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Cálculo volumen 2

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 2Ejercicios de repaso

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

253.

Si el radio de convergencia de una serie de potencias n=0anxnn=0anxn es 5,5, entonces el radio de convergencia de la serie n=1nanxn1n=1nanxn1 también es 5.5.

254.

Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de exesex.exesex. (Pista: Recordemos que ex=n=01n!xn.)ex=n=01n!xn.)

255.

Para valores pequeños de x,senxx.x,senxx.

256.

El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de f(x)=3xf(x)=3x es 3.3.

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas.

257.

n = 0 n 2 ( x 1 ) n n = 0 n 2 ( x 1 ) n

258.

n = 0 x n n n n = 0 x n n n

259.

n = 0 3 n x n 12 n n = 0 3 n x n 12 n

260.

n = 0 2 n e n ( x e ) n n = 0 2 n e n ( x e ) n

En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie.

261.

f ( x ) = x 2 x + 3 f ( x ) = x 2 x + 3

262.

f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 3 x + 1 f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 3 x + 1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración.

263.

f ( x ) = tan –1 ( 2 x ) f ( x ) = tan –1 ( 2 x )

264.

f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2 f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2

En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación?

265.

f ( x ) = x 3 2 x 2 + 4 , a = −3 f ( x ) = x 3 2 x 2 + 4 , a = −3

266.

f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4 f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

267.

f(x)=cos(3x)f(x)=cos(3x) grandes.

268.

f ( x ) = ln ( x + 1 ) f ( x ) = ln ( x + 1 )

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado.

269.

f ( x ) = sen x , a = π 2 f ( x ) = sen x , a = π 2

270.

f ( x ) = 3 x , a = 1 f ( x ) = 3 x , a = 1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

271.

f ( x ) = e x 2 1 f ( x ) = e x 2 1

272.

f ( x ) = cos x x sen x f ( x ) = cos x x sen x

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para F(x)=0xf(t)dtF(x)=0xf(t)dt integrando la serie de Maclaurin de f(x)f(x) término por término.

273.

f ( x ) = sen x x f ( x ) = sen x x

274.

f ( x ) = 1 e x f ( x ) = 1 e x

275.

Utilice las series de potencias para demostrar la fórmula de Euler: eix=cosx+isenxeix=cosx+isenx

En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades.

276.

Para las anualidades con un valor actual de $1$1 millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante 2525 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.1 %,5 %,y10 %.

277.

Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $10$10 millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $250.000?$250.000?

278.

Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $15.000$15.000 que se entregan durante 2525 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.1 %,5 %,y10 %.

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