Conceptos clave
6.1 Series y funciones de potencia
- Para una serie de potencias centrada en se cumple una de las tres propiedades siguientes:
- La serie de potencias solo converge en En este caso, decimos que el radio de convergencia es
- La serie de potencias converge para todos los números reales x. En este caso, decimos que el radio de convergencia es
- Existe un número real R tal que la serie converge para y diverge para En este caso, el radio de convergencia es R.
- Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales.
- El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia.
- La serie geométrica para nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas.
6.2 Propiedades de las series de potencia
- Dadas dos series de potencias y que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I, la suma y la diferencia de las dos series convergen a respectivamente, en I. Además, para cualquier número real b y entero la serie converge a y la serie converge a siempre que bxm esté en el intervalo I.
- Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo
- Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a en La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a en
6.3 Series de Taylor y Maclaurin
- Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en
- Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función son las sumas parciales de las series de Taylor para
- Si una función tiene una representación en serie de potencias en entonces está dada por su serie de Taylor en
- Una serie de Taylor para converge a si y solo si donde
- La serie de Taylor, para ex, y a las funciones respectivas para todo x real.
6.4 Trabajar con la serie de Taylor
- La serie binomial es la serie de Maclaurin para Converge para
- Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida.
- Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales.
- Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios.