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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

1.2

x=2 +3y+1,x=2 +3y+1, o y=−1+3x2 .y=−1+3x2 . Esta ecuación describe una parte de una hipérbola rectangular centrada en (2 ,–1).(2 ,–1).

Una línea curva que va de (3,5, 1) a (2,5, 5) con una flecha que va en ese orden. El punto (3,5, 1) está marcado con t = 2 y el punto (2,5, 5) con t = 6. En el gráfico también aparecen escritas tres ecuaciones: x(t) = 2 + 3/t, y(t) = t - 1, 2 ≤ t ≤ 6.
1.3

Una posibilidad es x(t)=t,y(t)=t2 +2 t.x(t)=t,y(t)=t2 +2 t. Otra posibilidad es x(t)=2 t3,y(t)=(2 t3)2 +2 (2 t3)=4t2 8t+3.x(t)=2 t3,y(t)=(2 t3)2 +2 (2 t3)=4t2 8t+3.

De hecho, hay un número infinito de posibilidades.

1.4

x(t)=2 t4x(t)=2 t4 en tanto que y(t)=6t2 6,y(t)=6t2 6, así que dydx=6t2 62 t4=3t2 3t2 .dydx=6t2 62 t4=3t2 3t2 .
Esta expresión es indefinida cuando t=2 t=2 e igual a cero cuando t=±1.t=±1.

Una curva que va de (12, -4) por el origen y (-4, 0) a (-3, 36) con flechas en ese orden. El punto (12, -4) está marcado con t = -2 y el punto (-3, 36) con t = 3. En el gráfico también aparecen escritas tres ecuaciones: x(t) = t2 - 4t, y(t) = 2t3 - 6t, -2 ≤ t ≤ 3.
1.5

La ecuación de la línea tangente es y=24x+100.y=24x+100.

1.6

d2 ydx2 =3t2 12t+32 (t2 )3.d2 ydx2 =3t2 12t+32 (t2 )3. Puntos críticos (5,4),(−3,–4),y(−4,4).(5,4),(−3,–4),y(−4,4).

1.7

A=3πA=3π (Observe que la fórmula de la integral da en realidad una respuesta negativa. Esto se debe a que x(t)x(t) es una función decreciente en el intervalo [0,2 π];[0,2 π]; es decir, la curva se traza de derecha a izquierda).

1.8

s = 2 ( 10 3 / 2 2 3 / 2 ) 57,589 s = 2 ( 10 3 / 2 2 3 / 2 ) 57,589

1.9

A = π ( 494 13 + 128 ) 1.215 A = π ( 494 13 + 128 ) 1.215

1.10

(82 ,5π4)(82 ,5π4) y (–2,23)(–2,23)

1.12


Se da el gráfico de r = 4 + 4 cosθ. Se parece un poco a un corazón inclinado sobre su lado con un fondo redondeado en vez de puntiagudo. En concreto, el gráfico comienza en el origen, se desplaza hacia el segundo cuadrante y aumenta hasta llegar a una figura redondeada en forma de círculo. El gráfico es simétrico respecto al eje x, por lo que continúa su figura redondeada, entra en el tercer cuadrante y llega a un punto en el origen.


El nombre de esta forma es cardioide, que estudiaremos más adelante en esta sección.

1.13

y=x2 ,y=x2 , que es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba.

1.14

Simetría con respecto al eje polar

Se grafica una rosa de tres pétalos con la ecuación r = 2 cos(3θ). Cada pétalo comienza en el origen y alcanza una distancia máxima del origen de 2.
1.15

A = 3 π / 2 A = 3 π / 2

1.16

A = 4 π 3 + 4 3 A = 4 π 3 + 4 3

1.17

s = 3 π s = 3 π

1.18

x=2 (y+3)2 2 x=2 (y+3)2 2

Se dibuja una parábola con vértice en (-2, -3) y que se abre hacia la derecha con ecuación x = 2(y + 3)2 - 2. El foco se dibuja en (0, -3). La directriz se dibuja en x = -4.
1.19

(x+1)2 16+(y2 )2 9=1(x+1)2 16+(y2 )2 9=1

Se dibuja una elipse con ecuación 9x2 + 16y2 + 18x - 64y - 71 = 0. Tiene centro en (-1, 2), toca el eje x en (2, 0) y (-4, 0) y toca el eje y cerca de (0, -1) y (0, 5).
1.20

(y+2 )2 9(x1)2 4=1.(y+2 )2 9(x1)2 4=1. Se trata de una hipérbola vertical. Asíntotas y=−2±32 (x1).y=−2±32 (x1).

Se dibuja una hipérbola con ecuación 4y2 - 9x2 + 16x + 18y - 29 = 0. Tiene centro en (1, -2) y las hipérbolas están abiertas hacia arriba y hacia abajo.
1.21

e = c a = 74 7 1,229 e = c a = 74 7 1,229

1.22

Aquí e=0,8e=0,8 y p=5.p=5. Esta sección cónica es una elipse

Gráfico de una elipse con ecuación r = 4/(1 - 0,8 =senθ), centro cercano a (0, 11), eje mayor aproximadamente 22 y eje menor aproximadamente 12.
1.23

La sección cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es θ=22,5°.θ=22,5°.

Sección 1.1 ejercicios

1.


Una parábola abierta a la derecha siendo (-1, 0) el punto más a la izquierda con una flecha que va desde abajo pasando por (-1, 0) y hacia arriba.


orientación: de abajo a arriba

3.


Una línea recta que pasa por (0, –3) y (6, 0) con la flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.


orientación: de izquierda a derecha

5.

y=x2 4+1y=x2 4+1

Media parábola que parte del origen y pasa por (2, 2) con la flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.
7.


Una curva que pasa por (1, 0) y (0, 3) con la flecha apuntando hacia arriba y hacia la izquierda.
9.


Un gráfico con asíntotas en los ejes x y y. Hay una parte del gráfico en el tercer cuadrante con una flecha que apunta hacia abajo y hacia la derecha. Hay una parte del gráfico en el primer cuadrante con una flecha que apunta hacia abajo y hacia la derecha.
11.


Una elipse con eje menor vertical y de longitud 8 y eje mayor horizontal y de longitud 12 que está centrada en el origen. Las flechas van en sentido contrario a las agujas del reloj.
13.


Una elipse en el cuarto cuadrante con eje menor horizontal y de longitud 4 y eje mayor vertical y de longitud 6. Las flechas van en el sentido de las agujas del reloj.
15.


Un gráfico con asíntotas en y = x y y = -x. La primera parte del gráfico ocurre en el segundo y tercer cuadrante con vértice en (-1, 0). La segunda parte del gráfico se produce en el primer y cuarto cuadrante con vértices como (1, 0).


Las asíntotas son y=xy=x como y=xy=x

17.


Una curva que comienza ligeramente por encima del origen y aumenta hacia la derecha con la flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha.
19.


Una curva cuya asíntota es el eje y. La curva comienza en el cuarto cuadrante y aumenta rápidamente hasta (1, 0), punto en el que aumenta mucho más lentamente.
21.

y=x+12 y=x+12 ; dominio: x[1,−∞).x[1,−∞).

23.

x2 16+y2 9=1;x2 16+y2 9=1; dominio x[−4,4].x[−4,4].

25.

y=3x+2 ;y=3x+2 ; dominio: todos los números reales.

27.

(x1)2 +(y3)2 =1;(x1)2 +(y3)2 =1; dominio: x[0,2 ].x[0,2 ].

29.

y=x2 1;y=x2 1; dominio: x(−∞,−1].x(−∞,−1].

31.

y2 =1x2 ;y2 =1x2 ; dominio: x[2 ,)(,−2].x[2 ,)(,−2].

33.

y=lnx;y=lnx; dominio: x[1,).x[1,).

35.

y=lnx;y=lnx; dominio: x(0,).x(0,).

37.

x2 +y2 =4;x2 +y2 =4; dominio: x[−2,2 ].x[−2,2 ].

39.

línea

41.

parábola

43.

círculo

45.

elipse

47.

hipérbola

51.

Las ecuaciones representan una cicloide.

Un gráfico que comienza en (-6, 0) y que aumenta rápidamente hasta un punto agudo en (-3, 2) y luego disminuye rápidamente hasta el origen. El gráfico es simétrico alrededor del eje y, por lo que el gráfico aumenta rápidamente hasta (3, 2) antes de disminuir rápidamente hasta (6, 0).
53.


Un gráfico que comienza aproximadamente en (-6, 0) y aumenta hasta un punto redondeado y luego disminuye hasta aproximadamente (0, -0,5). El gráfico es simétrico alrededor del eje y, por lo que el gráfico aumenta hasta un punto redondeado antes de disminuir hasta aproximadamente (6, 0).
55.

22.092 metros a aproximadamente 51 segundos.

57.


Un gráfico con asíntotas aproximadamente cerca de y = x y y = -x. La primera parte del gráfico está en el primer y segundo cuadrante con vértices cercanos a (0, 3). La segunda parte del gráfico se encuentra en los cuadrantes tercero y cuarto con vértices cercanos a (0, -3).
59.


Un gráfico que comienza aproximadamente en (-6, -1) y que disminuye hasta un mínimo en el tercer cuadrante cerca de (-1, -4,8) y que aumenta a través de aproximadamente (0, -4,7) y (3, 0) hasta un máximo cerca de (1, 1,9) antes de disminuir a través de (0, 1,5) hasta el origen. El gráfico es simétrico alrededor del eje y, por lo que el gráfico aumenta a través de (0, 1,5) hasta un máximo en el segundo cuadrante, disminuye de nuevo a través de (0, -4,7), y luego aumenta hasta (6, -1).
61.


Un gráfico ligeramente parabólico con vértice en el origen que está abierto hacia la derecha.

Sección 1.2 ejercicios

63.

0

65.

−3 5 −3 5

67.

Pendiente=0;Pendiente=0; y=8.y=8.

69.

La pendiente no está definida; x=2 .x=2 .

71.

tan   t   =   2 ( 4 5 , –8 5 ) ,   ( 4 5 , –8 5 ) . tan   t   =   2 ( 4 5 , –8 5 ) ,   ( 4 5 , –8 5 ) .

73.

No hay puntos posibles; expresión indefinida.

75.

y = ( 4 e ) x + 5 y = ( 4 e ) x + 5

77.

y = −2 x + 3 y = −2 x + 3

79.

π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4 π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4

81.

d y d x = tan ( t ) d y d x = tan ( t )

83.

dydx=34dydx=34 y d2 ydx2 =0,d2 ydx2 =0, para que la curva no sea ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en t=3.t=3. Por lo tanto, el gráfico es lineal y tiene una pendiente constante pero ninguna concavidad.

85.

dydx=4,d2 ydx2 =–63;dydx=4,d2 ydx2 =–63; la curva es cóncava hacia abajo en θ=π6.θ=π6.

87.

No hay tangentes horizontales. Tangentes verticales en (1,0),(–1,0).(1,0),(–1,0).

89.

sec2 (πt)sec2 (πt) grandes.

91.

Horizontal (0,–9);(0,–9); vertical (±2 ,–6).(±2 ,–6).

93.

1

95.

0

97.

4

99.

Cóncava hacia arriba en t>0.t>0.

101.

e12 1 2 e12 1 2

103.

3 π 2 3 π 2

105.

6 π a 2 6 π a 2

107.

2 π a b 2 π a b

109.

13(2 2 1)13(2 2 1) grandes.

111.

7,075 7,075

113.

6 a 6 a

115.

6 2 6 2

119.

2 π ( 247 13 + 64 ) 1.215 2 π ( 247 13 + 64 ) 1.215

121.

59,101

123.

8 π 3 ( 17 17 1 ) 8 π 3 ( 17 17 1 )

Sección 1.3 ejercicios

125.


En el plano de coordenadas polares, se traza un rayo desde el origen marcando π/6 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo de radio 3.
127.


En el plano de coordenadas polares, se traza un rayo desde el origen marcando 7π/6 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza la circunferencia de radio 0, es decir, marca el origen.
129.


En el plano de coordenadas polares, se traza un rayo desde el origen marcando π/4 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo de radio 1.
131.


En el plano de coordenadas polares, se traza un rayo desde el origen marcando π/2 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo de radio 1.
133.

B ( 3 , π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 ) B ( 3 , π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 )

135.

D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 ) D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 )

137.

(5,–0,927)(−5,−0,927+π)(5,–0,927)(−5,−0,927+π) grandes.

139.

(10,–0,927)(–10,−0,927+π)(10,–0,927)(–10,−0,927+π) grandes.

141.

( 2 3 , –0,524 ) ( −2 3 , −0,524 + π ) ( 2 3 , –0,524 ) ( −2 3 , −0,524 + π )

143.

(3,–1)(3,–1) grandes.

145.

(32 ,−12 )(32 ,−12 ) grandes.

147.

(0,0)(0,0) grandes.

149.

Simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen.

151.

Simetría con respecto al eje x solamente.

153.

Simetría con respecto al eje x solamente.

155.

La línea y=xy=x

157.

y = 1 y = 1

159.

Hipérbola; forma polar r2 cos(2 θ)=16r2 cos(2 θ)=16 o r2 =16sec(2 θ).r2 =16sec(2 θ).

Una hipérbola con vértices en (–4, 0) y (4, 0), el primero apuntando hacia los cuadrantes II y III y el segundo hacia los cuadrantes I y IV.
161.

r=2 3cosθsenθr=2 3cosθsenθ

Una línea recta con pendiente 3 e intersección –2 en y.
163.

x2 +y2 =4yx2 +y2 =4y

Un círculo de radio 2 con centro en (2, π/2).
165.

xtanx2 +y2 =yxtanx2 +y2 =y

Una espiral que parte del origen y cruza θ = π/2 entre 1 y 2, θ = π entre 3 y 4, θ = 3π/2 entre 4 y 5, θ = 0 entre 6 y 7, θ = π/2 entre 7 y 8 y θ = π entre 9 y 10.
167.


Una cardioide con la parte superior del corazón en el origen y el resto de la cardioide orientada hacia arriba.


simetría del eje y

169.


Una cardioide con la parte superior del corazón en el origen y el resto de la cardioide orientada hacia abajo.


simetría del eje y

171.


Una rosa con cuatro pétalos que alcanzan su máxima extensión desde el origen en θ = 0, π/2, π y 3π/2.


simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo

173.


Una rosa con tres pétalos que alcanzan su máxima extensión desde el origen en θ = 0, 2π/3 y 4π/3.


simetría del eje x

175.


El símbolo del infinito con el punto de cruce en el origen y con la mayor extensión de los dos pétalos en θ = 0 y π.


simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo

177.


Una espiral que parte del origen cruzando la línea θ = π/2 entre 3 y 4, θ = π entre 6 y 7, θ = 3π/2 entre 9 y 10, θ = 0 entre 12 y 13, θ = π/2 entre 15 y 16 y θ = π entre 18 y 19.


sin simetría

179.


Una línea que cruza el eje y en aproximadamente 3 y tiene una pendiente de aproximadamente 3/2.


una línea

181.


Una forma geométrica que se asemeja a una mariposa con alas más grandes en el primer y segundo cuadrante, alas más pequeñas en el tercer y cuarto cuadrante, un cuerpo a lo largo de la línea θ = π/2 y patas a lo largo de las líneas θ = 0 y π.
183.


Una línea con θ = 120°.
185.


Una espiral que comienza en el tercer cuadrante.
187.

Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente.

Sección 1.4 ejercicios

189.

9 2 0 π sen 2 θ d θ 9 2 0 π sen 2 θ d θ

191.

32 0 π / 2 sen 2 ( 2 θ ) d θ 32 0 π / 2 sen 2 ( 2 θ ) d θ

193.

1 2 π 2 π ( 1 sen θ ) 2 d θ 1 2 π 2 π ( 1 sen θ ) 2 d θ

195.

sen −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 3 sen θ ) 2 d θ sen −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 3 sen θ ) 2 d θ

197.

π / 3 π ( 1 2 cos θ ) 2 d θ 0 π / 3 ( 1 2 cos θ ) 2 d θ π / 3 π ( 1 2 cos θ ) 2 d θ 0 π / 3 ( 1 2 cos θ ) 2 d θ

199.

4 0 π / 3 d θ + 16 π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ 4 0 π / 3 d θ + 16 π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ

201.

9 π 9 π

203.

9 π 4 9 π 4

205.

9 π 8 9 π 8

207.

18 π 27 3 2 18 π 27 3 2

209.

4 3 ( 4 π 3 3 ) 4 3 ( 4 π 3 3 )

211.

3 2 ( 4 π 3 3 ) 3 2 ( 4 π 3 3 )

213.

2 π 4 2 π 4

215.

0 2 π ( 1 + sen θ ) 2 + cos 2 θ d θ 0 2 π ( 1 + sen θ ) 2 + cos 2 θ d θ

217.

2 0 1 e θ d θ 2 0 1 e θ d θ

219.

103(e61)103(e61) grandes.

221.

32

223.

6,238

225.

2

227.

4,39

229.

A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 y 1 2 0 π ( 1 + 2 sen θ cos θ ) d θ = π 2 A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 y 1 2 0 π ( 1 + 2 sen θ cos θ ) d θ = π 2

231.

C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π y 0 π 3 d θ = 3 π C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π y 0 π 3 d θ = 3 π

233.

C = 2 π ( 5 ) = 10 π y 0 π 10 d θ = 10 π C = 2 π ( 5 ) = 10 π y 0 π 10 d θ = 10 π

235.

d y d x = f ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ f ( θ ) cos θ f ( θ ) sen θ d y d x = f ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ f ( θ ) cos θ f ( θ ) sen θ

237.

La pendiente es 13.13.

239.

La pendiente es 0.

241.

En (4,0),(4,0), la pendiente es indefinida. En (−4,π2 ),(−4,π2 ), la pendiente es 0.

243.

La pendiente es indefinida en θ=π4.θ=π4.

245.

Pendiente = –1.

247.

La pendiente es −2π.−2π.

249.

Respuesta de la calculadora: –0,836.

251.

Tangente horizontal en (±2 ,π6),(±2 ,π6), (±2 ,π6).(±2 ,π6).

253.

Tangentes horizontales en π2 ,7π6,11π6.π2 ,7π6,11π6. Tangentes verticales en π6,5π6π6,5π6 y también en el polo (0,0).(0,0).

Sección 1.5 ejercicios

255.

y 2 = 16 x y 2 = 16 x

257.

x 2 = 2 y x 2 = 2 y

259.

x 2 = −4 ( y 3 ) x 2 = −4 ( y 3 )

261.

( x + 3 ) 2 = 8 ( y 3 ) ( x + 3 ) 2 = 8 ( y 3 )

263.

x 2 16 + y 2 12 = 1 x 2 16 + y 2 12 = 1

265.

x 2 13 + y 2 4 = 1 x 2 13 + y 2 4 = 1

267.

( y 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1 ( y 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1

269.

x 2 16 + y 2 12 = 1 x 2 16 + y 2 12 = 1

271.

x 2 25 y 2 11 = 1 x 2 25 y 2 11 = 1

273.

x 2 7 y 2 9 = 1 x 2 7 y 2 9 = 1

275.

( y + 2 ) 2 4 ( x + 2 ) 2 32 = 1 ( y + 2 ) 2 4 ( x + 2 ) 2 32 = 1

277.

x 2 4 y 2 32 = 1 x 2 4 y 2 32 = 1

279.

e=1,e=1, parábola

281.

e=12 ,e=12 , elipse

283.

e=3,e=3, hipérbola

285.

r = 4 5 + cos θ r = 4 5 + cos θ

287.

r = 4 1 + 2 sen θ r = 4 1 + 2 sen θ

289.


Gráfico de una parábola abierta hacia abajo con centro en el origen.
291.


Gráfico de una parábola abierta hacia la izquierda con centro cerca del origen.
293.


Gráfico de una elipse con centro cerca de (8, 0), eje mayor horizontal de aproximadamente 18, y eje menor ligeramente superior a 12.
295.


Gráfico de una circunferencia con centro cercano a (0, -1,5) y radio cercano a 2,5.
297.


Gráfico de una circunferencia con centro (0, -0,5) y radio 1.
299.


Gráfico de una elipse con centro el origen y con eje mayor vertical de longitud 8 y eje menor de longitud 4.
301.


Gráfico de una hipérbola con centro en el origen y con las dos mitades abiertas hacia la izquierda y hacia la derecha. Los vértices están en el eje x en ±2.
303.


Gráfico de una parábola con vértice en el origen y abierta hacia arriba.
305.


Gráfico de una parábola con vértice en el origen y abierta hacia la derecha.
307.

Hipérbola

309.

Elipse

311.

Elipse

313.

En el punto 2,25 pies por encima del vértice.

315.

0,5625 pies

317.

La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26,53 pies.

319.

r = 2,616 1 + 0,995 cos θ r = 2,616 1 + 0,995 cos θ

321.

r = 5,192 1 + 0,0484 cos θ r = 5,192 1 + 0,0484 cos θ

Ejercicios de repaso

323.

Verdadero.

325.

Falso. Imagine y=t+1,y=t+1, x=t+1.x=t+1.

327.


Gráfico de una curva que comienza en (1, 0) y es decreciente en el cuarto cuadrante.


y=1x3y=1x3

329.


Gráfico de una elipse con centro (0, 1), eje mayor horizontal de longitud 8 y eje menor de longitud 2.


x2 16+(y1)2 =1x2 16+(y1)2 =1

331.


Gráfico de una rosa de cinco pétalos con pétalo inicial en θ = 0.


Simetría alrededor del eje polar

333.

r 2 = 4 sen 2 θ cos 2 θ r 2 = 4 sen 2 θ cos 2 θ

335.


Gráfico de una figura con forma de cacahuete, con intercepciones de y en ±2 y de x en ±4. La línea tangente se encuentra en el segundo cuadrante.


y=32 2 +15(x+32 2 )y=32 2 +15(x+32 2 )

337.

e 2 2 e 2 2

339.

9 10 9 10

341.

( y + 5 ) 2 = −8 x + 32 ( y + 5 ) 2 = −8 x + 32

343.

( y + 1 ) 2 16 ( x + 2 ) 2 9 = 1 ( y + 1 ) 2 16 ( x + 2 ) 2 9 = 1

345.

e=2 3,e=2 3, elipse

Gráfico de una elipse con centro cercano a (1,5, 0), eje mayor horizontal de casi 5 y eje menor de casi 4.
347.

y2 19,032 +x2 19,632 =1,y2 19,032 +x2 19,632 =1, e=0,2447e=0,2447

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