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Cálculo volumen 2

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 2Ejercicios de repaso

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

253.

Si el radio de convergencia de una serie de potencias n=0anxn es 5, entonces el radio de convergencia de la serie n=1nanxn1 también es 5.

254.

Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de exesex. (Pista: Recordemos que ex=n=01n!xn.)

255.

Para valores pequeños de x,senxx.

256.

El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de f(x)=3x es 3.

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas.

257.

n=0n2(x1)n

258.

n=0xnnn

259.

n=03nxn12n

260.

n=02nen(xe)n

En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie.

261.

f(x)=x2x+3

262.

f(x)=8x+22x23x+1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración.

263.

f(x)=tan–1(2x)

264.

f(x)=x(2+x2)2

En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación?

265.

f(x)=x32x2+4,a=−3

266.

f(x)=e1/(4x),a=4

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

267.

f(x)=cos(3x) grandes.

268.

f(x)=ln(x+1)

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado.

269.

f(x)=senx,a=π2

270.

f(x)=3x,a=1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

271.

f(x)=ex21

272.

f(x)=cosxxsenx

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para F(x)=x0f(t)dt integrando la serie de Maclaurin de f(x) término por término.

273.

f(x)=senxx

274.

f(x)=1ex

275.

Utilice las series de potencias para demostrar la fórmula de Euler: eix=cosx+isenx

En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades.

276.

Para las anualidades con un valor actual de $1 millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.

277.

Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $10 millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $250.000?

278.

Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $15.000 que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.

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