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Cálculo volumen 2

6.4 Trabajar con la serie de Taylor

Cálculo volumen 26.4 Trabajar con la serie de Taylor

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.4.1 Escribir los términos de la serie binomial.
  • 6.4.2 Reconocer las expansiones en serie de Taylor de las funciones comunes.
  • 6.4.3 Reconocer y aplicar las técnicas para calcular la serie de Taylor de una función.
  • 6.4.4 Utilizar las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales.
  • 6.4.5 Utilizar las series de Taylor para evaluar integrales no elementales.

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo calcular las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo pueden utilizarse las series de potencias para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos ex2 dx,ex2 dx, una integral que surge con frecuencia en la teoría de la probabilidad.

La serie binomial

Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r para todos los números reales r.r. La serie de Maclaurin para esta función se conoce como serie binomial. Empezamos considerando el caso más sencillo: rr es un número entero no negativo. Recordemos que, para r=0,1,2 ,3,4,f(x)=(1+x)rr=0,1,2 ,3,4,f(x)=(1+x)r puede escribirse como

f(x)=(1+x)0=1,f(x)=(1+x)1=1+x,f(x)=(1+x)2 =1+2 x+x2 ,f(x)=(1+x)3=1+3x+3x2 +x3,f(x)=(1+x)4=1+4x+6x2 +4x3+x4.f(x)=(1+x)0=1,f(x)=(1+x)1=1+x,f(x)=(1+x)2 =1+2 x+x2 ,f(x)=(1+x)3=1+3x+3x2 +x3,f(x)=(1+x)4=1+4x+6x2 +4x3+x4.

Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. De forma más general, para cualquier número entero no negativo r,r, el coeficiente binomial de xnxn en la expansión binomial de (1+x)r(1+x)r está dada por

(rn)=r!n!(rn)!(rn)=r!n!(rn)!
(6.6)

y

f(x)=(1+x)r=(r0)1+(r1)x+(r2 )x2 +(r3)x3++(rr1)xr1+(rr)xr=n=0r(rn)xn.f(x)=(1+x)r=(r0)1+(r1)x+(r2 )x2 +(r3)x3++(rr1)xr1+(rr)xr=n=0r(rn)xn.
(6.7)

Por ejemplo, utilizando esta fórmula para r=5,r=5, vemos que

f(x)=(1+x)5=(50)1+(51)x+(52 )x2 +(53)x3+(54)x4+(55)x5=5!0!5!1+5!1!4!x+5!2 !3!x2 +5!3!2 !x3+5!4!1!x4+5!5!0!x5=1+5x+10x2 +10x3+5x4+x5.f(x)=(1+x)5=(50)1+(51)x+(52 )x2 +(53)x3+(54)x4+(55)x5=5!0!5!1+5!1!4!x+5!2 !3!x2 +5!3!2 !x3+5!4!1!x4+5!5!0!x5=1+5x+10x2 +10x3+5x4+x5.

Consideremos ahora el caso en que el exponente rr es cualquier número real, no necesariamente un entero no negativo. Si rr no es un número entero no negativo, entonces f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r no puede escribirse como un polinomio finito. Sin embargo, podemos calcular una serie de potencias para f.f. En concreto, buscamos la serie Maclaurin para f.f. Para ello, calculamos las derivadas de ff y evalúelas en x=0.x=0.

f(x)=(1+x)rf(0)=1f(x)=r(1+x)r1f(0)=rf(x)=r(r1)(1+x)r2 f(0)=r(r1)f(x)=r(r1)(r2 )(1+x)r3f(0)=r(r1)(r2 )f(n)(x)=r(r1)(r2 )(rn+1)(1+x)rnf(n)(0)=r(r1)(r2 )(rn+1)f(x)=(1+x)rf(0)=1f(x)=r(1+x)r1f(0)=rf(x)=r(r1)(1+x)r2 f(0)=r(r1)f(x)=r(r1)(r2 )(1+x)r3f(0)=r(r1)(r2 )f(n)(x)=r(r1)(r2 )(rn+1)(1+x)rnf(n)(0)=r(r1)(r2 )(rn+1)

Concluimos que los coeficientes de la serie binomial están dados por

f(n)(0)n!=r(r1)(r2 )(rn+1)n!.f(n)(0)n!=r(r1)(r2 )(rn+1)n!.
(6.8)

Observamos que si rr es un número entero no negativo, entonces la derivada (r+1) (r+1) f(r+1)f(r+1) es la función cero, y la serie termina. Además, si rr es un número entero no negativo, entonces la Ecuación 6.8 para los coeficientes coincide con la Ecuación 6.6 para los coeficientes, y la fórmula de la serie binomial coincide con la Ecuación 6.7 para la expansión binomial finita. De forma más general, para denotar los coeficientes binomiales de cualquier número real r,r, definimos

(rn)=r(r1)(r2 )(rn+1)n!.(rn)=r(r1)(r2 )(rn+1)n!.

Con esta notación, podemos escribir la serie binomial para (1+x)r(1+x)r como

n=0(rn)xn=1+rx+r(r1)2 !x2 ++r(r1)(rn+1)n!xn+.n=0(rn)xn=1+rx+r(r1)2 !x2 ++r(r1)(rn+1)n!xn+.
(6.9)

Ahora tenemos que determinar el intervalo de convergencia de la serie binomial de la Ecuación 6.9. Aplicamos el criterio del cociente. Por lo tanto, consideramos

|an+1||an|=|r(r1)(r2 )(rn)|x||n+1(n+1)!.n!|r(r1)(r2 )(rn+1)||x|n=|rn||x||n+1|.|an+1||an|=|r(r1)(r2 )(rn)|x||n+1(n+1)!.n!|r(r1)(r2 )(rn+1)||x|n=|rn||x||n+1|.

Dado que

límn|an+1||an|=|x|<1límn|an+1||an|=|x|<1

si y solo si |x|<1,|x|<1, concluimos que el intervalo de convergencia para la serie binomial es (–1,1).(–1,1). El comportamiento en los puntos finales depende de r.r. Se puede demostrar que para r0r0 la serie converge en ambos puntos finales; para −1<r<0,−1<r<0, la serie converge en x=1x=1 y diverge en x=−1;x=−1; y para r<−1,r<−1, la serie diverge en ambos puntos finales. La serie binomial sí converge a (1+x)r(1+x)r en (–1,1)(–1,1) para todos los números reales r,r, pero probar este hecho mostrando que el resto Rn(x)0Rn(x)0 es difícil.

Definición

Para cualquier número real r,r, la serie de Maclaurin para f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r es la serie binomial. Converge a ff para |x|<1,|x|<1, y escribimos

(1+x)r=n=0(rn)xn=1+rx+r(r1)2 !x2 ++r(r1)(rn+1)n!xn+(1+x)r=n=0(rn)xn=1+rx+r(r1)2 !x2 ++r(r1)(rn+1)n!xn+

para |x|<1.|x|<1.

Podemos utilizar esta definición para calcular la serie binomial de f(x)=1+xf(x)=1+x y utilizar la serie para aproximar 1,5.1,5.

Ejemplo 6.17

Cálculo de series binomiales

  1. Calcule la serie binomial para f(x)=1+x.f(x)=1+x.
  2. Utilice el polinomio de Maclaurin de tercer orden p3(x)p3(x) para estimar 1,5.1,5. Utilice el teorema de Taylor para acotar el error. Utilice una herramienta gráfica para comparar los gráficos de ff y p3.p3.

Punto de control 6.16

Calcule la serie binomial para f(x)=1(1+x)2 .f(x)=1(1+x)2 .

Funciones comunes expresadas como series de Taylor

En este punto, hemos derivado las series de Maclaurin para funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas, así como para funciones de la forma f(x)=(1+x)r.f(x)=(1+x)r. En la Tabla 6.1, resumimos los resultados de estas series. Observamos que la convergencia de la serie de Maclaurin para f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) en el punto final x=1x=1 y la serie de Maclaurin para f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x en los puntos finales x=1x=1 y x=−1x=−1 se basa en un teorema más avanzado que el que presentamos aquí. (Consulte el teorema de Abel para ver este punto más técnico).

Función Serie de Maclaurin Intervalo de convergencia
f(x)=11xf(x)=11x n=0xnn=0xn −1<x<1−1<x<1
f(x)=exf(x)=ex n=0xnn!n=0xnn! <x<<x<
f(x)=senxf(x)=senx n=0(–1)nx2 n+1(2 n+1)!n=0(–1)nx2 n+1(2 n+1)! <x<<x<
f(x)=cosxf(x)=cosx n=0(–1)nx2 n(2 n)!n=0(–1)nx2 n(2 n)! <x<<x<
f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) grandes. n=1(–1)n+1xnnn=1(–1)n+1xnn −1<x1−1<x1
f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x n=0(–1)nx2 n+12 n+1n=0(–1)nx2 n+12 n+1 −1x1−1x1
f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r n=0(rn)xnn=0(rn)xn −1<x<1−1<x<1
Tabla 6.1 Serie de Maclaurin para funciones comunes

Anteriormente en el capítulo, mostramos cómo se pueden combinar las series de potencias para crear nuevas series de potencias. Aquí utilizamos estas propiedades, combinadas con las series de Maclaurin en la Tabla 6.1, para crear series de Maclaurin para otras funciones.

Ejemplo 6.18

Derivar series de Maclaurin a partir de una serie conocida

Calcule la serie de Maclaurin de cada una de las siguientes funciones utilizando una de las series que aparecen en la Tabla 6.1.

  1. f(x)=cosxf(x)=cosx
  2. f(x)=senohxf(x)=senohx

Punto de control 6.17

Calcule la serie de Maclaurin para sen(x2 ).sen(x2 ).

También mostramos anteriormente en este capítulo cómo las series de potencias pueden diferenciarse término a término para crear una nueva serie de potencias. En el Ejemplo 6.19, diferenciamos la serie binomial para 1+x1+x término a término para calcular la serie binomial para 11+x.11+x. Observe que podríamos construir la serie binomial para 11+x11+x directamente de la definición, pero diferenciando la serie binomial para 1+x1+x es un cálculo más fácil.

Ejemplo 6.19

Diferenciar una serie para calcular una nueva serie

Utilice la serie binomial para 1+x1+x para calcular la serie binomial para 11+x.11+x.

Punto de control 6.18

Calcule la serie binomial para f(x)=1(1+x)3/2 f(x)=1(1+x)3/2

En este ejemplo, diferenciamos una serie de Taylor conocida para construir una serie de Taylor para otra función. La capacidad de diferenciar las series de potencias término a término las convierte en una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales. A continuación mostramos cómo se logra esto.

Resolución de ecuaciones diferenciales con series de potencias

Considere la ecuación diferencial

y(x)=y.y(x)=y.

Recordemos que se trata de una ecuación separable de primer orden y su solución es y=Cex.y=Cex. Esta ecuación se resuelve fácilmente utilizando las técnicas discutidas anteriormente en el texto. Sin embargo, para la mayoría de las ecuaciones diferenciales aún no disponemos de herramientas analíticas para resolverlas. Las series de potencias son una herramienta extremadamente útil para resolver muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En esta técnica, buscamos una solución de la forma y=n=0cnxny=n=0cnxn y determinar cuáles serían los coeficientes necesarios. En el siguiente ejemplo, consideramos un problema de valor inicial que implica y=yy=y para ilustrar la técnica.

Ejemplo 6.20

Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial

Utilice la serie de potencias para resolver el problema de valor inicial

y=y,y(0)=3.y=y,y(0)=3.

Punto de control 6.19

Utilice las series de potencias para resolver y=2 y,y(0)=5.y=2 y,y(0)=5.

Consideramos ahora un ejemplo que involucra una ecuación diferencial que no podemos resolver con los métodos discutidos previamente. Esta ecuación diferencial

yxy=0yxy=0

se conoce como la ecuación de Airy. Tiene muchas aplicaciones en física matemática, como el modelado de la difracción de la luz. Aquí mostramos cómo resolverla utilizando series de potencias.

Ejemplo 6.21

Solución en series de potencias de la ecuación de Airy

Utilice las series de potencias para resolver

yxy=0yxy=0

con las condiciones iniciales y(0)=ay(0)=a y y(0)=b.y(0)=b.

Punto de control 6.20

Utilice las series de potencias para resolver y+x2 y=0y+x2 y=0 con la condición inicial y(0)=ay(0)=a y y(0)=b.y(0)=b.

Evaluación de integrales no elementales

La resolución de ecuaciones diferenciales es una aplicación común de las series de potencias. Pasamos ahora a una segunda aplicación. Mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para evaluar integrales en las que intervienen funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar mediante funciones elementales.

Una integral que surge con frecuencia en las aplicaciones de la teoría de la probabilidad es ex2 dx.ex2 dx. Desafortunadamente, la antiderivada del integrando ex2 ex2 no es una función elemental. Por función elemental entendemos una función que puede escribirse mediante un número finito de combinaciones algebraicas o composiciones de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o potencias. Observamos que el término "función elemental" no es sinónimo de función no complicada. Por ejemplo, la función f(x)=x2 3x+ex3sen(5x+4)f(x)=x2 3x+ex3sen(5x+4) es una función elemental, aunque no es una función que se vea muy sencilla. Cualquier integral de la forma f(x)dxf(x)dx donde la antiderivada de ff no se pueda escribir como una función elemental se considera una integral no elemental.

Las integrales no elementales no pueden evaluarse con las técnicas básicas de integración que se han comentado anteriormente. Una forma de evaluar estas integrales es expresando el integrando como una serie de potencias e integrando término a término. Demostramos esta técnica considerando ex2 dx.ex2 dx.

Ejemplo 6.22

Uso de las series de Taylor para evaluar una integral definida

  1. Exprese ex2 dxex2 dx como una serie infinita.
  2. Evalúe 01ex2 dx01ex2 dx con un error de 0,01.0,01.

Punto de control 6.21

Exprese cosxdxcosxdx como una serie infinita. Evalúe 01cosxdx01cosxdx con un error de 0,01.0,01.

Como se ha mencionado anteriormente, la integral ex2 dxex2 dx surge a menudo en la teoría de la probabilidad. En concreto, se utiliza cuando se estudian conjuntos de datos que se distribuyen normalmente, lo que significa que los valores de los datos se encuentran bajo una curva en forma de campana. Por ejemplo, si un conjunto de valores de datos se distribuye normalmente con la media μμ y desviación típica σ,σ, entonces la probabilidad de que un valor elegido al azar se encuentre entre x=ax=a y x=bx=b está dada por

1σ2 πabe(xμ)2 /(2 σ2 )dx.1σ2 πabe(xμ)2 /(2 σ2 )dx.
(6.10)

(Vea la Figura 6.11).

Este gráfico es la distribución normal. Es una curva en forma de campana con el punto más alto por encima de mu en el eje x. Además, hay un área sombreada bajo la curva por encima del eje x. El área sombreada está delimitada por alfa a la izquierda y b a la derecha.
Figura 6.11 Si los valores de los datos se distribuyen normalmente con la media μ μ y desviación típica σ , σ , la probabilidad de que un valor de datos seleccionado al azar esté entre a a y b b es el área bajo la curva y = 1 σ 2 π e ( x μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) y = 1 σ 2 π e ( x μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) entre x = a x = a y x = b . x = b .

Para simplificar esta integral, por lo general suponemos que z=xμσ.z=xμσ. Esta cantidad zz se conoce como la puntuación zz de un valor de datos. Con esta simplificación, la integral de la Ecuación 6.10 se convierte en

12 π(aμ)/σ(bμ)/σez2 /2 dz.12 π(aμ)/σ(bμ)/σez2 /2 dz.
(6.11)

En el Ejemplo 6.23, mostramos cómo podemos utilizar esta integral en el cálculo de probabilidades.

Ejemplo 6.23

Uso de las series de Maclaurin para aproximar una probabilidad

Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ=100μ=100 y desviación típica σ=50.σ=50. Utilice la Ecuación 6.11 y los seis primeros términos de la serie de Maclaurin para ex2 /2 ex2 /2 para aproximar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre x=100x=100 y x=200.x=200. Utilice la prueba de las series alternadas para determinar la precisión de su aproximación.

Análisis

Si está familiarizado con la teoría de la probabilidad, sabrá que la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre dentro de dos desviaciones típicas de la media es aproximadamente 95 %.95 %. Aquí calculamos la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre entre la media y dos desviaciones típicas por encima de la media, por lo que la estimación debería estar en torno a 47,5 %.47,5 %. La estimación, combinada con el límite de la exactitud, se encuentra dentro de este rango.

Punto de control 6.22

Utilice los cinco primeros términos de la serie de Maclaurin para ex2 /2 ex2 /2 para estimar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre 100100 y 150.150. Utilice la prueba de series alternadas para determinar la exactitud de esta estimación.

Otra aplicación en la que surge una integral no elemental es el periodo de un péndulo. La integral es

0π/2 dθ1k2 sen2 θ.0π/2 dθ1k2 sen2 θ.

Una integral de esta forma se conoce como integral elíptica de primer tipo. Las integrales elípticas surgieron originalmente cuando se intentaba calcular la longitud de arco de una elipse. Ahora mostramos cómo utilizar las series de potencias para aproximar esta integral.

Ejemplo 6.24

Periodo de un péndulo

El periodo de un péndulo es el tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa de ida y vuelta. Para un péndulo con longitud LL que forma un ángulo máximo θmaxθmax con la vertical, su periodo TT está dada por

T=4Lg0π/2 dθ1k2 sen2 θT=4Lg0π/2 dθ1k2 sen2 θ

donde gg es la aceleración debido a la gravedad y k=sen(θmáx.2 )k=sen(θmáx.2 ) (vea la Figura 6.12). (Observamos que esta fórmula para el periodo surge de un modelo no linealizado de un péndulo. En algunos casos, para simplificar, se utiliza un modelo linealizado y senθsenθ se aproxima por θ.)θ.) Utilice la serie binomial

11+x=1+n=1(–1)nn!1.3.5(2 n1)2 nxn11+x=1+n=1(–1)nn!1.3.5(2 n1)2 nxn

para estimar el periodo de este péndulo. Específicamente, aproxime el periodo del péndulo si

  1. se utiliza solo el primer término de la serie binomial, y
  2. se utilizan los dos primeros términos de la serie binomial
    Esta figura es un péndulo. Se muestran tres posiciones del péndulo. Cuando el péndulo está en el extremo izquierdo, está marcado como theta máx. negativo. Cuando el péndulo se encuentra en el centro y en posición vertical, está marcado como posición de equilibrio. Cuando el péndulo se encuentra en el extremo derecho está marcado como theta máx. Además, theta es el ángulo desde el equilibrio hasta la posición más a la derecha. La longitud del péndulo se identifica como L.
    Figura 6.12 Este péndulo tiene una longitud L L y forma un ángulo máximo θ max θ max con la vertical.

Las aplicaciones de las series de Taylor en esta sección pretenden destacar su importancia. En general, las series de Taylor son útiles porque nos permiten representar funciones conocidas mediante polinomios, proporcionándonos así una herramienta para aproximar valores de funciones y estimar integrales complicadas. Además, nos permiten definir nuevas funciones como series de potencias, lo que nos proporciona una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales.

Sección 6.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para escribir la serie de Maclaurin para el binomio dado.

174.

( 1 x ) 1 / 3 ( 1 x ) 1 / 3

175.

( 1 + x 2 ) –1 / 3 ( 1 + x 2 ) –1 / 3

176.

( 1 x ) 1,01 ( 1 x ) 1,01

177.

( 1 2 x ) 2 / 3 ( 1 2 x ) 2 / 3

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución (b+x)r=(b+a)r(1+xab+a)r(b+x)r=(b+a)r(1+xab+a)r en la expansión binomial para calcular la serie de Taylor de cada función con el centro dado.

178.

x+2 x+2 en a=0a=0

179.

x2 +2 x2 +2 en a=0a=0

180.

x+2 x+2 en a=1a=1

181.

2 xx2 2 xx2 en a=1a=1 (Pista: 2 xx2 =1(x1)2 )2 xx2 =1(x1)2 ) grandes.

182.

(x8)1/3(x8)1/3 en a=9a=9

183.

xx en a=4a=4

184.

x1/3x1/3 en a=27a=27

185.

xx en x=9x=9

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para estimar cada número, calculando suficientes términos para obtener una estimación precisa con un error de como máximo 1/1.000 dólares.1/1.000 dólares.

186.

[T] (15)1/4(15)1/4 utilizando (16x)1/4(16x)1/4

187.

[T] (1001)1/3(1001)1/3 utilizando (1.000+x)1/3(1.000+x)1/3

En los siguientes ejercicios, utilice la aproximación binomial 1x1x2 x2 8x3165x41287x52561x1x2 x2 8x3165x41287x5256 para |x|<1|x|<1 para aproximar cada número. Compare este valor con el valor dado por una calculadora científica.

188.

[T] 12 12 utilizando x=12 x=12 en (1x)1/2 (1x)1/2

189.

[T] 5=5×155=5×15 utilizando x=45x=45 en (1x)1/2 (1x)1/2

190.

[T] 3=333=33 utilizando x=2 3x=2 3 en (1x)1/2 (1x)1/2

191.

[T] 66 utilizando x=56x=56 en (1x)1/2 (1x)1/2

192.

Integre la aproximación binomial de 1x1x para calcular una aproximación de 0x1tdt.0x1tdt.

193.

[T] Recordemos que el gráfico de 1x2 1x2 es un semicírculo superior de radio 1.1. Integre la aproximación binomial de 1x2 1x2 al orden 88 de x=−1x=−1 a x=1x=1 para estimar π2 .π2 .

En los siguientes ejercicios, utilice la expansión (1+x)1/3=1+13x19x2 +581x310243x4+(1+x)1/3=1+13x19x2 +581x310243x4+ para escribir los cinco primeros términos (no necesariamente un polinomio cuaternario) de cada expresión.

194.

( 1 + 4 x ) 1 / 3 ; a = 0 ( 1 + 4 x ) 1 / 3 ; a = 0

195.

( 1 + 4 x ) 4 / 3 ; a = 0 ( 1 + 4 x ) 4 / 3 ; a = 0

196.

( 3 + 2 x ) 1 / 3 ; a = –1 ( 3 + 2 x ) 1 / 3 ; a = –1

197.

( x 2 + 6 x + 10 ) 1 / 3 ; a = −3 ( x 2 + 6 x + 10 ) 1 / 3 ; a = −3

198.

Utilice (1+x)1/3=1+13x19x2 +581x310243x4+(1+x)1/3=1+13x19x2 +581x310243x4+ con x=1x=1 para aproximar a 2 1/3.2 1/3.

199.

Utilice la aproximación (1x)2 /3=12 x3x2 94x3817x424314x5729+(1x)2 /3=12 x3x2 94x3817x424314x5729+ para |x|<1|x|<1 para aproximar a 2 1/3=2,2−2/3.2 1/3=2,2−2/3.

200.

Calcule la 25−ésima25−ésima derivada de f(x)=(1+x2 )13f(x)=(1+x2 )13 en x=0.x=0.

201.

Calcule la 9999−ésima derivada de f(x)=(1+x4)25.f(x)=(1+x4)25.

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de cada función.

202.

f ( x ) = x e 2 x f ( x ) = x e 2 x

203.

f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x

204.

f ( x ) = sen x x f ( x ) = sen x x

205.

f ( x ) = sen ( x ) x , ( x > 0 ) , f ( x ) = sen ( x ) x , ( x > 0 ) ,

206.

f(x)=sen(x2 )f(x)=sen(x2 ) grandes.

207.

f ( x ) = e x 3 f ( x ) = e x 3

208.

f(x)=cos2 xf(x)=cos2 x utilizando la identidad cos2 x=12 +12 cos(2 x)cos2 x=12 +12 cos(2 x) grandes.

209.

f(x)=sen2 xf(x)=sen2 x utilizando la identidad sen2 x=12 12 cos(2 x)sen2 x=12 12 cos(2 x) grandes.

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de F(x)=0xf(t)dtF(x)=0xf(t)dt integrando la serie de Maclaurin de ff término a término. Si ff no está estrictamente definida en cero, puede sustituir el valor de la serie de Maclaurin en cero.

210.

F ( x ) = 0 x e t 2 d t ; f ( t ) = e t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n n ! F ( x ) = 0 x e t 2 d t ; f ( t ) = e t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n n !

211.

F ( x ) = tan −1 x ; f ( t ) = 1 1 + t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n F ( x ) = tan −1 x ; f ( t ) = 1 1 + t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n

212.

F ( x ) = tanh −1 x ; f ( t ) = 1 1 t 2 = n = 0 t 2 n F ( x ) = tanh −1 x ; f ( t ) = 1 1 t 2 = n = 0 t 2 n

213.

F ( x ) = sen −1 x ; f ( t ) = 1 1 t 2 = k = 0 ( 1 2 k ) t 2 k k ! F ( x ) = sen −1 x ; f ( t ) = 1 1 t 2 = k = 0 ( 1 2 k ) t 2 k k !

214.

F ( x ) = 0 x sen t t d t ; f ( t ) = sen t t = n = 0 ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 1 ) ! F ( x ) = 0 x sen t t d t ; f ( t ) = sen t t = n = 0 ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 1 ) !

215.

F ( x ) = 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = n = 0 ( –1 ) n x n ( 2 n ) ! F ( x ) = 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = n = 0 ( –1 ) n x n ( 2 n ) !

216.

F ( x ) = 0 x 1 cos t t 2 d t ; f ( t ) = 1 cos t t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 2 ) ! F ( x ) = 0 x 1 cos t t 2 d t ; f ( t ) = 1 cos t t 2 = n = 0 ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 2 ) !

217.

F ( x ) = 0 x ln ( 1 + t ) t d t ; f ( t ) = n = 0 ( –1 ) n t n n + 1 F ( x ) = 0 x ln ( 1 + t ) t d t ; f ( t ) = n = 0 ( –1 ) n t n n + 1

En los siguientes ejercicios, calcule al menos los tres primeros términos distintos de cero (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie de Maclaurin de f.f.

218.

f(x)=sen(x+π4)=senxcos(π4)+cosxsen(π4)f(x)=sen(x+π4)=senxcos(π4)+cosxsen(π4) grandes.

219.

f ( x ) = tan x f ( x ) = tan x

220.

f(x)=ln(cosx)f(x)=ln(cosx) grandes.

221.

f ( x ) = e x cos x f ( x ) = e x cos x

222.

f ( x ) = e sen x f ( x ) = e sen x

223.

f ( x ) = sec 2 x f ( x ) = sec 2 x

224.

f ( x ) = tanh x f ( x ) = tanh x

225.

f(x)=tanxxf(x)=tanxx (vea la expansión para tanx)tanx)

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de la serie de Maclaurin de cada función.

226.

ln(1+x)ln(1+x) grandes.

227.

1 1 + x 2 1 1 + x 2

228.

tan −1 x tan −1 x

229.

ln(1+x2 )ln(1+x2 ) grandes.

230.

Calcule la serie de Maclaurin de senohx=exex2 .senohx=exex2 .

231.

Calcule la serie de Maclaurin de coshx=ex+ex2 .coshx=ex+ex2 .

232.

Diferencie término a término la serie de Maclaurin de senohxsenohx y compare el resultado con la serie de Maclaurin de coshx.coshx.

233.

[T] Supongamos que Sn(x)=k=0n(–1)kx2 k+1(2 k+1)!Sn(x)=k=0n(–1)kx2 k+1(2 k+1)! y Cn(x)=n=0n(–1)kx2 k(2 k)!Cn(x)=n=0n(–1)kx2 k(2 k)! denotan los respectivos polinomios de Maclaurin de orden 2 n+12 n+1 de senxsenx y orden 2 n2 n de cosx.cosx. Grafique los errores Sn(x)Cn(x)tanxSn(x)Cn(x)tanx para n=1,..,5n=1,..,5 y compárelos con x+x33+2 x515+17x7315tanxx+x33+2 x515+17x7315tanx en (π4,π4).(π4,π4).

234.

Utilice la identidad 2 senxcosx=sen(2 x)2 senxcosx=sen(2 x) para calcular la expansión en serie de la potencia de sen2 xsen2 x en x=0.x=0. (Pista: Integre la serie de Maclaurin de sen(2 x)sen(2 x) término a término).

235.

Si y=n=0anxn,y=n=0anxn, calcule las expansiones en serie de potencias de xyxy y x2 y.x2 y.

236.

[T] Supongamos que y=k=0akxky=k=0akxk satisface y=–2xyy=–2xy y y(0)=0.y(0)=0. Demuestre que a2 k+1=0a2 k+1=0 para todo kk y que a2 k+2 =a2 kk+1.a2 k+2 =a2 kk+1. Grafique la suma parcial S20S20 de yy en el intervalo [−4,4].[−4,4].

237.

[T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ=100μ=100 y desviación típica σ=10.σ=10. Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre 9090 y 110110 y utilice la integral del orden 1010 Polinomio de Maclaurin de 12 πex2 /2 12 πex2 /2 para estimar esta probabilidad.

238.

[T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ=100μ=100 y desviación típica σ=10.σ=10. Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre 7070 y 130130 y utilice la integral del orden 5050 Polinomio de Maclaurin de 12 πex2 /2 12 πex2 /2 para estimar esta probabilidad.

239.

[T] Supongamos que n=0anxnn=0anxn converge a una función f(x)f(x) tal que f(0)=1,f(0)=0,f(0)=1,f(0)=0, y f(x)=f(x).f(x)=f(x). Halle una fórmula para anan y grafique la suma parcial SNSN para N=20N=20 en [−5,5].[−5,5].

240.

[T] Supongamos que n=0anxnn=0anxn converge a una función f(x)f(x) tal que f(0)=0,f(0)=1,f(0)=0,f(0)=1, y f(x)=f(x).f(x)=f(x). Halle una fórmula para anan y grafique la suma parcial SNSN para N=10N=10 en [−5,5].[−5,5].

241.

Supongamos que n=0anxnn=0anxn converge a una función yy tal que yy+y=0yy+y=0 donde y(0)=1y(0)=1 y y(0)=0.y(0)=0. Halle una fórmula que relacione an+2 ,an+1,an+2 ,an+1, y anan y calcule a0,...,a5.a0,...,a5.

242.

Supongamos que n=0anxnn=0anxn converge a una función yy tal que yy+y=0yy+y=0 donde y(0)=0y(0)=0 y y(0)=1.y(0)=1. Halle una fórmula que relacione an+2 ,an+1,an+2 ,an+1, y anan y calcule a1,...,a5.a1,...,a5.

El error de aproximación de la integral abf(t)dtabf(t)dt por la de una aproximación de Taylor abPn(t)dtabPn(t)dt es como máximo abRn(t)dt.abRn(t)dt. En los siguientes ejercicios, la estimación del resto de Taylor RnM(n+1)!|xa|n+1RnM(n+1)!|xa|n+1 garantiza que la integral del polinomio de Taylor del orden dado se aproxima a la integral de ff con un error inferior a 110.110.

  1. Evalúe la integral del polinomio de Taylor correspondiente y verifique que se aproxima al valor del CAS con un error inferior a 1100.1100.
  2. Compare la exactitud de la estimación de la integral polinómica con la estimación del resto.
243.

[T] 0πsenttdt;Ps=1x2 3!+x45!x67!+x89!0πsenttdt;Ps=1x2 3!+x45!x67!+x89! (Puede suponer que el valor absoluto de la novena derivada de senttsentt está delimitada por 0,1.)0,1.)

244.

[T] 02 ex2 dx;p11=1x2 +x42 x63!+x2211!02 ex2 dx;p11=1x2 +x42 x63!+x2211! (Puede suponer que el valor absoluto de la 2323 derivada de ex2 ex2 es menor que 2 ×1014.)2 ×1014.)

Los siguientes ejercicios tratan con las integrales de Fresnel.

245.

Las integrales de Fresnel están definidas por C(x)=0xcos(t2 )dtC(x)=0xcos(t2 )dt y S(x)=0xsen(t2 )dt.S(x)=0xsen(t2 )dt. Calcule la serie de potencias de C(x)C(x) y S(x)S(x) y grafique las sumas CN(x)CN(x) y SN(x)SN(x) de los primeros N=50N=50 términos distintos de cero en [0,2 π].[0,2 π].

246.

[T] Las integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño de carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas (C(t),S(t)).(C(t),S(t)). Grafique la curva (C50,S50)(C50,S50) para 0t2 π,0t2 π, cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior.

247.

Estime 01/4xx2 dx01/4xx2 dx aproximando 1x1x utilizando la aproximación binomial 1x2 x2 8x3165x421287x5256.1x2 x2 8x3165x421287x5256.

248.

[T] Utilice la aproximación de Newton del binomio 1x2 1x2 para aproximar a ππ de la siguiente forma. El círculo centrado en (12 ,0)(12 ,0) con radio 12 12 tiene un semicírculo superior y=x1x.y=x1x. El sector de este círculo delimitado por el eje xx entre x=0x=0 y x=12 x=12 y por la línea que une (14,34)(14,34) corresponde a 1616 del círculo y tiene área π24.π24. Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura 3434 y base 1414 y la región por debajo del gráfico entre x=0x=0 y x=14.x=14. Para hallar el área de esta región se puede escribir y=x1x=x×(expansión binomial de1x)y=x1x=x×(expansión binomial de1x) e integrar término a término. Utilice este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar π.π.

249.

Utilice la aproximación T2 πLg(1+k2 4)T2 πLg(1+k2 4) para aproximar el periodo de un péndulo que tiene una longitud de 1010 metros y un ángulo máximo de θmax=π6θmax=π6 donde k=sen(θmáx.2 ).k=sen(θmáx.2 ). Compare esto con la estimación del ángulo pequeño T2 πLg.T2 πLg.

250.

Supongamos que un péndulo debe tener un periodo de 2 2 segundos y un ángulo máximo de θmax=π6.θmax=π6. Utilice T2 πLg(1+k2 4)T2 πLg(1+k2 4) para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud se predice con la estimación del ángulo pequeño T2 πLg?T2 πLg?

251.

Evalúe 0π/2 sen4θdθ0π/2 sen4θdθ en la aproximación T=4Lg0π/2 (1+12 k2 sen2 θ+38k4sen4θ+)dθT=4Lg0π/2 (1+12 k2 sen2 θ+38k4sen4θ+)dθ para obtener una estimación mejorada de T.T.

252.

[T] Una fórmula equivalente para el periodo de un péndulo con amplitud θmaxθmax es T(θmax)=2 2 Lg0θmaxdθcosθcos(θmax)T(θmax)=2 2 Lg0θmaxdθcosθcos(θmax) donde LL es la longitud del péndulo y gg es la constante de aceleración gravitatoria. Cuando θmax=π3θmax=π3 obtenemos 1cost1/2 2 (1+t2 2 +t43+181t6720).1cost1/2 2 (1+t2 2 +t43+181t6720). Integre esta aproximación para estimar T(π3)T(π3) en términos de LL y g.g. Suponiendo que g=9,806g=9,806 metros por segundo al cuadrado, halle una longitud aproximada LL tal que T(π3)=2 T(π3)=2 segundos.

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