6.1 Series y funciones de potencia

Objetivos de aprendizaje

6.1.1 Identificar una serie de potencias y proporcionar ejemplos de ellas.
6.1.2 Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
6.1.3 Utilizar una serie de potencias para representar una función.

Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que incluyen una variable. Más concretamente, si la variable es x, entonces todos los términos de la serie implican potencias de x. En consecuencia, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos las series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias.

Forma de una serie de potencia

Una serie de la forma

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯,$

donde x es una variable y los coeficientes c_n son constantes, se conoce como una serie de potencias. La serie

$1 + x + x^{2} + ⋯ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$

es un ejemplo de serie de potencias. Dado que esta es una serie geométrica con cociente $r = x,$ sabemos que converge si $| x | < 1$ y diverge si $| x | \geq 1 .$

Definición

Una serie de la forma

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯$

(6.1)

es una serie de potencias centrada en $x = 0 .$ Una serie de la forma

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + ⋯$

(6.2)

es una serie de potencias centrada en $x = a .$

Para precisar esta definición, estipulamos que $x^{0} = 1$ y ${(x - a)}^{0} = 1$ incluso cuando $x = 0$ y $x = a,$ respectivamente.

La serie

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯$

$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n} = 1 + x + 2! x^{2} + 3! x^{3} + ⋯$

son ambas series de potencias centradas en $x = 0 .$ La serie

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}} = 1 + \frac{x - 2}{2.3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3 . 3^{2}} + \frac{{(x - 2)}^{3}}{4 . 3^{3}} + ⋯$

es una serie de potencias centrada en $x = 2 .$

Convergencia de una serie de potencias

Como los términos de una serie de potencias implican una variable x, la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x. Para una serie de potencias centrada en $x = a,$ el valor de la serie en $x = a$ está dado por $c_{0} .$ Por lo tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen solo en ese valor de x. Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x. En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todo x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ converge para todo x en el intervalo $(–1, 1),$ pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general.

Teorema 6.1

Convergencia de una serie de potencias

Consideremos la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .$ La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades:

La serie converge en $x = a$ y diverge para todo $x \neq a .$
La serie converge para todos los números reales x.
Existe un número real $R > 0$ tal que la serie converge si $| x - a | < R$ y diverge si $| x - a | > R .$ En los valores x donde $| x - a | = R,$ la serie puede converger o divergir.

Prueba

Supongamos que la serie de potencias está centrada en $a = 0 .$ (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene suponiendo que $y = x - a$ y considerando la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} y^{n} .)$ Primero debemos demostrar el siguiente hecho:

Si existe un número real $d \neq 0$ tal que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} d^{n}$ converge, entonces la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ converge absolutamente para todo x tal que $| x | < | d | .$

Dado que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} d^{n}$ converge, el enésimo término $c_{n} d^{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$ Por lo tanto, existe un número entero N tal que $| c_{n} d^{n} | \leq 1$ para todo $n \geq N .$ Escribiendo

$| c_{n} x^{n} | = | c_{n} d^{n} | {| \frac{x}{d} |}^{n},$

concluimos que, para todo $n \geq N,$

$| c_{n} x^{n} | \leq {| \frac{x}{d} |}^{n} .$

La serie

$\sum_{n = N}^{\infty} {| \frac{x}{d} |}^{n}$

es una serie geométrica que converge si $| \frac{x}{d} | < 1 .$ Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que $\sum_{n = N}^{\infty} c_{n} x^{n}$ también converge para $| x | < | d | .$ Como podemos añadir un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ converge para $| x | < | d | .$

Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Consideremos la serie

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$

y supongamos que S es el conjunto de números reales para los que converge la serie. Supongamos que el conjunto $S = {0} .$ Entonces la serie entra en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie entra en el caso ii. Supongamos que $S \neq {0}$ y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real $x * \neq 0$ tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para cualquier x tal que $| x | > | x * | .$ Por tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se desprende de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en los cursos de análisis real). Llamemos a ese límite superior más pequeño R. Dado que $S \neq {0},$ el número $R > 0 .$ Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que $| x | < R,$ y la serie entra en el caso iii.

□

Si una serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ entra en el caso iii. de Convergencia de una serie de potencias, entonces la serie converge para todo x tal que $| x - a | < R$ para algunos $R > 0,$ y diverge para todo x tal que $| x - a | > R .$ La serie puede converger o divergir en los valores x donde $| x - a | = R .$ El conjunto de valores x para los que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ converge se conoce como el intervalo de convergencia. Dado que la serie diverge para todos los valores x donde $| x - a | > R,$ la longitud del intervalo es 2R, y por lo tanto, el radio del intervalo es R. El valor R se llama radio de convergencia. Por ejemplo, dado que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ converge para todos los valores x en el intervalo $(–1, 1)$ y diverge para todos los valores x tales que $| x | \geq 1,$ el intervalo de convergencia de esta serie es $(–1, 1) .$ Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1.

Definición

Consideremos la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} .$ El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real $R > 0$ tal que la serie converge para $| x - a | < R$ y diverge para $| x - a | > R,$ entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge solo en $x = a,$ decimos que el radio de convergencia es $R = 0 .$ Si la serie converge para todos los números reales x, decimos que el radio de convergencia es $R = \infty$ (Figura 6.2).

Esta figura tiene tres líneas numéricas, cada una marcada como x. En el centro de cada línea numérica hay un punto marcado como a. La primera línea numérica tiene "divergencias" sobre toda la línea a la izquierda de a y "divergencias" sobre la línea a la derecha de a. En el propio punto a, se marca como "converge". La segunda línea numérica tiene la marca "converge" para toda la línea. La tercera línea numérica tiene puntos marcados en a-R, a y a+R. A la izquierda de a-R, la línea numérica está marcada como "divergente". Entre a-R y a+R la línea numérica está marcada como "convergente" y a la derecha de a+R la línea numérica está marcada como "divergente".

Figura 6.2 Para una serie

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en

$R = 0,$ el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en

$R = \infty,$ y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R. Para el gráfico (c) observamos que la serie puede converger o no en los puntos finales

$x = a + R$ y

$x = a - R .$

Para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias, solemos aplicar el criterio del cociente. En el Ejemplo 6.1, mostramos las tres posibilidades diferentes ilustradas en la Figura 6.2.

Ejemplo 6.1

Hallar el intervalo y el radio de convergencia

Para cada una de las siguientes series, halle el intervalo y el radio de convergencia.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}}$

Solución

Para comprobar la convergencia, aplique el criterio del cociente. Tenemos

$\begin{matrix} ρ & = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{\frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{x^{n}}{n!}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} . \frac{n!}{x^{n}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) . n!} . \frac{n!}{x^{n}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{x}{n + 1} | \\ = | x | \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n + 1} \\ = 0 < 1 \end{matrix}$

para todos los valores de x. Por lo tanto, la serie converge para todos los números reales x. El intervalo de convergencia es $(− \infty, \infty)$ y el radio de convergencia es $R = \infty .$
Aplique el criterio del cociente. Para $x \neq 0,$ vemos que

$\begin{matrix} ρ & = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{(n + 1)! x^{n + 1}}{n! x^{n}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | (n + 1) x | \\ = | x | \underset{n \to \infty}{lím} (n + 1) \\ = \infty . \end{matrix}$

Por lo tanto, la serie diverge para todo $x \neq 0 .$ Como la serie está centrada en $x = 0,$ debe converger allí, por lo que la serie converge solo para $x = 0 .$ El intervalo de convergencia es el valor único $x = 0$ y el radio de convergencia es $R = 0 .$
Para aplicar el criterio del cociente, considere

$\begin{matrix} ρ & = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{\frac{{(x - 2)}^{n + 1}}{(n + 2) 3^{n + 1}}}{\frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{{(x - 2)}^{n + 1}}{(n + 2) 3^{n + 1}} . \frac{(n + 1) 3^{n}}{{(x - 2)}^{n}} | \\ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{(x - 2) (n + 1)}{3 (n + 2)} | \\ = \frac{| x - 2 |}{3} . \end{matrix}$

El cociente $ρ < 1$ si $| x - 2 | < 3 .$ Dado que $| x - 2 | < 3$ implica que $−3 < x - 2 < 3,$ la serie converge absolutamente si $−1 < x < 5 .$ El cociente $ρ > 1$ si $| x - 2 | > 3 .$ Por lo tanto, la serie diverge si $x < −1$ o $x > 5 .$ El criterio del cociente no es concluyente si $ρ = 1 .$ El cociente $ρ = 1$ si y solo si $x = −1$ o $x = 5 .$ Tenemos que probar estos valores de x por separado. Para $x = −1,$ la serie está dada por

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n + 1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ .$

Como se trata de la serie armónica alternada, converge. Así, la serie converge en $x = −1 .$ Para $x = 5,$ la serie está dada por

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ .$

Esta es la serie armónica, que es divergente. Por lo tanto, la serie de potencias diverge en $x = 5 .$ Concluimos que el intervalo de convergencia es $[−1, 5)$ y el radio de convergencia es $R = 3 .$

Punto de control 6.1

Halle el intervalo y el radio de convergencia de la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}} .$

Representación de funciones como series de potencias

Poder representar una función mediante un "polinomio infinito" es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las más fáciles de analizar, ya que solo implican las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos utilizar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos utilizar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es: ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias?

Consideremos de nuevo la serie geométrica

$1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

(6.3)

Recordemos que la serie geométrica

$a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯$

converge si y solo si $| r | < 1 .$ En ese caso, converge a $\frac{a}{1 - r} .$ Por lo tanto, si $| x | < 1,$ la serie en el Ejemplo 6.3 converge a $\frac{1}{1 - x}$ y escribimos

$1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 - x} para | x | < 1 .$

Como resultado, podemos representar la función $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ mediante la serie de potencias

$1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ cuando | x | < 1 .$

Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación para la función $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ comparando el gráfico de f con los gráficos de varias de las sumas parciales de esta serie infinita.

Ejemplo 6.2

Graficar una función y las sumas parciales de sus series de potencias

Dibuje un gráfico de $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ y los gráficos de las sumas parciales correspondientes $S_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} x^{n}$ para $N = 2, 4, 6$ en el intervalo $(–1, 1) .$ Comente sobre la aproximación $S_{N}$ a medida que aumenta N.

Solución

En el gráfico de la Figura 6.3 se ve que a medida que aumenta N, $S_{N}$ se convierte en una mejor aproximación para $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ para x en el intervalo $(–1, 1) .$

Esta figura es el gráfico de y = 1/(1-x), que es una curva creciente con asíntota vertical en 1. También en este gráfico hay tres sumas parciales de la función, S sub 6, S sub 4 y S sub 2. Estas curvas, por orden, se vuelven cada vez más planas.

Figura 6.3 El gráfico muestra una función y tres aproximaciones de la misma mediante sumas parciales de una serie de potencias.

Punto de control 6.2

Dibuje un gráfico de $f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$ y las sumas parciales correspondientes $S_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} x^{2 n}$ para $N = 2, 4, 6$ en el intervalo $(–1, 1) .$

A continuación consideramos funciones que implican una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones utilizando series de potencias.

Ejemplo 6.3

Representar una función con una serie de potencias

Utilice una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones $f .$ Halle el intervalo de convergencia.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{3}}$
$f (x) = \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}$

Solución

Debe reconocer esta función f como la suma de una serie geométrica, porque

$\frac{1}{1 + x^{3}} = \frac{1}{1 - (− x^{3})} .$

Utilizando el hecho de que, para $| r | < 1, \frac{a}{1 - r}$ es la suma de la serie geométrica

$\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = a + a r + a r^{2} + ⋯,$

vemos que, para $| − x^{3} | < 1,$

$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x^{3}} & = \frac{1}{1 - (− x^{3})} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x^{3})}^{n} \\ = 1 - x^{3} + x^{6} - x^{9} + ⋯ . \end{matrix}$

Dado que esta serie converge si y solo si $| − x^{3} | < 1,$ el intervalo de convergencia es $(–1, 1),$ y tenemos

$\frac{1}{1 + x^{3}} = 1 - x^{3} + x^{6} - x^{9} + ⋯ para | x | < 1 .$
Esta función no tiene la forma exacta de una suma de una serie geométrica. Sin embargo, con un poco de manipulación algebraica, podemos relacionar f con una serie geométrica. Factorizando 4 de los dos términos del denominador, obtenemos

$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \frac{x^{2}}{4 (1 - \frac{x^{2}}{4})} \\ = \frac{x^{2}}{4 (1 - {(\frac{x}{2})}^{2})} . \end{matrix}$

Por lo tanto, tenemos

$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \frac{x^{2}}{4 (1 - {(\frac{x}{2})}^{2})} \\ = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2}}{4} {(\frac{x}{2})}^{2 n} . \end{matrix}$

La serie converge siempre que $| {(\frac{x}{2})}^{2} | < 1$ (tenga en cuenta que cuando $| {(\frac{x}{2})}^{2} | = 1$ la serie no converge). Resolviendo esta inecuación, concluimos que el intervalo de convergencia es $(–2, 2)$ y

$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 2}}{4^{n + 1}} \\ = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{4^{2}} + \frac{x^{6}}{4^{3}} + ⋯ \end{matrix}$

para $| x | < 2 .$

Punto de control 6.3

Represente la función $f (x) = \frac{x^{3}}{2 - x}$ utilizando una serie de potencias y halle el intervalo de convergencia.

En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones en series de potencias para muchas otras funciones, y cómo podemos hacer uso de estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar diversas funciones.

Sección 6.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, indique si cada afirmación es verdadera o dé un ejemplo para demostrar que es falsa.

Si los valores de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge, entonces $a_{n} x^{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge en $x = 0$ para cualquier número real $a_{n} .$

Dada cualquier secuencia $a_{n},$ siempre hay algún $R > 0,$ posiblemente muy pequeño, de manera que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge en $(− R, R) .$

Si los valores de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ tiene un radio de convergencia $R > 0$ y si $| b_{n} | \leq | a_{n} |$ para todo n, entonces el radio de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} x^{n}$ es mayor o igual que R.

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - 3)}^{n}$ converge en $x = 6 .$ ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si $\sum a_{n} {(x - c)}^{n}$ converge en x, entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x.

$x = 1$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 0$
$x = 5,99$
$x = 0,000001$

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x + 1)}^{n}$ converge en $x = –2 .$ ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si $\sum a_{n} {(x - c)}^{n}$ converge en x, entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x.

$x = 2$
$x = –1$
$x = −3$
$x = 0$
$x = 0,99$
$x = 0,000001$

En los siguientes ejercicios, supongamos que $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to 1$ a medida que $n \to \infty .$ Halle el radio de convergencia de cada serie.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{n}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{2^{n}}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} π^{n} x^{n}}{e^{n}}$

10.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} {(–1)}^{n} x^{n}}{10^{n}}$

11.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(–1)}^{n} x^{2 n}$

12.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(–4)}^{n} x^{2 n}$

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia R y el intervalo de convergencia para $\sum a_{n} x^{n}$ con los coeficientes dados $a_{n} .$

13.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(2 x)}^{n}}{n}$

14.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}$

15.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{2^{n}}$

16.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{e^{n}}$

17.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} x^{n}}{2^{n}}$

18.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{e} x^{k}}{e^{k}}$

19.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{π^{k} x^{k}}{k^{π}}$

20.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

21.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n} x^{n}}{n!}$

22.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{ln (2 n)}$

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de cada serie.

23.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(k!)}^{2} x^{k}}{(2 k)!}$

24.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)! x^{n}}{n^{2 n}}$

25.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k!}{1.3.5 ⋯ (2 k - 1)} x^{k}$

26.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2.4.6 ⋯ 2 k}{(2 k)!} x^{k}$

27.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}$ donde $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

28.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {sen}^{2} n x^{n}$

En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente para determinar el radio de convergencia de cada serie.

29.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n!)}^{3}}{(3 n)!} x^{n}$

30.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{3 n} {(n!)}^{3}}{(3 n)!} x^{n}$

31.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$

32.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{2 n}} x^{n}$

En los siguientes ejercicios, dado que $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ con convergencia en $(–1, 1),$ calcule la serie de potencias para cada función con el centro a dado, e identifique su intervalo de convergencia.

33.

$f (x) = \frac{1}{x}; a = 1$ (Pista: $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1 - x)})$ grandes.

34.

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}; a = 0$

35.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}; a = 0$

36.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}; a = 0$

37.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}; a = 0$

38.

$f (x) = \frac{1}{2 - x}; a = 1$

39.

$f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}; a = 0 .$

40.

$f (x) = \frac{1}{1 - 4 x^{2}}; a = 0$

41.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 - 4 x^{2}}; a = 0$

42.

$f (x) = \frac{x^{2}}{5 - 4 x + x^{2}}; a = 2$

Utilice el siguiente ejercicio para hallar el radio de convergencia de las series dadas en los ejercicios posteriores.

43.

Explique por qué, si ${| a_{n} |}^{1 / n} \to r > 0,$ entonces ${| a_{n} x^{n} |}^{1 / n} \to | x | r < 1$ siempre que $| x | < \frac{1}{r}$ y, por tanto, el radio de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ es $R = \frac{1}{r} .$

44.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$

45.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k} x^{k}$

46.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{2 k^{2} - 1}{k^{2} + 3})}^{k} x^{k}$

47.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n} x^{n}$

48.

Supongamos que $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ tal que $a_{n} = 0$ si n es impar. Explique por qué $p (x) = - p (− x) .$

49.

Supongamos que $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ tal que $a_{n} = 0$ si n es par. Explique por qué $p (x) = p (− x) .$

50.

Supongamos que $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge en $(–1, 1] .$ Halle el intervalo de convergencia de $p (A x) .$

51.

Supongamos que $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge en $(–1, 1] .$ Halle el intervalo de convergencia de $p (2 x - 1) .$

En los siguientes ejercicios, supongamos que $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ satisface $\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$ donde $a_{n} \geq 0$ para cada n. Indique si cada serie converge en el intervalo completo $(–1, 1),$ o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea adecuado.

52.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{2 n}$

53.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n} x^{2 n}$

54.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n} x^{n} (Pista : x = ± \sqrt{x^{2}})$ grandes.

55.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n^{2}} x^{n^{2}}$ (Pista: Supongamos que $b_{k} = a_{k}$ si $k = n^{2}$ para algún n, en caso contrario $b_{k} = 0 .)$

56.

Supongamos que $p (x)$ es un polinomio de grado N. Halle el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} p (n) x^{n} .$

57.

[T] Dibuje los gráficos de $\frac{1}{1 - x}$ y de las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} x^{n}$ para $n = 10, 20, 30$ en el intervalo $[−0,99, 0,99] .$ Comente sobre la aproximación de $\frac{1}{1 - x}$ por $S_{N}$ cerca de $x = −1$ y cerca de $x = 1$ a medida que aumenta N.

58.

[T] Dibuje los gráficos de $− ln (1 - x)$ y de las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n}$ para $n = 10, 50, 100$ en el intervalo $[−0,99, 0,99] .$ Comente el comportamiento de las sumas cerca de $x = −1$ y cerca de $x = 1$ a medida que aumenta N.

59.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales $S_{n} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ para $n = 10, 50, 100$ en el intervalo $[−0,99, 0,99] .$ Comente el comportamiento de las sumas cerca de $x = −1$ y cerca de $x = 1$ a medida que aumenta N.

60.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} sen n x^{n}$ para $n = 10, 50, 100$ en el intervalo $[−0,99, 0,99] .$ Comente el comportamiento de las sumas cerca de $x = −1$ y cerca de $x = 1$ a medida que aumenta N.

61.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ para $n n = 3, 5, 10$ en el intervalo $[−2 π, 2 π] .$ Comente cómo se aproximan estos gráficos $sen x$ a medida que aumenta N.

62.

[T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ para $n n = 3, 5, 10$ en el intervalo $[−2 π, 2 π] .$ Comente cómo se aproximan estos gráficos $cos x$ a medida que aumenta N.

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Forma de una serie de potencia

Convergencia de una serie de potencias

Convergencia de una serie de potencias

Prueba

Hallar el intervalo y el radio de convergencia

Solución

Representación de funciones como series de potencias

Graficar una función y las sumas parciales de sus series de potencias

Solución

Representar una función con una serie de potencias

Solución

Sección 6.1 ejercicios