Ejercicios de repaso
¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.
Si el radio de convergencia de una serie de potencias ∞∑n=0anxn es 5, entonces el radio de convergencia de la serie ∞∑n=1nanxn–1 también es 5.
Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de exesex. (Pista: Recordemos que ex=∞∑n=01n!xn.)
El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de f(x)=3x es 3.
En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas.
∞∑n=0xnnn
∞∑n=02nen(x−e)n
En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie.
f(x)=8x+22x2−3x+1
En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración.
f(x)=x(2+x2)2
En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación?
f(x)=e1/(4x),a=4
En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.
f(x)=ln(x+1)
En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado.
f(x)=3x,a=1
En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.
f(x)=cosx–xsenx
En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para F(x)=∫x0f(t)dt integrando la serie de Maclaurin de f(x) término por término.
f(x)=1−ex
En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades.
Para las anualidades con un valor actual de $1 millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.
Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $10 millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $250.000?
Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $15.000 que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.