Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.2.1 Determinar las derivadas y las ecuaciones de las tangentes de las curvas paramétricas.
1.2.2 Hallar el área bajo una curva paramétrica.
1.2.3 Utilizar la ecuación de la longitud de arco de una curva paramétrica.
1.2.4 Aplicar la fórmula de la superficie a un volumen generado por una curva paramétrica.

Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva determinada, ¿es posible calcular la pendiente de una línea tangente a la curva? ¿Y la longitud de arco de la curva? ¿O el área bajo la curva?

Otro escenario: supongamos que queremos representar la ubicación de una pelota de béisbol después de que la bola salga de la mano del lanzador. Si la posición de la pelota de béisbol está representada por la curva plana $(x (t), y (t)),$ entonces deberíamos ser capaces de utilizar el cálculo para calcular la velocidad de la pelota en cualquier momento. Además, deberíamos ser capaces de calcular la distancia que ha recorrido esa pelota en función del tiempo.

Derivadas de ecuaciones paramétricas

Empezamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

x (t) = 2 t + 3, y (t) = 3 t - 4, –2 \leq t \leq 3 .

El gráfico de esta curva aparece en la Figura 1.16. Es un segmento de línea que comienza en $(–1, –10)$ y termina en $(9, 5) .$

Una línea recta de (–1, –10) a (9, 5). El punto (-1, -10) está marcado con t = –2, el punto (3, –4) está marcado con t = 0 y el punto (9, 5) está marcado con t = 3. Hay tres ecuaciones marcadas: x(t) = 2t + 3, y(t) = 3t - 4 y -2 ≤ t ≤ 3

Figura 1.16 Gráfico del segmento de línea descrito por las ecuaciones paramétricas dadas.

Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la ecuación $x (t) = 2 t + 3$ para t:

\begin{matrix} x (t) & = & 2 t + 3 \\ x - 3 & = & 2 t \\ t & = & \frac{x - 3}{2} . \end{matrix}

Sustituyendo esto en $y (t),$ obtenemos

\begin{matrix} y (t) & = & 3 t - 4 \\ y & = & 3 (\frac{x - 3}{2}) - 4 \\ y & = & \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} - 4 \\ y & = & \frac{3 x}{2} - \frac{17}{2} . \end{matrix}

La pendiente de esta línea está dada por $\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} .$ A continuación calculamos $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t) .$ Esto da $x^{'} (t) = 2$ y $y^{'} (t) = 3 .$ Observe que $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{3}{2} .$ Esto no es casualidad, como se indica en el siguiente teorema.

Teorema 1.1

Derivada de ecuaciones paramétricas

Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas $x = x (t)$ y de $y = y (t) .$ Supongamos que $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t)$ existen, y supongamos que $x^{'} (t) \neq 0 .$ Entonces la derivada $\frac{d y}{d x}$ está dada por

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .

(1.1)

Prueba

Este teorema se puede demostrar utilizando la regla de la cadena. En particular, supongamos que el parámetro t se puede eliminar, obteniendo una función diferenciable $y = F (x) .$ Entonces $y (t) = F (x (t)) .$ Diferenciando ambos lados de esta ecuación mediante la regla de la cadena produce

y^{'} (t) = F^{'} (x (t)) x^{'} (t),

así que

F^{'} (x (t)) = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .

Pero $F^{'} (x (t)) = \frac{d y}{d x},$ lo cual demuestra el teorema.

□

La Ecuación 1.1 puede utilizarse para calcular las derivadas de las curvas planas, así como los puntos críticos. Recordemos que un punto crítico de una función diferenciable $y = f (x)$ es cualquier punto $x = x_{0}$ de manera que $f^{'} (x_{0}) = 0$ o $f^{'} (x_{0})$ no existe. La Ecuación 1.1 da una fórmula para la pendiente de una línea tangente a una curva definida paramétricamente independientemente de que la curva pueda ser descrita por una función $y = f (x)$ o no.

Ejemplo 1.4

Cálculo de la derivada de una curva paramétrica

Calcule la derivada $\frac{d y}{d x}$ para cada una de las siguientes curvas planas definidas paramétricamente y ubique cualquier punto crítico en sus respectivos gráficos.

$x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4$
$x (t) = 2 t + 1, y (t) = t^{3} - 3 t + 4, –2 \leq t \leq 5$
$x (t) = 5 cos t, y (t) = 5 sen t, 0 \leq t \leq 2 π$

Solución

Para aplicar la Ecuación 1.1, primero hay que calcular $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 t \\ y^{'} (t) = 2. \end{matrix}$

A continuación, sustituya esto en la ecuación:

$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{t} . \end{matrix}$

Esta derivada es indefinida cuando $t = 0 .$ Si calculamos $x (0)$ y de $y (0)$ da como resultado $x (0) = {(0)}^{2} - 3 = −3$ y $y (0) = 2 (0) - 1 = −1,$ que corresponde al punto $(−3, –1)$ en el gráfico. El gráfico de esta curva es una parábola que se abre hacia la derecha, y el punto $(−3, –1)$ es su vértice como se muestra

Figura 1.17 Gráfico de la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a.
Para aplicar la Ecuación 1.1, primero hay que calcular $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 \\ y^{'} (t) = 3 t^{2} - 3, \end{matrix}$

A continuación, sustituya esto en la ecuación:

$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 t^{2} - 3}{2} . \end{matrix}$

Esta derivada es cero cuando $t = ±1 .$ Cuando $t = −1$ tenemos

$x (–1) = 2 (–1) + 1 = −1 y y (–1) = {(–1)}^{3} - 3 (–1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,$

que corresponde al punto $(–1, 6)$ en el gráfico. Cuando $t = 1$ tenemos

$x (1) = 2 (1) + 1 = 3 y y (1) = {(1)}^{3} - 3 (1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2,$

que corresponde al punto $(3, 2)$ en el gráfico. El punto $(3, 2)$ es un mínimo relativo y el punto $(–1, 6)$ es un máximo relativo, como se ve en el siguiente gráfico

Figura 1.18 Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b.
Para aplicar la Ecuación 1.1, primero hay que calcular $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = −5 sen t \\ y^{'} (t) = 5 cos t . \end{matrix}$

A continuación, sustituya esto en la ecuación:

$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{5 cos t}{−5 sen t} \\ \frac{d y}{d x} = − cot t . \end{matrix}$

Esta derivada es cero cuando $cos t = 0$ y es indefinida cuando $sen t = 0 .$ Esto da $t = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, y 2 π$ como puntos críticos para t. Sustituyendo cada uno de ellos en $x (t)$ y de $y (t),$ obtenemos

$t$ $x (t)$ grandes. $y (t)$

0 5 0

$\frac{π}{2}$ 0 5

$π$ −5 0

$\frac{3 π}{2}$ 0 −5

$2 π$ 5 0

Estos puntos corresponden a los lados, la parte superior y la parte inferior del círculo representado por las ecuaciones paramétricas (Figura 1.19). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada es indefinida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero.

Figura 1.19 Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte c.

Punto de control 1.4

Calcule la derivada $d y / d x$ para la curva plana definida por las ecuaciones

x (t) = t^{2} - 4 t, y (t) = 2 t^{3} - 6 t, –2 \leq t \leq 3

y ubique cualquier punto crítico en su gráfico.

Ejemplo 1.5

Hallar una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones

x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4 cuando t = 2 .

Solución

En primer lugar, halle la pendiente de la línea tangente utilizando la Ecuación 1.1, lo que significa calcular $x^{'} (t)$ y de $y^{'} (t) :$

\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 t \\ y^{'} (t) = 2. \end{matrix}

A continuación, sustitúyalas en la ecuación:

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{t} . \end{matrix}

Cuando $t = 2,$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2},$ así que esta es la pendiente de la línea tangente. Si calculamos $x (2)$ y de $y (2)$ da

x (2) = {(2)}^{2} - 3 = 1 y y (2) = 2 (2) - 1 = 3,

que corresponde al punto $(1, 3)$ en el gráfico (Figura 1.20). Ahora utilice la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea para hallar la ecuación de la línea tangente:

\begin{matrix} y - y_{0} & = & m (x - x_{0}) \\ y - 3 & = & \frac{1}{2} (x - 1) \\ y - 3 & = & \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \\ y & = & \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} . \end{matrix}

Una línea curva que va desde (6, -7) pasando por (-3, -1) hasta (13, 7) con una flecha que apunta en ese orden. El punto (6, -7) está marcado con t = -3, el punto (-3, -1) está marcado con t = 0 y el punto (13, 7) está marcado con t = 4. En el gráfico también hay escritas tres ecuaciones: x(t) = t2 - 3, y(t) = 2t - 1 y -3 ≤ t ≤ 4. En el punto (1, 3), que está marcado con t = 2, hay una línea tangente con ecuación y = x/2 + 5/2.

Figura 1.20 Línea tangente a la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas dadas cuando

t = 2 .

Punto de control 1.5

Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones

x (t) = t^{2} - 4 t, y (t) = 2 t^{3} - 6 t, –2 \leq t \leq 10 cuando t = 5 .

Derivadas de segundo orden

Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función $y = f (x)$ se define como la derivada de la primera derivada; es decir,

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} [\frac{d y}{d x}] .

Dado que $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t},$ podemos sustituir la $y$ en ambos lados de esta ecuación por $\frac{d y}{d x} .$ Esto nos da

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{(d / d t) (d y / d x)}{d x / d t} .

(1.2)

Si conocemos $d y / d x$ en función de t, entonces esta fórmula es fácil de aplicar.

Ejemplo 1.6

Calcular una segunda derivada

Calcule la segunda derivada $d^{2} y / d x^{2}$ para la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas $x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4 .$

Solución

Del Ejemplo 1.4 sabemos que $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} = \frac{1}{t} .$ Utilizando la Ecuación 1.2, obtenemos

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{(d / d t) (d y / d x)}{d x / d t} = \frac{(d / d t) (1 / t)}{2 t} = \frac{− t^{−2}}{2 t} = - \frac{1}{2 t^{3}} .

Punto de control 1.6

Calcule la segunda derivada $d^{2} y / d x^{2}$ para la curva plana definida por las ecuaciones

x (t) = t^{2} - 4 t, y (t) = 2 t^{3} - 6 t, –2 \leq t \leq 3

y ubique cualquier punto crítico en su gráfico.

Integrales con ecuaciones paramétricas

Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo hallar el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos la cicloide definida por las ecuaciones $x (t) = t - sen t, y (t) = 1 - cos t .$ Supongamos que queremos hallar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.

Una serie de semicírculos dibujados sobre el eje x donde las intersecciones de x son múltiplos de 2π. El semicírculo entre 0 y 2π está resaltado. En el gráfico también aparecen escritas dos ecuaciones: x(t) = t - =sen(t), y(t) = 1 - cos(t).

Figura 1.21 Gráfico de una cicloide con el arco sobre

[0, 2 π]

resaltado.

Para derivar una fórmula para el área bajo la curva definida por las funciones

x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b,

asumimos que $x (t)$ es creciente en el intervalo $t \in [a, b]$ y $x (t)$ es diferenciable y comienza con una partición igual del intervalo $a \leq t \leq b .$ Supongamos que $t_{0} = a < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b$ y considere el siguiente gráfico.

Se dibuja una línea curva en el primer cuadrante. Debajo de ella se marcan una serie de rectángulos que comienzan en el eje x y llegan hasta la línea curva; la altura del rectángulo está determinada por la ubicación de la línea curva en el punto más a la izquierda del rectángulo. Estas líneas se marcan como x(t0), x(t1), ..., x(tn).

Figura 1.22 Aproximación del área bajo una curva definida paramétricamente.

Utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo la curva. La altura del $i$ −ésimo rectángulo es $y ({t_{i}}^{- 1})$ , por lo que una aproximación del área es

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} y (t_{i - 1}) (x (t_{i}) - x (t_{i - 1}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} y (t_{i - 1}) \frac{(x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{(t_{i} - t_{i - 1})} (t_{i} - t_{i - 1}) \\ \to \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t como máx. {(t_{i} - t_{i - 1})} \to 0 \end{array}

Esto se deduce de los resultados obtenidos en Cálculo 1 para la función $y (t_{i - 1}) \frac{(x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{(t_{i} - t_{i - 1})} .$

Entonces una suma de Riemann para el área es

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} y (x ({\bar{t}}_{i})) (x (t_{i}) - x (t_{i - 1})) .

Multiplicando y dividiendo cada área por $t_{i} - t_{i - 1}$ da

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} y (x ({\bar{t}}_{i})) (\frac{x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{t_{i} - t_{i - 1}}) (t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n} y (x ({\bar{t}}_{i})) (\frac{x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{Δ t}) Δ t .

Si tomamos el límite a medida que $n$ se acerca al infinito da

A = \underset{n \to \infty}{lím} A_{n} = \int_{a}^{b} y (t) x^{'} (t) d t .

Si los valores de $x$ es una función decreciente para $a \leq t \leq b$ , una derivación similar mostrará que el área viene dada por $\begin{matrix} - \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t & = \end{matrix} \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t$

Esto nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 1.2

Área bajo una curva paramétrica

Considere la curva plana que no se interseca definida por las ecuaciones paramétricas

x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b

y asuma que $x (t)$ es diferenciable. El área bajo esta curva está dada por

A = \int_{a}^{b} y (t) x^{'} (t) d t .

(1.3)

Ejemplo 1.7

Cálculo del área bajo una curva paramétrica

Halle el área bajo la curva de la cicloide definida por las ecuaciones

x (t) = t - sen t, y (t) = 1 - cos t, 0 \leq t \leq 2 π .

Solución

Utilizando la Ecuación 1.3, tenemos

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} y (t) x^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - cos t) (1 - cos t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - 2 cos t + {cos}^{2} t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - 2 cos t + \frac{1 + cos 2 t}{2}) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{3}{2} - 2 cos t + \frac{cos 2 t}{2}) d t \\ = {\frac{3 t}{2} - 2 sen t + \frac{sen 2 t}{4} |}_{0}^{2 π} \\ = 3 π . \end{matrix}

Punto de control 1.7

Halle el área bajo la curva de la hipocicloide definida por las ecuaciones

x (t) = 3 cos t + cos 3 t, y (t) = 3 sen t - sen 3 t, 0 \leq t \leq π .

Longitud de arco de una curva paramétrica

Además de hallar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos hallar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud de arco es igual a la distancia entre los puntos extremos. Si una partícula viaja del punto A al punto B a lo largo de una curva, la distancia que recorre esa partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud de arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en el siguiente gráfico.

Una línea curva en el primer cuadrante con puntos marcados para x = 1, 2, 3, 4 y 5. Estos puntos tienen valores aproximados de 2,1, 2,7, 3, 2,7 y 2,1, respectivamente. Los puntos para x = 1 y x = 5 están marcados como A y B, respectivamente.

Figura 1.23 Aproximación de una curva mediante segmentos de línea.

Dada una curva plana definida por las funciones $x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b,$ empezamos por dividir el intervalo $[a, b]$ en n subintervalos iguales: $t_{0} = a < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b .$ El ancho de cada subintervalo está dado por $Δ t = (b - a) / n .$ Podemos calcular la longitud de cada segmento de línea:

\begin{matrix} d_{1} = \sqrt{{(x (t_{1}) - x (t_{0}))}^{2} + {(y (t_{1}) - y (t_{0}))}^{2}} \\ d_{2} = \sqrt{{(x (t_{2}) - x (t_{1}))}^{2} + {(y (t_{2}) - y (t_{1}))}^{2}} etc . \end{matrix}

A continuación, súmelos. Suponemos que s denota la longitud de arco exacta y $s_{n}$ denota la aproximación mediante n segmentos de línea:

s \approx \sum_{k = 1}^{n} s_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x (t_{k}) - x (t_{k - 1}))}^{2} + {(y (t_{k}) - y (t_{k - 1}))}^{2}} .

(1.4)

Si asumimos que $x (t)$ y de $y (t)$ son funciones diferenciables de t, entonces se aplica el teorema de valor medio (Introducción a las aplicaciones de las derivadas), por lo que en cada subintervalo $[t_{k - 1}, t_{k}]$ existen ${\hat{t}}_{k}$ y ${\tilde{t}}_{k}$ tal que

\begin{matrix} x (t_{k}) - x (t_{k - 1}) = x^{'} ({\hat{t}}_{k}) (t_{k} - t_{k - 1}) = x^{'} ({\hat{t}}_{k}) Δ t \\ y (t_{k}) - y (t_{k - 1}) = y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) (t_{k} - t_{k - 1}) = y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) Δ t . \end{matrix}

Por lo tanto, la Ecuación 1.4 se convierte en

\begin{matrix} s & \approx \sum_{k = 1}^{n} s_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}) Δ t)}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) Δ t)}^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} {(Δ t)}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2} {(Δ t)}^{2}} \\ = (\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2}}) Δ t . \end{matrix}

Se trata de una suma de Riemann que aproxima la longitud de arco sobre una partición del intervalo $[a, b] .$ Si además asumimos que las derivadas son continuas y suponemos que el número de puntos de la partición aumenta sin límite, la aproximación se acerca a la longitud de arco exacta. Esto da

\begin{matrix} s & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{k = 1}^{n} s_{k} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} (\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2}}) Δ t \\ = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t . \end{matrix}

Cuando se toma el límite, los valores de ${\hat{t}}_{k}$ y ${\tilde{t}}_{k}$ están contenidos en el mismo intervalo de ancho cada vez menor $Δ t,$ por lo que deben converger al mismo valor.

Podemos resumir este método en el siguiente teorema.

Teorema 1.3

Longitud de arco de una curva paramétrica

Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

x = x (t), y = y (t), t_{1} \leq t \leq t_{2}

y asuma que $x (t)$ y de $y (t)$ son funciones diferenciables de t. Entonces la longitud de arco de esta curva está dada por

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .

(1.5)

En este punto, una derivación lateral nos lleva a una fórmula previa para la longitud de arco. En particular, supongamos que se puede eliminar el parámetro, lo que resulta en una función $y = F (x) .$ Entonces $y (t) = F (x (t))$ y la regla de la cadena da $y^{'} (t) = F^{'} (x (t)) x^{'} (t) .$ Sustituyendo esto en la Ecuación 1.5 se obtiene

\begin{matrix} s & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(F^{'} (x) \frac{d x}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} (1 + {(F^{'} (x))}^{2})} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{'} (t) \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d t . \end{matrix}

Aquí hemos asumido que $x^{'} (t) > 0,$ lo cual es una suposición razonable. La regla de la cadena da $d x = x^{'} (t) d t,$ y suponiendo que $a = x (t_{1})$ y $b = x (t_{2})$ obtenemos la fórmula

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x,

que es la fórmula de la longitud de arco obtenida en la Introducción a las aplicaciones de la integración.

Ejemplo 1.8

Hallar la longitud de arco de una curva paramétrica

Halle la longitud de arco del semicírculo definido por las ecuaciones

x (t) = 3 cos t, y (t) = 3 sen t, 0 \leq t \leq π .

Solución

Los valores $t = 0$ a $t = π$ trazan la curva roja en la Figura 1.23. Para determinar su longitud, utilice la Ecuación 1.5:

\begin{matrix} s & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{{(−3 sen t)}^{2} + {(3 cos t)}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{9 {sen}^{2} t + 9 {cos}^{2} t} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{9 ({sen}^{2} t + {cos}^{2} t)} d t \\ = \int_{0}^{π} 3 d t = {3 t |}_{0}^{π} = 3 π . \end{matrix}

Observe que la fórmula de la longitud de arco de un semicírculo es $π r$ y el radio de este círculo es 3. Este es un gran ejemplo de cómo utilizar el cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica.

Se dibuja un semicírculo de radio 3. Hay una flecha que apunta en sentido contrario a las agujas del reloj. En el gráfico también aparecen escritas tres ecuaciones: x(t) = 3 cos(t), y(t) = 3 =sen(t), 0 ≤ t ≤ π.

Figura 1.24 La longitud de arco del semicírculo es igual a su radio por

π.

Punto de control 1.8

Halle la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones

x (t) = 3 t^{2}, y (t) = 2 t^{3}, 1 \leq t \leq 3 .

Volvemos ahora al problema planteado al principio de la sección sobre una pelota de béisbol que sale de la mano del lanzador. Ignorando el efecto de la resistencia del aire (¡a menos que sea una pelota curva!), la pelota recorre una trayectoria parabólica. Suponiendo que la mano del lanzador está en el origen y que la pelota se desplaza de izquierda a derecha en la dirección del eje x positivo, las ecuaciones paramétricas de esta curva pueden escribirse como

x (t) = 140 t, y (t) = –16 t^{2} + 2 t

donde t representa el tiempo. Primero calculamos la distancia que recorre la pelota en función del tiempo. Esta distancia está representada por la longitud de arco. Podemos modificar ligeramente la fórmula de la longitud de arco. Primero hay que reescribir las funciones $x (t)$ y de $y (t)$ utilizando v como variable independiente, para eliminar cualquier confusión con el parámetro t:

x (v) = 140 v, y (v) = −16 v^{2} + 2 v .

Luego escribimos la fórmula de la longitud de arco de la siguiente forma:

\begin{matrix} s (t) & = \int_{0}^{t} \sqrt{{(\frac{d x}{d v})}^{2} + {(\frac{d y}{d v})}^{2}} d v \\ = \int_{0}^{t} \sqrt{140^{2} + {(–32 v + 2)}^{2}} d v . \end{matrix}

La variable v actúa como una variable ficticia que desaparece después de la integración, dejando la longitud de arco en función del tiempo t. Para integrar esta expresión podemos utilizar una fórmula del Apéndice A,

\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} ln | u + \sqrt{a^{2} + u^{2}} | + C .

Hemos establecido $a = 140$ y $u = −32 v + 2 .$ Esto da $d u = −32 d v,$ así que $d v = - \frac{1}{32} d u .$ Por lo tanto

\begin{matrix} \int \sqrt{140^{2} + {(–32 v + 2)}^{2}} d v & = - \frac{1}{32} \int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{32} [\begin{matrix} \frac{(–32 v + 2)}{2} \sqrt{140^{2} + {(–32 v + 2)}^{2}} \\ + \frac{140^{2}}{2} ln | (–32 v + 2) + \sqrt{140^{2} + {(–32 v + 2)}^{2}} | \end{matrix}] + C \end{matrix}

y

\begin{matrix} s (t) & = - \frac{1}{32} [\frac{(−32 t + 2)}{2} \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} + \frac{140^{2}}{2} ln | (−32 t + 2) + \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} |] \\ + \frac{1}{32} [\sqrt{140^{2} + 2^{2}} + \frac{140^{2}}{2} ln | 2 + \sqrt{140^{2} + 2^{2}} |] \\ = (\frac{t}{2} - \frac{1}{32}) \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} - \frac{1.225}{4} ln | (−32 t + 2) + \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} | \\ + \frac{\sqrt{19604}}{32} + \frac{1.225}{4} ln (2 + \sqrt{19604}) . \end{matrix}

Esta función representa la distancia recorrida por la pelota en función del tiempo. Para calcular la velocidad, tome la derivada de esta función con respecto a t. Aunque esto puede parecer una tarea desalentadora, es posible obtener la respuesta directamente del teorema fundamental del cálculo:

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (u) d u = f (x) .

Por lo tanto,

\begin{matrix} s^{'} (t) & = \frac{d}{d t} [s (t)] \\ = \frac{d}{d t} [\int_{0}^{t} \sqrt{140^{2} + {(–32 v + 2)}^{2}} d v] \\ = \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} \\ = \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} \\ = 2 \sqrt{256 t^{2} - 32 t + 4.901} . \end{matrix}

Un tercio de segundo después de que la pelota salga de la mano del lanzador, la distancia que recorre es igual a

\begin{matrix} s (\frac{1}{3}) & = (\frac{1 / 3}{2} - \frac{1}{32}) \sqrt{1024 {(\frac{1}{3})}^{2} - 128 (\frac{1}{3}) + 19604} \\ - \frac{1.225}{4} ln | (−32 (\frac{1}{3}) + 2) + \sqrt{1024 {(\frac{1}{3})}^{2} - 128 (\frac{1}{3}) + 19604} | \\ + \frac{\sqrt{19604}}{32} + \frac{1.225}{4} ln (2 + \sqrt{19604}) \\ \approx 46,69 pies . \end{matrix}

Este valor se encuentra a poco más de tres cuartos del camino hacia la base del bateador. La velocidad de la pelota es

s^{'} (\frac{1}{3}) = 2 \sqrt{256 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) + 4.901} \approx 140,34 ft/s .

Esta velocidad se traduce en unas 95 mph, una bola rápida de las grandes ligas.

Área superficial generada por una curva paramétrica

Recordemos el problema de hallar el área superficial de un volumen de revolución. En Longitud de la curva y área superficial, derivamos una fórmula para hallar el área superficial de un volumen generado por una función $y = f (x)$ de $x = a$ a $x = b,$ que giraba alrededor del eje x:

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x .

Ahora consideramos un volumen de revolución generado al girar una curva definida paramétricamente $x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b$ alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura.

Se dibuja una curva en el primer cuadrante con los puntos extremos marcados como t = a y t = b. En esta curva hay un punto marcado como (x(t), y(t)). Hay un círculo con una flecha dibujada alrededor del eje x que parece indicar una rotación sobre el eje x, y hay una forma que acompaña a esa curva que parece ser lo que se obtendría si se rotara la curva sobre el eje x.

Figura 1.25 Una superficie de revolución generada por una curva definida paramétricamente.

La fórmula análoga para una curva definida paramétricamente es

S = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t

(1.6)

siempre que $y (t)$ no sea negativa en $[a, b] .$

Ejemplo 1.9

Cálculo del área superficial

Halle el área superficial de una esfera de radio r centrada en el origen.

Solución

Partimos de la curva definida por las ecuaciones

x (t) = r cos t, y (t) = r sen t, 0 \leq t \leq π .

Esto genera un semicírculo superior de radio r centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico.

Se dibuja un semicírculo de radio r. En el gráfico también aparecen escritas tres ecuaciones: x(t) = r cos(t), y(t) = r =sen(t), 0 ≤ t ≤ π.

Figura 1.26 Un semicírculo generado por ecuaciones paramétricas.

Cuando esta curva gira alrededor del eje x, genera una esfera de radio r. Para calcular el área superficial de la esfera, utilizamos la Ecuación 1.6:

\begin{matrix} S & = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sen t \sqrt{{(− r sen t)}^{2} + {(r cos t)}^{2}} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sen t \sqrt{r^{2} {sen}^{2} t + r^{2} {cos}^{2} t} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sen t \sqrt{r^{2} ({sen}^{2} t + {cos}^{2} t)} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r^{2} sen t d t \\ = 2 π r^{2} ({− cos t |}_{0}^{π}) \\ = 2 π r^{2} (− cos π + cos 0) \\ = 4 π r^{2} . \end{matrix}

Esta es, de hecho, la fórmula del área superficial de una esfera.

Punto de control 1.9

Halle el área superficial generada cuando la curva plana definida por las ecuaciones

x (t) = t^{3}, y (t) = t^{2}, 0 \leq t \leq 1

se gira alrededor del eje x.

Sección 1.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una línea. Sin eliminar el parámetro, halle la pendiente de cada línea.

62.

$\begin{matrix} x = 3 + t, & y = 1 - t \end{matrix}$

63.

$\begin{matrix} x = 8 + 2 t, & y = 1 \end{matrix}$

64.

$\begin{matrix} x = 4 - 3 t, & y = −2 + 6 t \end{matrix}$

65.

$\begin{matrix} x = −5 t + 7, & y = 3 t - 1 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la línea tangente y, a continuación, halle la ecuación de la línea tangente en el valor dado del parámetro.

66.

$\begin{matrix} x = 3 sen t, & y = 3 cos t, t = \frac{π}{4} \end{matrix}$

67.

$\begin{matrix} x = cos t, & y = 8 sen t, \end{matrix} t = \frac{π}{2}$

68.

$\begin{matrix} x = 2 t, & y = t^{3}, t = –1 \end{matrix}$

69.

$\begin{matrix} x = t + \frac{1}{t}, & y = t - \frac{1}{t}, t = 1 \end{matrix}$

70.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t, t = 4 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada.

71.

$\begin{matrix} x = 4 cos t, & y = 4 sen t, \end{matrix}$ pendiente = 0,5

72.

$\begin{matrix} x = 2 cos t, & y = 8 sen t, pendiente = –1 \end{matrix}$

73.

$\begin{matrix} x = t + \frac{1}{t}, & y = t - \frac{1}{t}, pendiente = 1 \end{matrix}$

74.

$\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{t}, & y = 2 - 4 t, pendiente = 0 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado.

75.

$\begin{matrix} x = e^{\sqrt{t}}, & y = 1 - ln t^{2}, t = 1 \end{matrix}$

76.

$\begin{matrix} x = t ln t, & y = {sen}^{2} t, \end{matrix} t = \frac{π}{4}$

77.

$\begin{matrix} x = e^{t}, & y = {(t - 1)}^{2}, en (1, 1) \end{matrix}$ grandes.

78.

Para $x = sen (2 t), y = 2 sen t$ donde $0 \leq t < 2 π .$ Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente horizontal.

79.

Para $x = sen (2 t), y = 2 sen t$ donde $0 \leq t < 2 π .$ Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente vertical.

80.

Halle todos los puntos de la curva $x = 4 sen (t), y = 4 cos (t)$ que tienen la pendiente $0,5$

81.

Halle $\frac{d y}{d x}$ para $x = sen (t), y = cos (t) .$

82.

Halle la ecuación de la línea tangente a $x = sen (t), y = cos (t)$ en $t = \frac{π}{4} .$

83.

Para la curva $x = 4 t, y = 3 t - 2,$ halle la pendiente y la concavidad de la curva en $t = 3 .$

84.

Para la curva paramétrica cuya ecuación es $x = 4 cos θ, y = 4 sen θ,$ halle la pendiente y la concavidad de la curva en $θ = \frac{π}{4} .$

85.

Halle la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es $x = 2 + sec θ, y = 1 + 2 tan θ$ en $θ = \frac{π}{6} .$

86.

Halle todos los puntos de la curva $x = t + 4, y = t^{3} - 3 t$ en los que hay tangentes verticales y horizontales.

87.

Halle todos los puntos de la curva $x = sec θ, y = tan θ$ en los que hay tangentes horizontales y verticales.

En los siguientes ejercicios, calcule $d^{2} y / d x^{2} .$

88.

$\begin{matrix} x = t^{4} - 1, & y = t - t^{2} \end{matrix}$

89.

$\begin{matrix} x = sen (π t), & y = cos (π t) \end{matrix}$ grandes.

90.

$\begin{matrix} x = e^{− t}, & y = t \end{matrix} e^{2 t}$

En los siguientes ejercicios, halle los puntos de la curva en los que la línea tangente es horizontal o vertical.

91.

$\begin{matrix} x = t (t^{2} - 3), & y = 3 (t^{2} - 3) \end{matrix}$

92.

$\begin{matrix} x = \frac{3 t}{1 + t^{3}}, & y = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, calcule $d y / d x$ al valor del parámetro.

93.

$\begin{matrix} x = cos t, & y = sen t, t = \frac{3 π}{4} \end{matrix}$

94.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t + 4, t = 9 \end{matrix}$

95.

$\begin{matrix} x = 4 cos (2 π s), & y = 3 sen \end{matrix} (2 π s), s = - \frac{1}{4}$

En los siguientes ejercicios, calcule $d^{2} y / d x^{2}$ en el punto dado sin eliminar el parámetro.

96.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t^{2}, & y = \frac{1}{3} t^{3}, & t = 2 \end{matrix}$

97.

$x = \sqrt{t}, y = 2 t + 4, t = 1$

98.

Halle los intervalos t en los que la curva $x = 3 t^{2}, y = t^{3} - t$ es cóncava hacia arriba y hacia abajo.

99.

Determine la concavidad de la curva $x = 2 t + ln t, y = 2 t - ln t .$

100.

Dibuje y halle el área bajo un arco de la cicloide $x = r (θ - sen θ), y = r (1 - cos θ) .$

101.

Halle el área delimitada por la curva $x = cos t, y = e^{t}, 0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ y las líneas $y = 1$ y $x = 0 .$

102.

Halle el área encerrada por la elipse $x = a cos θ, y = b sen θ, 0 \leq θ < 2 π .$

103.

Halle el área de la región delimitada por $x = 2 {sen}^{2} θ, y = 2 {sen}^{2} θ tan θ,$ para $0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .$

En los siguientes ejercicios, halle el área de las regiones delimitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro.

104.

$x = 2 cot θ, y = 2 {sen}^{2} θ, 0 \leq θ \leq π$

105.

[T] $x = 2 a cos t - a cos (2 t), y = 2 a sen t - a sen (2 t), 0 \leq t < 2 π$

106.

[T] $x = a sen (2 t), y = b sen (t), 0 \leq t < 2 π$ (el "reloj de arena")

107.

[T] $x = 2 a cos t - a sen (2 t), y = b sen t, 0 \leq t < 2 π$ (la "lágrima")

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro.

108.

$x = 4 t + 3, y = 3 t - 2, 0 \leq t \leq 2$

109.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{3} t^{3}, & y = \frac{1}{2} t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

110.

$\begin{matrix} x = cos (2 t), & y = sen (2 t), & 0 \leq t \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$

111.

$\begin{matrix} x = 1 + t^{2}, & y = {(1 + t)}^{3}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

112.

$\begin{matrix} x = e^{t} cos t, & y = e^{t} sen t, & 0 \leq t \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$ (Utilice un CAS para esto y exprese la respuesta como un decimal redondeado a tres decimales).

113.

$x = a {cos}^{3} θ, y = a {sen}^{3} θ$ en el intervalo $[0, 2 π)$ (la hipocicloide)

114.

Halle la longitud de un arco de la cicloide $x = 4 (t - sen t), y = 4 (1 - cos t) .$

115.

Calcule la distancia recorrida por una partícula con posición $(x, y)$ a medida que t varía en el intervalo de tiempo dado: $\begin{matrix} x = {sen}^{2} t, & y = {cos}^{2} t, & 0 \leq t \leq 3 π \end{matrix} .$

116.

Halle la longitud de un arco de la cicloide $x = θ - sen θ, y = 1 - cos θ .$

117.

Demuestre que la longitud total de la elipse $x = 4 sen θ, y = 3 cos θ$ es $L = 16 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} {sen}^{2} θ} d θ,$ donde $e = \frac{c}{a}$ y $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} .$

118.

Calcule la longitud de la curva $x = e^{t} - t, y = 4 e^{t / 2}, −8 \leq t \leq 3 .$

En los siguientes ejercicios, halle el área superficial que se obtiene cuando se gira la curva dada alrededor del eje x.

119.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

120.

$\begin{matrix} x = a {cos}^{3} θ, & y = a {sen}^{3} θ, & 0 \leq θ \leq \end{matrix} \frac{π}{2}$

121.

[T] Utilice un CAS para hallar el área superficial generada al girar $x = t + t^{3}, y = t - \frac{1}{t^{2}}, 1 \leq t \leq 2$ alrededor del eje x. (Respuesta redondeada a tres decimales).

122.

Halle el área superficial obtenida al girar $x = 3 t^{2}, y = 2 t^{3}, 0 \leq t \leq 5$ alrededor del eje y.

123.

Halle el área superficial generada al girar $x = t^{2}, y = 2 t, 0 \leq t \leq 4$ alrededor del eje x.

124.

Halle el área superficial generada al girar $x = t^{2}, y = 2 t^{2}, 0 \leq t \leq 1$ alrededor del eje y.

1.2 Cálculo de curvas paramétricas

Derivadas de ecuaciones paramétricas

Derivada de ecuaciones paramétricas

Prueba

Cálculo de la derivada de una curva paramétrica

Solución

Hallar una línea tangente

Solución

Derivadas de segundo orden

Calcular una segunda derivada

Solución

Integrales con ecuaciones paramétricas

Área bajo una curva paramétrica

Cálculo del área bajo una curva paramétrica

Solución

Longitud de arco de una curva paramétrica

Longitud de arco de una curva paramétrica

Hallar la longitud de arco de una curva paramétrica

Solución

Área superficial generada por una curva paramétrica

Cálculo del área superficial

Solución

Sección 1.2 ejercicios