Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.5.1 Identificar la ecuación de una parábola en forma estándar con foco y directriz dados.
1.5.2 Identificar la ecuación de una elipse en forma estándar con focos dados.
1.5.3 Identificar la ecuación de una hipérbola en forma estándar con focos dados.
1.5.4 Reconocer una parábola, elipse o hipérbola a partir de su valor de excentricidad.
1.5.5 Escribir la ecuación polar de una sección cónica con excentricidad $e$ .
1.5.6 Identificar cuándo una ecuación general de grado dos es una parábola, una elipse o una hipérbola.

Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos y se consideraban un concepto matemático importante. Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menecmo, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas. Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura. En esta sección discutimos las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones.

Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse mediante la intersección de un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica denominadas hojas. Una hoja es lo que la mayoría de la gente entiende por "cono", con forma de sombrero de fiesta. Se puede generar un cono circular recto haciendo girar una línea que pasa por el origen alrededor del eje y, como se muestra.

Se dibuja la línea y = 3x, y luego se gira alrededor del eje y para crear dos hojas, es decir, un cono que está tanto por encima como por debajo del eje x.

Figura 1.43 Un cono generado al girar la línea

y = 3 x

alrededor del eje

y

.

Las secciones cónicas se generan mediante la intersección de un plano con un cono (Figura 1.44). Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y), la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generatriz, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano interseca una hoja en un ángulo con el eje (que no sea $90 °),$ entonces la sección cónica es una elipse.

Esta imagen tiene tres figuras. La primera figura muestra un cono liso con dos hojas. La segunda figura muestra un cono con un plano que pasa por una hoja y el círculo en la parte superior, lo que crea una parábola. También hay un círculo, que se produce cuando un plano interseca una de las hojas siendo paralelo a las bases circulares. También hay una elipse, que se produce cuando un plano interseca una de las hojas mientras no es paralelo a una de las bases circulares. Observe que el círculo y la elipse están delimitados por los bordes del cono en todos sus lados. La última figura muestra una hipérbola, que se obtiene cuando un plano interseca ambas hojas.

Figura 1.44 Las cuatro secciones cónicas. Cada sección cónica está determinada por el ángulo que forma el plano con el eje del cono.

Parábolas

Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora. En este caso, el plano interseca solo una de las hojas. Una parábola también puede definirse en términos de distancias.

Definición

Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es igual a la distancia a una línea fija, llamada directriz. El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice de la parábola.

El gráfico de una parábola típica aparece en la Figura 1.45. Utilizando este diagrama junto con la fórmula de la distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola. Recordemos la fórmula de la distancia: Dado un punto P con coordenadas $(x_{1}, y_{1})$ y el punto Q con coordenadas $(x_{2}, y_{2}),$ la distancia entre ellos está dada por la fórmula

d (P, Q) = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} .

Entonces, a partir de la definición de parábola y de la Figura 1.45, obtenemos

\begin{matrix} d (F, P) & = & d (P, Q) \\ \sqrt{{(0 - x)}^{2} + {(p - y)}^{2}} & = & \sqrt{{(x - x)}^{2} + {(− p - y)}^{2}} . \end{matrix}

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando se obtiene

\begin{matrix} x^{2} + {(p - y)}^{2} & = & 0^{2} + {(− p - y)}^{2} \\ x^{2} + p^{2} - 2 p y + y^{2} & = & p^{2} + 2 p y + y^{2} \\ x^{2} - 2 p y & = & 2 p y \\ x^{2} & = & 4 p y . \end{matrix}

Se dibuja una parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba. Se dibuja un foco como F en (0, p). En la línea se marca un punto P en las coordenadas (x, y), y la distancia del foco a P se marca como d. Se dibuja una línea marcada como la directriz, y esto es y = – p. La distancia de P a la directriz en (x, –p) se marca como d.

Figura 1.45 Una parábola típica en la que la distancia del foco al vértice está representada por la variable

p .

Ahora supongamos que queremos reubicar el vértice. Utilizamos las variables $(h, k)$ para denotar las coordenadas del vértice. Entonces, si el foco está directamente sobre el vértice, tiene coordenadas $(h, k + p)$ y la directriz tiene la ecuación $y = k - p .$ Si se realiza la misma derivación se obtiene la fórmula ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$ Resolviendo esta ecuación para y se llega al siguiente teorema.

Teorema 1.8

Ecuaciones de las parábolas

Dada una parábola que se abre hacia arriba con el vértice situado en $(h, k)$ y foco situado en $(h, k + p),$ donde p es una constante, la ecuación de la parábola está dada por

y = \frac{1}{4 p} {(x - h)}^{2} + k .

(1.11)

Esta es la forma estándar de una parábola.

También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha. La ecuación para cada uno de estos casos también puede escribirse en forma estándar como se muestra en los siguientes gráficos.

Esta figura tiene cuatro figuras, cada una de las cuales es una parábola orientada de forma diferente. En la primera figura se dibuja una parábola que se abre con ecuación y = (1/(4p))(x - h)2 + k. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h, k + p) la directriz se dibuja como y = k – p. En la segunda figura, se dibuja una parábola que se abre hacia abajo con ecuación y = –(1/(4p))(x – h)2 + k. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h, k – p) y la directriz se dibuja como y = k + p. En la tercera figura, se dibuja una parábola que se abre hacia la derecha con ecuación x = (1/(4p))(y – k)2 + h. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h + p, k) y la directriz se dibuja como x = h – p. En la cuarta figura, se dibuja una parábola abriendo hacia la izquierda con ecuación x = –(1/(4p))(y – k)2 + h. El vértice se da como (h, k), el foco se dibuja en (h – p, k) y la directriz se dibuja como x = h + p.

Figura 1.46 Cuatro parábolas, que se abren en varias direcciones, junto con sus ecuaciones en forma estándar.

Además, la ecuación de una parábola puede escribirse en la forma general, aunque en esta forma los valores de h, k y p no son inmediatamente reconocibles. La forma general de una parábola se escribe como

a x^{2} + b x + c y + d = 0 o a y^{2} + b x + c y + d = 0 .

La primera ecuación representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. La segunda ecuación representa una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Para poner la ecuación en forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

Ejemplo 1.19

Conversión de la ecuación de una parábola de la forma general a la forma estándar

Escriba la ecuación $x^{2} - 4 x - 8 y + 12 = 0$ en forma estándar y grafique la parábola resultante.

Solución

Como y no está elevada al cuadrado en esta ecuación, sabemos que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, tenemos que resolver esta ecuación para y, lo que pondrá la ecuación en forma estándar. Para ello, sume primero $8 y$ a ambos lados de la ecuación:

8 y = x^{2} - 4 x + 12 .

El siguiente paso es completar el cuadrado del lado derecho. Empiece por agrupar los dos primeros términos del lado derecho utilizando paréntesis:

8 y = (x^{2} - 4 x) + 12 .

A continuación, determine la constante que, sumada dentro del paréntesis, hace que la cantidad dentro del paréntesis sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, se toma la mitad del coeficiente de x y se eleva al cuadrado. Esto da ${(\frac{−4}{2})}^{2} = 4 .$ Sume 4 dentro del paréntesis y reste 4 fuera del paréntesis, por lo que el valor de la ecuación no cambia:

8 y = (x^{2} - 4 x + 4) + 12 - 4 .

Ahora combine los términos semejantes y factorice la cantidad dentro del paréntesis:

8 y = {(x - 2)}^{2} + 8 .

Por último, divida entre 8:

y = \frac{1}{8} {(x - 2)}^{2} + 1 .

Esta ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la Ecuación 1.11 se obtiene $h = 2,$ $k = 1,$ y $p = 2 .$ La parábola se abre, con vértice en $(2, 1),$ foco en $(2, 3),$ y directriz $y = −1 .$ El gráfico de esta parábola es el siguiente.

Se dibuja una parábola con vértice en (2, 1) y que se abre con ecuación x2 - 4x - 8y + 12 = 0. El foco se dibuja en (1, 3). La directriz se dibuja en y = - 1.

Figura 1.47 La parábola en el Ejemplo 1.19.

Punto de control 1.18

Escriba la ecuación $2 y^{2} - x + 12 y + 16 = 0$ en forma estándar y grafique la parábola resultante.

El eje de simetría de una parábola vertical (que se abre hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice. La parábola tiene una propiedad interesante de reflexión. Supongamos que tenemos una antena parabólica con una sección transversal parabólica. Si un haz de ondas electromagnéticas, como la luz o las ondas de radio, llega a la antena parabólica en línea recta desde un satélite (paralelo al eje de simetría), las ondas se reflejan en la antena y se acumulan en el foco de la parábola, como se muestra.

Se dibuja una parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba. Se trazan dos líneas paralelas que golpean la parábola y se reflejan en el foco.

Consideremos una antena parabólica diseñada para recoger las señales de un satélite en el espacio. La antena parabólica se orienta directamente hacia el satélite y un receptor se sitúa en el foco de la parábola. Las ondas de radio procedentes del satélite se reflejan en la superficie de la parábola hasta el receptor, que recoge y descodifica las señales digitales. Esto permite que un pequeño receptor recoja señales de un ángulo amplio del cielo. Las linternas y los faros de los automóviles funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de luz (es decir, la bombilla) está situada en el foco y la superficie reflectante del espejo parabólico enfoca el haz de luz hacia delante. Esto permite que una pequeña bombilla ilumine un ángulo amplio de espacio delante de la linterna o del automóvil.

Elipses

Una elipse también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices. Más adelante veremos las directrices con más detalle.

Definición

Una elipse es el conjunto de todos los puntos para los que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.

Se dibuja una elipse con centro en el origen O, siendo el punto focal F' (-c, 0) y el punto focal F (c, 0). La elipse tiene los puntos P y P' en el eje x y los puntos Q y Q' en el eje y. Hay líneas trazadas de F' a Q y de F a Q. También hay líneas trazadas de F' y F a un punto A de la elipse marcado como (x, y). La distancia de O a Q y de O a Q' está marcada como b, y la distancia de P a O y de O a P' está marcada como a.

Figura 1.48 Una elipse típica en la que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante.

El gráfico de una elipse típica se muestra en la Figura 1.48. En esta figura los focos están marcados como $F$ y $F^{'} .$ Ambas están a la misma distancia fija del origen, y esta distancia se representa con la variable c. Por lo tanto, las coordenadas de $F$ son $(c, 0)$ y las coordenadas de $F^{'}$ son $(− c, 0) .$ Los puntos $P$ y $P^{'}$ están situados en los extremos del eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas $(a, 0)$ y $(− a, 0),$ respectivamente. El eje mayor es siempre la distancia más larga de la elipse y puede ser horizontal o vertical. Por tanto, la longitud del eje mayor de esta elipse es 2a. Además, $P$ y $P^{'}$ se llaman los vértices de la elipse. Los puntos $Q$ y $Q^{'}$ están situados en los extremos del eje menor de la elipse, y tienen coordenadas $(0, b)$ y $(0, − b),$ respectivamente. El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse. El eje menor es perpendicular al eje mayor.

Según la definición de la elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias de este punto a los dos focos es constante. Supongamos que elegimos el punto P. Como las coordenadas del punto P son $(a, 0),$ la suma de las distancias es

d (P, F) + d (P, F^{'}) = (a - c) + (a + c) = 2 a .

Por tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas $(x, y)$ también es igual a 2a. Utilizando la fórmula de la distancia, obtenemos

\begin{matrix} d (A, F) + d (A, F^{'}) & = & 2 a \\ \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a . \end{matrix}

Reste el segundo radical de ambos lados y eleve al cuadrado ambos lados:

\begin{matrix} \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a - \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \\ {(x - c)}^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + {(x + c)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} \\ − 2 c x & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x . \end{matrix}

Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado:

\begin{matrix} - 2 c x & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x \\ 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & 4 a^{2} + 4 c x \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & a + \frac{c x}{a} \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho:

\begin{matrix} x^{2} - \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} \\ \frac{(a^{2} - c^{2}) x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} . \end{matrix}

Divida ambos lados entre $a^{2} - c^{2} .$ Esto da la ecuación

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 .

Si volvemos a la Figura 1.48, entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de la línea verde es igual a a. Esto es cierto porque la suma de las distancias del punto Q a los focos $F y F^{'}$ es igual a 2a, y las longitudes de estos dos segmentos de línea son iguales. Este segmento de línea forma un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa a y longitudes de catetos b y c. A partir del teorema de Pitágoras, $a^{2} = b^{2} = c^{2}$ y $b^{2} + a^{2} - c^{2} .$ Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Por último, si el centro de la elipse se desplaza del origen a un punto $(h, k),$ tenemos la siguiente forma estándar de una elipse.

Teorema 1.9

Ecuación de una elipse en forma estándar

Consideremos la elipse con centro $(h, k),$ un eje mayor horizontal de longitud 2a y un eje menor vertical de longitud 2b. Entonces la ecuación de esta elipse en forma estándar es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

(1.12)

y los focos se encuentran en $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Las ecuaciones de las directrices son $x = h \pm \frac{a^{2}}{c} .$

Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la elipse se convierte en

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

(1.13)

y los focos se encuentran en $(h, k \pm c),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Las ecuaciones de las directrices en este caso son $y = k \pm \frac{a^{2}}{c} .$

Si el eje mayor es horizontal, la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la elipse se llama vertical. La ecuación de una elipse está en forma general si tiene la forma $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0,$ donde A y B son ambos positivos o ambos negativos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

Ejemplo 1.20

Hallar la forma estándar de una elipse

Escriba la ecuación $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 24 y + 36 = 0$ en forma estándar y grafique la elipse resultante.

Solución

Primero reste 36 a ambos lados de la ecuación:

9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 24 y = –36 .

A continuación, agrupe los términos x y los términos y y factorice los factores comunes:

\begin{matrix} (9 x^{2} - 36 x) + (4 y^{2} + 24 y) & = & −36 \\ 9 (x^{2} - 4 x) + 4 (y^{2} + 6 y) & = & −36. \end{matrix}

Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ${(\frac{−4}{2})}^{2} = 4 .$ En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ${(\frac{6}{2})}^{2} = 9 .$ Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, sumamos 36 al segundo conjunto también. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

\begin{matrix} 9 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 (y^{2} + 6 y + 9) = −36 + 36 + 36 \\ 9 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 (y^{2} + 6 y + 9) = 36. \end{matrix}

Ahora factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 36:

\begin{matrix} 9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 3)}^{2} & = & 36 \\ \frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} & = & 1 \\ \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} & = & 1 \end{matrix}

La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la Ecuación 1.14 se obtiene $h = 2,$ $k = −3,$ $a = 3,$ y $b = 2 .$ Se trata de una elipse vertical con centro en $(2, −3),$ eje mayor 6 y eje menor 4. El gráfico de esta elipse es el siguiente.

Se dibuja una elipse con ecuación 9x2 + 4y2 - 36x + 24y + 36 = 0. Tiene centro en (2, -3), toca el eje x en (2, 0) y toca el eje y en (0, -3).

Figura 1.49 La elipse en el Ejemplo 1.20.

Punto de control 1.19

Escriba la ecuación $9 x^{2} + 16 y^{2} + 18 x - 64 y - 71 = 0$ en forma estándar y grafique la elipse resultante.

Según la primera ley de Kepler del movimiento planetario, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos, como se muestra en la Figura 1.50(a). Como la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año. Una idea errónea muy extendida es que la Tierra está más cerca del Sol en verano. De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno. La diferencia de estación se debe a la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital. Los cometas que orbitan alrededor del Sol, como el cometa Halley, también tienen órbitas elípticas, al igual que las lunas que orbitan los planetas y los satélites que orbitan la Tierra.

Las elipses también tienen propiedades interesantes de reflexión: Un rayo de luz que emana de un foco pasa por el otro foco después de la reflexión del espejo en la elipse. Lo mismo ocurre con una onda sonora. La Sala Nacional de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos en Washington, DC, es una famosa sala de forma elíptica, como se muestra en la Figura 1.50(b). Esta sala sirvió como lugar de reunión de la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años. La ubicación de los dos focos de esta sala semielíptica están claramente identificados por marcas en el suelo, e incluso si la sala está llena de visitantes, cuando dos personas se sitúan en estos puntos y hablan entre sí, pueden oírse mutuamente con mucha más claridad de la que pueden oír a alguien que esté cerca. Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio situado en uno de los focos y podía escuchar a todos los demás en la Cámara sin necesidad de ponerse de pie. Aunque es una buena historia, es poco probable que sea cierta, porque el techo original producía tanto eco que hubo que poner alfombras en toda la sala para amortiguar el ruido. El techo fue reconstruido en 1902 y solo entonces surgió el ahora famoso efecto de susurro. Otro famoso gabinete de secretos, sitio de muchas propuestas de matrimonio, se encuentra en la estación Grand Central de Nueva York.

Hay dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se dibuja la Tierra orbitando alrededor del Sol, con enero y julio marcados. La distancia del Sol a la Tierra marcada en enero es de 147 millones de km, mientras que la distancia del Sol a la Tierra marcada en julio es de 152 millones de millas. En la figura b, se muestra una habitación con paredes curvas.

Figura 1.50 (a) La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de sus focos. (b) La Sala de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos es una galería de secretos con una sección transversal elíptica.

Hipérbolas

Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

Definición

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en los que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.

El gráfico de una hipérbola típica es la siguiente.

Se dibuja una hipérbola con centro en el origen. Los vértices están en (a, 0) y (–a, 0); los focos están marcados como F1 y F2 y están en (c, 0) y (–c, 0). Se dibujan las asíntotas y se trazan líneas desde los vértices hasta las asíntotas; las intersecciones de estas líneas se conectan mediante otras líneas para formar un rectángulo; el eje más corto se llama eje conjugado y el eje mayor se llama eje transversal. La distancia del eje x a cualquiera de las líneas que forman el rectángulo es b.

Figura 1.51 Una hipérbola típica en la que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El eje transversal también se llama eje mayor, y el eje conjugado también se llama eje menor.

La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse. Un pequeño inconveniente radica en la definición: La diferencia entre dos números es siempre positiva. Supongamos que P es un punto de la hipérbola con coordenadas $(x, y) .$ Entonces la definición de la hipérbola da $| d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) | = constante .$ Para simplificar la derivación, se supone que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto se eliminan. Si está en la rama izquierda, la resta se invierte. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas $(a, 0),$ así que

d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) = (c + a) - (c - a) = 2 a .

Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas $(x, y)$ para P:

\begin{matrix} d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) & = & 2 a \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a . \end{matrix}

Sume el segundo radical de ambos lados y eleve ambos lados al cuadrado:

\begin{matrix} \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a + \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \\ {(x - c)}^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + {(x + c)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} \\ − 2 c x & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x . \end{matrix}

Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado:

\begin{matrix} - 2 c x & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x \\ 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & −4 a^{2} - 4 c x \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & − a - \frac{c x}{a} \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho:

\begin{matrix} x^{2} - \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} \\ \frac{(a^{2} - c^{2}) x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} . \end{matrix}

Finalmente, divida ambos lados entre $a^{2} - c^{2} .$ Esto da la ecuación

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 .

Ahora definimos b de manera que $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ Esto es posible porque $c > a .$ Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Por último, si el centro de la hipérbola se desplaza del origen al punto $(h, k),$ tenemos la siguiente forma estándar de una hipérbola.

Teorema 1.10

Ecuación de una hipérbola en forma estándar

Consideremos la hipérbola con centro $(h, k),$ un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta elipse es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

(1.14)

y los focos se encuentran en $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por $y = k \pm \frac{b}{a} (x - h) .$ Las ecuaciones de las directrices son

x = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = h \pm \frac{a^{2}}{c} .

Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la hipérbola se convierte en

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

(1.15)

y los focos se encuentran en $(h, k \pm c),$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por $y = k \pm \frac{a}{b} (x - h) .$ Las ecuaciones de las directrices son

y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = k \pm \frac{a^{2}}{c} .

Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la hipérbola se llama vertical. La ecuación de una hipérbola está en forma general si tiene la forma $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0,$ donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado.

Ejemplo 1.21

Hallar la forma estándar de una hipérbola

Escriba la ecuación $9 x^{2} - 16 y^{2} + 36 x + 32 y - 124 = 0$ en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

Solución

Primero sume 124 a ambos lados de la ecuación:

9 x^{2} - 16 y^{2} + 36 x + 32 y = 124 .

A continuación, agrupe los términos x y los términos y y luego factorice los factores comunes:

\begin{matrix} (9 x^{2} + 36 x) - (16 y^{2} - 32 y) & = & 124 \\ 9 (x^{2} + 4 x) - 16 (y^{2} - 2 y) & = & 124. \end{matrix}

Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ${(\frac{4}{2})}^{2} = 4 .$ En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ${(\frac{−2}{2})}^{2} = 1 .$ Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, restamos 16 al segundo conjunto de paréntesis. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

\begin{matrix} 9 (x^{2} + 4 x + 4) - 16 (y^{2} - 2 y + 1) = 124 + 36 - 16 \\ 9 (x^{2} + 4 x + 4) - 16 (y^{2} - 2 y + 1) = 144. \end{matrix}

A continuación, factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 144:

\begin{matrix} 9 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 1)}^{2} & = & 144 \\ \frac{9 {(x + 2)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} & = & 1 \\ \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} & = & 1 \end{matrix}

La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la Ecuación 1.15 se obtiene $h = –2,$ $k = 1,$ $a = 4,$ y $b = 3 .$ Se trata de una hipérbola horizontal con centro en $(–2, 1)$ y las asíntotas dadas por las ecuaciones $y = 1 \pm \frac{3}{4} (x + 2) .$ El gráfico de esta hipérbola aparece en la siguiente figura.

Se dibuja una hipérbola con ecuación 9x2 - 16y2 + 36x + 32y - 124 = 0. Tiene centro en (-2, 1) y las hipérbolas están abiertas hacia la izquierda y a la derecha.

Figura 1.52 Gráfico de la hipérbola en el Ejemplo 1.21.

Punto de control 1.20

Escriba la ecuación $4 y^{2} - 9 x^{2} + 16 y + 18 x - 29 = 0$ en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

Las hipérbolas también tienen propiedades interesantes de reflexión. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la siguiente figura.

Se dibuja una hipérbola abierta hacia la derecha y hacia la izquierda. Hay un rayo que apunta a un punto de la hipérbola derecha marcado como "luz de la estrella". Golpea una "superficie espejo" y rebota hacia el foco del otro lado de la hipérbola. Hay una línea discontinua desde donde el punto choca con la superficie del espejo hasta el foco en ese lado de la hipérbola.

Figura 1.53 Un espejo hiperbólico utilizado para recoger la luz de las estrellas lejanas.

Esta propiedad de la hipérbola tiene aplicaciones importantes. Se utiliza en la radiogoniometría (ya que la diferencia de las señales de dos torres es constante a lo largo de las hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de los telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico hacia el ocular). Otro hecho interesante sobre las hipérbolas es que para un cometa que entra en el sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar de la atracción gravitatoria del Sol, entonces la trayectoria que toma el cometa a su paso por el sistema solar es hiperbólica.

Excentricidad y directriz

Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de forma única esa sección cónica.

Definición

La excentricidad e de una sección cónica se define como la distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana. Este valor es constante para cualquier sección cónica, y puede definir también la sección cónica:

Si $e = 1,$ la sección cónica es una parábola.
Si $e < 1,$ es una elipse.
Si $e > 1,$ es una hipérbola.

La excentricidad de un círculo es cero. La directriz de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica. Las hipérbolas y las elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas. Las parábolas tienen un foco y una directriz.

Las tres secciones cónicas con sus directrices aparecen en la siguiente figura.

Esta imagen tiene tres figuras. La primera es una elipse, con centro en el origen, focos en (c, 0) y (-c, 0), la mitad de su altura vertical es b, la mitad de su longitud horizontal es a y directriz es x = ±a2/c. La segunda es una parábola con vértice en el origen, foco (c, 0) y directriz x = -a. La tercera es una hipérbola con centro en el origen, focos en (c, 0) y (-c, 0), vértices en (a, 0) y (-a, 0) y vértices en x = ±a2/c.

Figura 1.54 Las tres secciones cónicas con sus focos y directrices.

Recordemos de la definición de parábola que la distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1. Las ecuaciones de las directrices de una elipse horizontal son $x = ± \frac{a^{2}}{c} .$ El vértice derecho de la elipse se encuentra en $(a, 0)$ y el foco derecho es $(c, 0) .$ Por tanto, la distancia del vértice al foco es $a - c$ y la distancia del vértice a la directriz derecha es $\frac{a^{2}}{c} - a .$ Esto da la excentricidad como

e = \frac{a - c}{\frac{a^{2}}{c} - a} = \frac{c (a - c)}{a^{2} - a c} = \frac{c (a - c)}{a (a - c)} = \frac{c}{a} .

Dado que $c < a,$ este paso demuestra que la excentricidad de una elipse es menor que 1. Las directrices de una hipérbola horizontal también se encuentran en $x = ± \frac{a^{2}}{c},$ y un cálculo similar muestra que la excentricidad de una hipérbola es también $e = \frac{c}{a} .$ Sin embargo, en este caso tenemos $c > a,$ por lo que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.

Ejemplo 1.22

Determinación de la excentricidad de una sección cónica

Determine la excentricidad de la elipse descrita por la ecuación

\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{25} = 1 .

Solución

De la ecuación vemos que $a = 5$ y $b = 4 .$ El valor de c puede calcularse mediante la ecuación $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ para una elipse. Sustituyendo los valores de a y b y resolviendo para c se obtiene $c = 3 .$ Por lo tanto la excentricidad de la elipse es $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0,6 .$

Punto de control 1.21

Determine la excentricidad de la hipérbola descrita por la ecuación

\frac{{(y - 3)}^{2}}{49} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{25} = 1 .

Ecuaciones polares de secciones cónicas

A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica p se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), c es la distancia del origen al foco y e es la excentricidad. En el caso de una parábola, a representa la distancia del vértice al foco.

Sección cónica	e	p
Elipse	$0 < e < 1$	$\frac{a^{2} - c^{2}}{c} = \frac{a^{2} (1 - e^{2})}{e}$
Parábola	$e = 1$	$2 a$
Hipérbola	$e > 1$	$\frac{c^{2} - a^{2}}{c} = \frac{a (e^{2} - 1)}{e}$

Tabla 1.1 Excentricidades y parámetros focales de las secciones cónicas

Utilizando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, suponemos que uno de los focos de una sección cónica dada se encuentra en el polo. Entonces, utilizando la definición de las distintas secciones cónicas en términos de distancias, es posible demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1.11

Ecuación polar de las secciones cónicas

La ecuación polar de una sección cónica con parámetro focal p está dada por

r = \frac{e p}{1 \pm e cos θ} o r = \frac{e p}{1 \pm e sen θ} .

En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero hay que hacer que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción entre la constante que aparece delante del más o del menos en el denominador. Entonces el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la sección cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la sección cónica es horizontal. Si aparece el seno, entonces la sección cónica es vertical. Si aparecen ambos, los ejes se giran. El centro de sección cónica no está necesariamente en el origen. El centro está en el origen solo si la sección cónica es un círculo (es decir, $e = 0) .$

Ejemplo 1.23

Graficar una sección cónica en coordenadas polares

Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación

r = \frac{3}{1 + 2 cos θ} .

Solución

El término constante en el denominador es 1, por lo que la excentricidad de la sección cónica es 2. Esto es una hipérbola. El parámetro focal p puede calcularse mediante la ecuación $e p = 3 .$ Dado que $e = 2,$ esto da $p = \frac{3}{2} .$ La función coseno aparece en el denominador, por lo que la hipérbola es horizontal. Elija algunos valores para $θ$ y cree una tabla de valores. Entonces podemos graficar la hipérbola (Figura 1.55).

$θ$	$r$	$θ$	$r$
0	1	$π$	−3
$\frac{π}{4}$	$\frac{3}{1 + \sqrt{2}} \approx 1,2426$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{3}{1 - \sqrt{2}} \approx –7,2426$
$\frac{π}{2}$	3	$\frac{3 π}{2}$	3
$\frac{3 π}{4}$	$\frac{3}{1 - \sqrt{2}} \approx –7,2426$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{3}{1 + \sqrt{2}} \approx 1,2426$

Gráfico de una hipérbola con ecuación r = 3/(1 + 2 cosθ), centro en (2, 0) y vértices en (1, 0) y (3, 0).

Figura 1.55 Gráfico de la hipérbola descrita en el Ejemplo 1.23.

Punto de control 1.22

Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación

r = \frac{4}{1 - 0,8 sen θ} .

Ecuaciones generales de grado dos

Una ecuación general de grado dos puede escribirse de la forma

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .

El gráfico de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si $B \neq 0$ entonces los ejes de coordenadas se giran. Para identificar la sección cónica, utilizamos el discriminante de la sección cónica $4 A C - B^{2} .$ Uno de los siguientes casos debe ser cierto:

$4 A C - B^{2} > 0 .$ Si es así, el gráfico es una elipse.
$4 A C - B^{2} = 0 .$ Si es así, el gráfico es una parábola.
$4 A C - B^{2} < 0 .$ Si es así, el gráfico es una hipérbola.

El ejemplo más sencillo de una ecuación de segundo grado que incluye un término cruzado es $x y = 1 .$ Esta ecuación puede ser resuelta para y para obtener $y = \frac{1}{x} .$ El gráfico de esta función se llama hipérbola rectangular, como se muestra.

Gráfico de xy = 1, que tiene asíntotas en los ejes x y y. Esta hipérbola está relegada a los cuadrantes primero y tercero, y el gráfico también tiene líneas discontinuas rojas a lo largo de y = x y y = –x.

Figura 1.56 Gráfico de la ecuación

x y = 1;

Las líneas rojas indican los ejes girados.

Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes de coordenadas x y y. Para determinar el ángulo $θ$ de rotación de la sección cónica, utilizamos la fórmula $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$ En este caso $A = C = 0$ y $B = 1,$ así que $cot 2 θ = (0 - 0) / 1 = 0$ y $θ = 45 ° .$ El método para graficar una sección cónica con ejes rotados implica determinar los coeficientes de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado. Los nuevos coeficientes se marcan como $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, y F^{'},$ y están dados por las fórmulas

\begin{matrix} A^{'} & = & A {cos}^{2} θ + B cos θ sen θ + C {sen}^{2} θ \\ B^{'} & = & 0 \\ C^{'} & = & A {sen}^{2} θ - B sen θ cos θ + C {cos}^{2} θ \\ D^{'} & = & D cos θ + E sen θ \\ E^{'} & = & − D sen θ + E cos θ \\ F^{'} & = & F . \end{matrix}

El procedimiento para graficar una sección cónica girada es el siguiente:

Identifique la sección cónica utilizando el discriminante $4 A C - B^{2} .$
Determine $θ$ utilizando la fórmula $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$
Calcule $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, y F^{'} .$
Reescriba la ecuación original utilizando $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, y F^{'} .$
Dibuje un gráfico utilizando la ecuación girada.

Ejemplo 1.24

Identificación de una sección cónica girada

Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} - 256 = 0 .

Solución

En esta ecuación, $A = 13, B = –6 \sqrt{3}, C = 7, D = 0, E = 0,$ y $F = –256 .$ El discriminante de esta ecuación es $4 A C - B^{2} = 4 (13) (7) - {(−6 \sqrt{3})}^{2} = 364 - 108 = 256 .$ Por lo tanto esta sección cónica es una elipse. Para calcular el ángulo de rotación de los ejes, utilice $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$ Esto da

\begin{matrix} cot 2 θ & = \frac{A - C}{B} \\ = \frac{13 - 7}{−6 \sqrt{3}} \\ = - \frac{\sqrt{3}}{3} . \end{matrix}

Por lo tanto, $2 θ = 120^{o}$ y $θ = 60^{o},$ que es el ángulo de rotación de los ejes.

Para determinar los coeficientes rotados, utilice las fórmulas indicadas anteriormente:

\begin{matrix} A^{'} & = & A {cos}^{2} θ + B cos θ sen θ + C {sen}^{2} θ \\ = & 13 {cos}^{2} 60 + (−6 \sqrt{3}) cos 60 sen 60 + 7 {sen}^{2} 60 \\ = & 13 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 \sqrt{3} (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \\ = & 4, \\ B^{'} & = & 0, \\ C^{'} & = & A {sen}^{2} θ - B sen θ cos θ + C {cos}^{2} θ \\ = & 13 {sen}^{2} 60 + (−6 \sqrt{3}) sen 60 cos 60 = 7 {cos}^{2} 60 \\ = & {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{1}{2}) + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} \\ = & 16, \\ D^{'} & = & D cos θ + E sen θ \\ = & (0) cos 60 + (0) sen 60 \\ = & 0, \\ E^{'} & = & − D sen θ + E cos θ \\ = & − (0) sen 60 + (0) cos 60 \\ = & 0, \\ F^{'} & = & F \\ = & –256. \end{matrix}

La ecuación de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado es

\begin{matrix} 4 {(x^{'})}^{2} + 16 {(y^{'})}^{2} & = & 256 \\ \frac{{(x^{'})}^{2}}{64} + \frac{{(y^{'})}^{2}}{16} & = & 1 \end{matrix}

Un gráfico de esta sección cónica es el siguiente.

Gráfico de una elipse con ecuación 13x2 - 6 veces la raíz cuadrada de 3 veces xy + 7y2 - 256 = 0. El centro está en el origen y la elipse parece estar sesgada 60 grados. Hay líneas rojas discontinuas a lo largo de los ejes mayor y menor.

Figura 1.57 Gráfico de la elipse descrita por la ecuación

13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} - 256 = 0 .

Los ejes se rotan

60 ° .

Las líneas rojas discontinuas indican los ejes rotados.

Punto de control 1.23

Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

3 x^{2} + 5 x y - 2 y^{2} - 125 = 0 .

Sección 1.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

255.

Foco $(4, 0)$ y directriz $x = –4$

256.

Foco $(0, −3)$ y directriz $y = 3$

257.

Foco $(0, 0,5)$ y directriz $y = −0,5$

258.

Foco $(2, 3)$ y directriz $x = –2$

259.

Foco $(0, 2)$ y directriz $y = 4$

260.

Foco $(–1, 4)$ y directriz $x = 5$

261.

Foco $(−3, 5)$ y directriz $y = 1$

262.

Foco $(\frac{5}{2}, –4)$ y directriz $x = \frac{7}{2}$

En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la elipse utilizando la información dada.

263.

Puntos finales del eje mayor en $(4, 0), (−4, 0)$ y focos situados en $(2, 0), (–2, 0)$ grandes.

264.

Puntos finales del eje mayor en $(0, 5), (0, −5)$ y focos situados en $(0, 3), (0, −3)$

265.

Puntos finales del eje menor en $(0, 2), (0, –2)$ y focos situados en $(3, 0), (−3, 0)$ grandes.

266.

Puntos finales del eje mayor en $(−3, 3), (7, 3)$ y focos situados en $(–2, 3), (6, 3)$

267.

Puntos finales del eje mayor en $(−3, 5), (−3, −3)$ y focos situados en $(−3, 3), (−3, –1)$ grandes.

268.

Puntos finales del eje mayor en $(0, 0), (0, 4)$ y focos situados en $(5, 2), (−5, 2)$

269.

Focos situados en $(2, 0), (–2, 0)$ y excentricidad de $\frac{1}{2}$

270.

Focos situados en $(0, −3), (0, 3)$ y excentricidad de $\frac{3}{4}$

En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada.

271.

Vértices situados en $(5, 0), (−5, 0)$ y focos situados en $(6, 0), (–6, 0)$ grandes.

272.

Vértices situados en $(0, 2), (0, –2)$ y focos situados en $(0, 3), (0, −3)$

273.

Puntos finales del eje conjugado situados en $(0, 3), (0, −3)$ y focos situados en $(4, 0), (−4, 0)$ grandes.

274.

Vértices situados en $(0, 1), (6, 1)$ y foco situado en $(8, 1)$

275.

Vértices situados en $(–2, 0), (–2, –4)$ y foco situado en $(–2, −8)$ grandes.

276.

Puntos finales del eje conjugado situados en $(3, 2), (3, 4)$ y foco situado en $(3, 7)$

277.

Focos situados en $(6, –0), (6, 0)$ y excentricidad de 3

278.

$(0, 10), (0, –10)$ y excentricidad de 2,5

En los siguientes ejercicios, considere las siguientes ecuaciones polares de secciones cónicas. Determine la excentricidad e identifique la sección cónica.

279.

$r = \frac{−1}{1 + cos θ}$

280.

$r = \frac{8}{2 - sen θ}$

281.

$r = \frac{5}{2 + sen θ}$

282.

$r = \frac{5}{−1 + 2 sen θ}$

283.

$r = \frac{3}{2 - 6 sen θ}$

284.

$r = \frac{3}{−4 + 3 sen θ}$

En los siguientes ejercicios, halle una ecuación polar de la sección cónica con foco en el origen y excentricidad y directriz dadas.

285.

$Directriz: x = 4; e = \frac{1}{5}$

286.

$Directriz: x = −4; e = 5$

287.

$Directriz: y = 2; e = 2$

288.

$Directriz: y = −2; e = \frac{1}{2}$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada sección cónica.

289.

$r = \frac{1}{1 + sen θ}$

290.

$r = \frac{1}{1 - cos θ}$

291.

$r = \frac{4}{1 + cos θ}$

292.

$r = \frac{10}{5 + 4 sen θ}$

293.

$r = \frac{15}{3 - 2 cos θ}$

294.

$r = \frac{32}{3 + 5 sen θ}$

295.

$r (2 + sen θ) = 4$

296.

$r = \frac{3}{2 + 6 sen θ}$

297.

$r = \frac{3}{−4 + 2 sen θ}$

298.

$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{matrix}$

299.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

300.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

301.

$25 x^{2} - 4 y^{2} = 100$

302.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

303.

$x^{2} = 12 y$

304.

$y^{2} = 20 x$

305.

$12 x = 5 y^{2}$

Para las siguientes ecuaciones, determine cuál de las secciones cónicas se describe.

306.

$x y = 4$

307.

$x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

308.

$x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 3 y^{2} - 6 = 0$

309.

$x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

310.

$34 x^{2} - 24 x y + 41 y^{2} - 25 = 0$

311.

$52 x^{2} - 72 x y + 73 y^{2} + 40 x + 30 y - 75 = 0$

312.

El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por $x^{2} = 4 y .$ ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla?

313.

Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?

314.

Consideremos la antena parabólica del problema anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?

315.

Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad.

316.

Los gabinetes de secretos son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona situada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si un gabinete de secretos tiene una longitud de 120 pies y los focos están situados a 30 pies del centro, halle la altura del techo en el centro.

317.

Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en un gabinete de secretos. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

En los siguientes ejercicios, determine la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se indica en unidades astronómicas (UA).

318.

Cometa Halley: longitud del eje mayor = 35,88, excentricidad = 0,967

319.

Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor = 525,91, excentricidad = 0,995

320.

Marte: longitud del eje mayor = 3,049, excentricidad = 0,0934

321.

Júpiter: longitud del eje mayor = 10,408, excentricidad = 0,0484

1.5 Secciones cónicas

Parábolas

Ecuaciones de las parábolas

Conversión de la ecuación de una parábola de la forma general a la forma estándar

Solución

Elipses

Ecuación de una elipse en forma estándar

Hallar la forma estándar de una elipse

Solución

Hipérbolas

Ecuación de una hipérbola en forma estándar

Hallar la forma estándar de una hipérbola

Solución

Excentricidad y directriz

Determinación de la excentricidad de una sección cónica

Solución

Ecuaciones polares de secciones cónicas

Ecuación polar de las secciones cónicas

Graficar una sección cónica en coordenadas polares

Solución

Ecuaciones generales de grado dos

Identificación de una sección cónica girada

Solución

Sección 1.5 ejercicios