Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.3.1 Describir el procedimiento para calcular un polinomio de Taylor de un orden dado para una función.
6.3.2 Explicar el significado y la importancia del teorema de Taylor con resto.
6.3.3 Estimar el resto de una aproximación en serie de Taylor de una función dada.

En las dos secciones anteriores hemos discutido cómo hallar representaciones en series de potencias para ciertos tipos de funciones, en concreto, funciones relacionadas con series geométricas. A continuación, discutiremos las representaciones en series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones pueden representarse mediante series de potencias y cómo podemos hallar dichas representaciones? Si podemos hallar una representación en serie de potencias para una función particular $f$ y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie realmente converge a $f ?$

Resumen de la serie de Taylor/Maclaurin

Considere una función $f$ que tiene una representación en serie de potencias en $x = a .$ Entonces la serie tiene la forma

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

(6.4)

¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos los temas de convergencia y nos centramos en lo que debería ser la serie, si es que existe. Volveremos a hablar de la convergencia más adelante en esta sección. Si la serie de la Ecuación 6.4 es una representación para $f$ en $x = a,$ ciertamente queremos que la serie sea igual a $f (a)$ en $x = a .$ Si evaluamos la serie en $x = a,$ vemos que

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} & = c_{0} + c_{1} (a - a) + c_{2} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = c_{0} . \end{matrix}

Por lo tanto, la serie es igual a $f (a)$ si el coeficiente $c_{0} = f (a) .$ Además, queremos que la primera derivada de la serie de potencias sea igual a $f^{'} (a)$ en $x = a .$ Diferenciando la Ecuación 6.4 término a término, vemos que

\frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = c_{1} + 2 c_{2} (x - a) + 3 c_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

Por lo tanto, en $x = a,$ la derivada es

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = c_{1} + 2 c_{2} (a - a) + 3 c_{3} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = c_{1} . \end{matrix}

Por lo tanto, la derivada de la serie es igual a $f^{'} (a)$ si el coeficiente $c_{1} = f^{'} (a) .$ Si continuamos de este modo, buscamos coeficientes c_n tales que todas las derivadas de la serie de potencias de la Ecuación 6.4 coincidan con todas las derivadas correspondientes de $f$ en $x = a .$ La segunda y tercera derivadas de la Ecuación 6.4 están dadas por

\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = 2 c_{2} + 3.2 c_{3} (x - a) + 4.3 c_{4} {(x - a)}^{2} + ⋯

y

\frac{d^{3}}{d x^{3}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = 3.2 c_{3} + 4.3.2 c_{4} (x - a) + 5.4.3 c_{5} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

Por lo tanto, en $x = a,$ la segunda y tercera derivadas

\begin{matrix} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = 2 c_{2} + 3.2 c_{3} (a - a) + 4.3 c_{4} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = 2 c_{2} \end{matrix}

y

\begin{matrix} \frac{d^{3}}{d x^{3}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = 3.2 c_{3} + 4.3.2 c_{4} (a - a) + 5.4.3 c_{5} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = 3.2 c_{3} \end{matrix}

igual a $f ″ (a)$ y $f ‴ (a),$ respectivamente, si $c_{2} = \frac{f ″ (a)}{2}$ y $c_{3} = \frac{f ‴ (a)}{3}$ De forma más general, vemos que si $f$ tiene una representación en serie de potencias en $x = a,$ entonces los coeficientes deben ser dados por $c_{n} = \frac{f^{(n)} (a)}{n!} .$ Es decir, la serie debe ser

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \frac{f ‴ (a)}{3!} {(x - a)}^{3} + ⋯ .

Esta serie de potencias para $f$ se conoce como la serie de Taylor para $f$ en $a .$ Si $a = 0,$ entonces esta serie se conoce como la serie de Maclaurin para $f .$

Definición

Si $f$ tiene derivadas de todos los órdenes en $x = a,$ entonces la serie de Taylor para la función $f$ en $a$ es

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} + ⋯ .

(6.5)

La serie de Taylor para $f$ en 0 se conoce como la serie de Maclaurin para $f .$

Más adelante en esta sección, mostraremos ejemplos de cómo calcular series de Taylor y hablaremos de las condiciones bajo las cuales la serie de Taylor para una función convergerá a esa función. Aquí exponemos un resultado importante. Recordemos de la Singularidad de las series de potencias que las representaciones en serie de potencias son únicas. Por lo tanto, si una función $f$ tiene una serie de potencias en $a,$ entonces debe ser la serie de Taylor para $f$ en $a .$

Teorema 6.6

Singularidad de la serie de Taylor

Si una función $f$ tiene una serie de potencias en a que converge a $f$ en algún intervalo abierto que contenga a, entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor para $f$ en a.

La prueba se deduce directamente de la Singularidad de las series de potencias.

Para determinar si una serie de Taylor converge, tenemos que mirar su secuencia de sumas parciales. Estas sumas parciales son polinomios finitos, conocidos como polinomios de Taylor.

Medios

Visite el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor para leer breves biografías de Brook Taylor y Colin Maclaurin y cómo desarrollaron los conceptos que llevan su nombre.

Polinomios de Taylor

La enésima suma parcial de la serie de Taylor para una función $f$ en $a$ se conoce como el enésimo polinomio de Taylor. Por ejemplo, las sumas parciales 0, 1, 2 y 3 de la serie de Taylor están dadas por

\begin{matrix} p_{0} (x) = f (a), \\ p_{1} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a), \\ p_{2} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2}, \\ p_{3} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \frac{f ‴ (a)}{3!} {(x - a)}^{3}, \end{matrix}

respectivamente. Estas sumas parciales se conocen como los polinomios 0, 1, 2 y 3 de Taylor de $f$ en $a,$ respectivamente. Si $a = 0,$ entonces estos polinomios se conocen como polinomios de Maclaurin para $f .$ Ahora ofrecemos una definición formal de los polinomios de Taylor y Maclaurin para una función $f .$

Definición

Si $f$ tiene n derivadas en $x = a,$ entonces el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en $a$ es

p_{n} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \frac{f ‴ (a)}{3!} {(x - a)}^{3} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} .

El enésimo polinomio de Taylor para $f$ en 0 se conoce como el enésimo polinomio de Maclaurin para $f .$

Ahora mostramos cómo utilizar esta definición para calcular varios polinomios de Taylor para $f (x) = ln x$ en $x = 1 .$

Ejemplo 6.11

Calcular polinomios de Taylor

Calcule los polinomios de Taylor $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3}$ para $f (x) = ln x$ en $x = 1 .$ Utilice una herramienta gráfica para comparar el gráfico de $f$ con los gráficos de $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3} .$

Solución

Para calcular estos polinomios de Taylor, necesitamos evaluar $f$ y sus tres primeras derivadas en $x = 1 .$

\begin{matrix} f (x) & = & ln x & f (1) & = & 0 \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{x} & f^{'} (1) & = & 1 \\ f ″ (x) & = & - \frac{1}{x^{2}} & f ″ (1) & = & −1 \\ f ‴ (x) & = & \frac{2}{x^{3}} & f ‴ (1) & = & 2 \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} p_{0} (x) & = & f (1) = 0, \\ p_{1} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = x - 1, \\ p_{2} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + \frac{f ″ (1)}{2} {(x - 1)}^{2} = (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}, \\ p_{3} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + \frac{f ″ (1)}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{f ‴ (1)}{3!} {(x - 1)}^{3} \\ = & (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} . \end{matrix}

Los gráficos de $y = f (x)$ y los tres primeros polinomios de Taylor se muestran en la Figura 6.5.

Este gráfico tiene cuatro curvas. La primera es la función f(x)=ln(x). La segunda función es psub1(x)=x-1. La tercera es psub2(x)=(x-1)-1/2(x-1)^2. La cuarta es psub3(x)=(x-1)-1/2(x-1)^2 +1/3(x-1)^3. Las curvas están muy cerca de x = 1.

Figura 6.5 La función

y = ln x

y los polinomios de Taylor

p_{0}, p_{1}, p_{2}

y

p_{3}

en

x = 1

están trazadas en este gráfico.

Punto de control 6.10

Calcule los polinomios de Taylor $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3}$ para $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ en $x = 1 .$

Ahora mostramos cómo calcular los polinomios de Maclaurin para e^x, $sen x,$ y $cos x .$ Como ya se ha dicho, los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor centrados en cero.

Ejemplo 6.12

Cálculo de polinomios de Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, halle las fórmulas de los polinomios de Maclaurin $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3} .$ Halle una fórmula para el enésimo polinomio de Maclaurin y escríbala utilizando la notación sigma. Utilice una herramienta gráfica para comparar los gráficos de $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3}$ con $f .$

$f (x) = e^{x}$
$f (x) = sen x$
$f (x) = cos x$

Solución

Dado que $f (x) = e^{x},$ sabemos que $f (x) = f^{'} (x) = f ″ (x) = ⋯ = f^{(n)} (x) = e^{x}$ para todos los enteros positivos n. Por lo tanto,

$f (0) = f^{'} (0) = f ″ (0) = ⋯ = f^{(n)} (0) = 1$

para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, tenemos

$\begin{matrix} p_{0} (x) & = & f (0) = 1, \\ p_{1} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x = 1 + x, \\ p_{2} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ″ (0)}{2!} x^{2} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2}, \\ p_{3} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ″ (0)}{2} x^{2} + \frac{f ‴ (0)}{3!} x^{3} \\ = & 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3}, \\ p_{n} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ″ (0)}{2} x^{2} + \frac{f ‴ (0)}{3!} x^{3} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} \\ = & 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} . \end{matrix}$

La función y los tres primeros polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 6.6.

Figura 6.6 El gráfico muestra la función $y = e^{x}$ y los polinomios de Maclaurin $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3} .$
Para $f (x) = sen x,$ los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en $x = 0$ se dan de la siguiente manera:

$\begin{matrix} f (x) & = & sen x & f (0) & = & 0 \\ f^{'} (x) & = & cos x & f^{'} (0) & = & 1 \\ f ″ (x) & = & − sen x & f ″ (0) & = & 0 \\ f ‴ (x) & = & − cos x & f ‴ (0) & = & −1 \\ f^{(4)} (x) & = & sen x & f^{(4)} (0) & = & 0, \end{matrix}$

Como la cuarta derivada es $sen x,$ el patrón se repite. Es decir, $f^{(2 m)} (0) = 0$ y $f^{(2 m + 1)} (0) = {(–1)}^{m}$ para $m \geq 0 .$ Por lo tanto, tenemos

$\begin{matrix} p_{0} (x) = 0, \\ p_{1} (x) = 0 + x = x, \\ p_{2} (x) = 0 + x + 0 = x, \\ p_{3} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} = x - \frac{x^{3}}{3!}, \\ p_{4} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} + 0 = x - \frac{x^{3}}{3!}, \\ p_{5} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} + 0 + \frac{1}{5!} x^{5} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}, \end{matrix}$

y para $m \geq 0,$

$\begin{matrix} p_{2 m + 1} (x) & = p_{2 m + 2} (x) \\ = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ⋯ + {(–1)}^{m} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \\ = \sum_{k = 0}^{m} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} . \end{matrix}$

Los gráficos de la función y sus polinomios de Maclaurin se muestran en la Figura 6.7.

Figura 6.7 El gráfico muestra la función $y = sen x$ y los polinomios de Maclaurin $p_{1}, p_{3}$ y $p_{5} .$
Para $f (x) = cos x,$ los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en $x = 0$ se dan de la siguiente manera:

$\begin{matrix} f (x) & = & cos x & f (0) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & − sen x & f^{'} (0) & = & 0 \\ f ″ (x) & = & − cos x & f ″ (0) & = & −1 \\ f ‴ (x) & = & sen x & f ‴ (0) & = & 0 \\ f^{(4)} (x) & = & cos x & f^{(4)} (0) & = & 1 \end{matrix}$

Como la cuarta derivada es $cos x,$ el patrón se repite. En otras palabras, $f^{(2 m)} (0) = {(–1)}^{m}$ y $f^{(2 m + 1)} = 0$ para $m \geq 0 .$ Por lo tanto,

$\begin{matrix} p_{0} (x) = 1, \\ p_{1} (x) = 1 + 0 = 1, \\ p_{2} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{2!}, \\ p_{3} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 = 1 - \frac{x^{2}}{2!}, \\ p_{4} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 + \frac{1}{4!} x^{4} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}, \\ p_{5} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 + \frac{1}{4!} x^{4} + 0 = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}, \end{matrix}$

y para $n \geq 0,$

$\begin{matrix} p_{2 m} (x) & = p_{2 m + 1} (x) \\ = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ⋯ + {(–1)}^{m} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} \\ = \sum_{k = 0}^{m} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} . \end{matrix}$

Los gráficos de la función y los polinomios de Maclaurin aparecen en la Figura 6.8.

Figura 6.8 La función $y = cos x$ y los polinomios de Maclaurin $p_{0}, p_{2}$ y $p_{4}$ están trazados en este gráfico.

Punto de control 6.11

Halle fórmulas para los polinomios de Maclaurin $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ y $p_{3}$ para $f (x) = \frac{1}{1 + x} .$ Halle una fórmula para el enésimo polinomio de Maclaurin. Escriba su respuesta utilizando la notación sigma.

Teorema de Taylor con resto

Recordemos que el enésimo polinomio de Taylor para una función $f$ en a es la enésima suma parcial de la serie de Taylor para $f$ en a. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor ${p_{n}}$ converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, sino que queremos saber si converge a $f .$ Para responder esta pregunta, definimos el resto $R_{n} (x)$ como

R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x) .

Para que la secuencia de polinomios de Taylor converja a $f,$ necesitamos que el resto R_n converja a cero. Para determinar si R_n converge a cero, introducimos el teorema de Taylor con resto. Este teorema no solo es útil para demostrar que una serie de Taylor converge a su función correspondiente, sino que también nos permitirá la aproximación del enésimo polinomio de Taylor a la función.

Aquí buscamos un límite en $| R_{n} | .$ Considere el caso más sencillo: $n = 0 .$ Supongamos que p₀ es el polinomio 0 de Taylor en a para una función $f .$ El resto R₀ satisface

\begin{matrix} R_{0} (x) & = f (x) - p_{0} (x) \\ = f (x) - f (a) . \end{matrix}

Si $f$ es diferenciable en un intervalo I que contiene a y x, entonces por el teorema de valor medio existe un número real c entre a y x tal que $f (x) - f (a) = f^{'} (c) (x - a) .$ Por lo tanto,

R_{0} (x) = f^{'} (c) (x - a) .

Utilizando el teorema de valor medio con un argumento similar, podemos demostrar que si $f$ es n veces diferenciable en un intervalo I que contiene a y x, entonces el enésimo resto R_n satisface

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}

para algún número real c entre a y x. Es importante señalar que el valor c en el numerador anterior no es el centro a, sino un valor desconocido c entre a y x. Esta fórmula nos permite obtener un límite en el resto R_n. Si sabemos que $| f^{(n + 1)} (x) |$ está delimitada por algún número real M en este intervalo I, entonces

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}

para todo x en el intervalo I.

Enunciamos ahora el teorema de Taylor, que estipula la relación formal entre una función $f$ y su polinomio de Taylor de enésimo orden $p_{n} (x) .$ Este teorema nos permite acotar el error cuando se utiliza un polinomio de Taylor para aproximar el valor de una función y será importante para demostrar que una serie de Taylor para $f$ converge a $f .$

Teorema 6.7

Teorema de Taylor con resto

Supongamos que $f$ es una función que se puede diferenciar $n + 1$ veces en un intervalo I que contiene el número real a. Supongamos que p_n es el enésimo polinomio de Taylor de $f$ en a y que

R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x)

es el enésimo resto. Entonces, para cada x en el intervalo I, existe un número real c entre a y x tal que

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1} .

Si existe un número real M tal que $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ para todo $x \in I,$ entonces

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}

para todo x en I.

Prueba

Fije un punto $x \in I$ e introduzca la función g tal que

g (t) = f (x) - f (t) - f^{'} (t) (x - t) - \frac{f ″ (t)}{2!} {(x - t)}^{2} - ⋯ - \frac{f^{(n)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} - R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n + 1}}{{(x - a)}^{n + 1}} .

Afirmamos que g satisface los criterios del teorema de Rolle. Como g es una función polinómica (en t), es una función diferenciable. Además, g es cero en $t = a$ y $t = x$ porque

\begin{matrix} g (a) & = & f (x) - f (a) - f^{'} (a) (x - a) - \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} - R_{n} (x) \\ = & f (x) - p_{n} (x) - R_{n} (x) \\ = & 0, \\ g (x) & = & f (x) - f (x) - 0 - ⋯ - 0 \\ = & 0, \end{matrix}

Por lo tanto, g satisface el teorema de Rolle, y en consecuencia, existe c entre a y x tal que $g^{'} (c) = 0 .$ Ahora calculamos $g^{'} .$ Utilizando la regla del producto, observamos que

\frac{d}{d t} [\frac{f^{(n)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n}] = \frac{− f^{(n)} (t)}{(n - 1)!} {(x - t)}^{n - 1} + \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} .

En consecuencia,

\begin{matrix} g^{'} (t) & = − f^{'} (t) + [f^{'} (t) - f ″ (t) (x - t)] + [f ″ (t) (x - t) - \frac{f ‴ (t)}{2!} {(x - t)}^{2}] + ⋯ \\ + [\frac{f^{(n)} (t)}{(n - 1)!} {(x - t)}^{n - 1} - \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n}] + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} . \end{matrix}

Observe que hay un efecto telescópico. Por lo tanto,

g^{'} (t) = - \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} .

Por el teorema de Rolle, concluimos que existe un número c entre a y x tal que $g^{'} (c) = 0 .$ Dado que

g^{'} (c) = - \frac{f^{(n + 1)} (c)}{n!} {(x - c)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - c)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}}

concluimos que

- \frac{f^{(n + 1)} (c)}{n!} {(x - c)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - c)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} = 0 .

Sumando el primer término del lado izquierdo a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados de la ecuación entre $\frac{(n + 1) {(x - c)}^{n}}{(^{x - a) n + 1}},$ concluimos que

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}

como se deseaba. A partir de este hecho, se deduce que si existe M tal que $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ para todo x en I, entonces

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1} .

□

El teorema de Taylor no solo nos permite demostrar que una serie de Taylor converge a una función, sino que también nos permite estimar la exactitud de los polinomios de Taylor en la aproximación de los valores de las funciones. Empezamos por ver las aproximaciones lineales y cuadráticas de $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en $x = 8$ y determinamos la exactitud de estas aproximaciones para estimar $\sqrt[3]{11} .$

Ejemplo 6.13

Uso de aproximaciones lineales y cuadráticas para estimar los valores de funciones

Considere la función $f (x) = \sqrt[3]{x} .$

Calcule el primer y segundo polinomio de Taylor para $f$ en $x = 8 .$ Utilice una herramienta gráfica para comparar estos polinomios con $f$ cerca de $x = 8 .$
Utilice estos dos polinomios para estimar $\sqrt[3]{11} .$
Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Solución

Para $f (x) = \sqrt[3]{x},$ los valores de la función y sus dos primeras derivadas en $x = 8$ son los siguientes:

$\begin{matrix} f (x) & = & \sqrt[3]{x} & f (8) & = & 2 \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{3 x^{2 / 3}} & f^{'} (8) & = & \frac{1}{12} \\ f ″ (x) & = & \frac{−2}{9 x^{5 / 3}} & f ″ (8) & = & - \frac{1}{144} . \end{matrix}$

Por lo tanto, los polinomios de Taylor de primer y segundo orden en $x = 8$ están dados por

$\begin{matrix} p_{1} (x) & = & f (8) + f^{'} (8) (x - 8) \\ = & 2 + \frac{1}{12} (x - 8) \\ p_{2} (x) & = & f (8) + f^{'} (8) (x - 8) + \frac{f ″ (8)}{2!} {(x - 8)}^{2} \\ = & 2 + \frac{1}{12} (x - 8) - \frac{1}{288} {(x - 8)}^{2} . \end{matrix}$

La función y los polinomios de Taylor se muestran en la Figura 6.9.

Figura 6.9 Los gráficos de $f (x) = \sqrt[3]{x}$ y las aproximaciones lineales y cuadráticas $p_{1} (x)$ y $p_{2} (x) .$
Utilizando el polinomio de Taylor de primer orden en $x = 8,$ podemos estimar

$\sqrt[3]{11} \approx p_{1} (11) = 2 + \frac{1}{12} (11 - 8) = 2,25 .$

Utilizando el polinomio de Taylor de segundo orden en $x = 8,$ obtenemos

$\sqrt[3]{11} \approx p_{2} (11) = 2 + \frac{1}{12} (11 - 8) - \frac{1}{288} {(11 - 8)}^{2} = 2,21875 .$
Por el Teorema de Taylor con resto existe un c en el intervalo $(8, 11)$ tal que el resto cuando se aproxima a $\sqrt[3]{11}$ por el polinomio de Taylor de primer orden satisface

$R_{1} (11) = \frac{f ″ (c)}{2!} {(11 - 8)}^{2} .$

No conocemos el valor exacto de c, por lo que hallamos un límite superior en $R_{1} (11)$ determinando el valor máximo de $f ″$ en el intervalo $(8, 11) .$ Dado que $f ″ (x) = - \frac{2}{9 x^{5 / 3}},$ el mayor valor para $| f ″ (x) |$ en ese intervalo se produce en $x = 8 .$ Si utilizamos el hecho de que $f ″ (8) = - \frac{1}{144},$ obtenemos

$| R_{1} (11) | \leq \frac{1}{144.2!} {(11 - 8)}^{2} = 0,03125 .$

Del mismo modo, para estimar $R_{2} (11),$ utilizamos el hecho de que

$R_{2} (11) = \frac{f ‴ (c)}{3!} {(11 - 8)}^{3} .$

Dado que $f ‴ (x) = \frac{10}{27 x^{8 / 3}},$ el valor máximo de $f ‴$ en el intervalo $(8, 11)$ es $f ‴ (8) \approx 0,0014468 .$ Por lo tanto, tenemos

$| R_{2} (11) | \leq \frac{0,0011468}{3!} {(11 - 8)}^{3} \approx 0,0065104 .$

Punto de control 6.12

Calcule el primer y segundo polinomio de Taylor para $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = 4 .$ Utilice estos polinomios para estimar $\sqrt{6} .$ Utilice el teorema de Taylor para acotar el error.

Ejemplo 6.14

Aproximación de sen x mediante polinomios de Maclaurin

Del Ejemplo 6.12b., los polinomios de Maclaurin para $sen x$ están dados por

\begin{matrix} p_{2 m + 1} (x) & = p_{2 m + 2} (x) \\ = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ⋯ + {(–1)}^{m} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \end{matrix}

para $m = 0, 0, 1, 2, … .$

Utilice el polinomio de Maclaurin de quinto orden para $sen x$ para aproximar a $sen (\frac{π}{18})$ y acotar el error.
Para qué valores de x el polinomio de Maclaurin de quinto orden se aproxima a $sen x$ con una exactitud de 0,0001?

Solución

El polinomio de Maclaurin de quinto orden es

$p_{5} (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} .$

Utilizando este polinomio, podemos estimar lo siguiente:

$\begin{matrix} sen (\frac{π}{18}) & \approx p_{5} (\frac{π}{18}) \\ = \frac{π}{18} - \frac{1}{3!} {(\frac{π}{18})}^{3} + \frac{1}{5!} {(\frac{π}{18})}^{5} \\ \approx 0,173648. \end{matrix}$

Para estimar el error, utilice el hecho de que el polinomio de Maclaurin de sexto orden es $p_{6} (x) = p_{5} (x)$ y calcule un límite para $R_{6} (\frac{π}{18}) .$ Por la Singularidad de la serie de Taylor, el resto es

$R_{6} (\frac{π}{18}) = \frac{f^{(7)} (c)}{7!} {(\frac{π}{18})}^{7}$

para algún c entre 0 y $\frac{π}{18} .$ Si utilizamos el hecho de que $| f^{(7)} (x) | \leq 1$ para todo x, hallamos que la magnitud del error es como máximo

$\frac{1}{7!} . {(\frac{π}{18})}^{7} \leq 9,8 \times 10^{−10} .$
Necesitamos hallar los valores de x tales que

$\frac{1}{7!} {| x |}^{7} \leq 0,0001 .$

Resolviendo esta inecuación para x, tenemos que el polinomio de Maclaurin de quinto orden da una estimación con una precisión de 0,0001 siempre que $| x | < 0,907 .$

Punto de control 6.13

Utilice el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para el $cos x$ para aproximar a $cos (\frac{π}{12}) .$

Ahora que podemos acotar el resto $R_{n} (x),$ podemos utilizar este límite para demostrar que una serie de Taylor para $f$ en a converge a $f .$

Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin

Ahora discutiremos los problemas de convergencia de las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo calcular una serie de Taylor para una función y cómo calcular su intervalo de convergencia.

Ejemplo 6.15

Cálculo de una serie de Taylor

Calcule la serie de Taylor para $f (x) = \frac{1}{x}$ en $x = 1 .$ Determine el intervalo de convergencia.

Solución

Para $f (x) = \frac{1}{x},$ los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en $x = 1$ son

\begin{matrix} f (x) & = & \frac{1}{x} & f (1) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & - \frac{1}{x^{2}} & f^{'} (1) & = & −1 \\ f ″ (x) & = & \frac{2}{x^{3}} & f ″ (1) & = & 2! \\ f ‴ (x) & = & - \frac{3.2}{x^{4}} & f ‴ (1) & = & −3! \\ f^{(4)} (x) & = & \frac{4.3.2}{x^{5}} & f^{(4)} (1) & = & 4!. \end{matrix}

Es decir, tenemos $f^{(n)} (1) = {(–1)}^{n} n!$ para todo $n \geq 0 .$ Por lo tanto, la serie de Taylor para $f$ en $x = 1$ está dada por

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (1)}{n!} {(x - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n} .

Para hallar el intervalo de convergencia, utilizamos el criterio del cociente. Tenemos que

\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{| {(–1)}^{n + 1} {(x - 1)}^{n + 1} |}{| {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n} |} = | x - 1 | .

Así, la serie converge si $| x - 1 | < 1 .$ Es decir, la serie converge para $0 < x < 2 .$ A continuación, tenemos que comprobar los extremos. En $x = 2,$ vemos que

\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(2 - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n}

diverge por la prueba de divergencia. Asimismo, en $x = 0,$

\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(0 - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 1

diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $(0, 2) .$

Punto de control 6.14

Calcule la serie de Taylor para $f (x) = \frac{1}{2 x}$ en $x = 2$ y determine su intervalo de convergencia.

Sabemos que la serie de Taylor calculada en este ejemplo converge en el intervalo $(0, 2),$ pero ¿cómo sabemos que realmente converge a $f ?$ Consideraremos esta pregunta de forma más general en un momento, pero para este ejemplo, podemos responder esta pregunta escribiendo

f (x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1 - x)} .

Es decir, $f$ puede representarse mediante la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - x)}^{n} .$ Como se trata de una serie geométrica, converge a $\frac{1}{x}$ siempre y cuando $| 1 - x | < 1 .$ Por lo tanto, la serie de Taylor calculada en el Ejemplo 6.15 sí converge a $f (x) = \frac{1}{x}$ en $(0, 2) .$

Consideramos ahora la pregunta más general: si una serie de Taylor para una función $f$ converge en algún intervalo, ¿cómo podemos determinar si realmente converge a $f ?$ Para responder esta pregunta, recordemos que una serie converge a un valor determinado si y solo si su secuencia de sumas parciales converge a ese valor. Dada una serie de Taylor para $f$ en a, la enésima suma parcial está dada por el enésimo polinomio de Taylor p_n. Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge a $f,$ tenemos que determinar si

\underset{n \to \infty}{lím} p_{n} (x) = f (x) .

Dado que el resto $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x),$ la serie de Taylor converge a $f$ si y solo si

\underset{n \to \infty}{lím} R_{n} (x) = 0 .

Ahora enunciamos este teorema formalmente.

Teorema 6.8

Convergencia de las series de Taylor

Supongamos que $f$ tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo I que contiene a. Entonces la serie de Taylor

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}

converge a $f (x)$ para todo x en I si y solo si

\underset{n \to \infty}{lím} R_{n} (x) = 0

para todo x en I.

Con este teorema, podemos demostrar que una serie de Taylor para $f$ en a converge a $f$ si podemos demostrar que el resto $R_{n} (x) \to 0 .$ Para demostrar que $R_{n} (x) \to 0,$ solemos utilizar el límite

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}

del teorema de Taylor con resto.

En el siguiente ejemplo, calcularemos la serie de Maclaurin para e^x y $sen x$ y demostraremos que estas series convergen a las funciones correspondientes para todos los números reales demostrando que los restos $R_{n} (x) \to 0$ para todos los números reales x.

Ejemplo 6.16

Cálculo de serie de Maclaurin

Para cada una de las siguientes funciones, calcule la serie de Maclaurin y su intervalo de convergencia. Utilice el Teorema de Taylor con resto para demostrar que la serie de Maclaurin para $f$ converge a $f$ en ese intervalo.

e^x
$sen x$

Solución

Utilizando el enésimo polinomio de Maclaurin para e^x calculado en el Ejemplo 6.12a., determinamos que la serie de Maclaurin para e^x está dada por

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} .$

Para determinar el intervalo de convergencia, utilizamos el criterio del cociente. Dado que

$\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!} . \frac{n!}{{| x |}^{n}} = \frac{| x |}{n + 1},$

tenemos

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{| x |}{n + 1} = 0$

para todo x. Por lo tanto, la serie converge absolutamente para todo x, y así, el intervalo de convergencia es $(− \infty, \infty) .$ Para demostrar que la serie converge a e^x para todo x, utilizamos el hecho de que $f^{(n)} (x) = e^{x}$ para todo $n \geq 0$ y e^x es una función creciente en $(− \infty, \infty) .$ Por lo tanto, para cualquier número real b, el valor máximo de e^x para todo $| x | \leq b$ es e^b. Por lo tanto,

$| R_{n} (x) | \leq \frac{e^{b}}{(n + 1)!} {| x |}^{n + 1} .$

Como acabamos de mostrar que

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{| x |^{n}}{n!}$

converge para todo x, por la prueba de divergencia, sabemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!} = 0$

para cualquier número real x. Combinando este hecho con el teorema del emparedado, el resultado es $\underset{n \to \infty}{lím} R_{n} (x) = 0 .$
Utilizando el enésimo polinomio de Maclaurin para $sen x$ calculado en el Ejemplo 6.12b., determinamos que la serie de Maclaurin para $sen x$ está dado por

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} .$

Para aplicar el criterio del cociente, considere

$\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{{| x |}^{2 n + 3}}{(2 n + 3)!} . \frac{(2 n + 1)!}{{| x |}^{2 n + 1}} = \frac{{| x |}^{2}}{(2 n + 3) (2 n + 2)} .$

Dado que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{{| x |}^{2}}{(2 n + 3) (2 n + 2)} = 0$

para todo x, obtenemos el intervalo de convergencia como $(− \infty, \infty) .$ Para demostrar que la serie de Maclaurin converge a $sen x,$ observe el $R_{n} (x) .$ Para cada x existe un número real c entre 0 y x tal que

$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} x^{n + 1} .$

Dado que $| f^{(n + 1)} (c) | \leq 1$ para todos los enteros n y todos los números reales c, tenemos

$| R_{n} (x) | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!}$

para todos los números reales x. Utilizando la misma idea que en la parte a., el resultado es $\underset{n \to \infty}{lím} R_{n} (x) = 0$ para todo x, y por lo tanto, la serie de Maclaurin para $sen x$ converge a $sen x$ para todo x real.

Punto de control 6.15

Calcule la serie de Maclaurin para $f (x) = cos x .$ Utilice el criterio del cociente para demostrar que el intervalo de convergencia es $(− \infty, \infty) .$ Demuestre que la serie de Maclaurin converge a $cos x$ para todos los números reales x.

Proyecto de estudiante

Demostrar que e es irracional

En este proyecto, utilizamos los polinomios de Maclaurin para e^x para demostrar que e es irracional. La prueba se basa en suponer que e es racional y llegar a una contradicción. Por lo tanto, en los siguientes pasos, suponemos $e = r / s$ para algunos enteros r y s donde $s \neq 0 .$

Escriba los polinomios de Maclaurin $p_{0} (x), p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x), p_{4} (x)$ para e^x. Evalúe $p_{0} (1), p_{1} (1), p_{2} (1), p_{3} (1), p_{4} (1)$ para estimar e.
Supongamos que $R_{n} (x)$ denota el resto cuando se utiliza $p_{n} (x)$ para estimar e^x. Por lo tanto, $R_{n} (x) = e^{x} - p_{n} (x),$ y $R_{n} (1) = e - p_{n} (1) .$ Suponiendo que $e = \frac{r}{s}$ para los enteros r y s, evalúe $R_{0} (1), R_{1} (1), R_{2} (1), R_{3} (1), R_{4} (1) .$
Utilizando los resultados de la parte 2, demuestre que para cada resto $R_{0} (1), R_{1} (1), R_{2} (1), R_{3} (1), R_{4} (1),$ podemos hallar un número entero k tal que $k R_{n} (1)$ es un número entero para $n = 0, 1, 2, 3, 4 .$
Escriba la fórmula del enésimo polinomio de Maclaurin $p_{n} (x)$ para e^x y el resto correspondiente $R_{n} (x) .$ Demuestre que $s n! R_{n} (1)$ es un número entero.
Utilice el teorema de Taylor para escribir una fórmula explícita para $R_{n} (1) .$ Concluya que $R_{n} (1) \neq 0,$ y por lo tanto, $s n! R_{n} (1) \neq 0 .$
Utilice el teorema de Taylor para calcular una estimación de $R_{n} (1) .$ Utilice esta estimación combinada con el resultado de la parte 5 para demostrar que $| s n! R_{n} (1) | < \frac{s e}{n + 1} .$ Concluya que si n es suficientemente grande, entonces $| s n! R_{n} (1) | < 1 .$ Por lo tanto, $s n! R_{n} (1)$ es un número entero de magnitud inferior a 1. Por lo tanto, $s n! R_{n} (1) = 0 .$ Pero a partir de la parte 5, sabemos que $s n! R_{n} (1) \neq 0 .$ Hemos llegado a una contradicción, y en consecuencia, la suposición original de que e es racional debe ser falsa.

Sección 6.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule los polinomios de Taylor de orden dos que aproximan la función dada centrada en el punto dado.

116.

$f (x) = 1 + x + x^{2}$ en $a = 1$

117.

$f (x) = 1 + x + x^{2}$ en $a = –1$

118.

$f (x) = cos (2 x)$ en $a = π$

119.

$f (x) = sen (2 x)$ en $a = \frac{π}{2}$

120.

$f (x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$

121.

$f (x) = ln x$ en $a = 1$

122.

$f (x) = \frac{1}{x}$ en $a = 1$

123.

$f (x) = e^{x}$ en $a = 1$

En los siguientes ejercicios, verifique que la elección dada de n en la estimación del resto $| R_{n} | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1},$ donde M es el valor máximo de $| f^{(n + 1)} (z) |$ en el intervalo entre a y el punto indicado, produce $| R_{n} | \leq \frac{1}{1.000} .$ Halle el valor del polinomio de Taylor p_n de $f$ en el punto indicado.

124.

[T] $\sqrt{10}; a = 9, n n = 3$

125.

[T] ${(28)}^{1 / 3}; a = 27, n = 1$

126.

[T] $sen (6); a = 2 π, n = 5$

127.

[T] e²; $a = 0, n = 9$

128.

[T] $cos (\frac{π}{5}); a = 0, n = 4$

129.

[T] $ln (2); a = 1, n = 1.000$

130.

Integre la aproximación $sen t \approx t - \frac{t^{3}}{6} + \frac{t^{5}}{120} - \frac{t^{7}}{5040}$ evaluada en πt para aproximar $\int_{0}^{1} \frac{sen π t}{π t} d t .$

131.

Integre la aproximación $e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯ + \frac{x^{6}}{720}$ evaluada en -x² para aproximar $\int_{0}^{1} e^{– x^{2}} d x .$

En los siguientes ejercicios, halle el menor valor de n tal que la estimación del resto $| R_{n} | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1},$ donde M es el valor máximo de $| f^{(n + 1)} (z) |$ en el intervalo entre a y el punto indicado, produce $| R_{n} | \leq \frac{1}{1.000}$ en el intervalo indicado.

132.

$f (x) = sen x$ en $[− π, π], a = 0$

133.

$f (x) = cos x$ en $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], a = 0$

134.

$f (x) = e^{−2 x}$ en $[−1, 1], a = 0$

135.

$f (x) = e^{– x}$ en $[−3, 3], a = 0$

En los siguientes ejercicios, el máximo del lado derecho del resto estimado $| R_{1} | \leq \frac{max | f ″ (z) |}{2} R^{2}$ en $[a - R, a + R]$ se produce en a o $a \pm R .$ Estime el valor máximo de R tal que $\frac{max | f ″ (z) |}{2} R^{2} \leq 0,1$ en $[a - R, a + R]$ trazando este máximo en función de R.

136.

[T] e^x aproximado por $1 + x, a = 0$

137.

[T] $sen x$ aproximado por x, $a = 0$

138.

[T] $ln x$ aproximado por $x - 1, a = 1$

139.

[T] $cos x$ aproximado por $1, a = 0$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor de la función dada centrada en el punto indicado.

140.

$x^{4}$ en $a = –1$

141.

$1 + x + x^{2} + x^{3}$ en $a = –1$

142.

$sen x$ en $a = π$

143.

$cos x$ en $a = 2 π$

144.

$sen x$ en $x = \frac{π}{2}$

145.

$cos x$ en $x = \frac{π}{2}$

146.

$e^{x}$ en $a = –1$

147.

$e^{x}$ en $a = 1$

148.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ en $a = 0$ (Pista: Diferencie $\frac{1}{1 - x} .)$ grandes.

149.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ en $a = 0$

150.

$F (x) = \int_{0}^{x} cos (\sqrt{t}) d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{n}}{(2 n)!}$ en $a = 0$ (Nota: $f$ es la serie de Taylor de $cos (\sqrt{t}) .)$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor de cada función alrededor de $x = 1 .$

151.

$f (x) = 2 - x$

152.

$f (x) = x^{3}$

153.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}$

154.

$f (x) = ln x$

155.

$f (x) = \frac{1}{x}$

156.

$f (x) = \frac{1}{2 x - x^{2}}$

157.

$f (x) = \frac{x}{4 x - 2 x^{2} - 1}$

158.

$f (x) = e^{– x}$

159.

$f (x) = e^{2 x}$

[T] En los siguientes ejercicios, identifique el valor de x tal que la serie dada $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ sea el valor de la serie Maclaurin de $f (x)$ en $x .$ Aproxime el valor de $f (x)$ utilizando $S_{10} = \sum_{n = 0}^{10} a_{n} .$

160.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

161.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$

162.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} {(2 π)}^{2 n}}{(2 n)!}$

163.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} {(2 π)}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$

Los siguientes ejercicios hacen uso de las funciones $S_{5} (x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$ y $C_{4} (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}$ en $[− π, π] .$

164.

[T] Grafique ${sen}^{2} x - {(S_{5} (x))}^{2}$ en $[− π, π] .$ Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para $sen x .$

165.

[T] Grafique ${cos}^{2} x - {(C_{4} (x))}^{2}$ en $[− π, π] .$ Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para $cos x .$

166.

[T] Grafique $| 2 S_{5} (x) C_{4} (x) - sen (2 x) |$ en $[− π, π] .$

167.

[T] Compare $\frac{S_{5} (x)}{C_{4} (x)}$ sobre $[−1, 1]$ a $tan x .$ Compare esto con la estimación del resto de Taylor para la aproximación de $tan x$ por $x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} .$

168.

[T] Grafique $e^{x} - e_{4} (x)$ donde $e_{4} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$ en $[0, 2] .$ Compare el error máximo con la estimación del resto de Taylor.

169.

(Aproximaciones de Taylor y cálculo de raíces). Recordemos que el método de Newton $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}$ aproxima las soluciones de $f (x) = 0$ cerca de la entrada $x_{0} .$

Si $f$ y $g$ son funciones inversas, explique por qué una solución de $g (x) = a$ es el valor $f (a) de f .$
Supongamos que $p_{N} (x)$ es el polinomio de Maclaurin de $ené −ésimo$ orden de $e^{x} .$ Utilice el método de Newton para aproximar las soluciones de $p_{N} (x) - 2 = 0$ para $N = 4, 5, 6 .$
Explique por qué las raíces aproximadas de $p_{N} (x) - 2 = 0$ son valores aproximados de $ln (2) .$

En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que si $q (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {(x - c)}^{n}$ converge en un intervalo que contiene $c,$ entonces $\underset{x \to c}{lím} q (x) = a_{0}^{}$ para evaluar cada límite mediante la serie de Taylor.

170.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{cos x - 1}{x^{2}}$

171.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{ln (1 - x^{2})}{x^{2}}$

172.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{e^{x^{2}} - x^{2} - 1}{x^{4}}$

173.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{cos (\sqrt{x}) - 1}{2 x}$

6.3 Series de Taylor y Maclaurin

Resumen de la serie de Taylor/Maclaurin

Singularidad de la serie de Taylor

Polinomios de Taylor

Calcular polinomios de Taylor

Solución

Cálculo de polinomios de Maclaurin

Solución

Teorema de Taylor con resto

Teorema de Taylor con resto

Prueba

Uso de aproximaciones lineales y cuadráticas para estimar los valores de funciones

Solución

Aproximación de sen x mediante polinomios de Maclaurin

Solución

Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin

Cálculo de una serie de Taylor

Solución

Convergencia de las series de Taylor

Cálculo de serie de Maclaurin

Solución

Demostrar que e es irracional

Sección 6.3 ejercicios