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Cálculo volumen 3

2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

Cálculo volumen 32.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.7.1 Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares.
  • 2.7.2 Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas.
  • 2.7.3 Convertir de coordenadas esféricas a rectangulares.
  • 2.7.4 Convertir de coordenadas rectangulares a esféricas.

El sistema de coordenadas cartesianas ofrece una forma sencilla de describir la ubicación de los puntos en el espacio. Sin embargo, algunas superficies pueden ser difíciles de modelar con ecuaciones basadas en el sistema cartesiano. Este es un problema conocido; recordemos que, en dos dimensiones, las coordenadas polares a menudo ofrecen un sistema alternativo útil para describir la ubicación de un punto en el plano, sobre todo en los casos que involucran círculos. En esta sección, estudiamos dos formas diferentes de describir la ubicación de los puntos en el espacio, ambas basadas en extensiones de las coordenadas polares. Como su nombre indica, las coordenadas cilíndricas son útiles para tratar problemas en los que intervienen cilindros, como calcular el volumen de un depósito de agua redondo o la cantidad de aceite que fluye por una tubería. Asimismo, las coordenadas esféricas son útiles para tratar problemas relacionados con esferas, como la búsqueda del volumen de estructuras abovedadas.

Coordenadas cilíndricas

Cuando ampliamos el sistema tradicional de coordenadas cartesianas de dos a tres dimensiones, simplemente añadimos un nuevo eje para modelar la tercera dimensión. Partiendo de las coordenadas polares, podemos seguir este mismo proceso para crear un nuevo sistema de coordenadas tridimensional, llamado sistema de coordenadas cilíndricas. De este modo, las coordenadas cilíndricas proporcionan una extensión natural de las coordenadas polares a las tres dimensiones.

Definición

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio (Figura 2.89) está representado por la triple ordenada (r,θ,z),(r,θ,z), donde

  • (r,θ)(r,θ) son las coordenadas polares de la proyección del punto en el plano xy
  • zz es la coordenada zhabitualzhabitual en el sistema de coordenadas cartesianas
Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un punto marcado "(x, y, z) = (r, theta, z)”. En el plano x y, hay un segmento de línea que se extiende hasta debajo del punto. Este segmento de línea está marcado como "r" El ángulo entre el segmento de línea y el eje x es theta. Hay un segmento de línea perpendicular al eje x. Junto con el segmento de línea marcado como r, este segmento de línea y el eje x forman un triángulo recto.
Figura 2.89 El triángulo recto se encuentra en el plano xy. La longitud de la hipotenusa es r r y θ θ es la medida del ángulo formado por el eje x positivo y la hipotenusa. La
coordenada z describe la ubicación del punto por encima o por debajo del plano xy.

En el plano xy, el triángulo recto mostrado en la Figura 2.89 proporciona la clave para la transformación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, o rectangulares.

Teorema 2.15

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) y las coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z) de un punto se relacionan de la siguiente manera:

x=rcosθEstas ecuaciones se utilizan para convertir dey=rsenθcoordenadas cilíndricas a coordenadasz=zrectangulares.yr2 =x2 +y2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir detanθ=yxcoordenadas rectangulares a coordenadasz=zcilíndricas.x=rcosθEstas ecuaciones se utilizan para convertir dey=rsenθcoordenadas cilíndricas a coordenadasz=zrectangulares.yr2 =x2 +y2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir detanθ=yxcoordenadas rectangulares a coordenadasz=zcilíndricas.

Al igual que cuando hablamos de la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en dos dimensiones, hay que tener en cuenta que la ecuación tanθ=yxtanθ=yx tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, si restringimos θθ a valores entre 00 y 2 π,2 π, entonces podemos hallar una solución única basada en el cuadrante del plano xy en el que se encuentra el punto original (x,y,z)(x,y,z). Observe que si x=0,x=0, entonces el valor de θθ es π2 ,3π2 ,π2 ,3π2 , o 0,0, en función del valor de y.y.

Observe que estas ecuaciones se derivan de las propiedades de los triángulos rectos. Para que esto sea fácil de ver, considere el punto PP en el plano xy con coordenadas rectangulares (x,y,0)(x,y,0) y con coordenadas cilíndricas (r,θ,0),(r,θ,0), como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares. Hay un punto marcado "P = (x, y, 0) = (r, theta, 0)”. Existe un segmento de línea desde el origen hasta el punto P. Este segmento de línea está marcado “r”. El ángulo entre el eje x y el segmento de línea r está marcado “theta”. También hay un segmento de línea vertical marcado "y" desde P hasta el eje x. Forma un triángulo recto.
Figura 2.90 El teorema de Pitágoras proporciona la ecuación r 2 = x 2 + y 2 . r 2 = x 2 + y 2 . Las relaciones de triángulo recto nos dicen que x = r cos θ , x = r cos θ , y = r sen θ , y = r sen θ , y tan θ = y / x . tan θ = y / x .

Consideremos las diferencias entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas observando las superficies generadas cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Si los valores de cc es una constante, entonces en las coordenadas rectangulares, las superficies de la forma x=c,x=c, y=c,y=c, o z=cz=c son todas planos. Los planos de estas formas son paralelos al plano yz, al plano xz y al plano xy, respectivamente. Cuando convertimos a coordenadas cilíndricas, la coordenada z no cambia. Por lo tanto, en coordenadas cilíndricas, las superficies de la forma z=cz=c son planos paralelos al plano xy. Ahora, pensemos en superficies de la forma r=c.r=c. Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del eje z. En otras palabras, estas superficies son cilindros circulares verticales. Por último, ¿qué pasa con θ=c?θ=c? Los puntos de una superficie de la forma θ=cθ=c están en un ángulo fijo con respecto al eje x, lo que nos da un semiplano que comienza en el eje z (Figura 2.91 y Figura 2.92).

Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es paralelo al plano y z, donde x = c. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es paralelo al plano x z donde y = c. La tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional, donde z = c.
Figura 2.91 En coordenadas rectangulares, (a) las superficies de la forma x = c x = c son planos paralelos al plano yz, (b) las superficies de la forma y = c y = c son planos paralelos al plano xz y (c) las superficies de la forma z = c z = c son planos paralelos al plano xy.
Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un cilindro circular derecho en el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene el eje z en el centro. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es vertical con el eje z en un extremo. La tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional donde z = c.
Figura 2.92 En coordenadas cilíndricas, (a) las superficies de la forma r = c r = c son cilindros verticales de radio c , c , (b) las superficies de la forma θ = c θ = c son semiplanos en ángulo c c desde el eje x y (c) las superficies de la forma z = c z = c son planos paralelos al plano xy.

Ejemplo 2.60

Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares

Marque el punto con coordenadas cilíndricas (4,2 π3,–2)(4,2 π3,–2) y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares.

Punto de control 2.55

El punto RR tiene las coordenadas cilíndricas (5,π6,4)(5,π6,4). Trace RR y describa su ubicación en el espacio utilizando coordenadas rectangulares o cartesianas.

Si este proceso le resulta familiar, hay una razón para esto. Este es exactamente el mismo proceso que seguimos en Introducción a ecuaciones paramétricas y coordenadas polares para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares bidimensionales.

Ejemplo 2.61

Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Convierta las coordenadas rectangulares (1,−3,5)(1,−3,5) a coordenadas cilíndricas.

Punto de control 2.56

Convierta los puntos (–8,8,–7)(–8,8,–7) de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.

El uso de coordenadas cilíndricas es habitual en campos como la física. Los físicos que estudian las cargas eléctricas y los condensadores utilizados para almacenarlas han descubierto que estos sistemas a veces tienen una simetría cilíndrica. Estos sistemas tienen complicadas ecuaciones de modelado en el sistema de coordenadas cartesianas, lo que dificulta su descripción y análisis. A menudo, las ecuaciones pueden expresarse en términos más sencillos utilizando coordenadas cilíndricas. Por ejemplo, el cilindro descrito por la ecuación x2 +y2 =25x2 +y2 =25 en el sistema cartesiano puede representarse mediante la ecuación cilíndrica r=5.r=5.

Ejemplo 2.62

Identificar superficies en el sistema de coordenadas cilíndricas

Describa las superficies con las ecuaciones cilíndricas dadas.

  1. θ=π4θ=π4
  2. r2 +z2 =9r2 +z2 =9
  3. z=rz=r

Punto de control 2.57

Describa la superficie con la ecuación cilíndrica r=6.r=6.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante una triple ordenada en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndricas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante dos distancias (ryz)(ryz) y una medida de ángulo (θ).(θ). En el sistema de coordenadas esféricas, volvemos a utilizar una triple ordenada para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, la triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, al igual que las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para las coordenadas esféricas se basan en las medidas de los ángulos, como las de las coordenadas polares.

Definición

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto PP en el espacio (Figura 2.97) está representado por la triple ordenada (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) donde

  • ρρ (la letra griega rho) es la distancia entre PP y el origen (ρ0);(ρ0);
  • θθ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas;
  • φφ (la letra griega phi) es el ángulo formado por el eje z positivo y el segmento de línea OP,OP, donde OO es el origen y 0φπ.0φπ.
Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto marcado “(x, y, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está marcado como "rho" El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está marcado como "r". El ángulo entre el eje x y r es theta.
Figura 2.97 La relación entre las coordenadas esféricas, rectangulares y cilíndricas.

Por convención, el origen se representa como (0,0,0)(0,0,0) en coordenadas esféricas.

Teorema 2.16

Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) y las coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) de un punto se relacionan de la siguiente manera:

x=ρsenφcosθEstas ecuaciones se utilizan para convertir dey=ρsenφsenθcoordenadas esféricas a coordenadasz=ρcosφcilíndricas.yρ2 =x2 +y2 +z2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir detanθ=yxcoordenadas rectangulares a coordenadasφ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).esféricas.x=ρsenφcosθEstas ecuaciones se utilizan para convertir dey=ρsenφsenθcoordenadas esféricas a coordenadasz=ρcosφcilíndricas.yρ2 =x2 +y2 +z2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir detanθ=yxcoordenadas rectangulares a coordenadasφ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).esféricas.

Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (r,θ,z),(r,θ,z), entonces estas ecuaciones definen la relación entre las coordenadas cilíndricas y esféricas.

r=ρsenφEstas ecuaciones se utilizan para convertir deθ=θcoordenadas esféricas a coordenadasz=ρcosφcilíndricas.yρ=r2 +z2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir deθ=θcoordenadas cilíndricas a coordenadasφ=arccos(zr2 +z2 )esféricas.r=ρsenφEstas ecuaciones se utilizan para convertir deθ=θcoordenadas esféricas a coordenadasz=ρcosφcilíndricas.yρ=r2 +z2 Estas ecuaciones se utilizan para convertir deθ=θcoordenadas cilíndricas a coordenadasφ=arccos(zr2 +z2 )esféricas.

Las fórmulas para convertir las coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares pueden parecer complejas, pero son aplicaciones sencillas de la trigonometría. Mirando la Figura 2.98, es fácil ver que r=ρsenφ.r=ρsenφ. Entonces, mirando el triángulo en el plano xy con rr como su hipotenusa, tenemos x=rcosθ=ρsenφcosθ.x=rcosθ=ρsenφcosθ. La derivación de la fórmula de yy es similar. La Figura 2.96 también muestra que ρ2 =r2 +z2 =x2 +y2 +z2 ρ2 =r2 +z2 =x2 +y2 +z2 y z=ρcosφ.z=ρcosφ. Resolviendo esta última ecuación para φφ y, a continuación, sustituyendo ρ=r2 +z2 ρ=r2 +z2 (a partir de la primera ecuación) da como resultado φ=arccos(zr2 +z2 ).φ=arccos(zr2 +z2 ). Además, observe que, como antes, hay que tener cuidado al utilizar la fórmula tanθ=yxtanθ=yx para elegir el valor correcto de θ.θ.

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto marcado “x, y, z) = (r, theta, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está marcado como "rho" El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está marcado como "r". El ángulo entre el eje x y r es theta. La distancia de r al punto está marcado "z”.
Figura 2.98 Las ecuaciones que convierten de un sistema a otro se derivan de relaciones de triángulo rectángulo.

Como hicimos con las coordenadas cilíndricas, consideremos las superficies que se generan cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Supongamos que cc es una constante y consideremos las superficies de la forma ρ=c.ρ=c. Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del origen y forman una esfera. La coordenada θθ en el sistema de coordenadas esféricas es la misma que en el sistema de coordenadas cilíndricas, por lo que las superficies de la forma θ=cθ=c son semiplanos, como antes. Por último, consideremos las superficies de la forma φ=c.φ=c. Los puntos de estas superficies tienen un ángulo fijo respecto al eje z y forman un semicono (Figura 2.99).

Esta figura tiene tres imágenes. La primera imagen es una esfera centrada en el sistema de coordenadas tridimensional. La segunda figura es un plano vertical con una arista en el eje z en el sistema de coordenadas tridimensional. La tercera imagen es un cono elíptico con centro en el origen del sistema de coordenadas tridimensional.
Figura 2.99 En coordenadas esféricas, las superficies de la forma ρ = c ρ = c son esferas de radio ρ ρ (a), superficies de la forma θ = c θ = c son semiplanos en ángulo θ θ desde el eje x (b) y superficies de la forma ϕ = c ϕ = c son semiconos en ángulo ϕ ϕ desde el eje z (c).

Ejemplo 2.63

Convertir de coordenadas esféricas

Trace el punto con coordenadas esféricas (8,π3,π6)(8,π3,π6) y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Punto de control 2.58

Trace el punto con coordenadas esféricas (2 ,5π6,π6)(2 ,5π6,π6) y describa su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Ejemplo 2.64

Convertir de coordenadas rectangulares

Convierta las coordenadas rectangulares (–1,1,6)(–1,1,6) a las coordenadas esféricas y cilíndricas.

Ejemplo 2.65

Identificar superficies en el sistema de coordenadas esféricas

Describa las superficies con las ecuaciones esféricas dadas.

  1. θ=π3θ=π3
  2. φ=5π6φ=5π6
  3. ρ=6ρ=6
  4. ρ=senθsenφρ=senθsenφ

Punto de control 2.59

Describa las superficies definidas por las siguientes ecuaciones.

  1. ρ=13ρ=13
  2. θ=2 π3θ=2 π3
  3. φ=π4φ=π4

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría en torno a un punto, como el volumen del espacio dentro de un estadio abovedado o la rapidez del viento en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana x2 +y2 +z2 =c2 x2 +y2 +z2 =c2 tiene la ecuación sencilla ρ=cρ=c en coordenadas esféricas.

En geografía, la latitud y la longitud se utilizan para describir ubicaciones en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Figura 2.104. Aunque la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, utilizamos coordenadas esféricas para comunicar la ubicación de los puntos en la Tierra. Supongamos que la Tierra tiene la forma de una esfera con radio 4.0004.000 millas. Expresamos las medidas de los ángulos en grados y no en radianes porque la latitud y la longitud se miden en grados.

Esta figura es una imagen de la Tierra. Tiene marcado el primer meridiano, que es un círculo en la superficie que circunvala la Tierra verticalmente a través de los polos. También tiene marcado el ecuador, que es un círculo horizontal que circunvala la Tierra. Tres vectores se extienden desde el centro de la Tierra. Dos de ellos se extienden hasta el ecuador e indican una medida de longitud. Dos de ellos se extienden hasta un círculo polar vertical e indican una medida de latitud.
Figura 2.104 En el sistema de latitud-longitud, los ángulos describen la ubicación de un punto de la Tierra en relación con el ecuador y el primer meridiano.

Supongamos que el centro de la Tierra es el centro de la esfera, con la raya desde el centro a través del Polo Norte representando el eje z positivo. El primer meridiano representa la traza de la superficie en su intersección con el plano xz. El ecuador es la traza de la esfera que interseca el plano xy.

Ejemplo 2.66

Convertir de latitud y longitud a coordenadas esféricas

La latitud de Columbus, Ohio, es 40°40° N y la longitud es 83°83° O, lo que significa que Columbus está 40°40° al norte del ecuador. Imagine una raya desde el centro de la Tierra a través de Columbus y una raya desde el centro de la Tierra a través del ecuador directamente al sur de Columbus. La medida del ángulo formado por las rayas es 40°.40°. De la misma manera, midiendo desde el primer meridiano, Columbus se encuentra 83°83° al oeste. Exprese la ubicación de Columbus en coordenadas esféricas.

Punto de control 2.60

Sídney, Australia, está a 34°S34°S y 151°E.151°E. Exprese la ubicación de Sydney en coordenadas esféricas.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas nos dan la flexibilidad de seleccionar un sistema de coordenadas apropiado para el problema en cuestión. Una elección meditada del sistema de coordenadas puede hacer que un problema sea mucho más fácil de resolver, mientras que una mala elección puede llevar a cálculos innecesariamente complejos. En el siguiente ejemplo, examinamos varios problemas diferentes y discutimos cómo seleccionar el mejor sistema de coordenadas para cada uno de ellos.

Ejemplo 2.67

Elegir el mejor sistema de coordenadas

En cada una de las siguientes situaciones, determinamos qué sistema de coordenadas es el más adecuado y describimos cómo orientaríamos los ejes de coordenadas. Podría haber más de una respuesta correcta sobre cómo deben orientarse los ejes, pero seleccionamos una orientación que tenga sentido en el contexto del problema. Nota: No hay suficiente información para establecer o resolver estos problemas; simplemente seleccionamos el sistema de coordenadas (Figura 2.105).

  1. Halle el centro de gravedad de una bola de boliche.
  2. Determine la velocidad de un submarino sometido a una corriente oceánica.
  3. Calcule la presión en un depósito de agua cónico.
  4. Halle el volumen de petróleo que fluye por un oleoducto.
  5. Determine la cantidad de cuero necesaria para hacer un balón de fútbol
    Esta figura tiene 5 imágenes. La primera imagen muestra bolas de boliche. La segunda imagen es un submarino que viaja por la superficie del océano. La tercera imagen es un cono de tráfico. La cuarta imagen es un oleoducto que atraviesa un terreno baldío. La quinta imagen es un balón de fútbol
    Figura 2.105 (créditos: (a) modificación del trabajo de scl hua, Wikimedia, (b) modificación del trabajo de DVIDSHUB, Flickr, (c) modificación del trabajo de Michael Malak, Wikimedia, (d) modificación del trabajo de Sean Mack, Wikimedia, (e) modificación del trabajo de Elvert Barnes, Flickr).

Punto de control 2.61

¿Cuál sistema de coordenadas es el más apropiado para crear un mapa estelar, visto desde la Tierra? (Vea la siguiente figura).

Esta figura es un círculo con un gráfico de estrellas en el centro.

¿Cómo debemos orientar los ejes de coordenadas?

Sección 2.7 ejercicios

Utilice la siguiente figura como ayuda para identificar la relación entre los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un segmento de línea desde el origen hacia arriba. Está marcado como “rho”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z está marcado “phi”. También hay una línea discontinua desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento de línea se encuentra en el plano x y, y está marcado como “r”. El ángulo entre r y el eje x está marcado “theta”.

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z) de un punto. Halle las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) del punto.

363.

(4,π6,3)(4,π6,3) grandes.

364.

(3,π3,5)(3,π3,5) grandes.

365.

(4,7π6,3)(4,7π6,3) grandes.

366.

( 2 , π , –4 ) ( 2 , π , –4 )

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) de un punto. Halle las coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z) del punto.

367.

(1,3,2 )(1,3,2 ) grandes.

368.

(1,1,5)(1,1,5) grandes.

369.

(3,−3,7)(3,−3,7) grandes.

370.

( −2 2 , 2 2 , 4 ) ( −2 2 , 2 2 , 4 )

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas cilíndricas.

Calcule la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.

371.

[T] r=4r=4

372.

[T] z=r2 cos2 θz=r2 cos2 θ

373.

[T] r2 cos(2 θ)+z2 +1=0r2 cos(2 θ)+z2 +1=0

374.

[T] r=3senθr=3senθ

375.

[T] r=2 cosθr=2 cosθ

376.

[T] r2 +z2 =5r2 +z2 =5

377.

[T] r=2 sθr=2 sθ

378.

[T] r=3cscθr=3cscθ

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Halle la ecuación de la superficie en coordenadas cilíndricas.

379.

z = 3 z = 3

380.

x = 6 x = 6

381.

x 2 + y 2 + z 2 = 9 x 2 + y 2 + z 2 = 9

382.

y = 2 x 2 y = 2 x 2

383.

x 2 + y 2 16 x = 0 x 2 + y 2 16 x = 0

384.

x 2 + y 2 3 x 2 + y 2 + 2 = 0 x 2 + y 2 3 x 2 + y 2 + 2 = 0

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) de un punto. Halle las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) del punto.

385.

(3,0,π)(3,0,π) grandes.

386.

(1,π6,π6)(1,π6,π6) grandes.

387.

(12,π4,π4)(12,π4,π4) grandes.

388.

( 3 , π 4 , π 6 ) ( 3 , π 4 , π 6 )

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) de un punto. Halle las coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) del punto. Exprese la medida de los ángulos en grados redondeados al entero más cercano.

389.

(4,0,0)(4,0,0) grandes.

390.

(–1,2 ,1)(–1,2 ,1) grandes.

391.

(0,3,0)(0,3,0) grandes.

392.

( –2 , 2 3 , 4 ) ( –2 , 2 3 , 4 )

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas esféricas. Calcule la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.

393.

[T] ρ=3ρ=3

394.

[T] φ=π3φ=π3

395.

[T] ρ=2 cosφρ=2 cosφ

396.

[T] ρ=4cscφρ=4cscφ

397.

[T] φ=π2 φ=π2

398.

[T] ρ=6cscφsecθρ=6cscφsecθ

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Halle la ecuación de la superficie en coordenadas esféricas. Identifique la superficie.

399.

x2 +y2 3z2 =0,x2 +y2 3z2 =0, z0z0

400.

x 2 + y 2 + z 2 4 z = 0 x 2 + y 2 + z 2 4 z = 0

401.

z = 6 z = 6

402.

x 2 + y 2 = 9 x 2 + y 2 = 9

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas de un punto. Halle sus coordenadas esféricas asociadas, con la medida del ángulo φφ en radianes redondeados a cuatro decimales.

403.

[T] (1,π4,3)(1,π4,3) grandes.

404.

[T] (5,π,12)(5,π,12) grandes.

405.

(3,π2 ,3)(3,π2 ,3) grandes.

406.

( 3 , π 6 , 3 ) ( 3 , π 6 , 3 )

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas de un punto. Halle sus coordenadas cilíndricas asociadas.

407.

(2 ,π4,π2 )(2 ,π4,π2 ) grandes.

408.

(4,π4,π6)(4,π4,π6) grandes.

409.

(8,π3,π2 )(8,π3,π2 ) grandes.

410.

( 9 , π 6 , π 3 ) ( 9 , π 6 , π 3 )

En los siguientes ejercicios, halle el sistema de coordenadas más adecuado para describir los sólidos.

411.

El sólido situado en el primer octante con vértice en el origen y encerrado por un cubo de longitud de arista a,a, donde a>0a>0

412.

Una capa esférica determinada por la región entre dos esferas concéntricas centradas en el origen, de radios aa y b,b, respectivamente, donde b>a>0b>a>0

413.

Una esfera interior sólida x2 +y2 +z2 =9x2 +y2 +z2 =9 y cilindro exterior (x32 )2 +y2 =94(x32 )2 +y2 =94

414.

Una capa cilíndrica de altura 1010 determinada por la región entre dos cilindros con el mismo centro, reglas paralelas y radios de 2 2 y 5,5, respectivamente

415.

[T] Utilice un CAS para graficar en coordenadas cilíndricas la región entre el paraboloide elíptico z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el cono x2 +y2 z2 =0.x2 +y2 z2 =0.

416.

[T] Utilice un CAS para graficar en coordenadas esféricas la "región del cono de helado" situada sobre el plano xy entre la esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 y cono elíptico x2 +y2 z2 =0.x2 +y2 z2 =0.

417.

Washington, DC, se encuentra a 39°39° N y 77°77° O (vea la siguiente figura). Supongamos que el radio de la Tierra es 4.0004.000 mi. Exprese la ubicación de Washington, DC, en coordenadas esféricas.

Esta figura es la imagen de un globo terráqueo. En el globo terráqueo hay un punto marcado donde se encuentra Washington, DC. Está marcado con 39 grados de latitud norte y 77 grados de longitud oeste.
418.

San Francisco se encuentra a 37,78°N37,78°N y 122,42°O.122,42°O. Supongamos que el radio de la Tierra es 4.0004.000 mi. Exprese la ubicación de San Francisco en coordenadas esféricas.

419.

Halle la latitud y la longitud de Río de Janeiro si sus coordenadas esféricas son (4.000,43,17°,102,91°).(4.000,43,17°,102,91°).

420.

Halle la latitud y la longitud de Berlín si sus coordenadas esféricas son (4.000,13,38°,37,48°).(4.000,13,38°,37,48°).

421.

[T] Considere el toro de la ecuación (x2 +y2 +z2 +R2 r2 )2 =4R2 (x2 +y2 ),(x2 +y2 +z2 +R2 r2 )2 =4R2 (x2 +y2 ), donde Rr>0.Rr>0.

  1. Escriba la ecuación del toro en coordenadas esféricas.
  2. Si los valores de R=r,R=r, la superficie se llama toro de cuerno. Demuestre que la ecuación de un toro de cuerno en coordenadas esféricas es ρ=2 Rsenφ.ρ=2 Rsenφ.
  3. Utilice un CAS para graficar el toro de cuerno con R=r=2 R=r=2 en coordenadas esféricas.
422.

[T] La "esfera con bultos" con una ecuación en coordenadas esféricas es ρ=a+bcos(mθ)sen(nφ),ρ=a+bcos(mθ)sen(nφ), con la θ[0,2 π]θ[0,2 π] y φ[0,π],φ[0,π], donde aa y bb son números positivos y mm y nn son números enteros positivos, pueden utilizarse en matemáticas aplicadas para modelar el crecimiento de los tumores.

  1. Demuestre que la "esfera con bultos" está contenida dentro de una esfera de ecuación ρ=a+b.ρ=a+b. Halle los valores de θθ y φφ en la que se cruzan las dos superficies.
  2. Utilice un CAS para graficar la superficie para a=14,a=14, b=2 ,b=2 , m=4,m=4, y n=6n=6 junto con la esfera ρ=a+b.ρ=a+b.
  3. Halle la ecuación de la curva de intersección de la superficie en b. con el cono φ=π12.φ=π12. Grafique la curva de intersección en el plano de intersección.
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