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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

4.1

El dominio es el círculo sombreado definido por la inecuación 9x2 +9y2 36,9x2 +9y2 36, que tiene un círculo de radio 2 2 como su borde. El rango es [0,6].[0,6].

Un círculo de radio dos con centro en el origen. Se da la ecuación x2 + y2 ≤ 4.
4.2

La ecuación de la curva de nivel puede escribirse como (x3)2 +(y+1)2 =25,(x3)2 +(y+1)2 =25, que es un círculo de radio 55 centrado en (3,–1).(3,–1).

Un círculo de radio 5 con centro (3, -1).
4.3

z=3(x1)2 .z=3(x1)2 . Esta función describe una parábola que se abre hacia abajo en el plano y=3.y=3.

4.4

dominio ( h ) = { ( x , y , t ) 3 | y 4 x 2 4 } dominio ( h ) = { ( x , y , t ) 3 | y 4 x 2 4 }

4.5

(x1)2 +(y+2 )2 +(z3)2 =16(x1)2 +(y+2 )2 +(z3)2 =16 describa una esfera de radio 44 centrado en el punto (1,–2,3).(1,–2,3).

4.6

lím ( x , y ) ( 5 , –2 ) x 2 y y 2 + x 1 3 = 3 2 lím ( x , y ) ( 5 , –2 ) x 2 y y 2 + x 1 3 = 3 2

4.7

Si los valores de y=k(x2 )+1,y=k(x2 )+1, entonces lím(x,y)(2 ,1)(x2 )(y1)(x2 )2 +(y1)2 =k1+k2 .lím(x,y)(2 ,1)(x2 )(y1)(x2 )2 +(y1)2 =k1+k2 . Ya que la respuesta depende de k,k, el límite no existe.

4.8

lím ( x , y ) ( 5 , –2 ) 29 x 2 y 2 lím ( x , y ) ( 5 , –2 ) 29 x 2 y 2

4.9
  1. El dominio de ff contiene el par ordenado (2 ,−3)(2 ,−3) porque f(a,b)=f(2 ,−3)=162 (2 )2 (−3)2 =3f(a,b)=f(2 ,−3)=162 (2 )2 (−3)2 =3
  2. lím(x,y)(a,b)f(x,y)=3lím(x,y)(a,b)f(x,y)=3
  3. lím(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b)=3lím(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b)=3
4.10

Los polinomios g(x)=2 x2 g(x)=2 x2 y h(y)=y3h(y)=y3 son continuos en todo número real; por lo tanto, por el teorema del producto de funciones continuas, f(x,y)=2 x2 y3f(x,y)=2 x2 y3 es continua en cada punto (x,y)(x,y) en el plano xy.xy. Además, cualquier función constante es continua en todas partes, por lo que g(x,y)=3g(x,y)=3 es continua en cada punto (x,y)(x,y) en el plano xy.xy. Por lo tanto, f(x,y)=2 x2 y3+3f(x,y)=2 x2 y3+3 es continua en cada punto (x,y)(x,y) en el plano xy.xy. Por último, h(x)=x4h(x)=x4 es continua en todo número real x,x, así que por el teorema de continuidad de las funciones compuestas g(x,y)=(2 x2 y3+3)4g(x,y)=(2 x2 y3+3)4 es continua en cada punto (x,y)(x,y) en el plano xy.xy.

4.11

lím ( x , y , z ) ( 4 , –1 , 3 ) 13 x 2 2 y 2 + z 2 = 2 lím ( x , y , z ) ( 4 , –1 , 3 ) 13 x 2 2 y 2 + z 2 = 2

4.12

f x = 8 x + 2 y + 3 , f y = 2 x 2 y 2 f x = 8 x + 2 y + 3 , f y = 2 x 2 y 2

4.13

f x = ( 3 x 2 6 x y 2 ) sec 2 ( x 3 3 x 2 y 2 + 2 y 4 ) f y = ( −6 x 2 y + 8 y 3 ) sec 2 ( x 3 3 x 2 y 2 + 2 y 4 ) f x = ( 3 x 2 6 x y 2 ) sec 2 ( x 3 3 x 2 y 2 + 2 y 4 ) f y = ( −6 x 2 y + 8 y 3 ) sec 2 ( x 3 3 x 2 y 2 + 2 y 4 )

4.14

Utilizando las curvas correspondientes a c=−2yc=−3,c=−2yc=−3, obtenemos

f y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) f ( 0 , 3 ) f ( 0 , 2 ) 3 2 = −3 ( −2 ) 3 2 . 3 + 2 3 + 2 = 3 2 −3,146 . f y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) f ( 0 , 3 ) f ( 0 , 2 ) 3 2 = −3 ( −2 ) 3 2 . 3 + 2 3 + 2 = 3 2 −3,146 .

La respuesta exacta es

f y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) = ( −2 y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) = −2 2 −2,828 . f y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) = ( −2 y | ( x , y ) = ( 0 , 2 ) = −2 2 −2,828 .

4.15

f x = 4 x 8 x y + 5 z 2 6 , f y = −4 x 2 + 4 y , f z = 10 x z + 3 f x = 4 x 8 x y + 5 z 2 6 , f y = −4 x 2 + 4 y , f z = 10 x z + 3

4.16

f x = 2 x y sec ( x 2 y ) tan ( x 2 y ) 3 x 2 y z 2 sec 2 ( x 3 y z 2 ) f y = x 2 sec ( x 2 y ) tan ( x 2 y ) x 3 z 2 sec 2 ( x 3 y z 2 ) f z = –2 x 3 y z sec 2 ( x 3 y z 2 ) f x = 2 x y sec ( x 2 y ) tan ( x 2 y ) 3 x 2 y z 2 sec 2 ( x 3 y z 2 ) f y = x 2 sec ( x 2 y ) tan ( x 2 y ) x 3 z 2 sec 2 ( x 3 y z 2 ) f z = –2 x 3 y z sec 2 ( x 3 y z 2 )

4.17

2 f x 2 = −9 sen ( 3 x 2 y ) cos ( x + 4 y ) 2 f x y = 6 sen ( 3 x 2 y ) 4 cos ( x + 4 y ) 2 f y x = 6 sen ( 3 x 2 y ) 4 cos ( x + 4 y ) 2 f y 2 = −4 sen ( 3 x 2 y ) 16 cos ( x + 4 y ) 2 f x 2 = −9 sen ( 3 x 2 y ) cos ( x + 4 y ) 2 f x y = 6 sen ( 3 x 2 y ) 4 cos ( x + 4 y ) 2 f y x = 6 sen ( 3 x 2 y ) 4 cos ( x + 4 y ) 2 f y 2 = −4 sen ( 3 x 2 y ) 16 cos ( x + 4 y )

4.19

z = 7 x + 8 y 3 z = 7 x + 8 y 3

4.20

L(x,y)=62 x+3y,L(x,y)=62 x+3y, por lo que L(4,1,0,9)=62 (4,1)+3(0,9)=0,5L(4,1,0,9)=62 (4,1)+3(0,9)=0,5 f(4,1,0,9)=e52 (4,1)+3(0,9)=e–0,50,6065.f(4,1,0,9)=e52 (4,1)+3(0,9)=e–0,50,6065.

4.21

f ( –1 , 2 ) = −19 , f x ( –1 , 2 ) = 3 , f y ( –1 , 2 ) = −16 , E ( x , y ) = −4 ( y 2 ) 2 . f ( –1 , 2 ) = −19 , f x ( –1 , 2 ) = 3 , f y ( –1 , 2 ) = −16 , E ( x , y ) = −4 ( y 2 ) 2 .

lím ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) E ( x , y ) ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = lím ( x , y ) ( –1 , 2 ) −4 ( y 2 ) 2 ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 lím ( x , y ) ( –1 , 2 ) −4 ( ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 ) ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = lím ( x , y ) ( 2 , −3 ) 4 ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 0, lím ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) E ( x , y ) ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = lím ( x , y ) ( –1 , 2 ) −4 ( y 2 ) 2 ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 lím ( x , y ) ( –1 , 2 ) −4 ( ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 ) ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = lím ( x , y ) ( 2 , −3 ) 4 ( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 0,

4.22

d z = 0,18 Δ z = f ( 1,03 , −1,02 ) f ( 1 , –1 ) = 0,180682 d z = 0,18 Δ z = f ( 1,03 , −1,02 ) f ( 1 , –1 ) = 0,180682

4.23

d z d t = f x d x d t + f y d y d t = ( 2 x 3 y ) ( 6 cos 2 t ) + ( −3 x + 4 y ) ( −8 sen 2 t ) = −92 sen 2 t cos 2 t 72 ( cos 2 2 t sen 2 2 t ) = −46 sen 4 t 72 cos 4 t . d z d t = f x d x d t + f y d y d t = ( 2 x 3 y ) ( 6 cos 2 t ) + ( −3 x + 4 y ) ( −8 sen 2 t ) = −92 sen 2 t cos 2 t 72 ( cos 2 2 t sen 2 2 t ) = −46 sen 4 t 72 cos 4 t .

4.24

z u = 0 , z v = −21 ( 3 sen 3 v + cos 3 v ) 2 z u = 0 , z v = −21 ( 3 sen 3 v + cos 3 v ) 2

4.25

w u = 0 w v = 15 33 sen 3 v + 6 cos 3 v ( 3 + 2 cos 3 v sen 3 v ) 2 w u = 0 w v = 15 33 sen 3 v + 6 cos 3 v ( 3 + 2 cos 3 v sen 3 v ) 2

4.26

wt=wxxt+wyytwu=wxxu+wyyuwv=wxxv+wyyvwt=wxxt+wyytwu=wxxu+wyyuwv=wxxv+wyyv

Un diagrama que comienza con w = f(x, y). A lo largo de la primera rama está escrito ∂z/∂x, luego x = x(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera subrama dice t y luego ∂w/∂x ∂x/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂x ∂x/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂x ∂x/∂v. A lo largo de la segunda rama está escrito ∂w/∂y, luego y = y(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera dice t y luego ∂w/∂y ∂y/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂y ∂y/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂y ∂y/∂v.
4.27

dydx=2 x+y+72 yx+3|(3,–2)=2 (3)+(−2)+72 (−2)(3)+3=114dydx=2 x+y+72 yx+3|(3,–2)=2 (3)+(−2)+72 (−2)(3)+3=114
Ecuación de la línea tangente: y=114x+254y=114x+254

4.28

D u f ( x , y ) = ( 6 x y 4 y 3 4 ) ( 1 ) 2 + ( 3 x 2 12 x y 2 + 6 y ) 3 2 D u f ( 3 , 4 ) = 72 256 4 2 + ( 27 576 + 24 ) 3 2 = −94 525 3 2 D u f ( x , y ) = ( 6 x y 4 y 3 4 ) ( 1 ) 2 + ( 3 x 2 12 x y 2 + 6 y ) 3 2 D u f ( 3 , 4 ) = 72 256 4 2 + ( 27 576 + 24 ) 3 2 = −94 525 3 2

4.29

f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + 6 y 2 ( 2 x + y ) 2 i x 2 + 12 x y + 3 y 2 ( 2 x + y ) 2 j f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + 6 y 2 ( 2 x + y ) 2 i x 2 + 12 x y + 3 y 2 ( 2 x + y ) 2 j

4.30

El gradiente de gg a las (–2,3)(–2,3) ¿es g(–2,3)=i+14j.g(–2,3)=i+14j. El vector unitario que apunta en la misma dirección que g(–2,3)g(–2,3) ¿es g(–2,3)g(–2,3)=1197i+14197j=197197i+14197197j,g(–2,3)g(–2,3)=1197i+14197j=197197i+14197197j, que da un ángulo de θ=arcsen((14197)/197)1,499rad.θ=arcsen((14197)/197)1,499rad. El valor máximo de la derivada direccional es g(–2,3)=197.g(–2,3)=197.

4.31

f(x,y)=(2 x2 y+3)i+(−2x+10y2 )jf(x,y)=(2 x2 y+3)i+(−2x+10y2 )j
f(1,1)=3i+6jf(1,1)=3i+6j
Vector tangente 6i3j6i3j o −6i+3j−6i+3j

Una elipse rotada con ecuación f(x, y) = 8. En el punto (1, 1) de la elipse se dibujan dos flechas, un vector tangente y un vector normal. El vector normal está marcado ∇f(1, 1) y es perpendicular al vector tangente.
4.32

f ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 6 y 2 8 x z 2 z 2 ( 2 x + y 4 z ) 2 i x 2 + 12 x y + 3 y 2 24 y z + z 2 ( 2 x + y 4 z ) 2 j + 4 x 2 12 y 2 4 z 2 + 4 x z + 2 y z ( 2 x + y 4 z ) 2 k . f ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 6 y 2 8 x z 2 z 2 ( 2 x + y 4 z ) 2 i x 2 + 12 x y + 3 y 2 24 y z + z 2 ( 2 x + y 4 z ) 2 j + 4 x 2 12 y 2 4 z 2 + 4 x z + 2 y z ( 2 x + y 4 z ) 2 k .

4.33

D u f ( x , y , z ) = 3 13 ( 6 x + y + 2 z ) + 12 13 ( x 4 y + 4 z ) 4 13 ( 2 x + 4 y 2 z ) D u f ( 0 , –2 , 5 ) = 384 13 D u f ( x , y , z ) = 3 13 ( 6 x + y + 2 z ) + 12 13 ( x 4 y + 4 z ) 4 13 ( 2 x + 4 y 2 z ) D u f ( 0 , –2 , 5 ) = 384 13

4.34

( 2 , −5 ) ( 2 , −5 )

4.35

(43,13)(43,13) es un punto de silla, (32 ,38)(32 ,38) es un máximo local.

4.36

El mínimo absoluto se produce en (1,0):(1,0): f(1,0)=−1.f(1,0)=−1.

El máximo absoluto se produce en (0,3):(0,3): f(0,3)=63.f(0,3)=63.

4.37

ff tiene un valor máximo de 976976 en el punto (8,2 ).(8,2 ).

4.38

Un nivel máximo de producción de 13.89013.890 se produce con 5.6255.625 horas de trabajo y $5500$5500 del total de insumos de capital.

4.39

f ( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) = 3 3 + 3 3 + 3 3 = 3 f ( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) = 3 3 3 3 3 3 = 3 . f ( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) = 3 3 + 3 3 + 3 3 = 3 f ( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) = 3 3 3 3 3 3 = 3 .

4.40

f(2 ,1,2 )=9f(2 ,1,2 )=9 es un mínimo.

Sección 4.1 ejercicios

1.

17 , 72 17 , 72

3.

20π.20π. Este es el volumen cuando el radio es 2 2 y la altura es 5.5.

5.

Todos los puntos del plano xy xy

7.

x < y 2 x < y 2

9.

Todos los pares reales ordenados en el plano xy xy de la forma (a,b)(a,b) grandes.

11.

{ z | 0 z 4 } { z | 0 z 4 }

13.

El conjunto

15.

y2 x2 =4,y2 x2 =4, una hipérbola

17.

4=x+y,4=x+y, una línea; x+y=0,x+y=0, línea que pasa por el origen

19.

2 xy=0,2 xy=–2,2 xy=2 ;2 xy=0,2 xy=–2,2 xy=2 ; tres líneas

21.

x x + y = −1 , x x + y = 0 , x x + y = 2 x x + y = −1 , x x + y = 0 , x x + y = 2

23.

e x y = 1 2 , e x y = 3 e x y = 1 2 , e x y = 3

25.

x y x = –2 , x y x = 0 , x y x = 2 x y x = –2 , x y x = 0 , x y x = 2

27.

e −2 x 2 = y , y = x 2 , y = e 2 x 2 e −2 x 2 = y , y = x 2 , y = e 2 x 2

29.

Las curvas de nivel son parábolas de la forma y=cx2 2 .y=cx2 2 .

31.

z=3+y3,z=3+y3, una curva en el plano zy zy con reglas paralelas al eje x x

Una versión plana de la función y3 + 3 con resultados en el eje z y sin importar nada del eje x.
33.

x 2 25 + y 2 4 1 x 2 25 + y 2 4 1

35.

x 2 9 + y 2 4 + z 2 36 < 1 x 2 9 + y 2 4 + z 2 36 < 1

37.

Todos los puntos del espacio xyz xyz

39.


Un paraboloide orientado hacia arriba, que aumenta suavemente.
41.


Un plano torcido con vértices en (1, -1, -1), (-1, -1, -1), (-1, 1, 0,5) y (1, 1, 0,5).
43.


Un paraboloide orientado hacia abajo y suavemente decreciente.
45.


Un hemisferio en el centro con bordes que se abren en las cuatro esquinas.
47.

Las líneas de contorno son círculos.

49.

x2 +y2 +z2 =9,x2 +y2 +z2 =9, una esfera de radio 33

51.

x2 +y2 z2 =4,x2 +y2 z2 =4, un hiperboloide de una hoja

53.

4 x 2 + y 2 = 1 , 4 x 2 + y 2 = 1 ,

55.

1 = e x y ( x 2 + y 2 ) 1 = e x y ( x 2 + y 2 )

57.

T ( x , y ) = k x 2 + y 2 T ( x , y ) = k x 2 + y 2

59.

x2 +y2 =k40,x2 +y2 =k40, x2 +y2 =k100.x2 +y2 =k100. Las curvas de nivel representan círculos de radios 10k/2010k/20 y k/10k/10

Sección 4.2 ejercicios

61.

2,0

63.

2 3 2 3

65.

1 1

67.

1 2 1 2

69.

1 2 1 2

71.

e −32 e −32

73.

11,0 11,0

75.

1,0 1,0

77.

El límite no existe porque cuando xx como yy se acercan a cero, la función se acerca a ln0,ln0, que es indefinido (se acerca al infinito negativo).

79.

cada disco abierto centrado en (x0,y0)(x0,y0) contiene puntos dentro de RR y fuera de RR

81.

0,0 0,0

83.

0,00 0,00

85.

El límite no existe.

87.

El límite no existe. La función se aproxima a dos valores diferentes por trayectorias distintas.

89.

El límite no existe porque la función se acerca a dos valores diferentes a lo largo de las trayectorias.

91.

La función ff es continua en la región y>x.y>x.

93.

La función ff es continua en todos los puntos del plano xy xy excepto en (0,0).(0,0).

95.

La función es continua en (0,0)(0,0) ya que el límite de la función en (0,0)(0,0) ¿es 0,0, el mismo valor de f(0,0).f(0,0).

97.

La función es discontinua en (0,0).(0,0). El límite en (0,0)(0,0) no existe y g(0,0)g(0,0) no existe.

99.

Dado que la función arctanxarctanx es continua en (,),(,), g(x,y)=arctan(xy2 x+y)g(x,y)=arctan(xy2 x+y) es continua donde z=xy2 x+yz=xy2 x+y es continuo. La función interna zz es continua en todos los puntos del plano xy xy excepto cuando y=x.y=x. Por lo tanto, g(x,y)=arctan(xy2 x+y)g(x,y)=arctan(xy2 x+y) es continua en todos los puntos del plano de coordenadas excepto en los puntos en los que y=x.y=x.

101.

Todos los puntos P(x,y,z)P(x,y,z) en el espacio

103.

El gráfico aumenta sin límite a medida que xyyxyy se acercan a cero.

En el espacio xyz, se dibuja una forma que disminuye a 0 a medida que x y y aumentan o disminuyen, pero que aumenta mucho más cerca del origen. Aumenta hasta tal punto que el gráfico se corta por encima de z = 10, que coincide con un círculo de radio 0,6 alrededor de (0, 0, 10).
105.

a.

Una serie de cinco círculos concéntricos, con radios 3; 2,75; 2,5; 2,2; y 1,75. Las áreas entre los círculos están coloreadas, con el color más oscuro entre los círculos de radios 3 y 2,75.


b. Las curvas de nivel son círculos con centro en (0,0)(0,0) con radio 9c.9c. c. x2 +y2 =9cx2 +y2 =9c d. z=3z=3 e. {(x,y)2 |x2 +y2 9}{(x,y)2 |x2 +y2 9} f. {z|0z3}{z|0z3}

107.

1,0 1,0

109.

f(g(x,y))f(g(x,y)) es continua en todos los puntos (x,y)(x,y) que no están en la línea 2 x5y=0.2 x5y=0.

111.

2,0 2,0

Sección 4.3 ejercicios

113.

z y = −3 x + 2 y z y = −3 x + 2 y

115.

El signo es negativo.

117.

La derivada parcial es cero en el origen.

119.

zy=−3sen(3x)sen(3y)zy=−3sen(3x)sen(3y) grandes.

121.

z x = 6 x 5 x 6 + y 4 ; z y = 4 y 3 x 6 + y 4 z x = 6 x 5 x 6 + y 4 ; z y = 4 y 3 x 6 + y 4

123.

z x = y e x y ; z y = x e x y z x = y e x y ; z y = x e x y

125.

z x = 2 sec 2 ( 2 x y ) , z y = sec 2 ( 2 x y ) z x = 2 sec 2 ( 2 x y ) , z y = sec 2 ( 2 x y )

127.

f x ( 2 , –2 ) = 1 4 = f y ( 2 , –2 ) f x ( 2 , –2 ) = 1 4 = f y ( 2 , –2 )

129.

z x = cos ( 1 ) z x = cos ( 1 )

131.

f x = 0 , f y = 0 , f z = 0 f x = 0 , f y = 0 , f z = 0

133.

a. V(r,h)=πr2 hV(r,h)=πr2 h b. Vr=2 πrhVr=2 πrh c. Vh=πr2 Vh=πr2

135.

f x y = 1 ( x y ) 2 f x y = 1 ( x y ) 2

137.

2 z x 2 = 2 , 2 z y 2 = 4 2 z x 2 = 2 , 2 z y 2 = 4

139.

f x y y = f y x y = f y y x = 0 f x y y = f y x y = f y y x = 0

141.

d 2 z d x 2 = 1 2 ( e y e y ) sen x d 2 z d y 2 = 1 2 ( e y e y ) sen x d 2 z d x 2 + d 2 z d y 2 = 0 d 2 z d x 2 = 1 2 ( e y e y ) sen x d 2 z d y 2 = 1 2 ( e y e y ) sen x d 2 z d x 2 + d 2 z d y 2 = 0

143.

f x y z = 6 y 2 x 18 y z 2 f x y z = 6 y 2 x 18 y z 2

145.

( 1 4 , 1 2 ) , ( 1 , 1 ) ( 1 4 , 1 2 ) , ( 1 , 1 )

147.

( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , –1 ) , ( 3 , –1 ) ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , –1 ) , ( 3 , –1 )

149.

2 z x 2 + 2 z y 2 = e x sen ( y ) e x sen y = 0 2 z x 2 + 2 z y 2 = e x sen ( y ) e x sen y = 0

151.

c 2 2 z x 2 = e t cos ( x c ) c 2 2 z x 2 = e t cos ( x c )

153.

f y = –2 x + 7 f y = –2 x + 7

155.

f x = y cos x y f x = y cos x y

159.

F θ = 6 , F x = 4 3 3 F θ = 6 , F x = 4 3 3

161.

δfδxδfδx a las (500,1.000)=172,36,(500,1.000)=172,36, δfδyδfδy a las (500,1.000)=36,93(500,1.000)=36,93

Sección 4.4 ejercicios

163.

(145145)(12ik)(145145)(12ik) grandes.

165.

Vector normal: i+j,i+j, vector tangente: ijij

167.

Vector normal: 7i17j,7i17j, vector tangente: 17i+7j17i+7j

169.

Vector normal 12 i + 12 j k Vector tangente 0 i + j + 12 k  o  0 i + j 12 k Vector normal 12 i + 12 j k Vector tangente 0 i + j + 12 k  o  0 i + j 12 k

171.

−36 x 6 y z = −39 −36 x 6 y z = −39

173.

z = 0 z = 0

175.

5 x + 4 y + 3 z 22 = 0 5 x + 4 y + 3 z 22 = 0

177.

4 x 5 y + 4 z = 0 4 x 5 y + 4 z = 0

179.

2 x + 2 y z = 0 2 x + 2 y z = 0

181.

−2 ( x 1 ) + 2 ( y 2 ) ( z 1 ) = 0 −2 ( x 1 ) + 2 ( y 2 ) ( z 1 ) = 0

183.

x = 20 t + 2 , y = −4 t + 1 , z = t + 18 x = 20 t + 2 , y = −4 t + 1 , z = t + 18

185.

x = 0 , y = 0 , z = t x = 0 , y = 0 , z = t

187.

x 1 = 2 t ; y 2 = −2 t ; z 1 = t x 1 = 2 t ; y 2 = −2 t ; z 1 = t

189.

El diferencial de la función z(x,y)=dz=fxdx+fydyz(x,y)=dz=fxdx+fydy

191.

Utilizando la definición de diferenciabilidad, tenemos exyxx+y.exyxx+y.

193.

Δz=2 xΔx+3Δy+(Δx)2 .Δz=2 xΔx+3Δy+(Δx)2 . (Δx)2 0(Δx)2 0 para los ΔxΔx pequeños y zz satisface la definición de diferenciabilidad.

195.

Δz1,185422Δz1,185422 y dz1,108.dz1,108. Están relativamente cerca.

197.

1616 cm3

199.

Δz=Δz= cambio exacto =0,6449,=0,6449, el cambio aproximado es dz=0,65.dz=0,65. Los dos valores son cercanos.

201.

13  % o 0,13 13  % o 0,13

203.

0,025 0,025

205.

0,3  % 0,3  %

207.

2 x + 1 4 y 1 2 x + 1 4 y 1

209.

1 2 x + y + 1 4 π 1 2 1 2 x + y + 1 4 π 1 2

211.

3 7 x + 2 7 y + 6 7 z 3 7 x + 2 7 y + 6 7 z

213.

z=0z=0

Se muestra una superficie curva con el plano tangente en (0, 0, 0). La superficie curva parece la parte central del fondo de un barco, y el plano tangente es z = 0.

Sección 4.5 ejercicios

215.

d w d t = y cos z + x cos z ( 2 t ) x y sen z 1 t 2 d w d t = y cos z + x cos z ( 2 t ) x y sen z 1 t 2

217.

ws=−30x+4y,ws=−30x+4y, wt=10x16ywt=10x16y

219.

f r = r sen ( 2 θ ) f r = r sen ( 2 θ )

221.

d f d t = 2 t + 4 t 3 d f d t = 2 t + 4 t 3

223.

d f d t = –1 d f d t = –1

225.

d f d t = 1 d f d t = 1

227.

dwdt=2 e2 tdwdt=2 e2 t en ambos casos

229.

d u d t = 2 ( π −4 d u d t = 2 ( π −4

231.

d y d x = 3 x 2 + y 2 2 x y d y d x = 3 x 2 + y 2 2 x y

233.

d y d x = y x x + 2 y 3 d y d x = y x x + 2 y 3

235.

d y d x = y x 3 d y d x = y x 3

237.

dydx=yexyxexy+ey(1+y)dydx=yexyxexy+ey(1+y) grandes.

239.

d z d t = 42 t 13 d z d t = 42 t 13

241.

d z d t = 10 3 t 7 / 3 × e 1 t 10 / 3 d z d t = 10 3 t 7 / 3 × e 1 t 10 / 3

243.

zu=–2senu3senvzu=–2senu3senv y zv=−2cosucosv3sen2 vzv=−2cosucosv3sen2 v

245.

zr=3e3,zr=3e3, zθ=(2 43)e3zθ=(2 43)e3

247.

w t = cos ( x y z ) × y z × ( −3 ) cos ( x y z ) x z e 1 t + cos ( x y z ) x y × 4 w t = cos ( x y z ) × y z × ( −3 ) cos ( x y z ) x z e 1 t + cos ( x y z ) x y × 4

249.

f(tx,ty)=t2 x2 +t2 y2 =t1f(x,y),f(tx,ty)=t2 x2 +t2 y2 =t1f(x,y), fy=x12 (x2 +y2 )1/2 ×2 x+y12 (x2 +y2 )1/2 ×2 y=1f(x,y)fy=x12 (x2 +y2 )1/2 ×2 x+y12 (x2 +y2 )1/2 ×2 y=1f(x,y) grandes.

251.

V ' = 4 π V ' = 4 π

253.

d V d t = 1066 π 3 cm 3 / min d V d t = 1066 π 3 cm 3 / min

255.

d A d t = 12 in . 2 / min d A d t = 12 in . 2 / min

257.

2 ° C/s 2 ° C/s

259.

u r = u x ( x w w r + x t t r ) + u y ( y w w r + y t t r ) + u z ( z w w r + z t t r ) u r = u x ( x w w r + x t t r ) + u y ( y w w r + y t t r ) + u z ( z w w r + z t t r )

Sección 4.6 ejercicios

261.

4 3 + 3 2 4 3 + 3 2

263.

−1 −1

265.

2 6 2 6

267.

3 3

269.

−1,0 −1,0

271.

22 25 22 25

273.

2 3 2 3

275.

2 ( x + y ) 2 ( x + 2 y ) 2 2 ( x + y ) 2 ( x + 2 y ) 2

277.

e x ( y + 3 ) 2 e x ( y + 3 ) 2

279.

1 + 2 3 2 ( x + 2 y ) 1 + 2 3 2 ( x + 2 y )

281.

5 , 4 , 3 5 , 4 , 3

283.

−320 −320

285.

3 11 3 11

287.

31 255 31 255

289.
La parte superior de la mitad de una elipse centrada en el origen con eje mayor horizontal y de longitud 4 y eje menor 2. El punto (-2, 0) está marcado, y hay una flecha que apunta desde él hacia la izquierda marcada como -4i.
291.

4 3 i 3 j 4 3 i 3 j

293.

2 i + 2 j + 2 k 2 i + 2 j + 2 k

295.

1,6(1019)1,6(1019) grandes.

297.

5 2 99 5 2 99

299.

2 , 1 , −1 2 , 1 , −1

301.

13 2 , −3 , −2 13 2 , −3 , −2

303.

a. x+y+z=3,x+y+z=3, b. x1=y1=z1x1=y1=z1

305.

a. x+yz=1,x+yz=1, b. x1=y=zx1=y=z

307.

a. 323,323, b. 38,6,12,38,6,12, c. 2 4062 406

309.

u , v = π cos ( π x ) sen ( 2 π y ) , 2 π sen ( π x ) cos ( 2 π y ) u , v = π cos ( π x ) sen ( 2 π y ) , 2 π sen ( π x ) cos ( 2 π y )

Sección 4.7 ejercicios

311.

(2 3,4)(2 3,4) grandes.

313.

(0,0)(0,0) (115,115)(115,115)

315.

Máximo en (4,–1,8)(4,–1,8) grandes.

317.

Mínimo relativo en (0,0,1)(0,0,1)

319.

La prueba de la segunda derivada falla. Dado que x2 y2 >0x2 y2 >0 para todas las x y y diferentes de cero, y x2 y2 =0x2 y2 =0 cuando x o y son iguales a cero (o ambos), entonces el mínimo absoluto se produce en (0,0).(0,0).

321.

f(–2,32 )=–6f(–2,32 )=–6 es un punto de silla.

323.

f(0,0)=0;f(0,0)=0; (0,0,0)(0,0,0) es un punto de silla.

325.

f(0,0)=9f(0,0)=9 es un máximo local.

327.

Mínimo relativo situado en (2 ,6).(2 ,6).

329.

(1,–2)(1,–2) es un punto de silla.

331.

(2 ,1)(2 ,1) y (–2,1)(–2,1) son los puntos de la silla (0,0)(0,0) es un mínimo relativo.

333.

(–1,0)(–1,0) es un máximo relativo.

335.

(0,0)(0,0) es un punto de silla.

337.

El máximo relativo se encuentra en (40,40).(40,40).

339.

(14,12 )(14,12 ) es un punto de silla r y (1,1)(1,1) es el mínimo relativo.

341.

Un punto de silla se encuentra en (0,0).(0,0).

Un gráfico complicado que comienza cerca de (1, 1, 1) y disminuye significativamente a lo largo de los ejes x y y, tanto en el eje y que se corta. El resto del gráfico se mantiene cerca de 0.
343.

Hay un punto de silla en (π,π),(π,π), máximos locales en (π2 ,π2 )y(3π2 ,3π2 ),(π2 ,π2 )y(3π2 ,3π2 ), y los mínimos locales en (π2 ,3π2 )y(3π2 ,π2 ).(π2 ,3π2 )y(3π2 ,π2 ).

Una serie de colinas y agujeros que se alternan a través de un espacio con amplitud 1.
345.

(0,1,0)(0,1,0) es el mínimo absoluto y (0,–2,9)(0,–2,9) es el máximo absoluto.

347.

Hay un mínimo absoluto en (0,1,–1)(0,1,–1) y un máximo absoluto en (0,–1,1).(0,–1,1).

349.

( 5 , 0 , 0 ) , ( 5 , 0 , 0 ) ( 5 , 0 , 0 ) , ( 5 , 0 , 0 )

351.

18 por 36 por 18 pulgadas . 18 por 36 por 18 pulgadas .

353.

( 47 24 , 47 12 , 235 24 ) ( 47 24 , 47 12 , 235 24 )

355.

x=3x=3 y y=6y=6

357.

V=64 000π20,372V=64 000π20,372 cm3

Sección 4.8 ejercicios

359.

máximo: 2 33,2 33, mínimo: −233−233

361.

máximo: (2 2 ,0,2 ),(2 2 ,0,2 ), mínimo: (2 2 ,0,2 )(2 2 ,0,2 ) grandes.

363.

máximo: 32 ,32 , mínimo = 12 12

365.

máximos: f(32 2 ,2 2 )=24,f(32 2 ,2 2 )=24, f(32 2 ,−22 )=24;f(32 2 ,−22 )=24; mínimos: f(32 2 ,2 2 )=–24,f(32 2 ,2 2 )=–24, f(32 2 ,−22 )=−24f(32 2 ,−22 )=−24

367.

máximo: 2 112 11 a las f(2 11,611,−211);f(2 11,611,−211); mínimo: −211−211 a las f(−211,–611,2 11)f(−211,–611,2 11) grandes.

369.

2,0 2,0

371.

19 2 19 2

373.

( 1 2 3 , −1 2 3 ) ( 1 2 3 , −1 2 3 )

375.

f ( 1 , 2 ) = 5 f ( 1 , 2 ) = 5

377.

f ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) = 1 3 f ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) = 1 3

379.

mínimo: f(2 ,3,4)=29f(2 ,3,4)=29

381.

El volumen máximo es 44 pies3. Las dimensiones son 1×2 ×2 1×2 ×2 pies.

383.

( 1 , 1 2 , −3 ) ( 1 , 1 2 , −3 )

385.

1,0 1,0

387.

3 3

389.

( 2 5 , 19 5 ) ( 2 5 , 19 5 )

391.

12 12

Una serie alternada de colinas y agujeros de amplitud 1 a través del espacio xyz.
393.

Aproximadamente 3.365 relojes en el punto crítico (80,60)(80,60)

Una serie de curvas en el primer cuadrante, con la primera empezando cerca de (2, 120), disminuyendo bruscamente hasta cerca de (20, 20), y luego disminuyendo lentamente hasta (120, 5). La siguiente curva comienza cerca de (10, 120), disminuye bruscamente hasta cerca de (40, 40), y luego disminuye lentamente hasta (120, 20). La siguiente curva comienza cerca de (20, 120), disminuye bruscamente hasta cerca de (60, 60), y luego disminuye lentamente hasta (120, 40). La siguiente curva comienza cerca de (40, 120), disminuye hasta cerca de (80, 80), y luego disminuye un poco más lentamente hasta (120, 60). La última curva comienza cerca de (60, 120) y disminuye de forma bastante uniforme a través de (100, 100) hasta (120, 90).

Ejercicios de repaso

395.

Cierto, por el teorema de Clairaut

397.

Falso

399.

Las respuestas pueden variar

401.

No existe

403.

Continua en todos los puntos del plano x,y,x,y, excepto cuando x2 +y2 >4.x2 +y2 >4.

405.

ux=4x33y,ux=4x33y, uy=−3x,uy=−3x, ut=2 ,ut=2 , ut=3t2 ,ut=3t2 , ut=8x36y9xt2 ut=8x36y9xt2

407.

hxx(x,y,z)=6xe2 yz,hxx(x,y,z)=6xe2 yz, hxy(x,y,z)=6x2 e2 yz,hxy(x,y,z)=6x2 e2 yz, hxz(x,y,z)=3x2 e2 yz2 ,hxz(x,y,z)=3x2 e2 yz2 , hyx(x,y,z)=6x2 e2 yz,hyx(x,y,z)=6x2 e2 yz, hyy(x,y,z)=4x3e2 yz,hyy(x,y,z)=4x3e2 yz, hyz(x,y,z)=2 x3e2 yz2 ,hyz(x,y,z)=2 x3e2 yz2 , hzx(x,y,z)=3x2 e2 yz2 ,hzx(x,y,z)=3x2 e2 yz2 , hzy(x,y,z)=2 x3e2 yz2 ,hzy(x,y,z)=2 x3e2 yz2 , hzz(x,y,z)=2 x3e2 yz3hzz(x,y,z)=2 x3e2 yz3

409.

z = x 2 y + 5 z = x 2 y + 5

411.

dz=4dxdy,dz=4dxdy, dz(0,1,0,01)=0,39,dz(0,1,0,01)=0,39, Δz=0,432Δz=0,432

413.

3 85 , 27 , 6 3 85 , 27 , 6

415.

f ( x , y ) = x + 2 y 2 2 x 2 y i + ( 1 x 1 x y 2 ) j f ( x , y ) = x + 2 y 2 2 x 2 y i + ( 1 x 1 x y 2 ) j

417.

máximo: 1633,1633, mínimo: 16331633

419.

2,32282,3228 cm3

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