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Cálculo volumen 3

2.1 Vectores en el plano

Cálculo volumen 32.1 Vectores en el plano

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.1.1 Describir un vector plano, utilizando la notación correcta.
  • 2.1.2 Realizar operaciones vectoriales básicas (multiplicación escalar, suma, resta).
  • 2.1.3 Expresar un vector en forma de componentes.
  • 2.1.4 Explicar la fórmula de la magnitud de un vector.
  • 2.1.5 Expresar un vector en términos de vectores unitarios.
  • 2.1.6 Dar dos ejemplos de cantidades vectoriales.

Cuando se describe el movimiento de un avión en vuelo, es importante comunicar dos datos: la dirección en la que viaja el avión y la velocidad del mismo. Cuando se mide una fuerza, como el empuje de los motores del avión, es importante describir no solo la intensidad de esa fuerza, sino también la dirección en la que se aplica. Algunas cantidades, como la velocidad o la fuerza, se definen tanto en términos de tamaño (también llamado magnitud) como de dirección. Una cantidad que tiene magnitud y dirección se llama vector. En este texto, denotamos los vectores con letras en negrita, como v.

Definición

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección.

Representación vectorial

Un vector en un plano se representa mediante un segmento rectilíneo dirigido (una flecha). Los puntos finales del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto terminal indica la dirección del vector. La longitud del segmento de línea representa su magnitud. Utilizamos la notación vv para denotar la magnitud del vector v.v. Un vector con un punto inicial y un punto terminal que son iguales se llama vector cero, denotado 0.0. El vector cero es el único vector sin dirección, y por convención se puede considerar que tiene cualquier dirección conveniente para el problema en cuestión.

Los vectores con la misma magnitud y dirección se llaman vectores equivalentes. Tratamos los vectores equivalentes como iguales, aunque tengan puntos iniciales diferentes. Por lo tanto, si vv y ww son equivalentes, escribimos

v=w.v=w.

Definición

Se dice que los vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección.

Las flechas de la Figura 2.2(b) son equivalentes. Cada flecha tiene la misma longitud y dirección. Un concepto estrechamente relacionado es la idea de vectores paralelos. Se dice que dos vectores son paralelos si tienen sentidos iguales u opuestos. Más adelante, en este mismo capítulo, analizaremos esta idea con más detalle. Un vector se define por su magnitud y dirección, independientemente de dónde se encuentre su punto inicial.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera está marcada como "a" y tiene un segmento de línea que representa el vector v. El segmento de línea comienza en el punto inicial y va hasta el punto terminal. Hay una punta de flecha en el punto terminal. La segunda imagen está marcada como "b" y consta de cinco vectores, cada uno de ellos marcado como v sub 1, v sub 2, v sub 3, v sub 4, v sub 5. Todos apuntan en la misma dirección y tienen la misma longitud.
Figura 2.2 (a) Un vector se representa mediante un segmento rectilíneo dirigido desde su punto inicial hasta su punto terminal. (b) Los vectores v 1 v 1 hasta v 5 v 5 son equivalentes.

El uso de letras minúsculas y en negrita para nombrar los vectores es una representación común en textos, pero existen notaciones alternativas. Cuando se escribe el nombre de un vector a mano, por ejemplo, es más fácil trazar una flecha sobre la variable que simular un tipo de letra en negrita: v.v. Cuando un vector tiene un punto inicial PP y punto terminal Q,Q, la notación PQPQ es útil porque indica la dirección y la ubicación del vector.

Ejemplo 2.1

Trazado de vectores

Trace un vector en el plano desde el punto inicial P(1,1)P(1,1) al punto terminal Q(8,5).Q(8,5).

Punto de control 2.1

Trace el vector STST donde SS es el punto (3,–1)(3,–1) y TT es el punto (–2,3).(–2,3).

Combinación de vectores

Los vectores tienen muchas aplicaciones en la vida real, incluidas las situaciones que implican fuerza o velocidad. Por ejemplo, considere las fuerzas que actúan sobre un barco que cruza un río. El motor del barco genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores. Debemos tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada fuerza si queremos saber hacia dónde irá el barco.

Un segundo ejemplo en el que intervienen vectores es el de un mariscal de campo que lanza un balón de fútbol. El mariscal de campo no lanza el balón en paralelo al suelo, sino que apunta al aire. La velocidad de su lanzamiento puede representarse mediante un vector. Si conocemos la fuerza con la que lanza el balón (magnitud, en este caso la velocidad) y el ángulo (dirección), podemos saber qué distancia recorrerá el balón en el campo.

Un número real suele llamarse escalar en matemáticas y física. A diferencia de los vectores, se considera que los escalares solo tienen una magnitud, pero no una dirección. Multiplicar un vector por un escalar cambia la magnitud del vector. Esto se llama multiplicación escalar. Tenga en cuenta que el cambio de la magnitud de un vector no indica un cambio en su dirección. Por ejemplo, el viento que sopla de norte a sur puede aumentar o disminuir su velocidad mientras mantiene su dirección de norte a sur.

Definición

El producto kvkv de un vector v y un escalar k es un vector con una magnitud |k||k| por la magnitud de v,v, y con una dirección que es la misma que la dirección de vv si k>0,k>0, y en sentido contrario a vv si k<0.k<0. Esto se llama multiplicación escalar. Si los valores de k=0k=0 o v=0,v=0, entonces kv=0.kv=0.

Como es de esperar, si k=−1,k=−1, denotamos el producto kvkv como

kv=(–1)v=v.kv=(–1)v=v.

Tenga en cuenta que vv tiene la misma magnitud que v,v, pero tiene el sentido opuesto (Figura 2.4).

Este gráfico tiene 4 figuras. La primera figura es un vector marcado como "v". La segunda figura es un vector dos veces más largo que el primer vector y está marcado como "2 v". La tercera figura es la mitad de larga que la primera y está marcada como "1/2 v". La cuarta figura es un vector en sentido opuesto al primero. Está marcado como "-v".
Figura 2.4 (a) El vector original v tiene una longitud de n unidades. (b) La longitud de 2 v 2 v es igual a 2 n 2 n unidades. (c) La longitud de v / 2 v / 2 es n / 2 n / 2 unidades. (d) Los vectores v v y v v tienen la misma longitud pero sentidos opuestos.

Otra operación que podemos realizar con los vectores es sumarlos en la suma de vectores, pero como cada vector puede tener su propia dirección, el proceso es diferente al de sumar dos números. El método gráfico más común para sumar dos vectores es situar el punto inicial del segundo vector en el punto terminal del primero, como en la Figura 2.5(a). Para ver por qué esto tiene lógica, supongamos, por ejemplo, que ambos vectores representan desplazamientos. Si un objeto se mueve primero desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector v,v, entonces desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector w,w, el desplazamiento global es el mismo que si el objeto hubiera realizado un solo movimiento desde el punto inicial hasta el punto terminal del vector v+w.v+w. Por razones obvias, este enfoque se denomina método triangular. Observe que si hubiéramos cambiado el orden, de modo que ww fuese nuestro primer vector y v fuese nuestro segundo vector, habríamos terminado en el mismo lugar (de nuevo, vea la Figura 2.5(a)). Por lo tanto, v+w=w+v.v+w=w+v.

Un segundo método para sumar vectores se llama método de paralelogramos. Con este método, colocamos los dos vectores de manera que tengan el mismo punto inicial, y luego dibujamos un paralelogramo con los vectores como dos lados adyacentes, como en la Figura 2.5(b). La longitud de la diagonal del paralelogramo es la suma. Comparando la Figura 2.5(b) y la Figura 2.5(a), podemos ver que obtenemos la misma respuesta utilizando cualquiera de los dos métodos. El vector v+wv+w se denomina suma de vectores.

Definición

La suma de dos vectores vv y ww se puede construir gráficamente colocando el punto inicial de ww en el punto terminal de v.v. Entonces, la suma de vectores, v+w,v+w, es el vector con un punto inicial que coincide con el punto inicial de vv y tiene un punto terminal que coincide con el punto terminal de w.w. Esta operación se conoce como suma de vectores.

Esta imagen tiene dos figuras. El primero tiene dos vectores, v y w con el mismo punto inicial. Se forma un paralelogramo trazando líneas discontinuas paralelas a los dos vectores. Se traza una línea diagonal desde el mismo punto inicial hasta la esquina opuesta. Está marcada como "v + w". El segundo tiene dos vectores, v y w. El vector v comienza en el punto terminal del vector w. Se forma un paralelogramo trazando líneas discontinuas paralelas a los dos vectores. Se traza una línea diagonal desde el mismo punto inicial que el vector w hasta la esquina opuesta. Está marcada como "v + w".
Figura 2.5 (a) Al sumar vectores por el método triangular, el punto inicial de w w es el punto terminal de v . v . b) Al sumar vectores por el método de paralelogramos, los vectores v v y w w tienen el mismo punto inicial.

También es conveniente hablar aquí de la resta de vectores. Definimos vwvw como v+(w)=v+(–1)w.v+(w)=v+(–1)w. El vector vwvw se denomina diferencia de vectores. Gráficamente, el vector vwvw se representa dibujando un vector desde el punto terminal de ww al punto terminal de vv (Figura 2.6).

Esta imagen tiene dos figuras. La primera figura tiene dos vectores, uno marcado como "v" y el otro como "w". Ambos vectores tienen el mismo punto inicial. Se dibuja un tercer vector entre los puntos terminales de v y w. Está marcado como "v - w". La segunda figura tiene dos vectores, uno marcado como "v" y el otro como "-w". El vector "-w" tiene su punto inicial en el punto terminal de "v". Se crea un paralelogramo con líneas discontinuas donde "v" es la diagonal y "w" es el lado superior.
Figura 2.6 (a) La diferencia de vectores v w v w se representa dibujando un vector desde el punto terminal de w w al punto terminal de v . v . (b) El vector v w v w equivale al vector v + ( w ) . v + ( w ) .

En la Figura 2.5(a), el punto inicial de v+wv+w es el punto inicial de v.v. El punto terminal de v+wv+w es el punto terminal de w.w. Estos tres vectores forman los lados de un triángulo. Se deduce que la longitud de un lado cualquiera es menor que la suma de las longitudes de los lados restantes. Así que tenemos

v+wv+w.v+wv+w.

Esto se conoce más generalmente como la desigualdad triangular. Sin embargo, hay un caso en el que el vector resultante u+vu+v tiene la misma magnitud que la suma de las magnitudes de uu y v.v. Esto solo ocurre cuando uu y vv tienen la misma dirección.

Ejemplo 2.2

Combinación de vectores

Dados los vectores vv y ww que se muestra en la Figura 2.7, dibuje los vectores

  1. 3w3w
  2. v+wv+w
  3. 2 vw2 vw
    Esta figura tiene dos vectores. Son el vector v y el vector w. No están conectados.
    Figura 2.7 Los vectores v v y w w se encuentran en el mismo plano.

Punto de control 2.2

Usando los vectores vv y ww del Ejemplo 2.2, dibuje el vector 2 wv.2 wv.

Componentes vectoriales

Trabajar con vectores en un plano es más fácil cuando trabajamos en un sistema de coordenadas. Cuando los puntos iniciales y los puntos terminales de los vectores se dan en coordenadas cartesianas, los cálculos son sencillos.

Ejemplo 2.3

Comparación de vectores

¿Son vv y ww vectores equivalentes?

  1. vv tiene un punto inicial (3,2 )(3,2 ) y punto terminal (7,2 )(7,2 )
    ww tiene un punto inicial (1,–4)(1,–4) y punto terminal (1,0)(1,0) grandes.
  2. vv tiene un punto inicial (0,0)(0,0) y punto terminal (1,1)(1,1)
    ww tiene un punto inicial (–2,2 )(–2,2 ) y punto terminal (–1,3)(–1,3)

Punto de control 2.3

¿Cuáles de los siguientes vectores son equivalentes?

Esta figura es un sistema de coordenadas con 6 vectores, cada uno marcado de la a hasta la f. Tres de los vectores, "a", "b" y "e" tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección.

Hemos visto cómo trazar un vector cuando se nos da un punto inicial y un punto terminal. Sin embargo, dado que un vector puede situarse en cualquier lugar del plano, puede ser más fácil realizar cálculos con un vector cuando su punto inicial coincide con el origen. Llamamos vector en posición estándar a un vector con su punto inicial en el origen. Porque se sabe que el punto inicial de cualquier vector en posición estándar es (0,0),(0,0), podemos describir el vector mirando las coordenadas de su punto terminal. Así, si el vector v tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en (x,y),(x,y), escribimos el vector en forma de componentes como

v=x,y.v=x,y.

Cuando un vector se escribe en forma de componentes como este, los escalares de x y y se llaman componentes de v.v.

Definición

El vector con punto inicial (0,0)(0,0) y punto terminal (x,y)(x,y) puede escribirse en forma de componentes como

v=x,y.v=x,y.

Los escalares de xx como yy se denominan las componentes de v.v.

Recordemos que los vectores se nombran con letras minúsculas en negrita o dibujando una flecha sobre su nombre. También hemos aprendido que podemos nombrar un vector por su forma de componentes, con las coordenadas de su punto terminal entre paréntesis angulares. Sin embargo, al escribir la forma en componentes de un vector, es importante distinguir entre x,yx,y y (x,y).(x,y). El primer par ordenado utiliza paréntesis angulares para describir un vector, mientras que el segundo utiliza paréntesis para describir un punto en un plano. El punto inicial de x,yx,y es (0,0);(0,0); el punto terminal de x,yx,y es (x,y).(x,y).

Cuando tenemos un vector que no está en posición estándar, podemos determinar su forma en componentes de una de estas dos maneras. Podemos utilizar un enfoque geométrico, en el que dibujamos el vector en el plano de coordenadas, y luego dibujamos un vector en posición estándar equivalente. De manera alternativa, podemos hallarlo algebraicamente, utilizando las coordenadas del punto inicial y del punto terminal. Para hallarlo algebraicamente, restamos la coordenada x del punto inicial de la coordenada x del punto terminal para obtener el componente de x, y restamos la coordenada y del punto inicial de la coordenada y del punto terminal para obtener el componente de y.

Regla: forma en componentes de un vector

Supongamos que v es un vector con punto inicial (xi,yi)(xi,yi) y punto terminal (xt,yt).(xt,yt). Entonces podemos expresar v en forma de componentes como v=xtxi,ytyi.v=xtxi,ytyi.

Ejemplo 2.4

Expresión de vectores en forma de componentes

Exprese el vector vv con punto inicial (−3,4)(−3,4) y punto terminal (1,2 )(1,2 ) en forma de componentes.

Punto de control 2.4

El vector ww tiene un punto inicial (−4,−5)(−4,−5) y punto terminal (–1,2 ).(–1,2 ). Exprese ww en forma de componentes.

Para hallar la magnitud de un vector, calculamos la distancia entre su punto inicial y su punto terminal. La magnitud del vector v=x,yv=x,y se denota v,v, o |v|,|v|, y puede calcularse mediante la fórmula

v=x2 +y2 .v=x2 +y2 .

Observe que como este vector está escrito en forma de componentes, equivale a un vector en posición estándar, con su punto inicial en el origen y su punto terminal (x,y).(x,y). Por lo tanto, basta con calcular la magnitud del vector en posición estándar. Utilizando la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre el punto inicial (0,0)(0,0) y punto terminal (x,y),(x,y), tenemos

v=(x0)2 +(y0)2 =x2 +y2 .v=(x0)2 +(y0)2 =x2 +y2 .

Basándose en esta fórmula, está claro que para cualquier vector v,v, v0,v0, y v=0v=0 si y solo si v=0.v=0.

La magnitud de un vector también puede derivarse utilizando el teorema de Pitágoras, como en la siguiente figura.

Esta figura es un triángulo rectángulo. Los dos lados están marcados como "x" y "y". La hipotenusa se representa como un vector y está marcada como "raíz cuadrada (x^2 + y^2)".
Figura 2.13 Si utiliza las componentes de un vector para definir un triángulo rectángulo, la magnitud del vector es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

Hemos definido la multiplicación escalar y la suma de vectores de forma geométrica. Expresar los vectores en forma de componentes nos permite realizar estas mismas operaciones de forma algebraica.

Definición

Supongamos que v=x1,y1v=x1,y1 y w=x2 ,y2 w=x2 ,y2 son vectores y que kk es un escalar.

Multiplicación escalar: kv=kx1,ky1kv=kx1,ky1

Suma de vectores: v+w=x1,y1+x2 ,y2 =x1+x2 ,y1+y2 v+w=x1,y1+x2 ,y2 =x1+x2 ,y1+y2

Ejemplo 2.5

Realización de operaciones en forma de componentes

Supongamos que vv es el vector con punto inicial (2 ,5)(2 ,5) y punto terminal (8,13),(8,13), y supongamos que w=–2,4.w=–2,4.

  1. Exprese vv en forma de componentes y halle v.v. Entonces, usando el método algebraico, halle
  2. v+w,v+w,
  3. 3v,3v, y
  4. v2 w.v2 w.

Punto de control 2.5

Supongamos que a=7,1a=7,1 y supongamos que bb es el vector con punto inicial (3,2 )(3,2 ) y punto terminal (–1,–1).(–1,–1).

  1. Halle a.a.
  2. Exprese bb en forma de componentes.
  3. Halle 3a4b.3a4b.

Ahora que hemos establecido las reglas básicas de la aritmética vectorial, podemos enunciar las propiedades de las operaciones vectoriales. Vamos a demostrar dos de estas propiedades. Las demás pueden demostrarse de forma similar.

Teorema 2.1

Propiedades de las operaciones vectoriales

Supongamos que u,v,ywu,v,yw son vectores en un plano. Supongamos que r y sr y s son escalares.

i.u+v=v+uPropiedad conmutativaii.(u+v)+w=u+(v+w)Propiedad asociativaiii.u+0=uPropiedad de identidad aditivaiv.u+(u)=0Propiedad del inverso aditivov.r(su)=(rs)uPropiedad asociativa de la multiplicación escalarvi.(r+s)u=ru+suPropiedad distributivavii.r(u+v)=ru+rvPropiedad distributivaviii.1u=u,0u=0Propiedades de la identidad y del ceroi.u+v=v+uPropiedad conmutativaii.(u+v)+w=u+(v+w)Propiedad asociativaiii.u+0=uPropiedad de identidad aditivaiv.u+(u)=0Propiedad del inverso aditivov.r(su)=(rs)uPropiedad asociativa de la multiplicación escalarvi.(r+s)u=ru+suPropiedad distributivavii.r(u+v)=ru+rvPropiedad distributivaviii.1u=u,0u=0Propiedades de la identidad y del cero

Prueba de la propiedad conmutativa

Supongamos que u=x1,y1u=x1,y1 y v=x2 ,y2 .v=x2 ,y2 . Aplique la propiedad conmutativa para los números reales:

u+v=x1+x2 ,y1+y2 =x2 +x1,y2 +y1=v+u.u+v=x1+x2 ,y1+y2 =x2 +x1,y2 +y1=v+u.

Prueba de la propiedad distributiva

Aplique la propiedad distributiva para los números reales:

r(u+v)=r.x1+x2 ,y1+y2 =r(x1+x2 ),r(y1+y2 )=rx1+rx2 ,ry1+ry2 =rx1,ry1+rx2 ,ry2 =ru+rv.r(u+v)=r.x1+x2 ,y1+y2 =r(x1+x2 ),r(y1+y2 )=rx1+rx2 ,ry1+ry2 =rx1,ry1+rx2 ,ry2 =ru+rv.

Punto de control 2.6

Demuestre la propiedad del inverso aditivo.

Hemos hallado los componentes de un vector dados sus puntos iniciales y terminales. En algunos casos, es posible que solo tengamos la magnitud y la dirección de un vector, no los puntos. Para estos vectores, podemos identificar los componentes horizontales y verticales utilizando la trigonometría (Figura 2.15).

Esta figura es un triángulo rectángulo. Hay un ángulo marcado como theta. Los dos lados están marcados como "magnitud de v por coseno theta" y "magnitud de v por seno theta". La hipotenusa está marcada como "magnitud de v".
Figura 2.15 Los componentes de un vector forman los catetos de un triángulo rectángulo, con el vector como hipotenusa.

Considere el ángulo θθ formado por el vector v y el eje x positivo. Podemos ver en el triángulo que los componentes del vector vv son vcosθ,vsenθ.vcosθ,vsenθ. Por lo tanto, dado un ángulo y la magnitud de un vector, podemos utilizar el coseno y el seno del ángulo para hallar los componentes del vector.

Ejemplo 2.6

Hallar la forma en componentes de un vector utilizando la trigonometría

Halle la forma en componentes de un vector de magnitud 4 que forma un ángulo de –45°–45° con el eje x.

Punto de control 2.7

Halle la forma en componentes del vector vv con magnitud 1010 que forma un ángulo de 120°120° con el eje x positivo.

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud 1.1. Para cualquier vector distinto de cero v,v, podemos utilizar la multiplicación escalar para hallar un vector unitario uu que tiene la misma dirección que v.v. Para ello, multiplicamos el vector por el recíproco de su magnitud:

u=1vv.u=1vv.

Recordemos que cuando definimos la multiplicación escalar, observamos que kv=|k|.v.kv=|k|.v. Para u=1vv,u=1vv, se deduce que u=1v(v)=1.u=1v(v)=1. Decimos que uu es el vector unitario en la dirección de vv (Figura 2.17). El proceso de utilizar la multiplicación escalar para hallar un vector unitario con una dirección dada se llama normalización.

Esta imagen tiene dos figuras. La primera es un vector marcado como "v". La segunda figura es un vector en la misma dirección marcado como "u". Este vector tiene una longitud de 1 unidad.
Figura 2.17 El vector v v y el vector unitario asociado u = 1 v v . u = 1 v v . En este caso, v > 1 . v > 1 .

Ejemplo 2.7

Hallar un vector unitario

Supongamos que v=1,2 .v=1,2 .

  1. Halle un vector unitario con la misma dirección que v.v.
  2. Halle un vector ww con la misma dirección que vv tal que w=7.w=7.

Punto de control 2.8

Supongamos que v=9,2 .v=9,2 . Halle un vector con magnitud 55 en el sentido opuesto a v.v.

Hemos visto lo conveniente que puede ser escribir un vector en forma de componentes. Sin embargo, a veces es más conveniente escribir un vector como la suma de un vector horizontal y un vector vertical. Para facilitar las cosas, veamos los vectores normales unitarios. Los vectores normales unitarios son los vectores i=1,0i=1,0 y j=0,1j=0,1 (Figura 2.18).

Esta figura tiene los ejes x y y de un sistema de coordenadas en el primer cuadrante. En el eje x hay un vector marcado como "i", que es igual a <1,0>. El segundo vector se encuentra en el eje y y está marcado como "j", que es igual a <0,1>.
Figura 2.18 Los vectores normales unitarios i i y j . j .

Aplicando las propiedades de los vectores, es posible expresar cualquier vector en términos de ii y jj en lo que llamamos una combinación lineal:

v=x,y=x,0+0,y=x1,0+y0,1=xi+yj.v=x,y=x,0+0,y=x1,0+y0,1=xi+yj.

Por lo tanto, vv es la suma de un vector horizontal con magnitud x,x, y un vector vertical con magnitud y,y, como en la siguiente figura.

Esta figura es un triángulo rectángulo. El lado horizontal está marcado como "xi". El lado vertical está marcado como "yj". La hipotenusa es un vector marcado como "v".
Figura 2.19 El vector v v es la suma de x i x i y y j . y j .

Ejemplo 2.8

Uso de vectores normales unitarios

  1. Exprese el vector w=3,−4w=3,−4 en términos de vectores normales unitarios.
  2. El vector uu es un vector unitario que forma un ángulo de 60°60° con el eje de la x positiva. Utilice los vectores normales unitarios para describir u.u.

Punto de control 2.9

Supongamos que a=16,–11a=16,–11 y supongamos que bb es un vector unitario que forma un ángulo de 225°225° con el eje de la x positiva. Exprese aa y bb en términos de los vectores normales unitarios.

Aplicaciones de los vectores

Como los vectores tienen tanto dirección como magnitud, son herramientas valiosas para resolver problemas que implican aplicaciones como el movimiento y la fuerza. Recordemos el ejemplo del barco y el del mariscal de campo que hemos descrito antes. A continuación, examinamos en detalle otros dos ejemplos.

Ejemplo 2.9

Hallar la fuerza resultante

El automóvil de Jane está atascado en el barro. Lisa y Jed vienen en un camión para ayudar a sacarla. Fijan un extremo de una correa de remolque a la parte delantera del automóvil y el otro extremo al enganche de remolque del camión, y este empieza a tirar. Mientras tanto, Jane y Jed se ponen detrás del automóvil y empujan. El camión genera una fuerza horizontal de 300300 lb sobre el auto. Jane y Jed están empujando en un ligero ángulo hacia arriba y generan una fuerza de 150150 lb sobre el auto. Estas fuerzas pueden representarse mediante vectores, como se muestra en la Figura 2.21. El ángulo entre estos vectores es 15°.15°. Halle la fuerza resultante (la suma vectorial) e indique su magnitud a la décima de libra más cercana y su ángulo director desde el eje x positivo.

Esta imagen es la vista lateral de un automóvil. Desde la parte delantera del automóvil hay un vector horizontal marcado como "300 libras". Además, desde la parte delantera del automóvil hay otro vector marcado como "150 libras". El ángulo entre los dos vectores es de 15 grados.
Figura 2.21 Dos fuerzas que actúan sobre un automóvil en diferentes direcciones.

Ejemplo 2.10

Hallar la velocidad resultante

Un avión vuela hacia el oeste a una velocidad de 425425 mph. El viento sopla del noreste en 4040 mph. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo del avión? ¿Cuál es el rumbo del avión?

Punto de control 2.10

Un avión vuela hacia el norte a una velocidad de 550550 mph. El viento sopla desde el noroeste a 5050 mph. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo del avión?

Sección 2.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, considere los puntos P(–1,3),P(–1,3), Q(1,5),Q(1,5), y R(−3,7).R(−3,7). Determine los vectores solicitados y exprese cada uno de ellos a. en forma de componentes y b. utilizando los vectores normales unitarios.

1.

P Q P Q

2.

P R P R

3.

Q P Q P

4.

R P R P

5.

P Q + P R P Q + P R

6.

P Q P R P Q P R

7.

2 P Q 2 P R 2 P Q 2 P R

8.

2 P Q + 1 2 P R 2 P Q + 1 2 P R

9.

El vector unitario en la dirección de PQPQ

10.

El vector unitario en la dirección de PRPR

11.

Un vector vv tiene un punto inicial (–1,−3)(–1,−3) y punto terminal (2 ,1).(2 ,1). Halle el vector unitario en la dirección de v.v. Exprese la respuesta en forma de componentes.

12.

Un vector vv tiene un punto inicial (–2,5)(–2,5) y punto terminal (3,–1).(3,–1). Halle el vector unitario en la dirección de v.v. Exprese la respuesta en forma de componentes.

13.

El vector vv tiene un punto inicial P(1,0)P(1,0) y punto terminal QQ que está en el eje y y por encima del punto inicial. Halle las coordenadas del punto terminal QQ de modo que la magnitud del vector vv es 5.5.

14.

El vector vv tiene un punto inicial P(1,1)P(1,1) y punto terminal QQ que está en el eje x y a la izquierda del punto inicial. Halle las coordenadas del punto terminal QQ de modo que la magnitud del vector vv es 10.10.

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados aa y b.b.

  1. Determine la suma de vectores a+ba+b y exprésela tanto en forma de componentes como utilizando los vectores normales unitarios.
  2. Halle la diferencia de vectores abab y exprésela tanto en forma de componentes como utilizando los vectores normales unitarios.
  3. Verifique que los vectores a,a, b,b, y a+b,a+b, y, respectivamente, a,a, b,b, y abab satisfacen la desigualdad triangular.
  4. Determine los vectores 2 a,2 a, b,b, y 2 ab.2 ab. Exprese los vectores tanto en forma de componentes como utilizando vectores normales unitarios.
15.

a=2 i+j,a=2 i+j, b=i+3jb=i+3j

16.

a=2 i,a=2 i, b=–2i+2 jb=–2i+2 j

17.

Supongamos que aa es un vector en posición estándar con punto terminal (–2,–4).(–2,–4). Supongamos que bb es un vector con punto inicial (1,2 )(1,2 ) y punto terminal (–1,4).(–1,4). Halle la magnitud del vector −3a+b4i+j.−3a+b4i+j.

18.

Supongamos que aa es un vector en posición estándar con punto terminal en (2 ,5).(2 ,5). Supongamos que bb es un vector con punto inicial (–1,3)(–1,3) y punto terminal (1,0).(1,0). Halle la magnitud del vector a3b+14i14j.a3b+14i14j.

19.

Supongamos que uu y vv son dos vectores distintos de cero y no son equivalentes. Considere los vectores a=4u+5va=4u+5v y b=u+2 vb=u+2 v definidos en términos de uu y v.v. Halle el escalar λλ de modo que los vectores a+λba+λb y uvuv son equivalentes.

20.

Supongamos que uu y vv son dos vectores distintos de cero y no son equivalentes. Considere los vectores a=2 u4va=2 u4v y b=3u7vb=3u7v definidos en términos de uu y v.v. Halle los escalares αα y ββ de modo que los vectores αa+βbαa+βb y uvuv son equivalentes.

21.

Considere el vector a(t)=cost,senta(t)=cost,sent con componentes que dependen de un número real t.t. A medida que el número tt varía, los componentes de a(t)a(t) cambian también, dependiendo de las funciones que los definen.

  1. Escriba los vectores a(0)a(0) y a(π)a(π) en forma de componentes.
  2. Demuestre que la magnitud a(t)a(t) del vector a(t)a(t) permanece constante para cualquier número real t.t.
  3. Dado que tt varía, demuestre que el punto terminal del vector a(t)a(t) describe un círculo centrado en el origen de radio 1.1.
22.

Considere el vector a(x)=x,1x2 a(x)=x,1x2 con componentes que dependen de un número real x[−1,1].x[−1,1]. A medida que el número xx varía, los componentes de a(x)a(x) cambian también, dependiendo de las funciones que los definen.

  1. Escriba los vectores a(0)a(0) y a(1)a(1) en forma de componentes.
  2. Demuestre que la magnitud a(x)a(x) del vector a(x)a(x) permanece constante para cualquier número real xx
  3. Dado que xx varía, demuestre que el punto terminal del vector a(x)a(x) describe un círculo centrado en el origen de radio 1.1.
23.

Demuestre que los vectores a(t)=cost,senta(t)=cost,sent y a(x)=x,1x2 a(x)=x,1x2 son equivalentes para x=1x=1 y t=2 kπ,t=2 kπ, donde kk es un número entero.

24.

Demuestre que los vectores a(t)=cost,senta(t)=cost,sent y a(x)=x,1x2 a(x)=x,1x2 son opuestos para x=rx=r y t=π+2 kπ,t=π+2 kπ, donde kk es un número entero.

En los siguientes ejercicios, halle el vector vv con la magnitud dada y en la misma dirección que el vector u.u.

25.

v = 7 , u = 3 , 4 v = 7 , u = 3 , 4

26.

v = 3 , u = –2 , 5 v = 3 , u = –2 , 5

27.

v = 7 , u = 3 , −5 v = 7 , u = 3 , −5

28.

v = 10 , u = 2 , −1 v = 10 , u = 2 , −1

En los siguientes ejercicios, halle la forma en componentes del vector u,u, dada su magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Dé respuestas exactas cuando sea posible.

29.

u=2 ,u=2 , θ=30°θ=30°

30.

u=6,u=6, θ=60°θ=60°

31.

u=5,u=5, θ=π2 θ=π2

32.

u=8,u=8, θ=πθ=π

33.

u=10,u=10, θ=5π6θ=5π6

34.

u=50,u=50, θ=3π4θ=3π4

En los siguientes ejercicios, el vector uu está dado. Halle el ángulo θ[0,2 π)θ[0,2 π) que el vector uu forma con la dirección positiva del eje x, en sentido contrario a las agujas del reloj.

35.

u = 5 2 i 5 2 j u = 5 2 i 5 2 j

36.

u = 3 i j u = 3 i j

37.

Supongamos que a=a1,a2 ,a=a1,a2 , b=b1,b2 ,b=b1,b2 , y c=c1,c2 c=c1,c2 son tres vectores distintos de cero. Si los valores de a1b2 a2 b10,a1b2 a2 b10, entonces demuestre que hay dos escalares, αα y β,β, tal que c=αa+βb.c=αa+βb.

38.

Considere los vectores a=2 ,−4,a=2 ,−4, b=–1,2 ,b=–1,2 , y c = 0 Determine los escalares αα y ββ tal que c=αa+βb.c=αa+βb.

39.

Supongamos que P(x0,f(x0))P(x0,f(x0)) es un punto fijo en el gráfico de la función diferencial ff con un dominio que es el conjunto de los números reales.

  1. Determine el número real z0z0 de modo que el punto Q(x0+1,z0)Q(x0+1,z0) se sitúe en la línea tangente al gráfico de ff en el punto P.P.
  2. Determine el vector unitario uu con punto inicial PP y punto terminal Q.Q.
40.

Considere la función f(x)=x4,f(x)=x4, donde x.x.

  1. Determine el número real z0z0 de modo que el punto Q(2 ,z0)Q(2 ,z0) esté situado en la línea tangente al gráfico de ff en el punto P(1,1).P(1,1).
  2. Determine el vector unitario uu con punto inicial PP y punto terminal Q.Q.
41.

Considere ff y gg dos funciones definidas sobre el mismo conjunto de números reales D.D. Supongamos que a=x,f(x)a=x,f(x) y b=x,g(x)b=x,g(x) son dos vectores que describen los gráficos de las funciones, donde xD.xD. Demuestre que si los gráficos de las funciones ff y gg no se intersecan, entonces los vectores aa y bb no son equivalentes.

42.

Halle xx de modo que los vectores a=x,senxa=x,senx y b=x,cosxb=x,cosx son equivalentes.

43.

Calcule las coordenadas del punto DD tal que ABCDABCD sea un paralelogramo, con A(1,1),A(1,1), B(2 ,4),B(2 ,4), y C(7,4).C(7,4).

44.

Considere los puntos A(2 ,1),A(2 ,1), B(10,6),B(10,6), C(13,4),C(13,4), y D(16,–2).D(16,–2). Determine la forma en componentes del vector AD.AD.

45.

La velocidad de un objeto es la magnitud de su vector de velocidad relacionado. Un balón de fútbol lanzado por un mariscal de campo tiene una velocidad inicial de 7070 mph y un ángulo de elevación de 30°.30°. Determine el vector velocidad en mph y expréselo en forma de componentes. (Redondee a dos decimales).

Esta figura muestra el lanzamiento de un balón de fútbol. La trayectoria del balón está representada por una curva en arco. Al principio de la curva hay un vector que indica la velocidad inicial.
46.

Un jugador de béisbol lanza una pelota de béisbol con un ángulo de 30°30° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es 100100 mph, halle los componentes horizontales y verticales del vector velocidad inicial de la pelota de béisbol. (Redondee a dos decimales).

47.

Una bala se dispara con una velocidad inicial de 1,5001,500 ft/s a un ángulo de 60°60° con la horizontal. Halle los componentes horizontal y vertical del vector velocidad de la bala. (Redondee a dos decimales).

Esta figura es el primer cuadrante de un sistema de coordenadas. Hay un vector desde el origen que está marcado como "v sub 0 = 1500 pies por segundo". El ángulo entre el eje x y el vector es de 60 grados.
48.

[T] Un velocista de 65 kg ejerce una fuerza de 798798 N a un ángulo de 19°19° con respecto al suelo en el bloque de salida en el instante en que comienza una carrera. Halle el componente horizontal de la fuerza. (Redondee a dos decimales).

49.

[T] Dos fuerzas, una fuerza horizontal de 4545 lb y otra de 5252 lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es de 25°.25°. Halle la magnitud y el ángulo director desde el eje x positivo de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. (Redondee a dos decimales).

Esta figura tiene dos vectores con el mismo punto inicial. El primer vector está marcado como "52 lb" y el segundo como "45 lb". El ángulo entre los vectores es de 25 grados.
50.

[T] Dos fuerzas, una fuerza vertical de 2626 lb y otra de 4545 lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es de 55°.55°. Halle la magnitud y el ángulo director desde el eje x positivo de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. (Redondee a dos decimales).

51.

[T] Tres fuerzas actúan sobre el objeto. Dos de las fuerzas tienen las magnitudes 5858 N y 2727 N, y forman ángulos de 53°53° y 152°,152°, respectivamente, con el eje x positivo. Halle la magnitud y el ángulo director desde el eje x positivo de la tercera fuerza tal que la fuerza resultante que actúa sobre el objeto sea cero. (Redondee a dos decimales).

52.

Tres fuerzas con magnitudes 8080 lb, 120120 lb y 6060 lb actúan sobre un objeto en ángulos de 45°,45°, 60°60° y 30°,30°, respectivamente, con el eje de la x positiva. Halle la magnitud y el ángulo director desde el eje x positivo de la fuerza resultante. (Redondee a dos decimales).

Esta figura es el primer cuadrante de un sistema de coordenadas. Hay tres vectores, todos con el origen como punto inicial. El primer vector está marcado como "60 lb" y forma un ángulo de 30 grados con el eje x. El segundo vector está marcado como "80 lb" y forma un ángulo de 45 grados con el eje x. El tercer vector está marcado como "120 lb" y forma un ángulo de 60 grados con el eje x.
53.

[T] Un avión está volando en la dirección de 43°43° este del norte (también abreviado como N43E)N43E) a una velocidad de 550550 mph. Un viento con velocidad de 2525 mph viene del suroeste con un rumbo de N15E.N15E. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y la nueva dirección del avión?

Esta figura es el primer cuadrante de un sistema de coordenadas. Hay dos vectores que tienen el origen como punto inicial. El primer vector está marcado como "550 millas por hora" y tiene un ángulo de 43 grados con respecto al eje y. También hay una imagen de un avión al final del vector. El segundo vector está marcado como "25 millas por hora" y tiene un ángulo de 15 grados con respecto al eje y.
54.

[T] Un barco se desplaza por el agua a 3030 mph en una dirección de N20EN20E (es decir, 20°20° este del norte). Una fuerte corriente se mueve a 1515 mph en una dirección de N45E.N45E. ¿Cuál es la nueva velocidad y dirección del barco?

Esta figura es el primer cuadrante de un sistema de coordenadas. Hay dos vectores que tienen el origen como punto inicial. El primer vector está marcado como "15" y tiene un ángulo de 45 grados con respecto al eje y. El segundo vector está marcado como "30" y tiene un ángulo de 20 grados con respecto al eje y. También hay una imagen de un barco al final del vector.
55.

[T] Un peso de 50 libras se cuelga de un cable de manera que las dos porciones del cable forman ángulos de 40°40° y 53°,53°, respectivamente, con la horizontal. Halle las magnitudes de las fuerzas de tensión T1T1 y T2 T2 en los cables si la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es cero. (Redondee a dos decimales).

Esta figura es una línea horizontal con dos vectores por debajo de la línea que forman un triángulo con la línea. Los vectores apuntan hacia los extremos de la línea. El ángulo entre la línea horizontal y el primer vector es de 40 grados. El ángulo entre la línea horizontal y el segundo vector es de 53 grados. En el punto donde se encuentran los dos vectores hay un rectángulo marcado como "50 lb".
56.

[T] Un peso de 62 libras cuelga de una cuerda que forma ángulos de 29°29° y 61°,61°, respectivamente, con la horizontal. Halle las magnitudes de las fuerzas de tensión T1T1 y T2 T2 en los cables si la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es cero. (Redondee a dos decimales).

57.

[T] Una embarcación de 1500 libras está estacionada en una rampa que forma un ángulo de 30°30° con la horizontal. El vector peso del barco apunta hacia abajo y es una suma de dos vectores: un vector horizontal v1v1 que es paralelo a la rampa y un vector vertical v2 v2 que es perpendicular a la superficie inclinada. Las magnitudes de los vectores v1v1 y v2 v2 son el componente horizontal y vertical, respectivamente, del vector peso del barco. Halle las magnitudes de v1v1 y v2 .v2 . (Redondee al número entero más cercano).

Esta figura muestra un triángulo rectángulo. El ángulo entre la base horizontal y la hipotenusa es de 30 grados. En la hipotenusa está la imagen de un barco. Desde el centro del barco hay tres vectores. Dos de los vectores son ortogonales, uno en dirección al barco y el otro por debajo del mismo. El tercer vector va hacia abajo, perpendicular al lado vertical.
58.

[T] Una caja de 85 libras está en reposo en un inclinación de 26°26°. Determine la magnitud de la fuerza paralela a la inclinación necesaria para que la caja no se deslice. (Redondee al número entero más cercano).

59.

Un cable de sujeción sostiene un poste que mide 7575 pies de altura. Un extremo del cable se sujeta a la parte superior del poste y el otro se ancla al suelo a 5050 pies desde la base del poste. Determine los componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión en el cable si su magnitud es 5050 lb. (Redondee al número entero más cercano).

Esta figura es una torre con un cable de sujeción desde la cima hasta el suelo. La torre, el cable de sujeción y el suelo forman un triángulo rectángulo. La base está marcada como "50 pies" y es horizontal. El otro lado está marcado como "75 pies" y es vertical. Este lado es la torre.
60.

El cable de un poste telefónico tiene un ángulo de elevación de 35°35° con respecto al suelo. La fuerza de tensión en el cable es 120120 lb. Halle los componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión. (Redondee al número entero más cercano).

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