Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.7.1 Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares.
2.7.2 Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas.
2.7.3 Convertir de coordenadas esféricas a rectangulares.
2.7.4 Convertir de coordenadas rectangulares a esféricas.

El sistema de coordenadas cartesianas ofrece una forma sencilla de describir la ubicación de los puntos en el espacio. Sin embargo, algunas superficies pueden ser difíciles de modelar con ecuaciones basadas en el sistema cartesiano. Este es un problema conocido; recordemos que, en dos dimensiones, las coordenadas polares a menudo ofrecen un sistema alternativo útil para describir la ubicación de un punto en el plano, sobre todo en los casos que involucran círculos. En esta sección, estudiamos dos formas diferentes de describir la ubicación de los puntos en el espacio, ambas basadas en extensiones de las coordenadas polares. Como su nombre indica, las coordenadas cilíndricas son útiles para tratar problemas en los que intervienen cilindros, como calcular el volumen de un depósito de agua redondo o la cantidad de aceite que fluye por una tubería. Asimismo, las coordenadas esféricas son útiles para tratar problemas relacionados con esferas, como la búsqueda del volumen de estructuras abovedadas.

Coordenadas cilíndricas

Cuando ampliamos el sistema tradicional de coordenadas cartesianas de dos a tres dimensiones, simplemente añadimos un nuevo eje para modelar la tercera dimensión. Partiendo de las coordenadas polares, podemos seguir este mismo proceso para crear un nuevo sistema de coordenadas tridimensional, llamado sistema de coordenadas cilíndricas. De este modo, las coordenadas cilíndricas proporcionan una extensión natural de las coordenadas polares a las tres dimensiones.

Definición

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio (Figura 2.89) está representado por la triple ordenada $(r, θ, z),$ donde

$(r, θ)$ son las coordenadas polares de la proyección del punto en el plano xy
$z$ es la coordenada $z habitual$ en el sistema de coordenadas cartesianas

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un punto marcado "(x, y, z) = (r, theta, z)”. En el plano x y, hay un segmento de línea que se extiende hasta debajo del punto. Este segmento de línea está marcado como "r" El ángulo entre el segmento de línea y el eje x es theta. Hay un segmento de línea perpendicular al eje x. Junto con el segmento de línea marcado como r, este segmento de línea y el eje x forman un triángulo recto.

Figura 2.89 El triángulo recto se encuentra en el plano xy. La longitud de la hipotenusa es

r

y

θ

es la medida del ángulo formado por el eje x positivo y la hipotenusa. La
coordenada z describe la ubicación del punto por encima o por debajo del plano xy.

En el plano xy, el triángulo recto mostrado en la Figura 2.89 proporciona la clave para la transformación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, o rectangulares.

Teorema 2.15

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ y las coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ de un punto se relacionan de la siguiente manera:

\begin{matrix} x & = & r cos θ & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ y & = & r sen θ & coordenadas cilíndricas a coordenadas \\ z & = & z & rectangulares. \\ y \\ r^{2} & = & x^{2} + y^{2} & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ tan θ & = & \frac{y}{x} & coordenadas rectangulares a coordenadas \\ z & = & z & cilíndricas. \end{matrix}

Al igual que cuando hablamos de la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en dos dimensiones, hay que tener en cuenta que la ecuación $tan θ = \frac{y}{x}$ tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, si restringimos $θ$ a valores entre $0$ y $2 π,$ entonces podemos hallar una solución única basada en el cuadrante del plano xy en el que se encuentra el punto original $(x, y, z)$ . Observe que si $x = 0,$ entonces el valor de $θ$ es $\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2},$ o $0,$ en función del valor de $y .$

Observe que estas ecuaciones se derivan de las propiedades de los triángulos rectos. Para que esto sea fácil de ver, considere el punto $P$ en el plano xy con coordenadas rectangulares $(x, y, 0)$ y con coordenadas cilíndricas $(r, θ, 0),$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares. Hay un punto marcado "P = (x, y, 0) = (r, theta, 0)”. Existe un segmento de línea desde el origen hasta el punto P. Este segmento de línea está marcado “r”. El ángulo entre el eje x y el segmento de línea r está marcado “theta”. También hay un segmento de línea vertical marcado "y" desde P hasta el eje x. Forma un triángulo recto.

Figura 2.90 El teorema de Pitágoras proporciona la ecuación

r^{2} = x^{2} + y^{2} .

Las relaciones de triángulo recto nos dicen que

x = r cos θ,

y = r sen θ,

y

tan θ = y / x .

Consideremos las diferencias entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas observando las superficies generadas cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Si los valores de $c$ es una constante, entonces en las coordenadas rectangulares, las superficies de la forma $x = c,$ $y = c,$ o $z = c$ son todas planos. Los planos de estas formas son paralelos al plano yz, al plano xz y al plano xy, respectivamente. Cuando convertimos a coordenadas cilíndricas, la coordenada z no cambia. Por lo tanto, en coordenadas cilíndricas, las superficies de la forma $z = c$ son planos paralelos al plano xy. Ahora, pensemos en superficies de la forma $r = c .$ Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del eje z. En otras palabras, estas superficies son cilindros circulares verticales. Por último, ¿qué pasa con $θ = c ?$ Los puntos de una superficie de la forma $θ = c$ están en un ángulo fijo con respecto al eje x, lo que nos da un semiplano que comienza en el eje z (Figura 2.91 y Figura 2.92).

Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es paralelo al plano y z, donde x = c. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es paralelo al plano x z donde y = c. La tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional, donde z = c.

Figura 2.91 En coordenadas rectangulares, (a) las superficies de la forma

x = c

son planos paralelos al plano yz, (b) las superficies de la forma

y = c

son planos paralelos al plano xz y (c) las superficies de la forma

z = c

son planos paralelos al plano xy.

Esta figura tiene 3 imágenes. La primera imagen es un cilindro circular derecho en el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene el eje z en el centro. La segunda imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. Es vertical con el eje z en un extremo. La tercera imagen es un plano en el sistema de coordenadas tridimensional donde z = c.

Figura 2.92 En coordenadas cilíndricas, (a) las superficies de la forma

r = c

son cilindros verticales de radio

c,

(b) las superficies de la forma

θ = c

son semiplanos en ángulo

c

desde el eje x y (c) las superficies de la forma

z = c

son planos paralelos al plano xy.

Ejemplo 2.60

Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares

Marque el punto con coordenadas cilíndricas $(4, \frac{2 π}{3}, –2)$ y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares.

Solución

La conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares requiere una simple aplicación de las ecuaciones enumeradas en Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas:

\begin{matrix} x & = & r cos θ = 4 cos \frac{2 π}{3} = –2 \\ y & = & r sen θ = 4 sen \frac{2 π}{3} = 2 \sqrt{3} \\ z & = & –2. \end{matrix}

El punto con coordenadas cilíndricas $(4, \frac{2 π}{3}, –2)$ tiene coordenadas rectangulares $(–2, 2 \sqrt{3}, –2)$ (vea la siguiente figura).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto donde r = 4, z = –2 y theta = 2 pi / 3.

Figura 2.93 La proyección del punto en el plano xy es de 4 unidades desde el origen. La línea que va del origen a la proyección del punto forma un ángulo de

\frac{2 π}{3}

con el eje x positivo. El punto se encuentra

2

unidades por debajo del plano xy.

Punto de control 2.55

El punto $R$ tiene las coordenadas cilíndricas $(5, \frac{π}{6}, 4)$ . Trace $R$ y describa su ubicación en el espacio utilizando coordenadas rectangulares o cartesianas.

Si este proceso le resulta familiar, hay una razón para esto. Este es exactamente el mismo proceso que seguimos en Introducción a ecuaciones paramétricas y coordenadas polares para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares bidimensionales.

Ejemplo 2.61

Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Convierta las coordenadas rectangulares $(1, −3, 5)$ a coordenadas cilíndricas.

Solución

Utilice el segundo conjunto de ecuaciones de Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas:

\begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ r & = & ± \sqrt{1^{2} + {(−3)}^{2}} = ± \sqrt{10} . \end{matrix}

Elegimos la raíz cuadrada positiva, por lo que $r = \sqrt{10} .$ Ahora, aplicamos la fórmula para hallar $θ .$ En este caso, $y$ es negativo y $x$ es positivo, lo que significa que debemos seleccionar el valor de $θ$ entre $\frac{3 π}{2}$ y $2 π :$

\begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} = \frac{−3}{1} \\ θ & = & arctan (−3) \approx 5,03 rad . \end{matrix}

En este caso, las coordenadas z son las mismas en coordenadas rectangulares y cilíndricas:

z = 5 .

El punto con coordenadas rectangulares $(1, −3, 5)$ tiene coordenadas cilíndricas aproximadamente iguales a $(\sqrt{10}, 5,03, 5) .$

Punto de control 2.56

Convierta los puntos $(–8, 8, –7)$ de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.

El uso de coordenadas cilíndricas es habitual en campos como la física. Los físicos que estudian las cargas eléctricas y los condensadores utilizados para almacenarlas han descubierto que estos sistemas a veces tienen una simetría cilíndrica. Estos sistemas tienen complicadas ecuaciones de modelado en el sistema de coordenadas cartesianas, lo que dificulta su descripción y análisis. A menudo, las ecuaciones pueden expresarse en términos más sencillos utilizando coordenadas cilíndricas. Por ejemplo, el cilindro descrito por la ecuación $x^{2} + y^{2} = 25$ en el sistema cartesiano puede representarse mediante la ecuación cilíndrica $r = 5 .$

Ejemplo 2.62

Identificar superficies en el sistema de coordenadas cilíndricas

Describa las superficies con las ecuaciones cilíndricas dadas.

$θ = \frac{π}{4}$
$r^{2} + z^{2} = 9$
$z = r$

Solución

Cuando el ángulo $θ$ se mantiene constante mientras $r$ y $z$ pueden variar, el resultado es un semiplano (vea la siguiente figura).

Figura 2.94 En coordenadas polares, la ecuación $θ = π / 4$ describe la raya que se extiende en diagonal a través del primer cuadrante. En tres dimensiones, esta misma ecuación describe un semiplano.
Sustituya $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ en la ecuación $r^{2} + z^{2} = 9$ para expresar la forma rectangular de la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 .$ Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio $3$ (vea la siguiente figura).

Figura 2.95 La esfera centrada en el origen con radio $3$ puede describirse mediante la ecuación cilíndrica $r^{2} + z^{2} = 9 .$
Para describir la superficie definida por la ecuación $z = r,$ es útil examinar las trazas paralelas al plano xy. Por ejemplo, la traza en el plano $z = 1$ es un círculo $r = 1,$ la traza en el plano $z = 3$ es un círculo $r = 3,$ y así sucesivamente. Cada traza es un círculo. Como el valor de $z$ aumenta, el radio del círculo también lo hace. La superficie resultante es un cono (vea la siguiente figura)

Figura 2.96 Las trazas en planos paralelos al plano xy son círculos. El radio de los círculos aumenta a medida que $z$ lo hace.

Punto de control 2.57

Describa la superficie con la ecuación cilíndrica $r = 6 .$

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante una triple ordenada en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndricas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante dos distancias $(r y z)$ y una medida de ángulo $(θ) .$ En el sistema de coordenadas esféricas, volvemos a utilizar una triple ordenada para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, la triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, al igual que las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para las coordenadas esféricas se basan en las medidas de los ángulos, como las de las coordenadas polares.

Definición

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto $P$ en el espacio (Figura 2.97) está representado por la triple ordenada $(ρ, θ, φ)$ donde

$ρ$ (la letra griega rho) es la distancia entre $P$ y el origen $(ρ \neq 0);$
$θ$ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas;
$φ$ (la letra griega phi) es el ángulo formado por el eje z positivo y el segmento de línea $\overset{—}{O P},$ donde $O$ es el origen y $0 \leq φ \leq π .$

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto marcado “(x, y, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está marcado como "rho" El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está marcado como "r". El ángulo entre el eje x y r es theta.

Figura 2.97 La relación entre las coordenadas esféricas, rectangulares y cilíndricas.

Por convención, el origen se representa como $(0, 0, 0)$ en coordenadas esféricas.

Teorema 2.16

Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ y las coordenadas esféricas $(ρ, θ, φ)$ de un punto se relacionan de la siguiente manera:

\begin{matrix} x & = & ρ sen φ cos θ & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ y & = & ρ sen φ sen θ & coordenadas esféricas a coordenadas \\ z & = & ρ cos φ & cilíndricas. \\ y \\ ρ^{2} & = & x^{2} + y^{2} + z^{2} & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ tan θ & = & \frac{y}{x} & coordenadas rectangulares a coordenadas \\ φ & = & arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) . & esféricas. \end{matrix}

Si un punto tiene coordenadas cilíndricas $(r, θ, z),$ entonces estas ecuaciones definen la relación entre las coordenadas cilíndricas y esféricas.

\begin{matrix} r & = & ρ sen φ & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ θ & = & θ & coordenadas esféricas a coordenadas \\ z & = & ρ cos φ & cilíndricas. \\ y \\ ρ & = & \sqrt{r^{2} + z^{2}} & Estas ecuaciones se utilizan para convertir de \\ θ & = & θ & coordenadas cilíndricas a coordenadas \\ φ & = & arccos (\frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}}) & esféricas. \end{matrix}

Las fórmulas para convertir las coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares pueden parecer complejas, pero son aplicaciones sencillas de la trigonometría. Mirando la Figura 2.98, es fácil ver que $r = ρ sen φ .$ Entonces, mirando el triángulo en el plano xy con $r$ como su hipotenusa, tenemos $x = r cos θ = ρ sen φ cos θ .$ La derivación de la fórmula de $y$ es similar. La Figura 2.96 también muestra que $ρ^{2} = r^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ y $z = ρ cos φ .$ Resolviendo esta última ecuación para $φ$ y, a continuación, sustituyendo $ρ = \sqrt{r^{2} + z^{2}}$ (a partir de la primera ecuación) da como resultado $φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}}) .$ Además, observe que, como antes, hay que tener cuidado al utilizar la fórmula $tan θ = \frac{y}{x}$ para elegir el valor correcto de $θ .$

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto marcado “x, y, z) = (r, theta, z) = (rho, theta, phi)”. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está marcado como "rho" El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento está marcado como "r". El ángulo entre el eje x y r es theta. La distancia de r al punto está marcado "z”.

Figura 2.98 Las ecuaciones que convierten de un sistema a otro se derivan de relaciones de triángulo rectángulo.

Como hicimos con las coordenadas cilíndricas, consideremos las superficies que se generan cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Supongamos que $c$ es una constante y consideremos las superficies de la forma $ρ = c .$ Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del origen y forman una esfera. La coordenada $θ$ en el sistema de coordenadas esféricas es la misma que en el sistema de coordenadas cilíndricas, por lo que las superficies de la forma $θ = c$ son semiplanos, como antes. Por último, consideremos las superficies de la forma $φ = c .$ Los puntos de estas superficies tienen un ángulo fijo respecto al eje z y forman un semicono (Figura 2.99).

Esta figura tiene tres imágenes. La primera imagen es una esfera centrada en el sistema de coordenadas tridimensional. La segunda figura es un plano vertical con una arista en el eje z en el sistema de coordenadas tridimensional. La tercera imagen es un cono elíptico con centro en el origen del sistema de coordenadas tridimensional.

Figura 2.99 En coordenadas esféricas, las superficies de la forma

ρ = c

son esferas de radio

ρ

(a), superficies de la forma

θ = c

son semiplanos en ángulo

θ

desde el eje x (b) y superficies de la forma

ϕ = c

son semiconos en ángulo

ϕ

desde el eje z (c).

Ejemplo 2.63

Convertir de coordenadas esféricas

Trace el punto con coordenadas esféricas $(8, \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Solución

Utilice las ecuaciones en Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares para traducir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura 2.100):

\begin{matrix} x = ρ sen φ cos θ = 8 sen (\frac{π}{6}) cos (\frac{π}{3}) = 8 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} = 2 \\ y = ρ sen φ sen θ = 8 sen (\frac{π}{6}) sen (\frac{π}{3}) = 8 (\frac{1}{2}) \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \\ z = ρ cos φ = 8 cos (\frac{π}{6}) = 8 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 \sqrt{3} . \end{matrix}

Esta figura es el primer cuadrante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto marcado "(8, pi/3, pi/6)" Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. Está marcado como "rho = 8”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z está marcado "phi = pi/6”. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. El ángulo entre el eje x y r está marcado "theta = pi/3”.

Figura 2.100 La proyección del punto en el plano xy es

4

unidades desde el origen. La línea que va del origen a la proyección del punto forma un ángulo de

π / 3

con el eje x positivo. El punto se encuentra

4 \sqrt{3}

unidades sobre el plano xy.

El punto con coordenadas esféricas $(8, \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ tiene coordenadas rectangulares $(2, 2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}) .$

Hallar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

\begin{matrix} r & = & ρ sen φ = 8 sen \frac{π}{6} = 4 \\ θ & = & θ \\ z & = & ρ cos φ = 8 cos \frac{π}{6} = 4 \sqrt{3} . \end{matrix}

Así, las coordenadas cilíndricas del punto son $(4, \frac{π}{3}, 4 \sqrt{3}) .$

Punto de control 2.58

Trace el punto con coordenadas esféricas $(2, - \frac{5 π}{6}, \frac{π}{6})$ y describa su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Ejemplo 2.64

Convertir de coordenadas rectangulares

Convierta las coordenadas rectangulares $(–1, 1, \sqrt{6})$ a las coordenadas esféricas y cilíndricas.

Solución

Comience convirtiendo las coordenadas rectangulares en esféricas:

\begin{matrix} \begin{matrix} ρ^{2} & = & x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(–1)}^{2} + 1^{2} + {(\sqrt{6})}^{2} = 8 \\ ρ & = & 2 \sqrt{2} \end{matrix} & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{1}{−1} \\ θ & = & arctan (–1) = \frac{3 π}{4} . \end{matrix} \end{matrix}

Dado que $(x, y) = (–1, 1),$ entonces la opción correcta para $θ$ es $\frac{3 π}{4} .$

En realidad hay dos formas de identificar $φ .$ Podemos utilizar la ecuación $φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) .$ Sin embargo, un enfoque más sencillo es utilizar la ecuación $z = ρ cos φ .$ Sabemos que $z = \sqrt{6}$ y $ρ = 2 \sqrt{2},$ así que

\sqrt{6} = 2 \sqrt{2} cos φ, por lo que cos φ = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

y por lo tanto $φ = \frac{π}{6} .$ Las coordenadas esféricas del punto son $(2 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{6}) .$

Para hallar las coordenadas cilíndricas del punto, solo necesitamos hallar $r :$

r = ρ sen φ = 2 \sqrt{2} sen (\frac{π}{6}) = \sqrt{2} .

Las coordenadas cilíndricas del punto son $(\sqrt{2}, \frac{3 π}{4}, \sqrt{6}) .$

Ejemplo 2.65

Identificar superficies en el sistema de coordenadas esféricas

Describa las superficies con las ecuaciones esféricas dadas.

$θ = \frac{π}{3}$
$φ = \frac{5 π}{6}$
$ρ = 6$
$ρ = sen θ sen φ$

Solución

La variable $θ$ representa la medida del mismo ángulo tanto en el sistema de coordenadas cilíndricas como en el esférico. Los puntos con coordenadas $(ρ, \frac{π}{3}, φ)$ se encuentran en el plano que forma el ángulo $θ = \frac{π}{3}$ con el eje x positivo. Dado que $ρ > 0,$ la superficie descrita por la ecuación $θ = \frac{π}{3}$ es el semiplano que se muestra en la Figura 2.101.

Figura 2.101 La superficie descrita por la ecuación $θ = \frac{π}{3}$ es un semiplano.
La ecuación $φ = \frac{5 π}{6}$ describe todos los puntos del sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una línea desde el origen que forma un ángulo que mide $\frac{5 π}{6}$ rad con el eje z positivo. Estos puntos forman un semicono (Figura 2.102). Dado que solo hay un valor para $φ$ que se mide desde el eje z positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas)

Figura 2.102 La ecuación $φ = \frac{5 π}{6}$ describe un cono.

Para hallar la ecuación en coordenadas rectangulares, utilice la ecuación $φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) .$

$\begin{matrix} \frac{5 π}{6} & = & arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) \\ cos \frac{5 π}{6} & = & \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \frac{3}{4} & = & \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 y^{2}}{4} + \frac{3 z^{2}}{4} & = & z^{2} \\ \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{4} & = & 0, \end{matrix}$

Esta es la ecuación de un cono centrado en el eje z.
La ecuación $ρ = 6$ describe el conjunto de todos los puntos $6$ unidades desde el origen, una esfera de radio $6$ (Figura 2.103)

Figura 2.103 La ecuación $ρ = 6$ describe una esfera de radio $6 .$
Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, utilizando las ecuaciones $y = ρ sen φ sen θ$ y $ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} :$

$\begin{matrix} ρ & = & sen θ sen φ \\ ρ^{2} & = & ρ sen θ sen φ & Multiplique ambos lados de la ecuación por ρ . \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & = & y & Sustituya las variables rectangulares utilizando las ecuaciones anteriores. \\ x^{2} + y^{2} - y + z^{2} & = & 0 & Reste y de ambos lados de la ecuación. \\ x^{2} + y^{2} - y + \frac{1}{4} + z^{2} & = & \frac{1}{4} & Complete el cuadrado. \\ x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} + z^{2} & = & \frac{1}{4} . & Reescriba los términos medios como un cuadrado perfecto. \end{matrix}$

La ecuación describe una esfera centrada en el punto $(0, \frac{1}{2}, 0)$ con radio $\frac{1}{2} .$

Punto de control 2.59

Describa las superficies definidas por las siguientes ecuaciones.

$ρ = 13$
$θ = \frac{2 π}{3}$
$φ = \frac{π}{4}$

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría en torno a un punto, como el volumen del espacio dentro de un estadio abovedado o la rapidez del viento en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}$ tiene la ecuación sencilla $ρ = c$ en coordenadas esféricas.

En geografía, la latitud y la longitud se utilizan para describir ubicaciones en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Figura 2.104. Aunque la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, utilizamos coordenadas esféricas para comunicar la ubicación de los puntos en la Tierra. Supongamos que la Tierra tiene la forma de una esfera con radio $4.000$ millas. Expresamos las medidas de los ángulos en grados y no en radianes porque la latitud y la longitud se miden en grados.

Esta figura es una imagen de la Tierra. Tiene marcado el primer meridiano, que es un círculo en la superficie que circunvala la Tierra verticalmente a través de los polos. También tiene marcado el ecuador, que es un círculo horizontal que circunvala la Tierra. Tres vectores se extienden desde el centro de la Tierra. Dos de ellos se extienden hasta el ecuador e indican una medida de longitud. Dos de ellos se extienden hasta un círculo polar vertical e indican una medida de latitud.

Figura 2.104 En el sistema de latitud-longitud, los ángulos describen la ubicación de un punto de la Tierra en relación con el ecuador y el primer meridiano.

Supongamos que el centro de la Tierra es el centro de la esfera, con la raya desde el centro a través del Polo Norte representando el eje z positivo. El primer meridiano representa la traza de la superficie en su intersección con el plano xz. El ecuador es la traza de la esfera que interseca el plano xy.

Ejemplo 2.66

Convertir de latitud y longitud a coordenadas esféricas

La latitud de Columbus, Ohio, es $40 °$ N y la longitud es $83 °$ O, lo que significa que Columbus está $40 °$ al norte del ecuador. Imagine una raya desde el centro de la Tierra a través de Columbus y una raya desde el centro de la Tierra a través del ecuador directamente al sur de Columbus. La medida del ángulo formado por las rayas es $40 ° .$ De la misma manera, midiendo desde el primer meridiano, Columbus se encuentra $83 °$ al oeste. Exprese la ubicación de Columbus en coordenadas esféricas.

Solución

El radio de la Tierra es $4.000$ millas, así que $ρ = 4.000 .$ La intersección del primer meridiano con el ecuador se encuentra en el eje x positivo. El movimiento hacia el oeste se describe entonces con medidas de ángulo negativo, lo que demuestra que $θ = –83 °,$ Dado que Columbus está $40 °$ al norte del ecuador, se encuentra $50 °$ al sur del Polo Norte, así que $φ = 50 ° .$ En coordenadas esféricas, Columbus se encuentra en el punto $(4.000, −83 °, 50 °) .$

Punto de control 2.60

Sídney, Australia, está a $34 ° S$ y $151 ° E .$ Exprese la ubicación de Sydney en coordenadas esféricas.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas nos dan la flexibilidad de seleccionar un sistema de coordenadas apropiado para el problema en cuestión. Una elección meditada del sistema de coordenadas puede hacer que un problema sea mucho más fácil de resolver, mientras que una mala elección puede llevar a cálculos innecesariamente complejos. En el siguiente ejemplo, examinamos varios problemas diferentes y discutimos cómo seleccionar el mejor sistema de coordenadas para cada uno de ellos.

Ejemplo 2.67

Elegir el mejor sistema de coordenadas

En cada una de las siguientes situaciones, determinamos qué sistema de coordenadas es el más adecuado y describimos cómo orientaríamos los ejes de coordenadas. Podría haber más de una respuesta correcta sobre cómo deben orientarse los ejes, pero seleccionamos una orientación que tenga sentido en el contexto del problema. Nota: No hay suficiente información para establecer o resolver estos problemas; simplemente seleccionamos el sistema de coordenadas (Figura 2.105).

Halle el centro de gravedad de una bola de boliche.
Determine la velocidad de un submarino sometido a una corriente oceánica.
Calcule la presión en un depósito de agua cónico.
Halle el volumen de petróleo que fluye por un oleoducto.
Determine la cantidad de cuero necesaria para hacer un balón de fútbol

Figura 2.105 (créditos: (a) modificación del trabajo de scl hua, Wikimedia, (b) modificación del trabajo de DVIDSHUB, Flickr, (c) modificación del trabajo de Michael Malak, Wikimedia, (d) modificación del trabajo de Sean Mack, Wikimedia, (e) modificación del trabajo de Elvert Barnes, Flickr).

Solución

Evidentemente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas serían probablemente las más adecuadas en este caso. El origen debe situarse en el centro físico de la bola. No hay una opción obvia para la orientación de los ejes x, y y z. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el eje z con el eje de simetría del bloque de peso.
Un submarino se mueve generalmente en línea recta. No hay simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El eje z probablemente debería apuntar hacia arriba. El eje x y el eje y podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser algún lugar físico conveniente, como la posición inicial del submarino o la ubicación de un puerto concreto.
Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono puede representarse mediante la ecuación $z = k r,$ donde $k$ es una constante. En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma $φ = c$ son semiconos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuádricas y pueden representarse mediante ecuaciones de la forma $z^{2} = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} .$ En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres. Sin embargo, la ecuación de la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que quizá queramos evitar esa opción. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que sería bueno tener una componente que represente la altura y la profundidad directamente. Según este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elija el eje z para alinearlo con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.
Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente elegiríamos orientar nuestro eje z con el eje central de la tubería. El eje x puede elegirse para que apunte directamente hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse en función del planteamiento del problema. Tenga en cuenta que esto pone el eje z en una orientación horizontal, que es un poco diferente de lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.
Un balón de fútbol tiene simetría rotacional en torno a un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas serían las más adecuadas. El eje z debe alinearse con el eje del balón. El origen puede ser el centro del balón o quizás uno de los extremos. La posición del eje x es arbitraria.

Punto de control 2.61

¿Cuál sistema de coordenadas es el más apropiado para crear un mapa estelar, visto desde la Tierra? (Vea la siguiente figura).

Esta figura es un círculo con un gráfico de estrellas en el centro.

¿Cómo debemos orientar los ejes de coordenadas?

Sección 2.7 ejercicios

Utilice la siguiente figura como ayuda para identificar la relación entre los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un segmento de línea desde el origen hacia arriba. Está marcado como “rho”. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z está marcado “phi”. También hay una línea discontinua desde el origen hasta la sombra del punto. Este segmento de línea se encuentra en el plano x y, y está marcado como “r”. El ángulo entre r y el eje x está marcado “theta”.

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ de un punto. Halle las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ del punto.

363.

$(4, \frac{π}{6}, 3)$ grandes.

364.

$(3, \frac{π}{3}, 5)$ grandes.

365.

$(4, \frac{7 π}{6}, 3)$ grandes.

366.

$(2, π, –4)$

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ de un punto. Halle las coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ del punto.

367.

$(1, \sqrt{3}, 2)$ grandes.

368.

$(1, 1, 5)$ grandes.

369.

$(3, −3, 7)$ grandes.

370.

$(−2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, 4)$

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas cilíndricas.

Calcule la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.

371.

[T] $r = 4$

372.

[T] $z = r^{2} {cos}^{2} θ$

373.

[T] $r^{2} cos (2 θ) + z^{2} + 1 = 0$

374.

[T] $r = 3 sen θ$

375.

[T] $r = 2 cos θ$

376.

[T] $r^{2} + z^{2} = 5$

377.

[T] $r = 2 s θ$

378.

[T] $r = 3 csc θ$

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Halle la ecuación de la superficie en coordenadas cilíndricas.

379.

$z = 3$

380.

$x = 6$

381.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$

382.

$y = 2 x^{2}$

383.

$x^{2} + y^{2} - 16 x = 0$

384.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{x^{2} + y^{2}} + 2 = 0$

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas $(ρ, θ, φ)$ de un punto. Halle las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ del punto.

385.

$(3, 0, π)$ grandes.

386.

$(1, \frac{π}{6}, \frac{π}{6})$ grandes.

387.

$(12, - \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ grandes.

388.

$(3, \frac{π}{4}, \frac{π}{6})$

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ de un punto. Halle las coordenadas esféricas $(ρ, θ, φ)$ del punto. Exprese la medida de los ángulos en grados redondeados al entero más cercano.

389.

$(4, 0, 0)$ grandes.

390.

$(–1, 2, 1)$ grandes.

391.

$(0, 3, 0)$ grandes.

392.

$(–2, 2 \sqrt{3}, 4)$

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas esféricas. Calcule la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.

393.

[T] $ρ = 3$

394.

[T] $φ = \frac{π}{3}$

395.

[T] $ρ = 2 cos φ$

396.

[T] $ρ = 4 csc φ$

397.

[T] $φ = \frac{π}{2}$

398.

[T] $ρ = 6 csc φ sec θ$

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Halle la ecuación de la superficie en coordenadas esféricas. Identifique la superficie.

399.

$x^{2} + y^{2} - 3 z^{2} = 0,$ $z \neq 0$

400.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z = 0$

401.

$z = 6$

402.

$x^{2} + y^{2} = 9$

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas de un punto. Halle sus coordenadas esféricas asociadas, con la medida del ángulo $φ$ en radianes redondeados a cuatro decimales.

403.

[T] $(1, \frac{π}{4}, 3)$ grandes.

404.

[T] $(5, π, 12)$ grandes.

405.

$(3, \frac{π}{2}, 3)$ grandes.

406.

$(3, - \frac{π}{6}, 3)$

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas de un punto. Halle sus coordenadas cilíndricas asociadas.

407.

$(2, - \frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ grandes.

408.

$(4, \frac{π}{4}, \frac{π}{6})$ grandes.

409.

$(8, \frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ grandes.

410.

$(9, - \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$

En los siguientes ejercicios, halle el sistema de coordenadas más adecuado para describir los sólidos.

411.

El sólido situado en el primer octante con vértice en el origen y encerrado por un cubo de longitud de arista $a,$ donde $a > 0$

412.

Una capa esférica determinada por la región entre dos esferas concéntricas centradas en el origen, de radios $a$ y $b,$ respectivamente, donde $b > a > 0$

413.

Una esfera interior sólida $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ y cilindro exterior ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$

414.

Una capa cilíndrica de altura $10$ determinada por la región entre dos cilindros con el mismo centro, reglas paralelas y radios de $2$ y $5,$ respectivamente

415.

[T] Utilice un CAS para graficar en coordenadas cilíndricas la región entre el paraboloide elíptico $z = x^{2} + y^{2}$ y el cono $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 .$

416.

[T] Utilice un CAS para graficar en coordenadas esféricas la "región del cono de helado" situada sobre el plano xy entre la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ y cono elíptico $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 .$

417.

Washington, DC, se encuentra a $39 °$ N y $77 °$ O (vea la siguiente figura). Supongamos que el radio de la Tierra es $4.000$ mi. Exprese la ubicación de Washington, DC, en coordenadas esféricas.

Esta figura es la imagen de un globo terráqueo. En el globo terráqueo hay un punto marcado donde se encuentra Washington, DC. Está marcado con 39 grados de latitud norte y 77 grados de longitud oeste.

418.

San Francisco se encuentra a $37,78 ° N$ y $122,42 ° O .$ Supongamos que el radio de la Tierra es $4.000$ mi. Exprese la ubicación de San Francisco en coordenadas esféricas.

419.

Halle la latitud y la longitud de Río de Janeiro si sus coordenadas esféricas son $(4.000, − 43,17 °, 102,91 °) .$

420.

Halle la latitud y la longitud de Berlín si sus coordenadas esféricas son $(4.000, 13,38 °, 37,48 °) .$

421.

[T] Considere el toro de la ecuación ${(x^{2} + y^{2} + z^{2} + R^{2} - r^{2})}^{2} = 4 R^{2} (x^{2} + y^{2}),$ donde $R \geq r > 0 .$

Escriba la ecuación del toro en coordenadas esféricas.
Si los valores de $R = r,$ la superficie se llama toro de cuerno. Demuestre que la ecuación de un toro de cuerno en coordenadas esféricas es $ρ = 2 R sen φ .$
Utilice un CAS para graficar el toro de cuerno con $R = r = 2$ en coordenadas esféricas.

422.

[T] La "esfera con bultos" con una ecuación en coordenadas esféricas es $ρ = a + b cos (m θ) sen (n φ),$ con la $θ \in [0, 2 π]$ y $φ \in [0, π],$ donde $a$ y $b$ son números positivos y $m$ y $n$ son números enteros positivos, pueden utilizarse en matemáticas aplicadas para modelar el crecimiento de los tumores.

Demuestre que la "esfera con bultos" está contenida dentro de una esfera de ecuación $ρ = a + b .$ Halle los valores de $θ$ y $φ$ en la que se cruzan las dos superficies.
Utilice un CAS para graficar la superficie para $a = 14,$ $b = 2,$ $m = 4,$ y $n = 6$ junto con la esfera $ρ = a + b .$
Halle la ecuación de la curva de intersección de la superficie en b. con el cono $φ = \frac{π}{12} .$ Grafique la curva de intersección en el plano de intersección.

2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

Coordenadas cilíndricas

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares

Solución

Convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Solución

Identificar superficies en el sistema de coordenadas cilíndricas

Solución

Coordenadas esféricas

Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Convertir de coordenadas esféricas

Solución

Convertir de coordenadas rectangulares

Solución

Identificar superficies en el sistema de coordenadas esféricas

Solución

Convertir de latitud y longitud a coordenadas esféricas

Solución

Elegir el mejor sistema de coordenadas

Solución

Sección 2.7 ejercicios