Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Conceptos clave

2.1 Vectores en el plano

Los vectores se utilizan para representar cantidades que tienen tanto magnitud como dirección.
Podemos sumar vectores utilizando el método de paralelogramos o el método triangular para hallar la suma. Podemos multiplicar un vector por un escalar para cambiar su longitud o darle el sentido opuesto.
La resta de vectores se define en términos de sumar el negativo del vector.
Un vector se escribe en forma de componentes como $v = 〈 x, y 〉 .$
La magnitud de un vector es un escalar $‖ v ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$
Un vector unitario $u$ tiene una magnitud $1$ y se puede hallar dividiendo un vector entre su magnitud: $u = \frac{1}{‖ v ‖} v .$ Los vectores normales unitarios son $i = 〈 1, 0 〉 y j = 〈 0, 1 〉 .$ Un vector $v = 〈 x, y 〉$ puede expresarse en términos de los vectores normales unitarios como $v = x i + y j .$
Los vectores se utilizan a menudo en física e ingeniería para representar fuerzas y velocidades, entre otras cantidades.

2.2 Vectores en tres dimensiones

El sistema de coordenadas tridimensional se construye en torno a un conjunto de tres ejes que se intersecan en ángulo recto en un único punto, el origen. Triples ordenados $(x, y, z)$ se utilizan para describir la ubicación de un punto en el espacio.
La distancia $d$ entre los puntos $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ y $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ está dada por la fórmula

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} .$
En tres dimensiones, las ecuaciones $x = a, y = b, y z = c$ describen planos que son paralelos a los planos de coordenadas.
La ecuación estándar de una esfera con centro $(a, b, c)$ y radio $r$ es

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2} .$
En tres dimensiones, al igual que en dos, los vectores suelen expresarse en forma de componentes, $v = 〈 x, y, z 〉,$ o en términos de los vectores normales unitarios, $x i + y j + z k .$
Las propiedades de los vectores en el espacio son una extensión natural de las propiedades de los vectores en el plano. Supongamos que v=〈x1,y1,z1〉v=〈x1,y1,z1〉 y w=〈x2 ,y2 ,z2 〉w=〈x2 ,y2 ,z2 〉 son vectores y que kk sea un escalar.
- Multiplicación escalar: $k v = 〈 k x_{1}, k y_{1}, k z_{1} 〉$
- Suma de vectores: $v + w = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 + 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉 = 〈 x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2} 〉$
- Resta de vectores: $v - w = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 - 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉 = 〈 x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2} 〉$
- Magnitud del vector: $‖ v ‖ = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}$
- Vector unitario en la dirección de v: $\frac{v}{‖ v ‖} = \frac{1}{‖ v ‖} 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 = 〈 \frac{x_{1}}{‖ v ‖}, \frac{y_{1}}{‖ v ‖}, \frac{z_{1}}{‖ v ‖} 〉,$ $v \neq 0$

2.3 El producto escalar

El producto escalar de dos vectores $u = 〈 u_{1}, u_{2}, u_{3} 〉$ y $v = 〈 v_{1}, v_{2}, v_{3} 〉$ es $u . v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} .$
El producto escalar satisface las siguientes propiedades:
- $u . v = v . u$
- $u . (v + w) = u . v + u . w$
- $c (u . v) = (c u) . v = u . (c v)$ grandes.
- $v . v = {‖ v ‖}^{2}$
El producto escalar de dos vectores puede expresarse, de manera alternativa, como $u . v = ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos θ .$ Esta forma del producto escalar es útil para calcular la medida del ángulo formado por dos vectores.
Los vectores u y v son ortogonales si $u . v = 0 .$
Los ángulos formados por un vector distinto de cero y los ejes de coordenadas se llaman ángulos directores del vector. Los cosenos de estos ángulos se conocen como cosenos directores.
La proyección de vectores de v sobre u es el vector ${proj}_{u} v = \frac{u . v}{{‖ u ‖}^{2}} u .$ La magnitud de este vector se conoce como la proyección escalar de v sobre u, dada por ${comp}_{u} v = \frac{u . v}{‖ u ‖} .$
El trabajo se realiza cuando se aplica una fuerza a un objeto, provocando un desplazamiento. Cuando la fuerza está representada por el vector F y el desplazamiento por el vector s, el trabajo realizado W está dado por la fórmula $W = F . s = ‖ F ‖ ‖ s ‖ cos θ .$

2.4 El producto vectorial

El producto cruz $u \times v$ de dos vectores $u = 〈 u_{1}, u_{2}, u_{3} 〉$ y $v = 〈 v_{1}, v_{2}, v_{3} 〉$ es un vector ortogonal a ambos $u$ y $v .$ Su longitud está dada por $‖ u \times v ‖ = ‖ u ‖ . ‖ v ‖ . sen θ,$ donde $θ$ es el ángulo entre $u$ y $v .$ Su dirección está dada por la regla de la mano derecha.
La fórmula algebraica para calcular el producto vectorial de dos vectores,
$u = 〈 u_{1}, u_{2}, u_{3} 〉 y v = 〈 v_{1}, v_{2}, v_{3} 〉,$ es
$u \times v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) i - (u_{1} v_{3} - u_{3} v_{1}) j + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) k .$
El producto vectorial satisface las siguientes propiedades para los vectores u,v,yw,u,v,yw, y escalar c:c:
- $u \times v = − (v \times u)$ grandes.
- $u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
- $c (u \times v) = (c u) \times v = u \times (c v)$ grandes.
- $u \times 0 = 0 \times u = 0$
- $v \times v = 0$
- $u . (v \times w) = (u \times v) . w$
El producto vectorial de los vectores $u = 〈 u_{1}, u_{2}, u_{3} 〉$ y $v = 〈 v_{1}, v_{2}, v_{3} 〉$ es el determinante $| \begin{matrix} i & j & k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} | .$
Si los vectores $u$ y $v$ forman lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del paralelogramo está dada por $‖ u \times v ‖ .$
El triple producto escalar de los vectores $u,$ $v,$ y $w$ es $u . (v \times w) .$
El volumen de un paralelepípedo con aristas adyacentes dadas por los vectores $u, v, y w$ es $V = | u . (v \times w) | .$
Si el triple producto escalar de los vectores $u, v, y w$ es cero, entonces los vectores son coplanarios. Lo contrario también es cierto: Si los vectores son coplanarios, su triple producto escalar es cero.
El producto vectorial puede utilizarse para identificar un vector ortogonal a dos vectores dados o a un plano.
Torque $τ$ mide la tendencia de una fuerza a producir una rotación alrededor de un eje de rotación. Si la fuerza $F$ actúa a distancia $r$ del eje, entonces el torque es igual al producto vectorial de $r$ y $F :$ $τ = r \times F .$

2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

En tres dimensiones, la dirección de una línea se describe mediante un vector director. La ecuación vectorial de una línea con vector director. $v = 〈 a, b, c 〉$ que pasa por el punto $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es $r = r_{0} + t v,$ donde $r_{0} = 〈 x_{0}, y_{0}, z_{0} 〉$ es el vector de posición del punto $P .$ Esta ecuación se puede reescribir para formar las ecuaciones paramétricas de la línea: $x = x_{0} + t a,$ $y = y_{0} + t b,$ y $z = z_{0} + t c .$ La línea también se puede describir con las ecuaciones simétricas $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} .$
Supongamos que $L$ es una línea en el espacio que pasa por el punto $P$ con vector director $v .$ Si $Q$ es cualquier punto que no esté en $L,$ entonces la distancia de $Q$ a $L$ es $d = \frac{‖ \vec{P Q} \times v ‖}{‖ v ‖} .$
En tres dimensiones, dos líneas pueden ser paralelas pero no iguales, iguales, intersecadas o sesgadas.
Dado un punto $P$ y el vector $n,$ el conjunto de todos los puntos $Q$ que satisface la ecuación $n . \vec{P Q} = 0$ forma un plano. La ecuación $n . \vec{P Q} = 0$ se conoce como la ecuación vectorial de un plano.
La ecuación escalar de un plano que contiene el punto $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ con vector normal $n = 〈 a, b, c 〉$ es $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0 .$ Esta ecuación puede expresarse como $a x + b y + c z + d = 0,$ donde $d = − a x_{0} - b y_{0} - c z_{0} .$ Esta forma de la ecuación se llama a veces la forma general de la ecuación de un plano.
Supongamos que un plano con el vector normal n pasa por el punto $Q .$ La distancia $D$ del plano al punto $P$ que no está en el plano está dada por

$D = ‖ {proj}_{n} \vec{Q P} ‖ = | {comp}_{n} \vec{Q P} | = \frac{| \vec{Q P} . n |}{‖ n ‖} .$
Los vectores normales de los planos paralelos son paralelos. Cuando dos planos se cruzan, forman una línea.
La medida del ángulo $θ$ entre dos planos de intersección se puede calcular utilizando la ecuación $cos θ = \frac{| n_{1} . n_{2} |}{‖ n_{1} ‖ ‖ n_{2} ‖},$ donde $n_{1}$ y $n_{2}$ son vectores normales a los planos.
La distancia $D$ desde el punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ al plano $a x + b y + c z + d = 0$ está dada por

$D = \frac{| a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1}) + c (z_{0} - z_{1}) |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

2.6 Superficies cuádricas

Un conjunto de líneas paralelas a una línea determinada que pasa por una curva determinada se conoce como cilindro o superficie cilíndrica. Las líneas paralelas se llaman reglas.
La intersección de una superficie tridimensional y un plano se llama traza. Para hallar la traza en los planos xy, yz o xz, se establecen $z = 0, x = 0, o y = 0,$ respectivamente.
Las superficies cuádricas son superficies tridimensionales con trazas compuestas por secciones cónicas. Toda superficie cuádrica puede expresarse con una ecuación de la forma $A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + D x y + E x z + F y z + G x + H y + J z + K = 0 .$
Para dibujar el gráfico de una superficie cuádrica, empiece por dibujar las trazas para entender el marco de la superficie.
Las superficies cuádricas importantes se resumen en la Figura 2.87 y la Figura 2.88.

2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio está representado por la triple ordenada $(r, θ, z),$ donde $(r, θ)$ representa las coordenadas polares de la proyección del punto en el plano xy y $z$ representa la proyección del punto sobre el eje z.
Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas, utilice las ecuaciones $x = r cos θ,$ $y = r sen θ,$ y $z = z .$
Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas, utilice las ecuaciones $r^{2} = x^{2} + y^{2},$ $tan θ = \frac{y}{x},$ y $z = z .$
En el sistema de coordenadas esféricas, un punto $P$ en el espacio está representado por la triple ordenada $(ρ, θ, φ),$ donde $ρ$ es la distancia entre $P$ y el origen $(ρ \neq 0),$ $θ$ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas y $φ$ es el ángulo formado por el eje z positivo y el segmento de línea $\overset{—}{O P},$ donde $O$ es el origen y $0 \leq φ \leq π .$
Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas, utilice las ecuaciones $x = ρ sen φ cos θ,$ $y = ρ sen φ sen θ,$ y $z = ρ cos φ .$
Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, utilice las ecuaciones $ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2},$ $tan θ = \frac{y}{x},$ y $φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) .$
Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas, utilice las ecuaciones $r = ρ sen φ,$ $θ = θ,$ y $z = ρ cos φ .$
Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas, utilice las ecuaciones $ρ = \sqrt{r^{2} + z^{2}},$ $θ = θ,$ y $φ = arccos (\frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}}) .$