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Cálculo volumen 2

2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

Cálculo volumen 22.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.7.1 Escribir la definición del logaritmo natural como una integral.
  • 2.7.2 Reconocer la derivada del logaritmo natural.
  • 2.7.3 Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural.
  • 2.7.4 Definir el número e e a través de una integral.
  • 2.7.5 Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial.
  • 2.7.6 Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.
  • 2.7.7 Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección.

Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e, ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente).

Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número e,e, y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

xndx=xn+1n+1+C,n1.xndx=xn+1n+1+C,n1.

Está claro que esto no funciona cuando n=−1,n=−1, ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con 1xdx?1xdx? Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que 1x1tdt1x1tdt es una antiderivada de 1/x.1/x. Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.

Definición

Para x>0,x>0, defina la función logarítmica natural por

lnx=1x1tdt.lnx=1x1tdt.
(2.24)

Para x>1,x>1, esto es solo el área bajo la curva y=1/ty=1/t a partir de 11 a x.x. Para x<1,x<1, tenemos 1x1tdt=x11tdt,1x1tdt=x11tdt, por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de xpara1xpara1 (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es la curva y=1/t. Es decreciente y está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una zona sombreada. El área está limitada por la izquierda en x=1. El área marcada como "área=lnx". El segundo gráfico es la misma curva y=1/t. Tiene un área sombreada bajo la curva delimitada a la derecha por x=1. Está marcado como "área=-lnx".
Figura 2.75 (a) Cuando x > 1 , x > 1 , el logaritmo natural es el área bajo la curva y = 1 / t y = 1 / t a partir de 1 para x . 1 para x . (b) Cuando x < 1 , x < 1 , el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de x x al 1 . 1 .

Observe que ln1=0.ln1=0. Además, la función y=1/t>0y=1/t>0 por x>0.x>0. Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que lnxlnx aumenta para x>0.x>0.

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Teorema 2.15

Derivada del logaritmo natural

Para x>0,x>0, la derivada del logaritmo natural viene dada por

ddxlnx=1x.ddxlnx=1x.

Teorema 2.16

Corolario de la derivada del logaritmo natural

La función lnxlnx es diferenciable; por lo tanto, es continua.

Un gráfico de lnxlnx se muestra en la Figura 2.76. Observe que es continua en todo su dominio de (0,).(0,).

Esta figura es un gráfico. Es una curva creciente marcada como f(x)=lnx. La curva es creciente con el eje y como asíntota. La curva interseca el eje x en x = 1.
Figura 2.76 El gráfico de f ( x ) = ln x f ( x ) = ln x muestra que es una función continua.

Ejemplo 2.35

Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales

Calcule las siguientes derivadas:

  1. ddxln(5x32 )ddxln(5x32 ) grandes.
  2. ddx(ln(3x))2 ddx(ln(3x))2

Punto de control 2.35

Calcule las siguientes derivadas:

  1. ddxln(2 x2 +x)ddxln(2 x2 +x) grandes.
  2. ddx(ln(x3))2 ddx(ln(x3))2

Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función ln|x|,ln|x|, podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir x<0.x<0. Entonces (d/(dx))ln|x|=1/x.(d/(dx))ln|x|=1/x. Esto da lugar a la conocida fórmula de integración.

Teorema 2.17

Integral de (1/u) du

El logaritmo natural es la antiderivada de la función f(u)=1/u:f(u)=1/u:

1udu=ln|u|+C.1udu=ln|u|+C.

Ejemplo 2.36

Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales

Calcule la integral xx2 +4dx.xx2 +4dx.

Punto de control 2.36

Calcule la integral x2 x3+6dx.x2 x3+6dx.

Aunque hemos llamado a nuestra función "logaritmo", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí.

Teorema 2.18

Propiedades del logaritmo natural

Si los valores de a,b>0a,b>0 y rr es un número racional, entonces

  1. ln1=0ln1=0
  2. ln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna+lnb
  3. ln(ab)=lnalnbln(ab)=lnalnb
  4. ln(ar)=rlnaln(ar)=rlna

Prueba

i. Por definición, ln1=111tdt=0.ln1=111tdt=0.

ii. Tenemos

ln(ab)=1ab1tdt=1a1tdt+aab1tdt.ln(ab)=1ab1tdt=1a1tdt+aab1tdt.


Use la sustitución u u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u=t/a.u=t/a. Entonces du=(1/a)dt.du=(1/a)dt. Además, cuando t=a,u=1,t=a,u=1, y cuando t=ab,u=b.t=ab,u=b. Así que obtenemos

ln(ab)=1a1tdt+aab1tdt=1a1tdt+aabat.1adt=1a1tdt+1b1udu=lna+lnb.ln(ab)=1a1tdt+aab1tdt=1a1tdt+aabat.1adt=1a1tdt+1b1udu=lna+lnb.

iv. Tenga en cuenta que

ddxln(xr)=rxr1xr=rx.ddxln(xr)=rxr1xr=rx.


Además,

ddx(rlnx)=rx.ddx(rlnx)=rx.


Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos

ln(xr)=rlnx+Cln(xr)=rlnx+C


para alguna constante C.C. Si tomamos x=1,x=1, obtenemos

ln(1r)=rln(1)+C0=r(0)+CC=0.ln(1r)=rln(1)+C0=r(0)+CC=0.


Así que ln(xr)=rlnxln(xr)=rlnx y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de rr más adelante en esta sección.
La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio.

Ejemplo 2.37

Uso de las propiedades de los logaritmos

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln92 ln3+ln(13).ln92 ln3+ln(13).

Punto de control 2.37

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln8ln2 ln(14).ln8ln2 ln(14).

Definición del número e

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número e.e.

Definición

El número ee se define como el número real tal que

lne=1.lne=1.

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva y=1/ty=1/t entre t=1t=1 y t=et=e ¿es 11 (Figura 2.77). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. (Pista: Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que lnxlnx es creciente para demostrar su unicidad).

Esta figura es un gráfico. Es la curva y=1/t. Es decreciente y está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una zona sombreada. El área está limitada a la izquierda en x=1 y a la derecha en x=e. El área está marcada como "área=1".
Figura 2.77 El área bajo la curva de 1 1 al e e es igual a uno.

El número ee puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

e2,71828182846.e2,71828182846.

La función exponencial

Ahora nos centraremos en la función ex.ex. Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por expx.expx. Entonces,

exp(lnx)=xparax>0yln(expx)=xpara todox.exp(lnx)=xparax>0yln(expx)=xpara todox.

La siguiente figura muestra los gráficos de expxexpx y lnx.lnx.

Esta figura es un gráfico. Tiene tres curvas. La primera curva está marcada como exp x. Es una curva creciente con el eje x como asíntota horizontal. Interseca el eje y en y = 1. La segunda curva es una línea diagonal que pasa por el origen. La tercera curva está marcada como lnx. Se trata de una curva creciente con el eje y como eje vertical. Interseca el eje x en x = 1.
Figura 2.78 Los gráficos de ln x ln x y exp x . exp x .

Nuestra hipótesis es que expx=ex.expx=ex. Para valores racionales de x,x, esto es fácil de mostrar. Si los valores de xx es racional, entonces tenemos ln(ex)=xlne=x.ln(ex)=xlne=x. Así, cuando xx es racional, ex=expx.ex=expx. Para valores irracionales de x,x, simplemente definimos exex como función inversa de lnx.lnx.

Definición

Para cualquier número real x,x, defina y=exy=ex para ser el número para el que

lny=ln(ex)=x.lny=ln(ex)=x.
(2.25)

Entonces tenemos ex=exp(x)ex=exp(x) para todo x,x, y por lo tanto

elnx=xparax>0yln(ex)=xelnx=xparax>0yln(ex)=x
(2.26)

para todos los x.x.

Propiedades de la función exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e,e, debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función ex.ex.

Teorema 2.19

Propiedades de la función exponencial

Si los valores de pp y qq son números reales cualquiera y rr es un número racional, entonces

  1. epeq=ep+qepeq=ep+q
  2. epeq=epqepeq=epq
  3. (ep)r=epr(ep)r=epr

Prueba

Observe que si pp y qq son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si pp o qq son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de exex y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos

ln(epeq)=ln(ep)+ln(eq)=p+q=ln(ep+q).ln(epeq)=ln(ep)+ln(eq)=p+q=ln(ep+q).

Dado que lnxlnx es biunívoca, entonces

epeq=ep+q.epeq=ep+q.

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r,r, y lo haremos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función y=ex.y=ex. Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que y=ex.y=ex. Entonces

lny=xddxlny=ddxx1ydydx=1dydx=y.lny=xddxlny=ddxx1ydydx=1dydx=y.

Así, vemos

ddxex=exddxex=ex

como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

exdx=ex+C.exdx=ex+C.

Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.38

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe las siguientes derivadas:

  1. ddte3tet2 ddte3tet2
  2. ddxe3x2 ddxe3x2

Punto de control 2.38

Evalúe las siguientes derivadas:

  1. ddx(ex2 e5x)ddx(ex2 e5x) grandes.
  2. ddt(e2 t)3ddt(e2 t)3

Ejemplo 2.39

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe la siguiente integral 2 xex2 dx.2 xex2 dx.

Punto de control 2.39

Evalúe la siguiente integral 4e3xdx.4e3xdx.

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a e.e. Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x)=ax.f(x)=ax. Tenga en cuenta que, a menos que a=e,a=e, todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función f(x)=axf(x)=ax en términos de la función exponencial ex.ex. A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a ee como funciones inversas de funciones exponenciales.

Definición

para cualquier a>0,a>0, y para cualquier número real x,x, defina y=axy=ax de la siguiente forma:

y=ax=exlna.y=ax=exlna.

Ahora, axax se define rigurosamente para todos los valores de x. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de r.r. Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para ax.ax. Tenemos

ddxax=ddxexlna=exlnalna=axlna.ddxax=ddxexlna=exlnalna=axlna.

La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente.

Teorema 2.20

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

Supongamos que a>0.a>0. Entonces,

ddxax=axlnaddxax=axlna

y

axdx=1lnaax+C.axdx=1lnaax+C.

Si los valores de a1,a1, entonces la función axax es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por logax.logax. Entonces,

y=logaxsi y solo six=ay.y=logaxsi y solo six=ay.

Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que y=logax.y=logax. Entonces, x=ay.x=ay. Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos

lnx=ln(ay)lnx=ylnay=lnxlnalogax=lnxlna.lnx=ln(ay)lnx=ylnay=lnxlnalogax=lnxlna.

Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base a.a. De nuevo, supongamos y=logax.y=logax. Entonces,

dydx=ddx(logax)=ddx(lnxlna)=(1lna)ddx(lnx)=1lna.1x=1xlna.dydx=ddx(logax)=ddx(lnxlna)=(1lna)ddx(lnx)=1lna.1x=1xlna.

Teorema 2.21

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Supongamos que a>0.a>0. Entonces,

ddxlogax=1xlna.ddxlogax=1xlna.

Ejemplo 2.40

Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales

Evalúe las siguientes derivadas:

  1. ddt(4t.2 t2 )ddt(4t.2 t2 ) grandes.
  2. ddxlog8(7x2 +4)ddxlog8(7x2 +4)

Punto de control 2.40

Evalúe las siguientes derivadas:

  1. ddt4t4ddt4t4
  2. ddxlog3(x2 +1)ddxlog3(x2 +1)

Ejemplo 2.41

Integración de funciones exponenciales generales

Evalúe la siguiente integral 32 3xdx.32 3xdx.

Punto de control 2.41

Evalúe la siguiente integral x2 2 x3dx.x2 2 x3dx.

Sección 2.7 ejercicios

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada dydx.dydx.

295.

y=ln(2 x)y=ln(2 x) grandes.

296.

y=ln(2 x+1)y=ln(2 x+1) grandes.

297.

y = 1 ln x y = 1 ln x

En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida.

298.

d t 3 t d t 3 t

299.

d x 1 + x d x 1 + x

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada dy/dx.dy/dx. (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta).

300.

[T] y=ln(x)xy=ln(x)x

301.

[T] y=xln(x)y=xln(x) grandes.

302.

[T] y=log10xy=log10x

303.

[T] y=ln(senx)y=ln(senx) grandes.

304.

[T] y=ln(lnx)y=ln(lnx)

305.

[T] y=7ln(4x)y=7ln(4x) grandes.

306.

[T] y=ln((4x)7)y=ln((4x)7)

307.

[T] y=ln(tanx)y=ln(tanx) grandes.

308.

[T] y=ln(tan(3x))y=ln(tan(3x))

309.

[T] y=ln(cos2 x)y=ln(cos2 x) grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida.

310.

0 1 d x 3 + x 0 1 d x 3 + x

311.

0 1 d t 3 + 2 t 0 1 d t 3 + 2 t

312.

0 2 x d x x 2 + 1 0 2 x d x x 2 + 1

313.

0 2 x 3 d x x 2 + 1 0 2 x 3 d x x 2 + 1

314.

2 e d x x ln x 2 e d x x ln x

315.

2 e d x x ( ln x ) 2 2 e d x x ( ln x ) 2

316.

cos x d x sen x cos x d x sen x

317.

0 π / 4 tan x d x 0 π / 4 tan x d x

318.

cot ( 3 x ) d x cot ( 3 x ) d x

319.

( ln x ) 2 d x x ( ln x ) 2 d x x

En los siguientes ejercicios, calcule dy/dxdy/dx diferenciando lny.lny.

320.

y = x 2 + 1 y = x 2 + 1

321.

y = x 2 + 1 x 2 1 y = x 2 + 1 x 2 1

322.

y = e sen x y = e sen x

323.

y = x −1 / x y = x −1 / x

324.

y=e(ex)y=e(ex) grandes.

325.

y = x e y = x e

326.

y=x(ex)y=x(ex) grandes.

327.

y = x x 3 x 6 y = x x 3 x 6

328.

y = x −1 / ln x y = x −1 / ln x

329.

y = e ln x y = e ln x

En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método.

330.

5 10 d t t 5 x 10 x d t t 5 10 d t t 5 x 10 x d t t

331.

1 e π d x x + −2 −1 d x x 1 e π d x x + −2 −1 d x x

332.

d d x x 1 d t t d d x x 1 d t t

333.

d d x x x 2 d t t d d x x x 2 d t t

334.

d d x ln ( sec x + tan x ) d d x ln ( sec x + tan x )

En los siguientes ejercicios, utilice la función lnx.lnx. Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora.

335.

Halle el área de la región encerrada por x=1x=1 y y=5y=5 arriba y=lnx.y=lnx.

336.

[T] Calcule la longitud de arco de lnxlnx de x=1x=1 a x=2 .x=2 .

337.

Halle el área entre lnxlnx y el eje x de x=1parax=2 .x=1parax=2 .

338.

Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde x=1parax=2 x=1parax=2 alrededor del eje x, como se muestra aquí.

Esta figura es una superficie. Se generó al girar la curva ln x alrededor del eje x. La superficie está dentro de un cubo, que muestra que es tridimensional.
339.

[T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de x=1x=1 a x=2 x=2 alrededor del eje x.

Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora.

340.

Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por x=2 yy=2 x=2 yy=2 arriba y=1/x.y=1/x.

341.

[T] Calcule la longitud de arco de y=1/xy=1/x de x=1parax=4.x=1parax=4.

342.

Halle el área bajo y=1/xy=1/x y por encima del eje x de x=1parax=4.x=1parax=4.

En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas.

343.

d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2

344.

ddxln(xax+a)=2 a(x2 a2 )ddxln(xax+a)=2 a(x2 a2 ) grandes.

345.

d d x ln ( 1 + 1 x 2 x ) = 1 x 1 x 2 d d x ln ( 1 + 1 x 2 x ) = 1 x 1 x 2

346.

d d x ln ( x + x 2 a 2 ) = 1 x 2 a 2 d d x ln ( x + x 2 a 2 ) = 1 x 2 a 2

347.

d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C

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