Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.4.1 Determine la longitud de una curva, $y = f (x),$ entre dos puntos.
2.4.2 Determine la longitud de una curva, $x = g (y),$ entre dos puntos.
2.4.3 Hallar el área superficial de un sólido de revolución.

En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, querremos saber qué distancia recorre el cohete. O si una curva en un mapa representa una carretera, desearíamos saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino.

Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de $x,$ luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de $y .$ (El proceso es idéntico, invirtiendo los roles de $x$ como $y$ ). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden ampliarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto.

Longitud de arco de la curva y = f(x)

En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función $f (x)$ fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para $f (x) .$ En este caso, necesitamos que $f (x)$ sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, $f^{'} (x),$ sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves. (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores).

Supongamos que $f (x)$ es una función suave definida sobre $[a, b] .$ Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto $(a, f (a))$ al punto $(b, f (b)) .$ Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular de $[a, b] .$ Luego, para $i = 1, 2,…, n,$ construya un segmento lineal desde el punto $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ al punto $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible. La Figura 2.37 representa esta construcción para $n = 5 .$

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. La curva aumenta y disminuye. Se divide en partes en los puntos a=xsub0, xsub1, xsub2, xsub3, xsub4 y xsub5=b. Además, hay segmentos de línea entre los puntos de la curva.

Figura 2.37 Podemos aproximar la longitud de una curva añadiendo segmentos de línea.

Para ayudarnos a encontrar la longitud de cada segmento de línea, debemos observar el cambio en la distancia vertical así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como utilizamos una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por $Δ x .$ Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que utilizamos $Δ y_{i} = f (x_{i}) - f (x_{i - 1})$ para representar el cambio de la distancia vertical en el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}],$ como se muestra en la Figura 2.38. Tenga en cuenta que algunos (o todos) $Δ y_{i}$ pueden ser negativos.

Esta figura es un gráfico. Es una curva sobre el eje x que comienza en el punto f(xsubi-1). La curva termina en el primer cuadrante en el punto f(xsubi). Entre los dos puntos de la curva hay un segmento de línea. Se forma un triángulo rectángulo con este segmento lineal como hipotenusa, un segmento horizontal con longitud delta x y un segmento de línea vertical con longitud delta y.

Figura 2.38 Un segmento de línea representativo aproxima la curva en el intervalo

[x_{i - 1}, x_{i}] .

Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de línea es $\sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} .$ También podemos escribirlo como $Δ x \sqrt{1 + {((Δ y_{i}) / (Δ x))}^{2}} .$ Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ de manera que $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / (Δ x) .$ Entonces la longitud del segmento de línea viene dada por $Δ x \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} .$ Sumando las longitudes de todos los segmentos de la línea, obtenemos

Longitud de arco \approx \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .

Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que $n \to \infty,$ tenemos

Longitud de arco = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema.

Teorema 2.4

Longitud de arco para y = f(x)

Supongamos que $f (x)$ una función suave en el intervalo $[a, b] .$ Entonces la longitud de arco de la porción del gráfico de $f (x)$ desde el punto $(a, f (a))$ al punto $(b, f (b))$ está dada por

Longitud de arco = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

(2.7)

Note que estamos integrando una expresión que implica $f^{'} (x),$ así que tenemos que estar seguros de que $f^{'} (x)$ es integrable. Por eso necesitamos que $f (x)$ sea suave. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema.

Ejemplo 2.18

Cálculo de la longitud de arco de una función de x

Supongamos que $f (x) = 2 x^{3 / 2} .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $f (x)$ en el intervalo $[0, 1] .$ Redondee la respuesta a tres decimales.

Solución

Tenemos $f^{'} (x) = 3 x^{1 / 2},$ por lo que ${[f^{'} (x)]}^{2} = 9 x .$ Entonces, la longitud de arco es

\begin{matrix} Longitud de arco & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x . \end{matrix}

Sustituya $u = 1 + 9 x .$ Entonces, $d u = 9 d x .$ Cuando $x = 0,$ entonces $u = 1,$ y cuando $x = 1,$ entonces $u = 10 .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} Longitud de arco & = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x \\ = \frac{1}{9} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} 9 d x = \frac{1}{9} \int_{1}^{10} \sqrt{u} d u \\ = {\frac{1}{9} . \frac{2}{3} u^{3 / 2} |}_{1}^{10} = \frac{2}{27} [10 \sqrt{10} - 1] \approx 2,268 al cuadrado . \end{matrix}

Punto de control 2.18

Supongamos que $f (x) = (4 / 3) x^{3 / 2} .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $f (x)$ en el intervalo $[0, 1] .$ Redondee la respuesta a tres decimales.

Aunque es bueno tener una fórmula para calcular la longitud de arco, este teorema en particular puede generar expresiones difíciles de integrar. En Introducción a técnicas de integración estudiamos algunas técnicas de integración. En algunos casos, es posible que tengamos que utilizar una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral.

Ejemplo 2.19

Utilizar una computadora o una calculadora para determinar la longitud de arco de una función de x

Supongamos que $f (x) = x^{2} .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $f (x)$ en el intervalo $[1, 3] .$

Solución

Tenemos $f^{'} (x) = 2 x,$ por lo que ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 x^{2} .$ Entonces la longitud de arco viene dada por

Longitud de arco = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos

\int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \approx 8,26815 .

Punto de control 2.19

Supongamos que $f (x) = sen x .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $f (x)$ en el intervalo $[0, π] .$ Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral.

Longitud de arco de la curva x = g(y)

Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de $y,$ podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje $y$ en lugar del eje $x .$ La Figura 2.39 muestra un segmento de línea representativo.

Esta figura es un gráfico. Es una curva a la derecha del eje y que comienza en el punto g(ysubi-1). La curva termina en el primer cuadrante en el punto g(ysubi). Entre los dos puntos en la curva hay un segmento lineal. Se forma un triángulo rectángulo con este segmento lineal como hipotenusa, un segmento horizontal con longitud delta x y un segmento de línea vertical con longitud delta y.

Figura 2.39 Un segmento de línea representativo en el intervalo

[y_{i - 1}, y_{i}] .

Entonces la longitud del segmento de línea es $\sqrt{{(Δ y)}^{2} + {(Δ x_{i})}^{2}},$ que también puede escribirse como $Δ y \sqrt{1 + {((Δ x_{i}) / (Δ y))}^{2}} .$ Si ahora seguimos el mismo desarrollo anterior, obtenemos una fórmula para la longitud de arco de una función $x = g (y) .$

Teorema 2.5

Longitud de arco para x = g(y)

Supongamos que $g (y)$ es una función suave sobre un $y$ intervalo $[c, d] .$ Entonces, la longitud de arco del gráfico de $g (y)$ desde el punto $(g (d), d)$ al punto $(g (c), c)$ está dada por

Longitud de arco = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y .

(2.8)

Ejemplo 2.20

Cálculo de la longitud de arco de una función de y

Supongamos que $g (y) = 3 y^{3} .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $g (y)$ en el intervalo $[1, 2] .$

Solución

Tenemos $g^{'} (y) = 9 y^{2},$ por lo que ${[g^{'} (y)]}^{2} = 81 y^{4} .$ Entonces la longitud de arco es

Longitud de arco = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y .

Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos

\int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y \approx 21,0277 .

Punto de control 2.20

Supongamos que $g (y) = 1 / y .$ Calcule la longitud de arco del gráfico de $g (y)$ en el intervalo $[1, 4] .$ Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral.

Área de una superficie de revolución

Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que $f (x)$ es una función suave no negativa sobre el intervalo $[a, b] .$ Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de $y = f (x)$ alrededor del eje $x$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "a" y es una curva en el primer cuadrante que comienza en el eje y. La curva es y=f(x). El segundo gráfico está marcado como "b" y tiene la misma curva y=f(x). También hay una superficie sólida formada por la rotación de la curva alrededor del eje x.

Figura 2.40 (a) Una curva que representa la función

f (x) .

b) La superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de

f (x)

alrededor del eje

x .

Como ya hemos hecho muchas veces, vamos a dividir el intervalo $[a, b]$ y aproximar el área superficial calculando la superficie de formas más simples. Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la curva, como hicimos anteriormente en esta sección. Para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular de $[a, b] .$ Luego, para $i = 1, 2,…, n,$ construya un segmento lineal desde el punto $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ al punto $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Ahora, gire estos segmentos de línea alrededor del eje $x$ para generar una aproximación de la superficie de revolución como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.41 (a) Aproximación de

f (x)

con segmentos de línea. (b) Superficie de revolución formada al girar los segmentos de línea alrededor del eje

x .

Observe que, cuando cada segmento de línea gira alrededor del eje, produce una banda. Estas bandas son en realidad trozos de conos (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). Un trozo de cono como este se denomina tronco de cono.

Para encontrar el área superficial de la banda, necesitamos encontrar el área superficial lateral, $S,$ del tronco (solo el área de la superficie exterior inclinada del tronco, sin incluir las áreas de las caras superiores o inferiores). Supongamos que $r_{1}$ y $r_{2}$ son los radios del extremo ancho y del extremo estrecho del tronco respectivamente, y que $l$ es la altura oblicua del tronco como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico. Es un tronco de un cono sobre el eje x con el eje y en el centro. El radio de la parte inferior del frustro es rsub1 y el radio de la parte superior es rsub2. La longitud del lado está marcada como "l".

Figura 2.42 El tronco de un cono puede aproximarse a una pequeña parte del área superficial.

Sabemos que el área superficial lateral de un cono viene dada por

Área superficial lateral = π r s,

donde $r$ es el radio de la base del cono y $s$ es la altura de la inclinación (vea la siguiente figura).

Esta figura es un cono. El cono tiene radio r, altura h y longitud de lado s.

Figura 2.43 El área superficial lateral del cono viene dada por

π r s .

Dado que un tronco puede considerarse como un trozo de cono, el área superficial lateral del tronco viene dada por el área superficial lateral del cono entero menos el área superficial lateral del cono más pequeño (la punta) que se cortó (vea la siguiente figura).

Esta figura es un gráfico. Este es el tronco de un cono. El radio de la parte inferior del frustro es rsub1 y el radio de la parte superior es rsub2. La longitud del lado está marcada como "l". También está la parte superior de un cono con líneas discontinuas sobre el tronco. Tiene una longitud de lado s.

Figura 2.44 Cálculo del área superficial lateral del tronco de un cono.

Las secciones transversales del cono pequeño y del grande son triángulos similares, por lo que vemos que

\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{s - l}{s} .

Al resolver para $s,$ obtenemos

\begin{matrix} \frac{r_{2}}{r_{1}} & = & \frac{s - l}{s} \\ r_{2} s & = & r_{1} (s - l) \\ r_{2} s & = & r_{1} s - r_{1} l \\ r_{1} l & = & r_{1} s - r_{2} s \\ r_{1} l & = & (r_{1} - r_{2}) s \\ \frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} & = & s . \end{matrix}

Entonces el área superficial lateral (SA) del tronco es

\begin{matrix} S & = (SA lateral del cono grande) - (SA lateral del cono pequeño) \\ = π r_{1} s - π r_{2} (s - l) \\ = π r_{1} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}}) - π r_{2} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} - l) \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + π r_{2} l \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{2} l (r_{1} - r_{2})}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{2}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π (r_{1}^{2} - r_{2}^{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = \frac{π (r_{1} - r_{2}) (r_{1} + r_{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = π (r_{1} + r_{2}) l . \end{matrix}

Utilicemos ahora esta fórmula para calcular el área superficial de cada una de las bandas que se forman al girar los segmentos de la línea alrededor del eje $x .$ En la siguiente figura se muestra una banda representativa.

Esta figura tiene dos gráficos. La primera es una curva en el primer cuadrante. Alrededor del eje x hay el tronco de un cono. El borde del tronco está en contra de la curva. La arista comienza en f(xsubi-1) y termina en f(xsubi). La segunda imagen es la misma curva con el mismo cono. La altura del tronco es delta x y la curva se marca como y=f(x).

Figura 2.45 Banda representativa utilizada para determinar el área superficial.

Observe que la altura oblicua de este tronco es solo la longitud del segmento de línea que se usa para generarlo. Así, aplicando la fórmula del área superficial, tenemos

\begin{matrix} S & = π (r_{1} + r_{2}) l \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) \sqrt{Δ x^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x})}^{2}} . \end{matrix}

Ahora, como hicimos en el desarrollo de la fórmula de la longitud de arco, aplicamos el teorema del valor medio para seleccionar $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ de manera que $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / Δ x .$ Esto nos da

S = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Además, como $f (x)$ es continua, por el teorema del valor intermedio, hay un punto $x_{i}^{* *} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ de manera que $f (x_{i}^{* *}) = (1 / 2) [f (x_{i - 1}) + f (x_{i})],$ por lo que obtenemos

S = 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Entonces el área superficial aproximada de toda la superficie de revolución viene dada por

Superficie \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Esto casi parece una suma de Riemann, excepto que tenemos funciones evaluadas en dos puntos diferentes, $x_{i}^{*}$ y $x_{i}^{* *},$ en el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Aunque no examinamos los detalles aquí, resulta que ya que $f (x)$ es suave, si suponemos que $n \to \infty,$ el límite funciona igual que una suma de Riemann incluso con los dos puntos de evaluación diferentes. De manera intuitiva, esto tiene sentido. Tanto $x_{i}^{*}$ y $x_{i}^{* *}$ están en el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}],$ por lo que tiene sentido que, cuando $n \to \infty,$ ambos $x_{i}^{*}$ y $x_{i}^{* *}$ se acercan a $x .$ Si le interesan los detalles debe consultar un texto de cálculo avanzado.

Si tomamos el límite a medida que $n \to \infty,$ obtenemos

Superficie = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

Al igual que con la longitud de arco, podemos realizar un desarrollo similar para las funciones de $y$ a fin de obtener una fórmula del área superficial de las superficies de revolución alrededor del $y .$ Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 2.6

Área superficial de una superficie de revolución

Supongamos que $f (x)$ es una función suave no negativa sobre el intervalo $[a, b] .$ Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de $f (x)$ alrededor del eje x viene dada por

Superficie = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

(2.9)

Del mismo modo, supongamos que $g (y)$ es una función suave no negativa sobre el intervalo $[c, d] .$ Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de $g (y)$ alrededor del eje $y$ viene dada por

Superficie = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y .

Ejemplo 2.21

Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 1

Supongamos que $f (x) = \sqrt{x}$ en el intervalo $[1, 4] .$ Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de $f (x)$ alrededor del eje $x .$ Redondee la respuesta a tres decimales.

Solución

El gráfico de $f (x)$ y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es la curva f(x)=raízcuadrada(x). La curva es creciente y comienza en el origen. También en el gráfico están las líneas verticales x=1 y x=4. El segundo gráfico es la misma función que el primero. La región entre f(x) y el eje x, delimitada por x = 1 y x = 4 se giró alrededor del eje x para formar una superficie.

Figura 2.46 (a) El gráfico de

f (x) .

(b) La superficie de revolución.

Tenemos $f (x) = \sqrt{x} .$ Entonces, $f^{'} (x) = 1 / (2 \sqrt{x})$ y ${(f^{'} (x))}^{2} = 1 / (4 x) .$ Entonces,

\begin{matrix} Superficie & = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4 x}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x . \end{matrix}

Supongamos que $u = x + 1 / 4 .$ Entonces, $d u = d x .$ Cuando $x = 1,$ $u = 5 / 4,$ y cuando $x = 4,$ $u = 17 / 4 .$ Esto nos da

\begin{matrix} \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x & = \int_{5 / 4}^{17 / 4} 2 π \sqrt{u} d u \\ = 2 π {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{5 / 4}^{17 / 4} = \frac{π}{6} [17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5}] \approx 30,846. \end{matrix}

Punto de control 2.21

Supongamos que $f (x) = \sqrt{1 - x}$ en el intervalo $[0, 1 / 2] .$ Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de $f (x)$ alrededor del eje $x .$ Redondee la respuesta a tres decimales.

Ejemplo 2.22

Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 2

Supongamos que $f (x) = y = \sqrt[3]{3 x} .$ Considere la parte de la curva donde $0 \leq y \leq 2 .$ Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de $f (x)$ alrededor del eje $y .$

Solución

Observe que estamos girando la curva alrededor del eje $y,$ y el intervalo está en términos de $y,$ por lo que queremos reescribir la función como una función de y. Obtenemos $x = g (y) = (1 / 3) y^{3} .$ La gráfica de $g (y)$ y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es la curva g(y)=1/3y^3. La curva es creciente y comienza en el origen. También en el gráfico están las líneas horizontales y=0 e y=2. El segundo gráfico es la misma función que el primero. La región entre g(y) y el eje y, delimitada por y = 0 y y = 2 se giró alrededor del eje y para formar una superficie.

Figura 2.47 (a) El gráfico de

g (y) .

(b) La superficie de revolución.

Tenemos $g (y) = (1 / 3) y^{3},$ por lo que $g^{'} (y) = y^{2}$ y ${(g^{'} (y))}^{2} = y^{4} .$ Entonces

\begin{matrix} Superficie & = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y \\ = \int_{0}^{2} (2 π (\frac{1}{3} y^{3}) \sqrt{1 + y^{4}}) d y \\ = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y . \end{matrix}

Supongamos que $u = y^{4} + 1 .$ Entonces $d u = 4 y^{3} d y .$ Cuando $y = 0,$ $u = 1,$ y cuando $y = 2,$ $u = 17 .$ Entonces

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y & = \frac{2 π}{3} \int_{1}^{17} \frac{1}{4} \sqrt{u} d u \\ = \frac{π}{6} {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{1}^{17} = \frac{π}{9} [{(17)}^{3 / 2} - 1] \approx 24,118. \end{matrix}

Punto de control 2.22

Supongamos que $g (y) = \sqrt{9 - y^{2}}$ en el intervalo $y \in [0, 2] .$ Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de $g (y)$ alrededor del eje $y .$

Sección 2.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de las funciones en el intervalo dado.

165.

$y = 5 x de x = 0 a x = 2$

166.

$y = - \frac{1}{2} x + 25 de x = 1 para x = 4$

167.

$x = 4 y de y = −1 para y = 1$

168.

Elija una función lineal arbitraria $x = g (y)$ en cualquier intervalo de su elección $(y_{1}, y_{2}) .$ Determine la longitud de la función y luego demuestre que la longitud es correcta utilizando la geometría.

169.

Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva $y = \sqrt{x}$ gira en torno a eje $x$ a partir de $(1, 1)$ al $(4, 2),$ como se ve aquí.

Esta figura es una superficie. Se formó girando la curva y = raíz cuadrada(x) alrededor del eje x. La superficie está dentro de un cubo para mostrar las 3 dimensiones.

170.

Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva $y = x^{2}$ gira en torno a $y$ a partir de $(1, 1)$ al $(3, 9) .$

Esta figura es una superficie. Tiene una forma elíptica en la parte superior, formando un "cuenco".

Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de $x$ en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla.

171.

$y = x^{3 / 2}$ a partir de $(0, 0) para (1, 1)$ grandes.

172.

$y = x^{2 / 3}$ a partir de $(1, 1) para (8, 4)$ grandes.

173.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}$ de $x = 0 a x = 1$

174.

$y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}$ de $x = 2$ hasta $x = 4$

175.

[T] $y = e^{x}$ sobre $x = 0$ hasta $x = 1$

176.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ de $x = 1 para x = 3$

177.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ de $x = 1 para x = 2$

178.

$y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}$ de $x = 1 para x = 4$

179.

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}$ de $x = 0 a x = 2$

180.

[T] $y = sen x$ sobre $x = 0 a x = π$

Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de $y$ en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla.

181.

$y = \frac{5 - 3 x}{4}$ a partir de $y = 0$ al $y = 4$

182.

$x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})$ a partir de $y = −1 para y = 1$

183.

$x = 5 y^{3 / 2}$ a partir de $y = 0$ al $y = 1$

184.

[T] $x = y^{2}$ a partir de $y = 0$ al $y = 1$

185.

$x = \sqrt{y}$ a partir de $y = 0 para y = 1$

186.

$x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}$ a partir de $y = 1$ hasta $y = 3$

187.

[T] $x = tan y$ a partir de $y = 0$ al $y = \frac{3}{4}$

188.

[T] $x = {cos}^{2} y$ a partir de $y = - \frac{π}{2}$ al $y = \frac{π}{2}$

189.

[T] $x = 4^{y}$ a partir de $y = 0 para y = 2$

190.

[T] $x = ln (y)$ sobre $y = \frac{1}{e}$ al $y = e$

Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del eje $x .$ Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla.

191.

$y = \sqrt{x}$ de $x = 2$ hasta $x = 6$

192.

$y = x^{3}$ a partir de $x = 0$ hasta $x = 1$

193.

$y = 7 x$ de $x = −1 para x = 1$

194.

[T] $y = \frac{1}{x^{2}}$ de $x = 1 para x = 3$

195.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ de $x = 0 a x = 2$

196.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$ de $x = −1 para x = 1$

197.

$y = 5 x$ de $x = 1 para x = 5$

198.

[T] $y = tan x$ de $x = - \frac{π}{4} para x = \frac{π}{4}$

Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del $y .$ Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla.

199.

$y = x^{2}$ de $x = 0 a x = 2$

200.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ de $x = 0 a x = 1$

201.

$y = x + 1$ a partir de $x = 0 a x = 3$

202.

[T] $y = \frac{1}{x}$ de $x = \frac{1}{2}$ hasta $x = 1$

203.

$y = \sqrt[3]{x}$ a partir de $x = 1 para x = 27$

204.

[T] $y = 3 x^{4}$ a partir de $x = 0$ hasta $x = 1$

205.

[T] $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ de $x = 1$ a $x = 3$

206.

[T] $y = cos x$ de $x = 0$ hasta $x = \frac{π}{2}$

207.

La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ alrededor del eje $y$ a partir de $x = 1$ a $x = 2,$ como se ve aquí. Cree una integral para la superficie de esta curva y calcúlela.

Esta figura es una superficie. Es la mitad de un toro que se crea al girar la curva y = raíz cuadrada(2x-x^2) alrededor del eje x.

208.

Una bombilla es una esfera con un radio de $1 / 2$ in con la parte inferior cortada para que encaje exactamente en un cilindro con un radio de $1 / 4$ in y longitud $1 / 3$ in, como se ve aquí. La esfera se corta por la parte inferior para que encaje exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte es de $1 / 4$ pulgadas Halle el área superficial (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una esfera sobre un cilindro. La segunda es una bombilla.

209.

[T] Una pantalla se construye al girar $y = 1 / x$ alrededor del eje $x$ a partir de $y = 1$ hasta $y = 2,$ como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitará para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área superficial, con una precisión de cuatro decimales.

Esta figura tiene dos imágenes. El primero es similar al tronco de un cono con bordes que se doblan hacia adentro. La segunda es una pantalla de lámpara.

210.

[T] Un ancla se arrastra detrás de un barco según la función $y = 24 e^{– x / 2} - 24,$ donde $y$ representa la profundidad bajo el barco y $x$ es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera del barco. Si el ancla está a $23$ ft por debajo del barco, ¿cuánta cuerda hay que tirar para alcanzar el ancla? Redondee su respuesta a tres decimales.

211.

[T] Está construyendo un puente que abarcará $10$ pies. Tiene la intención de añadir una cuerda decorativa en forma de $y = 5 | sen ((x π) / 5) |,$ donde $x$ es la distancia en pies desde un extremo del puente. Averigüe cuánta cuerda necesita comprar, redondeada al pie más cercano.

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco exacta para los siguientes problemas sobre el intervalo dado.

212.

$y = ln (sen x)$ de $x = π / 4$ al $x = (3 π) / 4 .$ (Pista: Recuerde las identidades trigonométricas).

213.

Dibuje gráficos de $y = x^{2},$ $y = x^{6},$ y $y = x^{10} .$ Para $y = x^{n},$ cuando $n$ aumenta, formule una predicción sobre la longitud del arco a partir de $(0, 0)$ al $(1, 1) .$ Ahora, calcule las longitudes de estas tres funciones y determine si su predicción es correcta.

214.

Compare las longitudes de la parábola $x = y^{2}$ y la línea $x = b y$ a partir de $(0, 0) para (b^{2}, b)$ cuando $b$ aumenta. ¿Qué observa?

215.

Resuelva la longitud de $x = y^{2}$ a partir de $(0, 0) para (1, 1) .$ Demuestre que $x = (1 / 2) y^{2}$ a partir de $(0, 0)$ al $(2, 2)$ es el doble de largo. Grafique ambas funciones y explique por qué es así.

216.

[T] Qué es más largo entre $(1, 1)$ y $(2, 1 / 2) :$ la hipérbola $y = 1 / x$ o el gráfico de $x + 2 y = 3 ?$

217.

Explique por qué el área de superficie es infinita cuando $y = 1 / x$ se gira alrededor del eje $x$ por $1 \leq x < \infty,$ pero el volumen es finito.

2.4 Longitud del arco de una curva y superficie

Longitud de arco de la curva y = f(x)

Longitud de arco para y = f(x)

Cálculo de la longitud de arco de una función de x

Solución

Utilizar una computadora o una calculadora para determinar la longitud de arco de una función de x

Solución

Longitud de arco de la curva x = g(y)

Longitud de arco para x = g(y)

Cálculo de la longitud de arco de una función de y

Solución

Área de una superficie de revolución

Área superficial de una superficie de revolución

Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 1

Solución

Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 2

Solución

Sección 2.4 ejercicios