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Cálculo volumen 3

5.4 Integrales triples

Cálculo volumen 35.4 Integrales triples
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.4.1 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
  • 5.4.2 Evaluar una integral triple expresándola como una integral iterada.
  • 5.4.3 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una región cerrada y delimitada.
  • 5.4.4 Simplificar un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
  • 5.4.5 Calcular el valor medio de una función de tres variables.

En Integrales dobles sobre regiones rectangulares discutimos la integral doble de una función f(x,y)f(x,y) de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la integral triple de una función f(x,y,z)f(x,y,z) de tres variables sobre una caja sólida rectangular en el espacio, 3.3. Más adelante en esta sección ampliamos la definición a regiones más generales en 3.3.

Funciones integrables de tres variables

Podemos definir una caja rectangular BB en 33 como B={(x,y,z)|axb,cyd,ezf}.B={(x,y,z)|axb,cyd,ezf}. Seguimos un procedimiento similar al que hicimos en Integrales dobles sobre regiones rectangulares. Dividimos el intervalo [a,b][a,b] en ll subintervalos [xi1,xi][xi1,xi] de igual longitud Δx=xixi1l,Δx=xixi1l, dividimos el intervalo [c,d][c,d] en mm subintervalos [yi1,yi][yi1,yi] de igual longitud Δy=yjyj1m,Δy=yjyj1m, y dividimos el intervalo [e,f][e,f] en nn subintervalos [zi1,zi][zi1,zi] de igual longitud Δz=zkzk1n.Δz=zkzk1n. Entonces la caja rectangular BB se subdivide en lmnlmn subcajas Bijk=[xi1,xi]×[yi1,yi]×[zi1,zi],Bijk=[xi1,xi]×[yi1,yi]×[zi1,zi], como se muestra en la Figura 5.40.

En el espacio x y z, existe una caja B con una subcaja Bijk con lados de longitud Delta x, Delta y, y Delta z.
Figura 5.40 Una caja rectangular en 3 3 dividida en subcajas por planos paralelos a los planos de coordenadas.

Para cada i,j,yk,i,j,yk, considera un punto de muestra (xijk*,yijk*,zijk*)(xijk*,yijk*,zijk*) en cada subcaja Bijk.Bijk. Vemos que su volumen es ΔV=ΔxΔyΔz.ΔV=ΔxΔyΔz. Forme la triple suma de Riemann

i=1lj=1mk=1nf(xijk*,yijk*,zijk*)ΔxΔyΔz.i=1lj=1mk=1nf(xijk*,yijk*,zijk*)ΔxΔyΔz.

Definimos la integral triple en términos del límite de una suma triple de Riemann, como hicimos con la integral doble en términos de una suma doble de Riemann.

Definición

La integral triple de una función f(x,y,z)f(x,y,z) sobre una caja rectangular BB se define como

líml,m,ni=1lj=1mk=1nf(xijk*,yijk*,zijk*)ΔxΔyΔz=Bf(x,y,z)dVlíml,m,ni=1lj=1mk=1nf(xijk*,yijk*,zijk*)ΔxΔyΔz=Bf(x,y,z)dV
(5.10)

si existe este límite.

Cuando la integral triple existe en B,B, la función f(x,y,z)f(x,y,z) se dice que es integrable en B.B. Además, la integral triple existe si f(x,y,z)f(x,y,z) es continuo en B.B. Por lo tanto, utilizaremos funciones continuas para nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; en otras palabras, ff está delimitada en BB y continua excepto posiblemente en el borde de B.B. El punto de muestreo (xijk*,yijk*,zijk*)(xijk*,yijk*,zijk*) puede ser cualquier punto de la subcaja rectangular BijkBijk y todas las propiedades de una integral doble se aplican a una integral triple. Al igual que la integral doble tiene muchas aplicaciones prácticas, la integral triple también tiene muchas aplicaciones, que trataremos en secciones posteriores.

Ahora que hemos desarrollado el concepto de integral triple, necesitamos saber cómo calcularla. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada, y en consecuencia, existe una versión del teorema de Fubini para integrales triples.

Teorema 5.9

Teorema de Fubini para integrales triples

Si los valores de f(x,y,z)f(x,y,z) es continua en una caja rectangular B=[a,b]×[c,d]×[e,f],B=[a,b]×[c,d]×[e,f], entonces

Bf(x,y,z)dV=efcdabf(x,y,z)dxdydz.Bf(x,y,z)dV=efcdabf(x,y,z)dxdydz.

Esta integral también es igual a cualquiera de las otras cinco ordenaciones posibles para la integral triple iterada.

Para los números reales a,b,c,d,e,a,b,c,d,e, y ff, la integral triple iterada puede expresarse en seis ordenamientos diferentes:

efcdabf(x,y,z)dxdydz=ef(cd(abf(x,y,z)dx)dy)dz=cd(ef(abf(x,y,z)dx)dz)dy=ab(ef(cdf(x,y,z)dy)dz)dx=ef(ab(cdf(x,y,z)dy)dx)dz=ce(ab(eff(x,y,z)dz)dx)dy=ab(ce(eff(x,y,z)dz)dy)dx.efcdabf(x,y,z)dxdydz=ef(cd(abf(x,y,z)dx)dy)dz=cd(ef(abf(x,y,z)dx)dz)dy=ab(ef(cdf(x,y,z)dy)dz)dx=ef(ab(cdf(x,y,z)dy)dx)dz=ce(ab(eff(x,y,z)dz)dx)dy=ab(ce(eff(x,y,z)dz)dy)dx.

Para una caja rectangular, el orden de integración no supone una diferencia significativa en el nivel de dificultad del cálculo. Calculamos las integrales triples utilizando el teorema de Fubini en vez de utilizar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de dentro a fuera).

Ejemplo 5.36

Evaluar una integral triple

Evalúe la integral triple z=0z=1y=2 y=4x=–1x=5(x+yz2 )dxdydz.z=0z=1y=2 y=4x=–1x=5(x+yz2 )dxdydz.

Ejemplo 5.37

Evaluar una integral triple

Evalúe la integral triple Bx2 yzdVBx2 yzdV donde B={(x,y,z)|2 x1,0y3,1z5}B={(x,y,z)|2 x1,0y3,1z5} como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, hay una caja dada con vértices (1, 0, 5), (1, 0, 1), (1, 3, 1), (1, 3, 5), (negativo 2, 0, 5), (negativo 2, 0, 1), (negativo 2, 3, 1) y (negativo 2, 3, 5).
Figura 5.41 Evaluar una integral triple sobre una caja rectangular dada.

Punto de control 5.23

Evalúe la integral triple BzsenxcosydVBzsenxcosydV donde B={(x,y,z)|0xπ,3π2 y2 π,1z3}.B={(x,y,z)|0xπ,3π2 y2 π,1z3}.

Integrales triples sobre una región limitada general

Ahora ampliamos la definición de la integral triple para calcular una integral triple sobre una región limitada general EE en 3.3. Las regiones limitadas generales que consideraremos son de tres tipos. En primer lugar, supongamos que DD es la región limitada que es una proyección de EE en el plano xyxy. Supongamos que la región EE en 33 tiene la forma

E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2 (x,y)}.E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2 (x,y)}.

Para dos funciones z=u1(x,y)z=u1(x,y) y z=u2 (x,y),z=u2 (x,y), tal que u1(x,y)u2 (x,y)u1(x,y)u2 (x,y) para todos los (x,y)(x,y) en DD como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, existe una forma E con superficie superior z = u2(x, y) y superficie inferior z = u1(x, y). El fondo se proyecta sobre el plano x y como región D.
Figura 5.42 Podemos describir la región E E como el espacio entre u 1 ( x , y ) u 1 ( x , y ) y u 2 ( x , y ) u 2 ( x , y ) por encima de la proyección D D de E E en el plano x y x y .

Teorema 5.10

Integral triple sobre una región general

La integral triple de una función continua f(x,y,z)f(x,y,z) sobre una región general tridimensional

E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2 (x,y)}E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2 (x,y)}

en 3,3, donde DD es la proyección de EE en el plano xyxy, es

Ef(x,y,z)dV=D[u1(x,y)u2 (x,y)f(x,y,z)dz]dA.Ef(x,y,z)dV=D[u1(x,y)u2 (x,y)f(x,y,z)dz]dA.

Del mismo modo, podemos considerar una región limitada general DD en el plano xyxy y dos funciones y=u1(x,z)y=u1(x,z) y de y=u2 (x,z)y=u2 (x,z) de manera que u1(x,z)u2 (x,z)u1(x,z)u2 (x,z) para todos los (x,z)(x,z) en D.D. Entonces podemos describir la región sólida EE en 33 como

E={(x,y,z)|(x,z)D,u1(x,z)yu2 (x,z)}E={(x,y,z)|(x,z)D,u1(x,z)yu2 (x,z)}

donde DD es la proyección de EE en el plano xyxy y la integral triple es

Ef(x,y,z)dV=D[u1(x,z)u2 (x,z)f(x,y,z)dy]dA.Ef(x,y,z)dV=D[u1(x,z)u2 (x,z)f(x,y,z)dy]dA.

Por último, si DD es una región limitada general en el plano yzyz y tenemos dos funciones x=u1(y,z)x=u1(y,z) y x=u2 (y,z)x=u2 (y,z) de manera que u1(y,z)u2 (y,z)u1(y,z)u2 (y,z) para todos los (y,z)(y,z) en D,D, entonces la región sólida EE en 33 puede describirse como

E={(x,y,z)|(y,z)D,u1(y,z)xu2 (y,z)}E={(x,y,z)|(y,z)D,u1(y,z)xu2 (y,z)}

donde DD es la proyección de EE en el plano yzyz y la integral triple es

Ef(x,y,z)dV=D[u1(y,z)u2 (y,z)f(x,y,z)dx]dA.Ef(x,y,z)dV=D[u1(y,z)u2 (y,z)f(x,y,z)dx]dA.

Tenga en cuenta que la región DD en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o de Tipo II, como se describe en Integrales dobles sobre regiones generales. Si los valores de DD en el plano xyxy es de Tipo I (Figura 5.43), entonces

E={(x,y,z)|axb,g1(x)yg2 (x),u1(x,y)zu2 (x,y)}.E={(x,y,z)|axb,g1(x)yg2 (x),u1(x,y)zu2 (x,y)}.
En el espacio x y z, existe una forma compleja E con superficie superior z = u2(x, y) y superficie inferior z = u1(x, y). El fondo se proyecta en el plano xy como región D con límites x = a, x = b, y = g1(x) y y = g2(x).
Figura 5.43 Una caja E E donde la proyección D D en el plano x y x y es de Tipo I.

Entonces la integral triple se convierte en

Ef(x,y,z)dV=abg1(x)g2 (x)u1(x,y)u2 (x,y)f(x,y,z)dzdydx.Ef(x,y,z)dV=abg1(x)g2 (x)u1(x,y)u2 (x,y)f(x,y,z)dzdydx.

Si los valores de DD en el plano xyxy es de Tipo II (Figura 5.44), entonces

E={(x,y,z)|cxd,h1(x)yh2 (x),u1(x,y)zu2 (x,y)}.E={(x,y,z)|cxd,h1(x)yh2 (x),u1(x,y)zu2 (x,y)}.
En el espacio x y z, existe una forma compleja E con superficie superior z = u2(x, y) y superficie inferior z = u1(x, y). El fondo se proyecta en el plano xy como región D con límites y = c, y = d, x = h1(y), y x = h2(y).
Figura 5.44 Una caja E E donde la proyección D D en el plano x y x y es de Tipo II.

Entonces la integral triple se convierte en

Ef(x,y,z)dV=y=cy=dx=h1(y)x=h2 (y)z=u1(x,y)z=u2 (x,y)f(x,y,z)dzdxdy.Ef(x,y,z)dV=y=cy=dx=h1(y)x=h2 (y)z=u1(x,y)z=u2 (x,y)f(x,y,z)dzdxdy.

Ejemplo 5.38

Evaluar una integral triple en una región limitada general

Evalúe la integral triple de la función f(x,y,z)=5x3yf(x,y,z)=5x3y sobre el tetraedro sólido delimitado por los planos x=0,y=0,z=0,x=0,y=0,z=0, y x+y+z=1.x+y+z=1.

Al igual que utilizamos la integral doble D1dAD1dA para hallar el área de una región limitada general D,D, podemos utilizar E1dVE1dV para hallar el volumen de una región limitada general sólida E.E. El siguiente ejemplo ilustra el método.

Ejemplo 5.39

Hallar un volumen evaluando una integral triple

Halle el volumen de una pirámide recta que tiene la base cuadrada en el plano xyxy [−1,1]×[−1,1][−1,1]×[−1,1] y vértice en el punto (0,0,1)(0,0,1) como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, existe una pirámide de base cuadrada centrada en el origen. El vértice de la pirámide es (0, 0, 1).
Figura 5.46 Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada.

Punto de control 5.24

Considere la esfera sólida E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 =9}.E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 =9}. Escriba la integral triple Ef(x,y,z)dVEf(x,y,z)dV para una función arbitraria ff como una integral iterada. A continuación, evalúe esta integral triple con f(x,y,z)=1.f(x,y,z)=1. Observe que esto da el volumen de una esfera utilizando una integral triple.

Cambiar el orden de la integración

Como ya hemos visto en las integrales dobles sobre regiones limitadas generales, cambiar el orden de la integración se hace con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, la elección de un orden de integración adecuado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a coordenadas polares también puede ser muy útil. Aquí mostramos dos ejemplos.

Ejemplo 5.40

Cambiar el orden de la integración

Considere la integral iterada

x=0x=1y=0y=x2 z=0z=y2 f(x,y,z)dzdydx.x=0x=1y=0y=x2 z=0z=y2 f(x,y,z)dzdydx.

El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego a y, y después a x. Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea primero con respecto a x, luego a z, y después a y.y. Compruebe que el valor de la integral es el mismo si dejamos f(x,y,z)=xyz.f(x,y,z)=xyz.

Punto de control 5.25

Escriba cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada

z=0z=4y=0y=4zx=0x=yf(x,y,z)dxdydz.z=0z=4y=0y=4zx=0x=yf(x,y,z)dxdydz.

Ejemplo 5.41

Modificar el orden de integración y de los sistemas de coordenadas

Evalúe la integral triple Ex2 +z2 dV,Ex2 +z2 dV, donde EE es la región limitada por el paraboloide y=x2 +z2 y=x2 +z2 (Figura 5.48) y el plano y=4.y=4.

El paraboloide y = x al cuadrado + z al cuadrado se muestra abriéndose a lo largo del eje y hasta y = 4.
Figura 5.48 Integración de una integral triple sobre un paraboloide.

Valor promedio de una función de tres variables

Recordemos que hallamos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región del plano y luego dividiendo entre el área de la región. Del mismo modo, podemos encontrar el valor promedio de una función de tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y dividiendo después entre el volumen del sólido.

Teorema 5.11

Valor promedio de una función de tres variables

Si los valores de f(x,y,z)f(x,y,z) es integrable en una región limitada sólida EE con volumen positivo V(E),V(E), entonces el valor medio de la función es

fave=1V(E)Ef(x,y,z)dV.fave=1V(E)Ef(x,y,z)dV.

Observe que el volumen es V(E)=E1dV.V(E)=E1dV.

Ejemplo 5.42

Hallar una temperatura promedio

La temperatura en un punto (x,y,z)(x,y,z) de un sólido EE limitado por los planos de coordenadas y el plano x+y+z=1x+y+z=1 ¿es T(x,y,z)=(xy+8z+20) °C.T(x,y,z)=(xy+8z+20) °C. Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

Punto de control 5.26

Calcule el valor promedio de la función f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz sobre el cubo con lados de longitud 44 unidades en el primer octante con un vértice en el origen y aristas paralelas a los ejes de coordenadas.

Sección 5.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la caja sólida rectangular B.B.

181.

B(2 x+3y2 +4z3)dV,B(2 x+3y2 +4z3)dV, donde B={(x,y,z)|0x1,0y2 ,0z3}B={(x,y,z)|0x1,0y2 ,0z3}

182.

B(xy+yz+xz)dV,B(xy+yz+xz)dV, donde B={(x,y,z)|1x2 ,0y2 ,1z3}B={(x,y,z)|1x2 ,0y2 ,1z3}

183.

B(xcosy+z)dV,B(xcosy+z)dV, donde B={(x,y,z)|0x1,0yπ,−1z1}B={(x,y,z)|0x1,0yπ,−1z1}

184.

B(zsenx+y2 )dV,B(zsenx+y2 )dV, donde B={(x,y,z)|0xπ,0y1,−1z2 }B={(x,y,z)|0xπ,0y1,−1z2 }

En los siguientes ejercicios, cambie el orden de integración integrando primero con respecto a z,z, entonces x,x, entonces y.y.

185.

0 1 1 2 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z 0 1 1 2 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z

186.

0 1 –1 1 0 3 ( z e x + 2 y ) d x d y d z 0 1 –1 1 0 3 ( z e x + 2 y ) d x d y d z

187.

−1 2 1 3 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z −1 2 1 3 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z

188.

1 2 −2 −1 0 1 x + y z d x d y d z 1 2 −2 −1 0 1 x + y z d x d y d z

189.

Supongamos que F,G,yHF,G,yH son funciones continuas sobre [a,b],[c,d],[a,b],[c,d], y [e,f],[e,f], respectivamente, donde a,b,c,d,e,yfa,b,c,d,e,yf son números reales de modo que a<b,c<d,ye<f.a<b,c<d,ye<f. Demuestre que

a b c d e f F ( x ) G ( y ) H ( z ) d z d y d x = ( a b F ( x ) d x ) ( c d G ( y ) d y ) ( e f H ( z ) d z ) . a b c d e f F ( x ) G ( y ) H ( z ) d z d y d x = ( a b F ( x ) d x ) ( c d G ( y ) d y ) ( e f H ( z ) d z ) .
190.

Supongamos que F,G,yHF,G,yH son funciones diferenciales sobre [a,b],[c,d],[a,b],[c,d], y [e,f],[e,f], respectivamente, donde a,b,c,d,e,yfa,b,c,d,e,yf son números reales de modo que a<b,c<d,ye<f.a<b,c<d,ye<f. Demuestre que

a b c d e f F ( x ) G ( y ) H ( z ) d z d y d x = [ F ( b ) F ( a ) ] [ G ( d ) G ( c ) ] [ H ( f ) H ( e ) ] . a b c d e f F ( x ) G ( y ) H ( z ) d z d y d x = [ F ( b ) F ( a ) ] [ G ( d ) G ( c ) ] [ H ( f ) H ( e ) ] .

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada E={(x,y,z)|axb,h1(x)yh2 (x),ezf}.E={(x,y,z)|axb,h1(x)yh2 (x),ezf}.

191.

E(2 x+5y+7z)dV,E(2 x+5y+7z)dV, donde E={(x,y,z)|0x1,0yx+1,1z2 }E={(x,y,z)|0x1,0yx+1,1z2 }

192.

E(ylnx+z)dV,E(ylnx+z)dV, donde E={(x,y,z)|1xe,0ylnx,0z1}E={(x,y,z)|1xe,0ylnx,0z1}

193.

E(senx+seny)dV,E(senx+seny)dV, donde E={(x,y,z)|0xπ2 ,cosxycosx,−1z1}E={(x,y,z)|0xπ2 ,cosxycosx,−1z1}

194.

E(xy+yz+xz)dV,E(xy+yz+xz)dV, donde E={(x,y,z)|0x1,x2 yx2 ,0z1}E={(x,y,z)|0x1,x2 yx2 ,0z1}

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada indicada E.E.

195.

E(x+2 yz)dV,E(x+2 yz)dV, donde E={(x,y,z)|0x1,0yx,0z5xy}E={(x,y,z)|0x1,0yx,0z5xy}

196.

E(x3+y3+z3)dV,E(x3+y3+z3)dV, donde E={(x,y,z)|0x2 ,0y2 x,0z4xy}E={(x,y,z)|0x2 ,0y2 x,0z4xy}

197.

EydV,EydV, donde E={(x,y,z)|1x1,1x2 y1x2 ,0z1x2 y2 }E={(x,y,z)|1x1,1x2 y1x2 ,0z1x2 y2 }

198.

ExdV,ExdV, donde E={(x,y,z)|2 x2 ,4x2 y4x2 ,0z4x2 y2 }E={(x,y,z)|2 x2 ,4x2 y4x2 ,0z4x2 y2 }

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada EE de la forma E={(x,y,z)|g1(y)xg2 (y),cyd,ezf}.E={(x,y,z)|g1(y)xg2 (y),cyd,ezf}.

199.

Ex2 dV,Ex2 dV, donde E={(x,y,z)|1y2 xy2 1,−1y1,1z2 }E={(x,y,z)|1y2 xy2 1,−1y1,1z2 }

200.

E(senx+y)dV,E(senx+y)dV, donde E={(x,y,z)|y4xy4,0y2 ,0z4}E={(x,y,z)|y4xy4,0y2 ,0z4}

201.

E(xyz)dV,E(xyz)dV, donde E={(x,y,z)|y6xy,0y1,−1z1}E={(x,y,z)|y6xy,0y1,−1z1}

202.

EzdV,EzdV, donde E={(x,y,z)|2 2 yx2 +y,0y1x,2 z3}E={(x,y,z)|2 2 yx2 +y,0y1x,2 z3}

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada

E={(x,y,z)|g1(y)xg2 (y),cyd,u1(x,y)zu2 (x,y)}.E={(x,y,z)|g1(y)xg2 (y),cyd,u1(x,y)zu2 (x,y)}.
203.

EzdV,EzdV, donde E={(x,y,z)|yxy,0y1,0z1x4y4}E={(x,y,z)|yxy,0y1,0z1x4y4}

204.

E(xz+1)dV,E(xz+1)dV, donde E={(x,y,z)|0xy,0y2 ,0z1x2 y2 }E={(x,y,z)|0xy,0y2 ,0z1x2 y2 }

205.

E(xz)dV,E(xz)dV, donde E={(x,y,z)|1y2 x0,0y12 x,0z1x2 y2 }E={(x,y,z)|1y2 x0,0y12 x,0z1x2 y2 }

206.

E(x+y)dV,E(x+y)dV, donde E={(x,y,z)|0x1y2 ,0y1,0z1x}E={(x,y,z)|0x1y2 ,0y1,0z1x}

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada

E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)xzu2 (x,y)},E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)xzu2 (x,y)}, donde DD es la proyección de EE en el plano xyxy.

207.

D(12 (x+z)dz)dA,D(12 (x+z)dz)dA, donde D={(x,y)|x2 +y2 1}D={(x,y)|x2 +y2 1}

208.

D(13x(z+1)dz)dA,D(13x(z+1)dz)dA, donde D={(x,y)|x2 y2 1,1x5}D={(x,y)|x2 y2 1,1x5}

209.

D(010xy(x+2 z)dz)dA,D(010xy(x+2 z)dz)dA, donde D={(x,y)|y0,x0,x+y10}D={(x,y)|y0,x0,x+y10}

210.

D(04x2 +4y2 ydz)dA,D(04x2 +4y2 ydz)dA, donde D={(x,y)|x2 +y2 4,y1,x0}D={(x,y)|x2 +y2 4,y1,x0}

211.

El sólido EE limitado por y2 +z2 =9,z=0,x=0,y2 +z2 =9,z=0,x=0, y x=5x=5 se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral EzdVEzdV integrando primero con respecto a z,z, entonces y,y luegox.y,y luegox.

Una forma sólida arqueada que alcanza su máximo a lo largo del eje y con z = 3. La forma llega a cero en y = más o menos 3, y el gráfico se trunca en x = 0 y 5.
212.

El sólido EE limitado por y=x,y=x, x=4,x=4, y=0,y=0, y z=1z=1 se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral ExyzdVExyzdV integrando primero con respecto a x,x, entonces y,y, y luego z.z.

Un cuarto de sección de un cilindro ovalado con z de negativo 2 a positivo 1. El sólido está limitado por y = 0 y x = 4, y la parte superior de la forma va de (0, 0, 1) a (4, 2, 1) en un arco suave.
213.

[T] El volumen de un sólido EE está dada por la integral −20x00x2 +y2 dzdydx.−20x00x2 +y2 dzdydx. Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar EE y hallar su volumen. Redondee su respuesta a dos decimales.

214.

[T] El volumen de un sólido EE está dada por la integral −10x2 001+x2 +y2 dzdydx.−10x2 001+x2 +y2 dzdydx. Utilice un CAS para graficar EE y hallar su volumen V.V. Redondee su respuesta a dos decimales.

En los siguientes ejercicios, utilice dos permutaciones circulares de las variables x,y,yzx,y,yz para escribir nuevas integrales cuyos valores sean iguales al valor de la integral original. Una permutación circular de x,y,yzx,y,yz es la disposición de los números en uno de los siguientes órdenes y,z,yxoz,x,yy.y,z,yxoz,x,yy.

215.

0 1 1 3 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z 0 1 1 3 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z

216.

1 3 0 1 0 x + 1 ( 2 x + 5 y + 7 z ) d y d x d z 1 3 0 1 0 x + 1 ( 2 x + 5 y + 7 z ) d y d x d z

217.

0 1 y y 0 1 x 4 y 4 ln x d z d x d y 0 1 y y 0 1 x 4 y 4 ln x d z d x d y

218.

–1 1 0 1 y 6 y ( x + y z ) d x d y d z –1 1 0 1 y 6 y ( x + y z ) d x d y d z

219.

Establezca la integral que da el volumen del sólido EE limitado por y2 =x2 +z2 y2 =x2 +z2 y y=a2 ,y=a2 , donde a>0.a>0.

220.

Establezca la integral que da el volumen del sólido EE limitado por x=y2 +z2 x=y2 +z2 y x=a2 ,x=a2 , donde a>0.a>0.

221.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y,z)=x+y+zf(x,y,z)=x+y+z sobre el paralelepípedo determinado por x=0,x=1,y=0,y=3,z=0,x=0,x=1,y=0,y=3,z=0, y z=5.z=5.

222.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz sobre el sólido E=[0,1]×[0,1]×[0,1]E=[0,1]×[0,1]×[0,1] situado en el primer octante.

223.

Calcule el volumen del sólido EE que se encuentra debajo del plano x+y+z=9x+y+z=9 y cuya proyección sobre el plano xyxy está limitado por x=y1,x=0,x=y1,x=0, y x+y=7.x+y=7.

224.

Halle el volumen del sólido E que se encuentra bajo el plano 2 x+y+z=82 x+y+z=8 y cuya proyección sobre el plano xyxy está limitado por x=sen−1y,y=0,x=sen−1y,y=0, y x=π2 .x=π2 .

225.

Considere la pirámide con la base en el plano xyxy de [−2,2 ]×[−2,2 ][−2,2 ]×[−2,2 ] y el vértice en el punto (0,0,8).(0,0,8).

  1. Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son 4y+z=8,4y+z=8, 4yz=–8,4yz=–8, 4x+z=8,4x+z=8, y –4x+z=8.–4x+z=8.
  2. Calcule el volumen de la pirámide.
226.

Considere la pirámide con la base en el plano xyxy de [−3,3]×[−3,3][−3,3]×[−3,3] y el vértice en el punto (0,0,9).(0,0,9).

  1. Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son 3 x + z = 9 , 3 x + z = 9 , 3 y + z = 9 ,  y  3 y + z = 9 3x+z=9,3x+z=9,3y+z=9, y 3y+z=9
  2. Calcule el volumen de la pirámide.
227.

El sólido EE limitado por la esfera de la ecuación x2 +y2 +z2 =r2 x2 +y2 +z2 =r2 con la r>0r>0 y situado en el primer octante se representa en la siguiente figura.

La octava parte de una esfera de radio 2 con centro en el origen para x, y, y z positivos.
  1. Escriba la integral triple que da el volumen de EE integrando primero con respecto a z,z, entonces con y,y, y luego con x.x.
  2. Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en otros cinco órdenes.
228.

El sólido EE limitado por la ecuación 9x2 +4y2 +z2 =19x2 +4y2 +z2 =1 y situado en el primer octante se representa en la siguiente figura.

En el primer octante se muestra una forma compleja que es aproximadamente un ovoide sólido con centro en el origen, altura 1, anchura 0,5 y longitud 0,35.
  1. Escriba la integral triple que da el volumen de EE integrando primero con respecto a z,z, entonces con y,y, y luego con x.x.
  2. Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en otros cinco órdenes.
229.

Calcule el volumen del prisma con vértices (0,0,0),(2 ,0,0),(2 ,3,0),(0,0,0),(2 ,0,0),(2 ,3,0), (0,3,0),(0,0,1),y(2 ,0,1).(0,3,0),(0,0,1),y(2 ,0,1).

230.

Calcule el volumen del prisma con vértices (0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0), (0,6,0),(0,0,1),y(4,0,1).(0,6,0),(0,0,1),y(4,0,1).

231.

El sólido EE limitado por z=102 xyz=102 xy y situado en el primer octante se presenta en la siguiente figura. Calcule el volumen del sólido.

Un tetraedro limitado por los planos x y, y z, y x z, y un triángulo con vértices (0, 0, 10), (5, 0, 0) y (0, 10, 0).
232.

El sólido EE limitado por z=1x2 z=1x2 y situado en el primer octante se presenta en la siguiente figura. Calcule el volumen del sólido.

Una forma compleja en el primer octante con altura 1, anchura 5 y longitud 1. La forma parece ser una cuarta parte ligeramente deformado de un cilindro de radio 1 y anchura 5.
233.

La regla del punto medio para la integral triple Bf(x,y,z)dVBf(x,y,z)dV sobre la caja sólida rectangular BB es una generalización de la regla del punto medio para integrales dobles. La región BB se divide en subcajas de igual tamaño y la integral se aproxima mediante la triple suma de Riemann i=1lj=1mk=1nf(xi,yj,zk)ΔV,i=1lj=1mk=1nf(xi,yj,zk)ΔV, donde (xi,yj,zk)(xi,yj,zk) es el centro de la caja BijkBijk y ΔVΔV es el volumen de cada subcaja. Aplique la regla del punto medio para aproximar Bx2 dVBx2 dV sobre el sólido B={(x,y,z)|0x1,0y1,0z1}B={(x,y,z)|0x1,0y1,0z1} utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.

234.

[T]

  1. Aplique la regla del punto medio para aproximar Bex2 dVBex2 dV sobre el sólido B={(x,y,z)|0x1,0y1,0z1}B={(x,y,z)|0x1,0y1,0z1} utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.
  2. Utilice un CAS para mejorar la aproximación integral anterior en el caso de una partición de n3n3 cubos de igual tamaño, donde nn =3,4,…,10.nn =3,4,…,10.
235.

Supongamos que la temperatura en grados Celsius en un punto (x,y,z)(x,y,z) de un sólido EE limitado por los planos de coordenadas y x+y+z=5x+y+z=5 ¿es T(x,y,z)=xz+5z+10.T(x,y,z)=xz+5z+10. Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

236.

Supongamos que la temperatura en grados Fahrenheit en un punto (x,y,z)(x,y,z) de un sólido EE limitado por los planos de coordenadas y x+y+z=5x+y+z=5 ¿es T(x,y,z)=x+y+xy.T(x,y,z)=x+y+xy. Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

237.

Demuestre que el volumen de una pirámide cuadrada recta de altura hh y longitud del lado aa ¿es v=ha2 3v=ha2 3 utilizando integrales triples.

238.

Demuestre que el volumen de un prisma regular hexagonal recto de longitud de arista aa ¿es 3a332 3a332 utilizando integrales triples.

239.

Demuestre que el volumen de una pirámide hexagonal recta regular de longitud de arista aa ¿es a332 a332 utilizando integrales triples.

240.

Si la densidad de carga en un punto arbitrario (x,y,z)(x,y,z) de un sólido EE viene dada por la función ρ(x,y,z),ρ(x,y,z), entonces la carga total dentro del sólido se define como la integral triple Eρ(x,y,z)dV.Eρ(x,y,z)dV. Supongamos que la densidad de carga del sólido EE encerrado por los paraboloides x=5y2 z2 x=5y2 z2 y x=y2 +z2 5x=y2 +z2 5 es igual a la distancia desde un punto arbitrario de EE al origen. Establezca la integral que da la carga total dentro del sólido E.E.

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