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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

2.3

Los vectores a,a, b,b, y ee son equivalentes.

2.4

3 , 7 3 , 7

2.5

a. a=52 ,a=52 , b. b=–4,−3,b=–4,−3, c. 3a4b=37,153a4b=37,15

2.7

v = −5 , 5 3 v = −5 , 5 3

2.8

45 85 , 10 85 45 85 , 10 85

2.9

a=16i11j,a=16i11j, b=2 2 i2 2 jb=2 2 i2 2 j

2.10

Aproximadamente 516516 mph

2.12

5 2 5 2

2.13

z = –4 z = –4

2.14

( x + 2 ) 2 + ( y 4 ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 52 ( x + 2 ) 2 + ( y 4 ) 2 + ( z + 5 ) 2 = 52

2.15

x 2 + ( y 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 14 x 2 + ( y 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 14

2.16

El conjunto de puntos forma los dos planos y=−2y=−2 y z=3.z=3.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujados dos planos que se intersecan. El primero es el plano xz. El segundo es paralelo al plano yz en el valor de z = 3. Son perpendiculares entre sí.
2.17

Un cilindro de radio 4 centrado en la línea con x=0yz=2 .x=0yz=2 .

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un cilindro paralelo al eje y y centrado en el eje y.
2.18

S T = –1 , −9 , 1 = i 9 j + k S T = –1 , −9 , 1 = i 9 j + k

2.19

1 3 10 , 5 3 10 , 8 3 10 1 3 10 , 5 3 10 , 8 3 10

2.20

v = 16 2 , 12 2 , 20 2 v = 16 2 , 12 2 , 20 2

2.21

7

2.22

a. (r.p)q=12,–12,12;(r.p)q=12,–12,12; b. p2 =53p2 =53

2.23

θ0,22θ0,22 rad

2.24

x = 5 x = 5

2.25

a. α1,04α1,04 rad; b. β2,58β2,58 rad; c. γ1,40γ1,40 rad

2.26

Ventas = 15.685,50 dólares; ganancia = 14.073,15 dólares

2.27

v=p+q,v=p+q, donde p=185i+95jp=185i+95j y q=75i145jq=75i145j

2.28

21 nudos

2.29

150 ft-lb

2.30

i 9 j + 2 k i 9 j + 2 k

2.31

Arriba (la dirección z positiva)

2.32

i i

2.33

k k

2.34

16 16

2.35

40 40

2.36

8 i 35 j + 2 k 8 i 35 j + 2 k

2.37

−3 194 , –13 194 , 4 194 −3 194 , –13 194 , 4 194

2.38

6 13 6 13

2.39

17 17

2.40

88 unidades3

2.41

No, el triple producto escalar es −40,−40, por lo que los tres vectores forman las aristas adyacentes de un paralelepípedo. No son coplanarios.

2.42

2020 N

2.43

Posible conjunto de ecuaciones paramétricas: x=1+4t,y=−3+t,z=2 +6t;x=1+4t,y=−3+t,z=2 +6t;

conjunto relacionado de ecuaciones simétricas: x14=y+3=z2 6x14=y+3=z2 6

2.44

x = −1 7 t , y = 3 t , z = 6 2 t , 0 t 1 x = −1 7 t , y = 3 t , z = 6 2 t , 0 t 1

2.45

10 7 10 7

2.46

Estas líneas son sesgadas porque sus vectores directores no son paralelos y no hay ningún punto (x,y,z)(x,y,z) que se encuentre en ambas líneas.

2.47

−2(x1)+(y+1)+3(z1)=0−2(x1)+(y+1)+3(z1)=0 o −2x+y+3z=0−2x+y+3z=0

2.48

15 21 15 21

2.49

x = t , y = 7 3 t , z = 4 2 t x = t , y = 7 3 t , z = 4 2 t

2.50

1,441,44 rad

2.51

9 30 9 30

2.53

Las trazas paralelas al plano xy son elipses y las paralelas a los planos xz y yz son hipérbolas. En concreto, la traza en el plano xy es la elipse x2 32 +y2 2 2 =1,x2 32 +y2 2 2 =1, la traza en el plano xz es la hipérbola x2 32 z2 52 =1,x2 32 z2 52 =1, y la traza en el plano yz es la hipérbola y2 2 2 z2 52 =1y2 2 2 z2 52 =1 (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene cuatro imágenes. La primera imagen es una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas rectangular. Interseca el eje x en -3 y 3. Interseca el eje y en -2 y 2. La segunda imagen es el gráfico de una hipérbola. Se trata de dos curvas, una que se abre en la dirección x negativa y otra simétrica en la dirección x positiva. La tercera imagen es el gráfico de una hipérbola en el plano y z. Se abre en la dirección y negativa y una curva simétrica que se abre en la dirección y positiva. La cuarta imagen es una superficie tridimensional. Sus secciones transversales superior e inferior serían circulares. Una intersección vertical sería una hipérbola.
2.54

Hiperboloide de una hoja, centrado en (0,0,1)(0,0,1)

2.55

Las coordenadas rectangulares del punto son (532 ,52 ,4).(532 ,52 ,4).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay un punto marcado “(5, pi/6, 4)”. El punto está situado sobre un segmento de línea en el plano x y marcado como r = 5 que está a pi/6 grados del eje x. La distancia del plano x y al punto está marcado “z = 4”.
2.56

( 8 2 , 3 π 4 , –7 ) ( 8 2 , 3 π 4 , –7 )

2.57

Esta superficie es un cilindro de radio 6.6.

Esta figura es un cilindro circular recto. Está en posición vertical con el eje z por el centro. Se encuentra en la parte superior del plano x y.
2.58


Esta figura es del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. El ángulo entre el eje x y rho es theta.


Cartesiano: (32 ,12 ,3),(32 ,12 ,3), cilíndrico: (1,5π6,3)(1,5π6,3)

2.59

a. Este es el conjunto de todos los puntos 1313 unidades desde el origen. Este conjunto forma una esfera de radio 13.13. b. Este conjunto de puntos forma un semiplano. El ángulo entre el semiplano y el eje x positivo es θ=2 π3.θ=2 π3. c. Supongamos que PP es un punto en esta superficie. El vector de posición de este punto forma un ángulo de φ=π4φ=π4 con el eje z positivo, lo que significa que los puntos más cercanos al origen están más cerca del eje. Estos puntos forman un semicono.

2.60

( 4.000 , 151 ° , 124 ° ) ( 4.000 , 151 ° , 124 ° )

2.61

Coordenadas esféricas con el origen situado en el centro de la tierra, el eje z alineado con el Polo Norte y el eje x alineado con el primer meridiano

Sección 2.1 ejercicios

1.

a. PQ=2 ,2 ;PQ=2 ,2 ; b. PQ=2 i+2 jPQ=2 i+2 j

3.

a. QP=–2,−2;QP=–2,−2; b. QP=–2i2 jQP=–2i2 j

5.

a. PQ+PR=0,6;PQ+PR=0,6; b. PQ+PR=6jPQ+PR=6j

7.

a. 2 PQ2 PR=8,−4;2 PQ2 PR=8,−4; b. 2 PQ2 PR=8i4j2 PQ2 PR=8i4j

9.

a. 12 ,12 ;12 ,12 ; b. 12 i+12 j12 i+12 j

11.

3 5 , 4 5 3 5 , 4 5

13.

Q ( 0 , 2 ) Q ( 0 , 2 )

15.

a. a+b=3i+4j,a+b=3i+4j, a+b=3,4;a+b=3,4; b. ab=i2 j,ab=i2 j, ab=1,−2;ab=1,−2; c. Las respuestas variarán; d 2 a=4i+2 j,2 a=4i+2 j, 2 a=4,2 ,2 a=4,2 , b=i3j,b=i3j, b=–1,−3,b=–1,−3, 2 ab=3ij,2 ab=3ij, 2 ab=3,−12 ab=3,−1

17.

15 15

19.

λ = −3 λ = −3

21.

a. a(0)=1,0,a(0)=1,0, a(π)=–1,0;a(π)=–1,0; b. Las respuestas pueden variar; c. Las respuestas pueden variar

23.

Las respuestas pueden variar

25.

v = 21 5 , 28 5 v = 21 5 , 28 5

27.

v = 21 34 34 , 35 34 34 v = 21 34 34 , 35 34 34

29.

u = 3 , 1 u = 3 , 1

31.

u = 0 , 5 u = 0 , 5

33.

u = −5 3 , 5 u = −5 3 , 5

35.

θ = 7 π 4 θ = 7 π 4

37.

Las respuestas pueden variar

39.

a. z0=f(x0)+f(x0);z0=f(x0)+f(x0); b. u=11+[f(x0)]2 1,f(x0)u=11+[f(x0)]2 1,f(x0)

43.

D ( 6 , 1 ) D ( 6 , 1 )

45.

60,62 , 35 60,62 , 35

47.

Los componentes horizontal y vertical son 750750 ft/s y 1299,041299,04 ft/s, respectivamente.

49.

La magnitud de la fuerza resultante es 94,7194,71 lb; el ángulo director es 13,42°.13,42°.

51.

La magnitud del tercer vector es 60,0360,03 N; el ángulo director es 259,38°.259,38°.

53.

La nueva velocidad del avión con respecto al suelo es 572,19572,19 mph; la nueva dirección es N41,82E.N41,82E.

55.

T1=30,13lb,T1=30,13lb, T2 =38,35lbT2 =38,35lb

57.

v1=750v1=750 lb, v2 =1299v2 =1299 lb

59.

Los dos componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión son 2828 lb y 4242 lb, respectivamente.

Sección 2.2 ejercicios

61.

a. (2 ,0,5),(2 ,0,0),(2 ,3,0),(0,3,0),(0,3,5),(0,0,5);(2 ,0,5),(2 ,0,0),(2 ,3,0),(0,3,0),(0,3,5),(0,0,5); b. 3838

63.

Una unión de dos planos: y=5y=5 (un plano paralelo al plano xz) y z=6z=6 (un plano paralelo al plano xy)

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dos planos dibujados. El primer plano es paralelo al plano xy está en z = 6. El segundo plano es paralelo al plano xz y está en y = 5. Los planos son perpendiculares.
65.

Un cilindro de radio 11 centrado en la línea y=1,z=1y=1,z=1

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un cilindro dibujado. El eje del cilindro es paralelo al eje x.
67.

z = 1 z = 1

69.

z = –2 z = –2

71.

( x + 1 ) 2 + ( y 7 ) 2 + ( z 4 ) 2 = 16 ( x + 1 ) 2 + ( y 7 ) 2 + ( z 4 ) 2 = 16

73.

( x + 3 ) 2 + ( y 3,5 ) 2 + ( z 8 ) 2 = 29 4 ( x + 3 ) 2 + ( y 3,5 ) 2 + ( z 8 ) 2 = 29 4

75.

Centro C(0,0,2 )C(0,0,2 ) y radio 11

77.

a. PQ=–4,–1,2 ;PQ=–4,–1,2 ; b. PQ=−4ij+2 kPQ=−4ij+2 k

79.

a. PQ=6,−24,24;PQ=6,−24,24; b. PQ=6i24j+24kPQ=6i24j+24k

81.

Q ( 5 , 2 , 8 ) Q ( 5 , 2 , 8 )

83.

a+b=–6,4,−3,a+b=–6,4,−3, 4a=–4,−8,16,4a=–4,−8,16, −5a+3b=−10,28,−41−5a+3b=−10,28,−41

85.

a+b=–1,0,−1,a+b=–1,0,−1, 4a=0,0,−4,4a=0,0,−4, −5a+3b=−3,0,5−5a+3b=−3,0,5

87.

uv=38,uv=38, −2u=2 29−2u=2 29

89.

uv=2 ,uv=2 , −2u=2 13−2u=2 13

91.

a = 3 5 i 4 5 j a = 3 5 i 4 5 j

93.

2 62 i 7 62 j + 3 62 k 2 62 i 7 62 j + 3 62 k

95.

2 6 , 1 6 , 1 6 2 6 , 1 6 , 1 6

97.

Vectores equivalentes

99.

u = 70 59 , 10 59 , 30 59 u = 70 59 , 10 59 , 30 59

101.

u = 4 5 sen t , 4 5 cos t , 2 5 u = 4 5 sen t , 4 5 cos t , 2 5

103.

5 154 , 15 154 , 60 154 5 154 , 15 154 , 60 154

105.

α=7,α=7, β=15β=15

111.

a. F=30,40,0;F=30,40,0; b. 53°53°

113.

D = 10 k D = 10 k

115.

F 4 = −20 , –7 , −3 F 4 = −20 , –7 , −3

117.

a. F=–19,6k,F=–19,6k, F=19,6F=19,6 N; b. T=19,6k,T=19,6k, T=19,6T=19,6 N

119.

a. F=−294kF=−294k N; b. F1=4933,49,−98,F1=4933,49,−98, F2 =4933,−49,−98,F2 =4933,−49,−98, y F3=9833,0,−98F3=9833,0,−98 (cada componente se expresa en newtons)

121.

a. v(1)=–0,84,0,54,2 v(1)=–0,84,0,54,2 (cada componente se expresa en centímetros por segundo); v(1)=2,24v(1)=2,24 (expresado en centímetros por segundo); a(1)=–0,54,−0,84,0a(1)=–0,54,−0,84,0 (cada componente expresado en centímetros por segundo al cuadrado);

b.

Esta figura es del sistema de coordenadas tridimensional sobre el plano xy. Tiene una espiral dibujada que se asemeja a un resorte. La espiral gira alrededor del eje z. La espiral comienza en el eje x en x = 1.

Sección 2.3 ejercicios

123.

6

125.

0

127.

(a.b)c=−11,−11,11;(a.b)c=−11,−11,11; (a.c)b=−20,−35,5(a.c)b=−20,−35,5

129.

(a.b)c=1,0,−2;(a.b)c=1,0,−2; (a.c)b=1,0,−1(a.c)b=1,0,−1

131.

a. θ=2,82θ=2,82 rad; b. θθ no es agudo.

133.

a. θ=π4θ=π4 rad; b. θθ es agudo.

135.

θ = π 2 θ = π 2

137.

θ = π 3 θ = π 3

139.

θ=2 θ=2 rad

141.

Ortogonal

143.

No es ortogonal

145.

a=4α3,α,a=4α3,α, donde α0α0 es un número real

147.

u=αi+αj+βk,u=αi+αj+βk, donde αα y ββ son números reales de modo que α2 +β2 0α2 +β2 0

149.

α = −6 α = −6

151.

a. OP=4i+5j,OP=4i+5j, OQ=5i7j;OQ=5i7j; b. 105,8°105,8°

153.

68,33 ° 68,33 °

155.

u y v son ortogonales; v y w son ortogonales.

161.

a. cosα=2 3,cosβ=2 3,cosα=2 3,cosβ=2 3, y cosγ=13;cosγ=13; b. α=48°,α=48°, β=48°,β=48°, y γ=71°γ=71°

163.

a. cosα=130,cosβ=530,cosα=130,cosβ=530, y cosγ=2 30;cosγ=2 30; b. α=101°,α=101°, β=24°,β=24°, y γ=69°γ=69°

167.

a. w=8029,3229;w=8029,3229; b. compuv=1629compuv=1629

169.

a. w=2413,0,1613;w=2413,0,1613; b. compuv=813compuv=813

171.

a. w=2425,1825;w=2425,1825; b. q=5125,6825,q=5125,6825, v=w+q=2425,1825+5125,6825v=w+q=2425,1825+5125,6825

173.

a. 2 2 ;2 2 ; b. 109,47°109,47°

175.

17 N . m 17 N . m

177.

1.175 ft.lbft.lb

179.

W = 43.301,27 ft-lbft-lb

181.

a. F1+F2 =52,9F1+F2 =52,9 lb; b. Los ángulos directores son α=74,5°,α=74,5°, β=36,7°,β=36,7°, y γ=57,7°.γ=57,7°.

Sección 2.4 ejercicios

183.

a. u×v=0,0,4;u×v=0,0,4;
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. En el eje x hay un vector marcado como "u". En el plano xy hay un vector marcado como "v". En el eje z está el vector marcado como "u cruz v".
185.

a. u×v=6,−4,2 ;u×v=6,−4,2 ;
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional y muestra tres vectores. El primer vector está marcado como u y tiene los componentes <2, 3, 0>. El segundo vector está marcado como v y tiene los componentes <0, 1, 2>." El tercer vector está marcado como u cruz v y tiene los componentes <6, -4, 2>."
187.

−2 j 4 k −2 j 4 k

189.

w = 1 3 6 i 7 3 6 j 2 3 6 k w = 1 3 6 i 7 3 6 j 2 3 6 k

191.

w = 4 21 i 2 21 j 1 21 k w = 4 21 i 2 21 j 1 21 k

193.

α = 10 α = 10

197.

−3 i + 11 j + 2 k −3 i + 11 j + 2 k

199.

w = –1 , e t , e t w = –1 , e t , e t

201.

−26 i + 17 j + 9 k −26 i + 17 j + 9 k

203.

72 ° 72 °

209.

7 7

211.

a. 56;56; b. 562 ;562 ; c. 56595659

213.

a. 2 ;2 ; b. 2 2

215.

v.(u×w)=−1,v.(u×w)=−1, w.(u×v)=1w.(u×v)=1

217.

a=1,2 ,3,a=1,2 ,3, b=0,2 ,5,b=0,2 ,5, c=8,9,2 ;c=8,9,2 ; a.(b×c)=−9a.(b×c)=−9

219.

a. α=1;α=1; b. h=1,h=1,

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un paralelepípedo dibujado. Desde el origen hay tres vectores hacia los vértices del paralelepípedo. Son vectores a los puntos A (2, 1, 0); B (1, 2, 0); y C (0, 1, alfa).
225.

Sí, AD=αAB+βAC,AD=αAB+βAC, donde α=–1α=–1 y β=1.β=1.

227.

k k

229.

0 , ± 4 5 , 2 5 0 , ± 4 5 , 2 5

233.

w=w31,w3+1,w3,w=w31,w3+1,w3, donde w3w3 es un número real cualquiera

235.

8,66 ft-lb

237.

559 N

239.

F = 4,8 × 10 −15 k N F = 4,8 × 10 −15 k N

241.

a. B(t)=2 sent5,2 cost5,15;B(t)=2 sent5,2 cost5,15;
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay una curva dibujada que va en aumento. En la curva hay un punto marcado como "P". En P hay un vector tangente a la curva marcado como "v(1)". También desde P hay un vector hacia el interior de la curva marcado como "a(1)". Finalmente, hay un vector desde P marcado como "B(1)" que apunta hacia el eje z.

Sección 2.5 ejercicios

243.

a. r=−3,5,9+t7,–12,−7,r=−3,5,9+t7,–12,−7, t;t; b. x=−3+7t,y=512t,z=97t,x=−3+7t,y=512t,z=97t, t;t; c. x+37=y5−12=z9−7;x+37=y5−12=z9−7; d. x=−3+7t,y=512t,z=97t,x=−3+7t,y=512t,z=97t, t[0,1]t[0,1]

245.

a. r=–1,0,5+t5,0,−2,r=–1,0,5+t5,0,−2, t;t; b. x=−1+5t,y=0,z=52 t,x=−1+5t,y=0,z=52 t, t;t; c. x+15=z5−2,y=0;x+15=z5−2,y=0; d. x=−1+5t,y=0,z=52 t,x=−1+5t,y=0,z=52 t, t[0,1]t[0,1]

247.

a. x=1+t,y=−2+2 t,z=3+3t,x=1+t,y=−2+2 t,z=3+3t, t;t; b. x11=y+2 2 =z33;x11=y+2 2 =z33; c. (0,−4,0)(0,−4,0) grandes.

249.

a. x=3+t,y=1,z=5,x=3+t,y=1,z=5, t;t; b. y=1,z=5;y=1,z=5; c. La línea no interseca el plano xy.

251.

a. P(1,3,5),P(1,3,5), v=1,1,4;v=1,1,4; b. 33

253.

2 2 3 2 2 3

255.

a. Paralelas; b. 2 32 3

259.

( −12 , 6 , –4 ) ( −12 , 6 , –4 )

261.

Las líneas son sesgadas.

263.

Las líneas son iguales.

265.

a. x=1+t,y=1t,z=1+2 t,x=1+t,y=1t,z=1+2 t, t;t; b. Por ejemplo, la línea que pasa por AA con vector director j:x=1,z=1;j:x=1,z=1; c. Por ejemplo, la línea que pasa por AA y punto (2 ,0,0)(2 ,0,0) que pertenece a LL es una línea que interseca; L:x1−1=y1=z1L:x1−1=y1=z1

267.

a. 3x2 y+4z=0;3x2 y+4z=0; b. 3x2 y+4z=03x2 y+4z=0

269.

a. (x1)+2 (y2 )+3(z3)=0;(x1)+2 (y2 )+3(z3)=0; b. x+2 y+3z14=0x+2 y+3z14=0

271.

a. n=4i+5j+10k;n=4i+5j+10k; b. (5,0,0),(5,0,0), (0,4,0),(0,4,0), y (0,0,2 );(0,0,2 );
c.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un triángulo dibujado con vértices en los ejes x, y y z.
273.

a. nn =3i2 j+4k;nn =3i2 j+4k; b. (0,0,0);(0,0,0);
c.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional representado en una caja. Tiene un paralelogramo inclinado dentro de la caja que representa un plano.
275.

( 3 , 0 , 0 ) ( 3 , 0 , 0 )

277.

x=−2+2 t,y=13t,z=3+t,x=−2+2 t,y=13t,z=3+t, tt

281.

a. −2y+3z1=0;−2y+3z1=0; b. 0,–2,3.x1,y1,z1=0;0,–2,3.x1,y1,z1=0; c. x=0,y=−2t,z=3t,x=0,y=−2t,z=3t, tt

283.

a. Las respuestas pueden variar; b. x11=z6−1,y=4x11=z6−1,y=4

285.

2 x 5 y 3 z + 15 = 0 2 x 5 y 3 z + 15 = 0

287.

La línea interseca el plano en el punto P(−3,4,0).P(−3,4,0).

289.

16 14 16 14

291.

a. Los planos no son paralelos ni ortogonales; b. 62°62°

293.

a. Los planos son paralelos.

295.

1 6 1 6

297.

a. 1829;1829; b. P(5129,13029,6229)P(5129,13029,6229)

299.

4 x 3 y = 0 4 x 3 y = 0

301.

a. v(1)=cos1,sen1,2 ;v(1)=cos1,sen1,2 ; b. (cos1)(xsen1)(sen1)(ycos1)+2 (z2 )=0;(cos1)(xsen1)(sen1)(ycos1)+2 (z2 )=0;
c.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujada una cuadrícula de paralelogramo que representa un plano. Hay una curva crecientes desde y=1. La curva interseca el plano. En el punto de intersección de la curva con el plano, hay un vector marcado como "v(1)". Es ascendente y paralelo al eje z.

Sección 2.6 ejercicios

303.

La superficie es un cilindro con las reglas paralelas al eje y.

Esta figura es un cilindro circular dentro de una caja. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.
305.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje y.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Su sección transversal paralela al plano x z sería una curva cosinusoide. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.
307.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje x.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Su sección transversal paralela al plano y z sería una parábola invertida. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.
309.

a. Cilindro; b. El eje x

311.

a. Hiperboloide de dos hojas; b. El eje x

313.

b.

315.

d.

317.

a.

319.

x2 9+y2 14+z2 14=1,x2 9+y2 14+z2 14=1, hiperboloide de una hoja con el eje x como eje de simetría

321.

x2 103+y2 2 z2 10=1,x2 103+y2 2 z2 10=1, hiperboloide de dos hojas con el eje y como eje de simetría

323.

y=z2 5+x2 5,y=z2 5+x2 5, paraboloide hiperbólico con el eje y como eje de simetría

325.

x2 15+y2 3+z2 5=1,x2 15+y2 3+z2 5=1, elipsoide

327.

x2 40+y2 8z2 5=0,x2 40+y2 8z2 5=0, cono elíptico con el eje z como eje de simetría

329.

x=y2 2 +z2 3,x=y2 2 +z2 3, paraboloide elíptico con el eje x como eje de simetría

331.

Parábola y=x2 4,y=x2 4,

Esta figura es el gráfico de una parábola invertida con su punto más alto en el origen de un sistema de coordenadas rectangular.
333.

Elipse y2 4+z2 100=1,y2 4+z2 100=1,

Esta figura es el gráfico de una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.
335.

Elipse y2 4+z2 100=1,y2 4+z2 100=1,

Esta figura es el gráfico de una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.
337.

a. Elipsoide; b. La tercera ecuación; c. x2 100+y2 400+z2 225=1x2 100+y2 400+z2 225=1

339.

a. (x+3)2 16+(z2 )2 8=1;(x+3)2 16+(z2 )2 8=1; b. Cilindro centrado en (−3,2 )(−3,2 ) con reglas paralelas al eje y

341.

a. (x3)2 4+(y2 )2 (z+2 )2 =1;(x3)2 4+(y2 )2 (z+2 )2 =1; b. Hiperboloide de una hoja, centrado en (3,2 ,–2),(3,2 ,–2), con el eje z como eje de simetría

343.

a. (x+3)2 +y2 4z2 3=0;(x+3)2 +y2 4z2 3=0; b. Cono elíptico centrado en (−3,0,0),(−3,0,0), con el eje z como eje de simetría

345.

x 2 4 + y 2 16 + z 2 = 1 x 2 4 + y 2 16 + z 2 = 1

347.

(1,–1,0)(1,–1,0) y (133,4,53)(133,4,53)

349.

x2 +z2 +4y=0,x2 +z2 +4y=0, paraboloide elíptico

351.

( 0 , 0 , 100 ) ( 0 , 0 , 100 )

355.

a. x=2 z2 2 ,y=±z2 4z2 ,x=2 z2 2 ,y=±z2 4z2 , donde z[−2,2 ];z[−2,2 ];
b.

Esta figura es la de una superficie dentro de una caja. Es una esfera con una curva en forma de ocho en el lado de la esfera. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.
357.


Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un óvalo sólido con un cilindro elíptico que se cruza verticalmente. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.


dos elipses de ecuaciones x2 2 +y2 92 =1x2 2 +y2 92 =1 en los planos z=±2 2 z=±2 2

359.

a. x2 3.9632 +y2 3.9632 +z2 3.9502 =1;x2 3.9632 +y2 3.9632 +z2 3.9502 =1;
b.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es una esfera. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

;
c. La curva de intersección es la elipse de ecuación x2 3.9632 +y2 3.9632 =(2950)(4950)3.9502 ,x2 3.9632 +y2 3.9632 =(2950)(4950)3.9502 , y la intersección es una elipse.; d. La curva de intersección es la elipse de ecuación 2 y2 3.9632 +z2 3.9502 =1.2 y2 3.9632 +z2 3.9502 =1.

361.

a.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un corazón. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.


b. La curva de intersección es (x2 +z2 1)3x2 z3=0.(x2 +z2 1)3x2 z3=0.

Esta figura es una curva en un sistema de coordenadas rectangulares. Tiene la forma de un corazón centrado en el eje y.

Sección 2.7 ejercicios

363.

(2 3,2 ,3)(2 3,2 ,3) grandes.

365.

(−23,–2,3)(−23,–2,3) grandes.

367.

(2 ,π3,2 )(2 ,π3,2 ) grandes.

369.

(32 ,π4,7)(32 ,π4,7) grandes.

371.

Un cilindro de ecuación x2 +y2 =16,x2 +y2 =16, con su centro en el origen y las reglas paralelas al eje z,

Esta figura es un cilindro circular derecho, vertical. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
373.

Hiperboloide de dos hojas de ecuación x2 +y2 z2 =1,x2 +y2 z2 =1, con el eje y como eje de simetría,

Esta figura es una superficie de cono elíptico que es horizontal. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
375.

Cilindro de ecuación x2 2 x+y2 =0,x2 2 x+y2 =0, con un centro en (1,0,0)(1,0,0) y radio 1,1, con reglas paralelas al eje z,

Esta figura es un cilindro circular derecho, vertical. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
377.

Plano de la ecuación x=2 ,x=2 ,

Esta figura es un paralelogramo vertical donde x = 2 y paralelo al plano y z. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
379.

z = 3 z = 3

381.

r 2 + z 2 = 9 r 2 + z 2 = 9

383.

r = 16 cos θ , r = 0 r = 16 cos θ , r = 0

385.

(0,0,−3)(0,0,−3) grandes.

387.

(6,–6,62 )(6,–6,62 ) grandes.

389.

(4,0,90°)(4,0,90°) grandes.

391.

(3,90°,90°)(3,90°,90°) grandes.

393.

Esfera de la ecuación x2 +y2 +z2 =9x2 +y2 +z2 =9 centrada en el origen con radio 3,3,

Esta figura es una esfera. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
395.

Esfera de la ecuación x2 +y2 +(z1)2 =1x2 +y2 +(z1)2 =1 centrada en (0,0,1)(0,0,1) con radio 1,1,

Esta figura es una esfera de radio 1 centrada en una caja. El centro de la esfera es el punto (0, 0, 1).
397.

El plano xy de la ecuación z=0,z=0,

Esta figura es un paralelogramo que representa un plano. Es paralelo al plano x y en z = 0. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.
399.

φ=π3φ=π3 o φ=2 π3;φ=2 π3; Cono elíptico

401.

ρcosφ=6;ρcosφ=6; Plano en z=6z=6

403.

( 10 , π 4 , 0,3218 ) ( 10 , π 4 , 0,3218 )

405.

(32 ,π2 ,π4)(32 ,π2 ,π4) grandes.

407.

(2 ,π4,0)(2 ,π4,0) grandes.

409.

(8,π3,0)(8,π3,0) grandes.

411.

Sistema cartesiano, {(x,y,z)|0xa,0ya,0za}{(x,y,z)|0xa,0ya,0za}

413.

Sistema cilíndrico, { ( r , θ , z ) | r 2 + z 2 9 , r 0 , π 2 θ 3 π 2 , ( r 3 cos θ , π 2 θ π 2 ) } { ( r , θ , z ) | r 2 + z 2 9 , r 0 , π 2 θ 3 π 2 , ( r 3 cos θ , π 2 θ π 2 ) }

415.

La región está descrita por el conjunto de puntos {(r,θ,z)|0r1,0θ2 π,r2 zr}.{(r,θ,z)|0r1,0θ2 π,r2 zr}.

Esta figura es un paraboloide, vertical. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y, y z.
417.

( 4.000 , 77 ° , 51 ° ) ( 4.000 , 77 ° , 51 ° )

419.

43,17°W,43,17°W, 22,91°S22,91°S

421.

a. ρ=0,ρ=0, ρ+R2 r2 2 Rsenφ=0;ρ+R2 r2 2 Rsenφ=0;
c.

Esta figura es un toro. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y, y z.

Ejercicios de repaso

423.

Verdadero

425.

Falso

427.

a. 24,−5;24,−5; b. 85;85; c. No se puede puntear un vector con un escalar; d. −29−29

429.

a = ± 2 a = ± 2

431.

1 14 , 2 14 , 3 14 1 14 , 2 14 , 3 14

433.

27 27

435.

x = 1 3 t , y = 3 + 3 t , z = 5 8 t , r ( t ) = ( 1 3 t ) i + 3 ( 1 + t ) j + ( 5 8 t ) k x = 1 3 t , y = 3 + 3 t , z = 5 8 t , r ( t ) = ( 1 3 t ) i + 3 ( 1 + t ) j + ( 5 8 t ) k

437.

x + 3 y + 8 z = 43 x + 3 y + 8 z = 43

439.

x=kx=k traza: k2 =y2 +z2 k2 =y2 +z2 es un círculo, y=ky=k traza: x2 z2 =k2 x2 z2 =k2 es una hipérbola (o un par de líneas si k=0),k=0), z=kz=k traza: x2 y2 =k2 x2 y2 =k2 es una hipérbola (o un par de líneas si k=0).k=0). La superficie es un cono.

Esta figura es un cono elíptico de lado. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y, y z.
441.

Cilíndrica z=r2 1,z=r2 1, esférica cosφ=ρsen2 φ1ρcosφ=ρsen2 φ1ρ

443.

x2 2 x+y2 +z2 =1,x2 2 x+y2 +z2 =1, esfera

445.

331 N y 244 N

447.

15 J 15 J

449.

Más, 59,0959,09 J

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