Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique la respuesta con una prueba o un contraejemplo.

423.

Para los vectores $a$ y $b$ y cualquier escalar dado $c,$ $c (a . b) = (c a) . b .$

424.

Para los vectores $a$ y $b$ y cualquier escalar dado $c,$ $c (a \times b) = (c a) \times b .$

425.

La ecuación simétrica de la línea de intersección entre dos planos $x + y + z = 2$ y $x + 2 y - 4 z = 5$ viene dada por $- \frac{x - 1}{6} = \frac{y - 1}{5} = z .$

426.

Si los valores de $a . b = 0,$ entonces $a$ es perpendicular a $b .$

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para hallar las cantidades.

427.

$a = 9 i - 2 j, b = −3 i + j$

$3 a + b$
$| a |$
$a \times | b \times c |$
$b . a$

428.

$a = 2 i + j - 9 k, b = − i + 2 k, c = 4 i - 2 j + k$

$2 a - b$
$| b \times c |$
$b \times | b \times c |$
$c \times | b \times a |$
${proy}_{a} b$

429.

Halle los valores de $a$ de modo que los vectores $〈 2, 4, a 〉$ y $〈 0, –1, a 〉$ sean ortogonales.

En los siguientes ejercicios, halle los vectores unitarios.

430.

Calcule el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector $v$ que comienza en $(0, −3)$ y termina en $(4, 10) .$

431.

Calcule el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector $v$ que comienza en $(1, 4, 10)$ y termina en $(3, 0, 4) .$

En los siguientes ejercicios, calcule el área o el volumen de las formas dadas.

432.

El paralelogramo abarcado por los vectores $a = 〈 1, 13 〉 y b = 〈 3, 21 〉$

433.

El paralelepípedo formado por $a = 〈 1, 4, 1 〉 y b = 〈 3, 6, 2 〉,$ y $c = 〈 –2, 1, −5 〉$

En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones vectoriales y paramétricas de la línea con las propiedades dadas.

434.

La línea que pasa por el punto $(2, −3, 7)$ que es paralela al vector $〈 1, 3, −2 〉$

435.

La línea que pasa por los puntos $(1, 3, 5)$ y $(–2, 6, −3)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano con las propiedades dadas.

436.

El plano que pasa por el punto $(4, 7, –1)$ y tiene un vector normal $n = 〈 3, 4, 2 〉$

437.

El plano que pasa por los puntos $(0, 1, 5), (2, –1, 6), y (3, 2, 5) .$

En los siguientes ejercicios, halle las trazas de las superficies en los planos $x = k, y = k, y z = k .$ Luego, describa y dibuje las superficies.

438.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 16 y + 36 z^{2} = 20$

439.

$x^{2} = y^{2} + z^{2}$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.

440.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 144$

441.

$z = x^{2} + y^{2} - 1$

En los siguientes ejercicios, convierta las ecuaciones dadas de coordenadas cilíndricas o esféricas a coordenadas rectangulares. Identifique la superficie dada.

442.

$ρ^{2} ({sen}^{2} (φ) - {cos}^{2} (φ)) = 1$

443.

$r^{2} - 2 r cos (θ) + z^{2} = 1$

En los siguientes ejercicios, considere un pequeño barco que cruza un río.

444.

Si la velocidad del barco es $5$ km/h hacia el norte en aguas tranquilas y el agua tiene una corriente de $2$ km/h hacia el oeste (vea la siguiente figura), ¿cuál es la velocidad del barco con respecto a la orilla? ¿Cuál es el ángulo $θ$ al que el barco está realmente viajando?

Esta figura es una imagen de la vista elevada de un barco. Hay un segmento de línea desde la parte trasera del barco. Esta marcada “5 km/h r”. Este segmento de línea tiene otro segmento de línea perpendicular. “Está marcada como “2 km/h r”. Hay otro segmento de línea que forma un triángulo rectángulo con los otros dos. El ángulo entre los segmentos de la línea del barco es theta.

445.

Cuando el barco llega a la orilla, se lanzan dos cuerdas a las personas para que ayuden a tirar de él hasta la orilla. Una cuerda está en un ángulo de $25 °$ y el otro está a $35 ° .$ Si la embarcación debe ser arrastrada en línea recta y con una fuerza de 500 N calcule la magnitud de la fuerza para cada cuerda (vea la siguiente figura).

Esta figura es la vista elevada de un barco. Desde la parte delantera del barco hay un vector horizontal. Está marcado como “500 N”. Hay otros dos segmentos de línea desde el barco. La primera forma un ángulo con el vector horizontal de 35 grados sobre el vector. El segundo segmento de línea forma un ángulo de 25 grados por debajo del vector.

446.

Un avión vuela en la dirección de 52° al este del norte con una rapidez de 450 mph. Un fuerte viento tiene un rumbo 33° al este del norte con una rapidez de 50 mph. ¿Cuál es la rapidez con respecto al suelo resultante y el rumbo del avión?

447.

Calcule el trabajo realizado al mover una partícula desde la posición $(1, 2, 0)$ al $(8, 4, 5)$ a lo largo de una línea recta con una fuerza $F = 2 i + 3 j - k .$

Los siguientes problemas tienen que ver con su intento infructuoso de desmontar el neumático de su automóvil utilizando una llave inglesa para aflojar los tornillos. Supongamos que la llave tiene $0,3$ m de longitud y es capaz de aplicar una fuerza de 200 N.

448.

Debido a que su neumático está desinflado, solo es capaz de aplicar su fuerza a unos $60 °$ ¿Cuál es el par de torque en el centro del tornillo? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el tornillo.

449.

Alguien le presta un gato para neumáticos y ahora es capaz de aplicar una fuerza de 200 N a unos $80 °$ ¿El par resultante va a ser mayor o menor? ¿Cuál es el nuevo par resultante en el centro del tornillo? Supongamos que esta fuerza no es suficiente para aflojar el tornillo.