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Cálculo volumen 2

6.1 Series y funciones de potencia

Cálculo volumen 26.1 Series y funciones de potencia

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.1.1 Identificar una serie de potencias y proporcionar ejemplos de ellas.
  • 6.1.2 Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
  • 6.1.3 Utilizar una serie de potencias para representar una función.

Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que incluyen una variable. Más concretamente, si la variable es x, entonces todos los términos de la serie implican potencias de x. En consecuencia, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos las series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias.

Forma de una serie de potencia

Una serie de la forma

n=0cnxn=c0+c1x+c2 x2 +,n=0cnxn=c0+c1x+c2 x2 +,

donde x es una variable y los coeficientes cn son constantes, se conoce como una serie de potencias. La serie

1+x+x2 +=n=0xn1+x+x2 +=n=0xn

es un ejemplo de serie de potencias. Dado que esta es una serie geométrica con cociente r=x,r=x, sabemos que converge si |x|<1|x|<1 y diverge si |x|1.|x|1.

Definición

Una serie de la forma

n=0cnxn=c0+c1x+c2 x2 +n=0cnxn=c0+c1x+c2 x2 +
(6.1)

es una serie de potencias centrada en x=0.x=0. Una serie de la forma

n=0cn(xa)n=c0+c1(xa)+c2 (xa)2 +n=0cn(xa)n=c0+c1(xa)+c2 (xa)2 +
(6.2)

es una serie de potencias centrada en x=a.x=a.

Para precisar esta definición, estipulamos que x0=1x0=1 y (xa)0=1(xa)0=1 incluso cuando x=0x=0 y x=a,x=a, respectivamente.

La serie

n=0xnn!=1+x+x2 2 !+x33!+n=0xnn!=1+x+x2 2 !+x33!+

y

n=0n!xn=1+x+2 !x2 +3!x3+n=0n!xn=1+x+2 !x2 +3!x3+

son ambas series de potencias centradas en x=0.x=0. La serie

n=0(x2 )n(n+1)3n=1+x2 2 .3+(x2 )2 3.32 +(x2 )34.33+n=0(x2 )n(n+1)3n=1+x2 2 .3+(x2 )2 3.32 +(x2 )34.33+

es una serie de potencias centrada en x=2 .x=2 .

Convergencia de una serie de potencias

Como los términos de una serie de potencias implican una variable x, la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x. Para una serie de potencias centrada en x=a,x=a, el valor de la serie en x=ax=a está dado por c0.c0. Por lo tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen solo en ese valor de x. Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x. En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todo x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica n=0xnn=0xn converge para todo x en el intervalo (–1,1),(–1,1), pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general.

Teorema 6.1

Convergencia de una serie de potencias

Consideremos la serie de potencias n=0cn(xa)n.n=0cn(xa)n. La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades:

  1. La serie converge en x=ax=a y diverge para todo xa.xa.
  2. La serie converge para todos los números reales x.
  3. Existe un número real R>0R>0 tal que la serie converge si |xa|<R|xa|<R y diverge si |xa|>R.|xa|>R. En los valores x donde |xa|=R,|xa|=R, la serie puede converger o divergir.

Prueba

Supongamos que la serie de potencias está centrada en a=0.a=0. (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene suponiendo que y=xay=xa y considerando la serie n=1cnyn.)n=1cnyn.) Primero debemos demostrar el siguiente hecho:

Si existe un número real d0d0 tal que n=0cndnn=0cndn converge, entonces la serie n=0cnxnn=0cnxn converge absolutamente para todo x tal que |x|<|d|.|x|<|d|.

Dado que n=0cndnn=0cndn converge, el enésimo término cndn0cndn0 a medida que n.n. Por lo tanto, existe un número entero N tal que |cndn|1|cndn|1 para todo nN.nN. Escribiendo

|cnxn|=|cndn||xd|n,|cnxn|=|cndn||xd|n,

concluimos que, para todo nN,nN,

|cnxn||xd|n.|cnxn||xd|n.

La serie

n=N|xd|nn=N|xd|n

es una serie geométrica que converge si |xd|<1.|xd|<1. Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que n=Ncnxnn=Ncnxn también converge para |x|<|d|.|x|<|d|. Como podemos añadir un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que n=0cnxnn=0cnxn converge para |x|<|d|.|x|<|d|.

Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Consideremos la serie

n=0anxnn=0anxn

y supongamos que S es el conjunto de números reales para los que converge la serie. Supongamos que el conjunto S={0}.S={0}. Entonces la serie entra en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie entra en el caso ii. Supongamos que S{0}S{0} y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real x*0x*0 tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para cualquier x tal que |x|>|x*|.|x|>|x*|. Por tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se desprende de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en los cursos de análisis real). Llamemos a ese límite superior más pequeño R. Dado que S{0},S{0}, el número R>0.R>0. Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que |x|<R,|x|<R, y la serie entra en el caso iii.

Si una serie n=0cn(xa)nn=0cn(xa)n entra en el caso iii. de Convergencia de una serie de potencias, entonces la serie converge para todo x tal que |xa|<R|xa|<R para algunos R>0,R>0, y diverge para todo x tal que |xa|>R.|xa|>R. La serie puede converger o divergir en los valores x donde |xa|=R.|xa|=R. El conjunto de valores x para los que la serie n=0cn(xa)nn=0cn(xa)n converge se conoce como el intervalo de convergencia. Dado que la serie diverge para todos los valores x donde |xa|>R,|xa|>R, la longitud del intervalo es 2R, y por lo tanto, el radio del intervalo es R. El valor R se llama radio de convergencia. Por ejemplo, dado que la serie n=0xnn=0xn converge para todos los valores x en el intervalo (–1,1)(–1,1) y diverge para todos los valores x tales que |x|1,|x|1, el intervalo de convergencia de esta serie es (–1,1).(–1,1). Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1.

Definición

Consideremos la serie de potencias n=0cn(xa)n.n=0cn(xa)n. El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real R>0R>0 tal que la serie converge para |xa|<R|xa|<R y diverge para |xa|>R,|xa|>R, entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge solo en x=a,x=a, decimos que el radio de convergencia es R=0.R=0. Si la serie converge para todos los números reales x, decimos que el radio de convergencia es R=R= (Figura 6.2).

Esta figura tiene tres líneas numéricas, cada una marcada como x. En el centro de cada línea numérica hay un punto marcado como a. La primera línea numérica tiene "divergencias" sobre toda la línea a la izquierda de a y "divergencias" sobre la línea a la derecha de a. En el propio punto a, se marca como "converge". La segunda línea numérica tiene la marca "converge" para toda la línea. La tercera línea numérica tiene puntos marcados en a-R, a y a+R. A la izquierda de a-R, la línea numérica está marcada como "divergente". Entre a-R y a+R la línea numérica está marcada como "convergente" y a la derecha de a+R la línea numérica está marcada como "divergente".
Figura 6.2 Para una serie n = 0 c n ( x a ) n n = 0 c n ( x a ) n el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en R = 0 , R = 0 , el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en R = , R = , y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R. Para el gráfico (c) observamos que la serie puede converger o no en los puntos finales x = a + R x = a + R y x = a R . x = a R .

Para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias, solemos aplicar el criterio del cociente. En el Ejemplo 6.1, mostramos las tres posibilidades diferentes ilustradas en la Figura 6.2.

Ejemplo 6.1

Hallar el intervalo y el radio de convergencia

Para cada una de las siguientes series, halle el intervalo y el radio de convergencia.

  1. n=0xnn!n=0xnn!
  2. n=0n!xnn=0n!xn
  3. n=0(x2 )n(n+1)3nn=0(x2 )n(n+1)3n

Punto de control 6.1

Halle el intervalo y el radio de convergencia de la serie n=1xnn.n=1xnn.

Representación de funciones como series de potencias

Poder representar una función mediante un "polinomio infinito" es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las más fáciles de analizar, ya que solo implican las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos utilizar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos utilizar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es: ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias?

Consideremos de nuevo la serie geométrica

1+x+x2 +x3+=n=0xn.1+x+x2 +x3+=n=0xn.
(6.3)

Recordemos que la serie geométrica

a+ar+ar2 +ar3+a+ar+ar2 +ar3+

converge si y solo si |r|<1.|r|<1. En ese caso, converge a a1r.a1r. Por lo tanto, si |x|<1,|x|<1, la serie en el Ejemplo 6.3 converge a 11x11x y escribimos

1+x+x2 +x3+=11xpara|x|<1.1+x+x2 +x3+=11xpara|x|<1.

Como resultado, podemos representar la función f(x)=11xf(x)=11x mediante la serie de potencias

1+x+x2 +x3+cuando|x|<1.1+x+x2 +x3+cuando|x|<1.

Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación para la función f(x)=11xf(x)=11x comparando el gráfico de f con los gráficos de varias de las sumas parciales de esta serie infinita.

Ejemplo 6.2

Graficar una función y las sumas parciales de sus series de potencias

Dibuje un gráfico de f(x)=11xf(x)=11x y los gráficos de las sumas parciales correspondientes SN(x)=n=0NxnSN(x)=n=0Nxn para N=2 ,4,6N=2 ,4,6 en el intervalo (–1,1).(–1,1). Comente sobre la aproximación SNSN a medida que aumenta N.

Punto de control 6.2

Dibuje un gráfico de f(x)=11x2 f(x)=11x2 y las sumas parciales correspondientes SN(x)=n=0Nx2 nSN(x)=n=0Nx2 n para N=2 ,4,6N=2 ,4,6 en el intervalo (–1,1).(–1,1).

A continuación consideramos funciones que implican una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones utilizando series de potencias.

Ejemplo 6.3

Representar una función con una serie de potencias

Utilice una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones f.f. Halle el intervalo de convergencia.

  1. f(x)=11+x3f(x)=11+x3
  2. f(x)=x2 4x2 f(x)=x2 4x2

Punto de control 6.3

Represente la función f(x)=x32 xf(x)=x32 x utilizando una serie de potencias y halle el intervalo de convergencia.

En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones en series de potencias para muchas otras funciones, y cómo podemos hacer uso de estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar diversas funciones.

Sección 6.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, indique si cada afirmación es verdadera o dé un ejemplo para demostrar que es falsa.

1.

Si los valores de n=1anxnn=1anxn converge, entonces anxn0anxn0 a medida que n.n.

2.

n=1anxnn=1anxn converge en x=0x=0 para cualquier número real an.an.

3.

Dada cualquier secuencia an,an, siempre hay algún R>0,R>0, posiblemente muy pequeño, de manera que n=1anxnn=1anxn converge en (R,R).(R,R).

4.

Si los valores de n=1anxnn=1anxn tiene un radio de convergencia R>0R>0 y si |bn||an||bn||an| para todo n, entonces el radio de convergencia de n=1bnxnn=1bnxn es mayor o igual que R.

5.

Supongamos que n=0an(x3)nn=0an(x3)n converge en x=6.x=6. ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si an(xc)nan(xc)n converge en x, entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x.

  1. x=1x=1
  2. x=2 x=2
  3. x=3x=3
  4. x=0x=0
  5. x=5,99x=5,99
  6. x=0,000001x=0,000001
6.

Supongamos que n=0an(x+1)nn=0an(x+1)n converge en x=–2.x=–2. ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si an(xc)nan(xc)n converge en x, entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x.

  1. x=2 x=2
  2. x=–1x=–1
  3. x=−3x=−3
  4. x=0x=0
  5. x=0,99x=0,99
  6. x=0,000001x=0,000001

En los siguientes ejercicios, supongamos que |an+1an|1|an+1an|1 a medida que n.n. Halle el radio de convergencia de cada serie.

7.

n = 0 a n 2 n x n n = 0 a n 2 n x n

8.

n = 0 a n x n 2 n n = 0 a n x n 2 n

9.

n = 0 a n π n x n e n n = 0 a n π n x n e n

10.

n = 0 a n ( –1 ) n x n 10 n n = 0 a n ( –1 ) n x n 10 n

11.

n = 0 a n ( –1 ) n x 2 n n = 0 a n ( –1 ) n x 2 n

12.

n = 0 a n ( –4 ) n x 2 n n = 0 a n ( –4 ) n x 2 n

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia R y el intervalo de convergencia para anxnanxn con los coeficientes dados an.an.

13.

n = 1 ( 2 x ) n n n = 1 ( 2 x ) n n

14.

n = 1 ( –1 ) n x n n n = 1 ( –1 ) n x n n

15.

n = 1 n x n 2 n n = 1 n x n 2 n

16.

n = 1 n x n e n n = 1 n x n e n

17.

n = 1 n 2 x n 2 n n = 1 n 2 x n 2 n

18.

k = 1 k e x k e k k = 1 k e x k e k

19.

k = 1 π k x k k π k = 1 π k x k k π

20.

n = 1 x n n ! n = 1 x n n !

21.

n = 1 10 n x n n ! n = 1 10 n x n n !

22.

n = 1 ( –1 ) n x n ln ( 2 n ) n = 1 ( –1 ) n x n ln ( 2 n )

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de cada serie.

23.

k = 1 ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) ! k = 1 ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) !

24.

n = 1 ( 2 n ) ! x n n 2 n n = 1 ( 2 n ) ! x n n 2 n

25.

k = 1 k ! 1 . 3 . 5 ( 2 k 1 ) x k k = 1 k ! 1 . 3 . 5 ( 2 k 1 ) x k

26.

k = 1 2 . 4 . 6 2 k ( 2 k ) ! x k k = 1 2 . 4 . 6 2 k ( 2 k ) ! x k

27.

n=1xn(2 nn)n=1xn(2 nn) donde (nk)=n!k!(nk)!(nk)=n!k!(nk)!

28.

n = 1 sen 2 n x n n = 1 sen 2 n x n

En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente para determinar el radio de convergencia de cada serie.

29.

n = 1 ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n n = 1 ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n

30.

n = 1 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n n = 1 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n

31.

n = 1 n ! n n x n n = 1 n ! n n x n

32.

n = 1 ( 2 n ) ! n 2 n x n n = 1 ( 2 n ) ! n 2 n x n

En los siguientes ejercicios, dado que 11x=n=0xn11x=n=0xn con convergencia en (–1,1),(–1,1), calcule la serie de potencias para cada función con el centro a dado, e identifique su intervalo de convergencia.

33.

f(x)=1x;a=1f(x)=1x;a=1 (Pista: 1x=11(1x))1x=11(1x)) grandes.

34.

f ( x ) = 1 1 x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 x 2 ; a = 0

35.

f ( x ) = x 1 x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 1 x 2 ; a = 0

36.

f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0

37.

f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0

38.

f ( x ) = 1 2 x ; a = 1 f ( x ) = 1 2 x ; a = 1

39.

f ( x ) = 1 1 2 x ; a = 0 . f ( x ) = 1 1 2 x ; a = 0 .

40.

f ( x ) = 1 1 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 4 x 2 ; a = 0

41.

f ( x ) = x 2 1 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 4 x 2 ; a = 0

42.

f ( x ) = x 2 5 4 x + x 2 ; a = 2 f ( x ) = x 2 5 4 x + x 2 ; a = 2

Utilice el siguiente ejercicio para hallar el radio de convergencia de las series dadas en los ejercicios posteriores.

43.

Explique por qué, si |an|1/nr>0,|an|1/nr>0, entonces |anxn|1/n|x|r<1|anxn|1/n|x|r<1 siempre que |x|<1r|x|<1r y, por tanto, el radio de convergencia de n=1anxnn=1anxn es R=1r.R=1r.

44.

n = 1 x n n n n = 1 x n n n

45.

k = 1 ( k 1 2 k + 3 ) k x k k = 1 ( k 1 2 k + 3 ) k x k

46.

k = 1 ( 2 k 2 1 k 2 + 3 ) k x k k = 1 ( 2 k 2 1 k 2 + 3 ) k x k

47.

n = 1 a n = ( n 1 / n 1 ) n x n n = 1 a n = ( n 1 / n 1 ) n x n

48.

Supongamos que p(x)=n=0anxnp(x)=n=0anxn tal que an=0an=0 si n es impar. Explique por qué p(x)=p(x).p(x)=p(x).

49.

Supongamos que p(x)=n=0anxnp(x)=n=0anxn tal que an=0an=0 si n es par. Explique por qué p(x)=p(x).p(x)=p(x).

50.

Supongamos que p(x)=n=0anxnp(x)=n=0anxn converge en (–1,1].(–1,1]. Halle el intervalo de convergencia de p(Ax).p(Ax).

51.

Supongamos que p(x)=n=0anxnp(x)=n=0anxn converge en (–1,1].(–1,1]. Halle el intervalo de convergencia de p(2 x1).p(2 x1).

En los siguientes ejercicios, supongamos que p(x)=n=0anxnp(x)=n=0anxn satisface límnan+1an=1límnan+1an=1 donde an0an0 para cada n. Indique si cada serie converge en el intervalo completo (–1,1),(–1,1), o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea adecuado.

52.

n = 0 a n x 2 n n = 0 a n x 2 n

53.

n = 0 a 2 n x 2 n n = 0 a 2 n x 2 n

54.

n=0a2 nxn(Pista:x=±x2 )n=0a2 nxn(Pista:x=±x2 ) grandes.

55.

n=0an2 xn2 n=0an2 xn2 (Pista: Supongamos que bk=akbk=ak si k=n2 k=n2 para algún n, en caso contrario bk=0.)bk=0.)

56.

Supongamos que p(x)p(x) es un polinomio de grado N. Halle el radio y el intervalo de convergencia de n=1p(n)xn.n=1p(n)xn.

57.

[T] Dibuje los gráficos de 11x11x y de las sumas parciales SN=n=0NxnSN=n=0Nxn para n=10,20,30n=10,20,30 en el intervalo [−0,99,0,99].[−0,99,0,99]. Comente sobre la aproximación de 11x11x por SNSN cerca de x=−1x=−1 y cerca de x=1x=1 a medida que aumenta N.

58.

[T] Dibuje los gráficos de ln(1x)ln(1x) y de las sumas parciales SN=n=1NxnnSN=n=1Nxnn para n=10,50,100n=10,50,100 en el intervalo [−0,99,0,99].[−0,99,0,99]. Comente el comportamiento de las sumas cerca de x=−1x=−1 y cerca de x=1x=1 a medida que aumenta N.

59.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales Sn=n=1Nxnn2 Sn=n=1Nxnn2 para n=10,50,100n=10,50,100 en el intervalo [−0,99,0,99].[−0,99,0,99]. Comente el comportamiento de las sumas cerca de x=−1x=−1 y cerca de x=1x=1 a medida que aumenta N.

60.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales SN=n=1NsennxnSN=n=1Nsennxn para n=10,50,100n=10,50,100 en el intervalo [−0,99,0,99].[−0,99,0,99]. Comente el comportamiento de las sumas cerca de x=−1x=−1 y cerca de x=1x=1 a medida que aumenta N.

61.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales SN=n=0N(–1)nx2 n+1(2 n+1)!SN=n=0N(–1)nx2 n+1(2 n+1)! para nn =3,5,10nn =3,5,10 en el intervalo [−2π,2 π].[−2π,2 π]. Comente cómo se aproximan estos gráficos senxsenx a medida que aumenta N.

62.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales SN=n=0N(–1)nx2 n(2 n)!SN=n=0N(–1)nx2 n(2 n)! para nn =3,5,10nn =3,5,10 en el intervalo [−2π,2 π].[−2π,2 π]. Comente cómo se aproximan estos gráficos cosxcosx a medida que aumenta N.

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