$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - 2 (x - 1); p_{2} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2}; p_{3} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3}$

6.11

$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - x; p_{2} (x) = 1 - x + x^{2}; p_{3} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3}; p_{n} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯ + {(–1)}^{n} x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(–1)}^{k} x^{k}$

6.12

$p_{1} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4); p_{2} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) - \frac{1}{64} {(x - 4)}^{2}; p_{1} (6) = 2,5; p_{2} (6) = 2,4375;$

$| R_{1} (6) | \leq 0,0625; | R_{2} (6) | \leq 0,015625$

6.13

0,96593

6.14

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2 - x}{2^{n + 2}})}^{n} .$ El intervalo de convergencia es $(0, 4) .$

6.15

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$

Mediante el criterio del cociente, el intervalo de convergencia es $(− \infty, \infty) .$ Dado que $| R_{n} (x) | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!},$ la serie converge a $cos x$ para todo x real.

6.16

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (n + 1) x^{n}$

6.17

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} x^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!}$

6.18

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n}$

6.19

$y = 5 e^{2 x}$

6.20

$y = a (1 - \frac{x^{4}}{3.4} + \frac{x^{8}}{3.4.7.8} - ⋯) + b (x - \frac{x^{5}}{4.5} + \frac{x^{9}}{4.5.8.9} - ⋯)$

6.21

$C + \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n (2 n - 2)!}$ La integral definida es aproximadamente $0,514$ con un error de $0,01 .$

6.22

La estimación es de aproximadamente $0,3414 .$ Esta estimación tiene una precisión de $0,0000094 .$

Sección 6.1 ejercicios

1.

Verdadero. Si una serie converge, sus términos tienden a cero.

3.

Falso. Esto implicaría que $a_{n} x^{n} \to 0$ para $| x | < R .$ Si $a_{n} = n^{n},$ entonces $a_{n} x^{n} = {(n x)}^{n}$ no tiende a cero para cualquier $x \neq 0 .$

5.

Debe converger en $(0, 6]$ y por lo tanto en: a. $x = 1;$ b. $x = 2;$ c. $x = 3;$ d. $x = 0;$ e. $x = 5,99;$ y f. $x = 0,000001 .$

7.

$| \frac{a_{n + 1} 2^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} 2^{n} x^{n}} | = 2 | x | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to 2 | x |$ así que $R = \frac{1}{2}$

9.

$| \frac{a_{n + 1} {(\frac{π}{e})}^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} {(\frac{π}{e})}^{n} x^{n}} | = \frac{π | x |}{e} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to \frac{π | x |}{e}$ así que $R = \frac{e}{π}$

11.

$| \frac{a_{n + 1} {(–1)}^{n + 1} x^{2 n + 2}}{a_{n} {(–1)}^{n} x^{2 n}} | = | x^{2} | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to | x^{2} |$ así que $R = 1$

13.

$a_{n} = \frac{2^{n}}{n}$ así que $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to 2 x .$ así que $R = \frac{1}{2} .$ Cuando $x = \frac{1}{2}$ la serie es armónica y divergente. Cuando $x = - \frac{1}{2}$ la serie es armónica alternada y converge. El intervalo de convergencia es $I = [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .$

15.

$a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ así que $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to \frac{x}{2}$ así que $R = 2 .$ Cuando $x = ± 2$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es $I = (–2, 2) .$

17.

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ así que $R = 2 .$ Cuando $x = ± 2$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es $I = (–2, 2) .$

19.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$ así que $R = \frac{1}{π} .$ Cuando $x = ± \frac{1}{π}$ la serie es una serie p absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es $I = [- \frac{1}{π}, \frac{1}{π}] .$

21.

$a_{n} = \frac{10^{n}}{n!}, \frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} = \frac{10 x}{n + 1} \to 0 < 1$ por lo que la serie converge para todo x por el criterio del cociente e $I = (− \infty, \infty) .$

23.

$a_{k} = \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!}$ así que $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(2 k + 2) (2 k + 1)} \to \frac{1}{4}$ así que $R = 4$

25.

$a_{k} = \frac{k!}{1.3.5 ⋯ (2 k - 1)}$ así que $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{k + 1}{2 k + 1} \to \frac{1}{2}$ así que $R = 2$

27.

$a_{n} = \frac{1}{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}$ así que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{((n + 1)!)}^{2}}{(2 n + 2)!} \frac{2 n!}{{(n!)}^{2}} = \frac{{(n + 1)}^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \to \frac{1}{4}$ así que $R = 4$

29.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(n + 1)}^{3}}{(3 n + 3) (3 n + 2) (3 n + 1)} \to \frac{1}{27}$ así que $R = 27$

31.

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ así que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!}{n!} \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n + 1}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} \to \frac{1}{e}$ así que $R = e$

33.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - x)}^{n}$ en $I = (0, 2)$ grandes.

35.

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1}$ en $I = (–1, 1)$ grandes.

37.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n + 2}$ en $I = (–1, 1)$ grandes.

39.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n}$ en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ grandes.

41.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 4^{n} x^{2 n + 2}$ en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ grandes.

43.

${| a_{n} x^{n} |}^{1 / n} = {| a_{n} |}^{1 / n} | x | \to | x | r$ a medida que $n \to \infty$ y $| x | r < 1$ cuando $| x | < \frac{1}{r} .$ Por lo tanto, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge cuando $| x | < \frac{1}{r}$ por el criterio de la enésima raíz.

45.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$ así que ${(a_{k})}^{1 / k} \to \frac{1}{2} < 1$ así que $R = 2$

47.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$ así que ${(a_{n})}^{1 / n} \to 0$ así que $R = \infty$

49.

Podemos reescribir $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n + 1} x^{2 n + 1}$ y $p (x) = p (− x)$ dado que $x^{2 n + 1} = − {(− x)}^{2 n + 1} .$

51.

Si los valores de $x \in [0, 1],$ entonces $y = 2 x - 1 \in [−1, 1]$ así que $p (2 x - 1) = p (y) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} y^{n}$ converge.

53.

Converge en $(–1, 1)$ por el criterio del cociente

55.

Considere la serie $\sum b_{k} x^{k}$ donde $b_{k} = a_{k}$ si $k = n^{2}$ y $b_{k} = 0$ por lo contrario. Entonces $b_{k} \leq a_{k}$ y así la serie converge en $(–1, 1)$ por la prueba de comparación.

57.

La aproximación es más precisa cerca de $x = −1 .$ Las sumas parciales siguen $\frac{1}{1 - x}$ más de cerca a medida que aumenta N, pero nunca son precisas cerca de $x = 1$ ya que la serie diverge allí.

59.

La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos $x = ± 1 .$

61.

Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de $sen x$ hasta su grado y luego los polinomios divergen de $sen x .$

Sección 6.2 ejercicios

63.

$\frac{1}{2} (f (x) + g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ y $\frac{1}{2} (f (x) - g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} .$

65.

$\frac{4}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1} = - \frac{1}{3 (1 - \frac{x}{3})} - \frac{1}{1 - (− x)} = - \frac{1}{3} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{x}{3})}^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(–1)}^{n + 1} - \frac{1}{3^{n + 1}}) x^{n}$

67.

$\frac{5}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 1)} = \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{4} \frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n} - \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(\frac{x}{2})}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ((–1) + {(–1)}^{n + 1} \frac{1}{2 n + 2}) x^{2 n}$

69.

$\frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{x - 1}$

71.

$\frac{1}{x - 3} \frac{1}{1 - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}} = \frac{x - 3}{{(x - 3)}^{2} - 1}$

73.

$P = P_{1} + ⋯ + P_{20}$ donde $P_{k} = 10.000 \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} .$ Entonces $P = 10.000 \sum_{k = 1}^{20} \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} = 10.000 \frac{1 - {(1 + r)}^{−20}}{r} .$ Cuando $r = 0,03, P \approx 10.000 \times 14,8775 = 148.775 .$ Cuando $r = 0,05, P \approx 10.000 \times 12,4622 = 124.622 .$ Cuando $r = 0,07, P \approx 105.940 .$

75.

En general, $P = \frac{C (1 - {(1 + r)}^{− N})}{r}$ para N años de pagos, o $C = \frac{P r}{1 - {(1 + r)}^{− N}} .$ Para $N = 20$ y $P = 100.000,$ se tiene $C = 6721,57$ cuando $r = 0,03; C = 8.024,26$ cuando $r = 0,05;$ y $C \approx 9.439,29$ cuando $r = 0,07 .$

77.

En general, $P = \frac{C}{r} .$ Por lo tanto, $r = \frac{C}{P} = 5 \times \frac{10^{4}}{10^{6}} = 0,05 .$

79.

$(x + x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x + x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

81.

$(x - x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x - x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

83.

$a_{n} = 2, b_{n} = n$ así que $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} a_{n - k} = 2 \sum_{k = 0}^{n} k = (n) (n + 1)$ y $f (x) g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (n + 1) x^{n}$

85.

$a_{n} = b_{n} = 2^{− n}$ así que $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} a_{n - k} = 2^{− n} \sum_{k = 1}^{n} 1 = \frac{n}{2^{n}}$ y $f (x) g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n {(\frac{x}{2})}^{n}$

87.

La derivada de $f$ es $- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (n + 1) x^{n} .$

89.

La integral indefinida de $f$ es $\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n} .$

91.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f^{'} (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n - 1}} = {\frac{d}{d x} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} |}_{x = 1 / 2} = 4$ así que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2 .$

93.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f ″ (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n - 2}} = {\frac{d^{2}}{d x^{2}} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{2}{{(1 - x)}^{3}} |}_{x = 1 / 2} = 16$ así que $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n}} = 4 .$

95.

$\int \sum {(1 - x)}^{n} d x = \int \sum {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n} d x = \sum \frac{{(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n + 1}}{n + 1}$

97.

$− \int_{t = 0}^{x^{2}} \frac{1}{1 - t} d t = − \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x^{2}} t^{n} d x - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 (n + 1)}}{n + 1} = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n}$

99.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{d t}{1 + t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \int_{0}^{x^{2}} t^{2 n} d t = {\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{2 n + 1}}{2 n + 1} |}_{t = 0}^{x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 2}}{2 n + 1}$

101.

La integración término a término da $\int_{0}^{x} ln t d t = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{{(x - 1)}^{n + 1}}{n (n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) {(x - 1)}^{n + 1} = (x - 1) ln x + \sum_{n = 2}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n} = x ln x - x .$

103.

Tenemos $ln (1 - x) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ así que $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} .$ Por lo tanto, $ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + {(–1)}^{n - 1}) \frac{x^{n}}{n} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1} .$ Cuando $x = \frac{1}{3}$ obtenemos $ln (2) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} .$ Tenemos $2 \sum_{n = 1}^{3} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0,69300 …,$ mientras $2 \sum_{n = 1}^{4} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0,69313 …$ y $ln (2) = 0,69314 …;$ por lo tanto, $N = 4 .$

105.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = − ln (1 - x)$ así que $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k}}{6 k} = - \frac{1}{6} ln (1 - x^{3}) .$ El radio de convergencia es igual a 1 por el criterio del cociente.

107.

Si $y = 2^{− x},$ entonces $\sum_{k = 1}^{\infty} y^{k} = \frac{y}{1 - y} = \frac{2^{− x}}{1 - 2^{− x}} = \frac{1}{2^{x} - 1} .$ Si $a_{k} = 2^{− k x},$ entonces $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = 2^{− x} < 1$ cuando $x > 0 .$ Así que la serie converge para todo $x > 0 .$

109.

Las respuestas variarán.

111.

La curva sólida es S₅. La curva discontinua es S₂, la punteada es S₃ y la punteada es S₄

113.

Cuando $x = - \frac{1}{2}, − ln (2) = ln (\frac{1}{2}) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} .$ Dado que $\sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} < \sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{10}},$ se tiene $\sum_{n = 1}^{10} \frac{1}{n 2^{n}} = 0,69306 …$ mientras que $ln (2) = 0,69314 …;$ por lo tanto, $N = 10 .$

115.

$6 S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} \sum_{n = 0}^{N} {(–1)}^{n} \frac{1}{3^{n} (2 n + 1)} .$ Se tiene $π - 6 S_{4} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00101 …$ y $π - 6 S_{5} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00028 …$ así que $N = 5$ es la suma parcial más pequeña con una exactitud de 0,001. También, $π - 6 S_{7} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00002 …$ mientras $π - 6 S_{8} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = –0,000007 …$ así que $N = 8$ es el N más pequeño para obtener una exactitud de 0,00001.

Sección 6.3 ejercicios

117.

$f (–1) = 1; f^{'} (–1) = −1; f ″ (–1) = 2; f (x) = 1 - (x + 1) + {(x + 1)}^{2}$

119.

$f^{'} (x) = 2 cos (2 x); f ″ (x) = −4 sen (2 x); p_{2} (x) = −2 (x - \frac{π}{2})$ grandes.

121.

$f^{'} (x) = \frac{1}{x}; f ″ (x) = - \frac{1}{x^{2}}; p_{2} (x) = 0 + (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$

123.

$p_{2} (x) = e + e (x - 1) + \frac{e}{2} {(x - 1)}^{2}$

125.

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} x^{1 / 3} = - \frac{2}{9 x^{5 / 3}} \geq −0,00092 …$ cuando $x \geq 28$ por lo que la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal $x^{1 / 3} \approx p_{1} (27) = 3 + \frac{x - 27}{27},$ que da ${(28)}^{1 / 3} \approx 3 + \frac{1}{27} = 3, \bar{037},$ mientras ${(28)}^{1 / 3} \approx 3,03658 .$

127.

Utilizando la estimación $\frac{2^{10}}{10!} < 0,000283$ podemos utilizar la expansión de Taylor de orden 9 para estimar e^x en $x = 2 .$ como $e^{2} \approx p_{9} (2) = 1 + 2 + \frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{3}}{6} + ⋯ + \frac{2^{9}}{9!} = 7,3887 …$ mientras que $e^{2} \approx 7,3891 .$

129.

Dado que $\frac{d^{n}}{d x^{n}} (ln x) = {(–1)}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{x^{n}}, R_{1.000} \approx \frac{1}{1001} .$ Se tiene $p_{1.000} (1) = \sum_{n = 1}^{1.000} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n} \approx 0,6936$ mientras que $ln (2) \approx 0,6931 ⋯ .$

131.

$\int_{0}^{1} (1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120} + \frac{x^{12}}{720}) d x$

$= 1 - \frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{5}}{10} - \frac{1^{7}}{42} + \frac{1^{9}}{9.24} - \frac{1^{11}}{120.11} + \frac{1^{13}}{720.13} \approx 0,74683$ mientras que $\int_{0}^{1} e^{– x^{2}} d x \approx 0,74682 .$

133.

Dado que $f^{(n + 1)} (z)$ es $sen z$ o $cos z,$ tenemos $M = 1 .$ Dado que $| x - 0 | \leq \frac{π}{2},$ buscamos el n más pequeño tal que $\frac{π^{n + 1}}{2^{n + 1} (n + 1)!} \leq 0,001 .$ El valor más pequeño es $n = 7 .$ La estimación del resto es $R_{7} \leq 0,00092 .$

135.

Dado que $f^{(n + 1)} (z) = ± e^{− z}$ se tiene $M = e^{3} .$ Dado que $| x - 0 | \leq 3,$ se busca el menor n tal que $\frac{3^{n + 1} e^{3}}{(n + 1)!} \leq 0,001 .$ El valor más pequeño es $n = 14 .$ La estimación del resto es $R_{14} \leq 0,000220 .$

137.

Dado que $sen x$ es creciente para x pequeño y como $se n ″ x = − sen x,$ la estimación se aplica siempre que $R^{2} sen (R) \leq 0,2,$ lo cual aplica hasta $R = 0,596 .$

139.

Dado que la segunda derivada de $cos x$ es $− cos x$ y dado que $cos x$ es decreciente y se aleja de $x = 0,$ la estimación aplica cuando $R^{2} cos R \leq 0,2$ o $R \leq 0,447 .$

141.

${(x + 1)}^{3} - 2 {(x + 1)}^{2} + 2 (x + 1)$ grandes.

143.

Los valores de las derivadas son los mismos que para $x = 0$ así que $cos x = {\sum_{n = 0}^{\infty} (–1)}^{n} \frac{{(x - 2 π)}^{2 n}}{(2 n)!}$

145.

$cos (\frac{π}{2}) = 0, − sen (\frac{π}{2}) = −1$ así que $cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{{(x - \frac{π}{2})}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!},$ que también es $− cos (x - \frac{π}{2}) .$

147.

Las derivadas son $f^{(n)} (1) = e$ así que $e^{x} = e \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n!} .$

149.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{3}} = − (\frac{1}{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{1}{1 - x} = − \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{(n + 2) (n + 1) x^{n}}{2})$ grandes.

151.

$2 - x = 1 - (x - 1)$ grandes.

153.

${((x - 1) - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} - 2 (x - 1) + 1$

155.

$\frac{1}{1 - (1 - x)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n}$

157.

$x \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(1 - x)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n + 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n}$

159.

$e^{2 x} = e^{2 (x - 1) + 2} = e^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n} {(x - 1)}^{n}}{n!}$

161.

$x = e^{2}; S_{10} = \frac{34.913}{4725} \approx 7,3889947$

163.

$sen (2 π) = 0; S_{10} = 8,27 \times 10^{−5}$

165.

La diferencia es pequeña en el interior del intervalo pero se acerca a $1$ cerca de los extremos. La estimación del resto es $| R_{4} | = \frac{π^{5}}{120} \approx 2,552 .$

167.

La diferencia es del orden de $10^{−4}$ en $[−1, 1]$ mientras que el error de aproximación de Taylor es de alrededor $0,1$ cerca de $\pm 1 .$ La curva superior es un gráfico de ${tan}^{2} x - {(\frac{S_{5} (x)}{C_{4} (x)})}^{2}$ y el gráfico inferior de líneas discontinuas muestra $t^{2} - {(\frac{S_{5}}{C_{4}})}^{2} .$

169.

a. Las respuestas variarán. b. Los siguientes son los valores $x_{n}$ después de $10$ iteraciones del método de Newton para aproximar una raíz de $p_{N} (x) - 2 = 0 :$ para $N = 4, x = 0,6939...;$ para $N = 5, x = 0,6932...;$ para $N = 6, x = 0,69315...; .$ (Nota: $ln (2) = 0,69314 ...)$ c. Las respuestas variarán.

171.

$\frac{ln (1 - x^{2})}{x^{2}} \to − 1$

173.

$\frac{cos (\sqrt{x}) - 1}{2 x} \approx \frac{(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4!} - ⋯) - 1}{2 x} \to - \frac{1}{4}$

Sección 6.4 ejercicios

175.

${(1 + x^{2})}^{–1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}$

177.

${(1 - 2 x)}^{2 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} 2^{n} (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n}$

179.

$\sqrt{2 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{(1 / 2) - n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}; (| x^{2} | < 2)$ grandes.

181.

$\sqrt{2 x - x^{2}} = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ así que $\sqrt{2 x - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 1)}^{2 n}$

183.

$\sqrt{x} = 2 \sqrt{1 + \frac{x - 4}{4}}$ así que $\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{1 - 2 n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 4)}^{n}$

185.

$\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 3^{1 - 3 n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 9)}^{n}$

187.

$10 {(1 + \frac{x}{1.000})}^{1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} 10^{1 - 3 n} (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n} .$ Utilizando, por ejemplo, una estimación de cuarto orden en $x = 1$ da como resultado $\begin{matrix} {(1001)}^{1 / 3} & \approx 10 (1 + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{matrix}) 10^{−3} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{matrix}) 10^{−6} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix}) 10^{−9} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 4 \end{matrix}) 10^{−12}) \\ = 10 (1 + \frac{1}{{3,10}^{3}} - \frac{1}{{9,10}^{6}} + \frac{5}{{81,10}^{9}} - \frac{10}{{243,10}^{12}}) = 10,00333222... \end{matrix}$ mientras que ${(1001)}^{1 / 3} = 10,00332222839093 ....$ Dos términos serían suficientes para una exactitud de tres dígitos.

189.

La aproximación es $2,3152;$ el valor del CAS es $2,23 … .$

191.

La aproximación es $2,583 …;$ el valor del CAS es $2,449 … .$

193.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{6}}{16} - \frac{5 x^{8}}{128} + ⋯ .$ Por lo tanto,

$\int_{–1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = x - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{5}}{40} - \frac{x^{7}}{7.16} - \frac{5 x^{9}}{9.128} + ⋯ |_{−1}^{1} \approx 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{20} - \frac{1}{56} - \frac{10}{9.128} + error = 1,590 ...$ mientras que $\frac{π}{2} = 1,570 ...$

195.

$\begin{array}{l} {(1 + 4 x)}^{4 / 3} = (1 + 4 x) {(1 + 4 x)}^{1 / 3} \\ = (1 + 4 x) (1 + \frac{4 x}{3} - \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{320 x^{3}}{81} - \frac{2.560 x^{4}}{243}) \\ = 1 + \frac{16}{3} x + \frac{32}{9} x^{2} - \frac{256}{81} x^{3} + \frac{1280}{243} x^{4} - \frac{10240}{243} x^{5} \end{array}$

197.

${(1 + {(x + 3)}^{2})}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{9} {(x + 3)}^{4} + \frac{5}{81} {(x + 3)}^{6} - \frac{10}{243} {(x + 3)}^{8} + ⋯$

199.

El doble de la aproximación es $1,260 …$ mientras que $2^{1 / 3} = 1,2599. ...$

201.

$f^{(99)} (0) = 0$

203.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(ln (2) x)}^{n}}{n!}$

205.

Para $x > 0, sen (\sqrt{x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{(2 n + 1) / 2}}{\sqrt{x} (2 n + 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{(2 n + 1)!} .$

207.

$e^{x^{3}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{n!}$

209.

${sen}^{2} x = − \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{k} 2^{2 k - 1} x^{2 k}}{(2 k)!}$

211.

${tan}^{−1} x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{k} x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$

213.

${sen}^{−1} x = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!}$

215.

$F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) (2 n)!}$

217.

$F (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n^{2}}$

219.

$x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + ⋯$

221.

$1 + x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{6} + ⋯$

223.

$1 + x^{2} + \frac{2 x^{4}}{3} + \frac{17 x^{6}}{45} + ⋯$

225.

Utilizando la expansión para $tan x$ da como resultado $1 + \frac{x}{3} + \frac{2 x^{2}}{15} .$

227.

$\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n}$ así que $R = 1$ mediante el criterio del cociente.

229.

$ln (1 + x^{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n} x^{2 n}$ así que $R = 1$ mediante el criterio del cociente.

231.

Sume la serie de $e^{x}$ y $e^{– x}$ término por término. Los términos impares se anulan y $cosh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .$

233.

La razón $\frac{S_{n} (x)}{C_{n} (x)}$ aproxima $tan x$ mejor que lo hace $p_{7} (x) = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315}$ para $N \geq 3 .$ Las curvas discontinuas son $\frac{S_{n}}{C_{n}} - tan$ para $n = 1, 2 .$ La curva punteada corresponde a $n n = 3,$ y la curva punteada y con rayas corresponde a $n = 4 .$ La curva continua es $p_{7} - tan x .$

235.

Por el teorema de diferenciación término a término, $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ así que $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} x y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n},$ mientras que $y^{'} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$ así que $x y ″ = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n} .$

237.

La probabilidad es $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{(a - μ) / σ}^{(b - μ) / σ} e^{– x^{2} / 2} d x$ donde $a = 90$ y $b = 100,$ es decir, $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{–1}^{1} e^{– x^{2} / 2} d x = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{–1}^{1} \sum_{n = 0}^{5} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{n} n!} d x = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \sum_{n = 0}^{5} {(–1)}^{n} \frac{1}{(2 n + 1) 2^{n} n!} \approx 0,6827 .$

239.

Como en el problema anterior se obtiene $a_{n} = 0$ si $n$ es impar y $a_{n} = − (n + 2) (n + 1) a_{n + 2}$ si $n$ es par, así que $a_{0} = 1$ nos lleva a $a_{2 n} = \frac{{(–1)}^{n}}{(2 n)!} .$

241.

$y ″ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$ y $y^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$ así que $y ″ - y^{'} + y = 0$ implica que $(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - (n + 1) a_{n + 1} + a_{n} = 0$ o $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n} - \frac{a_{n - 2}}{n (n - 1)}$ para todo $n . y (0) = a_{0} = 1$ y $y^{'} (0) = a_{1} = 0,$ así que $a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{6}, a_{4} = 0,$ y $a_{5} = - \frac{1}{120} .$

243.

a. (Prueba) b. Tenemos $R_{s} \leq \frac{0,1}{(9)!} π^{9} \approx 0,0082 < 0,01 .$ Tenemos $\int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!}) d x = π - \frac{π^{3}}{3.3!} + \frac{π^{5}}{5.5!} - \frac{π^{7}}{7.7!} + \frac{π^{9}}{9.9!} = 1,852...,$ mientras que $\int_{0}^{π} \frac{sen t}{t} d t = 1,85194...,$ por lo que el error real es aproximadamente $0,00006 .$

245.

Dado que $cos (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{4 n}}{(2 n)!}$ y $sen (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!},$ se tiene $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 3}}{(4 n + 3) (2 n + 1)!}$ y $C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 1}}{(4 n + 1) (2 n)!} .$ Las sumas de los primeros $50$ términos distintos de cero se representan a continuación con $C_{50} (x)$ la curva sólida y $S_{50} (x)$ la curva discontinua.

247.

$\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x} (1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{128} - \frac{7 x^{5}}{256}) d x$

$= \frac{2}{3} 2^{−3} - \frac{1}{2} \frac{2}{5} 2^{−5} - \frac{1}{8} \frac{2}{7} 2^{−7} - \frac{1}{16} \frac{2}{9} 2^{−9} - \frac{5}{128} \frac{2}{11} 2^{−11} - \frac{7}{256} \frac{2}{13} 2^{−13} = 0,0767732 ...$

mientras que $\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x - x^{2}} d x = 0,076773 .$

249.

$T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9,8}} (1 + \frac{{sen}^{2} (θ / 12)}{4}) \approx 6,453$ segundos. La estimación del ángulo pequeño es $T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9,8} \approx 6,347} .$ El error relativo es de alrededor de $2$ por ciento.