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Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

6.1 Series y funciones de potencia

  • Para una serie de potencias centrada en x=a,x=a, se cumple una de las tres propiedades siguientes:
    1. La serie de potencias solo converge en x=a.x=a. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=0.R=0.
    2. La serie de potencias converge para todos los números reales x. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=.R=.
    3. Existe un número real R tal que la serie converge para |xa|<R|xa|<R y diverge para |xa|>R.|xa|>R. En este caso, el radio de convergencia es R.
  • Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales.
  • El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia.
  • La serie geométrica n=0xn=11xn=0xn=11x para |x|<1|x|<1 nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas.

6.2 Propiedades de las series de potencia

  • Dadas dos series de potencias n=0cnxnn=0cnxn y n=0dnxnn=0dnxn que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I, la suma y la diferencia de las dos series convergen a f±g,f±g, respectivamente, en I. Además, para cualquier número real b y entero m0,m0, la serie n=0bxmcnxnn=0bxmcnxn converge a bxmf(x)bxmf(x) y la serie n=0cn(bxm)nn=0cn(bxm)n converge a f(bxm)f(bxm) siempre que bxm esté en el intervalo I.
  • Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo (R,R),(R,R), el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo (R,R).(R,R).
  • Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo (R,R),(R,R), la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a ff en (R,R).(R,R). La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a f(x)dxf(x)dx en (R,R).(R,R).

6.3 Series de Taylor y Maclaurin

  • Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor x=a.x=a. Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en x=0.x=0.
  • Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función ff son las sumas parciales de las series de Taylor para f.f.
  • Si una función ff tiene una representación en serie de potencias en x=a,x=a, entonces está dada por su serie de Taylor en x=a.x=a.
  • Una serie de Taylor para ff converge a ff si y solo si límnRn(x)=0límnRn(x)=0 donde Rn(x)=f(x)pn(x).Rn(x)=f(x)pn(x).
  • La serie de Taylor, para ex, senx,senx, y cosxcosx a las funciones respectivas para todo x real.

6.4 Trabajar con la serie de Taylor

  • La serie binomial es la serie de Maclaurin para f(x)=(1+x)r.f(x)=(1+x)r. Converge para |x|<1.|x|<1.
  • Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida.
  • Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales.
  • Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios.
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