Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.6.1 Identificar un cilindro como un tipo de superficie tridimensional.
2.6.2 Reconocer las características principales de los elipsoides, paraboloides e hiperboloides.
2.6.3 Utilizar las trazas para dibujar las intersecciones de las superficies cuádricas con los planos de coordenadas.

Hemos explorado los vectores y las operaciones vectoriales en el espacio tridimensional y hemos desarrollado ecuaciones para describir líneas, planos y esferas. En esta sección, utilizamos nuestro conocimiento de los planos y las esferas, que son ejemplos de figuras tridimensionales llamadas superficies, para explorar una variedad de otras superficies que pueden ser graficadas en un sistema de coordenadas tridimensional.

Identificación de cilindros

La primera superficie que examinaremos es el cilindro. Aunque la mayoría de la gente piensa inmediatamente en un tubo hueco o en una pajilla de refresco cuando escucha la palabra cilindro, aquí utilizamos el significado matemático amplio del término. Como hemos visto, las superficies cilíndricas no tienen por qué ser circulares. Un conducto de calefacción rectangular es un cilindro, al igual que una colchoneta de yoga enrollada, cuya sección transversal tiene forma de espiral.

En el plano de coordenadas bidimensional, la ecuación $x^{2} + y^{2} = 9$ describe un círculo centrado en el origen con radio $3 .$ En el espacio tridimensional, esta misma ecuación representa una superficie. Imagine copias de un círculo apiladas unas sobre otras centradas en el eje z (Figura 2.75) formando un tubo hueco. Podemos entonces construir un cilindro a partir del conjunto de líneas paralelas al eje z que pasan por el círculo $x^{2} + y^{2} = 9$ en el plano xy, como se muestra en la figura. De este modo, cualquier curva en uno de los planos de coordenadas puede extenderse para convertirse en una superficie.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un centro circular derecho con el eje z pasando por el centro. El cilindro también tiene puntos marcados en el eje x en el eje y de (3, 0, 0) y (0, 3, 0).

Figura 2.75 En el espacio tridimensional, el gráfico de la ecuación

x^{2} + y^{2} = 9

es un cilindro de radio

3

centrado en el eje z. Continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa.

Definición

Un conjunto de líneas paralelas a una línea determinada que pasa por una curva determinada se conoce como superficie cilíndrica o cilindro. Las líneas paralelas se llaman reglas.

A partir de esta definición, podemos ver que seguimos teniendo un cilindro en el espacio tridimensional, aunque la curva no sea un círculo. Cualquier curva puede formar un cilindro, y las reglas que componen el cilindro pueden ser paralelas a cualquier línea (Figura 2.76).

Esta figura tiene una superficie tridimensional que comienza en el eje y, y se curva hacia arriba. También están marcados los ejes x y z.

Figura 2.76 En el espacio tridimensional, la gráfica de la ecuación

z = x^{3}

es un cilindro, o una superficie cilíndrica con reglas paralelas al eje y.

Ejemplo 2.55

Graficar superficies cilíndricas

Dibuje los gráficos de las siguientes superficies cilíndricas.

$x^{2} + z^{2} = 25$
$z = 2 x^{2} - y$
$y = sen x$

Solución

La variable $y$ puede tomar cualquier valor sin límite. Por lo tanto, las líneas que rigen esta superficie son paralelas al eje y. La intersección de esta superficie con el plano xz forma un círculo centrado en el origen con radio $5$ (vea la siguiente figura).

Figura 2.77 El gráfico de la ecuación $x^{2} + z^{2} = 25$ es un cilindro de radio $5$ centrado en el eje y.
En este caso, la ecuación contiene las tres variables $— x, y,$ y $z —$ así que ninguna de las variables puede variar arbitrariamente. La forma más fácil de visualizar esta superficie es utilizar una herramienta gráfica de computadora (vea la siguiente figura).

Figura 2.78
En esta ecuación, la variable z puede tomar cualquier valor sin límite. Por lo tanto, las líneas que componen esta superficie son paralelas al eje z. La intersección de esta superficie con el plano xy delinea la curva $y = sen x$ (vea la siguiente figura).

Figura 2.79 La gráfica de la ecuación $y = sen x$ está formado por un conjunto de líneas paralelas al eje z que pasan por la curva $y = sen x$ en el plano xy.

Punto de control 2.52

Dibuje o utilice una herramienta gráfica para ver el gráfico de la superficie cilíndrica definida por la ecuación $z = y^{2} .$

Al dibujar superficies, hemos visto que es útil dibujar su intersección con un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas. Estas curvas se llaman trazas. Podemos verlas en el gráfico del cilindro en la Figura 2.80.

Definición

Las trazas de una superficie son las secciones transversales que se crean cuando la superficie interseca un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera imagen es una superficie. Una sección transversal de la superficie paralela al plano x z sería una curva sinusoidal. La segunda imagen es la curva sinusoidal en el plano x y.

Figura 2.80 (a) Esta es una vista del gráfico de la ecuación

z = sen x .

(b) Para hallar la traza del gráfico en el plano xz, se establece

y = 0 .

La traza es simplemente una onda sinusoidal bidimensional.

Las trazas son útiles para dibujar superficies cilíndricas. Sin embargo, para un cilindro en tres dimensiones, solo es útil un conjunto de trazas. Observe que, en la Figura 2.80, la traza del gráfico de $z = sen x$ en el plano xz es útil para construir el gráfico. Sin embargo, la traza en el plano xy es solo una serie de líneas paralelas, y la traza en el plano yz es simplemente una línea.

Las superficies cilíndricas están formadas por un conjunto de líneas paralelas. Sin embargo, no todas las superficies en tres dimensiones se construyen de una manera tan sencilla. Ahora exploramos superficies más complejas, y las trazas son una herramienta importante en esta investigación.

Superficies cuádricas

Hemos aprendido sobre las superficies en tres dimensiones descritas por ecuaciones de primer orden; estas son planos. Otros tipos comunes de superficies pueden describirse mediante ecuaciones de segundo orden. Podemos ver estas superficies como extensiones tridimensionales de las secciones cónicas que hemos discutido antes: la elipse, la parábola y la hipérbola. A estos gráficos los llamamos superficies cuádricas.

Definición

Las superficies cuádricas son los gráficos de las ecuaciones que pueden expresarse en la forma

A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + D x y + E x z + F y z + G x + H y + J z + K = 0 .

Cuando una superficie cuádrica interseca un plano de coordenadas, la traza es una sección cónica.

Un elipsoide es una superficie descrita por una ecuación de la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 .$ Establezca $x = 0$ para ver la traza del elipsoide en el plano yz. Para hallar las trazas en los planos xy y xz, establezca $z = 0$ y $y = 0,$ respectivamente. Observe que, si $a = b,$ la traza en el plano xy es un círculo. Del mismo modo, si $a = c,$ la traza en el plano xz es un círculo y, si $b = c,$ entonces la traza en el plano yz es un círculo. Una esfera, entonces, es un elipsoide con $a = b = c .$

Ejemplo 2.56

Dibujar un elipsoide

Dibujar el elipsoide $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} + \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1 .$

Solución

Empiece por dibujar las trazas. Para hallar la traza en el plano xy, establezca $z = 0 :$ $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$ (vea la Figura 2.81). Para hallar las otras trazas, primero establezca $y = 0$ y luego establezca $x = 0 .$

Esta figura tiene tres imágenes. La primera imagen es un óvalo centrado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Interseca el eje x en -2 y 2. Interseca el eje y en –3 y 3. La segunda imagen es un óvalo centrado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Interseca el eje x en –2 y 2 y el eje y en –5 y 5. La tercera imagen es un óvalo centrado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Interseca el eje x en –3 y 3 y el eje y en –5 y 5.

Figura 2.81 (a) Este gráfico representa la traza de la ecuación

\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} + \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1

en el plano xy, cuando establecemos

z = 0 .

(b) Cuando establecemos

y = 0,

obtenemos la traza del elipsoide en el plano xz, que es una elipse. (c) Cuando establecemos

x = 0,

obtenemos la traza del elipsoide en el plano yz, que también es una elipse.

Ahora que sabemos qué aspecto tienen las trazas de este sólido, podemos dibujar la superficie en tres dimensiones (Figura 2.82).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera imagen es una elipse vertical. Hay dos curvas dibujadas con líneas discontinuas horizontal y verticalmente alrededor del centro para dar a la imagen una forma tridimensional. La segunda imagen es una forma elíptica sólida con el centro en el origen del sistema de coordenadas tridimensional.

Figura 2.82 (a) Las trazas proporcionan un marco para la superficie. (b) El centro de este elipsoide es el origen.

La traza de un elipsoide es una elipse en cada uno de los planos de coordenadas. Sin embargo, no es necesario que esto sea así para todas las superficies cuádricas. Muchas superficies cuádricas tienen trazas que son diferentes tipos de secciones cónicas, y esto se suele indicar con el nombre de la superficie. Por ejemplo, si una superficie se puede describir por una ecuación de la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z}{c},$ entonces llamamos a esa superficie un paraboloide elíptico. La traza en el plano xy es una elipse, pero las trazas en el plano xz y en el plano yz son parábolas (Figura 2.83). Otros paraboloides elípticos pueden tener otras orientaciones simplemente intercambiando las variables para darnos una variable diferente en el término lineal de la ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{y}{b}$ o $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{x}{a} .$

Esta figura es la imagen de una superficie. Se encuentra en el sistema de coordenadas tridimensional sobre el origen. Una sección transversal de esta superficie paralela al plano x y sería una elipse.

Figura 2.83 Esta superficie cuádrica se llama paraboloide elíptico.

Ejemplo 2.57

Identificar trazas de superficies cuádricas

Describa las trazas del paraboloide elíptico $x^{2} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = \frac{z}{5} .$

Solución

Para hallar la traza en el plano xy, establezca $z = 0 :$ $x^{2} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 0 .$ La traza en el plano $z = 0$ es simplemente un punto, el origen. Como un solo punto no nos dice cuál es la forma, podemos desplazarnos por el eje z hasta un plano arbitrario para hallar la forma de otras trazas de la figura.

La traza en plano $z = 5$ es el gráfico de la ecuación $x^{2} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1,$ que es una elipse. En el plano xz, la ecuación se convierte en $z = 5 x^{2} .$ La traza es una parábola en este plano y en cualquier plano con la ecuación $y = b .$

En los planos paralelos al plano yz, las trazas también son parábolas, como podemos ver en la siguiente figura.

Esta figura tiene cuatro imágenes. La primera imagen es la de una superficie. Se encuentra en el sistema de coordenadas tridimensional sobre el origen. Una sección transversal de esta superficie paralela al plano x y sería una elipse. Una sección transversal paralela al plano x z sería una parábola. Una sección transversal de la superficie paralela al plano y z sería una parábola. La segunda imagen es la sección transversal paralela al plano x y, y es una elipse. La tercera imagen es la sección transversal paralela al plano x z, y es una parábola. La cuarta imagen es la sección transversal paralela al plano y z, y es una parábola.

Figura 2.84 (a) El paraboloide

x^{2} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = \frac{z}{5} .

(b) La traza en el plano

z = 5 .

(c) La traza en el plano xz. (d) La traza en el plano yz.

Punto de control 2.53

Un hiperboloide de una hoja es cualquier superficie que puede describirse con una ecuación de la forma $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 .$ Describa las trazas del hiperboloide de una hoja dadas por la ecuación $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1 .$

Los hiperboloides de una hoja tienen algunas propiedades fascinantes. Por ejemplo, pueden construirse mediante líneas rectas, como en la escultura en la Figura 2.85(a). De hecho, las torres de refrigeración de las centrales nucleares suelen tener forma de hiperboloide. Los constructores pueden utilizar vigas rectas de acero en la construcción, lo que hace que las torres sean muy resistentes a la vez que utilizan relativamente poco material (Figura 2.85(b)).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera imagen es una escultura hecha de palos paralelos, curvados juntos en un círculo con una sección transversal hiperbólica. La segunda imagen es un central nuclear. Las torres tienen forma hiperbólica.

Figura 2.85 (a) Una escultura con forma de hiperboloide puede construirse con líneas rectas. (b) Las torres de refrigeración de las centrales nucleares suelen construirse con forma de hiperboloide.

Ejemplo 2.58

Inicio del capítulo: Hallar el foco de un reflector parabólico

La energía que incide en la superficie de un reflector parabólico se concentra en su punto focal (Figura 2.86). Si la superficie de un reflector parabólico se describe mediante la ecuación $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{100} = \frac{z}{4},$ ¿dónde está el punto focal del reflector?

Esta figura tiene dos imágenes. La primera imagen es una foto de antenas parabólicas con reflectores. La segunda imagen es una curva parabólica sobre un segmento de línea. La parte inferior de la curva está en el punto V. Hay un segmento de línea perpendicular al otro segmento de línea que pasa por V. Hay un punto en este segmento de línea marcado como F. Hay 3 líneas desde F hasta la parábola, que se cruzan en P subíndice 1, P subíndice 2 y P subíndice 3. También hay tres líneas verticales de P subíndice 1 a Q subíndice 1, de P subíndice 2 a Q subíndice 2 y de P subíndice 3 a Q subíndice 3.

Figura 2.86 La energía se refleja desde el reflector parabólico y se recoge en el punto focal (créditos: modificación de CGP Grey, Wikimedia Commons).

Solución

Como z es la variable de primera potencia, el eje del reflector corresponde al eje z. Los coeficientes de $x^{2}$ y $y^{2}$ son iguales, por lo que la sección transversal del paraboloide perpendicular al eje z es un círculo. Podemos considerar una traza en el plano xz o en el plano yz; el resultado es el mismo. Si establecemos que $y = 0,$ la traza es una parábola que se abre a lo largo del eje z, con la ecuación estándar $x^{2} = 4 p z,$ donde $p$ es la distancia focal de la parábola. En este caso, esta ecuación se convierte en $x^{2} = 100 . \frac{z}{4} = 4 p z$ o $25 = 4 p .$ Así que p es $6,25$ m, lo que nos indica que el foco del paraboloide es $6,25$ m por el eje desde el vértice. Como el vértice de esta superficie es el origen, el punto focal es $(0, 0, 6,25) .$

De la ecuación general se pueden derivar diecisiete superficies cuádricas estándar

A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + D x y + E x z + F y z + G x + H y + J z + K = 0 .

Las siguientes figuras resumen las más importantes.

Esta figura es de una tabla con dos columnas y tres filas. Las tres filas representan las 6 primeras superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas. Las ecuaciones y las trazas están en la primera columna. La segunda columna contiene los gráficos de las superficies. El gráfico del elipsoide es una forma redonda oblonga vertical. El hiperboloide de una hoja es circular en las partes superior e inferior y estrecho en el centro. El hiperboloide de dos hojas tiene dos cúpulas parabólicas opuestas.

Figura 2.87 Características de las superficies cuadráticas comunes: Elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas.

Esta figura es de una tabla con dos columnas y tres filas. Las tres filas representan la segunda parte de las 6 superficies cuádricas: cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico. Las ecuaciones y las trazas están en la primera columna. La segunda columna contiene las gráficas de las superficies. El cono elíptico tiene dos conos que se tocan en las puntas. El paraboloide elíptico es similar a un cono pero oblongo. El paraboloide hiperbólico tiene una curva en el centro similar a una silla de montar.

Figura 2.88 Características de las superficies cuadráticas comunes: Cono elíptico, Paraboloide elíptico, Paraboloide hiperbólico.

Ejemplo 2.59

Identificar ecuación de superficies cuádricas

Identifique las superficies representadas por las ecuaciones dadas.

$16 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} = 144$
$9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 16 y - 36 z + 25 = 0$

Solución

La intersección en $x, y,$ y $z$ son todas al cuadrado, y todas son positivas, así que esto es probablemente un elipsoide. Sin embargo, pongamos la ecuación en la forma estándar de un elipsoide para estar seguros. Tenemos

$16 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} = 144 .$

Al dividir entre 144 se obtiene

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{9} = 1 .$

Entonces, esto es, de hecho, un elipsoide centrado en el origen.
En primer lugar, observamos que la franja $z$ se eleva solo a la primera potencia, por lo que se trata de un paraboloide elíptico o un paraboloide hiperbólico. También observamos que están la franja $x$ y la franja $y$ que no están al cuadrado, por lo que esta superficie cuádrica no está centrada en el origen. Necesitamos completar el cuadrado para poner esta ecuación en una de las formas estándar. Tenemos

$\begin{matrix} 9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 16 y - 36 z + 25 & = & 0 \\ 9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 16 y + 25 & = & 36 z \\ 9 (x^{2} - 2 x) + 4 (y^{2} + 4 y) + 25 & = & 36 z \\ 9 (x^{2} - 2 x + 1 - 1) + 4 (y^{2} + 4 y + 4 - 4) + 25 & = & 36 z \\ 9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 + 25 & = & 36 z \\ 9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} & = & 36 z \\ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} & = & z . \end{matrix}$

Se trata de un paraboloide elíptico centrado en $(1, 2, 0) .$

Punto de control 2.54

Identificar la superficie representada por la ecuación $9 x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2 z - 10 = 0 .$

Sección 2.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, dibuje y describa la superficie cilíndrica de la ecuación dada.

303.

[T] $x^{2} + z^{2} = 1$

304.

[T] $x^{2} + y^{2} = 9$

305.

[T] $z = cos (\frac{π}{2} + x)$

306.

[T] $z = e^{x}$

307.

[T] $z = 9 - y^{2}$

308.

[T] $z = ln (x)$

En los siguientes ejercicios, se da el gráfico de una superficie cuádrica.

Especifique el nombre de la superficie cuádrica.
Determine el eje de simetría de la superficie cuádrica.

309.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Su sección transversal paralela al plano y z sería una parábola invertida. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

310.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un cono elíptico. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

311.

Esta figura es una superficie en el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos formas cónicas enfrentadas. Tienen el eje x por el centro.

312.

Esta figura es una superficie en el sistema de coordenadas tridimensional. Se trata de una superficie parabólica cuyo eje x pasa por el centro.

En los siguientes ejercicios, haga coincidir la superficie cuádrica dada con su ecuación correspondiente en forma estándar.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{12} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{12} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{12} = 1$
$z = 4 x^{2} + 3 y^{2}$
$z = 4 x^{2} - y^{2}$
$4 x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$

313.

Hiperboloide de dos hojas

314.

Elipsoide

315.

Paraboloide elíptico

316.

Paraboloide hiperbólico

317.

Hiperboloide de una hoja

318.

Cono elíptico

En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada de la superficie cuádrica en forma estándar. Identifique la superficie.

319.

$− x^{2} + 36 y^{2} + 36 z^{2} = 9$

320.

$−4 x^{2} + 25 y^{2} + z^{2} = 100$

321.

$−3 x^{2} + 5 y^{2} - z^{2} = 10$

322.

$3 x^{2} - y^{2} - 6 z^{2} = 18$

323.

$5 y = x^{2} - z^{2}$

324.

$8 x^{2} - 5 y^{2} - 10 z = 0$

325.

$x^{2} + 5 y^{2} + 3 z^{2} - 15 = 0$

326.

$63 x^{2} + 7 y^{2} + 9 z^{2} - 63 = 0$

327.

$x^{2} + 5 y^{2} - 8 z^{2} = 0$

328.

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 20 z^{2} = 0$

329.

$6 x = 3 y^{2} + 2 z^{2}$

330.

$49 y = x^{2} + 7 z^{2}$

En los siguientes ejercicios, halle la traza de la superficie cuádrica dada en el plano de coordenadas especificado y dibújela.

331.

[T] $x^{2} + z^{2} + 4 y = 0, z = 0$

332.

[T] $x^{2} + z^{2} + 4 y = 0, x = 0$

333.

[T] $−4 x^{2} + 25 y^{2} + z^{2} = 100, x = 0$

334.

[T] $−4 x^{2} + 25 y^{2} + z^{2} = 100, y = 0$

335.

[T] $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{100} = 1, x = 0$

336.

[T] $x^{2} - y - z^{2} = 1, y = 0$

337.

Utilice el gráfico de la superficie cuádrica dada para responder las preguntas.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un sólido ovalado en su lado. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

Especifique el nombre de la superficie cuádrica.
¿Cuál de las ecuaciones $16 x^{2} + 9 y^{2} + 36 z^{2} = 3.600, 9 x^{2} + 36 y^{2} + 16 z^{2} = 3.600,$ o $36 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} = 3.600$ , corresponde al gráfico?
Use b. para escribir la ecuación de la superficie cuádrica en forma estándar.

338.

Utilice el gráfico de la superficie cuádrica dada para responder las preguntas.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un sólido parabólico que se abre verticalmente. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

Especifique el nombre de la superficie cuádrica.
¿Cuál de las ecuaciones $36 z = 9 x^{2} + y^{2}, 9 x^{2} + 4 y^{2} = 36 z, o - 36 z = –81 x^{2} + 4 y^{2}$ , corresponde al gráfico anterior?
Use b. para escribir la ecuación de la superficie cuádrica en forma estándar.

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie cuádrica.

Utilice el método de completar el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.
Identifique la superficie.

339.

$x^{2} + 2 z^{2} + 6 x - 8 z + 1 = 0$

340.

$4 x^{2} - y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 2 z + 3 = 0$

341.

$x^{2} + 4 y^{2} - 4 z^{2} - 6 x - 16 y - 16 z + 5 = 0$

342.

$x^{2} + z^{2} - 4 y + 4 = 0$

343.

$x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{3} + 6 x + 9 = 0$

344.

$x^{2} - y^{2} + z^{2} - 12 z + 2 x + 37 = 0$

345.

Escriba la forma estándar de la ecuación del elipsoide centrado en el origen que pasa por los puntos $A (2, 0, 0), B (0, 0, 1),$ y $C (\frac{1}{2}, \sqrt{11}, \frac{1}{2}) .$

346.

Escriba la forma estándar de la ecuación del elipsoide centrado en el punto $P (1, 1, 0)$ que pasa por los puntos $A (6, 1, 0), B (4, 2, 0)$ y $C (1, 2, 1) .$

347.

Determine los puntos de intersección del cono elíptico $x^{2} - y^{2} - z^{2} = 0$ con la línea de ecuaciones simétricas $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = z .$

348.

Determine los puntos de intersección del hiperboloide parabólico $z = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ con la línea de ecuaciones paramétricas $x = 3 t, y = 2 t, z = 19 t,$ donde $t \in ℝ .$

349.

Halle la ecuación de la superficie cuádrica con los puntos $P (x, y, z)$ que son equidistantes del punto $Q (0, –1, 0)$ y el plano de la ecuación $y = 1 .$ Identifique la superficie.

350.

Halle la ecuación de la superficie cuádrica con los puntos $P (x, y, z)$ que son equidistantes del punto $Q (0, 2, 0)$ y el plano de la ecuación $y = –2 .$ Identifique la superficie.

351.

Si la superficie de un reflector parabólico se describe mediante la ecuación $400 z = x^{2} + y^{2},$ halle el punto focal del reflector.

352.

Considere el reflector parabólico descrito por la ecuación $z = 20 x^{2} + 20 y^{2} .$ Halle su punto focal.

353.

Demuestre que la superficie cuádrica $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 y z + x + y + z = 0$ se reduce a dos planos paralelos.

354.

Demuestre que la superficie cuádrica $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x y - 2 x z + 2 y z - 1 = 0$ se reduce a dos planos paralelos que pasan.

355.

[T] La intersección entre el cilindro ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ y la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ se llama curva de Viviani.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es una esfera con un cilindro circular recto que la atraviesa verticalmente. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

Resuelva el sistema formado por las ecuaciones de las superficies para hallar la ecuación de la curva de intersección. (Pista: Halle $x$ como $y$ en términos de $z .)$
Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para visualizar la curva de intersección en la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 .$

356.

El hiperboloide de una hoja $25 x^{2} + 25 y^{2} - z^{2} = 25$ y el cono elíptico $–25 x^{2} + 75 y^{2} + z^{2} = 0$ se representan en la siguiente figura junto con sus curvas de intersección. Identifique las curvas de intersección y halle sus ecuaciones (Pista: Halle y a partir del sistema formado por las ecuaciones de las superficies).

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un paraboloide hiperbólico con una hipérbola de dos hojas que se cruzan. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

357.

[T] Utilice un CAS para crear la intersección entre el cilindro $9 x^{2} + 4 y^{2} = 18$ y el elipsoide $36 x^{2} + 16 y^{2} + 9 z^{2} = 144,$ y halle las ecuaciones de las curvas de intersección.

358.

[T] Un esferoide en un elipsoide con dos semiejes iguales. Por ejemplo, la ecuación de un esferoide con el eje z como eje de simetría viene dada por $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1,$ donde $a$ y $c$ son números reales positivos. El esferoide se llama oblato si $c < a,$ y prolato para $c > a .$

La córnea del ojo se aproxima como un esferoide prolato con un eje que es el ojo, donde $a = 8,7 mm y c = 9,6 mm .$ Escriba la ecuación del esferoide que modela la córnea y dibuje la superficie.
Dé dos ejemplos de objetos con forma de esferoide prolato.

359.

[T] En la cartografía, la Tierra se aproxima a un esferoide oblato en vez de una esfera. Los radios en el ecuador y los polos son de aproximadamente $3.963$ millas y $3.950$ millas, respectivamente.

Escriba la ecuación en forma estándar del elipsoide que representa la forma de la Tierra. Suponga que el centro de la Tierra está en el origen y que la traza formada por el plano $z = 0$ corresponde al ecuador.
Dibuje el gráfico.
Halle la ecuación de la curva de intersección de la superficie con el plano $z = 1.000$ que es paralelo al plano xy. La curva de intersección se llama paralela.
Halle la ecuación de la curva de intersección de la superficie con el plano $x + y = 0$ que pasa por el eje z. La curva de intersección se llama meridiano.

360.

[T] Un juego de imanes sonoros (o "huevos de cascabel") incluye dos imanes brillantes, pulidos y con forma de esferoide muy conocidos para el entretenimiento de los niños. Cada imán tiene $1,625$ pulgadas de largo y $0,5$ pulgadas de ancho en el centro. Al lanzarlos al aire, crean un sonido de zumbido al atraerse unos a otros.

Escriba la ecuación del esferoide prolato centrado en el origen que describe la forma de uno de los imanes.
Escriba las ecuaciones de los esferoides prolatos que modelan la forma de los imanes sonoros. Utilice un CAS para crear los gráficos.

361.

[T] Una superficie en forma de corazón viene dada por la ecuación ${(x^{2} + \frac{9}{4} y^{2} + z^{2} - 1)}^{3} - x^{2} z^{3} - \frac{9}{80} y^{2} z^{3} = 0 .$

Utilice un CAS para graficar la superficie que modela esta forma.
Determine y dibuje la traza de la superficie en forma de corazón en el plano xz.

362.

[T] El toro de anillo simétrico alrededor del eje z es un tipo especial de superficie en topología y su ecuación viene dada por ${(x^{2} + y^{2} + z^{2} + R^{2} - r^{2})}^{2} = 4 R^{2} (x^{2} + y^{2}),$ donde $R > r > 0 .$ Los números $R$ y $r$ se llaman radios mayor y menor, respectivamente, de la superficie. La siguiente figura muestra un toro de anillo para el que $R = 2 y r = 1 .$

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un toro, una forma de rosquilla. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

Escriba la ecuación del toro de anillo con $R = 2 y r = 1,$ y utilice un CAS para graficar la superficie. Compare el gráfico con la figura dada.
Determine la ecuación y dibuje la traza del toro de anillo de la parte a. en el plano xy.
Dé dos ejemplos de objetos con forma de toro de anillo.

2.6 Superficies cuádricas

Identificación de cilindros

Graficar superficies cilíndricas

Solución

Superficies cuádricas

Dibujar un elipsoide

Solución

Identificar trazas de superficies cuádricas

Solución

Inicio del capítulo: Hallar el foco de un reflector parabólico

Solución

Identificar ecuación de superficies cuádricas

Solución

Sección 2.6 ejercicios