Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.6.1 Encontrar el centro de masa de objetos distribuidos a lo largo de una línea.
2.6.2 Localizar el centro de masa de una placa delgada.
2.6.3 Utilizar la simetría para ayudar a localizar el centroide de una placa delgada.
2.6.4 Aplicar el teorema de Pappus para el volumen.

En esta sección, analizaremos los centros de masa (también llamados centroides, bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de un punto de equilibrio. Muchos hemos visto a artistas que hacen girar un plato en la punta de un palo e intentan mantener varios de ellos girando sin caerse. Si observamos un plato simple (sin girarlo), hay un punto ideal en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si ponemos el palo en cualquier otro lugar que no sea ese punto ideal, el plato no se equilibra y se cae al suelo. (Por eso los artistas los hacen girar: el giro ayuda a que los platos no se caigan aunque el palo no esté exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto ideal se denomina centro de masa de la placa.

En esta sección, primero examinaremos esos conceptos en un contexto unidimensional, y luego ampliaremos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de las regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizaremos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus.

Centro de masa y momentos

Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la Figura 2.62(a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas $m_{1}$ y $m_{2}$ a las distancias $d_{1}$ y $d_{2}$ del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la Figura 2.62(b).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera imagen es una línea horizontal sobre un triángulo equilátero. Representa una varilla sobre un punto de apoyo. La segunda imagen es igual a la primera pero con dos cuadrados sobre la línea. Están marcados como msub1 y msub2. La distancia de msub1 al punto de apoyo es dsub1. La distancia de msub2 al punto de apoyo es dsub2.

Figura 2.62 (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas sobre la varilla.

El ejemplo más común en la vida real de un sistema de este tipo es el balancín de un parque infantil, con niños de distinto peso sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el más pesado se hunde y el más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas de la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si $m_{1} d_{1} = m_{2} d_{2} .$

En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (los niños) con respecto al punto de apoyo. Sin embargo, lo que realmente nos interesa son los sistemas en los que no se permite el movimiento de las masas, y en su lugar equilibramos el sistema moviendo el punto de apoyo. Supongamos que tenemos dos masas puntuales, $m_{1}$ y $m_{2},$ situadas en una línea numérica en los puntos $x_{1}$ y $x_{2},$ respectivamente (Figura 2.63). El centro de masa, $\bar{x},$ es el punto donde se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema se equilibre.

Esta figura es una imagen del eje x. En el eje hay un punto marcado como barra x. En el eje también hay un punto xsub1 con un cuadrado encima. Dentro del cuadrado está la marca msub1. También hay un punto xsub2 en el eje. Por encima de este punto hay un cuadrado. Dentro del cuadrado está la etiqueta msub2.

Figura 2.63 El centro de masa

\bar{x}

es el punto de equilibrio del sistema.

Por lo tanto, tenemos

\begin{matrix} m_{1} | \bar{x} - x_{1} | & = & m_{2} | x_{2} - \bar{x} | \\ m_{1} (\bar{x} - x_{1}) & = & m_{2} (x_{2} - \bar{x}) \\ m_{1} \bar{x} - m_{1} x_{1} & = & m_{2} x_{2} - m_{2} \bar{x} \\ \bar{x} (m_{1} + m_{2}) & = & m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} \\ \bar{x} & = & \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

La expresión en el numerador, $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2},$ se denomina primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo se prescinde de la palabra primero y se denomina simplemente momento del sistema. La expresión en el denominador, $m_{1} + m_{2},$ es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que se podría concentrar la masa total del sistema sin cambiar el momento.

Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si n masas, $m_{1}, m_{2},…, m_{n},$ se colocan en una línea numérica en los puntos $x_{1}, x_{2},…, x_{n},$ respectivamente, entonces el centro de masa del sistema viene dado por

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} .

Teorema 2.9

Centro de masa de objetos en una línea

Supongamos que $m_{1}, m_{2},…, m_{n}$ son masas puntuales situadas en una línea numérica en los puntos $x_{1}, x_{2},…, x_{n},$ respectivamente y supongamos que $m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}$ denotan la masa total del sistema. Entonces, el momento del sistema con respecto al origen viene dado por

M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}

(2.14)

y el centro de masa del sistema viene dado por

\bar{x} = \frac{M}{m} .

(2.15)

Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.29

Encontrar el centro de masa de los objetos a lo largo de una línea

Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera:

\begin{matrix} m_{1} = 30 kg, colocado en x_{1} = −2 m & m_{2} = 5 kg, colocado en x_{2} = 3 m \\ m_{3} = 10 kg, colocado en x_{3} = 6 m & m_{4} = 15 kg, colocado en x_{4} = −3 m . \end{matrix}

Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema.

Solución

En primer lugar, tenemos que calcular el momento del sistema:

\begin{matrix} M & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} x_{i} \\ = −60 + 15 + 60 - 45 = −30. \end{matrix}

Ahora, para encontrar el centro de masa, necesitamos la masa total del sistema:

\begin{matrix} m & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} \\ = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . \end{matrix}

Entonces tenemos

\bar{x} = \frac{M}{m} = \frac{−30}{60} = - \frac{1}{2} .

El centro de masa se encuentra a 1/2 m a la izquierda del origen.

Punto de control 2.29

Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera:

\begin{matrix} m_{1} = 12 kg, colocado en x_{1} = −4 m & m_{2} = 12 kg, colocado en x_{2} = 4 m \\ m_{3} = 30 kg, colocado en x_{3} = 2 m & m_{4} = 6 kg, colocado en x_{4} = −6 m . \end{matrix}

Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema.

Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Supongamos que $m_{1}$ es una masa puntual situada en el punto $(x_{1}, y_{1})$ en el plano. Entonces el momento $M_{x}$ de la masa con respecto al eje x viene dado por $M_{x} = m_{1} y_{1} .$ Del mismo modo, el momento $M_{y}$ con respecto al eje y viene dado por $M_{y} = m_{1} x_{1} .$ Observe que la coordenada x del punto se utiliza para calcular el momento con respecto al eje y, y viceversa. La razón es que la coordenada x da la distancia de la masa puntual al eje y, en tanto que la coordenada y da la distancia al eje x (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene marcados los ejes x y y. Hay un punto en el primer cuadrante en (xsub1, ysub1). Este punto se denomina msub1.

Figura 2.64 La masa puntual

m_{1}

se encuentra en el punto

(x_{1}, y_{1})

en el plano.

Si tenemos varias masas puntuales en el plano xy, podemos utilizar los momentos respecto a los ejes x y y para calcular las coordenadas x y y del centro de masa del sistema.

Teorema 2.10

Centro de masa de objetos en un plano

Supongamos que $m_{1}, m_{2},…, m_{n}$ son masas puntuales situadas en el plano xy en los puntos $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}),…, (x_{n}, y_{n}),$ respectivamente y supongamos que $m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}$ denotan la masa total del sistema. Entonces los momentos $M_{x}$ y $M_{y}$ del sistema con respecto a los ejes x y y, respectivamente, vienen dados por

M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i} y M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .

(2.16)

Además, las coordenadas del centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ del sistema son

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} .

(2.17)

El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema.

Ejemplo 2.30

Encontrar el centro de masa de los objetos en un plano

Supongamos que tres masas puntuales se colocan en el plano xy de la siguiente manera (supongamos que las coordenadas están dadas en metros):

\begin{matrix} m_{1} = 2 kg, colocado en (–1, 3), \\ m_{2} = 6 kg, colocado en (1, 1), \\ m_{3} = 4 kg, colocado en (2, –2) . \end{matrix}

Halle el centro de masa del sistema.

Solución

Primero calculamos la masa total del sistema:

m = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} = 2 + 6 + 4 = 12 kg .

A continuación, hallamos los momentos con respecto a los ejes x y y:

\begin{matrix} M_{y} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} x_{i} = −2 + 6 + 8 = 12, \\ M_{x} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} y_{i} = 6 + 6 - 8 = 4. \end{matrix}

Entonces tenemos

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{12}{12} = 1 y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .

El centro de masa del sistema es $(1, 1 / 3),$ en metros.

Punto de control 2.30

Supongamos que tres masas puntuales se colocan en una línea numérica de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas se dan en metros):

\begin{matrix} m_{1} = 5 kg, colocado en (–2, −3), \\ m_{2} = 3 kg, colocado en (2, 3), \\ m_{3} = 2 kg, colocado en (−3, –2) . \end{matrix}

Halle el centro de masa del sistema.

Centro de masa de las placas finas

Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina. A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante.

Las láminas suelen representarse mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de dicha región se denomina centroide. Como supusimos que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina solo depende de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y.

Consideraremos primero una lámina con forma de rectángulo. Recordemos que el centro de masa de una lámina es el punto de equilibrio de la misma. En un rectángulo, ese punto es el centro horizontal y vertical del rectángulo. En base a este entendimiento, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se cruzan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría, y se afirma aquí sin pruebas.

Teorema 2.11

El principio de simetría

Si una región R es simétrica respecto a una línea l, entonces el centroide de R se encuentra en l.

Pasemos a las láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina limitada por encima por el gráfico de una función continua $f (x),$ abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente, como se muestra en la siguiente figura.

Esta imagen es un gráfico de y=f(x). Está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una región sombreada denominada "R". La región sombreada está limitada a la izquierda en x=a y a la derecha en x=b.

Figura 2.65 Una región en el plano que representa una lámina.

Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina necesitamos encontrar la masa total de esta, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y. Como ya hemos hecho muchas veces, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo $[a, b]$ y construyendo rectángulos.

Para $i = 0, 1, 2,…, n,$ supongamos que $P = {x_{i}}$ es una partición regular de $[a, b] .$ Recordemos que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ como nuestra $x_{i}^{*} .$ En este caso, queremos $x_{i}^{*}$ para ser la coordenada x del centroide de nuestros rectángulos. Así, para $i = 1, 2,…, n,$ seleccionamos $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ de manera que $x_{i}^{*}$ es el punto medio del intervalo. Eso es, $x_{i}^{*} = (x_{i - 1} + x_{i}) / 2 .$ Ahora, para $i = 1, 2,…, n,$ construya un rectángulo de altura $f (x_{i}^{*})$ sobre $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ El centro de masa de este rectángulo es $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2),$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico de la curva denominada f(x). Está en el primer cuadrante. Debajo de la curva y por encima del eje x hay un rectángulo sombreado verticalmente. La altura del rectángulo se marca como f(xsubi). Además, xsubi = xsubi - 1 + xsubi/2.

Figura 2.66 Un rectángulo representativo de la lámina.

A continuación, tenemos que encontrar la masa total del rectángulo. Supongamos que $ρ$ representa la densidad de la lámina (nótese que $ρ$ es una constante). En este caso, $ρ$ se expresa en términos de masa por unidad de superficie. Así, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por $ρ .$ Entonces, la masa del rectángulo viene dada por $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .$

Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener

m \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .

Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que $n \to \infty$ da la masa exacta de la lámina:

m = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x .

A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje x. Volviendo al rectángulo representativo, recordemos que su centro de masa es $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2) .$ Recordemos también si tratamos el rectángulo como si fuera una masa puntual situada en el centro de masa no cambia el momento. Así, el momento del rectángulo con respecto al eje x viene dado por la masa del rectángulo, $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x,$ multiplicado por la distancia desde centro de masa al eje x: $(f (x_{i}^{*})) / 2 .$ Por lo tanto, el momento con respecto al eje x del rectángulo es $ρ ({[f (x_{i}^{*})]}^{2} / 2) Δ x .$ Al sumar los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina respecto al eje x es

M_{x} = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} ρ \frac{{[f (x_{i}^{*})]}^{2}}{2} Δ x = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x .

Derivamos el momento con respecto al eje y de forma similar, observando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje y es $x_{i}^{*} .$ Entonces el momento de la lámina con respecto al eje y viene dado por

M_{y} = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} ρ x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .

Hallamos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener $\bar{x} = M_{y} / m y \bar{y} = M_{x} / m .$ Si observamos detenidamente las expresiones de $M_{x}, M_{y}, y m,$ observamos que la constante $ρ$ se cancela cuando $\bar{x}$ y $\bar{y}$ se calculan.

Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema.

Teorema 2.12

Centro de masa de una placa delgada en el plano xy

Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua $f (x),$ abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente. Supongamos que $ρ$ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones:

La masa de la lámina es

$m = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x .$
(2.18)
Los momentos $M_{x}$ y $M_{y}$ de la lámina con respecto a los ejes x y y, respectivamente, son

$M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x y M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
(2.19)
Las coordenadas del centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ son

$\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} .$
(2.20)

En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para hallar el centro de masa de una lámina.

Ejemplo 2.31

Hallar el centro de masa de una lámina

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = \sqrt{x}$ y abajo por el eje x en el intervalo $[0, 4] .$ Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura es el gráfico de la curva f(x)=raíz cuadrada(x). Es una curva creciente en el primer cuadrante. Debajo de la curva sobre el eje x hay una región sombreada. Comienza en x=0 y se limita a la derecha en x=4.

Figura 2.67 Encontrar el centro de masa de una lámina.

Como solo se nos pide el centroide de la región, y no la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad $ρ$ eventualmente se cancela de los cálculos. Por lo tanto, por razones de conveniencia, supongamos que $ρ = 1 .$

En primer lugar, tenemos que calcular la masa total:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x \\ = {\frac{2}{3} x^{3 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{3} [8 - 0] = \frac{16}{3} . \end{matrix}

A continuación, calculamos los momentos:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \int_{0}^{4} \frac{x}{2} d x = {\frac{1}{4} x^{2} |}_{0}^{4} = 4 \end{matrix}

y

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{4} x \sqrt{x} d x = \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{5} [32 - 0] = \frac{64}{5} . \end{matrix}

Por lo tanto, tenemos

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{64 / 5}{16 / 3} = \frac{64}{5} . \frac{3}{16} = \frac{12}{5} y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{16 / 3} = 4 . \frac{3}{16} = \frac{3}{4} .

El centroide de la región es $(12 / 5, 3 / 4) .$

Punto de control 2.31

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = x^{2}$ y abajo por el eje x en el intervalo $[0, 2] .$ Halle el centroide de la región.

Podemos adaptar este enfoque para encontrar también los centroides de regiones más complejas. Supongamos que nuestra región está limitada por el gráfico de una función continua $f (x),$ como antes, pero ahora, en vez de que el límite inferior de la región sea el eje x, supondremos que la región está limitada por debajo por el gráfico de una segunda función continua, $g (x),$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico del primer cuadrante. Tiene dos curvas. Están marcadas como f(x) y g(x). f(x) está por encima de g(x). Entre las curvas hay una región sombreada marcada como "R". La región sombreada está limitada a la izquierda por x=a y a la derecha por x=b.

Figura 2.68 Una región entre dos funciones.

De nuevo, dividimos el intervalo $[a, b]$ y construimos rectángulos. En la siguiente figura se muestra un rectángulo representativo.

Esta figura es un gráfico del primer cuadrante. Tiene dos curvas. Están marcadas como f(x) y g(x). f(x) está por encima de g(x). Entre las curvas hay un rectángulo sombreado.

Figura 2.69 Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones.

Observe que el centroide de este rectángulo es $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2) .$ No vamos a repasar todos los detalles de la formulación de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje y, la altura de cada rectángulo viene dada por $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*}),$ lo que nos dirige a la expresión $f (x) - g (x)$ en los integrandos.

En el desarrollo de la fórmula del momento con respecto al eje x, el momento de cada rectángulo se halla al multiplicar el área del rectángulo, $ρ [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x,$ por la distancia del centroide al eje x, $(f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2,$ que da $ρ (1 / 2) {{[f (x_{i}^{*})]}^{2} - {[g (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .$ Al resumir estas conclusiones, llegamos al siguiente teorema.

Teorema 2.13

Centro de masa de una lámina delimitada por dos funciones

Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua $f (x),$ abajo por el gráfico de la función continua $g (x),$ y a la izquierda y derecha por las líneas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente. Supongamos que $ρ$ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones:

La masa de la lámina es

$m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$
(2.21)
Los momentos $M_{x}$ y $M_{y}$ de la lámina con respecto a los ejes x y y, respectivamente, son

$M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ({[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}) d x y M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .$
(2.22)
Las coordenadas del centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ son

$\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} .$
(2.23)

Ilustramos este teorema con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.32

Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = 1 - x^{2}$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = x - 1 .$ Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico. Tiene dos curvas. Estas se marcan como f(x)=1-x^2 y g(x)=x-1. Entre las curvas hay una región sombreada. La región sombreada está limitada a la izquierda por x=a y a la derecha por x=b.

Figura 2.70 Hale el centroide de una región entre dos curvas.

Los gráficos de las funciones se cruzan en $(–2, −3)$ y $(1, 0),$ por lo que integramos de -2 a 1. Una vez más, por comodidad, supongamos que $ρ = 1 .$

En primer lugar, tenemos que calcular la masa total:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{–2}^{1} [1 - x^{2} - (x - 1)] d x = \int_{–2}^{1} (2 - x^{2} - x) d x \\ = {[2 x - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}] |}_{−2}^{1} = [2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}] - [−4 + \frac{8}{3} - 2] = \frac{9}{2} . \end{matrix}

A continuación, calculamos los momentos:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ({[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{–2}^{1} ({(1 - x^{2})}^{2} - {(x - 1)}^{2}) d x = \frac{1}{2} \int_{–2}^{1} (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2}] |}_{−2}^{1} = - \frac{27}{10} \end{matrix}

y

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{–2}^{1} x [(1 - x^{2}) - (x - 1)] d x = \int_{–2}^{1} x [2 - x^{2} - x] d x \\ = \int_{–2}^{1} (2 x - x^{4} - x^{2}) d x \\ = {[x^{2} - \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{1} = - \frac{9}{4} . \end{matrix}

Por lo tanto, tenemos

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = - \frac{9}{4} . \frac{2}{9} = - \frac{1}{2} y \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = - \frac{27}{10} . \frac{2}{9} = - \frac{3}{5} .

El centroide de la región es $(− (1 / 2), − (3 / 5)) .$

Punto de control 2.32

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = 6 - x^{2}$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = 3 - 2 x .$ Halle el centroide de la región.

El principio de simetría

El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.33

Encontrar el centroide de una región simétrica

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = 4 - x^{2}$ y abajo por el eje x. Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Esta figura es un gráfico de la función f(x)=4-x^2. Es una parábola invertida. La región bajo la parábola por encima del eje x está sombreada. La curva interseca el eje x en x = –2 y x = 2.

Figura 2.71 Podemos utilizar el principio de simetría para encontrar el centroide de una región simétrica.

La región es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto, la coordenada x del centroide es cero. Solo tenemos que calcular $\bar{y} .$ Una vez más, para mayor facilidad, supongamos que $ρ = 1 .$

En primer lugar, calculamos la masa total:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = \int_{−2}^{2} (4 - x^{2}) d x \\ = {[4 x - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{2} = \frac{32}{3} . \end{matrix}

A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos $M_{x} :$

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} {[4 - x^{2}]}^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} (16 - 8 x^{2} + x^{4}) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{8 x^{3}}{3} + 16 x] |}_{−2}^{2} = \frac{256}{15} . \end{matrix}

Entonces tenemos

\bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{256}{15} . \frac{3}{32} = \frac{8}{5} .

El centroide de la región es $(0, 8 / 5) .$

Punto de control 2.33

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f (x) = 1 - x^{2}$ y abajo por el eje x. Halle el centroide de la región.

Proyecto de estudiante

El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón

El Skywalk del Gran Cañón se abrió al público el 28 de marzo de 2007. Esta maravilla de la ingeniería es una plataforma de observación en forma de herradura suspendida a 4.000 ft sobre el río Colorado, en el borde oeste del Gran Cañón. Su suelo de cristal permite unas vistas impresionantes del cañón (vea la siguiente figura).

Esta figura es una imagen del mirador Skywalk del Gran Cañón. Es un edificio al borde del cañón con una pasarela que se extiende sobre este.

Figura 2.72 El Skywalk del Gran Cañón ofrece magníficas vistas del cañón (créditos: 10da_ralta, Wikimedia Commons).

El Skywalk es un diseño en voladizo, lo que significa que la plataforma de observación se extiende sobre el borde del cañón, sin ningún medio de apoyo visible por debajo. A pesar de la falta de postes o puntales de apoyo visibles, las estructuras en voladizo están diseñadas para ser muy estables y el Skywalk no es una excepción. La plataforma de observación está firmemente sujeta a postes de apoyo que se extienden 46 pies de profundidad en el lecho de roca. La estructura se construyó para resistir vientos de 100 mph y un terremoto de 8,0 de magnitud en un radio de 50 mi, y es capaz de soportar más de 70.000.000 lb.

Un factor que afecta a la estabilidad del Skywalk es el centro de gravedad de la estructura. Calculemos el centro de gravedad del Skywalk y examinemos cómo cambia el centro de gravedad cuando los turistas salen a la plataforma de observación.

La plataforma de observación tiene forma de U. Las patas de la U tienen 10 ft de ancho y comienzan en tierra, bajo el centro de visitantes, a 48 ft del borde del cañón. La plataforma se extiende 70 ft sobre el borde del cañón.

Para calcular el centro de masa de la estructura, la tratamos como una lámina y utilizamos una región bidimensional en el plano xy para representar la plataforma. Comenzamos dividiendo la región en tres subregiones para poder considerar cada una de ellas por separado. La primera región, denotada $R_{1},$ consiste en la parte curva de la U. Modelamos $R_{1}$ como un anillo semicircular, con un radio interior de 25 pies y un radio exterior de 35 pies, centrado en el origen (vea la siguiente figura).

Esta figura es un boceto de la pasarela del Gran Cañón. Está en el sistema de coordenadas xy. La pasarela tiene forma de "u" invertida. Se dividió en tres regiones. La primera región de la parte superior está marcada como "Rsub1". Es un semicírculo con un radio exterior de 35 ft y un radio interior de 25 ft. La segunda región está marcada como "Rsub2". Tiene dos rectángulos con una anchura de 10 pies cada uno y una altura de 35 ft. La tercera región se denomina "Rsub3" y consta de dos rectángulos. Tienen una anchura de 10 pies y una altura de 48 ft. Estos representan la parte de la pasarela dentro del centro de visitantes.

Figura 2.73 Modelamos el Skywalk con tres subregiones.

Las patas de la plataforma, que se extienden 35 ft entre $R_{1}$ y la pared del cañón comprenden la segunda subregión, $R_{2} .$ Por último, los extremos de las patas, que se extienden 48 ft por debajo del centro de visitantes, comprenden la tercera subregión, $R_{3} .$ Suponga que la densidad de la lámina es constante y asuma que el peso total de la plataforma es de 1.200.000 lb (sin incluir el peso del centro de visitantes; lo consideraremos más adelante). Utilice la sustitución en $g = 32 {ft/s}^{2} .$

Calcule el área de cada una de las tres subregiones. Observe que las áreas de las regiones $R_{2}$ y $R_{3}$ deben incluir solo las zonas de las piernas, no el espacio abierto entre ellas. Redondee las respuestas al pie cuadrado más cercano.
Determine la masa asociada a cada una de las tres subregiones.
Calcule el centro de masa de cada una de las tres subregiones.
Ahora, considere cada una de las tres subregiones como una masa puntual situada en el centro de masa de la subregión correspondiente. Utilizando esta representación, calcule el centro de masa de toda la plataforma.
Supongamos que el centro de visitantes pesa 2.200.000 lb, con un centro de masa correspondiente al centro de masa de $R_{3} .$ Considerando el centro de visitantes como una masa puntual, recalcule el centro de masa del sistema. ¿Cómo cambia el centro de masa?
Aunque el Skywalk se construyó para limitar el número de personas en la plataforma de observación a 120, la plataforma es capaz de soportar hasta 800 personas de 200 libras cada una. Si se permitiera la entrada de las 800 personas en el andén y todas se dirigieran al extremo más alejado del mismo, ¿cómo se vería afectado el centro de gravedad del sistema? (Incluya el centro de visitantes en los cálculos y represente las personas mediante una masa puntual situada en el borde más alejado de la plataforma, a 70 ft de la pared del cañón).

Teorema de Pappus

Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen, que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen).

Teorema 2.14

Teorema de Pappus para el volumen

Sea R una región del plano y sea l una línea del plano que no interseca a R. Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor de l es igual al área de R multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de R.

Prueba

Podemos demostrar el caso en el que la región está limitada por el gráfico de una función $f (x)$ y abajo por el gráfico de una función $g (x)$ en un intervalo $[a, b],$ y cuyo eje de revolución es el eje y. En este caso, el área de la región es $A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$ Como el eje de rotación es el eje y, la distancia recorrida por el centroide de la región depende solo de la coordenada x del centroide, $\bar{x},$ que es

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m},

donde

m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x y M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Entonces,

d = 2 π \frac{ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x}{ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x}

y así

d . A = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Sin embargo, si utilizamos el método de las capas cilíndricas, tenemos

V = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Así que,

V = d . A

y la prueba está completa.

□

Ejemplo 2.34

Uso del teorema de Pappus para el volumen

Sea R un círculo de radio 2 con centro en $(4, 0) .$ Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y.

Solución

La región y el toro se representan en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es el sistema de coordenadas x y con un círculo centrado en el eje x en x = 4. El radio es de 2. La segunda figura es el sistema de coordenadas x y. El círculo de la primera imagen se giró en torno al eje y para formar un toro.

Figura 2.74 Determinación del volumen de un toro utilizando el teorema de Pappus. (a) Una región circular R en el plano; (b) el toro generado al girar R alrededor del eje y.

La región R es un círculo de radio 2, por lo que el área de R es $A = 4 π$ unidades². Por el principio de simetría, el centroide de R es el centro del círculo. El centroide se desplaza alrededor del eje y en una trayectoria circular de radio 4, por lo que el centroide se desplaza $d = 8 π$ . Entonces, el volumen del toro es $A . d = 32 π^{2}$ unidades³.

Punto de control 2.34

Sea R un círculo de radio 1 con centro en $(3, 0) .$ Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y.

Sección 2.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa para el conjunto de masas dadas.

254.

$m_{1} = 2$ en $x_{1} = 1$ y $m_{2} = 4$ en $x_{2} = 2$

255.

$m_{1} = 1$ en $x_{1} = –1$ y $m_{2} = 3$ en $x_{2} = 2$

256.

$m = 3$ en $x = 0, 1, 2, 6$

257.

Masas unitarias en $(x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1)$ grandes.

258.

$m_{1} = 1$ a las $(1, 0)$ y $m_{2} = 4$ a las $(0, 1)$ grandes.

259.

$m_{1} = 1$ a las $(1, 0)$ y $m_{2} = 3$ a las $(2, 2)$ grandes.

Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa $\bar{x} .$

260.

$ρ = 1$ para $x \in (–1, 3)$ grandes.

261.

$ρ = x^{2}$ por $x \in (0, L)$ grandes.

262.

$ρ = 1$ para $x \in (0, 1)$ y $ρ = 2$ por $x \in (1, 2)$ grandes.

263.

$ρ = sen x$ para $x \in (0, π)$ grandes.

264.

$ρ = cos x$ para $x \in (0, \frac{π}{2})$ grandes.

265.

$ρ = e^{x}$ para $x \in (0, 2)$ grandes.

266.

$ρ = x^{3} + x e^{– x}$ para $x \in (0, 1)$ grandes.

267.

$ρ = x sen x$ para $x \in (0, π)$ grandes.

268.

$ρ = \sqrt{x}$ para $x \in (1, 4)$ grandes.

269.

$ρ = ln x$ para $x \in (1, e)$ grandes.

Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

270.

$ρ = 7$ en el cuadrado $0 \leq x \leq 1,$ $0 \leq y \leq 1$

271.

$ρ = 3$ en el triángulo con vértices $(0, 0),$ $(a, 0),$ y $(0, b)$ grandes.

272.

$ρ = 2$ para la región delimitada por $y = cos (x),$ $y = − cos (x),$ $x = - \frac{π}{2},$ y $x = \frac{π}{2}$

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región y luego calcule el centro de masa $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

273.

[T] La región delimitada por $y = cos (2 x),$ $x = - \frac{π}{4},$ y $x = \frac{π}{4}$

274.

[T] La región entre $y = 2 x^{2},$ $y = 0,$ $x = 0,$ y $x = 1$

275.

[T] La región entre $y = \frac{5}{4} x^{2}$ y $y = 5$

276.

[T] La región entre $y = \sqrt{x},$ $y = ln (x),$ $x = 1,$ y $x = 4$

277.

[T] La región delimitada por $y = 0,$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

278.

[T] La región delimitada por $y = 0,$ $x = 0,$ y $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

279.

[T] La región delimitada por $y = x^{2}$ y $y = x^{4}$ en el primer cuadrante

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Pappus para determinar el volumen de la forma.

280.

Si giramos $y = m x$ alrededor del eje $x$ entre $x = 0$ y $x = 1$

281.

Si giramos $y = m x$ alrededor del eje $y$ entre $x = 0$ y $x = 1$

282.

Un cono recto creado al girar un triángulo con vértices $(0, 0),$ $(a, 0),$ y $(0, b)$ alrededor del eje $y$ . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cono?

283.

Un cilindro recto creado al girar un rectángulo con vértices $(0, 0),$ $(a, 0), (0, b),$ y $(a, b)$ alrededor del eje $y$ . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cilindro?

284.

Una esfera creada al girar un semicírculo de radio $a$ alrededor del eje $y$ . ¿Coincide su respuesta con el volumen de una esfera?

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región delimitada por la curva. Halle el área $M$ y el centroide $(\bar{x}, \bar{y})$ para las formas dadas. Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

285.

[T] Cuarto de círculo: $y = \sqrt{1 - x^{2}},$ $y = 0,$ y $x = 0$

286.

[T] Triángulo: $y = x,$ $y = 2 - x,$ y $y = 0$

287.

[T] Lente: $y = x^{2}$ y $y = x$

288.

[T] Anillo: $y^{2} + x^{2} = 1$ y $y^{2} + x^{2} = 4$

289.

[T] Medio anillo: $y^{2} + x^{2} = 1,$ $y^{2} + x^{2} = 4,$ y $y = 0$

290.

Halle el centro de masa generalizado en la franja entre $y = x^{a}$ y $y = x^{b}$ con la $a > b .$ A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y.

291.

Halle el centro de masa generalizado entre $y = a^{2} - x^{2},$ $x = 0,$ y $y = 0 .$ A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y.

292.

Halle el centro de masa generalizado entre $y = b sen (a x),$ $x = 0,$ y $x = \frac{π}{a} .$ A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y.

293.

Utilice el teorema de Pappus para hallar el volumen de un toro (que se muestra aquí). Supongamos que un disco de radio $a$ se sitúa con el extremo izquierdo del círculo en $x = b,$ $b > 0,$ y gira en torno al eje y.

Esta figura es un toro. Tiene un radio interior de b. En el interior del toro hay una sección transversal que es un círculo. El círculo tiene radio a.

294.

Halle el centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ para un cable fino a lo largo del semicírculo $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ con masa unitaria. (Pista: Utilice el teorema de Pappus)

2.6 Momentos y centros de masa

Centro de masa y momentos

Centro de masa de objetos en una línea

Encontrar el centro de masa de los objetos a lo largo de una línea

Solución

Centro de masa de objetos en un plano

Encontrar el centro de masa de los objetos en un plano

Solución

Centro de masa de las placas finas

El principio de simetría

Centro de masa de una placa delgada en el plano xy

Hallar el centro de masa de una lámina

Solución

Centro de masa de una lámina delimitada por dos funciones

Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones

Solución

El principio de simetría

Encontrar el centroide de una región simétrica

Solución

El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón

Teorema de Pappus

Teorema de Pappus para el volumen

Prueba

Uso del teorema de Pappus para el volumen

Solución

Sección 2.6 ejercicios