Las trazas paralelas al plano xy son elipses y las paralelas a los planos xz y yz son hipérbolas. En concreto, la traza en el plano xy es la elipse $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1,$ la traza en el plano xz es la hipérbola $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1,$ y la traza en el plano yz es la hipérbola $\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1$ (vea la siguiente figura).

2.54

Hiperboloide de una hoja, centrado en $(0, 0, 1)$

2.55

Las coordenadas rectangulares del punto son $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, 4) .$

2.56

$(8 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4}, –7)$

2.57

Esta superficie es un cilindro de radio $6 .$

2.58

Cartesiano: $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{3}),$ cilíndrico: $(1, - \frac{5 π}{6}, \sqrt{3})$

2.59

a. Este es el conjunto de todos los puntos $13$ unidades desde el origen. Este conjunto forma una esfera de radio $13 .$ b. Este conjunto de puntos forma un semiplano. El ángulo entre el semiplano y el eje x positivo es $θ = \frac{2 π}{3} .$ c. Supongamos que $P$ es un punto en esta superficie. El vector de posición de este punto forma un ángulo de $φ = \frac{π}{4}$ con el eje z positivo, lo que significa que los puntos más cercanos al origen están más cerca del eje. Estos puntos forman un semicono.

2.60

$(4.000, 151 °, 124 °)$

2.61

Coordenadas esféricas con el origen situado en el centro de la tierra, el eje z alineado con el Polo Norte y el eje x alineado con el primer meridiano

Sección 2.1 ejercicios

1.

a. $\vec{P Q} = 〈 2, 2 〉;$ b. $\vec{P Q} = 2 i + 2 j$

3.

a. $\vec{Q P} = 〈 –2, −2 〉;$ b. $\vec{Q P} = –2 i - 2 j$

5.

a. $\vec{P Q} + \vec{P R} = 〈 0, 6 〉;$ b. $\vec{P Q} + \vec{P R} = 6 j$

7.

a. $2 \vec{P Q} - 2 \vec{P R} = 〈 8, −4 〉;$ b. $2 \vec{P Q} - 2 \vec{P R} = 8 i - 4 j$

9.

a. $〈 \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} 〉;$ b. $\frac{1}{\sqrt{2}} i + \frac{1}{\sqrt{2}} j$

11.

$〈 \frac{3}{5}, \frac{4}{5} 〉$

13.

$Q (0, 2)$

15.

a. $a + b = 3 i + 4 j,$ $a + b = 〈 3, 4 〉;$ b. $a - b = i - 2 j,$ $a - b = 〈 1, −2 〉;$ c. Las respuestas variarán; d $2 a = 4 i + 2 j,$ $2 a = 〈 4, 2 〉,$ $− b = − i - 3 j,$ $− b = 〈 –1, −3 〉,$ $2 a - b = 3 i - j,$ $2 a - b = 〈 3, −1 〉$

17.

$15$

19.

$λ = −3$

21.

a. $a (0) = 〈 1, 0 〉,$ $a (π) = 〈 –1, 0 〉;$ b. Las respuestas pueden variar; c. Las respuestas pueden variar

23.

Las respuestas pueden variar

25.

$v = 〈 \frac{21}{5}, \frac{28}{5} 〉$

27.

$v = 〈 \frac{21 \sqrt{34}}{34}, - \frac{35 \sqrt{34}}{34} 〉$

29.

$u = 〈 \sqrt{3}, 1 〉$

31.

$u = 〈 0, 5 〉$

33.

$u = 〈 −5 \sqrt{3}, 5 〉$

35.

$θ = \frac{7 π}{4}$

37.

Las respuestas pueden variar

39.

a. $z_{0} = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0});$ b. $u = \frac{1}{\sqrt{1 + {[f^{'} (x_{0})]}^{2}}} 〈 1, f^{'} (x_{0}) 〉$

43.

$D (6, 1)$

45.

$〈 60,62, 35 〉$

47.

Los componentes horizontal y vertical son $750$ ft/s y $1299,04$ ft/s, respectivamente.

49.

La magnitud de la fuerza resultante es $94,71$ lb; el ángulo director es $13,42 ° .$

51.

La magnitud del tercer vector es $60,03$ N; el ángulo director es $259,38 ° .$

53.

La nueva velocidad del avión con respecto al suelo es $572,19$ mph; la nueva dirección es $N 41,82 E .$

55.

$‖ T_{1} ‖ = 30,13 lb,$ $‖ T_{2} ‖ = 38,35 lb$

57.

$‖ v_{1} ‖ = 750$ lb, $‖ v_{2} ‖ = 1299$ lb

59.

Los dos componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión son $28$ lb y $42$ lb, respectivamente.

Sección 2.2 ejercicios

61.

a. $(2, 0, 5), (2, 0, 0), (2, 3, 0), (0, 3, 0), (0, 3, 5), (0, 0, 5);$ b. $\sqrt{38}$

63.

Una unión de dos planos: $y = 5$ (un plano paralelo al plano xz) y $z = 6$ (un plano paralelo al plano xy)

65.

Un cilindro de radio $1$ centrado en la línea $y = 1, z = 1$

67.

$z = 1$

69.

$z = –2$

71.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 16$

73.

${(x + 3)}^{2} + {(y - 3,5)}^{2} + {(z - 8)}^{2} = \frac{29}{4}$

75.

Centro $C (0, 0, 2)$ y radio $1$

77.

a. $\vec{P Q} = 〈 –4, –1, 2 〉;$ b. $\vec{P Q} = −4 i - j + 2 k$

79.

a. $\vec{P Q} = 〈 6, −24, 24 〉;$ b. $\vec{P Q} = 6 i - 24 j + 24 k$

81.

$Q (5, 2, 8)$

83.

$a + b = 〈 –6, 4, −3 〉,$ $4 a = 〈 –4, −8, 16 〉,$ $−5 a + 3 b = 〈 −10, 28, −41 〉$

85.

$a + b = 〈 –1, 0, −1 〉,$ $4 a = 〈 0, 0, −4 〉,$ $−5 a + 3 b = 〈 −3, 0, 5 〉$

87.

$‖ u - v ‖ = \sqrt{38},$ $‖ −2 u ‖ = 2 \sqrt{29}$

89.

$‖ u - v ‖ = 2,$ $‖ −2 u ‖ = 2 \sqrt{13}$

91.

$a = \frac{3}{5} i - \frac{4}{5} j$

93.

$〈 \frac{2}{\sqrt{62}} i - \frac{7}{\sqrt{62}} j + \frac{3}{\sqrt{62}} k 〉$

95.

$〈 - \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} 〉$

97.

Vectores equivalentes

99.

$u = 〈 \frac{70}{\sqrt{59}}, - \frac{10}{\sqrt{59}}, \frac{30}{\sqrt{59}} 〉$

101.

$u = 〈 - \frac{4}{\sqrt{5}} sen t, - \frac{4}{\sqrt{5}} cos t, - \frac{2}{\sqrt{5}} 〉$

103.

$〈 \frac{5}{\sqrt{154}}, \frac{15}{\sqrt{154}}, - \frac{60}{\sqrt{154}} 〉$

105.

$α = − \sqrt{7},$ $β = − \sqrt{15}$

111.

a. $F = 〈 30, 40, 0 〉;$ b. $53 °$

113.

$D = 10 k$

115.

$F_{4} = 〈 −20, –7, −3 〉$

117.

a. $F = –19,6 k,$ $‖ F ‖ = 19,6$ N; b. $T = 19,6 k,$ $‖ T ‖ = 19,6$ N

119.

a. $F = −294 k$ N; b. $F_{1} = 〈 - \frac{49 \sqrt{3}}{3}, 49, −98 〉,$ $F_{2} = 〈 - \frac{49 \sqrt{3}}{3}, −49, −98 〉,$ y $F_{3} = 〈 \frac{98 \sqrt{3}}{3}, 0, −98 〉$ (cada componente se expresa en newtons)

121.

a. $v (1) = 〈 –0,84, 0,54, 2 〉$ (cada componente se expresa en centímetros por segundo); $‖ v (1) ‖ = 2,24$ (expresado en centímetros por segundo); $a (1) = 〈 –0,54, −0,84, 0 〉$ (cada componente expresado en centímetros por segundo al cuadrado);

b.

Sección 2.3 ejercicios

123.

6

125.

0

127.

$(a . b) c = 〈 −11, −11, 11 〉;$ $(a . c) b = 〈 −20, −35, 5 〉$

129.

$(a . b) c = 〈 1, 0, −2 〉;$ $(a . c) b = 〈 1, 0, −1 〉$

131.

a. $θ = 2,82$ rad; b. $θ$ no es agudo.

133.

a. $θ = \frac{π}{4}$ rad; b. $θ$ es agudo.

135.

$θ = \frac{π}{2}$

137.

$θ = \frac{π}{3}$

139.

$θ = 2$ rad

141.

Ortogonal

143.

No es ortogonal

145.

$a = 〈 - \frac{4 α}{3}, α 〉,$ donde $α \neq 0$ es un número real

147.

$u = − α i + α j + β k,$ donde $α$ y $β$ son números reales de modo que $α^{2} + β^{2} \neq 0$

149.

$α = −6$

151.

a. $\vec{O P} = 4 i + 5 j,$ $\vec{O Q} = 5 i - 7 j;$ b. $105,8 °$

153.

$68,33 °$

155.

u y v son ortogonales; v y w son ortogonales.

161.

a. $cos α = \frac{2}{3}, cos β = \frac{2}{3},$ y $cos γ = \frac{1}{3};$ b. $α = 48 °,$ $β = 48 °,$ y $γ = 71 °$

163.

a. $cos α = - \frac{1}{\sqrt{30}}, cos β = \frac{5}{\sqrt{30}},$ y $cos γ = \frac{2}{\sqrt{30}};$ b. $α = 101 °,$ $β = 24 °,$ y $γ = 69 °$

167.

a. $w = 〈 \frac{80}{29}, \frac{32}{29} 〉;$ b. ${comp}_{u} v = \frac{16}{\sqrt{29}}$

169.

a. $w = 〈 \frac{24}{13}, 0, \frac{16}{13} 〉;$ b. ${comp}_{u} v = \frac{8}{\sqrt{13}}$

171.

a. $w = 〈 \frac{24}{25}, - \frac{18}{25} 〉;$ b. $q = 〈 \frac{51}{25}, \frac{68}{25} 〉,$ $v = w + q = 〈 \frac{24}{25}, - \frac{18}{25} 〉 + 〈 \frac{51}{25}, \frac{68}{25} 〉$

173.

a. $2 \sqrt{2};$ b. $109,47 °$

175.

$17 N . m$

177.

1.175 $ft . lb$

179.

W = 43.301,27 $ft-lb$

181.

a. $‖ F_{1} + F_{2} ‖ = 52,9$ lb; b. Los ángulos directores son $α = 74,5 °,$ $β = 36,7 °,$ y $γ = 57,7 ° .$

Sección 2.4 ejercicios

183.

a. $u \times v = 〈 0, 0, 4 〉;$
b.

185.

a. $u \times v = 〈 6, −4, 2 〉;$
b.

187.

$−2 j - 4 k$

189.

$w = - \frac{1}{3 \sqrt{6}} i - \frac{7}{3 \sqrt{6}} j - \frac{2}{3 \sqrt{6}} k$

191.

$w = - \frac{4}{\sqrt{21}} i - \frac{2}{\sqrt{21}} j - \frac{1}{\sqrt{21}} k$

193.

$α = 10$

197.

$−3 i + 11 j + 2 k$

199.

$w = 〈 –1, e^{t}, − e^{− t} 〉$

201.

$−26 i + 17 j + 9 k$

203.

$72 °$

209.

$7$

211.

a. $5 \sqrt{6};$ b. $\frac{5 \sqrt{6}}{2};$ c. $\frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{59}}$

213.

a. $2;$ b. $2$

215.

$v . (u \times w) = −1,$ $w . (u \times v) = 1$

217.

$a = 〈 1, 2, 3 〉,$ $b = 〈 0, 2, 5 〉,$ $c = 〈 8, 9, 2 〉;$ $a . (b \times c) = −9$

219.

a. $α = 1;$ b. $h = 1,$

225.

Sí, $\vec{A D} = α \vec{A B} + β \vec{A C},$ donde $α = –1$ y $β = 1 .$

227.

$− k$

229.

$〈 0, ± 4 \sqrt{5}, \mp 2 \sqrt{5} 〉$

233.

$w = 〈 w_{3} - 1, w_{3} + 1, w_{3} 〉,$ donde $w_{3}$ es un número real cualquiera

235.

8,66 ft-lb

237.

559 N

239.

$F = 4,8 \times 10^{−15} k N$

241.

a. $B (t) = 〈 \frac{2 sen t}{\sqrt{5}}, - \frac{2 cos t}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} 〉;$
b.

Sección 2.5 ejercicios

243.

a. $r = 〈 −3, 5, 9 〉 + t 〈 7, –12, −7 〉,$ $t \in ℝ;$ b. $x = −3 + 7 t, y = 5 - 12 t, z = 9 - 7 t,$ $t \in ℝ;$ c. $\frac{x + 3}{7} = \frac{y - 5}{−12} = \frac{z - 9}{−7};$ d. $x = −3 + 7 t, y = 5 - 12 t, z = 9 - 7 t,$ $t \in [0, 1]$

245.

a. $r = 〈 –1, 0, 5 〉 + t 〈 5, 0, −2 〉,$ $t \in ℝ;$ b. $x = −1 + 5 t, y = 0, z = 5 - 2 t,$ $t \in ℝ;$ c. $\frac{x + 1}{5} = \frac{z - 5}{−2}, y = 0;$ d. $x = −1 + 5 t, y = 0, z = 5 - 2 t,$ $t \in [0, 1]$

247.

a. $x = 1 + t, y = −2 + 2 t, z = 3 + 3 t,$ $t \in ℝ;$ b. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{3};$ c. $(0, −4, 0)$ grandes.

249.

a. $x = 3 + t, y = 1, z = 5,$ $t \in ℝ;$ b. $y = 1, z = 5;$ c. La línea no interseca el plano xy.

251.

a. $P (1, 3, 5),$ $v = 〈 1, 1, 4 〉;$ b. $\sqrt{3}$

253.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

255.

a. Paralelas; b. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

259.

$(−12, 6, –4)$

261.

Las líneas son sesgadas.

263.

Las líneas son iguales.

265.

a. $x = 1 + t, y = 1 - t, z = 1 + 2 t,$ $t \in ℝ;$ b. Por ejemplo, la línea que pasa por $A$ con vector director $j : x = 1, z = 1;$ c. Por ejemplo, la línea que pasa por $A$ y punto $(2, 0, 0)$ que pertenece a $L$ es una línea que interseca; $L : \frac{x - 1}{−1} = y - 1 = z - 1$

267.

a. $3 x - 2 y + 4 z = 0;$ b. $3 x - 2 y + 4 z = 0$

269.

a. $(x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0;$ b. $x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

271.

a. $n = 4 i + 5 j + 10 k;$ b. $(5, 0, 0),$ $(0, 4, 0),$ y $(0, 0, 2);$
c.

273.

a. $n n = 3 i - 2 j + 4 k;$ b. $(0, 0, 0);$
c.

275.

$(3, 0, 0)$

277.

$x = −2 + 2 t, y = 1 - 3 t, z = 3 + t,$ $t \in ℝ$

281.

a. $−2 y + 3 z - 1 = 0;$ b. $〈 0, –2, 3 〉 . 〈 x - 1, y - 1, z - 1 〉 = 0;$ c. $x = 0, y = −2 t, z = 3 t,$ $t \in ℝ$

283.

a. Las respuestas pueden variar; b. $\frac{x - 1}{1} = \frac{z - 6}{−1}, y = 4$

285.

$2 x - 5 y - 3 z + 15 = 0$

287.

La línea interseca el plano en el punto $P (−3, 4, 0) .$

289.

$\frac{16}{\sqrt{14}}$

291.

a. Los planos no son paralelos ni ortogonales; b. $62 °$

293.

a. Los planos son paralelos.

295.

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

297.

a. $\frac{18}{\sqrt{29}};$ b. $P (- \frac{51}{29}, \frac{130}{29}, \frac{62}{29})$

299.

$4 x - 3 y = 0$

301.

a. $v (1) = 〈 cos 1, − sen 1, 2 〉;$ b. $(cos 1) (x - sen 1) - (sen 1) (y - cos 1) + 2 (z - 2) = 0;$
c.

Sección 2.6 ejercicios

303.

La superficie es un cilindro con las reglas paralelas al eje y.

305.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje y.

307.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje x.

309.

a. Cilindro; b. El eje x

311.

a. Hiperboloide de dos hojas; b. El eje x

313.

b.

315.

d.

317.

a.

319.

$- \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{z^{2}}{\frac{1}{4}} = 1,$ hiperboloide de una hoja con el eje x como eje de simetría

321.

$- \frac{x^{2}}{\frac{10}{3}} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{z^{2}}{10} = 1,$ hiperboloide de dos hojas con el eje y como eje de simetría

323.

$y = - \frac{z^{2}}{5} + \frac{x^{2}}{5},$ paraboloide hiperbólico con el eje y como eje de simetría

325.

$\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{5} = 1,$ elipsoide

327.

$\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{8} - \frac{z^{2}}{5} = 0,$ cono elíptico con el eje z como eje de simetría

329.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3},$ paraboloide elíptico con el eje x como eje de simetría

331.

Parábola $y = - \frac{x^{2}}{4},$

333.

Elipse $\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{100} = 1,$

335.

Elipse $\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{100} = 1,$

337.

a. Elipsoide; b. La tercera ecuación; c. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{400} + \frac{z^{2}}{225} = 1$

339.

a. $\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(z - 2)}^{2}}{8} = 1;$ b. Cilindro centrado en $(−3, 2)$ con reglas paralelas al eje y

341.

a. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + {(y - 2)}^{2} - {(z + 2)}^{2} = 1;$ b. Hiperboloide de una hoja, centrado en $(3, 2, –2),$ con el eje z como eje de simetría

343.

a. ${(x + 3)}^{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{3} = 0;$ b. Cono elíptico centrado en $(−3, 0, 0),$ con el eje z como eje de simetría

345.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} + z^{2} = 1$

347.

$(1, –1, 0)$ y $(\frac{13}{3}, 4, \frac{5}{3})$

349.

$x^{2} + z^{2} + 4 y = 0,$ paraboloide elíptico

351.

$(0, 0, 100)$

355.

a. $x = 2 - \frac{z^{2}}{2}, y = \pm \frac{z}{2} \sqrt{4 - z^{2}},$ donde $z \in [−2, 2];$
b.

357.

dos elipses de ecuaciones $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{2}} = 1$ en los planos $z = ± 2 \sqrt{2}$

359.

a. $\frac{x^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{y^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{z^{2}}{{3.950}^{2}} = 1;$
b.

;
c. La curva de intersección es la elipse de ecuación $\frac{x^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{y^{2}}{{3.963}^{2}} = \frac{(2950) (4950)}{{3.950}^{2}},$ y la intersección es una elipse.; d. La curva de intersección es la elipse de ecuación $\frac{2 y^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{z^{2}}{{3.950}^{2}} = 1 .$

361.

a.

b. La curva de intersección es ${(x^{2} + z^{2} - 1)}^{3} - x^{2} z^{3} = 0 .$

Sección 2.7 ejercicios

363.

$(2 \sqrt{3}, 2, 3)$ grandes.

365.

$(−2 \sqrt{3}, –2, 3)$ grandes.

367.

$(2, \frac{π}{3}, 2)$ grandes.

369.

$(3 \sqrt{2}, - \frac{π}{4}, 7)$ grandes.

371.

Un cilindro de ecuación $x^{2} + y^{2} = 16,$ con su centro en el origen y las reglas paralelas al eje z,

373.

Hiperboloide de dos hojas de ecuación $− x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1,$ con el eje y como eje de simetría,

375.

Cilindro de ecuación $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0,$ con un centro en $(1, 0, 0)$ y radio $1,$ con reglas paralelas al eje z,

377.

Plano de la ecuación $x = 2,$

379.

$z = 3$

381.

$r^{2} + z^{2} = 9$

383.

$r = 16 cos θ, r = 0$

385.

$(0, 0, −3)$ grandes.

387.

$(6, –6, 6 \sqrt{2})$ grandes.

389.

$(4, 0, 90 °)$ grandes.

391.

$(3, 90 °, 90 °)$ grandes.

393.

Esfera de la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ centrada en el origen con radio $3,$

395.

Esfera de la ecuación $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ centrada en $(0, 0, 1)$ con radio $1,$

397.

El plano xy de la ecuación $z = 0,$

399.

$φ = \frac{π}{3}$ o $φ = \frac{2 π}{3};$ Cono elíptico

401.

$ρ cos φ = 6;$ Plano en $z = 6$

403.

$(\sqrt{10}, \frac{π}{4}, 0,3218)$

405.

$(3 \sqrt{2}, \frac{π}{2}, \frac{π}{4})$ grandes.

407.

$(2, - \frac{π}{4}, 0)$ grandes.

409.

$(8, \frac{π}{3}, 0)$ grandes.

411.

Sistema cartesiano, ${(x, y, z) | 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a}$

413.

Sistema cilíndrico, ${\begin{cases} (r, θ, z) | r^{2} + z^{2} \leq 9, r \geq 0, \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{3 π}{2} \\ , (r \geq 3 \cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}) \end{cases}}$

415.

La región está descrita por el conjunto de puntos ${(r, θ, z) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π, r^{2} \leq z \leq r} .$

417.

$(4.000, − 77 °, 51 °)$

419.

$43,17 ° W,$ $22,91 ° S$

421.

a. $ρ = 0,$ $ρ + R^{2} - r^{2} - 2 R sen φ = 0;$
c.

Ejercicios de repaso

423.

Verdadero

425.

Falso

427.

a. $〈 24, −5 〉;$ b. $\sqrt{85};$ c. No se puede puntear un vector con un escalar; d. $−29$

429.

$a = ± 2$

431.

$〈 \frac{1}{\sqrt{14}}, - \frac{2}{\sqrt{14}}, - \frac{3}{\sqrt{14}} 〉$

433.

$27$

435.

$x = 1 - 3 t, y = 3 + 3 t, z = 5 - 8 t, r (t) = (1 - 3 t) i + 3 (1 + t) j + (5 - 8 t) k$

437.

$− x + 3 y + 8 z = 43$

439.

$x = k$ traza: $k^{2} = y^{2} + z^{2}$ es un círculo, $y = k$ traza: $x^{2} - z^{2} = k^{2}$ es una hipérbola (o un par de líneas si $k = 0),$ $z = k$ traza: $x^{2} - y^{2} = k^{2}$ es una hipérbola (o un par de líneas si $k = 0) .$ La superficie es un cono.

441.

Cilíndrica $z = r^{2} - 1,$ esférica $cos φ = ρ {sen}^{2} φ - \frac{1}{ρ}$

443.

$x^{2} - 2 x + y^{2} + z^{2} = 1,$ esfera

445.

331 N y 244 N

447.

$15 J$

449.

Más, $59,09$ J