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Cálculo volumen 2

Términos clave

Cálculo volumen 2Términos clave

Términos clave

diferenciación término a término de una serie de potencias
técnica para evaluar la derivada de una serie de potencias ∑n=0∞cn(x–a)n∑n=0∞cn(x–a)n evaluando la derivada de cada término por separado para crear la nueva serie de potencias ∑n=1∞ncn(x–a)n–1∑n=1∞ncn(x–a)n–1
integración término a término de una serie de potencias
técnica para integrar una serie de potencias ∑n=0∞cn(x–a)n∑n=0∞cn(x–a)n integrando cada término por separado para crear la nueva serie de potencias C+∑n=0∞cn(x–a)n+1n+1C+∑n=0∞cn(x–a)n+1n+1
integral no elemental
integral para la que la antiderivada del integrando no puede expresarse como una función elemental
intervalo de convergencia
conjunto de números reales x para los que converge una serie de potencias
Polinomio de Maclaurin
un polinomio de Taylor centrado en 0; el enésimo polinomio de Taylor para ff en 0 es el enésimo polinomio de Maclaurin para ff
polinomios de Taylor
el enésimo polinomio de Taylor para ff en x=ax=a es pn(x)=f(a)+f′(a)(x–a)+f″(a)2 !(x–a)2 +⋯+f(n)(a)n!(x–a)npn(x)=f(a)+f′(a)(x–a)+f″(a)2 !(x–a)2 +⋯+f(n)(a)n!(x–a)n
radio de convergencia
si existe un número real R>0R>0 tal que una serie de potencias centrada en x=ax=a converge para |x–a|<R|x–a|<R y diverge para |x–a|>R,|x–a|>R, entonces R es el radio de convergencia; si la serie de potencias solo converge en x=a,x=a, el radio de convergencia es R=0;R=0; si la serie de potencias converge para todos los números reales x, el radio de convergencia es R=∞R=∞
serie binomial
la serie de Maclaurin para f(x)=(1+x)r;f(x)=(1+x)r; está dada por
 (1+x)r=∑n=0∞(rn)xn=1+rx+r(r−1)2 !x2 +⋯+r(r−1)⋯(r−n+1)n!xn+⋯(1+x)r=∑n=0∞(rn)xn=1+rx+r(r−1)2 !x2 +⋯+r(r−1)⋯(r−n+1)n!xn+⋯ para |x|<1|x|<1
serie de Maclaurin
una serie de Taylor para una función ff en x=0x=0 se conoce como serie de Maclaurin para ff
serie de potencias
una serie de la forma ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn es una serie de potencias centrada en x=0;x=0; una serie de la forma ∑n=0∞cn(x–a)n∑n=0∞cn(x–a)n es una serie de potencias centrada en x=ax=a
serie de Taylor
una serie de potencias en a que converge a una función ff en algún intervalo abierto que contenga a
teorema de Taylor con resto
para una función ff y el enésimo polinomio de Taylor para ff en x=a,x=a, el resto Rn(x)=f(x)−pn(x)Rn(x)=f(x)−pn(x) satisface Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x–a)n+1Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x–a)n+1
 para algún c entre x y a; si existe un intervalo I que contiene a y un número real M tal que |f(n+1)(x)|≤M|f(n+1)(x)|≤M para todo x en I, entonces |Rn(x)|≤M(n+1)!|x–a|n+1|Rn(x)|≤M(n+1)!|x–a|n+1
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