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Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

2.1 Vectores en el plano

  • Los vectores se utilizan para representar cantidades que tienen tanto magnitud como dirección.
  • Podemos sumar vectores utilizando el método de paralelogramos o el método triangular para hallar la suma. Podemos multiplicar un vector por un escalar para cambiar su longitud o darle el sentido opuesto.
  • La resta de vectores se define en términos de sumar el negativo del vector.
  • Un vector se escribe en forma de componentes como v=x,y.v=x,y.
  • La magnitud de un vector es un escalar v=x2 +y2 .v=x2 +y2 .
  • Un vector unitario uu tiene una magnitud 11 y se puede hallar dividiendo un vector entre su magnitud: u=1vv.u=1vv. Los vectores normales unitarios son i=1,0yj=0,1.i=1,0yj=0,1. Un vector v=x,yv=x,y puede expresarse en términos de los vectores normales unitarios como v=xi+yj.v=xi+yj.
  • Los vectores se utilizan a menudo en física e ingeniería para representar fuerzas y velocidades, entre otras cantidades.

2.2 Vectores en tres dimensiones

  • El sistema de coordenadas tridimensional se construye en torno a un conjunto de tres ejes que se intersecan en ángulo recto en un único punto, el origen. Triples ordenados (x,y,z)(x,y,z) se utilizan para describir la ubicación de un punto en el espacio.
  • La distancia dd entre los puntos (x1,y1,z1)(x1,y1,z1) y (x2 ,y2 ,z2 )(x2 ,y2 ,z2 ) está dada por la fórmula
    d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 +(z2 z1)2 .d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 +(z2 z1)2 .
  • En tres dimensiones, las ecuaciones x=a,y=b,yz=cx=a,y=b,yz=c describen planos que son paralelos a los planos de coordenadas.
  • La ecuación estándar de una esfera con centro (a,b,c)(a,b,c) y radio rr es
    (xa)2 +(yb)2 +(zc)2 =r2 .(xa)2 +(yb)2 +(zc)2 =r2 .
  • En tres dimensiones, al igual que en dos, los vectores suelen expresarse en forma de componentes, v=x,y,z,v=x,y,z, o en términos de los vectores normales unitarios, xi+yj+zk.xi+yj+zk.
  • Las propiedades de los vectores en el espacio son una extensión natural de las propiedades de los vectores en el plano. Supongamos que v=x1,y1,z1v=x1,y1,z1 y w=x2 ,y2 ,z2 w=x2 ,y2 ,z2 son vectores y que kk sea un escalar.
    • Multiplicación escalar: kv=kx1,ky1,kz1kv=kx1,ky1,kz1
    • Suma de vectores: v+w=x1,y1,z1+x2 ,y2 ,z2 =x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2 v+w=x1,y1,z1+x2 ,y2 ,z2 =x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2
    • Resta de vectores: vw=x1,y1,z1x2 ,y2 ,z2 =x1x2 ,y1y2 ,z1z2 vw=x1,y1,z1x2 ,y2 ,z2 =x1x2 ,y1y2 ,z1z2
    • Magnitud del vector: v=x12 +y12 +z12 v=x12 +y12 +z12
    • Vector unitario en la dirección de v: vv=1vx1,y1,z1=x1v,y1v,z1v,vv=1vx1,y1,z1=x1v,y1v,z1v, v0v0

2.3 El producto escalar

  • El producto escalar de dos vectores u=u1,u2 ,u3u=u1,u2 ,u3 y v=v1,v2 ,v3v=v1,v2 ,v3 es u.v=u1v1+u2 v2 +u3v3.u.v=u1v1+u2 v2 +u3v3.
  • El producto escalar satisface las siguientes propiedades:
    • u.v=v.uu.v=v.u
    • u.(v+w)=u.v+u.wu.(v+w)=u.v+u.w
    • c(u.v)=(cu).v=u.(cv)c(u.v)=(cu).v=u.(cv) grandes.
    • v.v=v2 v.v=v2
  • El producto escalar de dos vectores puede expresarse, de manera alternativa, como u.v=uvcosθ.u.v=uvcosθ. Esta forma del producto escalar es útil para calcular la medida del ángulo formado por dos vectores.
  • Los vectores u y v son ortogonales si u.v=0.u.v=0.
  • Los ángulos formados por un vector distinto de cero y los ejes de coordenadas se llaman ángulos directores del vector. Los cosenos de estos ángulos se conocen como cosenos directores.
  • La proyección de vectores de v sobre u es el vector projuv=u.vu2 u.projuv=u.vu2 u. La magnitud de este vector se conoce como la proyección escalar de v sobre u, dada por compuv=u.vu.compuv=u.vu.
  • El trabajo se realiza cuando se aplica una fuerza a un objeto, provocando un desplazamiento. Cuando la fuerza está representada por el vector F y el desplazamiento por el vector s, el trabajo realizado W está dado por la fórmula W=F.s=Fscosθ.W=F.s=Fscosθ.

2.4 El producto vectorial

  • El producto cruz u×vu×v de dos vectores u=u1,u2 ,u3u=u1,u2 ,u3 y v=v1,v2 ,v3v=v1,v2 ,v3 es un vector ortogonal a ambos uu y v.v. Su longitud está dada por u×v=u.v.senθ,u×v=u.v.senθ, donde θθ es el ángulo entre uu y v.v. Su dirección está dada por la regla de la mano derecha.
  • La fórmula algebraica para calcular el producto vectorial de dos vectores,
    u=u1,u2 ,u3yv=v1,v2 ,v3,u=u1,u2 ,u3yv=v1,v2 ,v3, es
    u×v=(u2 v3u3v2 )i(u1v3u3v1)j+(u1v2 u2 v1)k.u×v=(u2 v3u3v2 )i(u1v3u3v1)j+(u1v2 u2 v1)k.
  • El producto vectorial satisface las siguientes propiedades para los vectores u,v,yw,u,v,yw, y escalar c:c:
    • u×v=(v×u)u×v=(v×u) grandes.
    • u×(v+w)=u×v+u×wu×(v+w)=u×v+u×w
    • c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)c(u×v)=(cu)×v=u×(cv) grandes.
    • u×0=0×u=0u×0=0×u=0
    • v×v=0v×v=0
    • u.(v×w)=(u×v).wu.(v×w)=(u×v).w
  • El producto vectorial de los vectores u=u1,u2 ,u3u=u1,u2 ,u3 y v=v1,v2 ,v3v=v1,v2 ,v3 es el determinante |ijku1u2 u3v1v2 v3|.|ijku1u2 u3v1v2 v3|.
  • Si los vectores uu y vv forman lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del paralelogramo está dada por u×v.u×v.
  • El triple producto escalar de los vectores u,u, v,v, y ww es u.(v×w).u.(v×w).
  • El volumen de un paralelepípedo con aristas adyacentes dadas por los vectores u,v,ywu,v,yw es V=|u.(v×w)|.V=|u.(v×w)|.
  • Si el triple producto escalar de los vectores u,v,ywu,v,yw es cero, entonces los vectores son coplanarios. Lo contrario también es cierto: Si los vectores son coplanarios, su triple producto escalar es cero.
  • El producto vectorial puede utilizarse para identificar un vector ortogonal a dos vectores dados o a un plano.
  • Torque ττ mide la tendencia de una fuerza a producir una rotación alrededor de un eje de rotación. Si la fuerza FF actúa a distancia rr del eje, entonces el torque es igual al producto vectorial de rr y F:F: τ=r×F.τ=r×F.

2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

  • En tres dimensiones, la dirección de una línea se describe mediante un vector director. La ecuación vectorial de una línea con vector director. v=a,b,cv=a,b,c que pasa por el punto P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) es r=r0+tv,r=r0+tv, donde r0=x0,y0,z0r0=x0,y0,z0 es el vector de posición del punto P.P. Esta ecuación se puede reescribir para formar las ecuaciones paramétricas de la línea: x=x0+ta,x=x0+ta, y=y0+tb,y=y0+tb, y z=z0+tc.z=z0+tc. La línea también se puede describir con las ecuaciones simétricas xx0a=yy0b=zz0c.xx0a=yy0b=zz0c.
  • Supongamos que LL es una línea en el espacio que pasa por el punto PP con vector director v.v. Si QQ es cualquier punto que no esté en L,L, entonces la distancia de QQ a LL es d=PQ×vv.d=PQ×vv.
  • En tres dimensiones, dos líneas pueden ser paralelas pero no iguales, iguales, intersecadas o sesgadas.
  • Dado un punto PP y el vector n,n, el conjunto de todos los puntos QQ que satisface la ecuación n.PQ=0n.PQ=0 forma un plano. La ecuación n.PQ=0n.PQ=0 se conoce como la ecuación vectorial de un plano.
  • La ecuación escalar de un plano que contiene el punto P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) con vector normal n=a,b,cn=a,b,c es a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0.a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0. Esta ecuación puede expresarse como ax+by+cz+d=0,ax+by+cz+d=0, donde d=ax0by0cz0.d=ax0by0cz0. Esta forma de la ecuación se llama a veces la forma general de la ecuación de un plano.
  • Supongamos que un plano con el vector normal n pasa por el punto Q.Q. La distancia DD del plano al punto PP que no está en el plano está dada por
    D=projnQP=|compnQP|=|QP.n|n.D=projnQP=|compnQP|=|QP.n|n.
  • Los vectores normales de los planos paralelos son paralelos. Cuando dos planos se cruzan, forman una línea.
  • La medida del ángulo θθ entre dos planos de intersección se puede calcular utilizando la ecuación cosθ=|n1.n2 |n1n2 ,cosθ=|n1.n2 |n1n2 , donde n1n1 y n2 n2 son vectores normales a los planos.
  • La distancia DD desde el punto (x0,y0,z0)(x0,y0,z0) al plano ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 está dada por
    D=|a(x0x1)+b(y0y1)+c(z0z1)|a2 +b2 +c2 =|ax0+by0+cz0+d|a2 +b2 +c2 .D=|a(x0x1)+b(y0y1)+c(z0z1)|a2 +b2 +c2 =|ax0+by0+cz0+d|a2 +b2 +c2 .

2.6 Superficies cuádricas

  • Un conjunto de líneas paralelas a una línea determinada que pasa por una curva determinada se conoce como cilindro o superficie cilíndrica. Las líneas paralelas se llaman reglas.
  • La intersección de una superficie tridimensional y un plano se llama traza. Para hallar la traza en los planos xy, yz o xz, se establecen z=0,x=0,oy=0,z=0,x=0,oy=0, respectivamente.
  • Las superficies cuádricas son superficies tridimensionales con trazas compuestas por secciones cónicas. Toda superficie cuádrica puede expresarse con una ecuación de la forma Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0.Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0.
  • Para dibujar el gráfico de una superficie cuádrica, empiece por dibujar las trazas para entender el marco de la superficie.
  • Las superficies cuádricas importantes se resumen en la Figura 2.87 y la Figura 2.88.

2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

  • En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio está representado por la triple ordenada (r,θ,z),(r,θ,z), donde (r,θ)(r,θ) representa las coordenadas polares de la proyección del punto en el plano xy y zz representa la proyección del punto sobre el eje z.
  • Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas, utilice las ecuaciones x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsenθ,y=rsenθ, y z=z.z=z.
  • Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas, utilice las ecuaciones r2 =x2 +y2 ,r2 =x2 +y2 , tanθ=yx,tanθ=yx, y z=z.z=z.
  • En el sistema de coordenadas esféricas, un punto PP en el espacio está representado por la triple ordenada (ρ,θ,φ),(ρ,θ,φ), donde ρρ es la distancia entre PP y el origen (ρ0),(ρ0), θθ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas y φφ es el ángulo formado por el eje z positivo y el segmento de línea OP,OP, donde OO es el origen y 0φπ.0φπ.
  • Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas, utilice las ecuaciones x=ρsenφcosθ,x=ρsenφcosθ, y=ρsenφsenθ,y=ρsenφsenθ, y z=ρcosφ.z=ρcosφ.
  • Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, utilice las ecuaciones ρ2 =x2 +y2 +z2 ,ρ2 =x2 +y2 +z2 , tanθ=yx,tanθ=yx, y φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).
  • Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas, utilice las ecuaciones r=ρsenφ,r=ρsenφ, θ=θ,θ=θ, y z=ρcosφ.z=ρcosφ.
  • Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas, utilice las ecuaciones ρ=r2 +z2 ,ρ=r2 +z2 , θ=θ,θ=θ, y φ=arccos(zr2 +z2 ).φ=arccos(zr2 +z2 ).
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