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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

5.1

V = i = 1 2 j = 1 2 f ( x i j * , y i j * ) Δ A = 0 V = i = 1 2 j = 1 2 f ( x i j * , y i j * ) Δ A = 0

5.2

a. 26 b. Las respuestas pueden variar.

5.3

1340 3 1340 3

5.4

4 ln 5 ln 5 4 ln 5 ln 5

5.5

π 2 π 2

5.6

Las respuestas de las partes a. y b. pueden variar.

5.7

Tipo I y Tipo II se expresan como {(x,y)|0x2 ,x2 y2 x}{(x,y)|0x2 ,x2 y2 x} y {(x,y)|0y4,12 yxy},{(x,y)|0y4,12 yxy}, respectivamente.

5.8

π / 4 π / 4

5.9

{ ( x , y ) | 0 y ln 2 , 1 x e y } { ( x , y ) | ln 2 y e , 1 x 2 } { ( x , y ) | e y e 2 , ln y x 2 } { ( x , y ) | 0 y ln 2 , 1 x e y } { ( x , y ) | ln 2 y e , 1 x 2 } { ( x , y ) | e y e 2 , ln y x 2 }

5.10

Igual que en el ejemplo mostrado.

5.11

216 35 216 35

5.12

e2 4+10e494e2 4+10e494 unidades cúbicas

5.13

814814 unidades cuadradas

5.14

3 4 3 4

5.15

π 4 π 4

5.16

55 72 0,7638 55 72 0,7638

5.17

14 3 14 3

5.18

8 π 8 π

5.19

π/8π/8

5.20

V=02 π02 2 (162 r2 )rdrdθ=64πV=02 π02 2 (162 r2 )rdrdθ=64π unidades cúbicas

5.21

A = 2 π / 2 π / 6 1 + sen θ 3 3 sen θ r d r d θ = 8 π + 9 3 A = 2 π / 2 π / 6 1 + sen θ 3 3 sen θ r d r d θ = 8 π + 9 3

5.22

π4π4

5.23

B z sen x cos y d V = 8 B z sen x cos y d V = 8

5.24

E 1 d V = x = −3 x = 3 y = 9 x 2 y = 9 x 2 z = 9 x 2 y 2 z = 9 x 2 y 2 1 d z d y d x = 36 π . E 1 d V = x = −3 x = 3 y = 9 x 2 y = 9 x 2 z = 9 x 2 y 2 z = 9 x 2 y 2 1 d z d y d x = 36 π .

5.25

(i) z=0z=4x=0x=4zy=x2 y=4zf(x,y,z)dydxdz,z=0z=4x=0x=4zy=x2 y=4zf(x,y,z)dydxdz, (ii) y=0y=4z=0z=4yx=0x=yf(x,y,z)dxdzdy,y=0y=4z=0z=4yx=0x=yf(x,y,z)dxdzdy, (iii) y=0y=4x=0x=yz=0z=4yf(x,y,z)dzdxdy,y=0y=4x=0x=yz=0z=4yf(x,y,z)dzdxdy, (iv) x=0x=2 y=x2 y=4z=0z=4yf(x,y,z)dzdydx,x=0x=2 y=x2 y=4z=0z=4yf(x,y,z)dzdydx, (v) x=0x=2 z=0z=4x2 y=x2 y=4zf(x,y,z)dydzdxx=0x=2 z=0z=4x2 y=x2 y=4zf(x,y,z)dydzdx

5.26

f ave = 8 f ave = 8

5.27

8 8

5.28

E f ( r , θ , z ) r d z d r d θ = θ = 0 θ = π r = 0 r = 2 sen θ z = 0 z = 4 r sen θ f ( r , θ , z ) r d z d r d θ . E f ( r , θ , z ) r d z d r d θ = θ = 0 θ = π r = 0 r = 2 sen θ z = 0 z = 4 r sen θ f ( r , θ , z ) r d z d r d θ .

5.29

E={(r,θ,z)|0θ2 π,0z1,zr2 z2 }E={(r,θ,z)|0θ2 π,0z1,zr2 z2 } y V=r=0r=1z=rz=2 r2 θ=0θ=2 πrdθdzdr.V=r=0r=1z=rz=2 r2 θ=0θ=2 πrdθdzdr.

5.30

E2 ={(r,θ,z)|0θ2 π,0r1,rz4r2 }E2 ={(r,θ,z)|0θ2 π,0r1,rz4r2 } y V=r=0r=1z=rz=4r2 θ=0θ=2 πrdθdzdr.V=r=0r=1z=rz=4r2 θ=0θ=2 πrdθdzdr.

5.31

V ( E ) = θ = 0 θ = 2 π ϕ = 0 φ = π / 3 ρ = 0 ρ = 2 ρ 2 sen φ d ρ d φ d θ V ( E ) = θ = 0 θ = 2 π ϕ = 0 φ = π / 3 ρ = 0 ρ = 2 ρ 2 sen φ d ρ d φ d θ

5.32

Rectangular: x=–2x=2 y=4x2 y=4x2 z=4x2 y2 z=4x2 y2 dzdydxx=–1x=1y=1x2 y=1x2 z=4x2 y2 z=4x2 y2 dzdydx.x=–2x=2 y=4x2 y=4x2 z=4x2 y2 z=4x2 y2 dzdydxx=–1x=1y=1x2 y=1x2 z=4x2 y2 z=4x2 y2 dzdydx.
Cilíndrica: θ=0θ=2 πr=1r=2 z=4r2 z=4r2 rdzdrdθ.θ=0θ=2 πr=1r=2 z=4r2 z=4r2 rdzdrdθ.
Esférica: φ=π/6φ=5π/6θ=0θ=2 πρ=cscφρ=2 ρ2 senφdρdθdφ.φ=π/6φ=5π/6θ=0θ=2 πρ=cscφρ=2 ρ2 senφdρdθdφ.

5.33

9 π 8 kg 9 π 8 kg

5.34

Mx=81π64Mx=81π64 y My=81π64My=81π64

5.35

x=Mym=81π/649π/8=98x=Mym=81π/649π/8=98 y y=Mxm=81π/649π/8=98.y=Mxm=81π/649π/8=98.

5.36

x=Mym=1/201/12=35x=Mym=1/201/12=35 y la intersección y=Mxm=1/241/12=12 y=Mxm=1/241/12=12

5.37

x c = M y m = 1 / 15 1 / 6 = 2 5 y y c = M x m = 1 / 12 1 / 6 = 1 2 x c = M y m = 1 / 15 1 / 6 = 2 5 y y c = M x m = 1 / 12 1 / 6 = 1 2

5.38

Ix=x=0x=2 y=0y=xy2 xydydx=6435Ix=x=0x=2 y=0y=xy2 xydydx=6435 y Iy=x=0x=2 y=0y=xx2 xydydx=6435.Iy=x=0x=2 y=0y=xx2 xydydx=6435. También, I0=x=0x=2 y=0y=x(x2 +y2 )xydydx=12835.I0=x=0x=2 y=0y=x(x2 +y2 )xydydx=12835.

5.39

Rx=63535,Rx=63535, Ry=63535,Ry=63535, y R0=67035.R0=67035.

5.40

54 35 = 1,543 54 35 = 1,543

5.41

( 3 2 , 9 8 , 1 2 ) ( 3 2 , 9 8 , 1 2 )

5.42

Los momentos de inercia del tetraedro QQ sobre el plano yz,yz, el plano xz,xz, y el plano xy xy son 99/35,36/7,y243/35,99/35,36/7,y243/35, respectivamente.

5.43

T−1(x,y)=(u,v)T−1(x,y)=(u,v) donde u=3xy3u=3xy3 y v=y3v=y3

5.44

J ( u , v ) = ( x , y ) ( u , v ) = | x u x v y u y v | = | 1 1 0 2 | = 2 J ( u , v ) = ( x , y ) ( u , v ) = | x u x v y u y v | = | 1 1 0 2 | = 2

5.45

0 π / 2 0 1 r 3 d r d θ 0 π / 2 0 1 r 3 d r d θ

5.46

x=12 (v+u)x=12 (v+u) y de y=12 (vu)y=12 (vu) y 2 4−uu4u2 (12 )dvdu.2 4−uu4u2 (12 )dvdu.

5.47

1 2 ( sen 2 2 ) 1 2 ( sen 2 2 )

5.48

0 3 0 2 1 2 ( v 3 + v w 3 u ) d u d v d w = 2 + ln 8 0 3 0 2 1 2 ( v 3 + v w 3 u ) d u d v d w = 2 + ln 8

Sección 5.1 ejercicios

1.

27.

3.

0,

5.

21,3.

7.

a. 28 pies3pies3 b. 1,75 ft.

9.

a. 0,1120,112 b. fave0,175;fave0,175; aquí f(0,4,0,2)0,1,f(0,4,0,2)0,1, f(0,2,0,6)–0,2,f(0,2,0,6)–0,2, f(0,8,0,2)0,6,f(0,8,0,2)0,6, y f(0,8,0,6)0,2.f(0,8,0,6)0,2.

11.

2 π . 2 π .

13.

40.

15.

81 2 + 39 2 3 . 81 2 + 39 2 3 .

17.

e 1 . e 1 .

19.

15 10 2 9 . 15 10 2 9 .

21.

0,

23.

( e 1 ) ( 1 + sen 1 cos 1 ) . ( e 1 ) ( 1 + sen 1 cos 1 ) .

25.

3 4 ln ( 5 3 ) + 2 ln 2 2 ln 2 . 3 4 ln ( 5 3 ) + 2 ln 2 2 ln 2 .

27.

1 8 [ ( 2 3 3 ) π + 6 ln 2 ] . 1 8 [ ( 2 3 3 ) π + 6 ln 2 ] .

29.

1 4 e 4 ( e 4 1 ) . 1 4 e 4 ( e 4 1 ) .

31.

4 ( e 1 ) ( 2 e ) . 4 ( e 1 ) ( 2 e ) .

33.

π 4 + ln ( 5 4 ) 1 2 ln 2 + arctan 2 . π 4 + ln ( 5 4 ) 1 2 ln 2 + arctan 2 .

35.

1 2 . 1 2 .

37.

1 2 ( 2 cosh 1 + cosh 2 3 ) . 1 2 ( 2 cosh 1 + cosh 2 3 ) .

49.

a. f(x,y)=12 xy(x2 +y2 )f(x,y)=12 xy(x2 +y2 ) b. V=0101f(x,y)dxdy=18V=0101f(x,y)dxdy=18 c. fave=18;fave=18;
d.

En el espacio xyz, se forma un plano en z = 1/8, y hay otra forma que comienza en el origen, aumenta a través del plano en una línea que va aproximadamente de (1, 0,25, 0,125) a (0,25, 1, 0,125), y luego aumenta rápidamente a (1, 1, 1).
53.

a. Para m=n=2 ,m=n=2 , I=4e–0,52,43I=4e–0,52,43 b. fave=e−0,50,61;fave=e−0,50,61;
c.

En el espacio xyz, se forma un plano en z = 0,61, y hay otra forma con el máximo aproximadamente en (0, 0, 0,92), que disminuye a lo largo de todos los lados hasta los puntos (más o menos 1, más o menos 1, 0,12).
55.

a. 2 n+1+142 n+1+14 b. 1414

59.

56,5°56,5° F; aquí f(x1*,y1*)=71,f(x1*,y1*)=71, f(x2 *,y1*)=72,f(x2 *,y1*)=72, f(x2 *,y1*)=40,f(x2 *,y1*)=40, f(x2 *,y2 *)=43,f(x2 *,y2 *)=43, donde xi*xi* y yj*yj* son los puntos medios de los subintervalos de las particiones de [a,b][a,b] y [c,d],[c,d], respectivamente.

Sección 5.2 ejercicios

61.

27 20 27 20

63.

Tipo I, pero no Tipo II

65.

π 2 π 2

67.

1 6 ( 8 + 3 π ) 1 6 ( 8 + 3 π )

69.

1.000 3 1.000 3

71.

Tipo I y Tipo II

73.

La región DD no es del Tipo I: no se encuentra entre dos líneas verticales y los gráficos de dos funciones continuas g1(x)g1(x) y g2 (x).g2 (x). La región DD no es del Tipo II: no se encuentra entre dos líneas horizontales y los gráficos de dos funciones continuas h1(y)h1(y) y h2 (y).h2 (y).

75.

π 2 π 2

77.

0 0

79.

2 3 2 3

81.

41 20 41 20

83.

–63 –63

85.

π π

87.

a. Las respuestas pueden variar; b. 2 32 3

89.

a. Las respuestas pueden variar; b. 7373

91.

8 π 3 8 π 3

93.

e 3 2 e 3 2

95.

2 3 2 3

97.

0 1 x 1 1 x x d y d x = −1 0 0 y + 1 x d x d y + 0 1 0 1 y x d x d y = 1 3 0 1 x 1 1 x x d y d x = −1 0 0 y + 1 x d x d y + 0 1 0 1 y x d x d y = 1 3

99.

–1 1 1 y 2 1 y 2 y d x d y = –1 1 1 x 2 1 x 2 y d y d x = 0 –1 1 1 y 2 1 y 2 y d x d y = –1 1 1 x 2 1 x 2 y d y d x = 0

101.

D ( x 2 y 2 ) d A = –1 1 y 4 1 1 y 4 ( x 2 y 2 ) d x d y = 464 4095 D ( x 2 y 2 ) d A = –1 1 y 4 1 1 y 4 ( x 2 y 2 ) d x d y = 464 4095

103.

4 5 4 5

105.

5 π 32 5 π 32

109.

1 1

111.

2 2

113.

a. 13;13; b. 16;16; c. 1616

115.

a. 43;43; b. 2 π;2 π; c. 6π436π43

117.

0y0,865474;0y0,865474; A(D)=0,621135A(D)=0,621135

119.

P[X+Y6]=1+32 e2 5e6/50,45;P[X+Y6]=1+32 e2 5e6/50,45; hay un 45 %45 % de probabilidad de que un cliente tarde 66 minutos en la cola de pedidos.

Sección 5.3 ejercicios

123.

D = { ( r , θ ) | 4 r 5 , π 2 θ π } D = { ( r , θ ) | 4 r 5 , π 2 θ π }

125.

D = { ( r , θ ) | 0 r 2 , 0 θ π } D = { ( r , θ ) | 0 r 2 , 0 θ π }

127.

D = { ( r , θ ) | 0 r 4 sen θ , 0 θ π } D = { ( r , θ ) | 0 r 4 sen θ , 0 θ π }

129.

D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , π 4 θ π 2 } D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , π 4 θ π 2 }

131.

D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 3 π 4 θ 5 π 4 } D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 3 π 4 θ 5 π 4 }

133.

D = { ( r , θ ) | 0 r tan θ sec θ , 0 θ π 4 } D = { ( r , θ ) | 0 r tan θ sec θ , 0 θ π 4 }

135.

0 0

137.

63 π 16 63 π 16

139.

3367 π 18 3367 π 18

141.

35 π 2 576 35 π 2 576

143.

7 288 π 2 [ 21 e 2 + e 4 ] 7 288 π 2 [ 21 e 2 + e 4 ]

145.

54ln(3+2 2 )54ln(3+2 2 ) grandes.

147.

1 6 ( 2 2 ) 1 6 ( 2 2 )

149.

0 π 0 2 r 5 d r d θ = 32 π 3 0 π 0 2 r 5 d r d θ = 32 π 3

151.

π / 2 π / 2 0 4 r sen ( r 2 ) d r d θ = π sen 2 8 π / 2 π / 2 0 4 r sen ( r 2 ) d r d θ = π sen 2 8

153.

3 π 4 3 π 4

155.

π 2 π 2

157.

1 3 ( 4 π 3 3 ) 1 3 ( 4 π 3 3 )

159.

16 3 π 16 3 π

161.

π 18 π 18

163.

a. 2 π3;2 π3; b. π2 ;π2 ; c. π6π6

165.

256 π 3 cm 3 256 π 3 cm 3

167.

3 π 32 3 π 32

169.

4 π 4 π

171.

π 4 π 4

173.

1 2 π e ( e 1 ) 1 2 π e ( e 1 )

175.

3 π 4 3 π 4

177.

133 π 3 864 133 π 3 864

Sección 5.4 ejercicios

181.

192 192

183.

0 0

185.

1 2 2 3 0 1 ( x 2 + ln y + z ) d z d x d y = 35 6 + 2 ln 2 1 2 2 3 0 1 ( x 2 + ln y + z ) d z d x d y = 35 6 + 2 ln 2

187.

1 3 0 4 −1 2 ( x 2 z + 1 y ) d z d x d y = 64 + 12 ln 3 1 3 0 4 −1 2 ( x 2 z + 1 y ) d z d x d y = 64 + 12 ln 3

191.

77 12 77 12

193.

2 2

195.

439 120 439 120

197.

0 0

199.

64 105 64 105

201.

11 26 11 26

203.

113 450 113 450

205.

1160(6341)1160(6341) grandes.

207.

3 π 2 3 π 2

209.

1.250 1.250

211.

0 5 −3 3 0 9 y 2 z d z d y d x = 90 0 5 −3 3 0 9 y 2 z d z d y d x = 90

213.

V=5,33V=5,33

Una forma compleja que comienza en el origen y alcanza su máximo en (2 negativo, 2 negativo, 8). La forma está truncada por el plano x = y, el plano x = 0, el plano y = negativo 2, el plano z = 0, y una forma compleja de tipo triangular con aristas y lados curvos (negativo 2, negativo 2, 8), (0, 0, 0) y (0, negativo 2, 4).
215.

01132 4(y2 z2 +1)dzdxdy;01132 4(y2 z2 +1)dzdxdy; 01132 4(x2 y2 +1)dydzdx01132 4(x2 y2 +1)dydzdx

219.

V = a a a 2 z 2 a 2 z 2 x 2 + z 2 a 2 d y d x d z V = a a a 2 z 2 a 2 z 2 x 2 + z 2 a 2 d y d x d z

221.

9 2 9 2

223.

156 5 156 5

225.

a. Las respuestas pueden variar; b. 12831283

227.

a. 0r0r2 x2 0r2 x2 y2 dzdydx;0r0r2 x2 0r2 x2 y2 dzdydx; b. 0r0r2 y2 0r2 x2 y2 dzdxdy,0r0r2 y2 0r2 x2 y2 dzdxdy, 0r0r2 z2 0r2 x2 z2 dydxdz,0r0r2 z2 0r2 x2 z2 dydxdz, 0r0r2 x2 0r2 x2 z2 dydzdx,0r0r2 x2 0r2 x2 z2 dydzdx, 0r0r2 z2 0r2 y2 z2 dxdydz,0r0r2 z2 0r2 y2 z2 dxdydz, 0r0r2 y2 0r2 y2 z2 dxdzdy0r0r2 y2 0r2 y2 z2 dxdzdy

229.

3 3

231.

250 3 250 3

233.

5 16 0,313 5 16 0,313

235.

35 2 35 2

Sección 5.5 ejercicios

241.

9 π 8 9 π 8

243.

1 8 1 8

245.

π e 2 6 π e 2 6

249.

a. E={(r,θ,z)|0θπ,0r4senθ,0z16r2 };E={(r,θ,z)|0θπ,0r4senθ,0z16r2 }; b. 0π04senθ016r2 f(r,θ,z)rdzdrdθ0π04senθ016r2 f(r,θ,z)rdzdrdθ

251.

a. E={(r,θ,z)|0θπ2 ,0r3,9r2 z20r(cosθ+senθ)};E={(r,θ,z)|0θπ2 ,0r3,9r2 z20r(cosθ+senθ)}; b. 0π/2 039r2 20r(cosθ+senθ)f(r,θ,z)rdzdrdθ0π/2 039r2 20r(cosθ+senθ)f(r,θ,z)rdzdrdθ

253.

a. E={(r,θ,z)|0r3,0θπ2 ,0zrcosθ+3},E={(r,θ,z)|0r3,0θπ2 ,0zrcosθ+3}, f(r,θ,z)=1rcosθ+3;f(r,θ,z)=1rcosθ+3; b. 030π/2 0rcosθ+3rrcosθ+3dzdθdr=9π4030π/2 0rcosθ+3rrcosθ+3dzdθdr=9π4

255.

a. y=rcosθ,z=rsenθ,x=z,y=rcosθ,z=rsenθ,x=z, E={(r,θ,z)|1r3,0θ2 π,0z1r2 },f(r,θ,z)=z;E={(r,θ,z)|1r3,0θ2 π,0z1r2 },f(r,θ,z)=z; b. 1302 π01r2 zrdzdθdr=256π31302 π01r2 zrdzdθdr=256π3

257.

π π

259.

π 3 π 3

261.

π 2 π 2

263.

4 π 3 4 π 3

265.

V=π120,2618V=π120,2618

Un cuarto de sección de un elipsoide con anchura 2, altura 1 y profundidad 1.
267.

0 1 0 π r 2 r z r 2 cos θ d z d θ d r 0 1 0 π r 2 r z r 2 cos θ d z d θ d r

269.

180 π 10 180 π 10

271.

81 π ( π 2 ) 16 81 π ( π 2 ) 16

277.

a. f(ρ,θ,φ)=ρsenφ(cosθ+senθ),f(ρ,θ,φ)=ρsenφ(cosθ+senθ), E={(ρ,θ,φ)|1ρ2 ,0θπ,0φπ2 };E={(ρ,θ,φ)|1ρ2 ,0θπ,0φπ2 }; b. 0π0π/2 12 ρ3cosφsenφdρdφdθ=15π80π0π/2 12 ρ3cosφsenφdρdφdθ=15π8

279.

a. f(ρ,θ,φ)=ρcosφ;f(ρ,θ,φ)=ρcosφ; E={(ρ,θ,φ)|0ρ2 cosφ,0θπ2 ,0φπ4};E={(ρ,θ,φ)|0ρ2 cosφ,0θπ2 ,0φπ4}; b. 0π/2 0π/402 cosφρ3senφcosφdρdφdθ=7π240π/2 0π/402 cosφρ3senφcosφdρdφdθ=7π24

281.

π π

283.

9 π ( 2 1 ) 9 π ( 2 1 )

285.

0 π / 2 0 π 0 4 ρ 6 sen φ d ρ d φ d θ 0 π / 2 0 π 0 4 ρ 6 sen φ d ρ d φ d θ

287.

V=4π337,255V=4π337,255

Una esfera de radio 1 con un agujero perforado de radio 0,5.
289.

343 π 32 343 π 32

291.

02 π2 416r2 16r2 rdzdrdθ;02 π2 416r2 16r2 rdzdrdθ; π/65π/602 π2 cscφ4ρ2 senρdρdθdφπ/65π/602 π2 cscφ4ρ2 senρdρdθdφ

293.

P=32P0π3P=32P0π3 vatios

295.

Q = k r 4 π μ C Q = k r 4 π μ C

Sección 5.6 ejercicios

297.

27 2 27 2

299.

24 2 24 2

301.

76 76

303.

8 π 8 π

305.

π 2 π 2

307.

2 2

309.

a. Mx=815,My=1625;Mx=815,My=1625; b. x=125,y=65;x=125,y=65;
c.

Una región triangular R limitada por los ejes x y y, y la línea y = x/2 negativo + 3, con un punto marcado en (12/5, 6/5).
311.

a. Mx=2162 5,My=4322 5;Mx=2162 5,My=4322 5; b. x=185,y=95;x=185,y=95;
c.

Un rectángulo R limitado por los ejes x y y, y las líneas x = 6 y y = 3 con el punto marcado (18/5, 9/5).
313.

a. Mx=3685,My=15525;Mx=3685,My=15525; b. x=38895,y=9295;x=38895,y=9295;
c.

Un trapecio R limitado por los ejes x y y, la línea y = 2 y la línea y = x/4 negativo + 2,5 con el punto marcado (92/95, 388/95).
315.

a. Mx=16π,My=8π;Mx=16π,My=8π; b. x=1,y=2 ;x=1,y=2 ;
c.

Una circunferencia de radio 2 centrada en (1, 2), que es tangente al eje x en (1, 0) y tiene la punta marcada en el centro (1, 2).
317.

a. Mx=0,My=0;Mx=0,My=0; b. x=0,y=0;x=0,y=0;
c.

Una elipse R con centro el origen, eje mayor 2 y eje menor 0,5, con punto marcado en el origen.
319.

a. Mx=2 ,My=0;Mx=2 ,My=0; b. x=0,y=1;x=0,y=1;
c.

Un cuadrado R de lado raíz cuadrada de 2 girado 45 grados, con vértices en el origen, (2, 0), (1, 1) y (negativo 1, 1). Se marca un punto en (0, 1).
321.

a. Ix=24310,Iy=4865,yI0=2432 ;Ix=24310,Iy=4865,yI0=2432 ; b. Rx=355,Ry=655,yR0=3Rx=355,Ry=655,yR0=3

323.

a. Ix=25922 7,Iy=6482 7,yI0=3.2402 7;Ix=25922 7,Iy=6482 7,yI0=3.2402 7; b. Rx=6217,Ry=3217,yR0=31057Rx=6217,Ry=3217,yR0=31057

325.

a. Ix=88,Iy=1560,yI0=1648;Ix=88,Iy=1560,yI0=1648; b. Rx=41819,Ry=741019,Rx=41819,Ry=741019, y R0=2 195719R0=2 195719

327.

a. Ix=128π3,Iy=56π3,yI0=184π3;Ix=128π3,Iy=56π3,yI0=184π3; b. Rx=433,Ry=213,Rx=433,Ry=213, y R0=693R0=693

329.

a. Ix=π32,Iy=π8,yI0=5π32;Ix=π32,Iy=π8,yI0=5π32; b. Rx=14,Ry=12 ,yR0=54Rx=14,Ry=12 ,yR0=54

331.

a. Ix=73,Iy=13,yI0=83;Ix=73,Iy=13,yI0=83; b. Rx=426,Ry=66,yR0=2 33Rx=426,Ry=66,yR0=2 33

333.

m = 1 3 m = 1 3

337.

a. m=9π4;m=9π4; b. Mxy=3π2 ,Mxz=818,Myz=818;Mxy=3π2 ,Mxz=818,Myz=818; c. x=92 π,y=92 π,z=2 3;x=92 π,y=92 π,z=2 3; d. el sólido QQ y su centro de masa se muestran en la siguiente figura

Un cuarto de cilindro en el primer cuadrante con altura 1 y radio 3. Se marca un punto en (9/(2 pi), 9/(2 pi), 2/3).
339.

a. x=32 2 π,y=3(2 2 )2 π,z=0;x=32 2 π,y=3(2 2 )2 π,z=0; b. el sólido QQ y su centro de masa se muestran en la siguiente figura

Una cuña de un cilindro en el primer cuadrante con altura 2, radio 1 y ángulo de aproximadamente 45 grados. Se marca un punto en (3 veces la raíz cuadrada de 2/(2 pi), 3 veces (2 menos la raíz cuadrada de 2)/(2 pi), 0).
343.

n = –2 n = –2

349.

a. ρ(x,y,z)=x2 +y2 ;ρ(x,y,z)=x2 +y2 ; b. 16π716π7

351.

M x y = π ( f ( 0 ) f ( a ) + a f ( a ) ) M x y = π ( f ( 0 ) f ( a ) + a f ( a ) )

355.

I x = I y = I z 0,84 I x = I y = I z 0,84

Sección 5.7 ejercicios

357.

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u2 T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u2 y y=h(u,v)=v3.y=h(u,v)=v3. Las funciones gg y hh son continuas y diferenciables y las derivadas parciales gu(u,v)=12 ,gu(u,v)=12 , gv(u,v)=0,hu(u,v)=0yhv(u,v)=13gv(u,v)=0,hu(u,v)=0yhv(u,v)=13 son continuas en S;S; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(12 ,0),T(0,1)=(0,13),T(1,0)=(12 ,0),T(0,1)=(0,13), y T(1,1)=(12 ,13);T(1,1)=(12 ,13); c. RR es el rectángulo de vértices (0,0),(12 ,0),(12 ,13),y(0,13)(0,0),(12 ,0),(12 ,13),y(0,13) en el plano xy;xy; la siguiente figura.

Un rectángulo con una esquina en el origen, longitud horizontal 0,5 y altura vertical 0,34.
359.

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2 uv,T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2 uv, y y=h(u,v)=u+2 v.y=h(u,v)=u+2 v. Las funciones gg y hh son continuas y diferenciables y las derivadas parciales gu(u,v)=2 ,gu(u,v)=2 , gv(u,v)=−1,gv(u,v)=−1, hu(u,v)=1,hu(u,v)=1, y hv(u,v)=2 hv(u,v)=2 son continuas en S;S; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(2 ,1),T(1,0)=(2 ,1), T(0,1)=(–1,2 ),T(0,1)=(–1,2 ), y T(1,1)=(1,3);T(1,1)=(1,3); c. RR es el paralelogramo de vértices (0,0),(2 ,1),(1,3),y(–1,2 )(0,0),(2 ,1),(1,3),y(–1,2 ) en el plano xy;xy; vea la siguiente figura.

Un cuadrado de lado raíz cuadrada de 5 con una esquina en el origen y otra en (2, 1).
361.

a. T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u3,T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=u3, y y=h(u,v)=v3.y=h(u,v)=v3. Las funciones gg y hh son continuas y diferenciables y las derivadas parciales gu(u,v)=3u2 ,gu(u,v)=3u2 , gv(u,v)=0,gv(u,v)=0, hu(u,v)=0,hu(u,v)=0, y hv(u,v)=3v2 hv(u,v)=3v2 son continuas en S;S; b. T(0,0)=(0,0),T(0,0)=(0,0), T(1,0)=(1,0),T(1,0)=(1,0), T(0,1)=(0,1),T(0,1)=(0,1), y T(1,1)=(1,1);T(1,1)=(1,1); c. RR es el cuadrado de la unidad en el plano xy;xy; vea la figura en la respuesta al ejercicio anterior.

363.

TT no es uno a uno: dos puntos de SS tienen la misma imagen. Sí, es cierto, T(–2,0)=T(2 ,0)=(16,4).T(–2,0)=T(2 ,0)=(16,4).

365.

TT es uno a uno: Argumentamos por contradicción T(u1,v1)=T(u2 ,v2 )T(u1,v1)=T(u2 ,v2 ) implica 2 u1v1=2 u2 v2 2 u1v1=2 u2 v2 y u1=u2 .u1=u2 . Por lo tanto, u1=u2 u1=u2 y v1=v2 .v1=v2 .

367.

TT no es uno a uno T(1,v,w)=(–1,v,w)T(1,v,w)=(–1,v,w)

369.

u = x 2 y 3 , v = x + y 3 u = x 2 y 3 , v = x + y 3

371.

u = e x , v = e x + y u = e x , v = e x + y

373.

u = x y + z 2 , v = x + y z 2 , w = x + y + z 2 u = x y + z 2 , v = x + y z 2 , w = x + y + z 2

375.

S = { ( u , v ) | u 2 + v 2 1 } S = { ( u , v ) | u 2 + v 2 1 }

377.

R = { ( u , v , w ) | u 2 v 2 w 2 1 , w > 0 } R = { ( u , v , w ) | u 2 v 2 w 2 1 , w > 0 }

379.

3 2 3 2

381.

−1 −1

383.

2 u v 2 u v

385.

v u 2 v u 2

387.

2 2

389.

a. T(u,v)=(2 u+v,3v);T(u,v)=(2 u+v,3v); b. El área de RR es
A(R)=03y/3(6y)/3dxdy=0101u|(x,y)(u,v)|dvdu=0101u6dvdu=3.A(R)=03y/3(6y)/3dxdy=0101u|(x,y)(u,v)|dvdu=0101u6dvdu=3.

391.

1 4 1 4

393.

−1 + cos 2 −1 + cos 2

395.

π 15 π 15

397.

31 5 31 5

399.

T(r,θ,z)=(rcosθ,rsenθ,z);S=[0,3]×[0,π2 ]×[0,1]T(r,θ,z)=(rcosθ,rsenθ,z);S=[0,3]×[0,π2 ]×[0,1] en el plano rθz rθz

403.

El área de RR ¿es 1046;1046; las curvas límite de RR se representan en la siguiente figura

Se dibujan cuatro líneas, a saber, y = 3, y = 2, y = 3/(x al cuadrado) y y = 2/(x al cuadrado). Las líneas y = 3 y y = 2 son paralelas entre sí. Las líneas y = 3/(x al cuadrado) y y = 2/(x al cuadrado) son curvas que discurren algo paralelas entre sí.
405.

8 8

409.

a. R={(x,y)|y2 +x2 2 y4x+10};R={(x,y)|y2 +x2 2 y4x+10}; b. RR se grafica en la siguiente figura

Un círculo con radio 2 y centro (2, 1).


c. 3,163,16

411.

a. T0,2 T3,0(u,v)=(u+3v,2 u+7v);T0,2 T3,0(u,v)=(u+3v,2 u+7v); b. La imagen SS es el cuadrilátero de vértices (0,0),(3,7),(2 ,4),y(4,9);(0,0),(3,7),(2 ,4),y(4,9); c. SS se grafica en la siguiente figura

Una figura de cuatro lados con los puntos el origen, (2, 4), (4, 9) y (3, 7).


d. 32 32

413.

2.662 3 π 282,45 in 3 2.662 3 π 282,45 in 3

415.

A ( R ) 83.999,2 A ( R ) 83.999,2

Ejercicios de repaso

417.

Verdadero.

419.

Falso.

421.

0

423.

1 4 1 4

425.

1,475

427.

52 3 π 52 3 π

429.

π 16 π 16

431.

93,291

433.

(815,815)(815,815) grandes.

435.

( 0 , 0 , 8 5 ) ( 0 , 0 , 8 5 )

437.

1,452π×10151,452π×1015 ft-lb

439.

y=–1,238×10–7x3+0,001196x2 3,666x+7.208;y=–1,238×10–7x3+0,001196x2 3,666x+7.208; temperatura promedio aproximadamente 2.800°C2.800°C

441.

π 3 π 3

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