Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

322.

Las coordenadas rectangulares del punto $(4, \frac{5 π}{6})$ son $(2 \sqrt{3}, –2) .$

323.

Las ecuaciones $x = cosh (3 t),$ $y = 2 senoh (3 t)$ representan una hipérbola.

324.

La longitud de arco de la espiral dada por $r = \frac{θ}{2}$ para $0 \leq θ \leq 3 π$ es $\frac{9}{4} π^{3} .$

325.

Dada $x = f (t)$ y de $y = g (t),$ si $\frac{d x}{d y} = \frac{d y}{d x},$ entonces $f (t) = g (t) + C,$ donde C es una constante.

En los siguientes ejercicios, dibuje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva.

326.

$x = 1 + t,$ $y = t^{2} - 1,$ $−1 \leq t \leq 1$

327.

$x = e^{t},$ $y = 1 - e^{3 t},$ $0 \leq t \leq 1$

328.

$x = sen θ,$ $y = 1 - csc θ,$ $0 \leq θ \leq 2 π$

329.

$x = 4 cos ϕ,$ $y = 1 - sen ϕ,$ $0 \leq ϕ \leq 2 π$

En los siguientes ejercicios, dibuje la curva polar y determine qué tipo de simetría existe, si es que existe.

330.

$r = 4 sen (\frac{θ}{3})$ grandes.

331.

$r = 5 cos (5 θ)$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la curva dada como ecuación cartesiana.

332.

$x + y = 5$

333.

$y^{2} = 4 + x^{2}$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafique la función y su línea tangente.

334.

$x = ln (t),$ $y = t^{2} - 1,$ $t = 1$

335.

$r = 3 + cos (2 θ),$ $θ = \frac{3 π}{4}$

336.

Halle $\frac{d y}{d x},$ $\frac{d x}{d y},$ y $\frac{d^{2} x}{d y^{2}}$ de $y = (2 + e^{− t}),$ $x = 1 - sen (t)$

En los siguientes ejercicios, halle el área de la región.

337.

$x = t^{2},$ $y = ln (t),$ $0 \leq t \leq e$

338.

$r = 1 - sen θ$ en el primer cuadrante

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.

339.

$x = 3 t + 4,$ $y = 9 t - 2,$ $0 \leq t \leq 3$

340.

$r = 6 cos θ,$ $0 \leq θ \leq 2 π .$ Compruebe su respuesta utilizando la geometría.

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación cartesiana que describe las formas dadas.

341.

Una parábola con foco $(2, −5)$ y directriz $x = 6$

342.

Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en $(–7, 2)$ y $(1, 2)$

343.

Una hipérbola con vértices en $(3, –2)$ y $(−5, –2)$ y focos en $(–2, –6)$ y $(–2, 4)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, determine la excentricidad e identifique la sección cónica. Dibuje la sección cónica.

344.

$r = \frac{6}{1 + 3 cos (θ)}$ grandes.

345.

$r = \frac{4}{3 - 2 cos θ}$

346.

$r = \frac{7}{5 - 5 cos θ}$

347.

Determine la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es de 39,26 UA y la del eje menor de 38,07 UA. ¿Cuál es la excentricidad?

348.

El cometa C/1980 E1 fue observado en 1980. Dada una excentricidad de 1,057 y un perihelio (punto de máxima aproximación al Sol) de 3,364 UA, halle las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Está garantizado que volveremos a ver este cometa? (Pista: Considere el Sol en el punto $(0, 0) .)$