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Cálculo volumen 3

2.2 Vectores en tres dimensiones

Cálculo volumen 32.2 Vectores en tres dimensiones
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.2.1 Describir matemáticamente el espacio tridimensional.
  • 2.2.2 Localizar puntos en el espacio mediante coordenadas.
  • 2.2.3 Escribir la fórmula de la distancia en tres dimensiones.
  • 2.2.4 Escribir las ecuaciones de planos y esferas simples.
  • 2.2.5 Realizar operaciones vectoriales en 3 . 3 .

Los vectores son herramientas útiles para resolver problemas bidimensionales. Sin embargo, la vida ocurre en tres dimensiones. Para ampliar el uso de los vectores a aplicaciones más realistas, es necesario crear un marco para describir el espacio tridimensional. Por ejemplo, si bien un mapa bidimensional es una herramienta útil para navegar de un lugar a otro, en algunos casos la topografía del terreno es importante. ¿Su ruta prevista pasa por las montañas? ¿Hay que cruzar un río? Para apreciar plenamente el impacto de estos accidentes geográficos, hay que utilizar las tres dimensiones. Esta sección presenta una extensión natural del plano de coordenadas cartesianas de dos dimensiones a tres dimensiones.

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal x y el eje vertical y. Podemos añadir una tercera dimensión, el eje z, que es perpendicular al eje x y al eje y. Llamamos a este sistema el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

Definición

El sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales consta de tres ejes perpendiculares: el eje x, el eje y y el eje z. Como cada eje es una línea numérica que representa todos los números reales en ,, el sistema tridimensional se suele denotar como 3.3.

En la Figura 2.23(a), el eje z positivo se muestra sobre el plano que contiene los ejes x y y. El eje x positivo aparece a la izquierda y el eje y positivo a la derecha. Una pregunta obvia que surge es: ¿Cómo se determinó esta disposición? El sistema que se muestra sigue la regla de la mano derecha. Si tomamos nuestra mano derecha y alineamos los dedos con el eje x positivo, luego curvamos los dedos para que apunten en la dirección del eje y positivo, nuestro pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. En este texto, siempre trabajamos con sistemas de coordenadas establecidos de acuerdo con la regla de la mano derecha. Algunos sistemas siguen la regla de la mano izquierda, pero la regla de la mano derecha se considera la representación estándar.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un sistema de coordenadas tridimensional. El eje x va hacia adelante, el eje y es horizontal hacia la izquierda y la derecha y el eje z es vertical. La segunda imagen son los ejes del sistema de coordenadas tridimensionales con una mano derecha. El pulgar apunta hacia el eje z positivo con los dedos envolviendo el eje z desde el eje x positivo hasta el eje y positivo.
Figura 2.23 (a) Podemos ampliar el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional añadiendo un tercer eje, el eje z, que es perpendicular tanto al eje x como al eje y. (b) La regla de la mano derecha se utiliza para determinar la ubicación de los ejes de coordenadas en el plano cartesiano estándar.

En dos dimensiones, describimos un punto en el plano con las coordenadas (x,y).(x,y). Cada coordenada describe cómo se alinea el punto con el eje correspondiente. En tres dimensiones, una nueva coordenada, z,z, se añade para indicar la alineación con el eje z: (x,y,z).(x,y,z). Un punto en el espacio se identifica por las tres coordenadas (Figura 2.24). Para trazar el punto (x,y,z),(x,y,z), vaya x unidades a lo largo del eje x, luego yy unidades en la dirección del eje y, luego zz unidades en la dirección del eje z.

Esta figura es el octante positivo del sistema de coordenadas tridimensional. En el primer octante hay un sólido rectangular dibujado con líneas discontinuas. Una de las esquinas está marcada como (x, y, z). La altura de la caja se denomina "z unidades", el ancho se denomina "x unidades" y la longitud se denomina "y unidades".
Figura 2.24 Para trazar el punto ( x , y , z ) ( x , y , z ) vaya x x unidades a lo largo del eje x, luego y y unidades en la dirección del eje y, luego z z unidades en la dirección del eje z.

Ejemplo 2.11

Localización de puntos en el espacio

Dibuje el punto (1,–2,3)(1,–2,3) en el espacio tridimensional.

Punto de control 2.11

Dibuje el punto (–2,3,–1)(–2,3,–1) en el espacio tridimensional.

En el espacio bidimensional, el plano de coordenadas está definido por un par de ejes perpendiculares. Estos ejes nos permiten nombrar cualquier lugar dentro del plano. En tres dimensiones, definimos los planos de coordenadas mediante los ejes de coordenadas, al igual que en dos dimensiones. Ahora hay tres ejes, por lo que hay tres pares de ejes que se cruzan. Cada par de ejes forma un plano de coordenadas: el plano xy, el plano xz y el plano yz (Figura 2.26). Definimos el plano xy formalmente como el siguiente conjunto: {(x,y,0):x,y}.{(x,y,0):x,y}. Del mismo modo, el plano xz y el plano yz se definen como {(x,0,z):x,z}{(x,0,z):x,z} y {(0,y,z):y,z},{(0,y,z):y,z}, respectivamente.

Para visualizarlo, imagine que está construyendo una casa y que se encuentra en una habitación con solo dos de las cuatro paredes terminadas. (Supongamos que las dos paredes terminadas son adyacentes entre sí). Si se coloca de espaldas a la esquina donde se juntan las dos paredes acabadas, mirando hacia el exterior de la habitación, el suelo es el plano xy, la pared a su derecha es el plano xz y la pared a su izquierda es el plano yz.

Esta figura es el primer octante de un sistema de coordenadas tridimensional. Además, está el plano xy representado con un rectángulo con los ejes x y y en el plano. También existe el plano xz en los ejes x y z y el plano yz en los ejes y y z.
Figura 2.26 El plano que contiene los ejes x y y se llama plano xy. El plano que contiene los ejes x y z se llama plano xz, y los ejes y y z definen el plano yz.

En dos dimensiones, los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Del mismo modo, los planos de coordenadas dividen el espacio entre ellos en ocho regiones alrededor del origen, llamadas octantes. Los octantes llenan 33 de la misma manera que los cuadrantes llenan 2 ,2 , como se muestra en la Figura 2.27.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional con el primer octante marcado con un número romano I, I, II, III, IV, V, VI, VII y VIII. Además, para cada cuadrante están los signos de los valores de x, y y z. Son: I (+, +, +); 2.º (-, +, +); 3.º (-, -, +); 4.º (+, -, +); 5.º (+, +, -); 6.º (-, +, -); 7.º (-, -, -); y 8.º (+, -, -).
Figura 2.27 Los puntos que se encuentran en los octantes tienen tres coordenadas distintas de cero.

La mayor parte del trabajo en el espacio tridimensional es una cómoda extensión de los conceptos correspondientes en dos dimensiones. En esta sección, utilizamos nuestro conocimiento de los círculos para describir las esferas, y luego ampliamos nuestra comprensión de los vectores a las tres dimensiones. Para lograr estos objetivos, empezamos por adaptar la fórmula de la distancia al espacio tridimensional.

Si dos puntos se encuentran en el mismo plano de coordenadas, es fácil calcular la distancia entre ellos. Sabemos que la distancia dd entre dos puntos (x1,y1)(x1,y1) y (x2 ,y2 )(x2 ,y2 ) en el plano de coordenadas xy está dada por la fórmula

d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 .d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 .

La fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio es una extensión natural de esta fórmula.

Teorema 2.2

La distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia dd entre los puntos (x1,y1,z1)(x1,y1,z1) y (x2 ,y2 ,z2 )(x2 ,y2 ,z2 ) está dada por la fórmula

d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 +(z2 z1)2 .d=(x2 x1)2 +(y2 y1)2 +(z2 z1)2 .
(2.1)

La demostración de este teorema se deja como ejercicio. (Pista: Primero halle la distancia d1d1 entre los puntos (x1,y1,z1)(x1,y1,z1) y (x2 ,y2 ,z1)(x2 ,y2 ,z1) como se muestra en la Figura 2.28).

Esta figura es un prisma rectangular. En la esquina inferior izquierda de la parte trasera está marcada como "P sub 1=(x sub 1,y sub 1,z sub 1)". La esquina inferior derecha está marcada como "(x sub 2, y sub 2, z sub 1)". Hay una línea entre P sub 1 y P sub 2 y está marcada como "d sub 1". La esquina superior derecha está marcada como "P sub 2=(x sub 2,y sub 2,z sub 2)". Hay una línea que va de P sub 1 a P sub 2 y está marcada como "d (P sub 1,P sub 2)". La parte vertical delantera derecha está marcada como "|z sub 2-z sub 1|".
Figura 2.28 La distancia entre P 1 P 1 y P 2 P 2 es la longitud de la diagonal del prisma rectangular que tiene P 1 P 1 y P 2 P 2 como esquinas opuestas.

Ejemplo 2.12

Distancia en el espacio

Halle la distancia entre los puntos P1=(3,1,5)P1=(3,1,5) y P2 =(2 ,1,1).P2 =(2 ,1,1).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos puntos. El primero está marcado como "P sub 1(3, -1, 5)" y el segundo como "P sub 2(2, 1, -1)". Hay un segmento de línea entre los dos puntos.
Figura 2.29 Halle la distancia entre los dos puntos.

Punto de control 2.12

Halle la distancia entre los puntos P1=(1,−5,4)P1=(1,−5,4) y P2 =(4,–1,–1).P2 =(4,–1,–1).

Antes de pasar a la siguiente sección, vamos a ver cómo 33 se diferencia de 2 .2 . Por ejemplo, en 2 ,2 , las líneas que no son paralelas siempre deben cruzarse. Este no es el caso en 3.3. Por ejemplo, considere la línea mostrada en la Figura 2.30. Estas dos líneas no son paralelas, ni se cruzan.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay una línea trazada en z = 3. Es paralela al plano xy. También hay una línea trazada en y = 2. Es paralela al eje x.
Figura 2.30 Estas dos líneas no son paralelas, pero tampoco se cruzan.

También se pueden tener círculos interconectados pero sin puntos en común, como en la Figura 2.31.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos círculos dibujados. El primer círculo está centrado en el eje z, en z = 1. El segundo círculo tiene como diámetro el eje x positivo. Interseca el eje x en x = 0 y x = 6. Es vertical.
Figura 2.31 Estos círculos están interconectados, pero no tienen puntos en común.

Tenemos mucha más flexibilidad al trabajar en tres dimensiones que si nos limitamos a dos.

Escribir ecuaciones en ℝ3

Ahora que podemos representar puntos en el espacio y hallar la distancia entre ellos, podemos aprender a escribir ecuaciones de objetos geométricos como líneas, planos y superficies curvas en 3.3. En primer lugar, empezamos con una ecuación sencilla. Compare los gráficos de la ecuación x=0x=0 en ,2 ,y3,2 ,y3 (Figura 2.32). A partir de estos gráficos, podemos ver que la misma ecuación puede describir un punto, una línea o un plano.

Esta figura tiene tres imágenes. La primera es un eje horizontal con un punto dibujado en 0. La segunda es el plano de coordenadas cartesianas bidimensional. La tercera es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano yz.
Figura 2.32 (a) En , , la ecuación x = 0 x = 0 describe un punto único. (b) En 2 , 2 , la ecuación x = 0 x = 0 describe una línea, el eje y. (c) En 3 , 3 , la ecuación x = 0 x = 0 describe un plano, el plano yz.

En el espacio, la ecuación x=0x=0 describe todos los puntos (0,y,z).(0,y,z). Esta ecuación define el plano yz. Del mismo modo, el plano xy contiene todos los puntos de la forma (x,y,0).(x,y,0). La ecuación z=0z=0 define el plano xy y la ecuación y=0y=0 describe el plano xz (Figura 2.33).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano xy. La segunda es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano xz.
Figura 2.33 (a) En el espacio, la ecuación z = 0 z = 0 describe el plano xy. (b) Todos los puntos del plano xz satisfacen la ecuación y = 0 . y = 0 .

Entender las ecuaciones de los planos de coordenadas nos permite escribir una ecuación para cualquier plano que sea paralelo a uno de los planos de coordenadas. Cuando un plano es paralelo al plano xy, por ejemplo, la coordenada z de cada punto del plano tiene el mismo valor constante. Solo las coordenadas x y y de los puntos de ese plano varían de un punto a otro.

Regla: ecuaciones de los planos paralelos a los planos de coordenadas

  1. El plano en el espacio que es paralelo al plano xy y contiene el punto (a,b,c)(a,b,c) se puede representar mediante la ecuación z=c.z=c.
  2. El plano en el espacio que es paralelo al plano xz y contiene el punto (a,b,c)(a,b,c) se puede representar mediante la ecuación y=b.y=b.
  3. El plano en el espacio que es paralelo al plano yz y contiene el punto (a,b,c)(a,b,c) se puede representar mediante la ecuación x=a.x=a.

Ejemplo 2.13

Escritura de ecuaciones de planos paralelos a planos de coordenadas

  1. Escriba una ecuación del plano que pasa por el punto (3,11,7)(3,11,7) que es paralelo al plano yz.
  2. Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos (6,–2,9),(6,–2,9), (0,–2,4),(0,–2,4), y (1,–2,−3).(1,–2,−3).

Punto de control 2.13

Escriba una ecuación del plano que pasa por el punto (1,–6,–4)(1,–6,–4) que es paralelo al plano xy.

Como hemos visto, en 2 2 la ecuación x=5x=5 describe la línea vertical que pasa por el punto (5,0).(5,0). Esta línea es paralela al eje y. En una extensión natural, la ecuación x=5x=5 en 33 describe el plano que pasa por el punto (5,0,0),(5,0,0), que es paralelo al plano yz. Otra extensión natural de una ecuación conocida se encuentra en la ecuación de una esfera.

Definición

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, el centro de la esfera (Figura 2.34), al igual que el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan del centro representa un círculo. En una esfera, al igual que en un círculo, la distancia del centro a un punto de la esfera se llama radio.

Esta imagen es una esfera. Tiene centro en (a, b, c) y tiene un radio representado con una línea discontinua desde el punto central (a, b, c) hasta el borde de la esfera en (x, y, z). El radio está marcado como "r".
Figura 2.34 Cada punto ( x , y , z ) ( x , y , z ) en la superficie de una esfera está r r unidades alejadas del centro ( a , b , c ) . ( a , b , c ) .

La ecuación de un círculo se obtiene mediante la fórmula de la distancia en dos dimensiones. Del mismo modo, la ecuación de una esfera se basa en la fórmula tridimensional de la distancia.

Regla: ecuación de una esfera

La esfera con centro (a,b,c)(a,b,c) y radio rr puede representarse mediante la ecuación

(xa)2 +(yb)2 +(zc)2 =r2 .(xa)2 +(yb)2 +(zc)2 =r2 .
(2.2)

Esta ecuación se conoce como la ecuación estándar de una esfera.

Ejemplo 2.14

Hallar la ecuación de una esfera

Halle la ecuación estándar de la esfera con centro (10,7,4)(10,7,4) y punto (–1,3,–2),(–1,3,–2), como se muestra en la Figura 2.35.

Esta figura es una esfera centrada en el punto (10, 7, 4) de un sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un radio igual a la raíz cuadrada de 173 y pasa por el punto (-1, 3, -2).
Figura 2.35 La esfera centrada en ( 10 , 7 , 4 ) ( 10 , 7 , 4 ) que contiene el punto ( –1 , 3 , –2 ) . ( –1 , 3 , –2 ) .

Punto de control 2.14

Halle la ecuación estándar de la esfera con centro (–2,4,−5)(–2,4,−5) que contiene el punto (4,4,–1).(4,4,–1).

Ejemplo 2.15

Hallar la ecuación de una esfera

Supongamos que P=(−5,2 ,3)P=(−5,2 ,3) y Q=(3,4,–1),Q=(3,4,–1), y suponga que el segmento de línea PQPQ forma el diámetro de una esfera (Figura 2.36). Halle la ecuación de la esfera.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos puntos marcados. El primer punto es P = (-5, 2, 3). El segundo punto es Q = (3, 4, -1). Hay un segmento de línea trazado entre los dos puntos.
Figura 2.36 Segmento de línea P Q . P Q .

Punto de control 2.15

Halle la ecuación de la esfera con diámetro PQ,PQ, donde P=(2 ,–1,−3)P=(2 ,–1,−3) y Q=(–2,5,–1).Q=(–2,5,–1).

Ejemplo 2.16

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describa el conjunto de puntos que satisface (x4)(z2 )=0,(x4)(z2 )=0, y grafique el conjunto.

Punto de control 2.16

Describa el conjunto de puntos que satisface (y+2 )(z3)=0,(y+2 )(z3)=0, y grafique el conjunto.

Ejemplo 2.17

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describa el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface (x2 )2 +(y1)2 =4,(x2 )2 +(y1)2 =4, y grafique el conjunto.

Punto de control 2.17

Describa el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface x2 +(z2 )2 =16,x2 +(z2 )2 =16, y grafique la superficie.

Trabajar con vectores en ℝ3

Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores tridimensionales son cantidades con magnitud y dirección, y se representan mediante segmentos rectilíneos dirigidos (flechas). Con un vector tridimensional, utilizamos una flecha tridimensional.

Los vectores tridimensionales también pueden representarse en forma de componentes. La notación v=x,y,zv=x,y,z es una extensión natural del caso bidimensional, representando un vector con el punto inicial en el origen, (0,0,0),(0,0,0), y punto terminal (x,y,z).(x,y,z). El vector cero es 0=0,0,0.0=0,0,0. Así, por ejemplo, el vector tridimensional v=2 ,4,1v=2 ,4,1 está representado por un segmento rectilíneo dirigido desde el punto (0,0,0)(0,0,0) al punto (2 ,4,1)(2 ,4,1) (Figura 2.39).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un vector dibujado. El punto inicial del vector es el origen. El punto terminal del vector es (2, 4, 1). El vector está marcado como "v = <2, 4, 1>."
Figura 2.39 El vector v = 2 , 4 , 1 v = 2 , 4 , 1 está representado por un segmento rectilíneo dirigido desde el punto ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) al punto ( 2 , 4 , 1 ) . ( 2 , 4 , 1 ) .

La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de forma análoga al caso bidimensional. Si los valores de v=x1,y1,z1v=x1,y1,z1 y w=x2 ,y2 ,z2 w=x2 ,y2 ,z2 son vectores, y kk es un escalar, entonces

v+w=x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2 ykv=kx1,ky1,kz1.v+w=x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2 ykv=kx1,ky1,kz1.

Si los valores de k=−1,k=−1, entonces kv=(–1)vkv=(–1)v se escribe como v,v, y la sustracción de vectores se define mediante vw=v+(w)=v+(–1)w.vw=v+(w)=v+(–1)w.

Los vectores normales unitarios se extienden fácilmente a tres dimensiones también, i=1,0,0,i=1,0,0, j=0,1,0,j=0,1,0, y k=0,0,1k=0,0,1, y los utilizamos del mismo modo que los vectores normales unitarios en dos dimensiones. Por lo tanto, podemos representar un vector en 33 de las siguientes maneras:

v=x,y,z=xi+yj+zk.v=x,y,z=xi+yj+zk.

Ejemplo 2.18

Representaciones vectoriales

Supongamos que PQPQ es el vector con punto inicial P=(3,12,6)P=(3,12,6) y punto terminal Q=(−4,−3,2 )Q=(−4,−3,2 ) como se muestra en la Figura 2.40. Exprese PQPQ tanto en forma de componentes como utilizando vectores normales unitarios.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dos puntos marcados. El primer punto es P = (3, 12, 6). El segundo punto es Q = (-4, -3, 2). Hay un vector de P a Q.
Figura 2.40 El vector con punto inicial P = ( 3 , 12 , 6 ) P = ( 3 , 12 , 6 ) y punto terminal Q = ( −4 , −3 , 2 ) . Q = ( −4 , −3 , 2 ) .

Punto de control 2.18

Supongamos que S=(3,8,2 )S=(3,8,2 ) y T=(2 ,–1,3).T=(2 ,–1,3). Exprese STST en forma de componente y en forma de unidad estándar.

Como se ha descrito anteriormente, los vectores en tres dimensiones se comportan de la misma manera que los vectores en un plano. La interpretación geométrica de la suma de vectores, por ejemplo, es la misma tanto en el espacio bidimensional como en el tridimensional (Figura 2.41).

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene tres vectores en posición estándar. El primer vector está marcado como "A". El segundo vector está marcado como "B". El tercer vector está marcado como "A + B". Este vector se encuentra entre los vectores A y B.
Figura 2.41 Para sumar vectores en tres dimensiones, seguimos los mismos procedimientos que aprendimos para dos dimensiones.

Ya hemos visto cómo algunas de las propiedades algebraicas de los vectores, como la suma de vectores y la multiplicación escalar, pueden extenderse a tres dimensiones. Otras propiedades pueden ampliarse de forma similar. Se resumen aquí para nuestra referencia.

Regla: propiedades de los vectores en el espacio

Supongamos que v=x1,y1,z1v=x1,y1,z1 y w=x2 ,y2 ,z2 w=x2 ,y2 ,z2 son vectores y que kk es un escalar.

Multiplicación escalar: kv=kx1,ky1,kz1kv=kx1,ky1,kz1

Suma de vectores: v+w=x1,y1,z1+x2 ,y2 ,z2 =x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2 v+w=x1,y1,z1+x2 ,y2 ,z2 =x1+x2 ,y1+y2 ,z1+z2

Resta de vectores: vw=x1,y1,z1x2 ,y2 ,z2 =x1x2 ,y1y2 ,z1z2 vw=x1,y1,z1x2 ,y2 ,z2 =x1x2 ,y1y2 ,z1z2

Magnitud del vector: v=x12 +y12 +z12 v=x12 +y12 +z12

Vector unitario en la dirección de v: 1vv=1vx1,y1,z1=x1v,y1v,z1v,1vv=1vx1,y1,z1=x1v,y1v,z1v, si v0v0

Hemos visto que la suma de vectores en dos dimensiones satisface las propiedades conmutativa, asociativa y aditiva inversa. Estas propiedades de las operaciones vectoriales son válidas también para los vectores tridimensionales. La multiplicación escalar de vectores satisface la propiedad distributiva, y el vector cero actúa como identidad aditiva. Las pruebas para verificar estas propiedades en tres dimensiones son extensiones directas de las pruebas en dos dimensiones.

Ejemplo 2.19

Operaciones vectoriales en tres dimensiones

Supongamos que v=–2,9,5v=–2,9,5 y w=1,–1,0w=1,–1,0 (Figura 2.42). Halle los siguientes vectores.

  1. 3v2 w3v2 w
  2. 5w5w
  3. 5w5w
  4. Un vector unitario en la dirección de vv
    Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dos vectores en posición estándar. El primer vector está marcado como "v = <-2, 9, 5>." El segundo vector está marcado como "w = <1, -1, 0>."
    Figura 2.42 Los vectores v = –2 , 9 , 5 v = –2 , 9 , 5 y w = 1 , –1 , 0 . w = 1 , –1 , 0 .

Punto de control 2.19

Supongamos que v=–1,–1,1v=–1,–1,1 y w=2 ,0,1.w=2 ,0,1. Halle un vector unitario en la dirección de 5v+3w.5v+3w.

Ejemplo 2.20

Lanzar un pase hacia adelante

Un mariscal de campo está de pie en el campo de fútbol americano preparándose para lanzar un pase. Su receptor está parado 20 yardas adelante y 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. El mariscal de campo lanza el balón a una velocidad de 60 mph hacia el receptor con un ángulo ascendente de 30°30° (vea la siguiente figura). Escriba el vector velocidad inicial de la pelota, v,v, en forma de componentes.

Esta figura es una imagen de dos jugadores de fútbol americano con el primero lanzando el balón al segundo. Hay un segmento de línea desde cada jugador hasta la parte inferior de la imagen. La distancia desde el primer jugador hasta el fondo de la imagen es de 20 yardas. La distancia del segundo jugador al mismo punto en la parte inferior de la imagen es de 15 yardas. Los dos segmentos de línea son perpendiculares. Hay un segmento de línea discontinua desde el primer jugador hasta el segundo. Hay un vector del primer jugador. El ángulo entre la línea discontinua y el vector es de 30 grados.

Punto de control 2.20

Supongamos que el mariscal de campo y el receptor están en el mismo lugar que en el ejemplo anterior. Esta vez, sin embargo, el mariscal de campo lanza el balón a una velocidad de 4040 mph y un ángulo de 45°.45°. Escriba el vector de velocidad inicial de la pelota, v,v, en forma de componentes.

Sección 2.2 ejercicios

61.

Considere una caja rectangular con uno de los vértices en el origen, como se muestra en la siguiente figura. Si el punto A(2 ,3,5)A(2 ,3,5) es el vértice opuesto al origen, entonces halle

  1. las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y
  2. la longitud de la diagonal de la caja determinada por los vértices OO y A.A.
Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujado un punto marcado como "A(2, 3, 5)".
62.

Halle las coordenadas del punto PP y determine su distancia al origen.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto dibujado en (2, 1, 1). El punto está marcado como "P".

En los siguientes ejercicios, describa y grafique el conjunto de puntos que satisface la ecuación dada.

63.

( y 5 ) ( z 6 ) = 0 ( y 5 ) ( z 6 ) = 0

64.

( z 2 ) ( z 5 ) = 0 ( z 2 ) ( z 5 ) = 0

65.

( y 1 ) 2 + ( z 1 ) 2 = 1 ( y 1 ) 2 + ( z 1 ) 2 = 1

66.

( x 2 ) 2 + ( z 5 ) 2 = 4 ( x 2 ) 2 + ( z 5 ) 2 = 4

67.

Escriba la ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1)(1,1,1) que es paralelo al plano xy.

68.

Escriba la ecuación del plano que pasa por el punto (1,−3,2 )(1,−3,2 ) que es paralelo al plano xz.

69.

Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos (1,−3,–2),(1,−3,–2), (0,3,–2),(0,3,–2), y (1,0,–2).(1,0,–2).

70.

Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos (1,9,2 ),(1,9,2 ), (1,3,6),(1,3,6), y (1,–7,8).(1,–7,8).

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la esfera en forma estándar que satisfaga las condiciones dadas.

71.

Centro C(–1,7,4)C(–1,7,4) y radio 44

72.

Centro C(−4,7,2 )C(−4,7,2 ) y radio 66

73.

Diámetro PQ,PQ, donde P(–1,5,7)P(–1,5,7) y Q(−5,2 ,9)Q(−5,2 ,9) grandes.

74.

Diámetro PQ,PQ, donde P(−16,−3,9)P(−16,−3,9) y Q(–2,3,5)Q(–2,3,5)

En los siguientes ejercicios, halle el centro y el radio de la esfera con la ecuación en forma general indicada.

75.

x 2 + y 2 + z 2 4 z + 3 = 0 x 2 + y 2 + z 2 4 z + 3 = 0

76.

x 2 + y 2 + z 2 6 x + 8 y 10 z + 25 = 0 x 2 + y 2 + z 2 6 x + 8 y 10 z + 25 = 0

En los siguientes ejercicios, exprese el vector PQPQ con el punto inicial en PP y el punto terminal en QQ

  1. en forma de componentes y
  2. utilizando vectores normales unitarios.
77.

P(3,0,2 )P(3,0,2 ) y Q(–1,–1,4)Q(–1,–1,4)

78.

P(0,10,5)P(0,10,5) y Q(1,1,−3)Q(1,1,−3) grandes.

79.

P(–2,5,−8)P(–2,5,−8) y M(1,–7,4),M(1,–7,4), donde MM es el punto medio del segmento de línea PQPQ

80.

Q(0,7,–6)Q(0,7,–6) y M(–1,3,2 ),M(–1,3,2 ), donde MM es el punto medio del segmento de línea PQPQ

81.

Halle el punto terminal QQ del vector PQ=7,–1,3PQ=7,–1,3 con el punto inicial en P(–2,3,5).P(–2,3,5).

82.

Halle el punto inicial PP del vector PQ=−9,1,2 PQ=−9,1,2 con el punto terminal en Q(10,0,–1).Q(10,0,–1).

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados aa y bb para hallar y expresar los vectores a+b,a+b, 4a,4a, y −5a+3b−5a+3b en forma de componentes.

83.

a=–1,–2,4,a=–1,–2,4, b=−5,6,−7b=−5,6,−7

84.

a=3,–2,4,a=3,–2,4, b=−5,6,−9b=−5,6,−9

85.

a=k,a=k, b=ib=i

86.

a=i+j+k,a=i+j+k, b=2 i3j+2 kb=2 i3j+2 k

En los siguientes ejercicios, se dan los vectores u y v. Calcule las magnitudes de los vectores uvuv y −2u.−2u.

87.

u=2 i+3j+4k,u=2 i+3j+4k, v=i+5jkv=i+5jk

88.

u=i+j,u=i+j, v=jkv=jk

89.

u=2 cost,−2sent,3,u=2 cost,−2sent,3, v=0,0,3,v=0,0,3, donde tt es un número real.

90.

u=0,1,senoht,u=0,1,senoht, v=1,1,0,v=1,1,0, donde tt es un número real.

En los siguientes ejercicios, halle el vector unitario en la dirección del vector dado aa y expréselo mediante vectores normales unitarios.

91.

a = 3 i 4 j a = 3 i 4 j

92.

a = 4 , −3 , 6 a = 4 , −3 , 6

93.

a=PQ,a=PQ, donde P(–2,3,1)P(–2,3,1) y Q(0,−4,4)Q(0,−4,4) grandes.

94.

a=OP,a=OP, donde P(–1,–1,1)P(–1,–1,1) grandes.

95.

a=uv+w,a=uv+w, donde u=ijk,u=ijk, v=2 ij+k,v=2 ij+k, y w=i+j+3kw=i+j+3k

96.

a=2 u+vw,a=2 u+vw, donde u=ik,u=ik, v=2 j,v=2 j, y w=ijw=ij

97.

Determine si ABAB y PQPQ son vectores equivalentes, donde A(1,1,1),B(3,3,3),P(1,4,5),A(1,1,1),B(3,3,3),P(1,4,5), y Q(3,6,7).Q(3,6,7).

98.

Determinar si los vectores ABAB y PQPQ son equivalentes, donde A(1,4,1),A(1,4,1), B(–2,2 ,0),B(–2,2 ,0), P(2 ,5,7),P(2 ,5,7), y Q(−3,2 ,1).Q(−3,2 ,1).

En los siguientes ejercicios, halle el vector uu con una magnitud dada y que satisface las condiciones dadas.

99.

v=7,–1,3,v=7,–1,3, u=10,u=10, uu y vv tienen la misma dirección

100.

v=2 ,4,1,v=2 ,4,1, u=15,u=15, uu y vv tienen la misma dirección

101.

v=2 sent,2 cost,1,v=2 sent,2 cost,1, u=2 ,u=2 , uu y vv tienen direcciones opuestas para cualquier t,t, donde tt es un número real

102.

v=3senoht,0,3,v=3senoht,0,3, u=5,u=5, uu y vv tienen direcciones opuestas para cualquier t,t, donde tt es un número real

103.

Determine un vector de magnitud 55 en la dirección del vector AB,AB, donde A(2 ,1,5)A(2 ,1,5) y B(3,4,–7).B(3,4,–7).

104.

Halle un vector de magnitud 2 2 que apunte en la dirección opuesta al vector AB,AB, donde A(–1,–1,1)A(–1,–1,1) y B(0,1,1).B(0,1,1). Exprese la respuesta en forma de componentes.

105.

Considere los puntos A(2 ,α,0),B(0,1,β),A(2 ,α,0),B(0,1,β), y C(1,1,β),C(1,1,β), donde αα y ββ son números reales negativos. Halle αα y ββ tal que OAOB+OC=OB=4.OAOB+OC=OB=4.

106.

Considere los puntos A(α,0,0),B(0,β,0),A(α,0,0),B(0,β,0), y C(α,β,β),C(α,β,β), donde αα y ββ son números reales positivos. Halle αα y ββ tal que OA+OB=2 yOC=3.OA+OB=2 yOC=3.

107.

Supongamos que P(x,y,z)P(x,y,z) es un punto situado a igual distancia de los puntos A(1,–1,0)A(1,–1,0) y B(–1,2 ,1).B(–1,2 ,1). Muestre que el punto PP se encuentra en el plano de la ecuación −2x+3y+z=2 .−2x+3y+z=2 .

108.

Supongamos que P(x,y,z)P(x,y,z) es un punto situado a igual distancia del origen y del punto A(4,1,2 ).A(4,1,2 ). Demuestre que las coordenadas del punto PP satisfacen la ecuación 8x+2 y+4z=21.8x+2 y+4z=21.

109.

Los puntos A,B,A,B, y CC son colineales (en este orden) si la relación AB+BC=ACAB+BC=AC se satisface. Demuestre que A(5,3,–1),A(5,3,–1), B(−5,−3,1),B(−5,−3,1), y C(−15,−9,3)C(−15,−9,3) son puntos colineales.

110.

Demuestre que los puntos A(1,0,1),A(1,0,1), B(0,1,1),B(0,1,1), y C(1,1,1)C(1,1,1) no son colineales.

111.

[T] Una fuerza FF de 50N50N actúa sobre una partícula en la dirección del vector OP,OP, donde P(3,4,0).P(3,4,0).

  1. Exprese la fuerza como un vector en forma de componentes.
  2. Halle el ángulo entre la fuerza FF y la dirección positiva del eje x. Exprese la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.
112.

[T] Una fuerza FF de 40N40N actúa sobre una caja en la dirección del vector OP,OP, donde P(1,0,2 ).P(1,0,2 ).

  1. Exprese la fuerza como un vector utilizando vectores normales unitarios.
  2. Halle el ángulo entre la fuerza FF y la dirección positiva del eje x.
113.

Si los valores de FF es una fuerza que mueve un objeto desde un punto P1(x1,y1,z1)P1(x1,y1,z1) a otro punto P2 (x2 ,y2 ,z2 ),P2 (x2 ,y2 ,z2 ), entonces el vector de desplazamiento se define como D=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k.D=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k. Se levanta un contenedor metálico 1010 m verticalmente mediante una fuerza constante F.F. Exprese el vector de desplazamiento DD utilizando vectores normales unitarios.

114.

Se tira de una caja 44 yardas horizontalmente en la dirección x mediante una fuerza constante F.F. Halle el vector de desplazamiento en forma de componentes.

115.

La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto se llama fuerza resultante o neta. Se dice que un objeto está en equilibrio estático si la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Supongamos que F1=10,6,3,F1=10,6,3, F2 =0,4,9,F2 =0,4,9, y F3=10,−3,−9F3=10,−3,−9 son tres fuerzas que actúan sobre una caja. Calcule la fuerza F4F4 que actúa sobre la caja de manera que esta se encuentre en equilibrio estático. Exprese la respuesta en forma de componentes.

116.

[T] Supongamos que Fk=1,k,k2 ,Fk=1,k,k2 , k=1,...,nk=1,...,n son nn fuerzas que actúan sobre una partícula, con n2 .n2 .

  1. Calcule la fuerza neta F=k=1nFk.F=k=1nFk. Exprese la respuesta utilizando vectores normales unitarios.
  2. Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para calcular n tal que F<100.F<100.
117.

La fuerza de la gravedad FF que actúa sobre un objeto está dada por F=mg,F=mg, donde m es la masa del objeto (expresada en kilogramos) y gg es la aceleración resultante de la gravedad, con g=9,8g=9,8 N/kg.N/kg. Una bola de discoteca de 2 kg cuelga del techo de una habitación mediante una cadena.

  1. Calcule la fuerza de gravedad FF que actúa sobre la bola de discoteca y calcule su magnitud.
  2. Calcule la fuerza de tensión TT en la cadena y su magnitud.
    Exprese las respuestas utilizando vectores normales unitarios.
Esta figura muestra una bola de discoteca suspendida del techo
Figura 2.43 (créditos: modificación del trabajo de Kenneth Lu, Flickr).
118.

Un candelabro colgante de 5 kg está diseñado de manera que el cuenco de alabastro está sostenido por cuatro cadenas de igual longitud, como se muestra en la siguiente figura.

  1. Calcule la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre el candelabro.
  2. Calcule las magnitudes de las fuerzas de tensión para cada una de las cuatro cadenas (suponga que las cadenas son esencialmente verticales).
Esta figura muestra un aparato de iluminación colgado del techo, sostenido por 4 cadenas desde el mismo punto del techo hasta cuatro puntos repartidos uniformemente alrededor del aparato.
119.

[T] Un bloque de cemento de 30 kg está suspendido por tres cables de igual longitud que están anclados en puntos P(–2,0,0),P(–2,0,0), Q(1,3,0),Q(1,3,0), y R(1,3,0).R(1,3,0). La carga se encuentra en S(0,0,−23),S(0,0,−23), como se muestra en la siguiente figura. Supongamos que F1,F1, F2 ,F2 , y F3F3 son las fuerzas de tensión resultantes de la carga en los cables RS,QS,RS,QS, y PS,PS, respectivamente.

  1. Calcule la fuerza gravitacional FF que actúa sobre el bloque de cemento que contrarresta la suma F1+F2 +F3F1+F2 +F3 de las fuerzas de tensión en los cables.
  2. Calcule las fuerzas F1,F1, F2 ,F2 , y F3.F3. Exprese la respuesta en forma de componentes.
Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene 4 puntos dibujados. El primer punto está marcado como "P(-2, 0, 0)". El segundo punto está marcado como "R(1, -raíz cuadrada de 3, 0)". El tercer punto está marcado como "S(0, 0, -2 raíces cuadradas de 3)". El cuarto punto está marcado como "Q(1, raíz cuadrada de 3, 0)". Hay segmentos de línea de P a S, de R a S y de Q a S. En el punto S hay una caja marcada como "30 k g".
120.

Dos jugadoras de fútbol están practicando para un próximo partido. Una de ellas recorre 10 m desde el punto A hasta el punto B. Luego gira a la izquierda 90°90° y recorre 10 m hasta llegar al punto C. Luego patea la pelota con una velocidad de 10 m/s en un ángulo ascendente de 45°45° a su compañera de equipo, que se encuentra en el punto A. Escriba la velocidad de la pelota en forma de componentes.

Esta figura es la imagen de dos jugadoras de fútbol. La primera jugadora de fútbol está en el punto A. La segunda jugadora está en el punto C. Hay un segmento de línea de A a C. Hay un vector de la jugadora C hacia arriba marcado como "v". Hay un vector desde la jugadora A hasta el fondo de la imagen. El punto de la parte inferior está marcado como "B". Este vector está marcado como "10m". Hay un vector de C a B marcado como "10m".
121.

Supongamos que r(t)=x(t),y(t),z(t)r(t)=x(t),y(t),z(t) es el vector de posición de una partícula en el tiempo t[0,T],t[0,T], donde x,y,x,y, y zz son funciones sencillas en [0,T].[0,T]. La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo tt se define mediante el vector v(t)=x(t),y(t),z(t),v(t)=x(t),y(t),z(t), con componentes que son las derivadas con respecto a t,t, de las funciones x, y y z, respectivamente. La magnitud v(t)v(t) del vector velocidad instantánea se denomina velocidad de la partícula en el tiempo t. El vector a(t)=x(t),y(t),z(t),a(t)=x(t),y(t),z(t), con componentes que son las segundas derivadas con respecto a t,t, de las funciones x,y,x,y, y z,z, respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo t.t. Considere que r(t)=cost,sent,2 tr(t)=cost,sent,2 t es el vector de posición de una partícula en el tiempo t[0,30],t[0,30], donde los componentes de rr se expresan en centímetros y el tiempo se expresa en segundos.

  1. Calcule la velocidad instantánea, la velocidad y la aceleración de la partícula después del primer segundo. Redondee su respuesta a dos decimales.
  2. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula, es decir, el conjunto de todos los puntos de coordenadas (cost,sent,2 t),(cost,sent,2 t), donde t[0,30].t[0,30].
122.

[T] Supongamos que r(t)=t,2 t2 ,4t2 r(t)=t,2 t2 ,4t2 es el vector de posición de una partícula en el tiempo tt (en segundos), donde t[0,10]t[0,10] (aquí los componentes de rr se expresan en centímetros).

  1. Calcule la velocidad instantánea, la velocidad y la aceleración de la partícula después de los dos primeros segundos. Redondee su respuesta a dos decimales.
  2. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula definida por los puntos (t,2 t2 ,4t2 ),(t,2 t2 ,4t2 ), donde t[0,60].t[0,60].
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