Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.1.1 Graficar una curva descrita por ecuaciones paramétricas.
1.1.2 Convertir las ecuaciones paramétricas de una curva en la forma $y = f (x) .$
1.1.3 Reconocer las ecuaciones paramétricas de las curvas básicas, como una línea y un círculo.
1.1.4 Reconocer las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficos. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto x como y, y a medida que el parámetro aumenta, los valores de x y y trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es t (una elección común), entonces t podría representar el tiempo. Entonces x y y se definen como funciones del tiempo, y $(x (t), y (t))$ puede describir la posición en el plano de un objeto determinado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva.

Ecuaciones paramétricas y sus gráficos

Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el $\frac{1}{4}$ día de tiempo orbital se incorpora en el calendario. Llamamos al 1 de enero "día 1" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia con respecto a este. Después de un año completo, volvemos al punto de partida y comienza un nuevo año. Según las leyes del movimiento planetario de Kepler, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en Secciones cónicas.

Una elipse con el 1 de enero (t = 1) arriba, el 2 de abril (t = 92) a la izquierda, el 1 de julio (t = 182) abajo y el 1 de octubre (t = 274) a la derecha. Los puntos focales de la elipse tienen F2 a la izquierda y el Sol a la derecha.

Figura 1.2 La órbita de la Tierra alrededor del Sol en un año.

La Figura 1.2 representa la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un año. El punto marcado como $F_{2}$ es uno de los focos de la elipse; el otro foco lo ocupa el Sol. Si superponemos los ejes de coordenadas sobre este gráfico, podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse (Figura 1.3). Entonces cada valor de x en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada valor de y es también un valor de posición en función del tiempo. Por lo tanto, cada punto del gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo.

Figura 1.3 Ejes de coordenadas superpuestos a la órbita de la Tierra.

Podemos determinar las funciones para $x (t)$ y de $y (t),$ parametrizando así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable $t$ se denomina parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo relativo al comienzo de cada año.

Una curva en el plano $(x, y)$ se puede representar con ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan ecuaciones paramétricas.

Definición

Si x y y son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones

x = x (t) y y = y (t)

se llaman ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro. El conjunto de puntos $(x, y)$ que se obtienen al variar t sobre el intervalo I se denomina gráfico de las ecuaciones paramétricas. El gráfico de las ecuaciones paramétricas se llama curva paramétrica o curva plana, y se indica como C.

Observe en esta definición que x y y se utilizan de dos maneras. La primera es como funciones de la variable independiente t. Cuando se varía t en el intervalo I, las funciones $x (t)$ y de $y (t)$ generan un conjunto de pares ordenados $(x, y) .$ Este conjunto de pares ordenados genera el gráfico de las ecuaciones paramétricas. En este segundo uso, para designar los pares ordenados, x y y son variables. Es importante distinguir las variables x y y de las funciones $x (t)$ y de $y (t) .$

Ejemplo 1.1

Graficar una curva definida con ecuaciones paramétricas

Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

$x (t) = t - 1, y (t) = 2 t + 4, −3 \leq t \leq 2$
$x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t + 1, –2 \leq t \leq 3$
$x (t) = 4 cos t, y (t) = 4 sen t, 0 \leq t \leq 2 π$

Solución

Para crear un gráfico de esta curva, primero hay que crear una tabla de valores. Dado que la variable independiente en ambos $x (t)$ y de $y (t)$ es t, supongamos que t aparece en la primera columna. Entonces $x (t)$ y de $y (t)$ aparecerá en la segunda y tercera columna de la tabla

t $x (t)$ grandes. $y (t)$

−3 −4 −2

−2 −3 0

−1 −2 2

0 −1 4

1 0 6

2 1 8

La segunda y la tercera columna de esta tabla proporcionan un conjunto de puntos que hay que graficar. El gráfico de estos puntos aparece en la Figura 1.4. Las flechas del gráfico indican la orientación del mismo, es decir, la dirección en que se mueve un punto en el gráfico cuando t varía de -3 a 2

Figura 1.4 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a.
Para crear un gráfico de esta curva, vuelva a establecer una tabla de valores

t $x (t)$ grandes. $y (t)$

−2 1 −3

−1 −2 −1

0 −3 1

1 −2 3

2 1 5

3 6 7

La segunda y la tercera columna de esta tabla dan un conjunto de puntos para graficar (Figura 1.5). El primer punto del gráfico (correspondiente a $t = −2)$ tiene coordenadas $(1, −3),$ y el último punto (correspondiente a $t = 3)$ tiene coordenadas $(6, 7) .$ A medida que t avanza de -2 a 3, el punto de la curva recorre una parábola. La dirección en la que se mueve el punto se llama de nuevo orientación y se indica en el gráfico.

Figura 1.5 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b.

En este caso, utilice múltiplos de

π / 6

para t y crear otra tabla de valores

t	$x (t)$ grandes.	$y (t)$	t	$x (t)$ grandes.	$y (t)$
0	4	0	$\frac{7 π}{6}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3,5$	2
$\frac{π}{6}$	$2 \sqrt{3} \approx 3,5$	$2$	$\frac{4 π}{3}$	−2	$−2 \sqrt{3} \approx −3,5$
$\frac{π}{3}$	$2$	$2 \sqrt{3} \approx 3,5$	$\frac{3 π}{2}$	0	−4
$\frac{π}{2}$	0	4	$\frac{5 π}{3}$	2	$−2 \sqrt{3} \approx −3,5$
$\frac{2 π}{3}$	−2	$2 \sqrt{3} \approx 3,5$	$\frac{11 π}{6}$	$2 \sqrt{3} \approx 3,5$	2
$\frac{5 π}{6}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3,5$	2	$2 π$	4	0
$π$	−4	0

El gráfico de esta curva plana aparece en el siguiente gráfico.

Un círculo de radio 4 centrado en el origen se grafica con una flecha que va en sentido contrario a las agujas del reloj. El punto (4, 0) está marcado con t = 0, el punto (0, 4) está marcado con t = π/2, el punto (-4, 0) está marcado con t = π, y el punto (0, -4) está marcado con t = 3π/2. En el gráfico también aparecen escritas tres ecuaciones: x(t) = 4 cos(t), y(t) = 4 =sen(t), 0 ≤ t ≤ 2π.

Figura 1.6 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte c.

Este es el gráfico de un círculo de radio 4 centrado en el origen, con una orientación contraria a las agujas del reloj. Los puntos inicial y final de la curva tienen coordenadas

(4, 0) .

Punto de control 1.1

Dibuje la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

x (t) = 3 t + 2, y (t) = t^{2} - 1, −3 \leq t \leq 2 .

Eliminar el parámetro

Para entender mejor el gráfico de una curva representada con ecuaciones paramétricas es útil reescribir las dos ecuaciones como una única ecuación que relaciona las variables x y y. Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana en el Ejemplo 1.1b. son

x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t + 1, –2 \leq t \leq 3 .

Resolviendo la segunda ecuación para t se obtiene

t = \frac{y - 1}{2} .

Esto se puede sustituir en la primera ecuación:

x = {(\frac{y - 1}{2})}^{2} - 3 = \frac{y^{2} - 2 y + 1}{4} - 3 = \frac{y^{2} - 2 y - 11}{4} .

Esta ecuación describe a x como una función de y. Estos pasos son un ejemplo de la eliminación del parámetro. El gráfico de esta función es una parábola que se abre hacia la derecha. Recordemos que la curva del plano comenzó en $(1, −3)$ y terminó en $(6, 7) .$ Estas terminaciones se deben a la restricción del parámetro t.

Ejemplo 1.2

Eliminar el parámetro

Elimine el parámetro de cada una de las curvas planas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

$x (t) = \sqrt{2 t + 4}, y (t) = 2 t + 1, –2 \leq t \leq 6$
$x (t) = 4 cos t, y (t) = 3 sen t, 0 \leq t \leq 2 π$

Solución

Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para t. Por ejemplo, resolviendo la primera ecuación para t se obtiene

$\begin{matrix} x & = & \sqrt{2 t + 4} \\ x^{2} & = & 2 t + 4 \\ x^{2} - 4 & = & 2 t \\ t & = & \frac{x^{2} - 4}{2} . \end{matrix}$

Observe que cuando elevamos al cuadrado ambos lados es importante señalar que $x \geq 0 .$ Sustituyendo $t = \frac{x^{2} - 4}{2}$ en $y (t)$ se obtiene

$\begin{matrix} y (t) & = & 2 t + 1 \\ y & = & 2 (\frac{x^{2} - 4}{2}) + 1 \\ y & = & x^{2} - 4 + 1 \\ y & = & x^{2} - 3, \end{matrix}$

Esta es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Sin embargo, existe una restricción de dominio debido a los límites del parámetro t. Cuando $t = –2,$ $x = \sqrt{2 (−2) + 4} = 0,$ y cuando $t = 6,$ $x = \sqrt{2 (6) + 4} = 4 .$ El gráfico de esta curva plana es el siguiente

Figura 1.7 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a.
A veces es necesario ser un poco creativo para eliminar el parámetro. Las ecuaciones paramétricas de este ejemplo son

$x (t) = 4 cos t y y (t) = 3 sen t .$

Resolver directamente cualquiera de las dos ecuaciones para t no es aconsejable porque el seno y el coseno no son funciones uno a uno. Sin embargo, dividiendo la primera ecuación entre 4 y la segunda entre 3 (y suprimiendo la t) nos da

$cos t = \frac{x}{4} y sen t = \frac{y}{3} .$

Ahora use la identidad pitagórica ${cos}^{2} t + {sen}^{2} t = 1$ y sustituya las expresiones para $sen t$ y $cos t$ con las expresiones equivalentes en términos de x ye y. Esto da

$\begin{matrix} {(\frac{x}{4})}^{2} + {(\frac{y}{3})}^{2} & = & 1 \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} & = & 1 \end{matrix}$

Esta es la ecuación de una elipse horizontal centrada en el origen, con semieje mayor 4 y semieje menor 3 como se muestra en el siguiente gráfico

Figura 1.8 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b.

A medida que t avanza de $0$ a $2 π,$ un punto de la curva atraviesa la elipse una vez, en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol también es elíptica. Este es un ejemplo perfecto de la utilización de curvas paramétricas para modelar un fenómeno del mundo real.

Punto de control 1.2

Elimine el parámetro de la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

x (t) = 2 + \frac{3}{t}, y (t) = t - 1, 2 \leq t \leq 6

Hasta ahora hemos visto el método de eliminación del parámetro, suponiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Y si queremos empezar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente posible, y de hecho es posible hacerlo de muchas maneras diferentes para una curva determinada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.

Ejemplo 1.3

Parametrizar una curva

Halle dos pares de ecuaciones paramétricas diferentes para representar el gráfico de $y = 2 x^{2} - 3 .$

Solución

En primer lugar, siempre es posible parametrizar una curva definiendo $x (t) = t,$ luego sustituyendo x por t en la ecuación para $y (t) .$ Esto nos da la parametrización

x (t) = t, y (t) = 2 t^{2} - 3 .

Dado que no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de t.

Tenemos total libertad en la elección de la segunda parametrización. Por ejemplo, podemos elegir $x (t) = 3 t - 2 .$ Lo único que tenemos que comprobar es que no hay restricciones impuestas a x; es decir, el rango de $x (t)$ son todos números reales. Este es el caso de $x (t) = 3 t - 2 .$ Ahora, dado que $y = 2 x^{2} - 3,$ podemos sustituir $x (t) = 3 t - 2$ para x. Esto da

\begin{matrix} y (t) & = 2 {(3 t - 2)}^{2} - 3 \\ = 2 (9 t^{2} - 12 t + 4) - 3 \\ = 18 t^{2} - 24 t + 8 - 3 \\ = 18 t^{2} - 24 t + 5. \end{matrix}

Por lo tanto, una segunda parametrización de la curva puede escribirse como

x (t) = 3 t - 2 y y (t) = 18 t^{2} - 24 t + 5 .

Punto de control 1.3

Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar el gráfico de $y = x^{2} + 2 x .$

Cicloides y otras curvas paramétricas

Imagine que va a dar un paseo en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran siguiendo un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se aferra al lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por una carretera recta se llama cicloide (Figura 1.9). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a viene dada por las ecuaciones paramétricas

x (t) = a (t - sen t), y (t) = a (1 - cos t) .

Para ver por qué esto es cierto, considere la trayectoria que sigue el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje x a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es a, entonces las coordenadas del centro pueden ser dadas por las ecuaciones

x (t) = a t, y (t) = a

para cualquier valor de $t .$ A continuación, consideremos la hormiga, que gira alrededor del centro siguiendo una trayectoria circular. Si la bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj. Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga (respecto al centro de la rueda) está dada por

x (t) = − a sen t, y (t) = − a cos t .

(El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si no existiera el signo negativo, tendríamos que imaginar que la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj). Sumando estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la cicloide.

x (t) = a (t - sen t), y (t) = a (1 - cos t) .

Un conjunto de círculo con el centro marcado y un punto en el círculo dibujando una curva como si el círculo estuviera rodando por un plano. La forma realizada parece ser media elipse cuya altura es el diámetro del círculo original y cuyo eje mayor es la circunferencia del círculo.

Figura 1.9 Una rueda que se desplaza por una carretera sin resbalar; la punta del borde de la rueda traza una cicloide.

Supongamos ahora que la rueda de la bicicleta no se desplaza por una carretera recta, sino que se mueve por el interior de una rueda mayor, como en la Figura 1.10. En este gráfico, el círculo verde se desplaza alrededor del círculo azul en sentido contrario a las agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico rojo, que se llama hipocicloide.

Se dibujan dos círculos con centro en el origen y con radios 3 y 4, respectivamente; el círculo de radio 3 tiene una flecha que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj. Hay un tercer círculo dibujado con centro en el círculo de radio 3 y que toca el círculo de radio 4 en un punto. Es decir, este tercer círculo tiene radio 1. En este tercer círculo se dibuja un punto que, si rodara por los otros dos círculos, dibujaría una estrella de cuatro puntas con puntos en (4, 0), (0, 4), (-4, 0) y (0, -4). En el gráfico también aparecen escritas dos ecuaciones: x(t) = 3 cos(t) + cos(3t), y(t) = 3 =sen(t) - sen(3t).

Figura 1.10 Gráfico de la hipocicloide descrita por las ecuaciones paramétricas indicadas.

Las ecuaciones paramétricas generales de una hipocicloide son

\begin{matrix} x (t) = (a - b) cos t + b cos (\frac{a - b}{b}) t \\ y (t) = (a - b) sen t - b sen (\frac{a - b}{b}) t . \end{matrix}

Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero la derivación es algo similar a las ecuaciones de la cicloide. En este caso suponemos que el radio del círculo mayor es a y el del menor es b. Entonces el centro de la rueda se desplaza a lo largo de un círculo de radio $a - b .$ Este hecho explica el primer término de cada ecuación anterior. El periodo de la segunda función trigonométrica en ambas $x (t)$ y de $y (t)$ es igual a $\frac{2 π b}{a - b} .$

El cociente $\frac{a}{b}$ está relacionado con el número de cúspides del gráfico (las cúspides son las esquinas o extremos puntiagudos del gráfico), como se ilustra en la Figura 1.11. Esta razón puede dar lugar a algunos gráficos muy interesantes, dependiendo de si la relación es racional o no. La Figura 1.10 corresponde a $a = 4$ y $b = 1 .$ El resultado es una hipocicloide con cuatro cúspides. La Figura 1.11 muestra otras posibilidades. Las dos últimas hipocicloides tienen valores irracionales para $\frac{a}{b} .$ En estos casos las hipocicloides tienen un número infinito de cúspides, por lo que nunca vuelven a su punto de partida. Estos son ejemplos de lo que se conoce como curvas de relleno de espacio.

Se muestra un conjunto de hipocicloides. La primera es una estrella de tres puntas marcada como a/b = 3. La segunda es una estrella de cuatro puntas marcada como a/b = 4. La tercera es una estrella de cinco puntas marcada como a/b = 5. Ninguna de estas tres primeras figuras tiene líneas que se crucen entre sí. La cuarta figura es una estrella de cinco puntas, pero esta tiene líneas que se cruzan y se parece a la estrella que los niños aprenden a dibujar por primera vez; está marcada como a/b = 5/3. A continuación tenemos una especie de estrella similar con siete puntas, marcada como a/b = 7/3. A continuación, una estrella similar con ocho puntos y está marcada como a/b = 8/3. La siguiente figura es un conjunto complicado de curvas que, en última instancia, crea una pequeña roseta en el centro; está marcada como a/b = π. Por último, hay un conjunto de curvas aún más complicada que crea una gran roseta con floretes más afilados marcados como a/b = la raíz cuadrada de 2.

Figura 1.11 Gráfico de varias hipocicloides correspondientes a diferentes valores de

a / b .

Proyecto de estudiante

La bruja de Agnesi

Muchas curvas planas de las matemáticas llevan el nombre de las personas que las investigaron por primera vez, como el folium de Descartes (hoja de Descartes) o la espiral de Arquímedes. Sin embargo, quizá el nombre más extraño para una curva sea el de la bruja de Agnesi. ¿Por qué una bruja?

María Gaetana Agnesi (1718-1799) fue una de las pocas mujeres matemáticas reconocidas de la Italia del siglo XVIII. Escribió un popular libro sobre geometría analítica, publicado en 1748, que incluía una interesante curva que había sido estudiada por Fermat en 1630. El matemático Guido Grandi demostró en 1703 cómo construir esta curva, a la que más tarde llamó "versoria", término latino que designa una cuerda utilizada en la navegación. Agnesi utilizó el término italiano para esta cuerda, "versiera", pero en latín, esta misma palabra significa "duende femenino" Cuando el libro de Agnesi se tradujo al inglés en 1801, el traductor utilizó el término "bruja" para la curva, en vez de cuerda. El nombre de "bruja de Agnesi" se ha mantenido desde entonces.

La bruja de Agnesi es una curva definida de la siguiente forma: Comience con un círculo de radio a para que los puntos $(0, 0)$ y $(0, 2 a)$ sean puntos en el círculo (Figura 1.12). Supongamos que O es el origen. Elija cualquier otro punto A del círculo y dibuje la línea secante OA. Supongamos que B es el punto de intersección de la línea OA con la línea horizontal que pasa por $(0, 2 a) .$ La línea vertical que pasa por B interseca la línea horizontal que pasa por A en el punto P. Al variar el punto A, el camino que recorre el punto P es el de la curva de Agnesi para el círculo dado.

Las curvas de la bruja de Agnesi tienen aplicaciones en física, incluido el modelado de las ondas de agua y las distribuciones de las líneas espectrales. En teoría de la probabilidad, la curva describe la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy. En este proyecto usted parametrizará estas curvas.

Se dibuja un círculo con la parte inferior en el punto O (el origen) y la parte superior en el punto (0, 2a). El eje x se dibuja desde el punto O y el eje y se dibuja hacia arriba desde el punto O a través de (0, 2a). Paralela al eje x se encuentra una línea trazada desde (0, 2a); tiene el punto B marcado a la derecha. Una línea que va del punto B al punto O pasa por el círculo en el punto A. Se traza una línea paralela al eje x desde el punto A, y forma un ángulo recto con una línea trazada hacia abajo desde el punto B; estas rectas se cruzan en el punto P. Hay una curva que es simétrica alrededor del eje y que pasa por el punto P. Esta curva tiene su máximo en (0, 2a) y disminuye suavemente por el punto P.

Figura 1.12 A medida que el punto A se mueve alrededor del círculo, el punto P traza curva de la bruja de Agnesi para el círculo dado.

En la figura, marque los siguientes puntos, longitudes y ángulos:
1. C es el punto del eje x con la misma coordenada x que A.
2. x es la coordenada x de P y y es la coordenada yde P.
3. E es el punto $(0, a) .$
4. F es el punto del segmento de línea OA tal que el segmento de línea EF es perpendicular al segmento de línea OA.
5. b es la distancia de O a F.
6. c es la distancia de F a A.
7. d es la distancia de O a B.
8. $θ$ es la medida del ángulo $∠ C O A .$
El objetivo de este proyecto es parametrizar la bruja utilizando θθ como parámetro. Para ello, escriba las ecuaciones de x y y en términos de solo θ.θ.
Demuestre que $d = \frac{2 a}{sen θ} .$
Tenga en cuenta que $x = d cos θ .$ Demuestre que $x = 2 a cot θ .$ Al hacer esto, habrá parametrizado la coordenada x de la curva con respecto a $θ .$ Si puede obtener una ecuación similar para y, habrá parametrizado la curva.
En términos de $θ,$ cuál es el ángulo $∠ E O A ?$
Demuestre que $b + c = 2 a cos (\frac{π}{2} - θ) .$
Demuestre que $y = 2 a cos (\frac{π}{2} - θ) sen θ .$
Demuestre que $y = 2 a {sen}^{2} θ .$ Ahora ha parametrizado la coordenada y de la curva con respecto a $θ .$
Concluya que una parametrización de la curva de bruja dada es

$x = 2 a cot θ, y = 2 a {sen}^{2} θ, - \infty < θ < \infty .$
Utilice su parametrización para demostrar que la curva de bruja dada es el gráfico de la función $f (x) = \frac{8 a^{3}}{x^{2} + 4 a^{2}} .$

Proyecto de estudiante

Viajes con mi hormiga: Las cicloides acortadas y alargadas.

Anteriormente en esta sección, vimos las ecuaciones paramétricas para una cicloide, que es la trayectoria que un punto en el borde de una rueda traza cuando rueda a lo largo de una trayectoria recta. En este proyecto estudiamos dos variantes diferentes de la cicloide, denominadas cicloide acortada y cicloide alargada.

En primer lugar, revisemos la derivación de las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Recordemos que consideramos a una hormiga tenaz que intentaba llegar a casa colgándose del borde de una rueda de bicicleta. Hemos supuesto que la hormiga se subió al neumático en el mismo borde, donde el neumático toca el suelo. Cuando la rueda gira, la hormiga se mueve con el borde del neumático (Figura 1.13).

Como hemos comentado, tenemos mucha flexibilidad a la hora de parametrizar una curva. En este caso dejamos que nuestro parámetro t represente el ángulo que ha girado el neumático. Al observar la Figura 1.13, vemos que después de que el neumático haya girado un ángulo t, la posición del centro de la rueda, $C = (x_{C}, y_{C}),$ está dada por

x_{C} = a t y y_{C} = a .

Además, supongamos que $A = (x_{A}, y_{A})$ denota la posición de la hormiga, observamos que

x_{C} - x_{A} = a sen t y y_{C} - y_{A} = a cos t .

Entonces

\begin{matrix} x_{A} = x_{C} - a sen t = a t - a sen t = a (t - sen t) \\ y_{A} = y_{C} - a cos t = a - a cos t = a (1 - cos t) . \end{matrix}

Hay dos figuras marcadas (a) y (b). La figura a tiene un círculo con el punto A del círculo en el origen. El círculo tiene "radios", con el punto A en el extremo de uno de estos radios. El círculo parece desplazarse hacia la derecha en el eje x, con el punto A por encima del eje x en una segunda imagen del círculo dibujado ligeramente hacia la derecha. La figura b tiene un círculo en el primer cuadrante con centro C. Toca el eje x en xc. Se dibuja un punto A en el círculo y se forma un triángulo recto a partir de este punto y el punto C. La hipotenusa se marca como a y el ángulo en C entre A y xc se marca como t. Las líneas se dibujan para dar los valores x y y de A como xA y yA, respectivamente. Del mismo modo, se dibuja una línea para dar el valor y de C como yC.

Figura 1.13 (a) La hormiga se aferra al borde del neumático de la bicicleta mientras esta rueda por el suelo. (b) Se utiliza la geometría para determinar la posición de la hormiga después de que el neumático haya girado un ángulo t.

Observe que son las mismas representaciones paramétricas que teníamos antes, pero ahora hemos asignado un significado físico a la variable paramétrica t.

Al cabo de un rato la hormiga se marea de dar vueltas y más vueltas sobre el borde del neumático. Así que sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. Al subir hacia el centro de la rueda, la hormiga ha cambiado su trayectoria de movimiento. La nueva trayectoria tiene menos movimiento ascendente y descendente y se denomina cicloide acortada (Figura 1.14). Como se muestra en la figura, suponemos que b denota la distancia a lo largo del radio desde el centro de la rueda hasta la hormiga. Como antes, suponemos que t representa el ángulo que ha girado el neumático. Asimismo, suponemos que $C = (x_{C}, y_{C})$ representa la posición del centro de la rueda y $A = (x_{A}, y_{A})$ representa la posición de la hormiga.

Hay tres figuras marcadas como (a), (b) y (c). La figura a tiene un círculo con "radios", donde el punto A está en el centro de uno de estos radios. El círculo es tangente al eje x en el origen. El círculo parece desplazarse hacia la derecha en el eje x, y el punto A está más arriba en una segunda imagen del círculo dibujado ligeramente hacia la derecha. La figura b muestra la curva que trazaría el punto A, cuando el círculo se desplaza hacia la derecha. Es ligeramente sinusoidal. La figura c tiene un círculo en el primer cuadrante con centro C. Toca el eje x en xc. Se dibuja un punto A dentro del círculo y se hace un triángulo rectángulo desde este punto y el punto C. La hipotenusa se marca como b, el ángulo en C entre A y xc se marca como t, y la distancia de C a xc se marca como a. Las líneas se dibujan para dar los valores x y y de A como xA y yA, respectivamente. Del mismo modo, se dibuja una línea para dar el valor y de C como yC.

Figura 1.14 (a) La hormiga sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. (b) La trayectoria del movimiento de la hormiga después de acercarse al centro de la rueda. Esto se conoce como cicloide acortada. (c) La nueva disposición, ahora que la hormiga se ha acercado al centro de la rueda.

¿Cuál es la posición del centro de la rueda después de que el neumático haya girado un ángulo t?
Utilice la geometría para hallar expresiones para $x_{C} - x_{A}$ y para $y_{C} - y_{A} .$
A partir de sus respuestas de las partes 1 y 2, ¿cuáles son las ecuaciones paramétricas que representan la cicloide acortada?
Una vez que la cabeza de la hormiga se aclara, se da cuenta de que el ciclista ha hecho un giro y ahora está viajando lejos de su casa. Así que deja la rueda de la bicicleta y mira a su alrededor. Afortunadamente, hay un conjunto de vías de tren cerca, que se dirigen de nuevo en la dirección correcta. Así que la hormiga se dirige a las vías del tren para esperar. Al cabo de un rato, pasa un tren que va en la dirección correcta, y la hormiga consigue saltar y alcanzar el borde de la rueda del tren (¡sin aplastarse!).
La hormiga sigue preocupada por si se marea, pero la rueda del tren es resbaladiza y no tiene radios por los cuales subir, así que decide agarrarse al borde de la rueda y esperar lo mejor. Ahora, las ruedas de los trenes tienen un reborde para mantener la rueda en las vías. Por lo tanto, en este caso, como la hormiga está colgada del mismo extremo del reborde, la distancia del centro de la rueda a la hormiga es realmente mayor que el radio de la rueda (Figura 1.15).
El planteamiento aquí es esencialmente el mismo que cuando la hormiga subió por el radio de la rueda de la bicicleta. Suponemos que b denota la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga, y que t representa el ángulo que ha girado el neumático. Asimismo, suponemos que $C = (x_{C}, y_{C})$ representa la posición del centro de la rueda y $A = (x_{A}, y_{A})$ representa la posición de la hormiga (Figura 1.15).
Cuando la distancia del centro de la rueda a la hormiga es mayor que el radio de la rueda, su trayectoria de movimiento se llama cicloide alargada. En la figura se muestra el gráfico de una cicloide alargada

Figura 1.15 (a) La hormiga se cuelga del reborde de la rueda del tren. (b) El nuevo planteamiento, ahora que la hormiga ha saltado a la rueda del tren. (c) La hormiga se desplaza por una cicloide alargada.
Usando el mismo enfoque que usó en las partes 1 a 3, halle las ecuaciones paramétricas para la trayectoria del movimiento de la hormiga.
¿Qué observa en su respuesta a la parte 3 y en su respuesta a la parte 4?
Fíjese en que la hormiga en realidad está viajando hacia atrás en algunos momentos (los "bucles" del gráfico), aunque el tren siga avanzando. Probablemente estará muy mareada cuando llegue a casa

Sección 1.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, dibuje las siguientes curvas eliminando el parámetro t. Indique la orientación de la curva.

1.

$x = t^{2} + 2 t,$ $y = t + 1$

2.

$x = cos (t), y = sen (t), (0, 2 π]$

3.

$x = 2 t + 4, y = t - 1$

4.

$x = 3 - t, y = 2 t - 3, 1,5 \leq t \leq 3$

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro y dibuje los gráficos.

5.

$x = 2 t^{2}, y = t^{4} + 1$

En los siguientes ejercicios, utilice un dispositivo tecnológico (CAS o calculadora) para graficar las ecuaciones paramétricas.

6.

[T] $\begin{matrix} x = t^{2} + t, & y = t^{2} - 1 \end{matrix}$

7.

[T] $\begin{matrix} x = e^{− t}, & y = e^{2 t} - 1 \end{matrix}$

8.

[T] $\begin{matrix} x = 3 cos t, & y = 4 sen t \end{matrix}$

9.

[T] $\begin{matrix} x = sec t, & y = cos t \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, dibuje las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro. Indique las asíntotas del gráfico.

10.

$x = e^{t}, y = e^{2 t} + 1$

11.

$x = 6 sen (2 θ), y = 4 cos (2 θ)$

12.

$\begin{matrix} x = cos θ, & y = 2 sen (2 θ) \end{matrix}$ grandes.

13.

$\begin{matrix} x = 3 - 2 cos θ, & y = −5 + 3 sen θ \end{matrix}$

14.

$\begin{matrix} x = 4 + 2 cos θ, & y = −1 + sen θ \end{matrix}$

15.

$\begin{matrix} x = sec t, & y = tan t \end{matrix}$

16.

$\begin{matrix} x = ln (2 t), & y = t^{2} \end{matrix}$

17.

$\begin{matrix} x = e^{t}, & y = e^{2 t} \end{matrix}$

18.

$\begin{matrix} x = e^{−2 t}, & y = e^{3 t} \end{matrix}$

19.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = 3 ln t \end{matrix}$

20.

$\begin{matrix} x = 4 sec θ, & y = 3 tan θ \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, convierta las ecuaciones paramétricas de una curva en forma rectangular. No es necesario ningún dibujo. Indique el dominio de la forma rectangular.

21.

$\begin{matrix} x = t^{2} - 1, & y = \frac{t}{2} \end{matrix}$

22.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{t + 1}}, & y = \frac{t}{1 + t}, t > −1 \end{matrix}$

23.

$x = 4 cos θ, y = 3 sen θ, θ \in (0, 2 π]$

24.

$\begin{matrix} x = cosh t, & y = senoh t \end{matrix}$

25.

$\begin{matrix} x = 2 t - 3, & y = 6 t - 7 \end{matrix}$

26.

$\begin{matrix} x = t^{2}, & y = t^{3} \end{matrix}$

27.

$\begin{matrix} x = 1 + cos t, & y = 3 - sen t \end{matrix}$

28.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t + 4 \end{matrix}$

29.

$\begin{matrix} x = sec t, & y = tan t, π \leq t < \frac{3 π}{2} \end{matrix}$

30.

$\begin{matrix} x = 2 cosh t, & y = 4 senoh t \end{matrix}$

31.

$\begin{matrix} x = cos (2 t), & y = sen t \end{matrix}$

32.

$x = 4 t + 3, y = 16 t^{2} - 9$

33.

$\begin{matrix} x = t^{2}, & y = 2 ln t, t \geq 1 \end{matrix}$

34.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = 3 ln t, t \geq 1 \end{matrix}$

35.

$\begin{matrix} x = t^{n}, & y = n ln t, t \geq 1, \end{matrix}$ donde n es un número natural

36.

$\begin{matrix} x = ln (5 t) \\ y = ln (t^{2}) \end{matrix}$ donde $1 \leq t \leq e$

37.

$\begin{matrix} x = 2 sen (8 t) \\ y = 2 cos (8 t) \end{matrix}$ grandes.

38.

$\begin{matrix} x = tan t \\ y = {sec}^{2} t - 1 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, los pares de ecuaciones paramétricas representan rectas, parábolas, círculos, elipses o hipérbolas. Nombre el tipo de curva básica que representa cada par de ecuaciones.

39.

$\begin{matrix} x = 3 t + 4 \\ y = 5 t - 2 \end{matrix}$

40.

$\begin{matrix} x - 4 = 5 t \\ y + 2 = t \end{matrix}$

41.

$\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = t^{2} - 3 \end{matrix}$

42.

$\begin{matrix} x = 3 cos t \\ y = 3 sen t \end{matrix}$

43.

$\begin{matrix} x = 2 cos (3 t) \\ y = 2 sen (3 t) \end{matrix}$

44.

$\begin{matrix} x = cosh t \\ y = senoh t \end{matrix}$

45.

$\begin{matrix} x = 3 cos t \\ y = 4 sen t \end{matrix}$

46.

$\begin{matrix} x = 2 cos (3 t) \\ y = 5 sen (3 t) \end{matrix}$ grandes.

47.

$\begin{matrix} x = 3 cosh (4 t) \\ y = 4 senoh (4 t) \end{matrix}$

48.

$\begin{matrix} x = 2 cosh t \\ y = 2 senoh t \end{matrix}$

49.

Demuestre que $\begin{matrix} x = h + r cos θ \\ y = k + r sen θ \end{matrix}$ representa la ecuación de un círculo.

50.

Utilice las ecuaciones del problema anterior para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una circunferencia cuyo radio es 5 y cuyo centro es $(–2, 3) .$

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la curva representada por las ecuaciones paramétricas e identifique la curva a partir de su ecuación.

51.

[T] $\begin{matrix} x = θ + sen θ \\ y = 1 - cos θ \end{matrix}$

52.

[T] $\begin{matrix} x = 2 t - 2 sen t \\ y = 2 - 2 cos t \end{matrix}$

53.

[T] $\begin{matrix} x = t - 0,5 sen t \\ y = 1 - 1,5 cos t \end{matrix}$

54.

Un avión que viaja horizontalmente a 100 m/s sobre un terreno plano a una altura de 4.000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete está dada por $x = 100 t, y = −4,9 t^{2} + 4.000, t \geq 0$ donde el origen es el punto en el suelo directamente debajo del avión en el momento de la liberación. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo debe soltar el paquete para dar en el blanco?

55.

La trayectoria de una bala está dada por $x = v_{0} (cos α) t, y = v_{0} (sen α) t - \frac{1}{2} g t^{2}$ donde $v_{0} = 500 m/s,$ $g = 9,8 = 9,8 {m/s}^{2},$ y $α = 30 grados .$ ¿Cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué distancia de la pistola la bala llegará al suelo?

56.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar la curva representada por $x = sen (4 t), y = sen (3 t), 0 \leq t \leq 2 π .$

57.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar $x = 2 tan (t), y = 3 sec (t), − π < t < π .$

58.

Dibuje la curva conocida como epitrocoide que da la trayectoria de un punto en un círculo de radio b cuando rueda por el exterior de un círculo de radio a. Las ecuaciones son

$\begin{matrix} x = (a + b) cos t - c . cos [\frac{(a + b) t}{b}] \\ y = (a + b) sen t - c . sen [\frac{(a + b) t}{b}] . \end{matrix}$
Supongamos que $a = 1, b = 2, c = 1 .$

59.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar la curva en espiral dada por $x = t cos (t), y = t sen (t)$ de $−2 π \leq t \leq 2 π .$

60.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas $x = 2 cot (t), y = 1 - cos (2 t), − π / 2 \leq t \leq π / 2 .$ Esta curva se conoce como la bruja de Agnesi.

61.

[T] Dibújela curva dada por las ecuaciones paramétricas $\begin{matrix} x = cosh (t) \\ y = senoh (t), \end{matrix}$ donde $−2 \leq t \leq 2 .$

1.1 Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas y sus gráficos

Graficar una curva definida con ecuaciones paramétricas

Solución

Eliminar el parámetro

Eliminar el parámetro

Solución

Parametrizar una curva

Solución

Cicloides y otras curvas paramétricas

La bruja de Agnesi

Viajes con mi hormiga: Las cicloides acortadas y alargadas.

Sección 1.1 ejercicios