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Cálculo volumen 3

2.3 El producto escalar

Cálculo volumen 32.3 El producto escalar
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.3.1 Calcular el producto escalar de dos vectores dados.
  • 2.3.2 Determinar si dos vectores dados son perpendiculares.
  • 2.3.3 Hallar los cosenos directores de un vector dado.
  • 2.3.4 Explicar qué significa la proyección de un vector sobre otro vector y describir cómo calcularla.
  • 2.3.5 Calcular el trabajo realizado por una fuerza dada.

Si aplicamos una fuerza a un objeto para que este se mueva, decimos que la fuerza realiza un trabajo. En Introducción a aplicaciones de integración vimos una fuerza constante y asumimos que la fuerza se aplicaba en la dirección del movimiento del objeto. En estas condiciones, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza que actúa sobre un objeto y la distancia que este recorre. En este capítulo, sin embargo, hemos visto que tanto la fuerza como el movimiento de un objeto pueden representarse mediante vectores.

En esta sección desarrollamos una operación llamada producto escalar, la cual nos permite calcular el trabajo en el caso de que el vector fuerza y el vector movimiento tengan direcciones diferentes. El producto escalar nos dice esencialmente qué parte del vector fuerza se aplica en la dirección del vector movimiento. El producto escalar también puede ayudarnos a medir el ángulo formado por un par de vectores y la posición de un vector respecto a los ejes de coordenadas. Incluso proporciona una prueba sencilla para determinar si dos vectores se encuentran en un ángulo recto.

El producto escalar y sus propiedades

Ya hemos aprendido a sumar y restar vectores. En este capítulo, investigamos dos tipos de multiplicación de vectores. El primer tipo de multiplicación de vectores se denomina producto escalar, basado en la notación que utilizamos para ello, y se define como sigue:

Definición

El producto escalar de los vectores u=u1,u2 ,u3u=u1,u2 ,u3 y v=v1,v2 ,v3v=v1,v2 ,v3 está dado por la suma de los productos de las componentes

u.v=u1v1+u2 v2 +u3v3.u.v=u1v1+u2 v2 +u3v3.
(2.3)

Observe que si u y v son vectores bidimensionales, calculamos el producto escalar de forma similar. Por lo tanto, si u=u1,u2 u=u1,u2 y v=v1,v2 ,v=v1,v2 , entonces

u.v=u1v1+u2 v2 .u.v=u1v1+u2 v2 .

Cuando dos vectores se combinan mediante la suma o la resta, el resultado es un vector. Cuando se combinan dos vectores utilizando el producto escalar, el resultado es un escalar. Por esta razón, el producto escalar se llama así. También puede llamarse producto interior.

Ejemplo 2.21

Calcular productos escalares

  1. Calcule el producto escalar de u=3,5,2 u=3,5,2 y v=–1,3,0.v=–1,3,0.
  2. Calcule el producto escalar de p=10i4j+7kp=10i4j+7k y q=–2i+j+6k.q=–2i+j+6k.

Punto de control 2.21

Calcule u.v,u.v, donde u=2 ,9,−1u=2 ,9,−1 y v=−3,1,−4.v=−3,1,−4.

Al igual que la suma y la resta de vectores, el producto escalar tiene varias propiedades algebraicas. Demostramos tres de estas propiedades y dejamos el resto como ejercicios.

Teorema 2.3

Propiedades del producto escalar

Supongamos que u,u, v,v, y ww son vectores, y que c es un escalar.

i.u.v=v.uPropiedad conmutativaii.u.(v+w)=u.v+u.wPropiedad distributivaiii.c(u.v)=(cu).v=u.(cv)Propiedad asociativaiv.v.v=v2 Propiedad de la magnitudi.u.v=v.uPropiedad conmutativaii.u.(v+w)=u.v+u.wPropiedad distributivaiii.c(u.v)=(cu).v=u.(cv)Propiedad asociativaiv.v.v=v2 Propiedad de la magnitud

Prueba

Supongamos que u=u1,u2 ,u3u=u1,u2 ,u3 y v=v1,v2 ,v3.v=v1,v2 ,v3. Entonces

u.v=u1,u2 ,u3.v1,v2 ,v3=u1v1+u2 v2 +u3v3=v1u1+v2 u2 +v3u3=v1,v2 ,v3.u1,u2 ,u3=v.u.u.v=u1,u2 ,u3.v1,v2 ,v3=u1v1+u2 v2 +u3v3=v1u1+v2 u2 +v3u3=v1,v2 ,v3.u1,u2 ,u3=v.u.

La propiedad asociativa se parece a la propiedad asociativa para la multiplicación de números reales, pero preste mucha atención a la diferencia entre los objetos escalares y vectoriales:

c(u.v)=c(u1v1+u2 v2 +u3v3)=c(u1v1)+c(u2 v2 )+c(u3v3)=(cu1)v1+(cu2 )v2 +(cu3)v3=cu1,cu2 ,cu3.v1,v2 ,v3=cu1,u2 ,u3.v1,v2 ,v3=(cu).v.c(u.v)=c(u1v1+u2 v2 +u3v3)=c(u1v1)+c(u2 v2 )+c(u3v3)=(cu1)v1+(cu2 )v2 +(cu3)v3=cu1,cu2 ,cu3.v1,v2 ,v3=cu1,u2 ,u3.v1,v2 ,v3=(cu).v.

La prueba de que c(u.v)=u.(cv)c(u.v)=u.(cv) es similar.

La cuarta propiedad muestra la relación entre la magnitud de un vector y su producto escalar consigo mismo:

v.v=v1,v2 ,v3.v1,v2 ,v3=(v1)2 +(v2 )2 +(v3)2 =[(v1)2 +(v2 )2 +(v3)2 ]2 =v2 .v.v=v1,v2 ,v3.v1,v2 ,v3=(v1)2 +(v2 )2 +(v3)2 =[(v1)2 +(v2 )2 +(v3)2 ]2 =v2 .

Observe que la definición del producto escalar da como resultado 0.v=0.0.v=0. De acuerdo con la propiedad iv., si v.v=0,v.v=0, entonces v=0.v=0.

Ejemplo 2.22

Uso de las propiedades del producto escalar

Supongamos que a=1,2 ,−3,a=1,2 ,−3, b=0,2 ,4,b=0,2 ,4, y c=5,–1,3.c=5,–1,3. Calcule cada uno de los siguientes productos.

  1. (a.b)c(a.b)c
  2. a.(2 c)a.(2 c) grandes.
  3. b2 b2

Punto de control 2.22

Calcule los siguientes productos para p=7,0,2 ,p=7,0,2 , q=–2,2 ,−2,q=–2,2 ,−2, y r=0,2 ,−3.r=0,2 ,−3.

  1. (r.p)q(r.p)q
  2. p2 p2

Uso del producto escalar para calcular el ángulo entre dos vectores

Cuando dos vectores distintos de cero se colocan en posición estándar, ya sea en dos o tres dimensiones, forman un ángulo entre ellos (Figura 2.44). El producto escalar proporciona una manera de calcular la medida de este ángulo. Esta propiedad es resultado del hecho de que podemos expresar el producto escalar en términos del coseno del ángulo formado por dos vectores.

Esta figura muestra dos vectores con el mismo punto inicial. El primer vector está marcado como "u" y el segundo "v". El ángulo entre los dos vectores está marcado como "theta".
Figura 2.44 Supongamos que θ es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v tal que 0 θ π . 0 θ π .

Teorema 2.4

Evaluación de un producto escalar

El producto escalar de dos vectores es el producto de la magnitud de cada vector por el coseno del ángulo entre ellos:

u.v=uvcosθ.u.v=uvcosθ.
(2.4)

Prueba

Coloque los vectores u y v en posición estándar y considere el vector vuvu (Figura 2.45). Estos tres vectores forman un triángulo con longitudes de lado u,v,yvu.u,v,yvu.

Esta figura muestra dos vectores con el mismo punto inicial. El primer vector está marcado como "u" y el segundo "v". El ángulo entre los dos vectores está marcado como "theta". También hay un tercer vector desde el punto terminal del vector u hasta el punto terminal del vector v. Está marcado como "v – u".
Figura 2.45 Las longitudes de los lados del triángulo vienen dadas por las magnitudes de los vectores que lo forman.

Recordemos que la ley de los cosenos describe la relación entre las longitudes de los lados del triángulo y el ángulo θ. Aplicando la ley de los cosenos se obtiene

vu2 =u2 +v2 2 uvcosθ.vu2 =u2 +v2 2 uvcosθ.

El producto escalar proporciona una forma de reescribir el lado izquierdo de esta ecuación:

vu2 =(vu).(vu)=(vu).v(vu).u=v.vu.vv.u+u.u=v.vu.vu.v+u.u=v2 2 u.v+u2 .vu2 =(vu).(vu)=(vu).v(vu).u=v.vu.vv.u+u.u=v.vu.vu.v+u.u=v2 2 u.v+u2 .

Sustituyendo en la ley de los cosenos se obtiene

vu2 =u2 +v2 2 uvcosθv2 2 u.v+u2 =u2 +v2 2 uvcosθ2 u.v=−2uvcosθu.v=uvcosθ.vu2 =u2 +v2 2 uvcosθv2 2 u.v+u2 =u2 +v2 2 uvcosθ2 u.v=−2uvcosθu.v=uvcosθ.

Podemos utilizar esta forma del producto escalar para calcular la medida del ángulo entre dos vectores distintos de cero. La siguiente ecuación reordena la Ecuación 2.3 para resolver el coseno del ángulo:

cosθ=u.vuv.cosθ=u.vuv.
(2.5)

Usando esta ecuación, podemos calcular el coseno del ángulo entre dos vectores distintos de cero. Como estamos considerando el menor ángulo entre los vectores, suponemos 0°θ180°0°θ180° (o 0θπ0θπ si trabajamos en radianes). El coseno inverso es único en este rango, por lo que podemos determinar la medida del ángulo θ.θ.

Ejemplo 2.23

Calcular el ángulo entre dos vectores

Calcule la medida del ángulo entre cada par de vectores.

  1. i + j + k y 2ij – 3k
  2. 2 ,5,62 ,5,6 y –2,−4,4–2,−4,4

Punto de control 2.23

Calcule la medida del ángulo, en radianes, formado por los vectores a=1,2 ,0a=1,2 ,0 y b=2 ,4,1.b=2 ,4,1. Redondee a la centésima más cercana.

El ángulo entre dos vectores puede ser agudo (0<cosθ<1),(0<cosθ<1), obtuso (−1<cosθ<0),(−1<cosθ<0), o recto (cosθ=−1).(cosθ=−1). Si cosθ=1,cosθ=1, entonces ambos vectores tienen la misma dirección. Si los valores de cosθ=0,cosθ=0, entonces los vectores, colocados en posición estándar, forman un ángulo recto (Figura 2.46). Podemos formalizar este resultado en un teorema relativo a los vectores ortogonales (perpendiculares).

Esta figura tiene 5 imágenes. La primera imagen tiene dos vectores u y v. El ángulo entre estos dos vectores es theta. Theta es un ángulo agudo. La segunda imagen tiene dos vectores u y v. El ángulo entre estos vectores es theta. Theta es un ángulo obtuso. La tercera imagen son los vectores u y v en direcciones opuestas. El ángulo entre u y v es un ángulo recto. La cuarta imagen es u y v en la misma dirección. La quinta imagen es u y v con el ángulo theta entre ellos como ángulo recto.
Figura 2.46 (a) Un ángulo agudo tiene 0 < cos θ < 1 . 0 < cos θ < 1 . (b) Un ángulo obtuso tiene −1 < cos θ < 0 . −1 < cos θ < 0 . (c) Una línea recta tiene cos θ = −1 . cos θ = −1 . (d) Si los vectores tienen la misma dirección, cos θ = 1 . cos θ = 1 . (e) Si los vectores son ortogonales (perpendiculares), cos θ = 0 . cos θ = 0 .

Teorema 2.5

Vectores ortogonales

Los vectores distintos de cero u y v son vectores ortogonales si y solo si u.v=0.u.v=0.

Prueba

Supongamos que u y v son vectores distintos de cero y θθ denota el ángulo entre ellos. En primer lugar, asuma que u.v=0.u.v=0. Entonces

uvcosθ=0.uvcosθ=0.

Sin embargo, u0u0 y v0,v0, por lo que debemos tener cosθ=0.cosθ=0. Por lo tanto, θ=90°,θ=90°, y los vectores son ortogonales.

Ahora supongamos que u y v son ortogonales. Luego θ=90°θ=90° y tenemos

u.v=uvcosθ=uvcos90°=uv(0)=0.u.v=uvcosθ=uvcos90°=uv(0)=0.

Los términos ortogonal, perpendicular y normal indican que los objetos matemáticos se cruzan en ángulos rectos. El uso de cada término está determinado principalmente por su contexto. Decimos que los vectores son ortogonales y las líneas son perpendiculares. El término normal se utiliza con mayor frecuencia cuando se mide el ángulo formado con un plano u otra superficie.

Ejemplo 2.24

Identificación de vectores ortogonales

Determine si p=1,0,5p=1,0,5 y q=10,3,−2q=10,3,−2 son vectores ortogonales.

Punto de control 2.24

Para qué valor de x es p=2 ,8,−1p=2 ,8,−1 ortogonal a q=x,–1,2 ?q=x,–1,2 ?

Ejemplo 2.25

Medición del ángulo formado por dos vectores

Supongamos que v=2 ,3,3.v=2 ,3,3. Calcule las medidas de los ángulos formados por los siguientes vectores.

  1. v e i
  2. v y j
  3. v y k

Punto de control 2.25

Supongamos que v=3,−5,1.v=3,−5,1. Calcule la medida de los ángulos formados por cada par de vectores.

  1. v e i
  2. v y j
  3. v y k

El ángulo que forma un vector con cada uno de los ejes de coordenadas, llamado ángulo director, es muy importante en los cálculos prácticos, especialmente en un campo como la ingeniería. Por ejemplo, en la ingeniería astronáutica hay que determinar con mucha precisión el ángulo de lanzamiento de un cohete. Un error muy pequeño en el ángulo puede hacer que el cohete se desvíe cientos de millas. Los ángulos directores suelen calcularse utilizando el producto escalar y los cosenos de los ángulos, llamados cosenos directores. Por lo tanto, definimos tanto estos ángulos como sus cosenos.

Definición

Los ángulos formados por un vector distinto de cero y los ejes de coordenadas se llaman ángulos directores del vector (Figura 2.48). Los cosenos de estos ángulos se denominan cosenos directores.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene los vectores normales unitarios dibujados en los ejes x, y y z. También hay un vector dibujado en el primer octante marcado como "v". El ángulo entre el eje x y v está marcado como "alfa". El ángulo entre el eje y y el vector v está marcado como "beta". El ángulo entre el eje z y el vector v está marcado como "gamma".
Figura 2.48 El ángulo α está formado por el vector v y el vector unitario i. El ángulo β está formado por el vector v y el vector unitario j. El ángulo γ está formado por el vector v y el vector unitario k.

En el Ejemplo 2.25, los cosenos directores de v=2 ,3,3v=2 ,3,3 son cosα=2 22,cosα=2 22, cosβ=322,cosβ=322, y cosγ=322.cosγ=322. Los ángulos directores de v son α=1,130rad,α=1,130rad, β=0,877rad,β=0,877rad, y γ=0,877rad.γ=0,877rad.

Hasta ahora, nos hemos centrado principalmente en los vectores relacionados con la fuerza, el movimiento y la posición en el espacio físico tridimensional. Sin embargo, los vectores se utilizan a menudo de forma más abstracta. Por ejemplo, supongamos que un vendedor de frutas vende manzanas, bananas y naranjas. En un día determinado, vende 30 manzanas, 12 bananas y 18 naranjas. Podría utilizar un vector de cantidad, q=30,12,18,q=30,12,18, para representar la cantidad de fruta que ha vendido ese día. Del mismo modo, podría querer utilizar un vector de precios, p=0,50,0,25,1,p=0,50,0,25,1, para indicar que vende sus manzanas a 50 centavos cada una, las bananas a 25 centavos cada una y las naranjas a 1 dólar cada una. En este ejemplo, aunque podríamos graficar estos vectores, no los interpretamos como representaciones literales de la posición en el mundo físico. Simplemente utilizamos vectores para llevar la cuenta de determinados datos sobre las manzanas, las bananas y las naranjas.

Esta idea puede parecer un poco extraña, pero si simplemente consideramos los vectores como una forma de ordenar y almacenar datos, descubrimos que pueden ser una herramienta bastante potente. Volviendo al vendedor de frutas, pensemos en el producto escalar, q.p.q.p. Lo calculamos multiplicando el número de manzanas vendidas (30) por el precio de la manzana (50 centavos), el número de bananas vendidas por el precio de la banana y el número de naranjas vendidas por el precio de la naranja. A continuación, sumamos todos estos valores. Así, en este ejemplo, el producto escalar nos dice cuánto dinero tuvo el vendedor de frutas en ventas ese día en particular.

Cuando utilizamos los vectores de esta forma más general, no hay razón para limitar el número de componentes a tres. ¿Y si el vendedor de fruta decide empezar a vender pomelos? En ese caso, querría utilizar vectores de cantidad y precio de cuatro dimensiones para representar el número de manzanas, bananas, naranjas y pomelos vendidos, y sus precios unitarios. Como era de esperar, para calcular el producto escalar de vectores cuatridimensionales, simplemente, sumamos los productos de las componentes como antes, pero la suma tiene cuatro términos en vez de tres.

Ejemplo 2.26

Uso de vectores en un contexto económico

AAA Party Supply Store vende invitaciones, recuerdos para fiestas, decoraciones y artículos de alimentación como platos de papel y servilletas. Cuando la AAA compra su inventario, paga 25 centavos por paquete para las invitaciones y los recuerdos de la fiesta. Las decoraciones cuestan 50 centavos cada una, y los artículos de alimentación cuestan 20 centavos por paquete. AAA vende las invitaciones a 2,50 dólares el paquete y los recuerdos de la fiesta a 1,50 dólares el paquete. Las decoraciones se venden a 4,50 dólares cada una y los artículos de alimentación a 1,25 dólares por paquete.

Durante mayo, AAA Party Supply Store vende 1.258 invitaciones, 342 recuerdos para fiestas, 2.426 decoraciones y 1.354 artículos de alimentación. Utilice los vectores y los productos escalares para calcular cuánto dinero ha ganado AAA en ventas durante mayo. ¿Cuánta ganancia obtuvo la tienda?

Punto de control 2.26

El 1 de junio, AAA Party Supply Store decidió aumentar el precio que cobra por los artículos para fiestas a 2 dólares por paquete. También han cambiado de proveedor para sus invitaciones, y ahora pueden comprarlas por solo 10 centavos el paquete. Todos los demás costos y precios siguen siendo los mismos. Si AAA vende 1.408 invitaciones, 147 recuerdos de fiesta, 2.112 decoraciones y 1.894 artículos de servicio de comida en junio, utilice los vectores y los productos escalares para calcular sus ventas totales y su ganancia en junio.

Proyecciones

Como hemos visto, la suma combina dos vectores para crear un vector resultante. ¿Pero qué pasa si nos dan un vector y necesitamos encontrar sus partes componentes? Las proyecciones de vectores sirven para realizar el proceso inverso; pueden descomponer un vector en sus componentes. La magnitud de una proyección de vectores es una proyección escalar. Por ejemplo, si un niño tira de la manivela de una carreta con un ángulo de 55°, podemos utilizar las proyecciones para determinar qué parte de la fuerza ejercida sobre el mango mueve realmente la carreta hacia delante (Figura 2.49). Volvemos a este ejemplo y aprendemos a resolverlo después de ver cómo calcular las proyecciones.

Esta figura es la imagen de una carreta con un mango. El mango está representado por el vector "F". El ángulo entre F y la dirección horizontal de la carreta es de 55 grados.
Figura 2.49 Cuando un niño tira de una carreta, solo la componente horizontal de la fuerza impulsa el carro hacia delante.

Definición

La proyección de vectores de v sobre u es el vector marcado como projuv en la Figura 2.50. Tiene el mismo punto inicial que u y v y la misma dirección que u, y representa la componente de v que actúa en la dirección de u. Si los valores de θθ representa el ángulo entre u y v, entonces, por propiedades de los triángulos, sabemos la longitud de projuvprojuv es projuv=vcosθ.projuv=vcosθ. Al expresar cosθcosθ en términos del producto escalar, esto se convierte en

projuv=vcosθ=v(|u.v|uv)=|u.v|u.projuv=vcosθ=v(|u.v|uv)=|u.v|u.

Ahora multiplicamos por un vector unitario en la dirección de u para obtener projuv:projuv:

projuv=u.vu(1uu)=u.vu2 u.projuv=u.vu(1uu)=u.vu2 u.
(2.6)

La longitud de este vector también se conoce como la proyección escalar de v sobre u y se denota mediante

projuv=compuv=|u.v|u.projuv=compuv=|u.v|u.
(2.7)
Esta imagen tiene un vector marcado como "v". También hay un vector con el mismo punto inicial marcado como "proj sub u v" El tercer vector es desde el punto terminal de proj sub u v en la misma dirección marcada como "u". Se dibuja un segmento de línea discontinua desde el punto inicial de u hasta el punto terminal de v, que es perpendicular a u.
Figura 2.50 La proyección de v sobre u muestra el componente del vector v en la dirección de u.

Ejemplo 2.27

Cálculo de proyecciones

Calcule la proyección de v sobre u.

  1. v=3,5,1v=3,5,1 y u=–1,4,3u=–1,4,3
  2. v=3i2 jv=3i2 j y u=i+6ju=i+6j

A veces es útil descomponer los vectores, es decir, descomponer un vector en una suma. Este proceso se denomina resolución de un vector en componentes. Las proyecciones nos permiten identificar dos vectores ortogonales que tienen una suma deseada. Por ejemplo, supongamos que v=6,−4v=6,−4 y supongamos que u=3,1.u=3,1. Queremos descomponer el vector v en componentes ortogonales tales que uno de los vectores componentes tenga la misma dirección que u.

Primero hallamos la componente que tiene la misma dirección que u proyectando v sobre u. Supongamos que p=projuv.p=projuv. Entonces, tenemos

p=u.vu2 u=1849+1u=75u=753,1=215,75.p=u.vu2 u=1849+1u=75u=753,1=215,75.

Consideremos ahora el vector q=vp.q=vp. Tenemos

q=vp=6,−4215,75=95,275.q=vp=6,−4215,75=95,275.

Claramente, por la forma en que definimos q, tenemos v=q+p,v=q+p, y

q.p=95,275.215,75=9(21)25+−27(7)25=1892518925=0,q.p=95,275.215,75=9(21)25+−27(7)25=1892518925=0,

Por lo tanto, q y p son ortogonales.

Ejemplo 2.28

Resolver vectores en componentes

Exprese v=8,−3,−3v=8,−3,−3 como una suma de vectores ortogonales de modo que uno de los vectores tenga la misma dirección que u=2 ,3,2 .u=2 ,3,2 .

Punto de control 2.27

Exprese v=5ijv=5ij como una suma de vectores ortogonales de modo que uno de los vectores tenga la misma dirección que u=4i+2 j.u=4i+2 j.

Ejemplo 2.29

Proyección escalar de la velocidad

Un carguero sale del puerto viajando 15°15° al noreste. Su motor genera una velocidad de 20 nudos a lo largo de esa trayectoria (vea la siguiente figura). Además, la corriente marina desplaza el barco hacia el noreste a una velocidad de 2 nudos. Teniendo en cuenta el motor y la corriente, ¿a qué velocidad se mueve el barco en la dirección 15°15° al noreste? Redondee la respuesta a dos decimales.

Esta figura es la imagen de un barco. El barco está en el origen de dos ejes perpendiculares. El eje horizontal está marcado como "este". El segundo eje es vertical y está marcado como "norte". Desde el barco hay dos vectores. El primero está marcado como "v" y tiene un ángulo de 15 grados entre el eje Este y el vector v. El segundo vector está marcado como "w" y tiene un ángulo de 45 grados entre el eje Este y el vector w.

Punto de control 2.28

Repita el ejemplo anterior, pero suponga que la corriente oceánica se mueve hacia el sureste en vez de hacia el noreste, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es la imagen de un barco. El barco está en el origen de dos ejes perpendiculares. El eje horizontal está marcado como "este". El segundo eje es vertical y está marcado como "norte". Desde el barco hay dos vectores. El primero está marcado como "v" y tiene un ángulo de 15 grados entre el eje Este y el vector v. El segundo vector está marcado como "w" y tiene un ángulo de 45 grados entre el eje Este y el vector w. El vector w está por debajo del eje Este en el cuarto cuadrante.

Trabajo

Ahora que entendemos los productos escalares, podemos ver cómo aplicarlos a situaciones de la vida real. La aplicación más común del producto escalar de dos vectores es el cálculo del trabajo.

Por la física, sabemos que el trabajo se realiza cuando un objeto es movido por una fuerza. Cuando la fuerza es constante y se aplica en la misma dirección en que se mueve el objeto, entonces definimos el trabajo realizado como el producto de la fuerza por la distancia que recorre el objeto: W=Fd.W=Fd. Hemos visto varios ejemplos de este tipo en capítulos anteriores. Ahora imagine que la dirección de la fuerza es diferente de la dirección del movimiento, como en el ejemplo de un niño que tira de una carreta. Para hallar el trabajo realizado, debemos multiplicar la componente de la fuerza que actúa en la dirección del movimiento por la magnitud del desplazamiento. El producto escalar nos permite hacer precisamente eso. Si representamos una fuerza aplicada por un vector F y el desplazamiento de un objeto por un vector s, entonces el trabajo realizado por la fuerza es el producto escalar de F y s.

Definición

Cuando se aplica una fuerza constante a un objeto para que este se mueva en línea recta desde el punto P hasta el punto Q, el trabajo W realizado por la fuerza F, actuando en un ángulo θ desde la línea de movimiento, está dado por

W=F.PQ=FPQcosθ.W=F.PQ=FPQcosθ.
(2.8)

Volvamos al problema de la carreta del niño que se presentó anteriormente. Supongamos que un niño tira de una carreta con una fuerza de magnitud de 8 lb en el mango con un ángulo de 55°. Si el niño tira de la carreta 50 pies, calcule el trabajo realizado por la fuerza (Figura 2.51).

Esta figura es una imagen de una carreta con un mango. El mango se representa con un vector marcado como "8 lb". Hay otro vector en la dirección horizontal del vagón marcado como "50 ft". El ángulo entre estos vectores es de 55 grados.
Figura 2.51 El componente horizontal de la fuerza es la proyección de F sobre el eje x positivo.

Tenemos

W=FPQcosθ=8(50)(cos(55°))229ft.lb.W=FPQcosθ=8(50)(cos(55°))229ft.lb.

En unidades estándar de EE. UU., medimos la magnitud de la fuerza FF en libras. La magnitud del vector de desplazamiento PQPQ nos indica la distancia a la que se ha movido el objeto, y se mide en pies. La unidad de medida habitual para el trabajo, por tanto, es el pie-libra. Un pie-libra es la cantidad de trabajo necesaria para mover un objeto que pesa 1 libra una distancia de 1 pie en línea recta. En el sistema métrico, la unidad de medida de la fuerza es el newton (N), y la unidad de medida de la magnitud del trabajo es el newton-metro (N-m), o el joule (J).

Ejemplo 2.30

Calcular el trabajo

Una cinta transportadora genera una fuerza F=5i3j+kF=5i3j+k que traslada una maleta desde un punto (1,1,1)(1,1,1) al punto (9,4,7)(9,4,7) a lo largo de una línea recta. Calcule el trabajo realizado por la cinta transportadora. La distancia se mide en metros y la fuerza se mide en newtons.

Punto de control 2.29

Se aplica una fuerza constante de 30 lb con un ángulo de 60° para tirar de una carretilla de mano 10 ft por el suelo (Figura 2.52). ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza?

Esta figura es una imagen de una carretilla de mano con una caja. El mango vertical de la carretilla de mano tiene dos vectores. El primero es horizontal al mango y está marcado como "s". El segundo es del mango y está marcado como "F". El ángulo entre los dos vectores es de 60 grados.
Figura 2.52

Sección 2.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, se dan los vectores u y v. Calcule el producto escalar u.v.u.v.

123.

u=3,0,u=3,0, v=2 ,2 v=2 ,2

124.

u=3,−4,u=3,−4, v=4,3v=4,3

125.

u=2 ,2 ,−1,u=2 ,2 ,−1, v=–1,2 ,2 v=–1,2 ,2

126.

u=4,5,−6,u=4,5,−6, v=0,–2,−3v=0,–2,−3

En los siguientes ejercicios se dan los vectores a, b y c. Determine los vectores (a.b)c(a.b)c y (a.c)b.(a.c)b. Exprese los vectores en forma de componentes.

127.

a=2 ,0,−3,a=2 ,0,−3, b=–4,–7,1,b=–4,–7,1, c=1,1,−1c=1,1,−1

128.

a=0,1,2 ,a=0,1,2 , b=–1,0,1,b=–1,0,1, c=1,0,−1c=1,0,−1

129.

a=i+j,a=i+j, b=ik,b=ik, c=i2 kc=i2 k

130.

a=ij+k,a=ij+k, b=j+3k,b=j+3k, c=i+2 j4kc=i+2 j4k

En los siguientes ejercicios, se dan los vectores bidimensionales a y b.

  1. Calcule la medida del ángulo θθ entre a y b. Exprese la respuesta en radianes redondeados a dos decimales, si no es posible expresarla exactamente.
  2. ¿El ángulo θθ es agudo?
131.

[T] a=3,−1,a=3,−1, b=–4,0b=–4,0

132.

[T] a=2 ,1,a=2 ,1, b=–1,3b=–1,3

133.

u=3i,u=3i, v=4i+4jv=4i+4j

134.

u=5i,u=5i, v=−6i+6jv=−6i+6j

En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo entre los vectores tridimensionales a y b. Exprese la respuesta en radianes redondeados a dos decimales, si no es posible expresarla exactamente.

135.

a=3,–1,2 ,a=3,–1,2 , b=1,–1,−2b=1,–1,−2

136.

a=0,–1,−3,a=0,–1,−3, b=2 ,3,−1b=2 ,3,−1

137.

a=i+j,a=i+j, b=jkb=jk

138.

a=i2 j+k,a=i2 j+k, b=i+j2 kb=i+j2 k

139.

[T] a=3ij2 k,a=3ij2 k, b=v+w,b=v+w, donde v=–2i3j+2 kv=–2i3j+2 k y w=i+2 kw=i+2 k

140.

[T] a=3ij+2 k,a=3ij+2 k, b=vw,b=vw, donde v=2 i+j+4kv=2 i+j+4k y w=6i+j+2 kw=6i+j+2 k

En los siguientes ejercicios determine si los vectores dados son ortogonales.

141.

a=x,y,a=x,y, b=y,x,b=y,x, donde x y y son números reales distintos de cero

142.

a=x,x,a=x,x, b=y,y,b=y,y, donde x y y son números reales distintos de cero

143.

a=3ij2 k,a=3ij2 k, b=–2i3j+kb=–2i3j+k

144.

a=ij,a=ij, b=7i+2 jkb=7i+2 jk

145.

Calcule todos los vectores bidimensionales a ortogonales al vector b=3,4.b=3,4. Exprese la respuesta en forma de componentes.

146.

Calcule todos los vectores bidimensionales a ortogonales al vector b=5,−6.b=5,−6. Exprese la respuesta utilizando vectores normales unitarios.

147.

Determine todos los vectores tridimensionales u ortogonales al vector v=1,1,0.v=1,1,0. Exprese la respuesta utilizando vectores normales unitarios.

148.

Determine todos los vectores tridimensionales u ortogonales al vector v=ijk.v=ijk. Exprese la respuesta en forma de componentes.

149.

Determine el número real αα de modo que los vectores a=2 i+3ja=2 i+3j y b=9i+αjb=9i+αj sean ortogonales.

150.

Determine el número real αα de modo que los vectores a=−3i+2 ja=−3i+2 j y b=2 i+αjb=2 i+αj sean ortogonales.

151.

[T] Considere los puntos P(4,5)P(4,5) y Q(5,–7).Q(5,–7).

  1. Determine los vectores OPOP y OQ.OQ. Exprese la respuesta utilizando vectores normales unitarios.
  2. Determine la medida del ángulo O en el triángulo OPQ. Exprese la respuesta en grados redondeados a dos decimales.
152.

[T] Considere los puntos A(1,1),A(1,1), B(2 ,–7),B(2 ,–7), y C(6,3).C(6,3).

  1. Determine los vectores BABA y BC.BC. Exprese la respuesta en forma de componentes.
  2. Determine la medida del ángulo B en el triángulo ABC. Exprese la respuesta en grados redondeados a dos decimales.
153.

Determine la medida del ángulo A en el triángulo ABC, donde A(1,1,8),A(1,1,8), B(4,−3,–4),B(4,−3,–4), y C(−3,1,5).C(−3,1,5). Exprese su respuesta en grados redondeados a dos decimales.

154.

Considere los puntos P(3,7,–2)P(3,7,–2) y Q(1,1,−3).Q(1,1,−3). Determine el ángulo entre los vectores OPOP y OQ.OQ. Exprese la respuesta en grados redondeados a dos decimales.

En los siguientes ejercicios, determine qué pares de los siguientes vectores son ortogonales (si es que hay alguno).

155.

u=3,7,−2,u=3,7,−2, v=5,−3,−3,v=5,−3,−3, w=0,1,−1w=0,1,−1

156.

u=ik,u=ik, v=5j5k,v=5j5k, w=10jw=10j

157.

Utilice los vectores para demostrar que un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.

158.

Utilice vectores para demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

159.

Demuestre que u.(v+w)=u.v+u.wu.(v+w)=u.v+u.w es cierto para cualquier vector u, v y w.

160.

Verifique la identidad u.(v+w)=u.v+u.wu.(v+w)=u.v+u.w para los vectores u=1,0,4,u=1,0,4, v=–2,3,5,v=–2,3,5, y w=4,–2,6.w=4,–2,6.

En los siguientes problemas, el vector u está dado.

  1. Calcule los cosenos directores para el vector u.
  2. Calcule los ángulos directores del vector u expresados en grados. (Redondee la respuesta al número entero más cercano).
161.

u = 2 , 2 , 1 u = 2 , 2 , 1

162.

u = i 2 j + 2 k u = i 2 j + 2 k

163.

u = –1 , 5 , 2 u = –1 , 5 , 2

164.

u = 2 , 3 , 4 u = 2 , 3 , 4

165.

Considere que u=a,b,cu=a,b,c es un vector tridimensional distinto de cero. Supongamos que cosα,cosα, cosβ,cosβ, y cosγcosγ son las direcciones de los cosenos de u. Demuestre que cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1.cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1.

166.

Determine los cosenos directores del vector u=i+2 j+2 ku=i+2 j+2 k y demuestre que satisfacen cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1.cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1.

En los siguientes ejercicios, se dan los vectores u y v.

  1. Calcule la proyección de vectores w=projuvw=projuv del vector v sobre el vector u. Exprese su respuesta en forma de componentes.
  2. Calcule la proyección escalar compuvcompuv del vector v sobre el vector u.
167.

u=5i+2 j,u=5i+2 j, v=2 i+3jv=2 i+3j

168.

u=–4,7,u=–4,7, v=3,5v=3,5

169.

u=3i+2 k,u=3i+2 k, v=2 j+4kv=2 j+4k

170.

u=4,4,0,u=4,4,0, v=0,4,1v=0,4,1

171.

Considere los vectores u=4i3ju=4i3j y v=3i+2 j.v=3i+2 j.

  1. Halle la forma en componentes del vector w=projuvw=projuv que representa la proyección de v sobre u.
  2. Escriba la descomposición v=w+qv=w+q del vector v en los componentes ortogonales w y q, donde w es la proyección de v sobre u y q es un vector ortogonal a la dirección de u.
172.

Considere los vectores u=2 i+4ju=2 i+4j y v=4j+2 k.v=4j+2 k.

  1. Halle la forma en componentes del vector w=projuvw=projuv que representa la proyección de v sobre u.
  2. Escriba la descomposición v=w+qv=w+q del vector v en los componentes ortogonales w y q, donde w es la proyección de v sobre u y q es un vector ortogonal a la dirección de u.
173.

Una molécula de metano tiene un átomo de carbono situado en el origen y cuatro átomos de hidrógeno situados en puntos P(1,1,–1),Q(1,–1,1),R(–1,1,1),yS(–1,–1,–1)P(1,1,–1),Q(1,–1,1),R(–1,1,1),yS(–1,–1,–1) (vea la figura).

  1. Calcule la distancia entre los átomos de hidrógeno situados en P y R.
  2. Calcule el ángulo entre los vectores OSOS y OROR que conectan el átomo de carbono con los átomos de hidrógeno situados en S y R, lo que también se denomina ángulo de enlace. Exprese la respuesta en grados redondeados a dos decimales.
Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay cuatro puntos trazados. El primer punto está marcado como "P(1, 1, -1)", el segundo punto está marcado como "Q(1, -1, 1)", el tercer punto está marcado como "R(-1, 1, 1)" y el cuarto punto está marcado como "S(-1, -1, -1)" Hay segmentos de línea de Q a P, de P a R y de R a P. También hay dos vectores en posición estándar. El primero tiene como punto terminal R y el segundo tiene como punto terminal S. El ángulo entre ellos se representa con un arco.
174.

[T] Calcule los vectores que unen el centro de un reloj con las horas 1:00, 2:00, and 3:00. Supongamos que el reloj es circular con un radio de 1 unidad.

175.

Calcule el trabajo realizado por la fuerza F=5,6,−2F=5,6,−2 (medido en Newtons) que mueve una partícula desde un punto P(3,–1,0)P(3,–1,0) al punto Q(2 ,3,1)Q(2 ,3,1) a lo largo de una línea recta (la distancia se mide en metros).

176.

[T] Se tira de un trineo ejerciendo una fuerza de 100 N sobre una cuerda que forma un ángulo de 25°25° con la horizontal. Calcule el trabajo realizado al tirar del trineo 40 m. (Redondee la respuesta a un decimal).

177.

[T] Un padre está tirando de su hijo en un trineo en un ángulo de 20°20° con la horizontal con una fuerza de 25 lb (vea la siguiente imagen). Tira del trineo en una trayectoria recta de 50 pies. ¿Cuánto trabajo hizo el hombre que tiraba del trineo? (Redondee la respuesta al número entero más cercano).

Esta figura es una imagen de una persona que tira de un niño en un trineo. La cuerda para tirar del trineo está representada por un vector y marcada como "25 lb". Hay un ángulo entre el vector de la cuerda y el suelo horizontal de 20 grados.
178.

[T] Se remolca un automóvil con una fuerza de 1.600 N. La cuerda utilizada para halar el automóvil forma un ángulo de 25° con la horizontal. Calcule el trabajo realizado al remolcar el automóvil 2 km. Expresa la respuesta en joules (1J=1N.m)(1J=1N.m) redondeada al número entero más cercano.

179.

[T] Un barco navega hacia el norte ayudado por un viento que sopla en dirección N30°EN30°E con una magnitud de 500 lb. ¿Cuánto trabajo realiza el viento cuando el barco se desplaza 100 pies? (Redondee la respuesta a dos decimales).

180.

El vector p=150,225,375p=150,225,375 representa el precio de ciertos modelos de bicicletas vendidos por una tienda de bicicletas. El vector n=10,7,9n=10,7,9 representa el número de bicicletas vendidas de cada modelo, respectivamente. Calcule el producto escalar p.np.n e indique su significado.

181.

[T] Dos fuerzas F1F1 y F2 F2 están representadas por vectores con puntos iniciales que están en el origen. La primera fuerza tiene una magnitud de 20 lb y el punto terminal del vector es el punto P(1,1,0).P(1,1,0). La segunda fuerza tiene una magnitud de 40 lb y el punto terminal de su vector es el punto Q(0,1,1).Q(0,1,1). Supongamos que F es la fuerza resultante de las fuerzas F1F1 y F2 .F2 .

  1. Calcule la magnitud de F. (Redondee la respuesta a un decimal).
  2. Calcule los ángulos directores de F. (Exprese la respuesta en grados redondeados a un decimal).
182.

[T] Considere r(t)=cost,sent,2 tr(t)=cost,sent,2 t es el vector de posición de una partícula en el tiempo t[0,30],t[0,30], donde los componentes de r se expresan en centímetros y el tiempo en segundos. Supongamos que OPOP es el vector de posición de la partícula después de 1 segundo.

  1. Demuestre que todos los vectores PQ,PQ, donde Q(x,y,z)Q(x,y,z) es un punto arbitrario, ortogonal al vector velocidad instantánea v(1)v(1) de la partícula después de 1 segundo, puede expresarse como PQ=xcos1,ysen1,z2 ,PQ=xcos1,ysen1,z2 , donde xsen1ycos12 z+4=0.xsen1ycos12 z+4=0. El conjunto del punto Q describe un plano llamado plano normal a la trayectoria de la partícula en el punto P.
  2. Utilice un CAS para visualizar el vector velocidad instantánea y el plano normal en el punto P junto con la trayectoria de la partícula.
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