Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

Si el radio de convergencia de una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ es $5,$ entonces el radio de convergencia de la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ también es $5 .$

254.

Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de $e^{x} es e^{x} .$ (Pista: Recordemos que $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} .)$

255.

Para valores pequeños de $x, sen x \approx x .$

256.

El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de $f (x) = 3^{x}$ es $3 .$

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas.

257.

$\sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} {(x - 1)}^{n}$

258.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$

259.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3 n x^{n}}{12^{n}}$

260.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{e^{n}} {(x - e)}^{n}$

En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie.

261.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 3}$

262.

$f (x) = \frac{8 x + 2}{2 x^{2} - 3 x + 1}$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración.

263.

$f (x) = {tan}^{–1} (2 x)$

264.

$f (x) = \frac{x}{{(2 + x^{2})}^{2}}$

En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación?

265.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4, a = −3$

266.

$f (x) = e^{1 / (4 x)}, a = 4$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

267.

$f (x) = cos (3 x)$ grandes.

268.

$f (x) = ln (x + 1)$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado.

269.

$f (x) = sen x, a = \frac{π}{2}$

270.

$f (x) = \frac{3}{x}, a = 1$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

271.

$f (x) = e^{– x^{2}} - 1$

272.

$f (x) = cos x - x sen x$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ integrando la serie de Maclaurin de $f (x)$ término por término.

273.

$f (x) = \frac{sen x}{x}$

274.

$f (x) = 1 - e^{x}$

275.

Utilice las series de potencias para demostrar la fórmula de Euler: $e^{i x} = cos x + i sen x$

En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades.

276.

Para las anualidades con un valor actual de $$ 1$ millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante $25$ años asumiendo tasas de interés de $1 %, 5 %, y 10 % .$

277.

Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $$ 10$ millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $$ 250.000 ?$

278.

Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $$ 15.000$ que se entregan durante $25$ años asumiendo tasas de interés de $1 %, 5 %, y 10 % .$