Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.5.1 Indicar las reglas de la cadena para una o dos variables independientes.
4.5.2 Utilizar los diagramas de árbol como ayuda para comprender la regla de la cadena para varias variables independientes e intermedias.
4.5.3 Realizar la diferenciación implícita de una función de dos o más variables.

En el cálculo de una sola variable, encontramos que una de las reglas de diferenciación más útiles es la regla de la cadena, que nos permite calcular la derivada de la composición de dos funciones. Lo mismo ocurre con el cálculo multivariable, pero esta vez tenemos que tratar con más de una forma de la regla de la cadena. En esta sección, estudiamos extensiones de la regla de la cadena y aprendemos a tomar derivadas de composiciones de funciones de más de una variable.

Reglas de la cadena para una o dos variables independientes

Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse de la forma

\frac{d}{d x} (f (g (x))) = f' (g (x)) g' (x) .

En esta ecuación, tanto $f (x)$ y $g (x)$ son funciones de una variable. Supongamos ahora que $f$ es una función de dos variables y $g$ es una función de una variable. O tal vez sean ambas funciones de dos variables, o incluso más. ¿Cómo calcularíamos la derivada en estos casos? El siguiente teorema nos da la respuesta para el caso de una variable independiente.

Teorema 4.8

Regla de la cadena para una variable independiente

Supongamos que $x = g (t)$ y de $y = h (t)$ son funciones diferenciables de $t$ y $z = f (x, y)$ es una función diferenciable de $x y y .$ Entonces $z = f (x (t), y (t))$ es una función diferenciable de $t$ y

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{d y}{d t},

(4.29)

donde las derivadas ordinarias se evalúan en $t$ y las derivadas parciales se evalúan en $(x, y) .$

Prueba

La demostración de este teorema utiliza la definición de diferenciabilidad de una función de dos variables. Supongamos que f es diferenciable en el punto $P (x_{0}, y_{0}),$ donde $x_{0} = g (t_{0})$ y de $y_{0} = h (t_{0})$ para un valor fijo de $t_{0} .$ Queremos comprobar que $z = f (x (t), y (t))$ es diferenciable en $t = t_{0}$ y que la Ecuación 4.29 también se mantiene en ese punto.

Dado que $f$ es diferenciable en $P,$ sabemos que

z (t) = f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) + E (x, y),

(4.30)

donde $\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} = 0 .$ A continuación, restamos $z_{0} = f (x_{0}, y_{0})$ de ambos lados de esta ecuación:

\begin{matrix} z (t) - z (t_{0}) & = f (x (t), y (t)) - f (x (t_{0}), y (t_{0})) \\ = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x (t) - x (t_{0})) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y (t) - y (t_{0})) + E (x (t), y (t)) . \end{matrix}

A continuación, dividimos ambos lados entre $t - t_{0} :$

\frac{z (t) - z (t_{0})}{t - t_{0}} = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (\frac{x (t) - x (t_{0})}{t - t_{0}}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (\frac{y (t) - y (t_{0})}{t - t_{0}}) + \frac{E (x (t), y (t))}{t - t_{0}} .

Entonces tomamos el límite mientras $t$ se acerca a $t_{0} :$

\begin{matrix} \underset{t \to t_{0}}{lím} \frac{z (t) - z (t_{0})}{t - t_{0}} & = f_{x} (x_{0}, y_{0}) \underset{t \to t_{0}}{lím} (\frac{x (t) - x (t_{0})}{t - t_{0}}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) \underset{t \to t_{0}}{lím} (\frac{y (t) - y (t_{0})}{t - t_{0}}) \\ + \underset{t \to t_{0}}{lím} \frac{E (x (t), y (t))}{t - t_{0}} . \end{matrix}

El lado izquierdo de esta ecuación es igual a $d z / d t,$ que lleva a

\frac{d z}{d t} = f_{x} (x_{0}, y_{0}) \frac{d x}{d t} + f_{y} (x_{0}, y_{0}) \frac{d y}{d t} + \underset{t \to t_{0}}{lím} \frac{E (x (t), y (t))}{t - t_{0}} .

El último término puede reescribirse como

\begin{matrix} \underset{t \to t_{0}}{lím} \frac{E (x (t), y (t))}{t - t_{0}} & = \underset{t \to t_{0}}{lím} (\frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} \frac{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}{t - t_{0}}) \\ = \underset{t \to t_{0}}{lím} (\frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}) \underset{t \to t_{0}}{lím} (\frac{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}{t - t_{0}}) . \end{matrix}

Dado que $t$ se acerca a $t_{0},$ $(x (t), y (t))$ se aproxima a $(x (t_{0}), y (t_{0})),$ por lo que podemos reescribir el último producto como

\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}) \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\frac{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}{t - t_{0}}) .

Como el primer límite es igual a cero, solo tenemos que demostrar que el segundo límite es finito:

\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\frac{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}{t - t_{0}}) & = \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\sqrt{\frac{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}{{(t - t_{0})}^{2}}}) \\ = \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\sqrt{{(\frac{x - x_{0}}{t - t_{0}})}^{2} + {(\frac{y - y_{0}}{t - t_{0}})}^{2}}) \\ = \sqrt{{(\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\frac{x - x_{0}}{t - t_{0}}))}^{2} + {(\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} (\frac{y - y_{0}}{t - t_{0}}))}^{2}} . \end{matrix}

Dado que $x (t)$ y de $y (t)$ son ambas funciones diferenciables de $t,$ ambos límites existen dentro del último radical. Por lo tanto, este valor es finito. Esto demuestra la regla de la cadena en $t = t_{0};$ el resto del teorema se desprende de la suposición de que todas las funciones son diferenciables sobre sus dominios enteros.

□

Un análisis más detallado de la Ecuación 4.29 revela un patrón interesante. El primer término de la ecuación es $\frac{\partial f}{\partial x} . \frac{d x}{d t}$ y el segundo término es $\frac{\partial f}{\partial y} . \frac{d y}{d t} .$ Recuerde que al multiplicar fracciones se puede utilizar la cancelación. Si tratamos estas derivadas como fracciones, entonces cada producto se "simplifica" a algo parecido a $\partial f / d t .$ Las variables $x y y$ que desaparecen en esta simplificación suelen llamarse variables intermedias: son variables independientes para la función $f,$ pero son variables dependientes de la variable $t .$ En el lado derecho de la fórmula aparecen dos términos, y $f$ es una función de dos variables. Este patrón también funciona con funciones de más de dos variables, como veremos más adelante en esta sección.

Ejemplo 4.26

Usar la regla de la cadena

Calcule $d z / d t$ para cada una de las siguientes funciones:

$z = f (x, y) = 4 x^{2} + 3 y^{2}, x = x (t) = sen t, y = y (t) = cos t$
$z = f (x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2}}, x = x (t) = e^{2 t}, y = y (t) = e^{− t}$

Solución

Para utilizar la regla de la cadena, necesitamos cuatro cantidades — $\partial z / \partial x, \partial z / \partial y, d x / d t,$ y $d y / d t :$

$\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = 8 x & \frac{\partial z}{\partial y} = 6 y \\ \frac{d x}{d t} = cos t & \frac{d y}{d t} = − sen t \end{matrix}$

Ahora, sustituimos cada una de ellas en la Ecuación 4.29:

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{d y}{d t} \\ = (8 x) (cos t) + (6 y) (− sen t) \\ = 8 x cos t - 6 y sen t . \end{matrix}$

Esta respuesta tiene tres variables. Para reducirlo a una sola variable, utilice el hecho de que $x (t) = sen t y y (t) = cos t .$ Obtenemos

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = 8 x cos t - 6 y sen t \\ = 8 (sen t) cos t - 6 (cos t) sen t \\ = 2 sen t cos t . \end{matrix}$

Esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x (t)$ y de $y (t)$ en $f (x, y),$ y luego diferenciando con respecto a $t :$

$\begin{matrix} z & = f (x, y) \\ = f (x (t), y (t)) \\ = 4 {(x (t))}^{2} + 3 {(y (t))}^{2} \\ = 4 {sen}^{2} t + 3 {cos}^{2} t . \end{matrix}$

Entonces

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = 2 (4 sen t) (cos t) + 2 (3 cos t) (− sen t) \\ = 8 sen t cos t - 6 sen t cos t \\ = 2 sen t cos t, \end{matrix}$

que es la misma solución. Sin embargo, no siempre es tan fácil diferenciar en esta forma.
Para utilizar la regla de la cadena, necesitamos de nuevo cuatro cantidades — $\partial z / \partial x, \partial z / d y, d x / d t,$ y $d y / d t :$

$\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}} & \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{− y}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}} \\ \frac{d x}{d t} = 2 e^{2 t} & \frac{d x}{d t} = − e^{− t} . \end{matrix}$

Sustituimos cada una de ellas en la Ecuación 4.29:

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{d y}{d t} \\ = (\frac{x}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}) (2 e^{2 t}) + (\frac{− y}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}) (− e^{− t}) \\ = \frac{2 x e^{2 t} - y e^{− t}}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}} . \end{matrix}$

Para reducir esto a una sola variable, utilizamos el hecho de que $x (t) = e^{2 t}$ y $y (t) = e^{− t} .$ Por lo tanto,

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{2 x e^{2 t} + y e^{− t}}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}} \\ = \frac{2 (e^{2 t}) e^{2 t} + (e^{− t}) e^{− t}}{\sqrt{e^{4 t} - e^{−2 t}}} \\ = \frac{2 e^{4 t} + e^{−2 t}}{\sqrt{e^{4 t} - e^{−2 t}}} . \end{matrix}$

Para eliminar los exponentes negativos, multiplicamos la parte de arriba por $e^{2 t}$ y la parte inferior por $\sqrt{e^{4 t}} :$

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{2 e^{4 t} + e^{−2 t}}{\sqrt{e^{4 t} - e^{−2 t}}} . \frac{e^{2 t}}{\sqrt{e^{4 t}}} \\ = \frac{2 e^{6 t} + 1}{\sqrt{e^{8 t} - e^{2 t}}} \\ = \frac{2 e^{6 t} + 1}{\sqrt{e^{2 t} (e^{6 t} - 1)}} \\ = \frac{2 e^{6 t} + 1}{e^{t} \sqrt{e^{6 t} - 1}} . \end{matrix}$

De nuevo, esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x (t)$ y de $y (t)$ en $f (x, y),$ y luego diferenciando con respecto a $t :$

$\begin{matrix} z & = f (x, y) \\ = f (x (t), y (t)) \\ = \sqrt{{(x (t))}^{2} - {(y (t))}^{2}} \\ = \sqrt{e^{4 t} - e^{−2 t}} \\ = {(e^{4 t} - e^{−2 t})}^{1 / 2} . \end{matrix}$

Entonces

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{1}{2} {(e^{4 t} - e^{−2 t})}^{− 1 / 2} (4 e^{4 t} + 2 e^{−2 t}) \\ = \frac{2 e^{4 t} + e^{−2 t}}{\sqrt{e^{4 t} - e^{−2 t}}} . \end{matrix}$

Esta es la misma solución.

Punto de control 4.23

Calcule $d z / d t$ dadas las siguientes funciones. Exprese la respuesta final en términos de $t .$

z = f (x, y) = x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}, x = x (t) = 3 sen 2 t, y = y (t) = 4 cos 2 t

A menudo es útil crear una representación visual de la Ecuación 4.29 para la regla de la cadena. Esto se llama un diagrama de árbol para la regla de la cadena para funciones de una variable y proporciona una manera de recordar la fórmula (Figura 4.34). Este diagrama puede ampliarse para funciones de más de una variable, como veremos en breve.

Un diagrama que comienza con z = f(x, y). A lo largo de la primera rama, se escribe ∂z/∂x, luego x = x(t), luego dx/dt, luego t, y finalmente dice ∂z/∂x dx/dt. Por la otra rama, se escribe ∂z/∂y, luego y = y(t), luego dy/dt, luego t, y finalmente dice ∂z/∂y dy/dt.

Figura 4.34 Diagrama de árbol para el caso

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{d y}{d t} .

En este diagrama, la esquina más a la izquierda corresponde a $z = f (x, y) .$ Dado que $f$ tiene dos variables independientes, hay dos líneas que salen de esta esquina. La rama superior corresponde a la variable $x$ y la rama inferior corresponde a la variable $y .$ Como cada una de estas variables depende entonces de una variable $t,$ una rama proviene entonces de $x$ y una rama proviene de $y .$ Por último, cada una de las ramas del extremo derecho tiene una marca que representa el camino recorrido para llegar a esa rama. La rama superior se alcanza siguiendo la rama $x$ , luego la rama $t$ , por lo tanto, se marca $(\partial z / \partial x) \times (d x / d t) .$ La rama inferior es similar: primero la rama $y$ , luego la rama $t$ . Esta rama está marcada como $(\partial z / \partial y) \times (d y / d t) .$ Para obtener la fórmula de $d z / d t,$ añada todos los términos que aparecen en el lado derecho del diagrama. Esto nos da la Ecuación 4.29.

En Regla de la cadena para dos variables independientes, $z = f (x, y)$ es una función de $x y y,$ y ambas $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v)$ son funciones de las variables independientes $u y v .$

Teorema 4.9

Regla de la cadena para dos variables independientes

Supongamos que $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v)$ son funciones diferenciables de $u$ y $v,$ y $z = f (x, y)$ es una función diferenciable de $x y y .$ Entonces, $z = f (g (u, v), h (u, v))$ es una función diferenciable de $u y v,$ y

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}

(4.31)

y

\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} .

(4.32)

Podemos dibujar un diagrama de árbol para cada una de estas fórmulas como sigue.

Un diagrama que comienza con z = f(x, y). A lo largo de la primera rama está escrito ∂z/∂x, luego x = g(u, v), en ese punto se divide en otras dos ramas: la primera subrama dice ∂x/∂u, luego u, y finalmente dice ∂z/∂x ∂x/∂u; la segunda subrama dice ∂x/∂v, luego v, y finalmente dice ∂z/∂x ∂x/∂v. A lo largo de la otra rama, está escrito ∂z/∂y, luego y = h(u, v), en ese punto se divide en otras dos ramas: la primera subrama dice ∂y/∂u, luego u, y finalmente dice ∂z/∂y ∂y/∂u; la segunda subrama dice ∂y/∂v, luego v, y finalmente dice ∂z/∂y ∂y/∂v.

Figura 4.35 Diagrama de árbol para

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u}

y

\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} .

Para derivar la fórmula para $\partial z / \partial u,$ empiece desde el lado izquierdo del diagrama, y luego siga solo las ramas que terminan con $u$ y sume los términos que aparecen al final de esas ramas. Para la fórmula de $\partial z / \partial v,$ siga solo las ramas que terminan con $v$ y sume los términos que aparecen al final de esas ramas.

Hay una diferencia importante entre estos dos teoremas de la regla de la cadena. En Regla de la cadena para una variable independiente, el lado izquierdo de la fórmula de la derivada no es una derivada parcial, pero en Regla de la cadena para dos variables independientes sí lo es. La razón es que, en la Regla de la cadena para una variable independiente, $z$ es, en última instancia, una función de $t$ solamente, mientras que en Regla de la cadena para dos variables independientes, $z$ es una función de ambas $u y v .$

Ejemplo 4.27

Usar la regla de la cadena para dos variables

Calcule $\partial z / \partial u$ y $\partial z / \partial v$ utilizando las siguientes funciones:

z = f (x, y) = 3 x^{2} - 2 x y + y^{2}, x = x (u, v) = 3 u + 2 v, y = y (u, v) = 4 u - v .

Solución

Para implementar la regla de la cadena para dos variables, necesitamos seis derivadas parciales- $\partial z / \partial x, \partial z / \partial y, \partial x / \partial u, \partial x / \partial v, \partial y / \partial u,$ y $\partial y / \partial v :$

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = 6 x - 2 y & \frac{\partial z}{\partial y} = –2 x + 2 y \\ \frac{\partial x}{\partial u} = 3 & \frac{\partial x}{\partial v} = 2 \\ \frac{\partial y}{\partial u} = 4 & \frac{\partial y}{\partial v} = −1 . \end{matrix}

Para hallar $\partial z / \partial u,$ utilizamos la Ecuación 4.31:

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial u} & = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \\ = 3 (6 x - 2 y) + 4 (−2 x + 2 y) \\ = 10 x + 2 y . \end{matrix}

A continuación, sustituimos $x (u, v) = 3 u + 2 v$ y $y (u, v) = 4 u - v :$

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial u} & = 10 x + 2 y \\ = 10 (3 u + 2 v) + 2 (4 u - v) \\ = 38 u + 18 v . \end{matrix}

Para hallar $\partial z / \partial v,$ utilizamos la Ecuación 4.32:

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial v} & = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \\ = 2 (6 x - 2 y) + (–1) (−2 x + 2 y) \\ = 14 x - 6 y . \end{matrix}

Luego sustituimos $x (u, v) = 3 u + 2 v$ y $y (u, v) = 4 u - v :$

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial v} & = 14 x - 6 y \\ = 14 (3 u + 2 v) - 6 (4 u - v) \\ = 18 u + 34 v . \end{matrix}

Punto de control 4.24

Calcule $\partial z / \partial u$ y $\partial z / \partial v$ dadas las siguientes funciones:

z = f (x, y) = \frac{2 x - y}{x + 3 y}, x (u, v) = e^{2 u} cos 3 v, y (u, v) = e^{2 u} sen 3 v .

La regla de la cadena generalizada

Ahora que hemos visto cómo extender la regla de la cadena original a funciones de dos variables, es natural preguntarse: ¿podemos ampliar la regla a más de dos variables? La respuesta es sí, tal y como establece la regla de la cadena generalizada.

Teorema 4.10

Regla de la cadena generalizada

Supongamos que $w = f (x_{1}, x_{2},…, x_{m})$ es una función diferenciable de $m$ variables independientes, y para cada $i \in {1,…, m},$ supongamos que $x_{i} = x_{i} (t_{1}, t_{2},…, t_{n})$ es una función diferenciable de $n$ variables independientes. Entonces

\frac{\partial w}{\partial t_{j}} = \frac{\partial w}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{j}} + \frac{\partial w}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{j}} + ⋯ + \frac{\partial w}{\partial x_{m}} \frac{\partial x_{m}}{\partial t_{j}}

(4.33)

para cualquier $j \in {1, 2,…, n} .$

En el siguiente ejemplo calculamos la derivada de una función de tres variables independientes en la que cada una de las tres variables depende de otras dos.

Ejemplo 4.28

Usar la regla de la cadena generalizada

Calcule $\partial w / \partial u$ y $\partial w / \partial v$ utilizando las siguientes funciones:

\begin{matrix} w & = & f (x, y, z) = 3 x^{2} - 2 x y + 4 z^{2} \\ x & = & x (u, v) = e^{u} sen v \\ y & = & y (u, v) = e^{u} cos v \\ z & = & z (u, v) = e^{u} . \end{matrix}

Solución

Las fórmulas para $\partial w / \partial u$ y $\partial w / \partial v$ son

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} . \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} . \frac{\partial z}{\partial v} . \end{matrix}

Por lo tanto, hay nueve derivadas parciales diferentes que hay que calcular y sustituir. Tenemos que calcular cada una de ellas:

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial x} & = & 6 x - 2 y & \frac{\partial w}{\partial y} & = & –2 x & \frac{\partial w}{\partial z} & = & 8 z \\ \frac{\partial x}{\partial u} & = & e^{u} sen v & \frac{\partial y}{\partial u} & = & e^{u} cos v & \frac{\partial z}{\partial u} & = & e^{u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & = & e^{u} cos v & \frac{\partial y}{\partial v} & = & − e^{u} sen v & \frac{\partial z}{\partial v} & = & 0 . \end{matrix}

Ahora, sustituimos cada una de ellas en la primera fórmula para calcular $\partial w / \partial u :$

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial u} & = \frac{\partial w}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} . \frac{\partial z}{\partial u} \\ = (6 x - 2 y) e^{u} sen v - 2 x e^{u} cos v + 8 z e^{u}, \end{matrix}

entonces se sustituye $x (u, v) = e^{u} sen v, y (u, v) = e^{u} cos v,$ y $z (u, v) = e^{u}$ en esta ecuación:

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial u} & = (6 x - 2 y) e^{u} sen v - 2 x e^{u} cos v + 8 z e^{u} \\ = (6 e^{u} sen v - 2 e^{u} cos v) e^{u} sen v - 2 (e^{u} sen v) e^{u} cos v + 8 e^{2 u} \\ = 6 e^{2 u} {sen}^{2} v - 4 e^{2 u} sen v cos v + 8 e^{2 u} \\ = 2 e^{2 u} (3 {sen}^{2} v - 2 sen v cos v + 4) . \end{matrix}

A continuación, calculamos $\partial w / \partial v :$

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial v} & = \frac{\partial w}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} . \frac{\partial z}{\partial v} \\ = (6 x - 2 y) e^{u} cos v - 2 x (− e^{u} sen v) + 8 z (0), \end{matrix}

luego sustituimos $x (u, v) = e^{u} sen v, y (u, v) = e^{u} cos v,$ y $z (u, v) = e^{u}$ en esta ecuación:

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial v} & = (6 x - 2 y) e^{u} cos v - 2 x (− e^{u} sen v) \\ = (6 e^{u} sen v - 2 e^{u} cos v) e^{u} cos v + 2 (e^{u} sen v) (e^{u} sen v) \\ = 2 e^{2 u} {sen}^{2} v + 6 e^{2 u} sen v cos v - 2 e^{2 u} {cos}^{2} v \\ = 2 e^{2 u} ({sen}^{2} v + sen v cos v - {cos}^{2} v) . \end{matrix}

Punto de control 4.25

Calcule $\partial w / \partial u$ y $\partial w / \partial v$ dadas las siguientes funciones:

\begin{matrix} w & = & f (x, y, z) = \frac{x + 2 y - 4 z}{2 x - y + 3 z} \\ x & = & x (u, v) = e^{2 u} cos 3 v \\ y & = & y (u, v) = e^{2 u} sen 3 v \\ z & = & z (u, v) = e^{2 u} . \end{matrix}

Ejemplo 4.29

Dibujar un diagrama de árbol

Cree un diagrama de árbol para el caso en que

w = f (x, y, z), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v), z = z (t, u, v)

y escriba las fórmulas de las tres derivadas parciales de $w .$

Solución

Empezando por la izquierda, la función $f$ tiene tres variables independientes: $x, y, y z .$ Por lo tanto, tres ramas deben emanar del primer nodo. Cada una de estas tres ramas tiene también tres ramas, para cada una de las variables $t, u, y v .$

Un diagrama que comienza con w = f(x, y, z). A lo largo de la primera rama está escrito ∂w/∂x, luego x = x(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera subrama dice t y luego ∂w/∂x ∂x/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂x ∂x/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂x ∂x/∂v. A lo largo de la segunda rama está escrito ∂w/∂y, luego y = y(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera subrama dice t y luego ∂w/∂y ∂y/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂y ∂y/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂y ∂y/∂v. A lo largo de la tercera rama está escrito ∂w/∂z, luego z = z(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera subrama dice t y luego ∂w/∂z ∂z/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂z ∂z/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂z ∂z/∂v.

Figura 4.36 Diagrama de árbol para una función de tres variables, cada una de las cuales es función de tres variables independientes.

Las tres fórmulas son

\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} \\ \frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} . \end{matrix}

Punto de control 4.26

Cree un diagrama de árbol para el caso en que

w = f (x, y), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v)

y escriba las fórmulas de las tres derivadas parciales de $w .$

Diferenciación implícita

Recordemos que la diferenciación implícita proporciona un método para hallar $d y / d x$ cuando $y$ se define implícitamente como una función de $x .$ El método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación que define la función con respecto a $x,$ y luego resolver para $d y / d x .$ Las derivadas parciales ofrecen una alternativa a este método.

Considere la elipse definida por la ecuación $x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4 = 0$ de la siguiente forma.

Una elipse con centro cercano a (0, -0,7), eje mayor horizontal y de longitud aproximada 4,5, y eje menor de longitud aproximada 3.

Figura 4.37 Gráfico de la elipse definida por

x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4 = 0 .

Esta ecuación define implícitamente $y$ en función de $x .$ Así, podemos hallar la derivada $d y / d x$ utilizando el método de diferenciación implícita:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ 2 x + 6 y \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} & = & 0 \\ (6 y + 4) \frac{d y}{d x} & = & –2 x \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{3 y + 2} . \end{matrix}

También podemos definir una función $z = f (x, y)$ utilizando el lado izquierdo de la ecuación que define la elipse. Luego $f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4 .$ La elipse $x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4 = 0$ puede describirse entonces mediante la ecuación $f (x, y) = 0 .$ El uso de esta función y el siguiente teorema nos da un enfoque alternativo para calcular $d y / d x .$

Teorema 4.11

Diferenciación implícita de una función de dos o más variables

Supongamos que la función $z = f (x, y)$ define $y$ implícitamente como una función $y = g (x)$ de $x$ mediante la ecuación $f (x, y) = 0 .$ Entonces

\frac{d y}{d x} = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}

(4.34)

siempre que $f_{y} (x, y) \neq 0 .$

Si la ecuación $f (x, y, z) = 0$ define $z$ implícitamente como una función diferenciable de $x y y,$ entonces

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial z} y \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial z}

(4.35)

siempre y cuando $f_{z} (x, y, z) \neq 0 .$

Ecuación 4.34 sea una consecuencia directa de Ecuación 4.31. En particular, si suponemos que $y$ se define implícitamente como una función de $x$ mediante la ecuación $f (x, y) = 0,$ podemos aplicar la regla de la cadena para hallar $d y / d x :$

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x, y) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{d x}{d x} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{d y}{d x} & = & 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{d y}{d x} & = & 0, \end{matrix}

Resolviendo esta ecuación para $d y / d x$ da la Ecuación 4.34. La Ecuación 4.35 puede derivarse de forma similar.

Volvamos ahora al problema que iniciamos antes del teorema anterior. Mediante la Diferenciación implícita de una función de dos o más variables y la función $f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + 4 y - 4,$ obtenemos

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 6 y + 4. \end{matrix}

Entonces la Ecuación 4.34 da

\frac{d y}{d x} = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} = - \frac{2 x}{6 y + 4} = - \frac{x}{3 y + 2},

que es el mismo resultado obtenido por el uso anterior de la diferenciación implícita.

Ejemplo 4.30

Diferenciación implícita por derivadas parciales

Calcule $d y / d x$ si $y$ se define implícitamente como una función de $x$ mediante la ecuación $3 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 4 x - 6 y - 11 = 0 .$ ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente al gráfico de esta curva en el punto $(2, 1) ?$
Calcule $\partial z / \partial x$ y $\partial z / \partial y,$ dado que $x^{2} e^{y} - y z e^{x} = 0 .$

Solución

Establezca $f (x, y) = 3 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 4 x - 6 y - 11 = 0,$ luego calcule $f_{x}$ y $f_{y} :$ $\begin{matrix} f_{x} = 6 x - 2 y + 4 \\ f_{y} = –2 x + 2 y - 6. \end{matrix}$
La derivada es dada por

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} = - \frac{6 x - 2 y + 4}{−2 x + 2 y - 6} = \frac{3 x - y + 2}{x - y + 3} .$

La pendiente de la línea tangente en el punto $(2, 1)$ está dada por

${\frac{d y}{d x} |}_{(x, y) = (2, 1)} = \frac{3 (2) - 1 + 2}{2 - 1 + 3} = \frac{7}{4} .$

Para hallar la ecuación de la línea tangente utilizamos la forma punto-pendiente (Figura 4.38)

$\begin{matrix} y - y_{0} & = & m (x - x_{0}) \\ y - 1 & = & \frac{7}{4} (x - 2) \\ y & = & \frac{7}{4} x - \frac{7}{2} + 1 \\ y & = & \frac{7}{4} x - \frac{5}{2} . \end{matrix}$

Figura 4.38 Gráfico de la elipse rotada definida por $3 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 4 x - 6 y - 11 = 0 .$
Tenemos $f (x, y, z) = x^{2} e^{y} - y z e^{x} .$ Por lo tanto,

$\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} - y z e^{x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} e^{y} - z e^{x} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = − y e^{x} . \end{matrix}$

Mediante la Ecuación 4.35,

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} & = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} \\ = - \frac{2 x e^{y} - y z e^{x}}{− y e^{x}} \\ = \frac{2 x e^{y} - y z e^{x}}{y e^{x}} \end{matrix} & y & \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial y} & = - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial z} \\ = - \frac{x^{2} e^{y} - z e^{x}}{− y e^{x}} \\ = \frac{x^{2} e^{y} - z e^{x}}{y e^{x}} . \end{matrix} \end{matrix}$

Punto de control 4.27

Halle $d y / d x$ si $y$ se define implícitamente como una función de $x$ por la ecuación $x^{2} + x y - y^{2} + 7 x - 3 y - 26 = 0 .$ ¿Cuál es la ecuación de la línea tangente al gráfico de esta curva en el punto $(3, –2) ?$

Sección 4.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para resolver el problema.

215.

Supongamos que $w (x, y, z) = x y cos z,$ donde $x = t, y = t^{2},$ y $z = arcsen t .$ Halle $\frac{d w}{d t} .$

216.

Supongamos que $w (t, v) = e^{t v}$ donde $t = r + s$ y $v = r s .$ Calcule $\frac{\partial w}{\partial r}$ y $\frac{\partial w}{\partial s} .$

217.

Si los valores de $w = 5 x^{2} + 2 y^{2}, x = −3 s + t,$ y $y = s - 4 t,$ calcule $\frac{\partial w}{\partial s}$ y $\frac{\partial w}{\partial t} .$

218.

Si los valores de $w = x y^{2}, x = 5 cos (2 t),$ y $y = 5 sen (2 t),$ calcule $\frac{d w}{d t} .$

219.

Si $f (x, y) = x y, x = r cos θ,$ y $y = r sen θ,$ calcule $\frac{\partial f}{\partial r}$ y exprese la respuesta en términos de $r$ y $θ .$

220.

Supongamos que $f (x, y) = x + y,$ donde $x = r cos θ$ y $y = r sen θ .$ Calcule $\frac{\partial f}{\partial θ} .$

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{d f}{d t}$ utilizando la regla de la cadena y la sustitución directa.

221.

$f (x, y) = x^{2} + y^{2},$ $x = t, y = t^{2}$

222.

$f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, y = t^{2}, x = t$

223.

$f (x, y) = x y, x = 1 - \sqrt{t}, y = 1 + \sqrt{t}$

224.

$f (x, y) = \frac{x}{y}, x = e^{t}, y = 2 e^{t}$

225.

$f (x, y) = ln (x + y),$ $x = e^{t}, y = e^{t}$

226.

$f (x, y) = x^{4},$ $x = t, y = t$

227.

Supongamos que $w (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2},$ $x = cos t, y = sen t,$ y $z = e^{t} .$ Exprese $w$ en función de $t$ y halle $\frac{d w}{d t}$ directamente. Luego, calcule $\frac{d w}{d t}$ utilizando la regla de la cadena.

228.

Supongamos que $z = x^{2} y,$ donde $x = t^{2}$ y $y = t^{3} .$ Halle $\frac{d z}{d t} .$

229.

Supongamos que $u = e^{x} sen y,$ donde $x = -ln 2 t$ y $y = π t .$ Halle $\frac{d u}{d t}$ cuando $x = ln 2$ y $y = \frac{π}{4} .$

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{d y}{d x}$ utilizando derivadas parciales.

230.

$sen (6 x) + tan (8 y) + 5 = 0$

231.

$x^{3} + y^{2} x - 3 = 0$

232.

$sen (x + y) + cos (x - y) = 4$

233.

$x^{2} - 2 x y + y^{4} = 4$

234.

$x e^{y} + y e^{x} - 2 x^{2} y = 0$

235.

$x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$

236.

$x cos (x y) + y cos x = 2$

237.

$e^{x y} + y e^{y} = 1$

238.

$x^{2} y^{3} + cos y = 0$

239.

Halle $\frac{d z}{d t}$ utilizando la regla de la cadena donde $z = 3 x^{2} y^{3}, x = t^{4},$ y $y = t^{2} .$

240.

Supongamos que $z = 3 cos x - sen (x y), x = \frac{1}{t},$ y $y = 3 t .$ Halle $\frac{d z}{d t} .$

241.

Supongamos que $z = e^{1 - x y}, x = t^{1 / 3},$ y $y = t^{3} .$ Halle $\frac{d z}{d t} .$

242.

Halle $\frac{d z}{d t}$ por la regla de la cadena donde $z = {cosh}^{2} (x y), x = \frac{1}{2} t,$ y $y = e^{t} .$

243.

Supongamos que $z = \frac{x}{y}, x = 2 cos u,$ y $y = 3 sen v .$ Calcule $\frac{\partial z}{\partial u}$ y $\frac{\partial z}{\partial v} .$

244.

Supongamos que $z = e^{x^{2} y},$ donde $x = \sqrt{u v}$ y $y = \frac{1}{v} .$ Calcule $\frac{\partial z}{\partial u}$ y $\frac{\partial z}{\partial v} .$

245.

Si los valores de $z = x y e^{x / y},$ $x = r cos θ,$ y $y = r sen θ,$ calcule $\frac{\partial z}{\partial r}$ y $\frac{\partial z}{\partial θ}$ cuando $r = 2$ y $θ = \frac{π}{6} .$

246.

Calcule $\frac{\partial w}{\partial s}$ si $w = 4 x + y^{2} + z^{3}, x = e^{r s^{2}}, y = ln (\frac{r + s}{t}),$ y $z = r s t^{2} .$

247.

Si los valores de $w = sen (x y z), x = 1 - 3 t, y = e^{1 - t},$ y $z = 4 t,$ calcule $\frac{\partial w}{\partial t} .$

En los siguientes ejercicios, utilice esta información: Una función $f (x, y)$ se dice que es homogénea de grado $n$ si $f (t x, t y) = t^{n} f (x, y) .$ Para todas las funciones homogéneas de grado $n,$ la siguiente ecuación es verdadera: $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f (x, y) .$ Demuestre que la función dada es homogénea y verifique que $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f (x, y) .$

248.

$f (x, y) = 3 x^{2} + y^{2}$

249.

$f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

250.

$f (x, y) = x^{2} y - 2 y^{3}$

251.

El volumen de un cilindro circular recto viene dado por $V (x, y) = π x^{2} y,$ donde $x$ es el radio del cilindro y y es la altura del cilindro. Supongamos que $x$ como $y$ son funciones de $t$ dadas por $x = \frac{1}{2} t$ y $y = \frac{1}{3} t$ por lo que $x y y$ aumentan con el tiempo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen cuando $x = 2$ y $y = \frac{4}{3} ?$

252.

La presión $P$ de un gas se relaciona con el volumen y la temperatura mediante la fórmula $P V = k T,$ donde la temperatura se expresa en kelvins. Exprese la presión del gas en función de ambos $V$ y $T .$ Halle $\frac{d P}{d t}$ cuando $k = 1,$ $\frac{d V}{d t} = 2$ cm³/min, $\frac{d T}{d t} = \frac{1}{2}$ K/min, $V = 20$ cm³, y $T = 20 ° F .$

253.

El radio de un cono circular derecho es creciente en $3$ cm/min mientras que la altura del cono disminuye a $2$ cm/min. Calcule la tasa de cambio del volumen del cono cuando el radio es $13$ cm y la altura es $18$ cm.

254.

El volumen del tronco de un cono viene dado por la fórmula $V = \frac{1}{3} π z (x^{2} + y^{2} + x y),$ donde $x$ es el radio del círculo más pequeño, $y$ es el radio del círculo más grande y $z$ es la altura del tronco (vea la figura). Halle la tasa de cambio del volumen de este frustro cuando $x = 10 in, y = 12 in, y z = 18 in .$

Un tronco cónico (es decir, un cono con el extremo puntiagudo cortado) con altura x, radio mayor y, y radio menor x.

255.

Una caja cerrada tiene la forma de un sólido rectangular con dimensiones $x, y, y z .$ (Las dimensiones están en pulgadas). Supongamos que cada dimensión cambia a la velocidad de $0,5$ pulg/min. Calcule la tasa de cambio de la superficie total de la caja cuando $x = 2 in, y = 3 pulg, y z = 1 in .$

256.

La resistencia total en un circuito que tiene tres resistencias individuales representadas por $x, y,$ y $z$ está dado por la fórmula $R (x, y, z) = \frac{x y z}{y z + x z + x y} .$ Supongamos que en un momento dado la resistencia $x$ es de $100 Ω,$ la resistencia y es $200 Ω,$ y la resistencia $z$ es de $300 Ω .$ Además, supongamos que la resistencia $x$ está cambiando a un ritmo de $2 Ω / min,$ la columna $y$ está cambiando a un ritmo de $1 Ω / min,$ y la resistencia $z$ no tiene ningún cambio. Halle la tasa de cambio de la resistencia total en este circuito en este momento.

257.

La temperatura $T$ en un punto $(x, y)$ es $T (x, y)$ y se mide utilizando la escala Celsius. Una mosca se arrastra para que su posición después de $t$ segundos viene dada por $x = \sqrt{1 + t}$ y $y = 2 + \frac{1}{3} t,$ donde $x y y$ se mide en centímetros. La función de temperatura satisface $T_{x} (2, 3) = 4$ y $T_{y} (2, 3) = 3 .$ ¿Qué tan rápido aumenta la temperatura en el recorrido de la mosca después de $3$ s?

258.

Las intersecciones en $x y y$ de un fluido que se mueve en dos dimensiones están dadas por las siguientes funciones $u (x, y) = 2 y$ y $v (x, y) = –2 x;$ $x \geq 0; y \geq 0 .$ La rapidez del fluido en el punto $(x, y)$ ¿es $s (x, y) = \sqrt{u {(x, y)}^{2} + v {(x, y)}^{2}} .$ Calcule $\frac{\partial s}{\partial x}$ y $\frac{\partial s}{\partial y}$ utilizando la regla de la cadena.

259.

Supongamos que $u = u (x, y, z),$ donde $x = x (w, t), y = y (w, t), z = z (w, t), w = w (r, s), y t = t (r, s) .$ Utilice un diagrama de árbol y la regla de la cadena para hallar una expresión para $\frac{\partial u}{\partial r} .$

4.5 La regla de la cadena

Reglas de la cadena para una o dos variables independientes

Regla de la cadena para una variable independiente

Prueba

Usar la regla de la cadena

Solución

Regla de la cadena para dos variables independientes

Usar la regla de la cadena para dos variables

Solución

La regla de la cadena generalizada

Regla de la cadena generalizada

Usar la regla de la cadena generalizada

Solución

Dibujar un diagrama de árbol

Solución

Diferenciación implícita

Diferenciación implícita de una función de dos o más variables

Diferenciación implícita por derivadas parciales

Solución

Sección 4.5 ejercicios