Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.4.1 Escribir los términos de la serie binomial.
6.4.2 Reconocer las expansiones en serie de Taylor de las funciones comunes.
6.4.3 Reconocer y aplicar las técnicas para calcular la serie de Taylor de una función.
6.4.4 Utilizar las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales.
6.4.5 Utilizar las series de Taylor para evaluar integrales no elementales.

En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo calcular las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo pueden utilizarse las series de potencias para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos $\int e^{– x^{2}} d x,$ una integral que surge con frecuencia en la teoría de la probabilidad.

La serie binomial

Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función $f (x) = {(1 + x)}^{r}$ para todos los números reales $r .$ La serie de Maclaurin para esta función se conoce como serie binomial. Empezamos considerando el caso más sencillo: $r$ es un número entero no negativo. Recordemos que, para $r = 0, 1, 2, 3, 4, f (x) = {(1 + x)}^{r}$ puede escribirse como

\begin{matrix} f (x) = {(1 + x)}^{0} = 1, \\ f (x) = {(1 + x)}^{1} = 1 + x, \\ f (x) = {(1 + x)}^{2} = 1 + 2 x + x^{2}, \\ f (x) = {(1 + x)}^{3} = 1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}, \\ f (x) = {(1 + x)}^{4} = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} . \end{matrix}

Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. De forma más general, para cualquier número entero no negativo $r,$ el coeficiente binomial de $x^{n}$ en la expansión binomial de ${(1 + x)}^{r}$ está dada por

(\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) = \frac{r!}{n! (r - n)!}

(6.6)

y

\begin{matrix} f (x) & = {(1 + x)}^{r} \\ = (\begin{matrix} r \\ 0 \end{matrix}) 1 + (\begin{matrix} r \\ 1 \end{matrix}) x + (\begin{matrix} r \\ 2 \end{matrix}) x^{2} + (\begin{matrix} r \\ 3 \end{matrix}) x^{3} + ⋯ + (\begin{matrix} r \\ r - 1 \end{matrix}) x^{r - 1} + (\begin{matrix} r \\ r \end{matrix}) x^{r} \\ = \sum_{n = 0}^{r} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} . \end{matrix}

(6.7)

Por ejemplo, utilizando esta fórmula para $r = 5,$ vemos que

\begin{matrix} f (x) & = {(1 + x)}^{5} \\ = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) 1 + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) x^{5} \\ = \frac{5!}{0! 5!} 1 + \frac{5!}{1! 4!} x + \frac{5!}{2! 3!} x^{2} + \frac{5!}{3! 2!} x^{3} + \frac{5!}{4! 1!} x^{4} + \frac{5!}{5! 0!} x^{5} \\ = 1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + 5 x^{4} + x^{5} . \end{matrix}

Consideremos ahora el caso en que el exponente $r$ es cualquier número real, no necesariamente un entero no negativo. Si $r$ no es un número entero no negativo, entonces $f (x) = {(1 + x)}^{r}$ no puede escribirse como un polinomio finito. Sin embargo, podemos calcular una serie de potencias para $f .$ En concreto, buscamos la serie Maclaurin para $f .$ Para ello, calculamos las derivadas de $f$ y evalúelas en $x = 0 .$

\begin{matrix} f (x) & = & {(1 + x)}^{r} & f (0) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & r {(1 + x)}^{r - 1} & f' (0) & = & r \\ f ″ (x) & = & r (r - 1) {(1 + x)}^{r - 2} & f ″ (0) & = & r (r - 1) \\ f ‴ (x) & = & r (r - 1) (r - 2) {(1 + x)}^{r - 3} & f ‴ (0) & = & r (r - 1) (r - 2) \\ f^{(n)} (x) & = & r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) {(1 + x)}^{r - n} & f^{(n)} (0) & = & r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) \end{matrix}

Concluimos que los coeficientes de la serie binomial están dados por

\frac{f^{(n)} (0)}{n!} = \frac{r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1)}{n!} .

(6.8)

Observamos que si $r$ es un número entero no negativo, entonces la derivada $(r + 1)$ $f^{(r + 1)}$ es la función cero, y la serie termina. Además, si $r$ es un número entero no negativo, entonces la Ecuación 6.8 para los coeficientes coincide con la Ecuación 6.6 para los coeficientes, y la fórmula de la serie binomial coincide con la Ecuación 6.7 para la expansión binomial finita. De forma más general, para denotar los coeficientes binomiales de cualquier número real $r,$ definimos

(\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) = \frac{r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1)}{n!} .

Con esta notación, podemos escribir la serie binomial para ${(1 + x)}^{r}$ como

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{r (r - 1) ⋯ (r - n + 1)}{n!} x^{n} + ⋯ .

(6.9)

Ahora tenemos que determinar el intervalo de convergencia de la serie binomial de la Ecuación 6.9. Aplicamos el criterio del cociente. Por lo tanto, consideramos

\begin{matrix} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} & = \frac{{| r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n) | x | |}^{n + 1}}{(n + 1)!} . \frac{n!}{| r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) | {| x |}^{n}} \\ = \frac{| r - n | | x |}{| n + 1 |} . \end{matrix}

Dado que

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = | x | < 1

si y solo si $| x | < 1,$ concluimos que el intervalo de convergencia para la serie binomial es $(–1, 1) .$ El comportamiento en los puntos finales depende de $r .$ Se puede demostrar que para $r \geq 0$ la serie converge en ambos puntos finales; para $−1 < r < 0,$ la serie converge en $x = 1$ y diverge en $x = −1;$ y para $r < −1,$ la serie diverge en ambos puntos finales. La serie binomial sí converge a ${(1 + x)}^{r}$ en $(–1, 1)$ para todos los números reales $r,$ pero probar este hecho mostrando que el resto $R_{n} (x) \to 0$ es difícil.

Definición

Para cualquier número real $r,$ la serie de Maclaurin para $f (x) = {(1 + x)}^{r}$ es la serie binomial. Converge a $f$ para $| x | < 1,$ y escribimos

\begin{matrix} {(1 + x)}^{r} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} \\ = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{r (r - 1) ⋯ (r - n + 1)}{n!} x^{n} + ⋯ \end{matrix}

para $| x | < 1 .$

Podemos utilizar esta definición para calcular la serie binomial de $f (x) = \sqrt{1 + x}$ y utilizar la serie para aproximar $\sqrt{1,5} .$

Ejemplo 6.17

Cálculo de series binomiales

Calcule la serie binomial para $f (x) = \sqrt{1 + x} .$
Utilice el polinomio de Maclaurin de tercer orden $p_{3} (x)$ para estimar $\sqrt{1,5} .$ Utilice el teorema de Taylor para acotar el error. Utilice una herramienta gráfica para comparar los gráficos de $f$ y $p_{3} .$

Solución

Aquí $r = \frac{1}{2} .$ Utilizando la definición de la serie binomial, obtenemos

$\begin{matrix} \sqrt{1 + x} & = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{(1 / 2) (− 1 / 2)}{2!} x^{2} + \frac{(1 / 2) (− 1 / 2) (− 3 / 2)}{3!} x^{3} + ⋯ \\ = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2!} \frac{1}{2^{2}} x^{2} + \frac{1}{3!} \frac{1.3}{2^{3}} x^{3} - ⋯ + \frac{{(–1)}^{n + 1}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 3)}{2^{n}} x^{n} + ⋯ \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 3)}{2^{n}} x^{n} . \end{matrix}$
A partir del resultado de la parte a. el polinomio de Maclaurin de tercer orden es

$p_{3} (x) = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} \sqrt{1,5} & = \sqrt{1 + 0,5} \\ \approx 1 + \frac{1}{2} (0,5) - \frac{1}{8} {(0,5)}^{2} + \frac{1}{16} {(0,5)}^{3} \\ \approx 1,2266. \end{matrix}$

A partir del teorema de Taylor, el error satisface

$R_{3} (0,5) = \frac{f^{(4)} (c)}{4!} {(0,5)}^{4}$

para algunos $c$ entre $0$ y $0,5 .$ Dado que $f^{(4)} (x) = - \frac{15}{2^{4} {(1 + x)}^{7 / 2}},$ y el valor máximo de $| f^{(4)} (x) |$ en el intervalo $(0, 0,5)$ se produce en $x = 0,$ tenemos

$| R_{3} (0,5) | \leq \frac{15}{4! 2^{4}} {(0,5)}^{4} \approx 0,00244 .$

La función y el polinomio de Maclaurin $p_{3}$ se grafican en la Figura 6.10.

Figura 6.10 El polinomio de Maclaurin de tercer orden $p_{3} (x)$ proporciona una buena aproximación para $f (x) = \sqrt{1 + x}$ para $x$ cerca de cero.

Punto de control 6.16

Calcule la serie binomial para $f (x) = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} .$

Funciones comunes expresadas como series de Taylor

En este punto, hemos derivado las series de Maclaurin para funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas, así como para funciones de la forma $f (x) = {(1 + x)}^{r} .$ En la Tabla 6.1, resumimos los resultados de estas series. Observamos que la convergencia de la serie de Maclaurin para $f (x) = ln (1 + x)$ en el punto final $x = 1$ y la serie de Maclaurin para $f (x) = {tan}^{−1} x$ en los puntos finales $x = 1$ y $x = −1$ se basa en un teorema más avanzado que el que presentamos aquí. (Consulte el teorema de Abel para ver este punto más técnico).

Función	Serie de Maclaurin	Intervalo de convergencia
$f (x) = \frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$	$−1 < x < 1$
$f (x) = e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$	$– \infty < x < \infty$
$f (x) = sen x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$	$– \infty < x < \infty$
$f (x) = cos x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$	$– \infty < x < \infty$
$f (x) = ln (1 + x)$ grandes.	$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}$	$−1 < x \leq 1$
$f (x) = {tan}^{−1} x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}$	$−1 \leq x \leq 1$
$f (x) = {(1 + x)}^{r}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n}$	$−1 < x < 1$

Tabla 6.1 Serie de Maclaurin para funciones comunes

Anteriormente en el capítulo, mostramos cómo se pueden combinar las series de potencias para crear nuevas series de potencias. Aquí utilizamos estas propiedades, combinadas con las series de Maclaurin en la Tabla 6.1, para crear series de Maclaurin para otras funciones.

Ejemplo 6.18

Derivar series de Maclaurin a partir de una serie conocida

Calcule la serie de Maclaurin de cada una de las siguientes funciones utilizando una de las series que aparecen en la Tabla 6.1.

$f (x) = cos \sqrt{x}$
$f (x) = senoh x$

Solución

Utilizando la serie de Maclaurin para $cos x$ calculamos que la serie de Maclaurin para $cos \sqrt{x}$ está dado por

$\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} {(\sqrt{x})}^{2 n}}{(2 n)!} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} x^{n}}{(2 n)!} \\ = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{4!} - \frac{x^{3}}{6!} + \frac{x^{4}}{8!} - ⋯ . \end{matrix}$

Esta serie converge a $cos \sqrt{x}$ para todos los valores $x$ en el dominio de $cos \sqrt{x};$ es decir, para todo $x \geq 0 .$
Para calcular la serie de Maclaurin para $senoh x,$ utilizamos el hecho de que

$senoh x = \frac{e^{x} - e^{– x}}{2} .$

Utilizando la serie de Maclaurin para $e^{x},$ vemos que el $ené simo$ término de la serie de Maclaurin para $senoh x$ está dado por

$\frac{x^{n}}{n!} - \frac{{(− x)}^{n}}{n!} .$

Para $n$ par, este término es cero. Para $n$ impar, este término es $\frac{2 x^{n}}{n!} .$ Por lo tanto, la serie de Maclaurin para $senoh x$ solo tiene términos de orden impar y está dada por

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + ⋯ .$

Punto de control 6.17

Calcule la serie de Maclaurin para $sen (x^{2}) .$

También mostramos anteriormente en este capítulo cómo las series de potencias pueden diferenciarse término a término para crear una nueva serie de potencias. En el Ejemplo 6.19, diferenciamos la serie binomial para $\sqrt{1 + x}$ término a término para calcular la serie binomial para $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} .$ Observe que podríamos construir la serie binomial para $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ directamente de la definición, pero diferenciando la serie binomial para $\sqrt{1 + x}$ es un cálculo más fácil.

Ejemplo 6.19

Diferenciar una serie para calcular una nueva serie

Utilice la serie binomial para $\sqrt{1 + x}$ para calcular la serie binomial para $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} .$

Solución

Las dos funciones están relacionadas por

\frac{d}{d x} \sqrt{1 + x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}},

por lo que la serie binomial para $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ está dada por

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} & = 2 \frac{d}{d x} \sqrt{1 + x} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n} . \end{matrix}

Punto de control 6.18

Calcule la serie binomial para $f (x) = \frac{1}{{(1 + x)}^{3 / 2}}$

En este ejemplo, diferenciamos una serie de Taylor conocida para construir una serie de Taylor para otra función. La capacidad de diferenciar las series de potencias término a término las convierte en una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales. A continuación mostramos cómo se logra esto.

Resolución de ecuaciones diferenciales con series de potencias

Considere la ecuación diferencial

y^{'} (x) = y .

Recordemos que se trata de una ecuación separable de primer orden y su solución es $y = C e^{x} .$ Esta ecuación se resuelve fácilmente utilizando las técnicas discutidas anteriormente en el texto. Sin embargo, para la mayoría de las ecuaciones diferenciales aún no disponemos de herramientas analíticas para resolverlas. Las series de potencias son una herramienta extremadamente útil para resolver muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En esta técnica, buscamos una solución de la forma $y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y determinar cuáles serían los coeficientes necesarios. En el siguiente ejemplo, consideramos un problema de valor inicial que implica $y^{'} = y$ para ilustrar la técnica.

Ejemplo 6.20

Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial

Utilice la serie de potencias para resolver el problema de valor inicial

y^{'} = y, y (0) = 3 .

Solución

Supongamos que existe una solución en serie de potencias

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + ⋯ .

Diferenciando esta serie término a término, obtenemos

y^{'} = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{4} x^{3} + ⋯ .

Si y satisface la ecuación diferencial, entonces

c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯ = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{3} x^{3} + ⋯ .

Utilizando la Singularidad de las series de potencias sobre la singularidad de las representaciones en series de potencias, sabemos que estas series solo pueden ser iguales si sus coeficientes son iguales. Por lo tanto,

\begin{matrix} c_{0} = c_{1}, \\ c_{1} = 2 c_{2}, \\ c_{2} = 3 c_{3}, \\ c_{3} = 4 c_{4}, \\ ⋮ . \end{matrix}

Utilizando la condición inicial $y (0) = 3$ combinada con la representación en serie de potencias

y (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯,

hallamos que $c_{0} = 3 .$ Ahora estamos preparados para resolver el resto de los coeficientes. Si utilizamos el hecho de que $c_{0} = 3,$ tenemos

\begin{matrix} c_{1} = c_{0} = 3 = \frac{3}{1!}, \\ c_{2} = \frac{c_{1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2!}, \\ c_{3} = \frac{c_{2}}{3} = \frac{3}{3.2} = \frac{3}{3!}, \\ c_{4} = \frac{c_{3}}{4} = \frac{3}{4.3.2} = \frac{3}{4!} . \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} y & = 3 [1 + \frac{1}{1!} x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} \frac{1}{4!} x^{4} + ⋯] \\ = 3 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} . \end{matrix}

Puede que reconozca

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

como la serie de Taylor para $e^{x} .$ Por lo tanto, la solución es $y = 3 e^{x} .$

Punto de control 6.19

Utilice las series de potencias para resolver $y^{'} = 2 y, y (0) = 5 .$

Consideramos ahora un ejemplo que involucra una ecuación diferencial que no podemos resolver con los métodos discutidos previamente. Esta ecuación diferencial

y^{'} - x y = 0

se conoce como la ecuación de Airy. Tiene muchas aplicaciones en física matemática, como el modelado de la difracción de la luz. Aquí mostramos cómo resolverla utilizando series de potencias.

Ejemplo 6.21

Solución en series de potencias de la ecuación de Airy

Utilice las series de potencias para resolver

y ″ - x y = 0

con las condiciones iniciales $y (0) = a$ y $y' (0) = b .$

Solución

Buscamos una solución de la forma

y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + ⋯ .

Diferenciando esta función término a término, obtenemos

\begin{matrix} y^{'} & = & c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{4} x^{3} + ⋯, \\ y ″ & = & 2.1 c_{2} + 3.2 c_{3} x + 4.3 c_{4} x^{2} + ⋯ . \end{matrix}

Si y satisface la ecuación $y ″ = x y,$ entonces

2.1 c_{2} + 3.2 c_{3} x + 4.3 c_{4} x^{2} + ⋯ = x (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯) .

Utilizando la Singularidad de las series de potencias sobre la singularidad de las representaciones en series de potencias, sabemos que los coeficientes del mismo orden deben ser iguales. Por lo tanto,

\begin{matrix} 2.1 c_{2} = 0, \\ 3.2 c_{3} = c_{0}, \\ 4.3 c_{4} = c_{1}, \\ 5.4 c_{5} = c_{2}, \\ ⋮ . \end{matrix}

En general, para $n \geq 3,$ tenemos $n . (n - 1) c_{n} = c_{n - 3} .$ De hecho, todos los coeficientes se pueden escribir en términos de $c_{0}$ y $c_{1} .$ Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que $c_{2} = 0 .$ Entonces

\begin{matrix} c_{3} = \frac{c_{0}}{3.2}, \\ c_{4} = \frac{c_{1}}{4.3} . \end{matrix}

Para $c_{5}, c_{6}, c_{7},$ vemos que

\begin{matrix} c_{5} = \frac{c_{2}}{5.4} = 0, \\ c_{6} = \frac{c_{3}}{6.5} = \frac{c_{0}}{6.5.3.2}, \\ c_{7} = \frac{c_{4}}{7.6} = \frac{c_{1}}{7.6.4.3} . \end{matrix}

Por lo tanto, la solución en serie de la ecuación diferencial está dada por

y = c_{0} + c_{1} x + 0 . x^{2} + \frac{c_{0}}{3.2} x^{3} + \frac{c_{1}}{4.3} x^{4} + 0 . x^{5} + \frac{c_{0}}{6.5.3.2} x^{6} + \frac{c_{1}}{7.6.4.3} x^{7} + ⋯ .

La condición inicial $y (0) = a$ implica $c_{0} = a .$ Diferenciando esta serie término a término y utilizando el hecho de que $y^{'} (0) = b,$ concluimos que $c_{1} = b .$ Por lo tanto, la solución de este problema de valor inicial es

y = a (1 + \frac{x^{3}}{3.2} + \frac{x^{6}}{6.5.3.2} + ⋯) + b (x + \frac{x^{4}}{4.3} + \frac{x^{7}}{7.6.4.3} + ⋯) .

Punto de control 6.20

Utilice las series de potencias para resolver $y ″ + x^{2} y = 0$ con la condición inicial $y (0) = a$ y $y^{'} (0) = b .$

Evaluación de integrales no elementales

La resolución de ecuaciones diferenciales es una aplicación común de las series de potencias. Pasamos ahora a una segunda aplicación. Mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para evaluar integrales en las que intervienen funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar mediante funciones elementales.

Una integral que surge con frecuencia en las aplicaciones de la teoría de la probabilidad es $\int e^{– x^{2}} d x .$ Desafortunadamente, la antiderivada del integrando $e^{– x^{2}}$ no es una función elemental. Por función elemental entendemos una función que puede escribirse mediante un número finito de combinaciones algebraicas o composiciones de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o potencias. Observamos que el término "función elemental" no es sinónimo de función no complicada. Por ejemplo, la función $f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x} + e^{x^{3}} - sen (5 x + 4)$ es una función elemental, aunque no es una función que se vea muy sencilla. Cualquier integral de la forma $\int f (x) d x$ donde la antiderivada de $f$ no se pueda escribir como una función elemental se considera una integral no elemental.

Las integrales no elementales no pueden evaluarse con las técnicas básicas de integración que se han comentado anteriormente. Una forma de evaluar estas integrales es expresando el integrando como una serie de potencias e integrando término a término. Demostramos esta técnica considerando $\int e^{– x^{2}} d x .$

Ejemplo 6.22

Uso de las series de Taylor para evaluar una integral definida

Exprese $\int e^{– x^{2}} d x$ como una serie infinita.
Evalúe $\int_{0}^{1} e^{– x^{2}} d x$ con un error de $0,01 .$

Solución

La serie de Maclaurin para $e^{– x^{2}}$ está dada por

$\begin{matrix} e^{– x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(− x^{2})}^{n}}{n!} \\ = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} . \end{matrix}$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} \int e^{– x^{2}} d x & = \int (1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5.2!} - \frac{x^{7}}{7.3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!} + ⋯ . \end{matrix}$
Utilizando el resultado de la parte a. tenemos

$\int_{0}^{1} e^{– x^{2}} d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - ⋯ .$

La suma de los cuatro primeros términos es aproximadamente $0,74 .$ Mediante la prueba de series alternadas, esta estimación es precisa con un error inferior a $\frac{1}{216} \approx 0,0046296 < 0,01 .$

Punto de control 6.21

Exprese $\int cos \sqrt{x} d x$ como una serie infinita. Evalúe $\int_{0}^{1} cos \sqrt{x} d x$ con un error de $0,01 .$

Como se ha mencionado anteriormente, la integral $\int e^{– x^{2}} d x$ surge a menudo en la teoría de la probabilidad. En concreto, se utiliza cuando se estudian conjuntos de datos que se distribuyen normalmente, lo que significa que los valores de los datos se encuentran bajo una curva en forma de campana. Por ejemplo, si un conjunto de valores de datos se distribuye normalmente con la media $μ$ y desviación típica $σ,$ entonces la probabilidad de que un valor elegido al azar se encuentre entre $x = a$ y $x = b$ está dada por

\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{a}^{b} e^{− {(x - μ)}^{2} / (2 σ^{2})} d x .

(6.10)

(Vea la Figura 6.11).

Este gráfico es la distribución normal. Es una curva en forma de campana con el punto más alto por encima de mu en el eje x. Además, hay un área sombreada bajo la curva por encima del eje x. El área sombreada está delimitada por alfa a la izquierda y b a la derecha.

Figura 6.11 Si los valores de los datos se distribuyen normalmente con la media

μ

y desviación típica

σ,

la probabilidad de que un valor de datos seleccionado al azar esté entre

a

y

b

es el área bajo la curva

y = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / (2 σ^{2})}

entre

x = a

y

x = b .

Para simplificar esta integral, por lo general suponemos que $z = \frac{x - μ}{σ} .$ Esta cantidad $z$ se conoce como la puntuación $z$ de un valor de datos. Con esta simplificación, la integral de la Ecuación 6.10 se convierte en

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{(a - μ) / σ}^{(b - μ) / σ} e^{− z^{2} / 2} d z .

(6.11)

En el Ejemplo 6.23, mostramos cómo podemos utilizar esta integral en el cálculo de probabilidades.

Ejemplo 6.23

Uso de las series de Maclaurin para aproximar una probabilidad

Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media $μ = 100$ y desviación típica $σ = 50 .$ Utilice la Ecuación 6.11 y los seis primeros términos de la serie de Maclaurin para $e^{– x^{2} / 2}$ para aproximar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre $x = 100$ y $x = 200 .$ Utilice la prueba de las series alternadas para determinar la precisión de su aproximación.

Solución

Dado que $μ = 100, σ = 50,$ y estamos tratando de determinar el área bajo la curva de $a = 100$ a $b = 200,$ la integral de la Ecuación 6.11 se convierte en

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{2} e^{− z^{2} / 2} d z .

La serie de Maclaurin para $e^{– x^{2} / 2}$ está dada por

\begin{matrix} e^{– x^{2} / 2} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- \frac{x^{2}}{2})}^{n}}{n!} \\ = 1 - \frac{x^{2}}{2^{1} . 1!} + \frac{x^{4}}{2^{2} . 2!} - \frac{x^{6}}{2^{3} . 3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{n} . n!} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2}^{n}}{2^{n} . n!} . \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int e^{− z^{2} / 2} d z & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int (1 - \frac{z^{2}}{2^{1} . 1!} + \frac{z^{4}}{2^{2} . 2!} - \frac{z^{6}}{2^{3} . 3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{z^{2 n}}{2^{n} . n!} + ⋯) d z \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} (C + z - \frac{z^{3}}{3 . 2^{1} . 1!} + \frac{z^{5}}{5 . 2^{2} . 2!} - \frac{z^{7}}{7 . 2^{3} . 3!} + ⋯ + {(–1)}^{n} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1) 2^{n} . n!} + ⋯) \\ \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{2} e^{− z^{2} / 2} d z & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} (2 - \frac{8}{6} + \frac{32}{40} - \frac{128}{336} + \frac{512}{3456} - \frac{2^{11}}{11 . 2^{5} . 5!} + ⋯) . \end{matrix}

Utilizando los cinco primeros términos, estimamos que la probabilidad es aproximadamente $0,4922 .$ Mediante la prueba de las series alternadas, vemos que esta estimación es exacta con una precisión de

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{13}}{13 . 2^{6} . 6!} \approx 0,00546 .

Análisis

Si está familiarizado con la teoría de la probabilidad, sabrá que la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre dentro de dos desviaciones típicas de la media es aproximadamente $95 % .$ Aquí calculamos la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre entre la media y dos desviaciones típicas por encima de la media, por lo que la estimación debería estar en torno a $47,5 % .$ La estimación, combinada con el límite de la exactitud, se encuentra dentro de este rango.

Punto de control 6.22

Utilice los cinco primeros términos de la serie de Maclaurin para $e^{– x^{2} / 2}$ para estimar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre $100$ y $150 .$ Utilice la prueba de series alternadas para determinar la exactitud de esta estimación.

Otra aplicación en la que surge una integral no elemental es el periodo de un péndulo. La integral es

\int_{0}^{π / 2} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} {sen}^{2} θ}} .

Una integral de esta forma se conoce como integral elíptica de primer tipo. Las integrales elípticas surgieron originalmente cuando se intentaba calcular la longitud de arco de una elipse. Ahora mostramos cómo utilizar las series de potencias para aproximar esta integral.

Ejemplo 6.24

Periodo de un péndulo

El periodo de un péndulo es el tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa de ida y vuelta. Para un péndulo con longitud $L$ que forma un ángulo máximo $θ_{max}$ con la vertical, su periodo $T$ está dada por

T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} {sen}^{2} θ}}

donde $g$ es la aceleración debido a la gravedad y $k = sen (\frac{θ_{máx.}}{2})$ (vea la Figura 6.12). (Observamos que esta fórmula para el periodo surge de un modelo no linealizado de un péndulo. En algunos casos, para simplificar, se utiliza un modelo linealizado y $sen θ$ se aproxima por $θ .)$ Utilice la serie binomial

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n}

para estimar el periodo de este péndulo. Específicamente, aproxime el periodo del péndulo si

se utiliza solo el primer término de la serie binomial, y
se utilizan los dos primeros términos de la serie binomial

Figura 6.12 Este péndulo tiene una longitud $L$ y forma un ángulo máximo $θ_{max}$ con la vertical.

Solución

Utilizamos la serie binomial, sustituyendo $x$ con $− k^{2} {sen}^{2} θ .$ Entonces podemos escribir el periodo como

T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sen}^{2} θ + \frac{1.3}{2! 2^{2}} k^{4} {sen}^{4} θ + ⋯) d θ .

Utilizando solo el primer término del integrando, la estimación de primer orden es

$T \approx 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} d θ = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} .$

Si $θ_{max}$ es pequeño, entonces $k = sen (\frac{θ_{máx.}}{2})$ es pequeño. Afirmamos que cuando $k$ es pequeño, es una buena estimación. Para justificar esta afirmación, considere

$\int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sen}^{2} θ + \frac{1.3}{2! 2^{2}} k^{4} {sen}^{4} θ + ⋯) d θ .$

Dado que $| sen x | \leq 1,$ esta integral está delimitada por

$\int_{0}^{π / 2} (\frac{1}{2} k^{2} + \frac{1.3}{2! 2^{2}} k^{4} + ⋯) d θ < \frac{π}{2} (\frac{1}{2} k^{2} + \frac{1.3}{2! 2^{2}} k^{4} + ⋯) .$

Además, se puede demostrar que cada coeficiente del lado derecho es menor que $1$ y, por tanto, que esta expresión está delimitada por

$\frac{π k^{2}}{2} (1 + k^{2} + k^{4} + ⋯) = \frac{π k^{2}}{2} . \frac{1}{1 - k^{2}},$

que es pequeño para $k$ pequeño.
Para valores mayores de $θ_{max},$ podemos aproximar $T$ utilizando más términos en el integrando. Utilizando los dos primeros términos de la integral, llegamos a la estimación

$\begin{matrix} T & \approx 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sen}^{2} θ) d θ \\ = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4}) . \end{matrix}$

Las aplicaciones de las series de Taylor en esta sección pretenden destacar su importancia. En general, las series de Taylor son útiles porque nos permiten representar funciones conocidas mediante polinomios, proporcionándonos así una herramienta para aproximar valores de funciones y estimar integrales complicadas. Además, nos permiten definir nuevas funciones como series de potencias, lo que nos proporciona una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales.

Sección 6.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para escribir la serie de Maclaurin para el binomio dado.

174.

${(1 - x)}^{1 / 3}$

175.

${(1 + x^{2})}^{–1 / 3}$

176.

${(1 - x)}^{1,01}$

177.

${(1 - 2 x)}^{2 / 3}$

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución ${(b + x)}^{r} = {(b + a)}^{r} {(1 + \frac{x - a}{b + a})}^{r}$ en la expansión binomial para calcular la serie de Taylor de cada función con el centro dado.

178.

$\sqrt{x + 2}$ en $a = 0$

179.

$\sqrt{x^{2} + 2}$ en $a = 0$

180.

$\sqrt{x + 2}$ en $a = 1$

181.

$\sqrt{2 x - x^{2}}$ en $a = 1$ (Pista: $2 x - x^{2} = 1 - {(x - 1)}^{2})$ grandes.

182.

${(x - 8)}^{1 / 3}$ en $a = 9$

183.

$\sqrt{x}$ en $a = 4$

184.

$x^{1 / 3}$ en $a = 27$

185.

$\sqrt{x}$ en $x = 9$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para estimar cada número, calculando suficientes términos para obtener una estimación precisa con un error de como máximo $1 / 1.000 dólares.$

186.

[T] ${(15)}^{1 / 4}$ utilizando ${(16 - x)}^{1 / 4}$

187.

[T] ${(1001)}^{1 / 3}$ utilizando ${(1.000 + x)}^{1 / 3}$

En los siguientes ejercicios, utilice la aproximación binomial $\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{128} - \frac{7 x^{5}}{256}$ para $| x | < 1$ para aproximar cada número. Compare este valor con el valor dado por una calculadora científica.

188.

[T] $\frac{1}{\sqrt{2}}$ utilizando $x = \frac{1}{2}$ en ${(1 - x)}^{1 / 2}$

189.

[T] $\sqrt{5} = 5 \times \frac{1}{\sqrt{5}}$ utilizando $x = \frac{4}{5}$ en ${(1 - x)}^{1 / 2}$

190.

[T] $\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}$ utilizando $x = \frac{2}{3}$ en ${(1 - x)}^{1 / 2}$

191.

[T] $\sqrt{6}$ utilizando $x = \frac{5}{6}$ en ${(1 - x)}^{1 / 2}$

192.

Integre la aproximación binomial de $\sqrt{1 - x}$ para calcular una aproximación de $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t} d t .$

193.

[T] Recordemos que el gráfico de $\sqrt{1 - x^{2}}$ es un semicírculo superior de radio $1 .$ Integre la aproximación binomial de $\sqrt{1 - x^{2}}$ al orden $8$ de $x = −1$ a $x = 1$ para estimar $\frac{π}{2} .$

En los siguientes ejercicios, utilice la expansión ${(1 + x)}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{5}{81} x^{3} - \frac{10}{243} x^{4} + ⋯$ para escribir los cinco primeros términos (no necesariamente un polinomio cuaternario) de cada expresión.

194.

${(1 + 4 x)}^{1 / 3}; a = 0$

195.

${(1 + 4 x)}^{4 / 3}; a = 0$

196.

${(3 + 2 x)}^{1 / 3}; a = –1$

197.

${(x^{2} + 6 x + 10)}^{1 / 3}; a = −3$

198.

Utilice ${(1 + x)}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{5}{81} x^{3} - \frac{10}{243} x^{4} + ⋯$ con $x = 1$ para aproximar a $2^{1 / 3} .$

199.

Utilice la aproximación ${(1 - x)}^{2 / 3} = 1 - \frac{2 x}{3} - \frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x^{3}}{81} - \frac{7 x^{4}}{243} - \frac{14 x^{5}}{729} + ⋯$ para $| x | < 1$ para aproximar a $2^{1 / 3} = {2,2}^{−2 / 3} .$

200.

Calcule la $25 −ésima$ derivada de $f (x) = {(1 + x^{2})}^{13}$ en $x = 0 .$

201.

Calcule la $99$ −ésima derivada de $f (x) = {(1 + x^{4})}^{25} .$

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de cada función.

202.

$f (x) = x e^{2 x}$

203.

$f (x) = 2^{x}$

204.

$f (x) = \frac{sen x}{x}$

205.

$f (x) = \frac{sen (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}, (x > 0),$

206.

$f (x) = sen (x^{2})$ grandes.

207.

$f (x) = e^{x^{3}}$

208.

$f (x) = {cos}^{2} x$ utilizando la identidad ${cos}^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)$ grandes.

209.

$f (x) = {sen}^{2} x$ utilizando la identidad ${sen}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ integrando la serie de Maclaurin de $f$ término a término. Si $f$ no está estrictamente definida en cero, puede sustituir el valor de la serie de Maclaurin en cero.

210.

$F (x) = \int_{0}^{x} e^{− t^{2}} d t; f (t) = e^{− t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{n!}$

211.

$F (x) = {tan}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{1 + t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} t^{2 n}$

212.

$F (x) = {tanh}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{1 - t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} t^{2 n}$

213.

$F (x) = {sen}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ k \end{matrix}) \frac{t^{2 k}}{k!}$

214.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{sen t}{t} d t; f (t) = \frac{sen t}{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n + 1)!}$

215.

$F (x) = \int_{0}^{x} cos (\sqrt{t}) d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{(2 n)!}$

216.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - cos t}{t^{2}} d t; f (t) = \frac{1 - cos t}{t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n + 2)!}$

217.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{ln (1 + t)}{t} d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{n}}{n + 1}$

En los siguientes ejercicios, calcule al menos los tres primeros términos distintos de cero (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie de Maclaurin de $f .$

218.

$f (x) = sen (x + \frac{π}{4}) = sen x cos (\frac{π}{4}) + cos x sen (\frac{π}{4})$ grandes.

219.

$f (x) = tan x$

220.

$f (x) = ln (cos x)$ grandes.

221.

$f (x) = e^{x} cos x$

222.

$f (x) = e^{sen x}$

223.

$f (x) = {sec}^{2} x$

224.

$f (x) = tanh x$

225.

$f (x) = \frac{tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ (vea la expansión para $tan x)$

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de la serie de Maclaurin de cada función.

226.

$ln (1 + x)$ grandes.

227.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

228.

${tan}^{−1} x$

229.

$ln (1 + x^{2})$ grandes.

230.

Calcule la serie de Maclaurin de $senoh x = \frac{e^{x} - e^{– x}}{2} .$

231.

Calcule la serie de Maclaurin de $cosh x = \frac{e^{x} + e^{– x}}{2} .$

232.

Diferencie término a término la serie de Maclaurin de $senoh x$ y compare el resultado con la serie de Maclaurin de $cosh x .$

233.

[T] Supongamos que $S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$ y $C_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{n} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$ denotan los respectivos polinomios de Maclaurin de orden $2 n + 1$ de $sen x$ y orden $2 n$ de $cos x .$ Grafique los errores $\frac{S_{n} (x)}{C_{n} (x)} - tan x$ para $n = 1, .., 5$ y compárelos con $x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} - tan x$ en $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}) .$

234.

Utilice la identidad $2 sen x cos x = sen (2 x)$ para calcular la expansión en serie de la potencia de ${sen}^{2} x$ en $x = 0 .$ (Pista: Integre la serie de Maclaurin de $sen (2 x)$ término a término).

235.

Si $y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n},$ calcule las expansiones en serie de potencias de $x y^{'}$ y $x^{2} y ″ .$

236.

[T] Supongamos que $y = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ satisface $y^{'} = –2 x y$ y $y (0) = 0 .$ Demuestre que $a_{2 k + 1} = 0$ para todo $k$ y que $a_{2 k + 2} = \frac{− a_{2 k}}{k + 1} .$ Grafique la suma parcial $S_{20}$ de $y$ en el intervalo $[−4, 4] .$

237.

[T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media $μ = 100$ y desviación típica $σ = 10 .$ Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre $90$ y $110$ y utilice la integral del orden $10$ Polinomio de Maclaurin de $\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{– x^{2} / 2}$ para estimar esta probabilidad.

238.

[T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media $μ = 100$ y desviación típica $σ = 10 .$ Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre $70$ y $130$ y utilice la integral del orden $50$ Polinomio de Maclaurin de $\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{– x^{2} / 2}$ para estimar esta probabilidad.

239.

[T] Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge a una función $f (x)$ tal que $f (0) = 1, f^{'} (0) = 0,$ y $f ″ (x) = − f (x) .$ Halle una fórmula para $a_{n}$ y grafique la suma parcial $S_{N}$ para $N = 20$ en $[−5, 5] .$

240.

[T] Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge a una función $f (x)$ tal que $f (0) = 0, f^{'} (0) = 1,$ y $f ″ (x) = − f (x) .$ Halle una fórmula para $a_{n}$ y grafique la suma parcial $S_{N}$ para $N = 10$ en $[−5, 5] .$

241.

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge a una función $y$ tal que $y ″ - y^{'} + y = 0$ donde $y (0) = 1$ y $y' (0) = 0 .$ Halle una fórmula que relacione $a_{n + 2}, a_{n + 1},$ y $a_{n}$ y calcule $a_{0}, ..., a_{5} .$

242.

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge a una función $y$ tal que $y ″ - y^{'} + y = 0$ donde $y (0) = 0$ y $y^{'} (0) = 1 .$ Halle una fórmula que relacione $a_{n + 2}, a_{n + 1},$ y $a_{n}$ y calcule $a_{1}, ..., a_{5} .$

El error de aproximación de la integral $\int_{a}^{b} f (t) d t$ por la de una aproximación de Taylor $\int_{a}^{b} P_{n} (t) d t$ es como máximo $\int_{a}^{b} R_{n} (t) d t .$ En los siguientes ejercicios, la estimación del resto de Taylor $R_{n} \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}$ garantiza que la integral del polinomio de Taylor del orden dado se aproxima a la integral de $f$ con un error inferior a $\frac{1}{10} .$

Evalúe la integral del polinomio de Taylor correspondiente y verifique que se aproxima al valor del CAS con un error inferior a $\frac{1}{100} .$
Compare la exactitud de la estimación de la integral polinómica con la estimación del resto.

243.

[T] $\int_{0}^{π} \frac{sen t}{t} d t; P_{s} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!}$ (Puede suponer que el valor absoluto de la novena derivada de $\frac{sen t}{t}$ está delimitada por $0,1 .)$

244.

[T] $\int_{0}^{2} e^{– x^{2}} d x; p_{11} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ - \frac{x^{22}}{11!}$ (Puede suponer que el valor absoluto de la $23 .º$ derivada de $e^{– x^{2}}$ es menor que $2 \times 10^{14} .)$

Los siguientes ejercicios tratan con las integrales de Fresnel.

245.

Las integrales de Fresnel están definidas por $C (x) = \int_{0}^{x} cos (t^{2}) d t$ y $S (x) = \int_{0}^{x} sen (t^{2}) d t .$ Calcule la serie de potencias de $C (x)$ y $S (x)$ y grafique las sumas $C_{N} (x)$ y $S_{N} (x)$ de los primeros $N = 50$ términos distintos de cero en $[0, 2 π] .$

246.

[T] Las integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño de carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas $(C (t), S (t)) .$ Grafique la curva $(C_{50}, S_{50})$ para $0 \leq t \leq 2 π,$ cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior.

247.

Estime $\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x - x^{2}} d x$ aproximando $\sqrt{1 - x}$ utilizando la aproximación binomial $1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{2128} - \frac{7 x^{5}}{256} .$

248.

[T] Utilice la aproximación de Newton del binomio $\sqrt{1 - x^{2}}$ para aproximar a $π$ de la siguiente forma. El círculo centrado en $(\frac{1}{2}, 0)$ con radio $\frac{1}{2}$ tiene un semicírculo superior $y = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} .$ El sector de este círculo delimitado por el eje $x$ entre $x = 0$ y $x = \frac{1}{2}$ y por la línea que une $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ corresponde a $\frac{1}{6}$ del círculo y tiene área $\frac{π}{24} .$ Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura $\frac{\sqrt{3}}{4}$ y base $\frac{1}{4}$ y la región por debajo del gráfico entre $x = 0$ y $x = \frac{1}{4} .$ Para hallar el área de esta región se puede escribir $y = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} \times (expansión binomial de \sqrt{1 - x})$ e integrar término a término. Utilice este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar $π .$

249.

Utilice la aproximación $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4})$ para aproximar el periodo de un péndulo que tiene una longitud de $10$ metros y un ángulo máximo de $θ_{max} = \frac{π}{6}$ donde $k = sen (\frac{θ_{máx.}}{2}) .$ Compare esto con la estimación del ángulo pequeño $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} .$

250.

Supongamos que un péndulo debe tener un periodo de $2$ segundos y un ángulo máximo de $θ_{max} = \frac{π}{6} .$ Utilice $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4})$ para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud se predice con la estimación del ángulo pequeño $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} ?$

251.

Evalúe $\int_{0}^{π / 2} {sen}^{4} θ d θ$ en la aproximación $T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sen}^{2} θ + \frac{3}{8} k^{4} {sen}^{4} θ + ⋯) d θ$ para obtener una estimación mejorada de $T .$

252.

[T] Una fórmula equivalente para el periodo de un péndulo con amplitud $θ_{max}$ es $T (θ_{max}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{θ_{max}} \frac{d θ}{\sqrt{cos θ} - cos (θ_{max})}$ donde $L$ es la longitud del péndulo y $g$ es la constante de aceleración gravitatoria. Cuando $θ_{max} = \frac{π}{3}$ obtenemos $\frac{1}{\sqrt{cos t - 1 / 2}} \approx \sqrt{2} (1 + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{4}}{3} + \frac{181 t^{6}}{720}) .$ Integre esta aproximación para estimar $T (\frac{π}{3})$ en términos de $L$ y $g .$ Suponiendo que $g = 9,806$ metros por segundo al cuadrado, halle una longitud aproximada $L$ tal que $T (\frac{π}{3}) = 2$ segundos.

6.4 Trabajar con la serie de Taylor

La serie binomial

Cálculo de series binomiales

Solución

Funciones comunes expresadas como series de Taylor

Derivar series de Maclaurin a partir de una serie conocida

Solución

Diferenciar una serie para calcular una nueva serie

Solución

Resolución de ecuaciones diferenciales con series de potencias

Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial

Solución

Solución en series de potencias de la ecuación de Airy

Solución

Evaluación de integrales no elementales

Uso de las series de Taylor para evaluar una integral definida

Solución

Uso de las series de Maclaurin para aproximar una probabilidad

Solución

Análisis

Periodo de un péndulo

Solución

Sección 6.4 ejercicios