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Cálculo volumen 3

5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Cálculo volumen 35.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.5.1 Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas cilíndricas.
  • 5.5.2 Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas esféricas.

Anteriormente en este capítulo mostramos cómo convertir una integral doble en coordenadas rectangulares en una integral doble en coordenadas polares para tratar más convenientemente los problemas que implican simetría circular. Una situación similar ocurre con las integrales triples, pero aquí hay que distinguir entre simetría cilíndrica y simetría esférica. En esta sección convertimos integrales triples en coordenadas rectangulares en una integral triple en coordenadas cilíndricas o esféricas.

Recuerde también el inicio del capítulo, que mostraba el teatro de la ópera l'Hemisphèric en Valencia, España. Tiene cuatro secciones, una de las cuales es un teatro en una esfera (bola) de cinco pisos de altura bajo un techo ovalado tan largo como un campo de fútbol. En el interior hay una pantalla IMAX que convierte la esfera en un planetario con un cielo lleno de 9.0009.000 estrellas parpadeantes. Utilizando integrales triples en coordenadas esféricas, podemos hallar los volúmenes de diferentes formas geométricas como estas.

Repaso de coordenadas cilíndricas

Como hemos visto antes, en el espacio bidimensional 2 ,2 , un punto con coordenadas rectangulares (x,y)(x,y) se puede identificar con (r,θ)(r,θ) en coordenadas polares y viceversa, donde x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsenθ,y=rsenθ, r2 =x2 +y2 r2 =x2 +y2 y tanθ=(yx)tanθ=(yx) son las relaciones entre las variables.

En el espacio tridimensional 3,3, un punto con coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) se puede identificar con coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z) y viceversa. Podemos utilizar estas mismas relaciones de conversión, añadiendo zz como la distancia vertical al punto desde el plano xyxy como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio xyz, se muestra un punto (x, y, z). También existe una representación en coordenadas polares como (r, theta, z).
Figura 5.50 Las coordenadas cilíndricas son similares a las coordenadas polares con una coordenada vertical z z añadida.

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, utilizamos la conversión x=rcosθx=rcosθ y y=rsenθ.y=rsenθ. Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, utilizamos r2 =x2 +y2 r2 =x2 +y2 y θ=tan–1(yx).θ=tan–1(yx). La coordenada zz sigue siendo la misma en ambos casos.

En el plano bidimensional con un sistema de coordenadas rectangulares, cuando decimos x=kx=k (constante) nos referimos a una línea vertical no delimitada paralela al eje yy y cuando y=ly=l (constante) nos referimos a una línea horizontal no delimitada paralela al eje xx. Con el sistema de coordenadas polares, cuando decimos r=cr=c (constante), nos referimos a un círculo de radio cc unidades y cuando θ=αθ=α (constante) nos referimos a un rayo infinito que hace un ángulo αα con el eje xx positivo.

Del mismo modo, en el espacio tridimensional con coordenadas rectangulares (x,y,z),(x,y,z), las ecuaciones x=k,y=l,x=k,y=l, y z=m,z=m, donde k,l,k,l, y mm son constantes, representan planos no delimitados paralelos al plano yzyz, al plano xzxz y al plano xyxy, respectivamente. Con las coordenadas cilíndricas (r,θ,z),(r,θ,z), entre r=c,θ=α,r=c,θ=α, y z=m,z=m, donde c,α,c,α, y mm son constantes, nos referimos a un cilindro vertical no delimitado con el eje zz como su eje radial; un plano que forma un ángulo constante αα con el plano xyxy, y un plano horizontal no delimitado paralelo al plano xyxy, respectivamente. Esto significa que el cilindro circular x2 +y2 =c2 x2 +y2 =c2 se puede representar en coordenadas rectangulares simplemente como r=cr=c en coordenadas cilíndricas (consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver más repaso).

Integración en coordenadas cilíndricas

Las integrales triples, a menudo, se pueden evaluar más fácilmente utilizando coordenadas cilíndricas en vez de coordenadas rectangulares. Algunas ecuaciones comunes de las superficies en coordenadas rectangulares junto con las ecuaciones correspondientes en coordenadas cilíndricas se enumeran en la Tabla 5.1. Estas ecuaciones serán muy útiles a medida que avancemos en resolver problemas mediante integrales triples.

Cilindro circular Cono circular Esfera Paraboloide
Rectangular x2 +y2 =c2 x2 +y2 =c2 z2 =c2 (x2 +y2 )z2 =c2 (x2 +y2 ) grandes. x2 +y2 +z2 =c2 x2 +y2 +z2 =c2 z=c(x2 +y2 )z=c(x2 +y2 )
Cilíndrica r=cr=c z=crz=cr r2 +z2 =c2 r2 +z2 =c2 z=cr2 z=cr2
Tabla 5.1 Ecuaciones de algunas formas comunes

Como antes, empezamos con la región delimitada más sencilla BB en 3,3, para describir en coordenadas cilíndricas, en forma de una caja cilíndrica, B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd}B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd} (Figura 5.51). Supongamos que dividimos cada intervalo en l,mynl,myn subdivisiones de manera que Δr=bal,Δθ=βαm,Δr=bal,Δθ=βαm, y Δz=dcn.Δz=dcn. Luego podemos enunciar la siguiente definición para una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Se muestra una caja cilíndrica con su proyección sobre el plano de coordenadas polares con radio interior a, radio exterior b y lados definidos por theta = alfa y beta. La caja cilíndrica B comienza en la altura c y llega hasta la altura d con el resto de los valores iguales a la proyección sobre el plano.
Figura 5.51 Una caja cilíndrica B B descrita por coordenadas cilíndricas.

Definición

Consideremos la caja cilíndrica (expresada en coordenadas cilíndricas)

B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd}.B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd}.

Si se grafica la función f(r,θ,z)f(r,θ,z) es continuo en BB y si (rijk*,θijk*,zijk*)(rijk*,θijk*,zijk*) es cualquier punto de muestra en la subcaja cilíndrica Bijk=[ri1,ri]×[θj1,θj]×[zk1,zk]Bijk=[ri1,ri]×[θj1,θj]×[zk1,zk] (Figura 5.51), entonces podemos definir la integral triple en coordenadas cilíndricas como el límite de una triple suma de Riemann, siempre que exista el siguiente límite:

líml,m,ni=1lj=1mk=1nf(rijk*,θijk*,zijk*)rijk*ΔrΔθΔz.líml,m,ni=1lj=1mk=1nf(rijk*,θijk*,zijk*)rijk*ΔrΔθΔz.

Observe que si g(x,y,z)g(x,y,z) es la función en coordenadas rectangulares y la caja BB se expresa en coordenadas rectangulares, entonces la integral triple Bg(x,y,z)dVBg(x,y,z)dV es igual a la integral triple Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdzBg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz y tenemos

Bg(x,y,z)dV=Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz=Bf(r,θ,z)rdrdθdz.Bg(x,y,z)dV=Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz=Bf(r,θ,z)rdrdθdz.
(5.11)

Como se ha mencionado en la sección anterior, todas las propiedades de una integral doble funcionan bien en las integrales triples, ya sea en coordenadas rectangulares o cilíndricas. También son válidas para las integrales iteradas. Para reiterar, en coordenadas cilíndricas, el teorema de Fubini toma la siguiente forma:

Teorema 5.12

Teorema de Fubini en coordenadas cilíndricas

Supongamos que g(x,y,z)g(x,y,z) es continua en una caja rectangular B,B, que, descrita en coordenadas cilíndricas, tiene el siguiente aspecto B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd}.B={(r,θ,z)|arb,αθβ,czd}.

Luego g(x,y,z)=g(rcosθ,rsenθ,z)=f(r,θ,z)g(x,y,z)=g(rcosθ,rsenθ,z)=f(r,θ,z) y

Bg(x,y,z)dV=cdαβabf(r,θ,z)rdrdθdz.Bg(x,y,z)dV=cdαβabf(r,θ,z)rdrdθdz.

La integral iterada puede sustituirse de forma equivalente por cualquiera de las otras cinco integrales iteradas que se obtienen integrando con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Los sistemas de coordenadas cilíndricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un eje, como los cilindros y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de definir la integral triple en coordenadas cilíndricas sobre regiones cilíndricas generales.

Ejemplo 5.43

Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica

Evalúe la integral triple B(zrsenθ)rdrdθdzB(zrsenθ)rdrdθdz donde la caja cilíndrica BB es B={(r,θ,z)|0r2 ,0θπ/2 ,0z4}.B={(r,θ,z)|0r2 ,0θπ/2 ,0z4}.

Punto de control 5.27

Evalúe la integral triple θ=0θ=πr=0r=1z=0z=4rzsenθrdzdrdθ.θ=0θ=πr=0r=1z=0z=4rzsenθrdzdrdθ.

Si la región cilíndrica sobre la que tenemos que integrar es un sólido general, miramos las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Por lo tanto, la integral triple de una función continua f(r,θ,z)f(r,θ,z) sobre una región sólida general E={(r,θ,z)|(r,θ)D,u1(r,θ)zu2 (r,θ)}E={(r,θ,z)|(r,θ)D,u1(r,θ)zu2 (r,θ)} en 3,3, donde DD es la proyección de EE en el plano rθrθ, es

Ef(r,θ,z)rdrdθdz=D[u1(r,θ)u2 (r,θ)f(r,θ,z)dz]rdrdθ.Ef(r,θ,z)rdrdθdz=D[u1(r,θ)u2 (r,θ)f(r,θ,z)dz]rdrdθ.

En particular, si D={(r,θ)|g1(θ)rg2 (θ),αθβ},D={(r,θ)|g1(θ)rg2 (θ),αθβ}, entonces tenemos

Ef(r,θ,z)rdrdθ=θ=αθ=βr=g1(θ)r=g2 (θ)z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.Ef(r,θ,z)rdrdθ=θ=αθ=βr=g1(θ)r=g2 (θ)z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.

Existen fórmulas similares para las proyecciones sobre los demás planos de coordenadas. Podemos utilizar coordenadas polares en esos planos si es necesario.

Ejemplo 5.44

Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región general

Considere la región EE dentro del cilindro circular recto con ecuación r=2 senθ,r=2 senθ, delimitada abajo por el plano rθrθ y delimitada por encima por la esfera de radio 44 centrada en el origen (Figura 5.52). Establezca una integral triple sobre esta región con una función f(r,θ,z)f(r,θ,z) en coordenadas cilíndricas.

En el espacio de coordenadas polares se muestra una esfera de radio 4 con la ecuación r al cuadrado + z al cuadrado = 16 y cuyo centro es el origen. También hay un cilindro descrito por r = 2 sen theta dentro de la esfera.
Figura 5.52 Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cilíndrica.

Punto de control 5.28

Considere la región EE dentro del cilindro circular recto con ecuación r=2 senθ,r=2 senθ, delimitada abajo por el plano rθrθ y delimitada por encima por z=4y.z=4y. Establezca una integral triple con una función f(r,θ,z)f(r,θ,z) en coordenadas cilíndricas.

Ejemplo 5.45

Establecer una integral triple de dos maneras

Supongamos que EE es la región delimitada por debajo por el cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por encima por el paraboloide z=2 x2 y2 .z=2 x2 y2 . (Figura 5.53). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región, utilizando los siguientes órdenes de integración:

  1. dzdrdθdzdrdθ
  2. drdzdθ.drdzdθ.
    Un paraboloide con ecuación z = 2 menos x al cuadrado menos y al cuadrado que se abre hacia abajo, y dentro de él, un cono con ecuación z = la raíz cuadrada de (x al cuadrado + y al cuadrado) que apunta hacia abajo.
    Figura 5.53 Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cónica.

Punto de control 5.29

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración dθdzdr.dθdzdr.

Ejemplo 5.46

Hallar un volumen con integrales triples de dos maneras

Supongamos que E es la región delimitada por debajo por el plano rθrθ, por arriba por la esfera x2 +y2 +z2 =4,x2 +y2 +z2 =4, y en los laterales por el cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 (Figura 5.54). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración, y en cada caso halle el volumen y compruebe que las respuestas son las mismas:

  1. dzdrdθdzdrdθ
  2. drdzdθ.drdzdθ.
    Una semiesfera con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado + z al cuadrado = 4 en el semiplano superior, y dentro de él, un cilindro con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado = 1.
    Figura 5.54 Hallar un volumen cilíndrico con una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Punto de control 5.30

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración dθdzdr.dθdzdr.

Repaso de coordenadas esféricas

En el espacio tridimensional 33 en el sistema de coordenadas esféricas, especificamos un punto PP por su distancia ρρ desde el origen, el ángulo polar θθ del eje positivo de la x x (igual que en el sistema de coordenadas cilíndricas), y el ángulo φφ del eje positivo de la z z y la línea OPOP (Figura 5.55). Observe que ρ0ρ0 y 0φπ.0φπ. (Consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver un repaso). Las coordenadas esféricas son útiles para las integrales triples sobre regiones que son simétricas con respecto al origen.

Una representación del sistema de coordenadas esféricas: se muestra un punto (x, y, z) que es igual a (rho, theta, phi) en coordenadas esféricas. Rho sirve como el radio esférico, theta sirve como el ángulo desde el eje x en el plano xy, y phi sirve como el ángulo desde el eje z.
Figura 5.55 El sistema de coordenadas esféricas localiza puntos con dos ángulos y una distancia desde el origen.

Recuerde las relaciones que conectan las coordenadas rectangulares con las coordenadas esféricas.

De coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares:

x=ρsenφcosθ,y=ρsenφsenθ,yz=ρcosφ.x=ρsenφcosθ,y=ρsenφsenθ,yz=ρcosφ.

De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:

ρ2 =x2 +y2 +z2 ,tanθ=yx,φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).ρ2 =x2 +y2 +z2 ,tanθ=yx,φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).

Otras relaciones que es importante conocer para las conversiones son

r=ρsenφθ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas esféricas a coordenadas cilíndricasz=ρcosφr=ρsenφθ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas esféricas a coordenadas cilíndricasz=ρcosφ

y

ρ=r2 +z2 θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas cilíndricas a coordenadasesféricas.φ=arccos(zr2 +z2 )ρ=r2 +z2 θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas cilíndricas a coordenadasesféricas.φ=arccos(zr2 +z2 )

La siguiente figura muestra algunas regiones sólidas que es conveniente expresar en coordenadas esféricas.

Esta imagen está formada por cuatro figuras. En la primera, se muestra una esfera con la nota esfera rho = c (constante). En la segunda, se dibuja un semiplano desde el eje z con la nota semiplano theta = c (constante). En las dos últimas figuras, se dibuja un medio cono en cada una con la nota medio cono phi = c (constante). En el primero de estos, el cono se abre y se marca como 0 < c < pi/2. En el segundo de estos, el cono se abre hacia abajo y se marca como pi/2 < c < pi.
Figura 5.56 Las coordenadas esféricas son especialmente convenientes para trabajar con sólidos limitados por este tipo de superficies. (La letra c c indica una constante).

Integración en coordenadas esféricas

Ahora establecemos una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, como hicimos antes en el sistema de coordenadas cilíndricas. Supongamos que la función f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) sea continua en una caja esférica delimitada, B={(ρ,θ,φ)|aρb,αθβ,γφψ}.B={(ρ,θ,φ)|aρb,αθβ,γφψ}. Luego, dividimos cada intervalo en subdivisiones l,mynl,myn subdivisiones de manera que Δρ=bal,Δθ=βαm,Δφ=ψγn.Δρ=bal,Δθ=βαm,Δφ=ψγn.

Ahora podemos ilustrar el siguiente teorema para integrales triples en coordenadas esféricas con (ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*,θijk*,φijk*) que sería cualquier punto de muestra en la subcaja esférica Bijk.Bijk. Para el elemento de volumen de la subcaja ΔVΔV en coordenadas esféricas, tenemos ΔV=(Δρ)(ρΔφ)(ρsenφΔθ),,ΔV=(Δρ)(ρΔφ)(ρsenφΔθ),, como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio de coordenadas esféricas, una caja se proyecta sobre el plano de coordenadas polares. En el plano de coordenadas polares, la proyección tiene el área rho sen phi delta theta. En el eje z, se indica una distancia delta rho, y a partir de estos límites, se realizan ángulos que se proyectan a través de los bordes de la caja. También hay una versión ampliada de la caja que muestra que tiene lados delta rho, rho delta phi y rho sen phi delta theta, con un volumen total delta V = rho al cuadrado sen phi delta rho delta phi delta theta.
Figura 5.57 El elemento de volumen de una caja en coordenadas esféricas.

Definición

La integral triple en coordenadas esféricas es el límite de una triple suma de Riemann,

líml,m,ni=1lj=1mk=1nf(ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*)2 senφΔρΔθΔφlíml,m,ni=1lj=1mk=1nf(ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*)2 senφΔρΔθΔφ

siempre que exista el límite.

Al igual que con las otras integrales múltiples que hemos examinado, todas las propiedades funcionan de forma similar para una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, y lo mismo ocurre con las integrales iteradas. El teorema de Fubini tiene la siguiente forma.

Teorema 5.13

Teorema de Fubini para coordenadas esféricas

Si los valores de f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) es continua en una caja sólida esférica B=[a,b]×[α,β]×[γ,ψ],B=[a,b]×[α,β]×[γ,ψ], entonces

Bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ=φ=γφ=ψθ=αθ=βρ=aρ=bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ.Bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ=φ=γφ=ψθ=αθ=βρ=aρ=bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ.
(5.12)

Esta integral iterada puede sustituirse por otras integrales iteradas al integrar con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Como ya se ha dicho, los sistemas de coordenadas esféricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un punto, como las esferas y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de considerar las integrales triples en coordenadas esféricas sobre regiones esféricas generales.

Ejemplo 5.47

Evaluar una integral triple en coordenadas esféricas

Evalúe la integral triple iterada θ=0θ=2 πφ=0φ=π/2 p=0ρ=1ρ2 senφdρdφdθ.θ=0θ=2 πφ=0φ=π/2 p=0ρ=1ρ2 senφdρdφdθ.

El concepto de integración triple en coordenadas esféricas puede extenderse a la integración sobre un sólido general, utilizando las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Observe que dVdV y dAdA significan incrementos de volumen y área, respectivamente. Las variables VV y AA se utilizan como variables de integración para expresar las integrales.

La integral triple de una función continua f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) sobre una región sólida general

E={(ρ,θ,φ)|(ρ,θ)D,u1(ρ,θ)φu2 (ρ,θ)}E={(ρ,θ,φ)|(ρ,θ)D,u1(ρ,θ)φu2 (ρ,θ)}

en 3,3, donde DD es la proyección de EE en el plano ρθρθ, es

Ef(ρ,θ,φ)dV=D[u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)dφ]dA.Ef(ρ,θ,φ)dV=D[u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)dφ]dA.

En particular, si D={(ρ,θ)|g1(θ)ρg2 (θ),αθβ},D={(ρ,θ)|g1(θ)ρg2 (θ),αθβ}, entonces tenemos

Ef(ρ,θ,φ)dV=αβg1(θ)g2 (θ)u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.Ef(ρ,θ,φ)dV=αβg1(θ)g2 (θ)u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.

Fórmulas similares surgen para proyecciones sobre los otros planos de coordenadas.

Ejemplo 5.48

Establecer una integral triple en coordenadas esféricas

Establezca una integral para el volumen de la región delimitada por el cono z=3(x2 +y2 )z=3(x2 +y2 ) y la semiesfera z=4x2 y2 z=4x2 y2 (vea la siguiente figura).

Una semiesfera con ecuación z = la raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado menos y al cuadrado) en el semiplano superior, y dentro de él, un cono con ecuación z = la raíz cuadrada de (3 por (x al cuadrado + y al cuadrado)) que apunta hacia abajo, con vértice en el origen.
Figura 5.58 Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una semiesfera.

Punto de control 5.31

Establezca una integral triple para el volumen de la región sólida delimitada por encima por la esfera ρ=2 ρ=2 y delimitada por debajo por el cono φ=π/3.φ=π/3.

Ejemplo 5.49

Intercambiar el orden de integración en coordenadas esféricas

Supongamos que EE es la región delimitada por debajo por el cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por encima por la esfera z=x2 +y2 +z2 z=x2 +y2 +z2 (Figura 5.59). Establezca una integral triple en coordenadas esféricas y halle el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración:

  1. dρdϕdθ,dρdϕdθ,
  2. dφdρdθ.dφdρdθ.
    Una esfera con ecuación z = x al cuadrado + y al cuadrado + z al cuadrado, y dentro de ella, un cono con ecuación z = la raíz cuadrada de (x al cuadrado + y al cuadrado) que apunta hacia abajo, con vértice en el origen.
    Figura 5.59 Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una esfera.

Antes de terminar esta sección, presentamos un par de ejemplos que pueden ilustrar la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Ejemplo 5.50

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas cilíndricas:

y=−1y=1x=0x=1y2 z=x2 +y2 z=x2 +y2 xyzdzdxdy.y=−1y=1x=0x=1y2 z=x2 +y2 z=x2 +y2 xyzdzdxdy.

Ejemplo 5.51

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas esféricas:

y=0y=3x=0x=9y2 z=x2 +y2 z=18x2 y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy.y=0y=3x=0x=9y2 z=x2 +y2 z=18x2 y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy.

Punto de control 5.32

Utilice las coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas para establecer integrales triples para hallar el volumen de la región dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 pero fuera del cilindro x2 +y2 =1.x2 +y2 =1.

Una esfera con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado + z al cuadrado = 4, y dentro de ella, un cilindro con ecuación x al cuadrado + y al cuadrado = 1.

Ahora que estamos familiarizados con el sistema de coordenadas esféricas, vamos a hallar el volumen de algunas figuras geométricas conocidas, como las esferas y los elipsoides.

Ejemplo 5.52

Inicio del capítulo: Hallar el volumen de l'Hemisphèric

Hallar el volumen del planetario esférico de l'Hemisphèric de Valencia, España, que tiene cinco pisos de altura y un radio de aproximadamente 5050 ft, utilizando la ecuación x2 +y2 +z2 =r2 .x2 +y2 +z2 =r2 .

Una imagen de l'Hemisphèric, que es una gigantesca estructura de cristal con forma de elipsoide
Figura 5.60 (créditos: modificación del trabajo de Javier Yaya Tur, Wikimedia Commons).

Para el siguiente ejemplo hallaremos el volumen de un elipsoide.

Ejemplo 5.53

Hallar el volumen de un elipsoide

Halle el volumen del elipsoide x2 a2 +y2 b2 +z2 c2 =1.x2 a2 +y2 b2 +z2 c2 =1.

Ejemplo 5.54

Hallar el volumen del espacio dentro de un elipsoide y fuera de una esfera

Halle el volumen del espacio dentro del elipsoide x2 752 +y2 802 +z2 902 =1x2 752 +y2 802 +z2 902 =1 y fuera de la esfera x2 +y2 +z2 =502 .x2 +y2 +z2 =502 .

Proyecto de estudiante

Globos aerostáticos

El vuelo en globo aerostático es un pasatiempo relajante y tranquilo que gusta a mucha gente. En todo el mundo se celebran numerosos encuentros de globeros, como la Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque. El evento de Albuquerque es el mayor festival de globos aerostáticos del mundo, con más de 500500 globos que participan cada año.

Una imagen de muchos globos aerostáticos.
Figura 5.61 Globos despegando en la Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque de 2001 (créditos: David Herrera, Flickr).

Como su nombre indica, los globos aerostáticos utilizan aire caliente para generar sustentación (el aire caliente es menos denso que el aire frío, por lo que el globo flota mientras el aire caliente se mantenga caliente). El calor lo genera un quemador de propano suspendido bajo la abertura de la cesta. Una vez que el globo despega, el piloto controla la altitud del globo, ya sea utilizando el quemador para calentar el aire y ascender o utilizando un respiradero cerca de la parte superior del globo para liberar el aire calentado y descender. Sin embargo, el piloto tiene muy poco control sobre el rumbo del globo, que está a merced de los vientos. La incertidumbre sobre dónde acabaremos es una de las razones por las que los globeros se sienten atraídos por este deporte.

En este proyecto utilizamos las integrales triples para aprender más sobre los globos aerostáticos. Modelamos el globo en dos piezas. La parte superior del globo está modelada por una media esfera de radio de 2828 pies. La parte inferior del globo está modelada por un tronco de un cono (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). El radio del extremo grande del tronco es de 2828 pies y el radio del extremo pequeño del tronco es de 66 pies. En la siguiente figura se muestra un gráfico de nuestro modelo de globo y un diagrama transversal que muestra las dimensiones.

Esta figura consta de dos partes, a y b. La figura a muestra una representación de un globo aerostático en el espacio xyz como una media esfera sobre un tronco de un cono. La figura b muestra las dimensiones, es decir, el radio de la media esfera es de 28 ft, la distancia desde el fondo hasta la parte superior del tronco es de 44 ft y el diámetro del círculo en la parte superior del tronco es de 12 ft.
Figura 5.62 (a) Utilice una media esfera para modelar la parte superior del globo y un tronco de un cono para modelar la parte inferior del globo. (b) Una sección transversal del globo mostrando sus dimensiones.

Primero, queremos hallar el volumen del globo. Si observamos la parte superior y la parte inferior del globo por separado, vemos que son sólidos geométricos con fórmulas de volumen conocidas. Sin embargo, sigue siendo conveniente establecer y evaluar las integrales que necesitaríamos para hallar el volumen. Si calculamos el volumen mediante integración, podemos utilizar las fórmulas de volumen conocidas para comprobar nuestras respuestas. Esto ayudará a asegurar que tenemos las integrales correctamente configuradas para las etapas posteriores y más complicadas del proyecto.

  1. Halle el volumen del globo de dos maneras.
    1. Utilice las integrales triples para calcular el volumen. Considere cada parte del globo por separado (considere la posibilidad de utilizar coordenadas esféricas para la parte superior y coordenadas cilíndricas para la parte inferior).
    2. Compruebe la respuesta utilizando las fórmulas para el volumen de una esfera, V=43πr3,V=43πr3, y para el volumen de un cono, V=13πr2 h.V=13πr2 h.
    En realidad, calcular la temperatura en un punto del interior del globo es una tarea tremendamente complicada. De hecho, toda una rama de la física (la termodinámica) se dedica a estudiar el calor y la temperatura. Sin embargo, para los fines de este proyecto, haremos algunas suposiciones simplificadoras sobre cómo varía la temperatura de un punto a otro dentro del globo. Supongamos que justo antes del despegue, la temperatura (en grados Fahrenheit) del aire dentro del globo varía según la función
    T0(r,θ,z)=zr10+210.T0(r,θ,z)=zr10+210.
  2. ¿Cuál es la temperatura media del aire en el globo justo antes del despegue? (De nuevo, mire cada parte del globo por separado, y no olvide convertir la función en coordenadas esféricas cuando mire la parte superior del globo).
    Ahora el piloto activa el quemador durante 1010 segundos. Esta acción afecta a la temperatura en una columna de 1212 pies de ancho y 2020 pies de altura, directamente sobre el quemador. En la siguiente figura se muestra una sección transversal del globo que representa esta columna.
    Esta figura muestra las dimensiones del globo y del aire caliente, es decir, el radio de la media esfera es de 28 ft, la distancia de la parte inferior a la superior del tronco es de 44 ft, el diámetro del círculo en la parte superior del tronco es de 12 ft y la columna interior de aire caliente tiene una altura de 20 ft y un diámetro de 12 ft.
    Figura 5.63 La activación del quemador calienta el aire en una columna de 20 20 pies de altura y 12 12 de ancho directamente sobre el quemador.

    Supongamos que después de que el piloto active el quemador por 1010 segundos, la temperatura del aire en la columna descrita aumenta según la fórmula
    H(r,θ,z)=−2z48.H(r,θ,z)=−2z48.

    Entonces la temperatura del aire en la columna está dada por
    T1(r,θ,z)=zr10+210+(−2z48),T1(r,θ,z)=zr10+210+(−2z48),

    mientras que la temperatura en el resto del globo sigue estando dada por
    T0(r,θ,z)=zr10+210.T0(r,θ,z)=zr10+210.
  3. Calcule la temperatura media del aire en el globo después de que el piloto haya activado el quemador durante 1010 segundos.

Sección 5.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples Ef(x,y,z)dVEf(x,y,z)dV sobre el sólido B.B.

241.

f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, B={(x,y,z)|x2 +y2 9,x0,y0,0z1}B={(x,y,z)|x2 +y2 9,x0,y0,0z1}

Un cuarto de sección de un cilindro con altura 1 y radio 3.
242.

f(x,y,z)=xz2 ,f(x,y,z)=xz2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 16,x0,y0,−1z1}B={(x,y,z)|x2 +y2 16,x0,y0,−1z1}

243.

f(x,y,z)=xy,f(x,y,z)=xy, B={(x,y,z)|x2 +y2 1,x0,xy,−1z1}B={(x,y,z)|x2 +y2 1,x0,xy,−1z1}

Una cuña con radio 1, altura 1 y ángulo pi/4.
244.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 4,x0,xy,0z3}B={(x,y,z)|x2 +y2 4,x0,xy,0z3}

245.

f(x,y,z)=ex2 +y2 ,f(x,y,z)=ex2 +y2 , B={(x,y,z)|1x2 +y2 4,y0,xy3,2 z3}B={(x,y,z)|1x2 +y2 4,y0,xy3,2 z3}

246.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , B={(x,y,z)|1x2 +y2 9,y0,0z1}B={(x,y,z)|1x2 +y2 9,y0,0z1}

247.
  1. Supongamos que BB es una capa cilíndrica con radio interior a,a, radio exterior b,b, y altura c,c, donde 0<a<b0<a<b y c>0.c>0. Supongamos que una función FF definida en BB puede expresarse en coordenadas cilíndricas como F(x,y,z)=f(r)+h(z),F(x,y,z)=f(r)+h(z), donde ff y hh son funciones diferenciables. Si los valores de abf˜(r)dr=0abf˜(r)dr=0 y h˜(0)=0,h˜(0)=0, donde f˜f˜ y h˜h˜ son antiderivadas de ff y h,h, respectivamente, demuestre que
    BF(x,y,z)dV=2 πc(bf˜(b)af˜(a))+π(b2 a2 )h˜(c).BF(x,y,z)dV=2 πc(bf˜(b)af˜(a))+π(b2 a2 )h˜(c).
  2. Utilice el resultado anterior para demostrar que B(z+senx2 +y2 )dxdydz=6π2 (π2 ),B(z+senx2 +y2 )dxdydz=6π2 (π2 ), donde BB es una capa cilíndrica con radio interior π,π, radio exterior 2 π,2 π, y altura 2 .2 .
248.
  1. Supongamos que BB es una capa cilíndrica con radio interior a,a, radio exterior b,b, y altura c,c, donde 0<a<b0<a<b y c>0.c>0. Supongamos que una función FF definida en BB puede expresarse en coordenadas cilíndricas como F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z),F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z), donde f,g,yhf,g,yh son funciones diferenciables. Si los valores de abf˜(r)dr=0,abf˜(r)dr=0, donde f˜f˜ es una antiderivada de f,f, demuestre que
    BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)af˜(a)][g˜(2 π)g˜(0)][h˜(c)h˜(0)],BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)af˜(a)][g˜(2 π)g˜(0)][h˜(c)h˜(0)],

    donde g˜g˜ y h˜h˜ son antiderivadas de gg y h,h, respectivamente.
  2. Utilice el resultado anterior para demostrar que Bzsenx2 +y2 dxdydz=–12π2 ,Bzsenx2 +y2 dxdydz=–12π2 , donde BB es una capa cilíndrica con radio interior π,π, radio exterior 2 π,2 π, y altura 2 .2 .

En los siguientes ejercicios, los límites del sólido EE se dan en coordenadas cilíndricas.

  1. Exprese la región EE en coordenadas cilíndricas.
  2. Convierta la integral Ef(x,y,z)dVEf(x,y,z)dV a coordenadas cilíndricas.
249.

EE está delimitado por el cilindro circular derecho r=4senθ,r=4senθ, el plano rθrθ, y la esfera r2 +z2 =16.r2 +z2 =16.

250.

EE está fuera del cilindro circular derecho r=cosθ,r=cosθ, por encima del plano xyxy y al interior de la esfera r2 +z2 =9.r2 +z2 =9.

251.

EE se encuentra en el primer octante y está delimitado por el paraboloide circular z=93r2 ,z=93r2 , el cilindro r=3,r=3, y el plano r(cosθ+senθ)=20z.r(cosθ+senθ)=20z.

252.

EE se encuentra en el primer octante fuera del paraboloide circular z=102 r2 z=102 r2 y en el interior del cilindro r=5r=5 y está delimitado también por los planos z=20z=20 y θ=π4.θ=π4.

En los siguientes ejercicios, la función ff y la región EE están dados.

  1. Exprese la región EE y la función ff en coordenadas cilíndricas.
  2. Convierta la integral Bf(x,y,z)dVBf(x,y,z)dV en coordenadas cilíndricas y evalúela.
253.

f(x,y,z)=1x+3,f(x,y,z)=1x+3, E={(x,y,z)|0x2 +y2 9,x0,y0,0zx+3}E={(x,y,z)|0x2 +y2 9,x0,y0,0zx+3}

254.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , E={(x,y,z)|0x2 +y2 4,y0,0z3x}E={(x,y,z)|0x2 +y2 4,y0,0z3x}

255.

f(x,y,z)=x,f(x,y,z)=x, E={(x,y,z)|1y2 +z2 9,0x1y2 z2 }E={(x,y,z)|1y2 +z2 9,0x1y2 z2 }

256.

f(x,y,z)=y,f(x,y,z)=y, E={(x,y,z)|1x2 +z2 9,0y1x2 z2 }E={(x,y,z)|1x2 +z2 9,0y1x2 z2 }

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido EE cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

257.

EE está por encima del plano xyxy, dentro del cilindro x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y por debajo del plano z=1.z=1.

258.

EE está por debajo del plano z=1z=1 y dentro del paraboloide z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

259.

EE está delimitado por el cono circular z=x2 +y2 z=x2 +y2 y z=1.z=1.

260.

EE se encuentra por encima del plano xyxy, debajo de z=1,z=1, fuera de la hiperboloide de una hoja x2 +y2 z2 =1,x2 +y2 z2 =1, y en el interior del cilindro x2 +y2 =2 .x2 +y2 =2 .

261.

EE se encuentra en el interior del cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y entre los paraboloides circulares z=1x2 y2 z=1x2 y2 y z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

262.

EE se encuentra en el interior de la esfera x2 +y2 +z2 =1,x2 +y2 +z2 =1, por encima del plano xyxy y en el interior del cono circular z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

263.

EE se encuentran en el interior del cono circular x2 +y2 =(z1)2 x2 +y2 =(z1)2 y entre los planos z=0z=0 y z=2 .z=2 .

264.

EE se encuentra fuera del cono circular z=1x2 +y2 ,z=1x2 +y2 , por encima del plano xyxy, debajo del paraboloide circular y entre los planos z=0yz=2 .z=0yz=2 .

265.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas π/2 π/2 01r2 rrdzdrdθ.π/2 π/2 01r2 rrdzdrdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

266.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas 0π/2 01r4rrdzdrdθ.0π/2 01r4rrdzdrdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

267.

Convierta la integral 011y2 1y2 x2 +y2 x2 +y2 xzdzdxdy011y2 1y2 x2 +y2 x2 +y2 xzdzdxdy en una integral en coordenadas cilíndricas.

268.

Convierta la integral 02 0y01(xy+z)dzdxdy02 0y01(xy+z)dzdxdy en una integral en coordenadas cilíndricas.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral triple Bf(x,y,z)dVBf(x,y,z)dV sobre el sólido B.B.

269.

f(x,y,z)=1,f(x,y,z)=1, B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 90,z0}B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 90,z0}

Una media esfera rellena con un radio 3 veces la raíz cuadrada de 10.
270.

f(x,y,z)=1x2 +y2 +z2 ,f(x,y,z)=1x2 +y2 +z2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 9,y0,z0}B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 9,y0,z0}

Un cuarto de sección de un ovoide con altura 8, anchura 8 y longitud 18.
271.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , BB está delimitado por encima por la semiesfera x2 +y2 +z2 =9x2 +y2 +z2 =9 con la z0z0 y por debajo por el cono 2 z2 =x2 +y2 .2 z2 =x2 +y2 .

272.

f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, BB está delimitado por encima por la semiesfera x2 +y2 +z2 =16x2 +y2 +z2 =16 con la z0z0 y por debajo por el cono 2 z2 =x2 +y2 .2 z2 =x2 +y2 .

273.

Demuestre que si F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ)F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ) es una función continua en la caja esférica B={(ρ,θ,φ)|aρb,αθβ,γφψ},B={(ρ,θ,φ)|aρb,αθβ,γφψ}, entonces

B F d V = ( a b ρ 2 f ( ρ ) d r ) ( α β g ( θ ) d θ ) ( γ ψ h ( φ ) sen φ d φ ) . B F d V = ( a b ρ 2 f ( ρ ) d r ) ( α β g ( θ ) d θ ) ( γ ψ h ( φ ) sen φ d φ ) .
274.
  1. Una función FF se dice que tiene simetría esférica si solo depende de la distancia al origen, es decir, se puede expresar en coordenadas esféricas como F(x,y,z)=f(ρ),F(x,y,z)=f(ρ), donde ρ=x2 +y2 +z2 .ρ=x2 +y2 +z2 . Demuestre que
    BF(x,y,z)dV=2 πabρ2 f(ρ)dρ,BF(x,y,z)dV=2 πabρ2 f(ρ)dρ,

    donde BB es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios aa y bb centrada en el origen, con 0<a<b0<a<b y FF una función esférica definida en B.B.
  2. Utilice el resultado anterior para demostrar que B(x2 +y2 +z2 )x2 +y2 +z2 dV=21π,B(x2 +y2 +z2 )x2 +y2 +z2 dV=21π, donde
    B={(x,y,z)|1x2 +y2 +z2 2 ,z0}.B={(x,y,z)|1x2 +y2 +z2 2 ,z0}.
275.
  1. Supongamos que BB es la región comprendida entre las semiesferas concéntricas superiores de radios a y b centrados en el origen y situados en el primer octante, donde 0<a<b.0<a<b. Considere F una función definida en B cuya forma en coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) es F(x,y,z)=f(ρ)cosφ.F(x,y,z)=f(ρ)cosφ. Demuestre que si g(a)=g(b)=0g(a)=g(b)=0 y abh(ρ)dρ=0,abh(ρ)dρ=0, entonces
    BF(x,y,z)dV=π2 4[ah(a)bh(b)],BF(x,y,z)dV=π2 4[ah(a)bh(b)],

    donde gg es una antiderivada de ff y hh es una antiderivada de g.g.
  2. Utilice el resultado anterior para demostrar que Bzcosx2 +y2 +z2 x2 +y2 +z2 dV=3π2 2 ,Bzcosx2 +y2 +z2 x2 +y2 +z2 dV=3π2 2 , donde BB es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios ππ y 2 π2 π centrada en el origen y situada en el primer octante.

En los siguientes ejercicios, la función ff y la región EE están dados.

  1. Exprese la región EE y la función ff en coordenadas esféricas.
  2. Convierta la integral Bf(x,y,z)dVBf(x,y,z)dV en coordenadas esféricas y evalúela.
276.

f(x,y,z)=z;f(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|0x2 +y2 +z2 1,z0}E={(x,y,z)|0x2 +y2 +z2 1,z0}

277.

f(x,y,z)=x+y;f(x,y,z)=x+y; E={(x,y,z)|1x2 +y2 +z2 2 ,z0,y0}E={(x,y,z)|1x2 +y2 +z2 2 ,z0,y0}

278.

f(x,y,z)=2 xy;f(x,y,z)=2 xy; E={(x,y,z)|x2 +y2 z1x2 y2 ,x0,y0}E={(x,y,z)|x2 +y2 z1x2 y2 ,x0,y0}

279.

f(x,y,z)=z;f(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 2 z0,x2 +y2 z}E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 2 z0,x2 +y2 z}

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido EE cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

280.

E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 z 16 x 2 y 2 , x 0 , y 0 } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 z 16 x 2 y 2 , x 0 , y 0 }

281.

E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 2 z 0 , x 2 + y 2 z } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 2 z 0 , x 2 + y 2 z }

282.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido situado fuera de la esfera ρ=1ρ=1 y al interior de la esfera ρ=cosφ,ρ=cosφ, con la φ[0,π2 ].φ[0,π2 ].

283.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen de la bola ρ3ρ3 que se encuentra entre los conos φ=π4yφ=π3.φ=π4yφ=π3.

284.

Convierta la integral –4416y2 16y2 16x2 y2 16x2 y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy–4416y2 16y2 16x2 y2 16x2 y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy en una integral en coordenadas esféricas.

285.

Convierta la integral 04016x2 16x2 y2 16x2 y2 (x2 +y2 +z2 )2 dzdydx04016x2 16x2 y2 16x2 y2 (x2 +y2 +z2 )2 dzdydx en una integral en coordenadas esféricas.

286.

Convierta la integral −22 4x2 4x2 x2 +y2 16x2 y2 dzdydx−22 4x2 4x2 x2 +y2 16x2 y2 dzdydx en una integral en coordenadas esféricas y evalúela.

287.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas π/2 π5π/6π/602 ρ2 senφdρdφdθ.π/2 π5π/6π/602 ρ2 senφdρdφdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

288.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas como 02 ππ/43π/401ρ2 senφdρdφdθ.02 ππ/43π/401ρ2 senφdρdφdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

289.

[T] Utilice un CAS para evaluar la integral E(x2 +y2 )dVE(x2 +y2 )dV donde EE se encuentra por encima del paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por debajo del plano z=3y.z=3y.

290.

[T]

  1. Evalúe la integral Eex2 +y2 +z2 dV,Eex2 +y2 +z2 dV, donde EE está delimitada por las esferas 4x2 +4y2 +4z2 =14x2 +4y2 +4z2 =1 y x2 +y2 +z2 =1.x2 +y2 +z2 =1.
  2. Utilice un CAS para calcular una aproximación de la integral anterior. Redondee su respuesta a dos decimales.
291.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =16x2 +y2 +z2 =16 y fuera del cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

292.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =16x2 +y2 +z2 =16 y fuera del cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 que se encuentra en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

293.

La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas por

p(ρ,θ,φ)=P0ρ2 cos2 θsen4φ,p(ρ,θ,φ)=P0ρ2 cos2 θsen4φ,donde P0P0 es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esfera BB de radio rr metros se define como P=Bp(ρ,θ,φ)dV.P=Bp(ρ,θ,φ)dV. Calcule la potencia total PP dentro de una esfera de 20 metros de radio.

294.

Utilice el ejercicio anterior para calcular la potencia total dentro de una esfera BB de 5 metros de radio cuando la densidad de potencia por unidad de volumen está dada por p(ρ,θ,φ)=30ρ2 cos2 θsen4φ.p(ρ,θ,φ)=30ρ2 cos2 θsen4φ.

295.

Una nube de carga contenida en una esfera BB de radio r centrado en el origen tiene su densidad de carga dada por q(x,y,z)=kx2 +y2 +z2 μCcm3,q(x,y,z)=kx2 +y2 +z2 μCcm3, donde k>0.k>0. La carga total contenida en BB viene dada por Q=Bq(x,y,z)dV.Q=Bq(x,y,z)dV. Calcule la carga total Q.Q.

296.

Utilice el ejercicio anterior para hallar la nube de carga total contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga es q(x,y,z)=20x2 +y2 +z2 μCcm3.q(x,y,z)=20x2 +y2 +z2 μCcm3.

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