Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

Conceptos clave

6.1 Series y funciones de potencia

  • Para una serie de potencias centrada en x=a,x=a, se cumple una de las tres propiedades siguientes:
    1. La serie de potencias solo converge en x=a.x=a. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=0.R=0.
    2. La serie de potencias converge para todos los números reales x. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=.R=.
    3. Existe un número real R tal que la serie converge para |xa|<R|xa|<R y diverge para |xa|>R.|xa|>R. En este caso, el radio de convergencia es R.
  • Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales.
  • El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia.
  • La serie geométrica n=0xn=11xn=0xn=11x para |x|<1|x|<1 nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas.

6.2 Propiedades de las series de potencia

  • Dadas dos series de potencias n=0cnxnn=0cnxn y n=0dnxnn=0dnxn que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I, la suma y la diferencia de las dos series convergen a f±g,f±g, respectivamente, en I. Además, para cualquier número real b y entero m0,m0, la serie n=0bxmcnxnn=0bxmcnxn converge a bxmf(x)bxmf(x) y la serie n=0cn(bxm)nn=0cn(bxm)n converge a f(bxm)f(bxm) siempre que bxm esté en el intervalo I.
  • Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo (R,R),(R,R), el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo (R,R).(R,R).
  • Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo (R,R),(R,R), la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a ff en (R,R).(R,R). La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a f(x)dxf(x)dx en (R,R).(R,R).

6.3 Series de Taylor y Maclaurin

  • Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor x=a.x=a. Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en x=0.x=0.
  • Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función ff son las sumas parciales de las series de Taylor para f.f.
  • Si una función ff tiene una representación en serie de potencias en x=a,x=a, entonces está dada por su serie de Taylor en x=a.x=a.
  • Una serie de Taylor para ff converge a ff si y solo si límnRn(x)=0límnRn(x)=0 donde Rn(x)=f(x)pn(x).Rn(x)=f(x)pn(x).
  • La serie de Taylor, para ex, senx,senx, y cosxcosx a las funciones respectivas para todo x real.

6.4 Trabajar con la serie de Taylor

  • La serie binomial es la serie de Maclaurin para f(x)=(1+x)r.f(x)=(1+x)r. Converge para |x|<1.|x|<1.
  • Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida.
  • Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales.
  • Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios.
Cita/Atribución

Este libro no puede ser utilizado en la formación de grandes modelos de lenguaje ni incorporado de otra manera en grandes modelos de lenguaje u ofertas de IA generativa sin el permiso de OpenStax.

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.