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Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

1.1 Ecuaciones paramétricas

  • Las ecuaciones paramétricas ofrecen una forma conveniente de describir una curva. Un parámetro puede representar el tiempo o alguna otra cantidad significativa.
  • A menudo es posible eliminar el parámetro en una curva parametrizada para obtener una función o relación que describa esa curva.
  • Siempre hay más de una forma de parametrizar una curva.
  • Las ecuaciones paramétricas pueden describir curvas complicadas que son difíciles o quizás imposibles de describir utilizando coordenadas rectangulares.

1.2 Cálculo de curvas paramétricas

  • La derivada de la curva definida paramétricamente x=x(t)x=x(t) y de y=y(t)y=y(t) se puede calcular mediante la fórmula dydx=y(t)x(t).dydx=y(t)x(t). Utilizando la derivada, podemos hallar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica.
  • El área entre una curva paramétrica y el eje x puede determinarse mediante la fórmula A=t1t2 y(t)x(t)dt.A=t1t2 y(t)x(t)dt.
  • La longitud de arco de una curva paramétrica se puede calcular mediante la fórmula s=t1t2 (dxdt)2 +(dydt)2 dt.s=t1t2 (dxdt)2 +(dydt)2 dt.
  • La superficie de un volumen de revolución que gira alrededor del eje x está dada por S=2 πaby(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.S=2 πaby(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt. Si la curva gira alrededor del eje y, entonces la fórmula es S=2 πabx(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.S=2 πabx(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.

1.3 Coordenadas polares

  • El sistema de coordenadas polares ofrece una forma alternativa de localizar puntos en el plano.
  • Convierta puntos entre coordenadas rectangulares y polares mediante las fórmulas
    x=rcosθyy=rsenθx=rcosθyy=rsenθ

    y
    r=x2 +y2 ytanθ=yx.r=x2 +y2 ytanθ=yx.
  • Para dibujar una curva polar a partir de una función polar dada, haga una tabla de valores y aproveche las propiedades periódicas.
  • Utilice las fórmulas de conversión para convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
  • Identifique la simetría en las curvas polares, que puede darse a través del polo, del eje horizontal o del eje vertical.

1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

  • El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación r=f(θ)r=f(θ) con αθβαθβ está dada por la integral A=12 αβ[f(θ)]2 dθ.A=12 αβ[f(θ)]2 dθ.
  • Para hallar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero hay que hallar los puntos de intersección y luego restar las áreas correspondientes.
  • La longitud de arco de una curva polar definida por la ecuación r=f(θ)r=f(θ) con αθβαθβ está dada por la integral L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.

1.5 Secciones cónicas

  • La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es y=14p(xh)2 +ky=14p(xh)2 +k donde p es la distancia del vértice al foco y (h,k)(h,k) son las coordenadas del vértice.
  • La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es (xh)2 a2 +(yk)2 b2 =1(xh)2 a2 +(yk)2 b2 =1 donde el centro tiene coordenadas (h,k),(h,k), el eje mayor tiene longitud 2a, el eje menor tiene longitud 2b y las coordenadas de los focos son (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 b2 .c2 =a2 b2 .
  • La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es (xh)2 a2 (yk)2 b2 =1(xh)2 a2 (yk)2 b2 =1 donde el centro tiene coordenadas (h,k),(h,k), los vértices se encuentran en (h±a,k),(h±a,k), y las coordenadas de los focos son (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 +b2 .c2 =a2 +b2 .
  • La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1 y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0.
  • La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es r=ep1±ecosθr=ep1±ecosθ o r=ep1±esenθ,r=ep1±esenθ, donde p representa el parámetro focal.
  • Para identificar una sección cónica generada por la ecuación Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0,Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0, primero calcule el discriminante D=4ACB2 .D=4ACB2 . Si D>0D>0 entonces la sección cónica es una elipse, si D=0D=0 entonces la cónica es una parábola, y si D<0D<0 entonces la cónica es una hipérbola.
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