Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.7.1 Escribir la definición del logaritmo natural como una integral.
2.7.2 Reconocer la derivada del logaritmo natural.
2.7.3 Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural.
2.7.4 Definir el número $e$ a través de una integral.
2.7.5 Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial.
2.7.6 Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.
2.7.7 Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección.

Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e, ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente).

Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número $e,$ y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq − 1 .

Está claro que esto no funciona cuando $n = −1,$ ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con $\int \frac{1}{x} d x ?$ Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ es una antiderivada de $1 / x .$ Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.

Definición

Para $x > 0,$ defina la función logarítmica natural por

ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t .

(2.24)

Para $x > 1,$ esto es solo el área bajo la curva $y = 1 / t$ a partir de $1$ a $x .$ Para $x < 1,$ tenemos $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = − \int_{x}^{1} \frac{1}{t} d t,$ por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de $x para 1$ (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es la curva y=1/t. Es decreciente y está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una zona sombreada. El área está limitada por la izquierda en x=1. El área marcada como "área=lnx". El segundo gráfico es la misma curva y=1/t. Tiene un área sombreada bajo la curva delimitada a la derecha por x=1. Está marcado como "área=-lnx".

Figura 2.75 (a) Cuando

x > 1,

el logaritmo natural es el área bajo la curva

y = 1 / t

a partir de

1 para x .

(b) Cuando

x < 1,

el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de

x

al

1 .

Observe que $ln 1 = 0 .$ Además, la función $y = 1 / t > 0$ por $x > 0 .$ Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que $ln x$ aumenta para $x > 0 .$

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Teorema 2.15

Derivada del logaritmo natural

Para $x > 0,$ la derivada del logaritmo natural viene dada por

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} .

Teorema 2.16

Corolario de la derivada del logaritmo natural

La función $ln x$ es diferenciable; por lo tanto, es continua.

Un gráfico de $ln x$ se muestra en la Figura 2.76. Observe que es continua en todo su dominio de $(0, \infty) .$

Esta figura es un gráfico. Es una curva creciente marcada como f(x)=lnx. La curva es creciente con el eje y como asíntota. La curva interseca el eje x en x = 1.

Figura 2.76 El gráfico de

f (x) = ln x

muestra que es una función continua.

Ejemplo 2.35

Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales

Calcule las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2)$ grandes.
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2}$

Solución

En ambos casos tenemos que aplicar la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2) = \frac{15 x^{2}}{5 x^{3} - 2}$
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2} = \frac{2 (ln (3 x)) . 3}{3 x} = \frac{2 (ln (3 x))}{x}$

Punto de control 2.35

Calcule las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} ln (2 x^{2} + x)$ grandes.
$\frac{d}{d x} {(ln (x^{3}))}^{2}$

Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función $ln | x |,$ podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir $x < 0 .$ Entonces $(d / (d x)) ln | x | = 1 / x .$ Esto da lugar a la conocida fórmula de integración.

Teorema 2.17

Integral de (1/u) du

El logaritmo natural es la antiderivada de la función $f (u) = 1 / u :$

\int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C .

Ejemplo 2.36

Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales

Calcule la integral $\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x .$

Solución

Utilizando $u$ −sustitución, supongamos que $u = x^{2} + 4 .$ Entonces $d u = 2 x d x$ y tenemos

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} ln | u | + C = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 4 | + C = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 4) + C .

Punto de control 2.36

Calcule la integral $\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6} d x .$

Aunque hemos llamado a nuestra función "logaritmo", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí.

Teorema 2.18

Propiedades del logaritmo natural

Si los valores de $a, b > 0$ y $r$ es un número racional, entonces

$ln 1 = 0$
$ln (a b) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{r}) = r ln a$

Prueba

i. Por definición, $ln 1 = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t = 0 .$

ii. Tenemos

ln (a b) = \int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t .

Use la sustitución $u$ en la última integral de esta expresión. Supongamos que $u = t / a .$ Entonces $d u = (1 / a) d t .$ Además, cuando $t = a, u = 1,$ y cuando $t = a b, u = b .$ Así que obtenemos

ln (a b) = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{a}{t} . \frac{1}{a} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{b} \frac{1}{u} d u = ln a + ln b .

iv. Tenga en cuenta que

\frac{d}{d x} ln (x^{r}) = \frac{r x^{r - 1}}{x^{r}} = \frac{r}{x} .

Además,

\frac{d}{d x} (r ln x) = \frac{r}{x} .

Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos

ln (x^{r}) = r ln x + C

para alguna constante $C .$ Si tomamos $x = 1,$ obtenemos

\begin{matrix} ln (1^{r}) & = & r ln (1) + C \\ 0 & = & r (0) + C \\ C & = & 0 . \end{matrix}

Así que $ln (x^{r}) = r ln x$ y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de $r$ más adelante en esta sección.
La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio.

□

Ejemplo 2.37

Uso de las propiedades de los logaritmos

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) .

Solución

Tenemos

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) = ln (3^{2}) - 2 ln 3 + ln (3^{−1}) = 2 ln 3 - 2 ln 3 - ln 3 = − ln 3 .

Punto de control 2.37

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln 8 - ln 2 - ln (\frac{1}{4}) .

Definición del número e

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número $e .$

Definición

El número $e$ se define como el número real tal que

ln e = 1 .

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva $y = 1 / t$ entre $t = 1$ y $t = e$ ¿es $1$ (Figura 2.77). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. (Pista: Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que $ln x$ es creciente para demostrar su unicidad).

Esta figura es un gráfico. Es la curva y=1/t. Es decreciente y está en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una zona sombreada. El área está limitada a la izquierda en x=1 y a la derecha en x=e. El área está marcada como "área=1".

Figura 2.77 El área bajo la curva de

1

al

e

es igual a uno.

El número $e$ puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

e \approx 2,71828182846 .

La función exponencial

Ahora nos centraremos en la función $e^{x} .$ Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por $exp x .$ Entonces,

exp (ln x) = x para x > 0 y ln (exp x) = x para todo x .

La siguiente figura muestra los gráficos de $exp x$ y $ln x .$

Esta figura es un gráfico. Tiene tres curvas. La primera curva está marcada como exp x. Es una curva creciente con el eje x como asíntota horizontal. Interseca el eje y en y = 1. La segunda curva es una línea diagonal que pasa por el origen. La tercera curva está marcada como lnx. Se trata de una curva creciente con el eje y como eje vertical. Interseca el eje x en x = 1.

Figura 2.78 Los gráficos de

ln x

y

exp x .

Nuestra hipótesis es que $exp x = e^{x} .$ Para valores racionales de $x,$ esto es fácil de mostrar. Si los valores de $x$ es racional, entonces tenemos $ln (e^{x}) = x ln e = x .$ Así, cuando $x$ es racional, $e^{x} = exp x .$ Para valores irracionales de $x,$ simplemente definimos $e^{x}$ como función inversa de $ln x .$

Definición

Para cualquier número real $x,$ defina $y = e^{x}$ para ser el número para el que

ln y = ln (e^{x}) = x .

(2.25)

Entonces tenemos $e^{x} = exp (x)$ para todo $x,$ y por lo tanto

e^{ln x} = x para x > 0 y ln (e^{x}) = x

(2.26)

para todos los $x .$

Propiedades de la función exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de $e,$ debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función $e^{x} .$

Teorema 2.19

Propiedades de la función exponencial

Si los valores de $p$ y $q$ son números reales cualquiera y $r$ es un número racional, entonces

$e^{p} e^{q} = e^{p + q}$
$\frac{e^{p}}{e^{q}} = e^{p - q}$
${(e^{p})}^{r} = e^{p r}$

Prueba

Observe que si $p$ y $q$ son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si $p$ o $q$ son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de $e^{x}$ y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q}) .

Dado que $ln x$ es biunívoca, entonces

e^{p} e^{q} = e^{p + q} .

□

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de $r,$ y lo haremos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función $y = e^{x} .$ Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que $y = e^{x} .$ Entonces

\begin{matrix} ln y & = & x \\ \frac{d}{d x} ln y & = & \frac{d}{d x} x \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & y . \end{matrix}

Así, vemos

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.38

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$

Solución

Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$ grandes.
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$

Punto de control 2.38

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x^{2}}}{e^{5 x}})$ grandes.
$\frac{d}{d t} {(e^{2 t})}^{3}$

Ejemplo 2.39

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe la siguiente integral $\int 2 x e^{– x^{2}} d x .$

Solución

Utilizando $u$ −sustitución, supongamos que $u = − x^{2} .$ Entonces $d u = –2 x d x,$ y tenemos

\int 2 x e^{– x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{– x^{2}} + C .

Punto de control 2.39

Evalúe la siguiente integral $\int \frac{4}{e^{3 x}} d x .$

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a $e .$ Las funciones exponenciales son funciones de la forma $f (x) = a^{x} .$ Tenga en cuenta que, a menos que $a = e,$ todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función $f (x) = a^{x}$ en términos de la función exponencial $e^{x} .$ A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a $e$ como funciones inversas de funciones exponenciales.

Definición

para cualquier $a > 0,$ y para cualquier número real $x,$ defina $y = a^{x}$ de la siguiente forma:

y = a^{x} = e^{x ln a} .

Ahora, $a^{x}$ se define rigurosamente para todos los valores de x. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de $r .$ Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para $a^{x} .$ Tenemos

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente.

Teorema 2.20

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

Supongamos que $a > 0 .$ Entonces,

\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} ln a

y

\int a^{x} d x = \frac{1}{ln a} a^{x} + C .

Si los valores de $a \neq 1,$ entonces la función $a^{x}$ es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por ${log}_{a} x .$ Entonces,

y = {log}_{a} x si y solo si x = a^{y} .

Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que $y = {log}_{a} x .$ Entonces, $x = a^{y} .$ Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos

\begin{matrix} ln x & = & ln (a^{y}) \\ ln x & = & y ln a \\ y & = & \frac{ln x}{ln a} \\ {log}_{a} x & = & \frac{ln x}{ln a} . \end{matrix}

Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base $a .$ De nuevo, supongamos $y = {log}_{a} x .$ Entonces,

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d}{d x} ({log}_{a} x) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{ln x}{ln a}) \\ = (\frac{1}{ln a}) \frac{d}{d x} (ln x) \\ = \frac{1}{ln a} . \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x ln a} . \end{matrix}

Teorema 2.21

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Supongamos que $a > 0 .$ Entonces,

\frac{d}{d x} {log}_{a} x = \frac{1}{x ln a} .

Ejemplo 2.40

Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d t} (4^{t} . 2^{t^{2}})$ grandes.
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$

Solución

Tenemos que aplicar la regla de la cadena según sea necesario.

$\frac{d}{d t} (4^{t} . 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} . 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$ grandes.
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$

Punto de control 2.40

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d t} 4^{t^{4}}$
$\frac{d}{d x} {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1})$

Ejemplo 2.41

Integración de funciones exponenciales generales

Evalúe la siguiente integral $\int \frac{3}{2^{3 x}} d x .$

Solución

Utilice la sustitución en $u$ y supongamos que $u = −3 x .$ Entonces $d u = −3 d x$ y tenemos

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 . 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C .

Punto de control 2.41

Evalúe la siguiente integral $\int x^{2} 2^{x^{3}} d x .$

Sección 2.7 ejercicios

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada $\frac{d y}{d x} .$

295.

$y = ln (2 x)$ grandes.

296.

$y = ln (2 x + 1)$ grandes.

297.

$y = \frac{1}{ln x}$

En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida.

298.

$\int \frac{d t}{3 t}$

299.

$\int \frac{d x}{1 + x}$

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada $d y / d x .$ (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta).

300.

[T] $y = \frac{ln (x)}{x}$

301.

[T] $y = x ln (x)$ grandes.

302.

[T] $y = {log}_{10} x$

303.

[T] $y = ln (sen x)$ grandes.

304.

[T] $y = ln (ln x)$

305.

[T] $y = 7 ln (4 x)$ grandes.

306.

[T] $y = ln ({(4 x)}^{7})$

307.

[T] $y = ln (tan x)$ grandes.

308.

[T] $y = ln (tan (3 x))$

309.

[T] $y = ln ({cos}^{2} x)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida.

310.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}$

311.

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}$

312.

$\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

313.

$\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}$

314.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}$

315.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}$

316.

$\int \frac{cos x d x}{sen x}$

317.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

318.

$\int cot (3 x) d x$

319.

$\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}$

En los siguientes ejercicios, calcule $d y / d x$ diferenciando $ln y .$

320.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

321.

$y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}$

322.

$y = e^{sen x}$

323.

$y = x^{−1 / x}$

324.

$y = e^{(e x)}$ grandes.

325.

$y = x^{e}$

326.

$y = x^{(e x)}$ grandes.

327.

$y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}$

328.

$y = x^{−1 / ln x}$

329.

$y = e^{− ln x}$

En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método.

330.

$\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}$

331.

$\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}$

332.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}$

333.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}$

334.

$\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)$

En los siguientes ejercicios, utilice la función $ln x .$ Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora.

335.

Halle el área de la región encerrada por $x = 1$ y $y = 5$ arriba $y = ln x .$

336.

[T] Calcule la longitud de arco de $ln x$ de $x = 1$ a $x = 2 .$

337.

Halle el área entre $ln x$ y el eje x de $x = 1 para x = 2 .$

338.

Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde $x = 1 para x = 2$ alrededor del eje x, como se muestra aquí.

Esta figura es una superficie. Se generó al girar la curva ln x alrededor del eje x. La superficie está dentro de un cubo, que muestra que es tridimensional.

339.

[T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de $x = 1$ a $x = 2$ alrededor del eje x.

Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora.

340.

Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por $x = 2 y y = 2$ arriba $y = 1 / x .$

341.

[T] Calcule la longitud de arco de $y = 1 / x$ de $x = 1 para x = 4 .$

342.

Halle el área bajo $y = 1 / x$ y por encima del eje x de $x = 1 para x = 4 .$

En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas.

343.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

344.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}$ grandes.

345.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

346.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

347.

$\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C$

2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

El logaritmo natural como integral

Propiedades del logaritmo natural

Derivada del logaritmo natural

Corolario de la derivada del logaritmo natural

Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales

Solución

Integral de (1/u) du

Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales

Solución

Propiedades del logaritmo natural

Prueba

Uso de las propiedades de los logaritmos

Solución

Definición del número e

La función exponencial

Propiedades de la función exponencial

Propiedades de la función exponencial

Prueba

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Solución

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Solución

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales

Solución

Integración de funciones exponenciales generales

Solución

Sección 2.7 ejercicios