6.1 Series y funciones de potencia

Para una serie de potencias centrada en x=a,x=a, se cumple una de las tres propiedades siguientes:
1. La serie de potencias solo converge en $x = a .$ En este caso, decimos que el radio de convergencia es $R = 0 .$
2. La serie de potencias converge para todos los números reales x. En este caso, decimos que el radio de convergencia es $R = \infty .$
3. Existe un número real R tal que la serie converge para $| x - a | < R$ y diverge para $| x - a | > R .$ En este caso, el radio de convergencia es R.
Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales.
El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia.
La serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ para $| x | < 1$ nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas.

6.2 Propiedades de las series de potencia

Dadas dos series de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I, la suma y la diferencia de las dos series convergen a $f \pm g,$ respectivamente, en I. Además, para cualquier número real b y entero $m \geq 0,$ la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} b x^{m} c_{n} x^{n}$ converge a $b x^{m} f (x)$ y la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(b x^{m})}^{n}$ converge a $f (b x^{m})$ siempre que bx^m esté en el intervalo I.
Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo $(− R, R),$ el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo $(− R, R) .$
Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo $(− R, R),$ la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a $f^{'}$ en $(− R, R) .$ La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a $\int f (x) d x$ en $(− R, R) .$

Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor $x = a .$ Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en $x = 0 .$
Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función $f$ son las sumas parciales de las series de Taylor para $f .$
Si una función $f$ tiene una representación en serie de potencias en $x = a,$ entonces está dada por su serie de Taylor en $x = a .$
Una serie de Taylor para $f$ converge a $f$ si y solo si $\underset{n \to \infty}{lím} R_{n} (x) = 0$ donde $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x) .$
La serie de Taylor, para e^x, $sen x,$ y $cos x$ a las funciones respectivas para todo x real.

La serie binomial es la serie de Maclaurin para $f (x) = {(1 + x)}^{r} .$ Converge para $| x | < 1 .$
Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida.
Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales.
Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios.