que la Ecuación 4.29 también se mantiene en ese punto.

Dado que ff es diferenciable en P,P, sabemos que

z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+E(x,y),z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+E(x,y),
(4.30)

donde lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =0.lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =0. A continuación, restamos z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0) de ambos lados de esta ecuación:

z(t)z(t0)=f(x(t),y(t))f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)x(t0))+fy(x0,y0)(y(t)y(t0))+E(x(t),y(t)).z(t)z(t0)=f(x(t),y(t))f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)x(t0))+fy(x0,y0)(y(t)y(t0))+E(x(t),y(t)).

A continuación, dividimos ambos lados entre tt0:tt0:

z(t)z(t0)tt0=fx(x0,y0)(x(t)x(t0)tt0)+fy(x0,y0)(y(t)y(t0)tt0)+E(x(t),y(t))tt0.z(t)z(t0)tt0=fx(x0,y0)(x(t)x(t0)tt0)+fy(x0,y0)(y(t)y(t0)tt0)+E(x(t),y(t))tt0.

Entonces tomamos el límite mientras tt se acerca a t0:t0:

límtt0z(t)z(t0)tt0=fx(x0,y0)límtt0(x(t)x(t0)tt0)+fy(x0,y0)límtt0(y(t)y(t0)tt0)+límtt0E(x(t),y(t))tt0.límtt0z(t)z(t0)tt0=fx(x0,y0)límtt0(x(t)x(t0)tt0)+fy(x0,y0)límtt0(y(t)y(t0)tt0)+límtt0E(x(t),y(t))tt0.

El lado izquierdo de esta ecuación es igual a dz/dt,dz/dt, que lleva a

dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+límtt0E(x(t),y(t))tt0.dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+límtt0E(x(t),y(t))tt0.

El último término puede reescribirse como

límtt0E(x(t),y(t))tt0=límtt0(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 (xx0)2 +(yy0)2 tt0)=límtt0(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 )límtt0((xx0)2 +(yy0)2 tt0).límtt0E(x(t),y(t))tt0=límtt0(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 (xx0)2 +(yy0)2 tt0)=límtt0(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 )límtt0((xx0)2 +(yy0)2 tt0).

Dado que tt se acerca a t0,t0, (x(t),y(t))(x(t),y(t)) se aproxima a (x(t0),y(t0)),(x(t0),y(t0)), por lo que podemos reescribir el último producto como

lím(x,y)(x0,y0)(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 )lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 tt0).lím(x,y)(x0,y0)(E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 )lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 tt0).

Como el primer límite es igual a cero, solo tenemos que demostrar que el segundo límite es finito:

lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 tt0)=lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 (tt0)2 )=lím(x,y)(x0,y0)((xx0tt0)2 +(yy0tt0)2 )=(lím(x,y)(x0,y0)(xx0tt0))2 +(lím(x,y)(x0,y0)(yy0tt0))2 .lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 tt0)=lím(x,y)(x0,y0)((xx0)2 +(yy0)2 (tt0)2 )=lím(x,y)(x0,y0)((xx0tt0)2 +(yy0tt0)2 )=(lím(x,y)(x0,y0)(xx0tt0))2 +(lím(x,y)(x0,y0)(yy0tt0))2 .

Dado que x(t)x(t) y de y(t)y(t) son ambas funciones diferenciables de t,t, ambos límites existen dentro del último radical. Por lo tanto, este valor es finito. Esto demuestra la regla de la cadena en t=t0;t=t0; el resto del teorema se desprende de la suposición de que todas las funciones son diferenciables sobre sus dominios enteros.

Un análisis más detallado de la Ecuación 4.29 revela un patrón interesante. El primer término de la ecuación es fx.dxdtfx.dxdt y el segundo término es fy.dydt.fy.dydt. Recuerde que al multiplicar fracciones se puede utilizar la cancelación. Si tratamos estas derivadas como fracciones, entonces cada producto se "simplifica" a algo parecido a f/dt.f/dt. Las variables xyyxyy que desaparecen en esta simplificación suelen llamarse variables intermedias: son variables independientes para la función f,f, pero son variables dependientes de la variable t.t. En el lado derecho de la fórmula aparecen dos términos, y ff es una función de dos variables. Este patrón también funciona con funciones de más de dos variables, como veremos más adelante en esta sección.

Ejemplo 4.26

Usar la regla de la cadena

Calcule dz/dtdz/dt para cada una de las siguientes funciones:

  1. z=f(x,y)=4x2 +3y2 ,x=x(t)=sent,y=y(t)=costz=f(x,y)=4x2 +3y2 ,x=x(t)=sent,y=y(t)=cost
  2. z=f(x,y)=x2 y2 ,x=x(t)=e2 t,y=y(t)=etz=f(x,y)=x2 y2 ,x=x(t)=e2 t,y=y(t)=et

Punto de control 4.23

Calcule dz/dtdz/dt dadas las siguientes funciones. Exprese la respuesta final en términos de t.t.

z=f(x,y)=x2 3xy+2 y2 ,x=x(t)=3sen2 t,y=y(t)=4cos2 tz=f(x,y)=x2 3xy+2 y2 ,x=x(t)=3sen2 t,y=y(t)=4cos2 t

A menudo es útil crear una representación visual de la Ecuación 4.29 para la regla de la cadena. Esto se llama un diagrama de árbol para la regla de la cadena para funciones de una variable y proporciona una manera de recordar la fórmula (Figura 4.34). Este diagrama puede ampliarse para funciones de más de una variable, como veremos en breve.

Un diagrama que comienza con z = f(x, y). A lo largo de la primera rama, se escribe ∂z/∂x, luego x = x(t), luego dx/dt, luego t, y finalmente dice ∂z/∂x dx/dt. Por la otra rama, se escribe ∂z/∂y, luego y = y(t), luego dy/dt, luego t, y finalmente dice ∂z/∂y dy/dt.
Figura 4.34 Diagrama de árbol para el caso d z d t = z x . d x d t + z y . d y d t . d z d t = z x . d x d t + z y . d y d t .

En este diagrama, la esquina más a la izquierda corresponde a z=f(x,y).z=f(x,y). Dado que ff tiene dos variables independientes, hay dos líneas que salen de esta esquina. La rama superior corresponde a la variable xx y la rama inferior corresponde a la variable y.y. Como cada una de estas variables depende entonces de una variable t,t, una rama proviene entonces de xx y una rama proviene de y.y. Por último, cada una de las ramas del extremo derecho tiene una marca que representa el camino recorrido para llegar a esa rama. La rama superior se alcanza siguiendo la rama xx, luego la rama tt, por lo tanto, se marca (z/x)×(dx/dt).(z/x)×(dx/dt). La rama inferior es similar: primero la rama yy, luego la rama tt. Esta rama está marcada como (z/y)×(dy/dt).(z/y)×(dy/dt). Para obtener la fórmula de dz/dt,dz/dt, añada todos los términos que aparecen en el lado derecho del diagrama. Esto nos da la Ecuación 4.29.

En Regla de la cadena para dos variables independientes, z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de xyy,xyy, y ambas x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v)y=h(u,v) son funciones de las variables independientes uyv.uyv.

Teorema 4.9

Regla de la cadena para dos variables independientes

Supongamos que x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v)y=h(u,v) son funciones diferenciables de uu y v,v, y z=f(x,y)z=f(x,y) es una función diferenciable de xyy.xyy. Entonces, z=f(g(u,v),h(u,v))z=f(g(u,v),h(u,v)) es una función diferenciable de uyv,uyv, y

zu=zxxu+zyyuzu=zxxu+zyyu
(4.31)

y

zv=zxxv+zyyv.zv=zxxv+zyyv.
(4.32)

Podemos dibujar un diagrama de árbol para cada una de estas fórmulas como sigue.

Un diagrama que comienza con z = f(x, y). A lo largo de la primera rama está escrito ∂z/∂x, luego x = g(u, v), en ese punto se divide en otras dos ramas: la primera subrama dice ∂x/∂u, luego u, y finalmente dice ∂z/∂x ∂x/∂u; la segunda subrama dice ∂x/∂v, luego v, y finalmente dice ∂z/∂x ∂x/∂v. A lo largo de la otra rama, está escrito ∂z/∂y, luego y = h(u, v), en ese punto se divide en otras dos ramas: la primera subrama dice ∂y/∂u, luego u, y finalmente dice ∂z/∂y ∂y/∂u; la segunda subrama dice ∂y/∂v, luego v, y finalmente dice ∂z/∂y ∂y/∂v.
Figura 4.35 Diagrama de árbol para z u = z x . x u + z y . y u z u = z x . x u + z y . y u y z v = z x . x v + z y . y v . z v = z x . x v + z y . y v .

Para derivar la fórmula para z/u,z/u, empiece desde el lado izquierdo del diagrama, y luego siga solo las ramas que terminan con uu y sume los términos que aparecen al final de esas ramas. Para la fórmula de z/v,z/v, siga solo las ramas que terminan con vv y sume los términos que aparecen al final de esas ramas.

Hay una diferencia importante entre estos dos teoremas de la regla de la cadena. En Regla de la cadena para una variable independiente, el lado izquierdo de la fórmula de la derivada no es una derivada parcial, pero en Regla de la cadena para dos variables independientes sí lo es. La razón es que, en la Regla de la cadena para una variable independiente, zz es, en última instancia, una función de tt solamente, mientras que en Regla de la cadena para dos variables independientes, zz es una función de ambas uyv.uyv.

Ejemplo 4.27

Usar la regla de la cadena para dos variables

Calcule z/uz/u y z/vz/v utilizando las siguientes funciones:

z=f(x,y)=3x2 2 xy+y2 ,x=x(u,v)=3u+2 v,y=y(u,v)=4uv.z=f(x,y)=3x2 2 xy+y2 ,x=x(u,v)=3u+2 v,y=y(u,v)=4uv.

Punto de control 4.24

Calcule z/uz/u y z/vz/v dadas las siguientes funciones:

z=f(x,y)=2 xyx+3y,x(u,v)=e2 ucos3v,y(u,v)=e2 usen3v.z=f(x,y)=2 xyx+3y,x(u,v)=e2 ucos3v,y(u,v)=e2 usen3v.

La regla de la cadena generalizada

Ahora que hemos visto cómo extender la regla de la cadena original a funciones de dos variables, es natural preguntarse: ¿podemos ampliar la regla a más de dos variables? La respuesta es sí, tal y como establece la regla de la cadena generalizada.

Teorema 4.10

Regla de la cadena generalizada

Supongamos que w=f(x1,x2 ,…,xm)w=f(x1,x2 ,…,xm) es una función diferenciable de mm variables independientes, y para cada i{1,…,m},i{1,…,m}, supongamos que xi=xi(t1,t2 ,…,tn)xi=xi(t1,t2 ,…,tn) es una función diferenciable de nn variables independientes. Entonces

wtj=wx1x1tj+wx2 x2 tj++wxmxmtjwtj=wx1x1tj+wx2 x2 tj++wxmxmtj
(4.33)

para cualquier j{1,2 ,…,n}.j{1,2 ,…,n}.

En el siguiente ejemplo calculamos la derivada de una función de tres variables independientes en la que cada una de las tres variables depende de otras dos.

Ejemplo 4.28

Usar la regla de la cadena generalizada

Calcule w/uw/u y w/vw/v utilizando las siguientes funciones:

w=f(x,y,z)=3x2 2 xy+4z2 x=x(u,v)=eusenvy=y(u,v)=eucosvz=z(u,v)=eu.w=f(x,y,z)=3x2 2 xy+4z2 x=x(u,v)=eusenvy=y(u,v)=eucosvz=z(u,v)=eu.

Punto de control 4.25

Calcule w/uw/u y w/vw/v dadas las siguientes funciones:

w=f(x,y,z)=x+2 y4z2 xy+3zx=x(u,v)=e2 ucos3vy=y(u,v)=e2 usen3vz=z(u,v)=e2 u.w=f(x,y,z)=x+2 y4z2 xy+3zx=x(u,v)=e2 ucos3vy=y(u,v)=e2 usen3vz=z(u,v)=e2 u.

Ejemplo 4.29

Dibujar un diagrama de árbol

Cree un diagrama de árbol para el caso en que

w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v),z=z(t,u,v)w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v),z=z(t,u,v)

y escriba las fórmulas de las tres derivadas parciales de w.w.

Punto de control 4.26

Cree un diagrama de árbol para el caso en que

w=f(x,y),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v)w=f(x,y),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v)

y escriba las fórmulas de las tres derivadas parciales de w.w.

Diferenciación implícita

Recordemos que la diferenciación implícita proporciona un método para hallar dy/dxdy/dx cuando yy se define implícitamente como una función de x.x. El método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación que define la función con respecto a x,x, y luego resolver para dy/dx.dy/dx. Las derivadas parciales ofrecen una alternativa a este método.

Considere la elipse definida por la ecuación x2 +3y2 +4y4=0x2 +3y2 +4y4=0 de la siguiente forma.

Una elipse con centro cercano a (0, -0,7), eje mayor horizontal y de longitud aproximada 4,5, y eje menor de longitud aproximada 3.
Figura 4.37 Gráfico de la elipse definida por x 2 + 3 y 2 + 4 y 4 = 0 . x 2 + 3 y 2 + 4 y 4 = 0 .

Esta ecuación define implícitamente yy en función de x.x. Así, podemos hallar la derivada dy/dxdy/dx utilizando el método de diferenciación implícita:

ddx(x2 +3y2 +4y4)=ddx(0)2 x+6ydydx+4dydx=0(6y+4)dydx=–2xdydx=x3y+2 .ddx(x2 +3y2 +4y4)=ddx(0)2 x+6ydydx+4dydx=0(6y+4)dydx=–2xdydx=x3y+2 .

También podemos definir una función z=f(x,y)z=f(x,y) utilizando el lado izquierdo de la ecuación que define la elipse. Luego f(x,y)=x2 +3y2 +4y4.f(x,y)=x2 +3y2 +4y4. La elipse x2 +3y2 +4y4=0x2 +3y2 +4y4=0 puede describirse entonces mediante la ecuación f(x,y)=0.f(x,y)=0. El uso de esta función y el siguiente teorema nos da un enfoque alternativo para calcular dy/dx.dy/dx.

Teorema 4.11

Diferenciación implícita de una función de dos o más variables

Supongamos que la función z=f(x,y)z=f(x,y) define yy implícitamente como una función y=g(x)y=g(x) de xx mediante la ecuación f(x,y)=0.f(x,y)=0. Entonces

dydx=f/xf/ydydx=f/xf/y
(4.34)

siempre que fy(x,y)0.fy(x,y)0.

Si la ecuación f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 define zz implícitamente como una función diferenciable de xyy,xyy, entonces

zx=f/xf/zyzy=f/yf/zzx=f/xf/zyzy=f/yf/z
(4.35)

siempre y cuando fz(x,y,z)0.fz(x,y,z)0.

Ecuación 4.34 sea una consecuencia directa de Ecuación 4.31. En particular, si suponemos que yy se define implícitamente como una función de xx mediante la ecuación f(x,y)=0,f(x,y)=0, podemos aplicar la regla de la cadena para hallar dy/dx:dy/dx:

ddxf(x,y)=ddx(0)fx.dxdx+fy.dydx=0fx+fy.dydx=0,ddxf(x,y)=ddx(0)fx.dxdx+fy.dydx=0fx+fy.dydx=0,

Resolviendo esta ecuación para dy/dxdy/dx da la Ecuación 4.34. La Ecuación 4.35 puede derivarse de forma similar.

Volvamos ahora al problema que iniciamos antes del teorema anterior. Mediante la Diferenciación implícita de una función de dos o más variables y la función f(x,y)=x2 +3y2 +4y4,f(x,y)=x2 +3y2 +4y4, obtenemos

fx=2 xfy=6y+4.fx=2 xfy=6y+4.

Entonces la Ecuación 4.34 da

dydx=f/xf/y=2 x6y+4=x3y+2 ,dydx=f/xf/y=2 x6y+4=x3y+2 ,

que es el mismo resultado obtenido por el uso anterior de la diferenciación implícita.

Ejemplo 4.30

Diferenciación implícita por derivadas parciales

  1. Calcule dy/dxdy/dx si yy se define implícitamente como una función de xx mediante la ecuación 3x2 2 xy+y2 +4x6y11=0.3x2 2 xy+y2 +4x6y11=0. ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente al gráfico de esta curva en el punto (2 ,1)?(2 ,1)?
  2. Calcule z/xz/x y z/y,z/y, dado que x2 eyyzex=0.x2 eyyzex=0.

Punto de control 4.27

Halle dy/dxdy/dx si yy se define implícitamente como una función de xx por la ecuación x2 +xyy2 +7x3y26=0.x2 +xyy2 +7x3y26=0. ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente al gráfico de esta curva en el punto (3,–2)?(3,–2)?

Sección 4.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para resolver el problema.

215.

Supongamos que w(x,y,z)=xycosz,w(x,y,z)=xycosz, donde x=t,y=t2 ,x=t,y=t2 , y z=arcsent.z=arcsent. Halle dwdt.dwdt.

216.

Supongamos que w(t,v)=etvw(t,v)=etv donde t=r+st=r+s y v=rs.v=rs. Calcule wrwr y ws.ws.

217.

Si los valores de w=5x2 +2 y2 ,x=−3s+t,w=5x2 +2 y2 ,x=−3s+t, y y=s4t,y=s4t, calcule wsws y wt.wt.

218.

Si los valores de w=xy2 ,x=5cos(2 t),w=xy2 ,x=5cos(2 t), y y=5sen(2 t),y=5sen(2 t), calcule dwdt.dwdt.

219.

Si f(x,y)=xy,x=rcosθ,f(x,y)=xy,x=rcosθ, y y=rsenθ,y=rsenθ, calcule frfr y exprese la respuesta en términos de rr y θ.θ.

220.

Supongamos que f(x,y)=x+y,f(x,y)=x+y, donde x=rcosθx=rcosθ y y=rsenθ.y=rsenθ. Calcule fθ.fθ.

En los siguientes ejercicios, calcule dfdtdfdt utilizando la regla de la cadena y la sustitución directa.

221.

f(x,y)=x2 +y2 ,f(x,y)=x2 +y2 , x=t,y=t2 x=t,y=t2

222.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 , y = t 2 , x = t f ( x , y ) = x 2 + y 2 , y = t 2 , x = t

223.

f ( x , y ) = x y , x = 1 t , y = 1 + t f ( x , y ) = x y , x = 1 t , y = 1 + t

224.

f ( x , y ) = x y , x = e t , y = 2 e t f ( x , y ) = x y , x = e t , y = 2 e t

225.

f(x,y)=ln(x+y),f(x,y)=ln(x+y), x=et,y=etx=et,y=et

226.

f(x,y)=x4,f(x,y)=x4, x=t,y=tx=t,y=t

227.

Supongamos que w(x,y,z)=x2 +y2 +z2 ,w(x,y,z)=x2 +y2 +z2 , x=cost,y=sent,x=cost,y=sent, y z=et.z=et. Exprese ww en función de tt y halle dwdtdwdt directamente. Luego, calcule dwdtdwdt utilizando la regla de la cadena.

228.

Supongamos que z=x2 y,z=x2 y, donde x=t2 x=t2 y y=t3.y=t3. Halle dzdt.dzdt.

229.

Supongamos que u=exseny,u=exseny, donde x=−ln2 tx=−ln2 t y y=πt.y=πt. Halle dudtdudt cuando x=ln2 x=ln2 y y=π4.y=π4.

En los siguientes ejercicios, calcule dydxdydx utilizando derivadas parciales.

230.

sen ( 6 x ) + tan ( 8 y ) + 5 = 0 sen ( 6 x ) + tan ( 8 y ) + 5 = 0

231.

x 3 + y 2 x 3 = 0 x 3 + y 2 x 3 = 0

232.

sen ( x + y ) + cos ( x y ) = 4 sen ( x + y ) + cos ( x y ) = 4

233.

x 2 2 x y + y 4 = 4 x 2 2 x y + y 4 = 4

234.

x e y + y e x 2 x 2 y = 0 x e y + y e x 2 x 2 y = 0

235.

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3

236.

x cos ( x y ) + y cos x = 2 x cos ( x y ) + y cos x = 2

237.

e x y + y e y = 1 e x y + y e y = 1

238.

x 2 y 3 + cos y = 0 x 2 y 3 + cos y = 0

239.

Halle dzdtdzdt utilizando la regla de la cadena donde z=3x2 y3,x=t4,z=3x2 y3,x=t4, y y=t2 .y=t2 .

240.

Supongamos que z=3cosxsen(xy),x=1t,z=3cosxsen(xy),x=1t, y y=3t.y=3t. Halle dzdt.dzdt.

241.

Supongamos que z=e1xy,x=t1/3,z=e1xy,x=t1/3, y y=t3.y=t3. Halle dzdt.dzdt.

242.

Halle dzdtdzdt por la regla de la cadena donde z=cosh2 (xy),x=12 t,z=cosh2 (xy),x=12 t, y y=et.y=et.

243.

Supongamos que z=xy,x=2 cosu,z=xy,x=2 cosu, y y=3senv.y=3senv. Calcule zuzu y zv.zv.

244.

Supongamos que z=ex2 y,z=ex2 y, donde x=uvx=uv y y=1v.y=1v. Calcule zuzu y zv.zv.

245.

Si los valores de z=xyex/y,z=xyex/y, x=rcosθ,x=rcosθ, y y=rsenθ,y=rsenθ, calcule zrzr y zθzθ cuando r=2 r=2 y θ=π6.θ=π6.

246.

Calcule wsws si w=4x+y2 +z3,x=ers2 ,y=ln(r+st),w=4x+y2 +z3,x=ers2 ,y=ln(r+st), y z=rst2 .z=rst2 .

247.

Si los valores de w=sen(xyz),x=13t,y=e1t,w=sen(xyz),x=13t,y=e1t, y z=4t,z=4t, calcule wt.wt.

En los siguientes ejercicios, utilice esta información: Una función f(x,y)f(x,y) se dice que es homogénea de grado nn si f(tx,ty)=tnf(x,y).f(tx,ty)=tnf(x,y). Para todas las funciones homogéneas de grado n,n, la siguiente ecuación es verdadera: xfx+yfy=nf(x,y).xfx+yfy=nf(x,y). Demuestre que la función dada es homogénea y verifique que xfx+yfy=nf(x,y).xfx+yfy=nf(x,y).

248.

f ( x , y ) = 3 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 3 x 2 + y 2

249.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 f ( x , y ) = x 2 + y 2

250.

f ( x , y ) = x 2 y 2 y 3 f ( x , y ) = x 2 y 2 y 3

251.

El volumen de un cilindro circular recto viene dado por V(x,y)=πx2 y,V(x,y)=πx2 y, donde xx es el radio del cilindro y y es la altura del cilindro. Supongamos que xx como yy son funciones de tt dadas por x=12 tx=12 t y y=13ty=13t por lo que xyyxyy aumentan con el tiempo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen cuando x=2 x=2 y y=43?y=43?

252.

La presión PP de un gas se relaciona con el volumen y la temperatura mediante la fórmula PV=kT,PV=kT, donde la temperatura se expresa en kelvins. Exprese la presión del gas en función de ambos VV y T.T. Halle dPdtdPdt cuando k=1,k=1, dVdt=2 dVdt=2 cm3/min, dTdt=12 dTdt=12 K/min, V=20V=20 cm3, y T=20 °F.T=20 °F.

253.

El radio de un cono circular derecho es creciente en 33 cm/min mientras que la altura del cono disminuye a 2 2 cm/min. Calcule la tasa de cambio del volumen del cono cuando el radio es 1313 cm y la altura es 1818 cm.

254.

El volumen del tronco de un cono viene dado por la fórmula V=13πz(x2 +y2 +xy),V=13πz(x2 +y2 +xy), donde xx es el radio del círculo más pequeño, yy es el radio del círculo más grande y zz es la altura del tronco (vea la figura). Halle la tasa de cambio del volumen de este frustro cuando x=10in,y=12in,yz=18in.x=10in,y=12in,yz=18in.

Un tronco cónico (es decir, un cono con el extremo puntiagudo cortado) con altura x, radio mayor y, y radio menor x.
255.

Una caja cerrada tiene la forma de un sólido rectangular con dimensiones x,y,yz.x,y,yz. (Las dimensiones están en pulgadas). Supongamos que cada dimensión cambia a la velocidad de 0,50,5 pulg/min. Calcule la tasa de cambio de la superficie total de la caja cuando x=2 in,y=3pulg,yz=1in.x=2 in,y=3pulg,yz=1in.

256.

La resistencia total en un circuito que tiene tres resistencias individuales representadas por x,y,x,y, y zz está dado por la fórmula R(x,y,z)=xyzyz+xz+xy.R(x,y,z)=xyzyz+xz+xy. Supongamos que en un momento dado la resistencia xx es de 100Ω,100Ω, la resistencia y es 200Ω,200Ω, y la resistencia zz es de 300Ω.300Ω. Además, supongamos que la resistencia xx está cambiando a un ritmo de 2 Ω/min,2 Ω/min, la columna yy está cambiando a un ritmo de 1Ω/min,1Ω/min, y la resistencia zz no tiene ningún cambio. Halle la tasa de cambio de la resistencia total en este circuito en este momento.

257.

La temperatura TT en un punto (x,y)(x,y) es T(x,y)T(x,y) y se mide utilizando la escala Celsius. Una mosca se arrastra para que su posición después de tt segundos viene dada por x=1+tx=1+t y y=2 +13t,y=2 +13t, donde xyyxyy se mide en centímetros. La función de temperatura satisface Tx(2 ,3)=4Tx(2 ,3)=4 y Ty(2 ,3)=3.Ty(2 ,3)=3. ¿Qué tan rápido aumenta la temperatura en el recorrido de la mosca después de 33 s?

258.

Las intersecciones en xyyxyy de un fluido que se mueve en dos dimensiones están dadas por las siguientes funciones u(x,y)=2 yu(x,y)=2 y y v(x,y)=–2x;v(x,y)=–2x; x0;y0.x0;y0. La rapidez del fluido en el punto (x,y)(x,y) ¿es s(x,y)=u(x,y)2 +v(x,y)2 .s(x,y)=u(x,y)2 +v(x,y)2 . Calcule sxsx y sysy utilizando la regla de la cadena.

259.

Supongamos que u=u(x,y,z),u=u(x,y,z), donde x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),yt=t(r,s).x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),yt=t(r,s). Utilice un diagrama de árbol y la regla de la cadena para hallar una expresión para ur.ur.

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