Términos clave

Términos clave

diferenciación término a término de una serie de potencias

técnica para evaluar la derivada de una serie de potencias ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\left(x–a\right)}^n}$ evaluando la derivada de cada término por separado para crear la nueva serie de potencias ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{c}_n{\left(x–a\right)}^{n–1}}$

integración término a término de una serie de potencias

técnica para integrar una serie de potencias ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\left(x–a\right)}^n}$ integrando cada término por separado para crear la nueva serie de potencias $C+{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{{\left(x–a\right)}^{n+1}}{n+1}}$

integral no elemental

integral para la que la antiderivada del integrando no puede expresarse como una función elemental

intervalo de convergencia

conjunto de números reales x para los que converge una serie de potencias

Polinomio de Maclaurin

un polinomio de Taylor centrado en 0; el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en 0 es el enésimo polinomio de Maclaurin para $f$

polinomios de Taylor

el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en $x=a$ es $p_n\left(x\right)=f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)\left(x–a\right)+\frac{f\text{″}\left(a\right)}{2\text{!}}{\left(x–a\right)}^2+\text{⋯}+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n\text{!}}{\left(x–a\right)}^n$

radio de convergencia

si existe un número real $R>0$ tal que una serie de potencias centrada en $x=a$ converge para $\left|x–a\right|<R$ y diverge para $\left|x–a\right|>R,$ entonces R es el radio de convergencia; si la serie de potencias solo converge en $x=a,$ el radio de convergencia es $R=0\text{;}$ si la serie de potencias converge para todos los números reales x, el radio de convergencia es $R=\infty$

serie binomial

la serie de Maclaurin para $f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^r;$ está dada por
${\left(1+x\right)}^r={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}r\hfill \\ n\hfill \end{array}\right)x^n}=1+rx+\frac{r\left(r-1\right)}{2\text{!}}{x}^2+\text{⋯}+\frac{r\left(r-1\right)\text{⋯}\left(r-n+1\right)}{n\text{!}}{x}^n+\text{⋯}$ para $\left|x\right|<1$

serie de Maclaurin

una serie de Taylor para una función $f$ en $x=0$ se conoce como serie de Maclaurin para $f$

serie de potencias

una serie de la forma ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n}$ es una serie de potencias centrada en $x=0\text{;}$ una serie de la forma ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\left(x–a\right)}^n}$ es una serie de potencias centrada en $x=a$

serie de Taylor

una serie de potencias en a que converge a una función $f$ en algún intervalo abierto que contenga a

teorema de Taylor con resto

para una función $f$ y el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en $x=a,$ el resto $R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-p_n\left(x\right)$ satisface $R_n\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(c\right)}{\left(n+1\right)\text{!}}{\left(x–a\right)}^{n+1}$
para algún c entre x y a; si existe un intervalo I que contiene a y un número real M tal que $\left|f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)\right|\le M$ para todo x en I, entonces $\left|R_n\left(x\right)\right|\le \frac{M}{\left(n+1\right)\text{!}}{\left|x–a\right|}^{n+1}$