Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.5.1 Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas cilíndricas.
5.5.2 Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas esféricas.

Anteriormente en este capítulo mostramos cómo convertir una integral doble en coordenadas rectangulares en una integral doble en coordenadas polares para tratar más convenientemente los problemas que implican simetría circular. Una situación similar ocurre con las integrales triples, pero aquí hay que distinguir entre simetría cilíndrica y simetría esférica. En esta sección convertimos integrales triples en coordenadas rectangulares en una integral triple en coordenadas cilíndricas o esféricas.

Recuerde también el inicio del capítulo, que mostraba el teatro de la ópera l'Hemisphèric en Valencia, España. Tiene cuatro secciones, una de las cuales es un teatro en una esfera (bola) de cinco pisos de altura bajo un techo ovalado tan largo como un campo de fútbol. En el interior hay una pantalla IMAX que convierte la esfera en un planetario con un cielo lleno de $9.000$ estrellas parpadeantes. Utilizando integrales triples en coordenadas esféricas, podemos hallar los volúmenes de diferentes formas geométricas como estas.

Repaso de coordenadas cilíndricas

Como hemos visto antes, en el espacio bidimensional $ℝ^{2},$ un punto con coordenadas rectangulares $(x, y)$ se puede identificar con $(r, θ)$ en coordenadas polares y viceversa, donde $x = r cos θ,$ $y = r sen θ,$ $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ y $tan θ = (\frac{y}{x})$ son las relaciones entre las variables.

En el espacio tridimensional $ℝ^{3},$ un punto con coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ se puede identificar con coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ y viceversa. Podemos utilizar estas mismas relaciones de conversión, añadiendo $z$ como la distancia vertical al punto desde el plano $x y$ como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio xyz, se muestra un punto (x, y, z). También existe una representación en coordenadas polares como (r, theta, z).

Figura 5.50 Las coordenadas cilíndricas son similares a las coordenadas polares con una coordenada vertical

z

añadida.

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, utilizamos la conversión $x = r cos θ$ y $y = r sen θ .$ Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, utilizamos $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ y $θ = {tan}^{–1} (\frac{y}{x}) .$ La coordenada $z$ sigue siendo la misma en ambos casos.

En el plano bidimensional con un sistema de coordenadas rectangulares, cuando decimos $x = k$ (constante) nos referimos a una línea vertical no delimitada paralela al eje $y$ y cuando $y = l$ (constante) nos referimos a una línea horizontal no delimitada paralela al eje $x$ . Con el sistema de coordenadas polares, cuando decimos $r = c$ (constante), nos referimos a un círculo de radio $c$ unidades y cuando $θ = α$ (constante) nos referimos a un rayo infinito que hace un ángulo $α$ con el eje $x$ positivo.

Del mismo modo, en el espacio tridimensional con coordenadas rectangulares $(x, y, z),$ las ecuaciones $x = k, y = l,$ y $z = m,$ donde $k, l,$ y $m$ son constantes, representan planos no delimitados paralelos al plano $y z$ , al plano $x z$ y al plano $x y$ , respectivamente. Con las coordenadas cilíndricas $(r, θ, z),$ entre $r = c, θ = α,$ y $z = m,$ donde $c, α,$ y $m$ son constantes, nos referimos a un cilindro vertical no delimitado con el eje $z$ como su eje radial; un plano que forma un ángulo constante $α$ con el plano $x y$ , y un plano horizontal no delimitado paralelo al plano $x y$ , respectivamente. Esto significa que el cilindro circular $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ se puede representar en coordenadas rectangulares simplemente como $r = c$ en coordenadas cilíndricas (consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver más repaso).

Integración en coordenadas cilíndricas

Las integrales triples, a menudo, se pueden evaluar más fácilmente utilizando coordenadas cilíndricas en vez de coordenadas rectangulares. Algunas ecuaciones comunes de las superficies en coordenadas rectangulares junto con las ecuaciones correspondientes en coordenadas cilíndricas se enumeran en la Tabla 5.1. Estas ecuaciones serán muy útiles a medida que avancemos en resolver problemas mediante integrales triples.

	Cilindro circular	Cono circular	Esfera	Paraboloide
Rectangular	$x^{2} + y^{2} = c^{2}$	$z^{2} = c^{2} (x^{2} + y^{2})$ grandes.	$x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}$	$z = c (x^{2} + y^{2})$
Cilíndrica	$r = c$	$z = c r$	$r^{2} + z^{2} = c^{2}$	$z = c r^{2}$

Tabla 5.1 Ecuaciones de algunas formas comunes

Como antes, empezamos con la región delimitada más sencilla $B$ en $ℝ^{3},$ para describir en coordenadas cilíndricas, en forma de una caja cilíndrica, $B = {(r, θ, z) | a \leq r \leq b, α \leq θ \leq β, c \leq z \leq d}$ (Figura 5.51). Supongamos que dividimos cada intervalo en $l, m y n$ subdivisiones de manera que $Δ r = \frac{b - a}{l}, Δ θ = \frac{β - α}{m},$ y $Δ z = \frac{d - c}{n} .$ Luego podemos enunciar la siguiente definición para una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Se muestra una caja cilíndrica con su proyección sobre el plano de coordenadas polares con radio interior a, radio exterior b y lados definidos por theta = alfa y beta. La caja cilíndrica B comienza en la altura c y llega hasta la altura d con el resto de los valores iguales a la proyección sobre el plano.

Figura 5.51 Una caja cilíndrica

B

descrita por coordenadas cilíndricas.

Definición

Consideremos la caja cilíndrica (expresada en coordenadas cilíndricas)

B = {(r, θ, z) | a \leq r \leq b, α \leq θ \leq β, c \leq z \leq d} .

Si se grafica la función $f (r, θ, z)$ es continuo en $B$ y si $(r_{i j k}^{*}, θ_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*})$ es cualquier punto de muestra en la subcaja cilíndrica $B_{i j k} = [r_{i - 1}, r_{i}] \times [θ_{j - 1}, θ_{j}] \times [z_{k - 1}, z_{k}]$ (Figura 5.51), entonces podemos definir la integral triple en coordenadas cilíndricas como el límite de una triple suma de Riemann, siempre que exista el siguiente límite:

\underset{l, m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f (r_{i j k}^{*}, θ_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*}) r_{i j k}^{*} Δ r Δ θ Δ z .

Observe que si $g (x, y, z)$ es la función en coordenadas rectangulares y la caja $B$ se expresa en coordenadas rectangulares, entonces la integral triple $\underset{B}{∭} g (x, y, z) d V$ es igual a la integral triple $\underset{B}{∭} g (r cos θ, r sen θ, z) r d r d θ d z$ y tenemos

\underset{B}{∭} g (x, y, z) d V = \underset{B}{∭} g (r cos θ, r sen θ, z) r d r d θ d z = \underset{B}{∭} f (r, θ, z) r d r d θ d z .

(5.11)

Como se ha mencionado en la sección anterior, todas las propiedades de una integral doble funcionan bien en las integrales triples, ya sea en coordenadas rectangulares o cilíndricas. También son válidas para las integrales iteradas. Para reiterar, en coordenadas cilíndricas, el teorema de Fubini toma la siguiente forma:

Teorema 5.12

Teorema de Fubini en coordenadas cilíndricas

Supongamos que $g (x, y, z)$ es continua en una caja rectangular $B,$ que, descrita en coordenadas cilíndricas, tiene el siguiente aspecto $B = {(r, θ, z) | a \leq r \leq b, α \leq θ \leq β, c \leq z \leq d} .$

Luego $g (x, y, z) = g (r cos θ, r sen θ, z) = f (r, θ, z)$ y

\underset{B}{∭} g (x, y, z) d V = \int_{c}^{d} \int_{α}^{β} \int_{a}^{b} f (r, θ, z) r d r d θ d z .

La integral iterada puede sustituirse de forma equivalente por cualquiera de las otras cinco integrales iteradas que se obtienen integrando con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Los sistemas de coordenadas cilíndricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un eje, como los cilindros y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de definir la integral triple en coordenadas cilíndricas sobre regiones cilíndricas generales.

Ejemplo 5.43

Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica

Evalúe la integral triple $\underset{B}{∭} (z r sen θ) r d r d θ d z$ donde la caja cilíndrica $B$ es $B = {(r, θ, z) | 0 \leq r \leq 2, 0 \leq θ \leq π / 2, 0 \leq z \leq 4} .$

Solución

Como se indica en el teorema de Fubini, podemos escribir la integral triple como la integral iterada

\underset{B}{∭} (z r sen θ) r d r d θ d z = \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} \int_{r = 0}^{r = 2} \int_{z = 0}^{z = 4} (z r sen θ) r d z d r d θ .

La evaluación de la integral iterada es sencilla. Cada variable de la integral es independiente de las demás, por lo que podemos integrar cada variable por separado y multiplicar los resultados entre sí. Esto facilita mucho el cálculo:

\begin{matrix} \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} \int_{r = 0}^{r = 2} \int_{z = 0}^{z = 4} (z r sen θ) r d z d r d θ \\ = (\int_{0}^{π / 2} sen θ d θ) (\int_{0}^{2} r^{2} d r) (\int_{0}^{4} z d z) = ({− cos θ |}_{0}^{π / 2}) ({\frac{r^{3}}{3} |}_{0}^{2}) ({\frac{z^{2}}{2} |}_{0}^{4}) = \frac{64}{3} . \end{matrix}

Punto de control 5.27

Evalúe la integral triple $\int_{θ = 0}^{θ = π} \int_{r = 0}^{r = 1} \int_{z = 0}^{z = 4} r z sen θ r d z d r d θ .$

Si la región cilíndrica sobre la que tenemos que integrar es un sólido general, miramos las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Por lo tanto, la integral triple de una función continua $f (r, θ, z)$ sobre una región sólida general $E = {(r, θ, z) | (r, θ) \in D, u_{1} (r, θ) \leq z \leq u_{2} (r, θ)}$ en $ℝ^{3},$ donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $r θ$ , es

\underset{E}{∭} f (r, θ, z) r d r d θ d z = \iint_{D} [\int_{u_{1} (r, θ)}^{u_{2} (r, θ)} f (r, θ, z) d z] r d r d θ .

En particular, si $D = {(r, θ) | g_{1} (θ) \leq r \leq g_{2} (θ), α \leq θ \leq β},$ entonces tenemos

\underset{E}{∭} f (r, θ, z) r d r d θ = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = g_{1} (θ)}^{r = g_{2} (θ)} \int_{z = u_{1} (r, θ)}^{z = u_{2} (r, θ)} f (r, θ, z) r d z d r d θ .

Existen fórmulas similares para las proyecciones sobre los demás planos de coordenadas. Podemos utilizar coordenadas polares en esos planos si es necesario.

Ejemplo 5.44

Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región general

Considere la región $E$ dentro del cilindro circular recto con ecuación $r = 2 sen θ,$ delimitada abajo por el plano $r θ$ y delimitada por encima por la esfera de radio $4$ centrada en el origen (Figura 5.52). Establezca una integral triple sobre esta región con una función $f (r, θ, z)$ en coordenadas cilíndricas.

En el espacio de coordenadas polares se muestra una esfera de radio 4 con la ecuación r al cuadrado + z al cuadrado = 16 y cuyo centro es el origen. También hay un cilindro descrito por r = 2 sen theta dentro de la esfera.

Figura 5.52 Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cilíndrica.

Solución

Primero, identifique que la ecuación de la esfera es $r^{2} + z^{2} = 16 .$ Podemos ver que los límites de $z$ son de $0$ al $z = \sqrt{16 - r^{2}} .$ Entonces los límites de $r$ son de $0$ a $r = 2 sen θ .$ Por último, los límites de $θ$ son de $0$ a $π .$ De ahí que la región sea

E = {(r, θ, z) | 0 \leq θ \leq π, 0 \leq r \leq 2 sen θ, 0 \leq z \leq \sqrt{16 - r^{2}}} .

Por lo tanto, la integral triple es

\underset{E}{∭} f (r, θ, z) r d z d r d θ = \int_{θ = 0}^{θ = π} \int_{r = 0}^{r = 2 sen θ} \int_{z = 0}^{z = \sqrt{16 - r^{2}}} f (r, θ, z) r d z d r d θ .

Punto de control 5.28

Considere la región $E$ dentro del cilindro circular recto con ecuación $r = 2 sen θ,$ delimitada abajo por el plano $r θ$ y delimitada por encima por $z = 4 - y .$ Establezca una integral triple con una función $f (r, θ, z)$ en coordenadas cilíndricas.

Ejemplo 5.45

Establecer una integral triple de dos maneras

Supongamos que $E$ es la región delimitada por debajo por el cono $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y por encima por el paraboloide $z = 2 - x^{2} - y^{2} .$ (Figura 5.53). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región, utilizando los siguientes órdenes de integración:

$d z d r d θ$
$d r d z d θ .$

Figura 5.53 Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cónica.

Solución

El cono es de radio 1 donde se encuentra con el paraboloide. Dado que $z = 2 - x^{2} - y^{2} = 2 - r^{2}$ y $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r$ (si suponemos que $r$ no es negativo), tenemos $2 - r^{2} = r .$ Resolviendo, tenemos $r^{2} + r - 2 = (r + 2) (r - 1) = 0 .$ Dado que $r \geq 0,$ tenemos $r = 1 .$ Por lo tanto $z = 1 .$ Así que la intersección de estas dos superficies es un círculo de radio $1$ en el plano $z = 1 .$ El cono es el límite inferior de $z$ y el paraboloide es el límite superior. La proyección de la región sobre el plano $x y$ es el círculo de radio $1$ centrado en el origen.
Por lo tanto, podemos describir la región como

$E = {(r, θ, z) | 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq r \leq 1, r \leq z \leq 2 - r^{2}} .$

Por lo tanto, la integral del volumen es

$V = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 1} \int_{z = r}^{z = 2 - r^{2}} r d z d r d θ .$
También podemos escribir la superficie del cono como $r = z$ y el paraboloide como $r^{2} = 2 - z .$ El límite inferior de $r$ es cero, pero el límite superior es, a veces, el cono y otras veces es el paraboloide. El plano $z = 1$ divide la región en dos regiones. Entonces la región se puede describir como

$\begin{matrix} E & = {(r, θ, z) | 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 1, 0 \leq r \leq z} \\ \cup {(r, θ, z) | 0 \leq θ \leq 2 π, 1 \leq z \leq 2, 0 \leq r \leq \sqrt{2 - z}} . \end{matrix}$

Ahora la integral del volumen se convierte en

$V = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{r = 0}^{r = z} r d r d z d θ + \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{z = 1}^{z = 2} \int_{r = 0}^{r = \sqrt{2 - z}} r d r d z d θ .$

Punto de control 5.29

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración $d θ d z d r .$

Ejemplo 5.46

Hallar un volumen con integrales triples de dos maneras

Supongamos que E es la región delimitada por debajo por el plano $r θ$ , por arriba por la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4,$ y en los laterales por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ (Figura 5.54). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración, y en cada caso halle el volumen y compruebe que las respuestas son las mismas:

$d z d r d θ$
$d r d z d θ .$

Figura 5.54 Hallar un volumen cilíndrico con una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Solución

Observe que la ecuación de la esfera es

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 o r^{2} + z^{2} = 4$

y la ecuación del cilindro es

$x^{2} + y^{2} = 1 o r^{2} = 1 .$

Por lo tanto, tenemos para la región $E$

$E = {(r, θ, z) | 0 \leq z \leq \sqrt{4 - r^{2}}, 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π}$

Por lo tanto, la integral del volumen es

$\begin{matrix} V (E) & = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 1} \int_{z = 0}^{z = \sqrt{4 - r^{2}}} r d z d r d θ \\ = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 1} [{r z |}_{z = 0}^{z = \sqrt{4 - r^{2}}}] d r d θ = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 1} (r \sqrt{4 - r^{2}}) d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{8}{3} - \sqrt{3}) d θ = 2 π (\frac{8}{3} - \sqrt{3}) unidades cúbicas . \end{matrix}$
Dado que la esfera es $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4,$ que es $r^{2} + z^{2} = 4,$ y el cilindro es $x^{2} + y^{2} = 1,$ que es $r^{2} = 1,$ tenemos $1 + z^{2} = 4,$ es decir, $z^{2} = 3 .$ Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en $(1, \sqrt{3})$ en el plano $r z$

$E_{1} = {(r, θ, z) | 0 \leq r \leq \sqrt{4 - r^{2}}, \sqrt{3} \leq z \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π}$

y

$E_{2} = {(r, θ, z) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq z \leq \sqrt{3}, 0 \leq θ \leq 2 π} .$

Por lo tanto, la integral del volumen es

$\begin{matrix} V (E) & = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{z = \sqrt{3}}^{z = 2} \int_{r = 0}^{r = \sqrt{4 - r^{2}}} r d r d z d θ + \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{z = 0}^{z = \sqrt{3}} \int_{r = 0}^{r = 1} r d r d z d θ \\ = \sqrt{3} π + (\frac{16}{3} - 3 \sqrt{3}) π = 2 π (\frac{8}{3} - \sqrt{3}) unidades cúbicas . \end{matrix}$

Punto de control 5.30

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración $d θ d z d r .$

Repaso de coordenadas esféricas

En el espacio tridimensional $ℝ^{3}$ en el sistema de coordenadas esféricas, especificamos un punto $P$ por su distancia $ρ$ desde el origen, el ángulo polar $θ$ del eje positivo de la $x$ (igual que en el sistema de coordenadas cilíndricas), y el ángulo $φ$ del eje positivo de la $z$ y la línea $O P$ (Figura 5.55). Observe que $ρ \geq 0$ y $0 \leq φ \leq π .$ (Consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver un repaso). Las coordenadas esféricas son útiles para las integrales triples sobre regiones que son simétricas con respecto al origen.

Una representación del sistema de coordenadas esféricas: se muestra un punto (x, y, z) que es igual a (rho, theta, phi) en coordenadas esféricas. Rho sirve como el radio esférico, theta sirve como el ángulo desde el eje x en el plano xy, y phi sirve como el ángulo desde el eje z.

Figura 5.55 El sistema de coordenadas esféricas localiza puntos con dos ángulos y una distancia desde el origen.

Recuerde las relaciones que conectan las coordenadas rectangulares con las coordenadas esféricas.

De coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares:

x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, y z = ρ cos φ .

De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:

ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}, tan θ = \frac{y}{x}, φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) .

Otras relaciones que es importante conocer para las conversiones son

\begin{matrix} • & r = ρ sen φ \\ • & θ = θ & \begin{matrix} Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas \end{matrix} \\ • & z = ρ cos φ \end{matrix}

y

\begin{matrix} • & ρ = \sqrt{r^{2} + z^{2}} \\ • & θ = θ & \begin{matrix} Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ coordenadas cilíndricas a coordenadas \\ esféricas. \end{matrix} \\ • & φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}}) \end{matrix}

La siguiente figura muestra algunas regiones sólidas que es conveniente expresar en coordenadas esféricas.

Esta imagen está formada por cuatro figuras. En la primera, se muestra una esfera con la nota esfera rho = c (constante). En la segunda, se dibuja un semiplano desde el eje z con la nota semiplano theta = c (constante). En las dos últimas figuras, se dibuja un medio cono en cada una con la nota medio cono phi = c (constante). En el primero de estos, el cono se abre y se marca como 0 < c < pi/2. En el segundo de estos, el cono se abre hacia abajo y se marca como pi/2 < c < pi.

Figura 5.56 Las coordenadas esféricas son especialmente convenientes para trabajar con sólidos limitados por este tipo de superficies. (La letra

c

indica una constante).

Integración en coordenadas esféricas

Ahora establecemos una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, como hicimos antes en el sistema de coordenadas cilíndricas. Supongamos que la función $f (ρ, θ, φ)$ sea continua en una caja esférica delimitada, $B = {(ρ, θ, φ) | a \leq ρ \leq b, α \leq θ \leq β, γ \leq φ \leq ψ} .$ Luego, dividimos cada intervalo en subdivisiones $l, m y n$ subdivisiones de manera que $Δ ρ = \frac{b - a}{l}, Δ θ = \frac{β - α}{m}, Δ φ = \frac{ψ - γ}{n} .$

Ahora podemos ilustrar el siguiente teorema para integrales triples en coordenadas esféricas con $(ρ_{i j k}^{*}, θ_{i j k}^{*}, φ_{i j k}^{*})$ que sería cualquier punto de muestra en la subcaja esférica $B_{i j k} .$ Para el elemento de volumen de la subcaja $Δ V$ en coordenadas esféricas, tenemos $Δ V = (Δ ρ) (ρ Δ φ) (ρ sen φ Δ θ),,$ como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio de coordenadas esféricas, una caja se proyecta sobre el plano de coordenadas polares. En el plano de coordenadas polares, la proyección tiene el área rho sen phi delta theta. En el eje z, se indica una distancia delta rho, y a partir de estos límites, se realizan ángulos que se proyectan a través de los bordes de la caja. También hay una versión ampliada de la caja que muestra que tiene lados delta rho, rho delta phi y rho sen phi delta theta, con un volumen total delta V = rho al cuadrado sen phi delta rho delta phi delta theta.

Figura 5.57 El elemento de volumen de una caja en coordenadas esféricas.

Definición

La integral triple en coordenadas esféricas es el límite de una triple suma de Riemann,

\underset{l, m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f (ρ_{i j k}^{*}, θ_{i j k}^{*}, φ_{i j k}^{*}) {(ρ_{i j k}^{*})}^{2} sen φ Δ ρ Δ θ Δ φ

siempre que exista el límite.

Al igual que con las otras integrales múltiples que hemos examinado, todas las propiedades funcionan de forma similar para una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, y lo mismo ocurre con las integrales iteradas. El teorema de Fubini tiene la siguiente forma.

Teorema 5.13

Teorema de Fubini para coordenadas esféricas

Si los valores de $f (ρ, θ, φ)$ es continua en una caja sólida esférica $B = [a, b] \times [α, β] \times [γ, ψ],$ entonces

\underset{B}{∭} f (ρ, θ, φ) ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ = \int_{φ = γ}^{φ = ψ} \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{ρ = a}^{ρ = b} f (ρ, θ, φ) ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .

(5.12)

Esta integral iterada puede sustituirse por otras integrales iteradas al integrar con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Como ya se ha dicho, los sistemas de coordenadas esféricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un punto, como las esferas y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de considerar las integrales triples en coordenadas esféricas sobre regiones esféricas generales.

Ejemplo 5.47

Evaluar una integral triple en coordenadas esféricas

Evalúe la integral triple iterada $\int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{φ = 0}^{φ = π / 2} \int_{p = 0}^{ρ = 1} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$

Solución

Como antes, en este caso las variables de la integral iterada son en realidad independientes entre sí y, por tanto, podemos integrar cada trozo y multiplicar:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{1} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π / 2} sen φ d φ \int_{0}^{1} ρ^{2} d ρ = (2 π) (1) (\frac{1}{3}) = \frac{2 π}{3} .

El concepto de integración triple en coordenadas esféricas puede extenderse a la integración sobre un sólido general, utilizando las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Observe que $d V$ y $d A$ significan incrementos de volumen y área, respectivamente. Las variables $V$ y $A$ se utilizan como variables de integración para expresar las integrales.

La integral triple de una función continua $f (ρ, θ, φ)$ sobre una región sólida general

E = {(ρ, θ, φ) | (ρ, θ) \in D, u_{1} (ρ, θ) \leq φ \leq u_{2} (ρ, θ)}

en $ℝ^{3},$ donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $ρ θ$ , es

\underset{E}{∭} f (ρ, θ, φ) d V = \iint_{D} [\int_{u_{1} (ρ, θ)}^{u_{2} (ρ, θ)} f (ρ, θ, φ) d φ] d A .

En particular, si $D = {(ρ, θ) | g_{1} (θ) \leq ρ \leq g_{2} (θ), α \leq θ \leq β},$ entonces tenemos

\underset{E}{∭} f (ρ, θ, φ) d V = \int_{α}^{β} \int_{g_{1} (θ)}^{g_{2} (θ)} \int_{u_{1} (ρ, θ)}^{u_{2} (ρ, θ)} f (ρ, θ, φ) ρ^{2} sen φ d φ d ρ d θ .

Fórmulas similares surgen para proyecciones sobre los otros planos de coordenadas.

Ejemplo 5.48

Establecer una integral triple en coordenadas esféricas

Establezca una integral para el volumen de la región delimitada por el cono $z = \sqrt{3 (x^{2} + y^{2})}$ y la semiesfera $z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ (vea la siguiente figura).

Una semiesfera con ecuación z = la raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado menos y al cuadrado) en el semiplano superior, y dentro de él, un cono con ecuación z = la raíz cuadrada de (3 por (x al cuadrado + y al cuadrado)) que apunta hacia abajo, con vértice en el origen.

Figura 5.58 Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una semiesfera.

Solución

Utilizando las fórmulas de conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, tenemos:

Para el cono: $z = \sqrt{3 (x^{2} + y^{2})}$ o $ρ cos φ = \sqrt{3} ρ sen φ$ o $tan φ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ o $φ = \frac{π}{6} .$

Para la esfera: $z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ o $z^{2} + x^{2} + y^{2} = 4$ o $ρ^{2} = 4$ o $ρ = 2 .$

Por lo tanto, la integral triple para el volumen es $V (E) = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{ϕ = 0}^{φ = π / 6} \int_{ρ = 0}^{ρ = 2} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$

Punto de control 5.31

Establezca una integral triple para el volumen de la región sólida delimitada por encima por la esfera $ρ = 2$ y delimitada por debajo por el cono $φ = π / 3 .$

Ejemplo 5.49

Intercambiar el orden de integración en coordenadas esféricas

Supongamos que $E$ es la región delimitada por debajo por el cono $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y por encima por la esfera $z = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ (Figura 5.59). Establezca una integral triple en coordenadas esféricas y halle el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración:

$d ρ d ϕ d θ,$
$d φ d ρ d θ .$

Figura 5.59 Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una esfera.

Solución

Utilice las fórmulas de conversión para escribir las ecuaciones de la esfera y el cono en coordenadas esféricas.
Para la esfera:

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} & = & z \\ ρ^{2} & = & ρ cos φ \\ ρ & = & cos φ . \end{matrix}$

Para el cono:

$\begin{matrix} z & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ ρ cos φ & = & \sqrt{ρ^{2} {sen}^{2} φ {cos}^{2} ϕ + ρ^{2} {sen}^{2} φ {sen}^{2} ϕ} \\ ρ cos φ & = & \sqrt{ρ^{2} {sen}^{2} φ ({cos}^{2} ϕ + {sen}^{2} ϕ)} \\ ρ cos φ & = & ρ sen φ \\ cos φ & = & sen φ \\ φ & = & π / 4 . \end{matrix}$

Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida $E$ se convierte en

$V (E) = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{φ = 0}^{φ = π / 4} \int_{ρ = 0}^{ρ = cos φ} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$
Considere el plano $φ ρ$ . Observe que los rangos de $φ$ y $ρ$ (de la parte a.) son

$\begin{matrix} 0 \leq φ \leq π / 4 \\ 0 \leq ρ \leq cos φ . \end{matrix}$

La curva $ρ = cos φ$ se encuentra con la línea $φ = π / 4$ en el punto $(π / 4, \sqrt{2} / 2) .$ Por lo tanto, para cambiar el orden de integración, necesitamos utilizar dos piezas:

$\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \leq ρ \leq \sqrt{2} / 2 \\ 0 \leq φ \leq π / 4 \end{matrix} & y & \begin{matrix} \sqrt{2} / 2 & \leq & ρ \leq 1 \\ 0 & \leq & φ \leq {cos}^{−1} ρ . \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida $E$ se convierte en

$V (E) = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{ρ = 0}^{ρ = \sqrt{2} / 2} \int_{φ = 0}^{φ = π / 4} ρ^{2} sen φ d φ d ρ d θ + \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{ρ = \sqrt{2} / 2}^{ρ = 1} \int_{φ = 0}^{φ = {cos}^{−1} ρ} ρ^{2} sen φ d φ d ρ d θ .$

En cada caso, la integración da como resultado $V (E) = \frac{π}{8} .$

Antes de terminar esta sección, presentamos un par de ejemplos que pueden ilustrar la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Ejemplo 5.50

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas cilíndricas:

\int_{y = −1}^{y = 1} \int_{x = 0}^{x = \sqrt{1 - y^{2}}} \int_{z = x^{2} + y^{2}}^{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}} x y z d z d x d y .

Solución

Los rangos de las variables son

\begin{matrix} - 1 & \leq & y \leq 1 \\ 0 & \leq & x \leq \sqrt{1 - y^{2}} \\ x^{2} + y^{2} & \leq & z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}

Las dos primeras inecuaciones describen la mitad derecha de un círculo de radio $1 .$ Por lo tanto, los rangos de $θ$ y $r$ son

- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} y 0 \leq r \leq 1 .

Los límites de $z$ son $r^{2} \leq z \leq r,$ por lo tanto

\int_{y = −1}^{y = 1} \int_{x = 0}^{x = \sqrt{1 - y^{2}}} \int_{z = x^{2} + y^{2}}^{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}} x y z d z d x d y = \int_{θ = − π / 2}^{θ = π / 2} \int_{r = 0}^{r = 1} \int_{z = r^{2}}^{z = r} r (r cos θ) (r sen θ) z d z d r d θ .

Ejemplo 5.51

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas esféricas:

\int_{y = 0}^{y = 3} \int_{x = 0}^{x = \sqrt{9 - y^{2}}} \int_{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{z = \sqrt{18 - x^{2} - y^{2}}} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d z d x d y .

Solución

Los rangos de las variables son

\begin{matrix} 0 & \leq & y \leq 3 \\ 0 & \leq & x \leq \sqrt{9 - y^{2}} \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \leq & z \leq \sqrt{18 - x^{2} - y^{2}} . \end{matrix}

Los dos primeros rangos de variables describen un cuarto de disco en el primer cuadrante del plano $x y$ . Por lo tanto, el rango para $θ$ es $0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .$

El límite inferior $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ es la mitad superior de un cono y el límite superior $z = \sqrt{18 - x^{2} - y^{2}}$ es la mitad superior de una esfera. Por lo tanto, tenemos $0 \leq ρ \leq \sqrt{18},$ que es $0 \leq ρ \leq 3 \sqrt{2} .$

Para los rangos de $φ,$ necesitamos calcular el punto de intersección entre el cono y la esfera, por lo que hay que despejar la ecuación

\begin{matrix} r^{2} + z^{2} & = & 18 \\ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} + z^{2} & = & 18 \\ z^{2} + z^{2} & = & 18 \\ 2 z^{2} & = & 18 \\ z^{2} & = & 9 \\ z & = & 3. \end{matrix}

Esto da

\begin{matrix} 3 \sqrt{2} cos φ & = & 3 \\ cos φ & = & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ φ & = & \frac{π}{4} . \end{matrix}

Uniendo todo esto, obtenemos

\int_{y = 0}^{y = 3} \int_{x = 0}^{x = \sqrt{9 - y^{2}}} \int_{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{z = \sqrt{18 - x^{2} - y^{2}}} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d z d x d y = \int_{φ = 0}^{φ = π / 4} \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} \int_{ρ = 0}^{ρ = 3 \sqrt{2}} ρ^{4} sen φ d ρ d θ d φ .

Punto de control 5.32

Utilice las coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas para establecer integrales triples para hallar el volumen de la región dentro de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ pero fuera del cilindro $x^{2} + y^{2} = 1 .$

Una esfera con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado + z al cuadrado = 4, y dentro de ella, un cilindro con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado = 1.

Ahora que estamos familiarizados con el sistema de coordenadas esféricas, vamos a hallar el volumen de algunas figuras geométricas conocidas, como las esferas y los elipsoides.

Ejemplo 5.52

Inicio del capítulo: Hallar el volumen de l'Hemisphèric

Hallar el volumen del planetario esférico de l'Hemisphèric de Valencia, España, que tiene cinco pisos de altura y un radio de aproximadamente $50$ ft, utilizando la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} .$

Una imagen de l'Hemisphèric, que es una gigantesca estructura de cristal con forma de elipsoide

Figura 5.60 (créditos: modificación del trabajo de Javier Yaya Tur, Wikimedia Commons).

Solución

Calculamos el volumen de la bola en el primer octante, donde $x \geq 0, y \geq 0,$ y $z \geq 0,$ utilizando coordenadas esféricas, y luego multiplicamos el resultado por $8$ para la simetría. Dado que consideramos la región $D$ como el primer octante de la integral, los rangos de las variables son

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}, 0 \leq ρ \leq r, 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .

Por lo tanto,

\begin{matrix} V & = \underset{D}{∭} d x d y d z = 8 \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} \int_{ρ = 0}^{ρ = π} \int_{φ = 0}^{φ = π / 2} ρ^{2} sen θ d φ d ρ d θ \\ = 8 \int_{φ = 0}^{φ = π / 2} d φ \int_{ρ = 0}^{ρ = r} ρ^{2} d ρ \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} sen θ d θ \\ = 8 (\frac{π}{2}) (\frac{r^{3}}{3}) (1) \\ = \frac{4}{3} π r^{3} . \end{matrix}

Esto coincide exactamente con lo que sabíamos. Así, para una esfera con un radio de aproximadamente $50$ ft, el volumen es $\frac{4}{3} π {(50)}^{3} \approx 523.600 {pies}^{3} .$

Para el siguiente ejemplo hallaremos el volumen de un elipsoide.

Ejemplo 5.53

Hallar el volumen de un elipsoide

Halle el volumen del elipsoide $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 .$

Solución

Volvemos a utilizar la simetría y evaluamos el volumen del elipsoide utilizando coordenadas esféricas. Como antes, utilizamos el primer octante $x \geq 0, y \geq 0,$ y $z \geq 0$ y luego multiplicamos el resultado por $8 .$

En este caso los rangos de las variables son

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}, 0 \leq ρ \leq \frac{π}{2}, 0 \leq ρ \leq 1, y 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .

Además, tenemos que cambiar las coordenadas rectangulares a esféricas de esta manera:

x = a ρ cos φ sen θ, y = b ρ sen φ sen θ, y z = c ρ cos θ .

Entonces el volumen del elipsoide se convierte en

\begin{matrix} V & = \underset{D}{∭} d x d y d z \\ = 8 \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} \int_{ρ = 0}^{ρ = 1} \int_{φ = 0}^{φ = π / 2} a b c ρ^{2} sen θ d φ d ρ d θ \\ = 8 a b c \int_{φ = 0}^{φ = π / 2} d φ \int_{ρ = 0}^{ρ = 1} ρ^{2} d ρ \int_{θ = 0}^{θ = π / 2} sen θ d θ \\ = 8 a b c (\frac{π}{2}) (\frac{1}{3}) (1) \\ = \frac{4}{3} π a b c . \end{matrix}

Ejemplo 5.54

Hallar el volumen del espacio dentro de un elipsoide y fuera de una esfera

Halle el volumen del espacio dentro del elipsoide $\frac{x^{2}}{75^{2}} + \frac{y^{2}}{80^{2}} + \frac{z^{2}}{90^{2}} = 1$ y fuera de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 50^{2} .$

Solución

Este problema está directamente relacionado con la estructura del l'Hemisphèric. El volumen del espacio dentro del elipsoide y fuera de la esfera podría ser útil para hallar el gasto de calefacción o refrigeración de ese espacio. Podemos utilizar los dos ejemplos anteriores para el volumen de la esfera y el elipsoide y luego restar.

Primero hallamos el volumen del elipsoide utilizando $a = 75 pies,$ $b = 80 pies,$ y $c = 90 pies$ en el resultado del Ejemplo 5.53. Por lo tanto, el volumen del elipsoide es

V_{elipsoide} = \frac{4}{3} π (75) (80) (90) \approx 2262000 {pies}^{3} .

A partir del Ejemplo 5.52, el volumen de la esfera es

V_{esfera} \approx 523.600 {pies}^{3} .

Por lo tanto, el volumen del espacio dentro del elipsoide $\frac{x^{2}}{75^{2}} + \frac{y^{2}}{80^{2}} + \frac{z^{2}}{90^{2}} = 1$ y fuera de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 50^{2}$ es aproximadamente

V_{Semiesférico} = V_{elipsoide} - V_{esfera} = 1738400 {pies}^{3} .

Proyecto de estudiante

Globos aerostáticos

El vuelo en globo aerostático es un pasatiempo relajante y tranquilo que gusta a mucha gente. En todo el mundo se celebran numerosos encuentros de globeros, como la Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque. El evento de Albuquerque es el mayor festival de globos aerostáticos del mundo, con más de $500$ globos que participan cada año.

Figura 5.61 Globos despegando en la

Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque

de 2001 (créditos: David Herrera, Flickr).

Como su nombre indica, los globos aerostáticos utilizan aire caliente para generar sustentación (el aire caliente es menos denso que el aire frío, por lo que el globo flota mientras el aire caliente se mantenga caliente). El calor lo genera un quemador de propano suspendido bajo la abertura de la cesta. Una vez que el globo despega, el piloto controla la altitud del globo, ya sea utilizando el quemador para calentar el aire y ascender o utilizando un respiradero cerca de la parte superior del globo para liberar el aire calentado y descender. Sin embargo, el piloto tiene muy poco control sobre el rumbo del globo, que está a merced de los vientos. La incertidumbre sobre dónde acabaremos es una de las razones por las que los globeros se sienten atraídos por este deporte.

En este proyecto utilizamos las integrales triples para aprender más sobre los globos aerostáticos. Modelamos el globo en dos piezas. La parte superior del globo está modelada por una media esfera de radio de $28$ pies. La parte inferior del globo está modelada por un tronco de un cono (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). El radio del extremo grande del tronco es de $28$ pies y el radio del extremo pequeño del tronco es de $6$ pies. En la siguiente figura se muestra un gráfico de nuestro modelo de globo y un diagrama transversal que muestra las dimensiones.

Esta figura consta de dos partes, a y b. La figura a muestra una representación de un globo aerostático en el espacio xyz como una media esfera sobre un tronco de un cono. La figura b muestra las dimensiones, es decir, el radio de la media esfera es de 28 ft, la distancia desde el fondo hasta la parte superior del tronco es de 44 ft y el diámetro del círculo en la parte superior del tronco es de 12 ft.

Figura 5.62 (a) Utilice una media esfera para modelar la parte superior del globo y un tronco de un cono para modelar la parte inferior del globo. (b) Una sección transversal del globo mostrando sus dimensiones.

Primero, queremos hallar el volumen del globo. Si observamos la parte superior y la parte inferior del globo por separado, vemos que son sólidos geométricos con fórmulas de volumen conocidas. Sin embargo, sigue siendo conveniente establecer y evaluar las integrales que necesitaríamos para hallar el volumen. Si calculamos el volumen mediante integración, podemos utilizar las fórmulas de volumen conocidas para comprobar nuestras respuestas. Esto ayudará a asegurar que tenemos las integrales correctamente configuradas para las etapas posteriores y más complicadas del proyecto.

Halle el volumen del globo de dos maneras.
1. Utilice las integrales triples para calcular el volumen. Considere cada parte del globo por separado (considere la posibilidad de utilizar coordenadas esféricas para la parte superior y coordenadas cilíndricas para la parte inferior).
2. Compruebe la respuesta utilizando las fórmulas para el volumen de una esfera, $V = \frac{4}{3} π r^{3},$ y para el volumen de un cono, $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$
En realidad, calcular la temperatura en un punto del interior del globo es una tarea tremendamente complicada. De hecho, toda una rama de la física (la termodinámica) se dedica a estudiar el calor y la temperatura. Sin embargo, para los fines de este proyecto, haremos algunas suposiciones simplificadoras sobre cómo varía la temperatura de un punto a otro dentro del globo. Supongamos que justo antes del despegue, la temperatura (en grados Fahrenheit) del aire dentro del globo varía según la función

$T_{0} (r, θ, z) = \frac{z - r}{10} + 210 .$
¿Cuál es la temperatura media del aire en el globo justo antes del despegue? (De nuevo, mire cada parte del globo por separado, y no olvide convertir la función en coordenadas esféricas cuando mire la parte superior del globo).
Ahora el piloto activa el quemador durante $10$ segundos. Esta acción afecta a la temperatura en una columna de $12$ pies de ancho y $20$ pies de altura, directamente sobre el quemador. En la siguiente figura se muestra una sección transversal del globo que representa esta columna.

Figura 5.63 La activación del quemador calienta el aire en una columna de $20$ pies de altura y $12$ de ancho directamente sobre el quemador.

Supongamos que después de que el piloto active el quemador por $10$ segundos, la temperatura del aire en la columna descrita aumenta según la fórmula

$H (r, θ, z) = −2 z - 48 .$

Entonces la temperatura del aire en la columna está dada por

$T_{1} (r, θ, z) = \frac{z - r}{10} + 210 + (−2 z - 48),$

mientras que la temperatura en el resto del globo sigue estando dada por

$T_{0} (r, θ, z) = \frac{z - r}{10} + 210 .$
Calcule la temperatura media del aire en el globo después de que el piloto haya activado el quemador durante $10$ segundos.

Sección 5.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples $\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V$ sobre el sólido $B .$

241.

$f (x, y, z) = z,$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} \leq 9, x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1}$

Un cuarto de sección de un cilindro con altura 1 y radio 3.

242.

$f (x, y, z) = x z^{2},$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} \leq 16, x \geq 0, y \leq 0, −1 \leq z \leq 1}$

243.

$f (x, y, z) = x y,$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, x \geq y, −1 \leq z \leq 1}$

Una cuña con radio 1, altura 1 y ángulo pi/4.

244.

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2},$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, x \leq y, 0 \leq z \leq 3}$

245.

$f (x, y, z) = e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},$ $B = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, y \leq 0, x \leq y \sqrt{3}, 2 \leq z \leq 3}$

246.

$f (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $B = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9, y \leq 0, 0 \leq z \leq 1}$

247.

Supongamos que $B$ es una capa cilíndrica con radio interior $a,$ radio exterior $b,$ y altura $c,$ donde $0 < a < b$ y $c > 0 .$ Supongamos que una función $F$ definida en $B$ puede expresarse en coordenadas cilíndricas como $F (x, y, z) = f (r) + h (z),$ donde $f$ y $h$ son funciones diferenciables. Si los valores de $\int_{a}^{b} \tilde{f} (r) d r = 0$ y $\tilde{h} (0) = 0,$ donde $\tilde{f}$ y $\tilde{h}$ son antiderivadas de $f$ y $h,$ respectivamente, demuestre que

$\underset{B}{∭} F (x, y, z) d V = 2 π c (b \tilde{f} (b) - a \tilde{f} (a)) + π (b^{2} - a^{2}) \tilde{h} (c) .$
Utilice el resultado anterior para demostrar que $\underset{B}{∭} (z + sen \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y d z = 6 π^{2} (π - 2),$ donde $B$ es una capa cilíndrica con radio interior $π,$ radio exterior $2 π,$ y altura $2 .$

248.

Supongamos que $B$ es una capa cilíndrica con radio interior $a,$ radio exterior $b,$ y altura $c,$ donde $0 < a < b$ y $c > 0 .$ Supongamos que una función $F$ definida en $B$ puede expresarse en coordenadas cilíndricas como $F (x, y, z) = f (r) g (θ) h (z),$ donde $f, g, y h$ son funciones diferenciables. Si los valores de $\int_{a}^{b} \tilde{f} (r) d r = 0,$ donde $\tilde{f}$ es una antiderivada de $f,$ demuestre que

$\underset{B}{∭} F (x, y, z) d V = [b \tilde{f} (b) - a \tilde{f} (a)] [\tilde{g} (2 π) - \tilde{g} (0)] [\tilde{h} (c) - \tilde{h} (0)],$

donde $\tilde{g}$ y $\tilde{h}$ son antiderivadas de $g$ y $h,$ respectivamente.
Utilice el resultado anterior para demostrar que $\underset{B}{∭} z sen \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y d z = –12 π^{2},$ donde $B$ es una capa cilíndrica con radio interior $π,$ radio exterior $2 π,$ y altura $2 .$

En los siguientes ejercicios, los límites del sólido $E$ se dan en coordenadas cilíndricas.

Exprese la región $E$ en coordenadas cilíndricas.
Convierta la integral $\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V$ a coordenadas cilíndricas.

249.

$E$ está delimitado por el cilindro circular derecho $r = 4 sen θ,$ el plano $r θ$ , y la esfera $r^{2} + z^{2} = 16 .$

250.

$E$ está fuera del cilindro circular derecho $r = cos θ,$ por encima del plano $x - y$ y al interior de la esfera $r^{2} + z^{2} = 9 .$

251.

$E$ se encuentra en el primer octante y está delimitado por el paraboloide circular $z = 9 - 3 r^{2},$ el cilindro $r = \sqrt{3},$ y el plano $r (cos θ + sen θ) = 20 - z .$

252.

$E$ se encuentra en el primer octante fuera del paraboloide circular $z = 10 - 2 r^{2}$ y en el interior del cilindro $r = \sqrt{5}$ y está delimitado también por los planos $z = 20$ y $θ = \frac{π}{4} .$

En los siguientes ejercicios, la función $f$ y la región $E$ están dados.

Exprese la región $E$ y la función $f$ en coordenadas cilíndricas.
Convierta la integral $\underset{B}{∭} f (x, y, z) d V$ en coordenadas cilíndricas y evalúela.

253.

$f (x, y, z) = \frac{1}{x + 3},$ $E = {(x, y, z) | 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9, x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq x + 3}$

254.

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2},$ $E = {(x, y, z) | 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 0, 0 \leq z \leq 3 - x}$

255.

$f (x, y, z) = x,$ $E = {(x, y, z) | 1 \leq y^{2} + z^{2} \leq 9, 0 \leq x \leq 1 - y^{2} - z^{2}}$

256.

$f (x, y, z) = y,$ $E = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + z^{2} \leq 9, 0 \leq y \leq 1 - x^{2} - z^{2}}$

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido $E$ cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

257.

$E$ está por encima del plano $x y$ , dentro del cilindro $x^{2} + y^{2} = 1,$ y por debajo del plano $z = 1 .$

258.

$E$ está por debajo del plano $z = 1$ y dentro del paraboloide $z = x^{2} + y^{2} .$

259.

$E$ está delimitado por el cono circular $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y $z = 1 .$

260.

$E$ se encuentra por encima del plano $x y$ , debajo de $z = 1,$ fuera de la hiperboloide de una hoja $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1,$ y en el interior del cilindro $x^{2} + y^{2} = 2 .$

261.

$E$ se encuentra en el interior del cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ y entre los paraboloides circulares $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ y $z = x^{2} + y^{2} .$

262.

$E$ se encuentra en el interior de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1,$ por encima del plano $x y$ y en el interior del cono circular $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

263.

$E$ se encuentran en el interior del cono circular $x^{2} + y^{2} = {(z - 1)}^{2}$ y entre los planos $z = 0$ y $z = 2 .$

264.

$E$ se encuentra fuera del cono circular $z = 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ por encima del plano $x y$ , debajo del paraboloide circular y entre los planos $z = 0 y z = 2 .$

265.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas $\int_{− π / 2}^{π / 2} \int_{0}^{1} \int_{r^{2}}^{r} r d z d r d θ .$ Halle el volumen $V$ del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

266.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas $\int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{1} \int_{r^{4}}^{r} r d z d r d θ .$ Halle el volumen $V$ del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

267.

Convierta la integral $\int_{0}^{1} \int_{− \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \int_{x^{2} + y^{2}}^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} x z d z d x d y$ en una integral en coordenadas cilíndricas.

268.

Convierta la integral $\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{1} (x y + z) d z d x d y$ en una integral en coordenadas cilíndricas.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral triple $\underset{B}{∭} f (x, y, z) d V$ sobre el sólido $B .$

269.

$f (x, y, z) = 1,$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 90, z \geq 0}$

Una media esfera rellena con un radio 3 veces la raíz cuadrada de 10.

270.

$f (x, y, z) = 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},$ $B = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, y \geq 0, z \geq 0}$

Un cuarto de sección de un ovoide con altura 8, anchura 8 y longitud 18.

271.

$f (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $B$ está delimitado por encima por la semiesfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ con la $z \geq 0$ y por debajo por el cono $2 z^{2} = x^{2} + y^{2} .$

272.

$f (x, y, z) = z,$ $B$ está delimitado por encima por la semiesfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ con la $z \geq 0$ y por debajo por el cono $2 z^{2} = x^{2} + y^{2} .$

273.

Demuestre que si $F (ρ, θ, φ) = f (ρ) g (θ) h (φ)$ es una función continua en la caja esférica $B = {(ρ, θ, φ) | a \leq ρ \leq b, α \leq θ \leq β, γ \leq φ \leq ψ},$ entonces

\underset{B}{∭} F d V = (\int_{a}^{b} ρ^{2} f (ρ) d r) (\int_{α}^{β} g (θ) d θ) (\int_{γ}^{ψ} h (φ) sen φ d φ) .

274.

Una función $F$ se dice que tiene simetría esférica si solo depende de la distancia al origen, es decir, se puede expresar en coordenadas esféricas como $F (x, y, z) = f (ρ),$ donde $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .$ Demuestre que

$\underset{B}{∭} F (x, y, z) d V = 2 π \int_{a}^{b} ρ^{2} f (ρ) d ρ,$

donde $B$ es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios $a$ y $b$ centrada en el origen, con $0 < a < b$ y $F$ una función esférica definida en $B .$
Utilice el resultado anterior para demostrar que $\underset{B}{∭} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d V = 21 π,$ donde

$B = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2, z \geq 0} .$

275.

Supongamos que $B$ es la región comprendida entre las semiesferas concéntricas superiores de radios a y b centrados en el origen y situados en el primer octante, donde $0 < a < b .$ Considere F una función definida en B cuya forma en coordenadas esféricas $(ρ, θ, φ)$ es $F (x, y, z) = f (ρ) cos φ .$ Demuestre que si $g (a) = g (b) = 0$ y $\int_{a}^{b} h (ρ) d ρ = 0,$ entonces

$\underset{B}{∭} F (x, y, z) d V = \frac{π^{2}}{4} [a h (a) - b h (b)],$

donde $g$ es una antiderivada de $f$ y $h$ es una antiderivada de $g .$
Utilice el resultado anterior para demostrar que $\underset{B}{∭} \frac{z cos \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} d V = \frac{3 π^{2}}{2},$ donde $B$ es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios $π$ y $2 π$ centrada en el origen y situada en el primer octante.

En los siguientes ejercicios, la función $f$ y la región $E$ están dados.

Exprese la región $E$ y la función $f$ en coordenadas esféricas.
Convierta la integral $\underset{B}{∭} f (x, y, z) d V$ en coordenadas esféricas y evalúela.

276.

$f (x, y, z) = z;$ $E = {(x, y, z) | 0 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1, z \geq 0}$

277.

$f (x, y, z) = x + y;$ $E = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2, z \geq 0, y \geq 0}$

278.

$f (x, y, z) = 2 x y;$ $E = {(x, y, z) | \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x \geq 0, y \geq 0}$

279.

$f (x, y, z) = z;$ $E = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z \leq 0, \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z}$

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido $E$ cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

280.

$E = {(x, y, z) | \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}, x \geq 0, y \geq 0}$

281.

$E = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z \leq 0, \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z}$

282.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido situado fuera de la esfera $ρ = 1$ y al interior de la esfera $ρ = cos φ,$ con la $φ \in [0, \frac{π}{2}] .$

283.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen de la bola $ρ \leq 3$ que se encuentra entre los conos $φ = \frac{π}{4} y φ = \frac{π}{3} .$

284.

Convierta la integral $\int_{–4}^{4} \int_{− \sqrt{16 - y^{2}}}^{\sqrt{16 - y^{2}}} \int_{− \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d z d x d y$ en una integral en coordenadas esféricas.

285.

Convierta la integral $\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16 - x^{2}}} \int_{− \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} d z d y d x$ en una integral en coordenadas esféricas.

286.

Convierta la integral $\int_{−2}^{2} \int_{− \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} d z d y d x$ en una integral en coordenadas esféricas y evalúela.

287.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas $\int_{π / 2}^{π} \int_{5 π / 6}^{π / 6} \int_{0}^{2} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$ Halle el volumen $V$ del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

288.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas como $\int_{0}^{2 π} \int_{π / 4}^{3 π / 4} \int_{0}^{1} ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$ Halle el volumen $V$ del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

289.

[T] Utilice un CAS para evaluar la integral $\underset{E}{∭} (x^{2} + y^{2}) d V$ donde $E$ se encuentra por encima del paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ y por debajo del plano $z = 3 y .$

290.

[T]

Evalúe la integral $\underset{E}{∭} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} d V,$ donde $E$ está delimitada por las esferas $4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 z^{2} = 1$ y $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$
Utilice un CAS para calcular una aproximación de la integral anterior. Redondee su respuesta a dos decimales.

291.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ y fuera del cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$ como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

292.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ y fuera del cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$ que se encuentra en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

293.

La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas por

$p (ρ, θ, φ) = \frac{P_{0}}{ρ^{2}} {cos}^{2} θ {sen}^{4} φ,$ donde $P_{0}$ es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esfera $B$ de radio $r$ metros se define como $P = \underset{B}{∭} p (ρ, θ, φ) d V .$ Calcule la potencia total $P$ dentro de una esfera de 20 metros de radio.

294.

Utilice el ejercicio anterior para calcular la potencia total dentro de una esfera $B$ de 5 metros de radio cuando la densidad de potencia por unidad de volumen está dada por $p (ρ, θ, φ) = \frac{30}{ρ^{2}} {cos}^{2} θ {sen}^{4} φ .$

295.

Una nube de carga contenida en una esfera $B$ de radio r centrado en el origen tiene su densidad de carga dada por $q (x, y, z) = k \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \frac{μ C}{{cm}^{3}},$ donde $k > 0 .$ La carga total contenida en $B$ viene dada por $Q = \underset{B}{∭} q (x, y, z) d V .$ Calcule la carga total $Q .$

296.

Utilice el ejercicio anterior para hallar la nube de carga total contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga es $q (x, y, z) = 20 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \frac{μ C}{{cm}^{3}} .$

5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Repaso de coordenadas cilíndricas

Integración en coordenadas cilíndricas

Teorema de Fubini en coordenadas cilíndricas

Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica

Solución

Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región general

Solución

Establecer una integral triple de dos maneras

Solución

Hallar un volumen con integrales triples de dos maneras

Solución

Repaso de coordenadas esféricas

Integración en coordenadas esféricas

Teorema de Fubini para coordenadas esféricas

Evaluar una integral triple en coordenadas esféricas

Solución

Establecer una integral triple en coordenadas esféricas

Solución

Intercambiar el orden de integración en coordenadas esféricas

Solución

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

Solución

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Solución

Inicio del capítulo: Hallar el volumen de l'Hemisphèric

Solución

Hallar el volumen de un elipsoide

Solución

Hallar el volumen del espacio dentro de un elipsoide y fuera de una esfera

Solución

Globos aerostáticos

Sección 5.5 ejercicios