Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.5.1 Determinar la masa de un objeto unidimensional a partir de su función de densidad lineal.
2.5.2 Determinar la masa de un objeto circular bidimensional a partir de su función de densidad radial.
2.5.3 Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa a lo largo de una línea.
2.5.4 Calcular el trabajo realizado al bombear un líquido de una altura a otra.
2.5.5 Encontrar la fuerza hidrostática contra una placa vertical sumergida.

En esta sección, examinaremos algunas aplicaciones físicas de la integración. Comenzaremos dándole un vistazo al cálculo de la masa a partir de una función de densidad. A continuación, nos centraremos en el trabajo y cerraremos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática.

Masa y Densidad

Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje $x −eje,$ con el extremo izquierdo de la varilla en $x = a$ y el extremo derecho en $x = b$ (Figura 2.48). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional.

Esta figura tiene los ejes x y y. En el eje x hay un cilindro, que empieza en x = a y termina en x = b.

Figura 2.48 Podemos calcular la masa de una varilla delgada orientada a lo largo del eje

x

integrando su función de densidad.

Si la varilla tiene una densidad constante $ρ,$ dada en términos de masa por unidad de longitud, entonces la masa de la varilla es solo el producto de la densidad y la longitud de la varilla: $(b - a) ρ .$ Sin embargo, si la densidad de la varilla no es constante, el problema se vuelve un poco más difícil. Cuando la densidad de la varilla varía de un punto a otro, utilizamos una función de densidad lineal, $ρ (x),$ para denotar la densidad de la varilla en cualquier punto, $x .$ Supongamos que $ρ (x)$ es una función de densidad lineal integrable. Ahora, para $i = 0, 1, 2,…, n$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[a, b],$ y para $i = 1, 2,…, n$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ La Figura 2.49 muestra un segmento representativo de la varilla.

Esta figura tiene los ejes x e y. En el eje x hay un cilindro, que empieza en x=a y termina en x=b. El cilindro está dividido en segmentos. Un segmento en el centro comienza en xsub(i-1) y termina en xsubi.

Figura 2.49 Un segmento representativo de la varilla.

La masa $m_{i}$ del segmento de la varilla de $x_{i - 1}$ a $x_{i}$ se aproxima por

m_{i} \approx ρ (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Sumando las masas de todos los segmentos obtenemos una aproximación a la masa de toda la varilla:

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que $n \to \infty,$ obtenemos una expresión de la masa exacta de la varilla:

m = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

Enunciamos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema 2.7

Fórmula masa-densidad de un objeto unidimensional

Dada una varilla delgada orientada a lo largo del eje $x$ en el intervalo $[a, b],$ supongamos que $ρ (x)$ denota una función de densidad lineal que da la densidad de la varilla en un punto x del intervalo. Entonces la masa de la varilla viene dada por

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

(2.10)

Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.23

Cálculo de la masa a partir de la densidad lineal

Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo $[π / 2, π] .$ Si la densidad de la varilla viene dada por $ρ (x) = sen x,$ ¿cuál es la masa de la varilla?

Solución

Aplicando directamente la Ecuación 2.10, tenemos

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x = \int_{π / 2}^{π} sen x d x = {− cos x |}_{π / 2}^{π} = 1 .

Punto de control 2.23

Consideremos una varilla delgada orientada en el eje xsobre el intervalo $[1, 3] .$ Si la densidad de la varilla viene dada por $ρ (x) = 2 x^{2} + 3,$ ¿cuál es la masa de la varilla?

Ahora extendemos este concepto para hallar la masa de un disco bidimensional de radio $r .$ Al igual que con la varilla del caso unidimensional, aquí suponemos que el disco es lo suficientemente fino como para que, a efectos matemáticos, podamos tratarlo como un objeto bidimensional. Suponemos que la densidad está dada en términos de masa por unidad de superficie (denominada densidad de área), y además que la densidad varía solo a lo largo del radio del disco (denominada densidad radial). Orientamos el disco en el $x y,$ con el centro en el origen. Entonces, la densidad del disco puede ser tratada como una función de $x,$ denotado $ρ (x) .$ Suponemos que $ρ (x)$ es integrable. Como la densidad es una función de $x,$ dividimos el intervalo desde $[0, r]$ a lo largo del eje $x .$ Para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[0, r],$ y para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Ahora, utilice la división para dividir el disco en arandelas finas (bidimensionales). En la siguiente figura se muestra un disco y una arandela representativa.

Esta figura tiene dos imágenes. El primero se denomina "a" y es un círculo de radio r. El centro del círculo está marcado como 0. El círculo también tiene el eje x positivo que comienza en 0 y se extiende a través del círculo. La segunda figura está marcada como "b". Tiene dos círculos concéntricos con centro en 0 y el eje x que se extiende desde 0. Los círculos concéntricos forman una arandela. La anchura de la arandela va de xsub(i-1) a xsubi y se marca como delta x.

Figura 2.50 (a) Un disco fino en el plano xy. (b) Una arandela representativa.

Ahora aproximamos la densidad y el área de la arandela para calcular una masa aproximada, $m_{i} .$ Observe que el área de la arandela viene dada por

\begin{matrix} A_{i} & = π {(x_{i})}^{2} - π {(x_{i - 1})}^{2} \\ = π [x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}] \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x . \end{matrix}

Es posible que recuerde que teníamos una expresión similar a esta cuando calculábamos los volúmenes por capas. Como hicimos allí, utilizamos $x_{i}^{*} \approx (x_{i} + x_{i - 1}) / 2$ para aproximar al radio medio de la arandela. Obtenemos

A_{i} = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x \approx 2 π x_{i}^{*} Δ x .

Utilizando $ρ (x_{i}^{*})$ para aproximar la densidad de la arandela, aproximamos la masa de la misma mediante

m_{i} \approx 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Sumando las masas de las arandelas, vemos que la masa $m$ de todo el disco se aproxima por

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

De nuevo reconocemos que se trata de una suma de Riemann, y tomamos el límite como $n \to \infty .$ Esto nos da

m = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema.

Teorema 2.8

Fórmula masa-densidad de un objeto circular

Supongamos que $ρ (x)$ es una función integrable que representa la densidad radial de un disco de radio $r .$ Entonces la masa del disco viene dada por

m = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

(2.11)

Ejemplo 2.24

Cálculo de la masa a partir de la densidad radial

Supongamos que $ρ (x) = \sqrt{x}$ representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 4.

Solución

Aplicando la fórmula, hallamos

\begin{matrix} m & = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x \\ = \int_{0}^{4} 2 π x \sqrt{x} d x = 2 π \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = 2 π {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{4 π}{5} [32] = \frac{128 π}{5} . \end{matrix}

Punto de control 2.24

Supongamos que $ρ (x) = 3 x + 2$ representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 2.

Trabajo realizado por una fuerza

Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia.

En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra y la unidad de distancia es el pie, por lo que el trabajo se da en pies-libra. En el sistema métrico se utilizan los kilogramos y los metros. Un newton es la fuerza necesaria para acelerar $1$ kilogramo de masa a una tasa de $1$ m/s². Así, la unidad de trabajo más común es el newton-metro. Esta misma unidad también se denomina joule. Ambos se definen como kilogramos por metros al cuadrado sobre segundos al cuadrado $(kg . m^{2} / s^{2}) .$

Cuando tenemos una fuerza constante, las cosas son bastante fáciles. Sin embargo, es raro que una fuerza sea constante. El trabajo realizado para comprimir (o alargar) un resorte, por ejemplo, varía en función de cuánto se lo haya comprimido o estirado. Más adelante, en esta misma sección, se analizan los resortes con más detalle.

Supongamos que tenemos una fuerza variable $F (x)$ que mueve un objeto en dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto $a$ al punto $b .$ Para calcular el trabajo realizado, dividimos el intervalo $[a, b]$ y estimamos el trabajo realizado en cada subintervalo. Entonces, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[a, b],$ y para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde un punto $x_{i - 1}$ al punto $x_{i},$ suponemos que la fuerza es aproximadamente constante en el intervalo, y utilizamos $F (x_{i}^{*})$ para aproximar la fuerza. El trabajo realizado en el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}],$ entonces, viene dado por

W_{i} \approx F (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = F (x_{i}^{*}) Δ x .

Por lo tanto, el trabajo realizado en el intervalo $[a, b]$ es aproximadamente

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x .

Tomando el límite de esta expresión como $n \to \infty$ nos da el valor exacto del trabajo:

W = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} F (x) d x .

Así, podemos definir el trabajo de la siguiente manera.

Definición

Si una fuerza variable $F (x)$ mueve un objeto en una dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a hasta el punto b, entonces el trabajo realizado sobre el objeto es

W = \int_{a}^{b} F (x) d x .

(2.12)

Note que si F es constante, la integral se evalúa como $F . (b - a) = F . d,$ que es la fórmula que indicamos al principio de esta sección.

Veamos ahora el ejemplo concreto del trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte. Consideremos un bloque unido a un resorte horizontal. El bloque se mueve hacia adelante y hacia atrás cuando el resorte se estira y se comprime. Aunque en el mundo real tendríamos que tener en cuenta la fuerza de fricción entre el bloque y la superficie sobre la que se apoya, aquí ignoramos la fricción y suponemos que el bloque está apoyado sobre una superficie sin fricción. Cuando el resorte está en su longitud natural (en reposo), se dice que el sistema está en equilibrio. En este estado, el resorte no se alarga ni se comprime, y en esta posición de equilibrio el bloque no se mueve hasta que se introduce alguna fuerza. Orientamos el sistema de forma que $x = 0$ corresponde a la posición de equilibrio (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene tres imágenes. La primera es el eje x. A la izquierda hay un bloque vertical. En el bloque hay un resorte que termina en el eje y y tiene la marca x = 0. La imagen está marcada como equilibrio. La segunda imagen es el mismo resorte que termina antes del eje y. Tiene x<0 y está marcado como comprimido. La tercera imagen es el mismo resorte que se encuentra más allá del eje y. Tiene x>0 y está marcado como estirado.

Figura 2.51 Un bloque unido a un resorte horizontal en equilibrio, comprimido y alargado.

Según la ley de Hooke, la fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte desde una posición de equilibrio viene dada por $F (x) = k x,$ para alguna constante $k .$ El valor de $k$ depende de las características físicas del resorte. La constante $k$ se denomina constante del resorte y siempre es positiva. Podemos utilizar esta información para calcular el trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.25

El trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte

Supongamos que se necesita una fuerza de $10$ N (en sentido negativo) para comprimir un resorte $0,2$ m de la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte $0,5$ m de la posición de equilibrio?

Solución

Primero halle la constante del resorte, $k .$ Cuando $x = −0,2,$ sabemos que $F (x) = −10,$ así que

\begin{matrix} F (x) & = & k x \\ - 10 & = & k (−0,2) \\ k & = & 50 \end{matrix}

y $F (x) = 50 x .$ Entonces, para calcular el trabajo, integramos la función de fuerza, obteniendo

W = \int_{a}^{b} F (x) d x = \int_{0}^{0,5} 5 0 x d x = {25 x^{2} |}_{0}^{0,5} = 6,25 .

El trabajo realizado para estirar el resorte es $6,25$ J.

Punto de control 2.25

Supongamos que se necesita una fuerza de $8$ lb para estirar un resorte de $6$ pulgadas desde la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte $1$ pies de la posición de equilibrio?

Trabajo realizado en el bombeo

Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque.

Examinamos el proceso en el contexto de un tanque cilíndrico, y luego vemos un par de ejemplos utilizando tanques de diferentes formas. Supongamos un depósito cilíndrico de un radio de $4$ m y de $10$ m de altura se llena hasta una profundidad de 8 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua sobre el borde superior del tanque?

Lo primero que tenemos que hacer es definir un marco de referencia. Supongamos que $x$ representa la distancia vertical por debajo de la parte superior del tanque. Es decir, orientamos el eje $x$ verticalmente, con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo que es positiva (ver la siguiente figura).

Esta figura es un cilindro circular recto en posición vertical. Representa un tanque de agua. El radio del cilindro es de 4 m, la altura del cilindro es de 10 m. La altura del agua dentro del cilindro es de 8 m. También hay una línea horizontal en la parte superior del tanque que representa el x = 0. Se dibuja una línea vertical al lado del cilindro con una flecha hacia abajo marcada como x.

Figura 2.52 ¿Cuánto trabajo se necesita para vaciar un depósito parcialmente lleno de agua?

Utilizando este sistema de coordenadas, el agua se extiende desde $x = 2$ hasta $x = 10 .$ Por lo tanto, dividimos el intervalo $[2, 10]$ y observamos el trabajo necesario para levantar cada "capa" de agua. Entonces, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[2, 10],$ y para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ La Figura 2.53 muestra una capa representativa.

Esta figura es un cilindro circular en posición vertical que representa un tanque de agua. En el interior del cilindro hay una capa de agua con un espesor delta x. El espesor comienza en xsub(i-1) y termina en xsubi.

Figura 2.53 Una capa representativa de agua.

En los problemas de bombeo, la fuerza necesaria para elevar el agua hasta la parte superior del depósito es la fuerza necesaria para vencer la gravedad, por lo que es igual al peso del agua. Dado que el peso-densidad del agua es $9800$ N/m³, o $62,4$ lb/ft³, al calcular el volumen de cada capa obtenemos el peso. En este caso, tenemos

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x .

Entonces, la fuerza necesaria para levantar cada capa es

F = 9800.16 π Δ x = 156800 π Δ x .

Tenga en cuenta que este paso se vuelve un poco más difícil si tenemos un tanque no cilíndrico. En el siguiente ejemplo veremos un tanque no cilíndrico.

También necesitamos saber la distancia a la que debe elevarse el agua. Con base en nuestra elección de sistemas de coordenadas, podemos utilizar $x_{i}^{*}$ como una aproximación a la distancia que debe levantar la capa. A continuación, el trabajo para levantar la $i −ésima$ capa de agua $W_{i}$ es aproximadamente

W_{i} \approx 156800 π x_{i}^{*} Δ x .

Sumando el trabajo de cada capa, vemos que el trabajo aproximado para vaciar el depósito viene dado por

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156800 π x_{i}^{*} Δ x .

Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite como $n \to \infty,$ obtenemos

\begin{matrix} W & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} 156800 π x_{i}^{*} Δ x \\ = 156800 π \int_{2}^{10} x d x \\ = 156800 π {[\frac{x^{2}}{2}] |}_{2}^{10} = 7526400 π \approx 23.644.883. \end{matrix}

El trabajo necesario para vaciar el depósito es de aproximadamente 23.650.000 J.

En el caso de los problemas de bombeo, los cálculos varían en función de la forma del depósito o contenedor. La siguiente estrategia de resolución de problemas establece un proceso paso a paso para resolver problemas de bombeo.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Solución de problemas de bombeo

Haga un dibujo del tanque y seleccione un marco de referencia adecuado.
Calcule el volumen de una capa representativa de agua.
Multiplique el volumen por el peso-densidad del agua para obtener la fuerza.
Calcule la distancia a la que debe elevarse la capa de agua.
Multiplique la fuerza y la distancia para obtener una estimación del trabajo necesario para levantar la capa de agua.
Sume el trabajo necesario para levantar todas las capas. Esta expresión es una estimación del trabajo necesario para bombear la cantidad de agua deseada, y tiene la forma de una suma de Riemann.
Tome el límite como $n \to \infty$ y evalúe la integral resultante para obtener el trabajo exacto necesario para bombear la cantidad de agua deseada.

Ahora aplicamos esta estrategia de resolución de problemas en un ejemplo con un tanque no cilíndrico.

Ejemplo 2.26

Un problema de bombeo con un depósito no cilíndrico

Supongamos un tanque en forma de cono invertido, con una altura de $12$ pies y radio de la base de $4$ pies. Al principio el depósito está lleno y el agua se bombea sobre su borde superior hasta que la altura del agua que queda en el depósito es de $4$ pies. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua?

Solución

El tanque está representado en la Figura 2.54. Como hicimos en el ejemplo del tanque cilíndrico, orientamos verticalmente el eje $x$ , con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo siendo positiva (paso 1).

Esta figura es un cono invertido. El cono tiene un eje que pasa por el centro. La parte superior del cono en el eje está marcada como x=0.

Figura 2.54 Un depósito de agua en forma de cono invertido.

El depósito comienza lleno y termina con $4$ ft de agua, por lo que, basándonos en el marco de referencia que hemos elegido, tenemos que dividir el intervalo $[0, 8] .$ Luego, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[0, 8],$ y para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Podemos aproximar el volumen de una capa utilizando un disco, y luego utilizar triángulos similares para encontrar el radio del disco (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera tiene el eje x. Por debajo del eje, en una inclinación hay un segmento de línea que se extiende hasta el eje x. Junto al segmento de línea hay un cilindro recto circular en posición horizontal. La segunda imagen tiene un triángulo. El triángulo rectángulo refleja la primera imagen con la hipotenusa y el segmento de línea en la primera imagen. La parte superior del triángulo mide 4 unidades. La longitud del lado vertical es de 12 unidades. El lado vertical también se divide en dos partes; el primero es xsubi y el segundo es 12-xsubi. Se divide en el nivel donde la primera imagen tiene el cilindro.

Figura 2.55 Utilizar triángulos semejantes para expresar el radio de un disco de agua.

A partir de las propiedades de los triángulos semejantes, tenemos

\begin{matrix} \frac{r_{i}}{12 - x_{i}^{*}} & = & \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ 3 r_{i} & = & 12 - x_{i}^{*} \\ r_{i} & = & \frac{12 - x_{i}^{*}}{3} \\ = & 4 - \frac{x_{i}^{*}}{3} . \end{matrix}

Entonces el volumen del disco es

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (paso 2).

La densidad del peso del agua es $62,4$ lb/ft³, por lo que la fuerza necesaria para levantar cada capa es aproximadamente

F_{i} \approx 62,4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (paso 3).

Según el diagrama, la distancia a la que debe elevarse el agua es de aproximadamente $x_{i}^{*}$ ft (paso 4), por lo que el trabajo aproximado necesario para levantar la capa es

W_{i} \approx 62,4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (paso 5).

Sumando el trabajo necesario para levantar todas las capas, obtenemos un valor aproximado del trabajo total:

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62,4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (paso 6).

Si tomamos el límite a medida que $n \to \infty,$ obtenemos

\begin{matrix} W & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} 62,4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x \\ = \int_{0}^{8} 62,4 π x {(4 - \frac{x}{3})}^{2} d x \\ = 62,4 π \int_{0}^{8} x (16 - \frac{8 x}{3} + \frac{x^{2}}{9}) d x = 62,4 π \int_{0}^{8} (16 x - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{x^{3}}{9}) d x \\ = 62,4 π {[8 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{9} + \frac{x^{4}}{36}] |}_{0}^{8} = 10649.6 π \approx 33.456,7. \end{matrix}

Se necesita aproximadamente $33.450$ ft-lb de trabajo para vaciar el depósito hasta el nivel deseado.

Punto de control 2.26

Un tanque tiene forma de cono invertido, con una altura de $10$ ft y el radio de la base es de 6 ft. El tanque se llena hasta una profundidad de 8 ft para empezar, y el agua se bombea sobre el borde superior del tanque hasta que quedan 3 ft de agua en el tanque. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua?

Fuerza y presión hidrostáticas

En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados pascales.

Empecemos con el caso sencillo de un plato de superficie $A$ sumergido horizontalmente en el agua a una profundidad s (Figura 2.56). Entonces, la fuerza ejercida sobre la placa es simplemente el peso del agua sobre ella, que viene dado por $F = ρ A s,$ donde $ρ$ es la densidad del peso del agua (peso por unidad de volumen). Para hallar la presión hidrostática, es decir, la presión que ejerce el agua sobre un objeto sumergido, dividimos la fuerza entre el área. Así que la presión es $p = F / A = ρ s .$

Esta imagen muestra una placa circular sumergida en el agua. La placa está marcada como A y la profundidad del agua como s.

Figura 2.56 Una placa sumergida horizontalmente en el agua.

Según el principio de Pascal, la presión a una profundidad determinada es la misma en todas las direcciones, por lo que no importa si la placa está sumergida horizontal o verticalmente. Así que, mientras conozcamos la profundidad, conoceremos la presión. Podemos aplicar el principio de Pascal para hallar la fuerza ejercida sobre superficies como las presas, que están orientadas verticalmente. No podemos aplicar la fórmula $F = ρ A s$ directamente, porque la profundidad varía de un punto a otro en una superficie orientada verticalmente. Así que, como hemos hecho muchas veces antes, hacemos una partición, una suma de Riemann y, en última instancia, una integral definida para calcular la fuerza.

Supongamos que una placa delgada está sumergida en el agua. Elegimos nuestro marco de referencia de tal manera que el eje x está orientado verticalmente, con la dirección hacia abajo siendo positiva, y el punto $x = 0$ correspondiente a un punto de referencia lógico. Supongamos que $s (x)$ denota la profundidad en el punto x. Tenga en cuenta que a menudo suponemos que $x = 0$ corresponde a la superficie del agua. En este caso, la profundidad en cualquier punto viene dada simplemente por $s (x) = x .$ Sin embargo, es posible que en algunos casos queramos seleccionar un punto de referencia diferente para $x = 0,$ por lo que procedemos al desarrollo en el caso más general. Por último, supongamos que $w (x)$ denota la anchura de la placa en el punto $x .$

Supongamos que el borde superior de la placa está en el punto $x = a$ y el borde inferior de la placa en el punto $x = b .$ Luego, para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular del intervalo $[a, b],$ y para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto arbitrario $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ La partición divide la placa en varias tiras finas y rectangulares (vea la siguiente figura).

Esta imagen es la vista de una placa circular sumergida. El eje x está al lado de la placa. El diámetro de la placa va de x=a a x=b. Hay una franja en el centro de la placa con un grosor delta x. En el eje, este espesor comienza en x=xsub(i-1) y termina en x=xsubi. La longitud de la franja en la placa se denomina w(csubi).

Figura 2.57 Una placa fina sumergida verticalmente en el agua.

Estimemos ahora la fuerza sobre una banda representativa. Si la banda es lo suficientemente fina, podemos tratarla como si estuviera a una profundidad constante, $s (x_{i}^{*}) .$ Entonces tenemos

F_{i} = ρ A s = ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Al sumar las fuerzas, obtenemos una estimación de la fuerza sobre la placa:

F \approx \sum_{i = 1}^{n} F_{i} = \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite obtenemos la fuerza exacta. Obtenemos

F = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x .

(2.13)

Evaluando esta integral obtenemos la fuerza sobre la placa. Lo resumimos en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Calcule la fuerza hidrostática

Elabore un dibujo y seleccione un marco de referencia adecuado. (Tenga en cuenta que si seleccionamos un marco de referencia distinto al utilizado anteriormente, es posible que tengamos que ajustar la Ecuación 2.13 en consecuencia).
Determine las funciones de profundidad y anchura, $s (x)$ y $w (x) .$
Determine el peso-densidad del líquido con el que está trabajando. La densidad del peso del agua es $62,4$ lb/ft³, o 9800 N/m³.
Utilice la ecuación para calcular la fuerza total.

Ejemplo 2.27

Calcule la fuerza hidrostática

Un abrevadero de 15 ft de largo tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 8 ft y altura de 3 ft. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua.

Solución

La Figura 2.58 muestra el canal y una vista más detallada de un extremo.

Esta figura tiene dos imágenes. El primero es un abrevadero con lados rectangulares. La longitud del canal es de 15 ft, la profundidad de 3 ft y la anchura de 8 ft. La segunda imagen es una sección transversal del abrevadero. Es un triángulo. La parte superior tiene una longitud de 8 ft y los lados tienen una longitud de 5 ft. La altitud está marcada con 3 ft.

Figura 2.58 (a) Una sección transversal triangular del abrevadero. (b) Dimensiones de un extremo del mismo.

Seleccione un marco de referencia con el eje $x$ orientado verticalmente y la dirección de bajada es positiva. Seleccione la parte superior del abrevadero como el punto correspondiente a $x = 0$ (paso 1). La función de profundidad, entonces, es $s (x) = x .$ Utilizando triángulos similares, vemos que $w (x) = 8 - (8 / 3) x$ (paso 2). Ahora, la densidad del peso del agua es $62,4$ lb/ft³ (paso 3), por lo que aplicando la Ecuación 2.13, obtenemos

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{0}^{3} 62,4 (8 - \frac{8}{3} x) x d x = 62,4 \int_{0}^{3} (8 x - \frac{8}{3} x^{2}) d x \\ = 62,4 {[4 x^{2} - \frac{8}{9} x^{3}] |}_{0}^{3} = 748,8. \end{matrix}

El agua ejerce una fuerza de 748,8 lb sobre el extremo del abrevadero (paso 4).

Punto de control 2.27

Un abrevadero de 12 m de longitud tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 6 m y altura de 4 m. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua.

Ejemplo 2.28

Inicio del capítulo: Calcule la fuerza hidrostática

Ahora volvemos a centrarnos en la presa Hoover, mencionada al principio de este capítulo. La presa real es arqueada, en vez de plana, pero vamos a hacer algunas suposiciones simplificadoras para ayudarnos con los cálculos. Supongamos que la cara de la presa Hoover tiene forma de trapecio isósceles con base inferior de $750$ ft, base superior de $1.250$ ft y altura de $750$ ft (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una foto de una presa. La segunda imagen junto a la presa es una figura trapezoidal que representa las dimensiones de la presa. La parte superior es de 1.250 pies, y la inferior de 750. La altura es de 750 ft.

Cuando el embalse está lleno, la profundidad máxima del lago Mead es de unos 530 ft, y la superficie del lago está a unos 10 ft por debajo de la parte superior de la presa (vea la siguiente figura).

Esta figura es un trapecio con el lado más largo en la parte superior. Hay un trapecio más pequeño dentro del primero con una altura marcada de 530 ft. También está 10 pies por debajo de la parte superior del trapecio mayor.

Figura 2.59 Un modelo simplificado de la presa Hoover con dimensiones supuestas.

Halle la fuerza en la cara de la presa cuando el embalse está lleno.
El suroeste de Estados Unidos ha sufrido una sequía, y la superficie del lago Mead está a unos 125 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias?

Solución

Empecemos por establecer un marco de referencia. Como es habitual, optamos por orientar el eje $x$ verticalmente, siendo positiva la dirección de bajada. Esta vez, sin embargo, vamos a permitir que $x = 0$ represente la parte superior de la presa, en vez de la superficie del agua. Cuando el embalse está lleno, la superficie del agua es de $10$ ft por debajo de la parte superior de la presa, por lo que $s (x) = x - 10$ (vea la siguiente figura).

Figura 2.60 Primero elegimos un marco de referencia.

Para encontrar la función de anchura, volvemos a recurrir a los triángulos semejantes, como se muestra en la figura siguiente

Figura 2.61 Utilizamos triángulos similares para determinar una función para la anchura de la presa. (a) Dimensiones supuestas de la presa; (b) se destacan los triángulos similares.

En la figura, vemos que $w (x) = 750 + 2 r .$ Utilizando las propiedades de los triángulos semejantes, obtenemos $r = 250 - (1 / 3) x .$ Por lo tanto,

$w (x) = 1.250 - \frac{2}{3} x (paso 2).$

Utilizando una densidad de peso de $62,4$ lb/ft³ (paso 3) y aplicando la Ecuación 2.13, obtenemos

$\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{10}^{540} 62,4 (1.250 - \frac{2}{3} x) (x - 10) d x = 62,4 \int_{10}^{540} - \frac{2}{3} [x^{2} - 1885 x + 18750] d x \\ = −62,4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{1885 x^{2}}{2} + 18750 x] |}_{10}^{540} \approx 8.832.245.000 lb = 4416122.5 t . \end{matrix}$

Observe el cambio de libras a toneladas $(2000$ lb = $1$ ton) (paso 4).
Fíjate en que la sequía cambia nuestra función de profundidad, $s (x),$ y nuestros límites de integración. Tenemos $s (x) = x - 135 .$ El límite inferior de integración es $135 .$ El límite superior sigue siendo $540 .$ Evaluando la integral, obtenemos

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{135}^{540} 62,4 (1.250 - \frac{2}{3} x) (x - 135) d x \\ = −62,4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x - 1875) (x - 135) d x = −62,4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x^{2} - 2010 x + 253125) d x \\ = −62,4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - 1005 x^{2} + 253125 x] |}_{135}^{540} \approx 5.015.230.000 lb = 2507615 t . \end{matrix}

Punto de control 2.28

Cuando el embalse está en su nivel medio, la superficie del agua está unos 50 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias?

Medios

Para saber más sobre la presa Hoover, consulte este artículo publicado por History Channel.

Sección 2.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule el trabajo realizado.

218.

Halle el trabajo realizado cuando una fuerza constante $F = 12$ lb mueve una silla de $x = 0,9$ al $x = 1,1$ pies.

219.

¿Cuánto trabajo se realiza cuando una persona levanta $50$ lb de cajas de cómics en un camión que está a $3$ ft del suelo?

220.

¿Cuál es el trabajo realizado levantando un niño de $20$ kg desde el suelo hasta una altura de $2$ m? (Tenga en cuenta que una masa de $1$ kg pesa $9,8$ N cerca de la superficie de la Tierra).

221.

Halle el trabajo realizado al empujar una caja por el suelo por $2$ m, cuando se aplica una fuerza constante de $F = 100 N .$

222.

Calcule el trabajo realizado para una fuerza $F = 12 / x^{2}$ N de $x = 1$ a $x = 2$ m.

223.

¿Cuál es el trabajo realizado al mover una partícula desde $x = 0$ hasta $x = 1$ m si la fuerza que actúa sobre ella es $F = 3 x^{2}$ N?

En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto unidimensional.

224.

Un cable que tiene $2$ pies de largo (a partir de $x = 0)$ y tiene una función de densidad de $ρ (x) = x^{2} + 2 x$ lb/ft

225.

Una antena de automóvil que tiene $3$ ft de largo (a partir de $x = 0)$ y tiene una función de densidad de $ρ (x) = 3 x + 2$ lb/ft

226.

Una barra de metal que tiene $8$ in de longitud (a partir de $x = 0)$ y tiene una función de densidad de $ρ (x) = e^{1 / 2 x}$ lb/in.

227.

Un lápiz que tiene $4$ in. de longitud (a partir de $x = 2)$ y tiene una función de densidad de $ρ (x) = 5 / x$ oz/in.

228.

Una regla que tiene $12$ in. de longitud (a partir de $x = 5)$ y tiene una función de densidad de $ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}$ oz/in.

En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto bidimensional centrado en el origen.

229.

Un disco de hockey de gran tamaño con un radio de $2$ in con función de densidad $ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5$

230.

Un frisbee con un radio de $6$ in con función de densidad $ρ (x) = e^{– x}$

231.

Una placa con un radio de radio $10$ in con función de densidad $ρ (x) = 1 + cos (π x)$ grandes.

232.

Una tapa de tarro con un radio de $3$ in con función de densidad $ρ (x) = ln (x + 1)$

233.

Un disco con $5$ cm de radio y con función de densidad $ρ (x) = \sqrt{3 x}$

234.

Un resorte de $12$ in se estira hasta $15$ in por una fuerza de $75$ lb. ¿Cuál es la constante del resorte?

235.

Un resorte tiene una longitud natural de $10$ cm. Se necesitan $2$ J para estirar el resorte hasta $15$ cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de $15$ cm a $20$ cm?

236.

Un resorte de $1$ m requiere $10$ J para estirar el resorte hasta $1,1$ m. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de $1$ m a $1,2$ m?

237.

Un resorte requiere $5$ J para estirar el resorte de $8$ cm a $12$ cm, y adicionalmente $4$ J para estirar el resorte de $12$ cm a $14$ cm. ¿Cuál es la longitud natural del resorte?

238.

Un amortiguador se comprime 1 in por un peso de 1 t. ¿Cuál es la constante del resorte?

239.

Una fuerza de $F = 20 x - x^{3}$ N estira un resorte no lineal en $x$ metros. ¿Qué trabajo se requiere para estirar el resorte de $x = 0$ hasta $x = 2$ m?

240.

Halle el trabajo realizado al enrollar un cable colgante de una longitud de $100$ ft y un peso-densidad de $5$ lb/ft.

241.

Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo se realiza para levantarlo $50$ ft?

242.

Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo adicional se realiza al colgar $200$ lb de peso en el extremo del cable?

243.

[T] Una pirámide de $500$ ft de altura tiene una base cuadrada $800$ ft por $800$ pies. Halle el área $A$ en la altura $h .$ Si la roca utilizada para construir la pirámide pesa aproximadamente $w = 100 {lb/ft}^{3},$ ¿cuánto trabajo costó levantar toda la roca?

244.

[T] Para la pirámide del ejercicio anterior, suponga que había $1.000$ trabajadores que trabajan cada uno $10$ horas al día, $5$ días a la semana, $50$ semanas al año. Si los trabajadores en promedio levantaron 10 rocas de 100 libras $2$ ft/h, ¿cuánto tiempo se tardó en construir la pirámide?

245.

[T] La fuerza de gravedad sobre una masa $m$ ¿es $F = − ((G M m) / x^{2})$ newtons. Para un cohete de masa $m = 1.000 kg,$ calcule el trabajo para elevarlo desde $x = 6.400$ al $x = 6500$ km. Indique sus respuestas con tres cifras significativas. (Nota: $G = 6,67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}$ y $M = 6 \times 10^{24} kg .)$ grandes.

246.

[T] Para el cohete del ejercicio anterior, calcule el trabajo para elevarlo desde $x = 6.400$ al $x = \infty .$

247.

[T] Una presa rectangular tiene $40$ ft de altura y $60$ ft de ancho. Calcule la fuerza total $F$ en la presa cuando

la superficie del agua está en la parte superior de la presa y
la superficie del agua está a la mitad de la presa.

248.

[T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua de un cilindro que tiene una base circular de un radio de $5$ ft y altura de $200$ pies. Utilice el hecho de que la densidad del agua es $62$ lb/ft³.

249.

[T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua del cilindro en el ejercicio anterior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad.

250.

[T] ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear una piscina si el área de la base es de $800$ ft², el agua es de $4$ ft de profundidad, y la parte superior es de $1$ ft sobre el nivel del agua? Supongamos que la densidad del agua es de $62$ lb/ft³.

251.

Un cilindro de profundidad $H$ y el área de la sección transversal $A$ está lleno de agua a la densidad $ρ .$ Calcule el trabajo para bombear toda el agua afuera por la parte superior.

252.

Para el cilindro del ejercicio anterior, calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad.

253.

Un tanque con forma de cono tiene una sección transversal que aumenta con su profundidad: $A = (π r^{2} h^{2}) / H^{3} .$ Demuestre que el trabajo para vaciarlo es la mitad del trabajo para un cilindro con la misma altura y base.

2.5 Aplicaciones físicas

Masa y Densidad

Fórmula masa-densidad de un objeto unidimensional

Cálculo de la masa a partir de la densidad lineal

Solución

Fórmula masa-densidad de un objeto circular

Cálculo de la masa a partir de la densidad radial

Solución

Trabajo realizado por una fuerza

El trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte

Solución

Trabajo realizado en el bombeo

Estrategia para la resolución de problemas: Solución de problemas de bombeo

Un problema de bombeo con un depósito no cilíndrico

Solución

Fuerza y presión hidrostáticas

Estrategia para la resolución de problemas: Calcule la fuerza hidrostática

Calcule la fuerza hidrostática

Solución

Inicio del capítulo: Calcule la fuerza hidrostática

Solución

Sección 2.5 ejercicios