Capítulo 7

$x=2+\frac{3}{y+1},$ o $y=\mathrm{-1}+\frac{3}{x-2}.$ Esta ecuación describe una parte de una hipérbola rectangular centrada en $\left(2,\mathrm{–1}\right).$

Una posibilidad es $x\left(t\right)=t,y\left(t\right)=t^2+2t.$ Otra posibilidad es $x\left(t\right)=2t-3,y\left(t\right)={\left(2t-3\right)}^2+2\left(2t-3\right)=4t^2-8t+3.$

De hecho, hay un número infinito de posibilidades.

$x^{\prime }\left(t\right)=2t-4$ en tanto que $y^{\prime }\left(t\right)=6t^2-6,$ así que $\frac{dy}{dx}=\frac{6t^2-6}{2t-4}=\frac{3t^2-3}{t-2}.$
Esta expresión es indefinida cuando $t=2$ e igual a cero cuando $t=\mathrm{\pm 1}.$

La ecuación de la línea tangente es $y=24x+100.$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3t^2-12t+3}{2{\left(t-2\right)}^3}.$ Puntos críticos $\left(5,4\right),\left(\mathrm{-3},\mathrm{–4}\right),\text{y}\left(\mathrm{-4},4\right).$

$A=3\pi$ (Observe que la fórmula de la integral da en realidad una respuesta negativa. Esto se debe a que $x\left(t\right)$ es una función decreciente en el intervalo $\left[0,2\pi \right];$ es decir, la curva se traza de derecha a izquierda).

$s=2\left({10}^{3\text{/}2}-2^{3\text{/}2}\right)\approx \mathrm{57,589}$

$A=\frac{\pi \left(494\sqrt{13}+128\right)}{1.215}$

$\left(8\sqrt{2},\frac{5\pi }{4}\right)$ y $\left(\mathrm{–2},2\sqrt{3}\right)$

El nombre de esta forma es cardioide, que estudiaremos más adelante en esta sección.

$y=x^2,$ que es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba.

Simetría con respecto al eje polar

$A=3\pi \text{/}2$

$A=\frac{4\pi }{3}+4\sqrt{3}$

$s=3\pi$

$x=2{\left(y+3\right)}^2-2$

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-2\right)}^2}{9}=1$

$\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}-\frac{{\left(x–1\right)}^2}{4}=1.$ Se trata de una hipérbola vertical. Asíntotas $y=\mathrm{-2}\pm \frac{3}{2}\left(x–1\right).$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{74}}{7}\approx \mathrm{1,229}$

Aquí $e=\mathrm{0,8}$ y $p=5.$ Esta sección cónica es una elipse

La sección cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es $\theta =\mathrm{22,5}\text{°}.$

orientación: de abajo a arriba

orientación: de izquierda a derecha

$y=\frac{x^2}{4}+1$

Las asíntotas son $y=x$ como $y=\text{−}x$

$y=\frac{\sqrt{x+1}}{2}$; dominio: $x\in \left[1,\mathrm{-\infty }\right).$

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1;$ dominio $x\in \left[\mathrm{-4},4\right].$

$y=3x+2;$ dominio: todos los números reales.

${(x–1)}^2+{(y-3)}^2=1;$ dominio: $x\in \left[0,2\right].$

$y=\sqrt{x^2–1};$ dominio: $x\in \left(\mathrm{-\infty },\mathrm{-1}\right].$

$y^2=\frac{1-x}{2};$ dominio: $x\in \left[2,\infty \right)\cup \left(\text{−}\infty ,\mathrm{-2}\right].$

$y=\text{ln}x;$ dominio: $x\in [1,\infty ).$

$y=\text{ln}x;$ dominio: $x\in (0,\infty ).$

$x^2+y^2=4;$ dominio: $x\in [\mathrm{-2},2].$

línea

parábola

círculo

elipse

hipérbola

Las ecuaciones representan una cicloide.

22.092 metros a aproximadamente 51 segundos.

0

$\frac{\mathrm{-3}}{5}$

$\text{Pendiente}=0;$ $y=8.$

La pendiente no está definida; $x=2.$

$$\begin{gathered} \tan t = –2 \\ (\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{\mathrm{–8}}{\sqrt{5}}), (\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{\mathrm{–8}}{\sqrt{5}}). \end{gathered}$$

No hay puntos posibles; expresión indefinida.

$y=\text{−}\left(\frac{4}{e}\right)x+5$

$y=\mathrm{-2}x+3$

$\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

$\frac{dy}{dx}=\text{−}\text{tan}(t)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}$ y $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0,$ para que la curva no sea ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en $t=3.$ Por lo tanto, el gráfico es lineal y tiene una pendiente constante pero ninguna concavidad.

$\frac{dy}{dx}=4,\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\mathrm{–6}\sqrt{3};$ la curva es cóncava hacia abajo en $\theta =\frac{\pi }{6}.$

No hay tangentes horizontales. Tangentes verticales en $(1,0),(\mathrm{–1},0).$

$\text{−}{\text{sec}}^2\left(\pi t\right)$ grandes.

Horizontal $\left(0,\mathrm{–9}\right);$ vertical $\left(\text{±}2,\mathrm{–6}\right).$

1

0

4

Cóncava hacia arriba en $t>0.$

$\frac{e^{\frac{1}{2}}-1}{2}$

$\frac{3\pi }{2}$

$6\pi a^2$

$2\pi ab$

$\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}–1\right)$ grandes.

$\mathrm{7,075}$

$6a$

$6\sqrt{2}$

$\frac{2\pi \left(247\sqrt{13}+64\right)}{1.215}$

59,101

$\frac{8\pi }{3}\left(17\sqrt{17}-1\right)$

$B\begin{array}{cc}\left(3,\frac{\text{−}\pi }{3}\right)\hfill & B\left(\mathrm{-3},\frac{2\pi }{3}\right)\hfill \end{array}$

$D\left(5,\frac{7\pi }{6}\right)D\left(\mathrm{-5},\frac{\pi }{6}\right)$

$\begin{array}{cc}\left(5,\mathrm{–0,927}\right)\hfill & \left(\mathrm{-5},\mathrm{-0,927}+\pi \right)\hfill \end{array}$ grandes.

$\left(10,\mathrm{–0,927}\right)\left(\mathrm{–10},\mathrm{-0,927}+\pi \right)$ grandes.

$\left(2\sqrt{3},\mathrm{–0,524}\right)\left(\mathrm{-2}\sqrt{3},\mathrm{-0,524}+\pi \right)$

$\left(\begin{array}{cc}\text{−}\sqrt{3},\hfill & \mathrm{–1}\hfill \end{array}\right)$ grandes.

$\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2},\hfill & \frac{\mathrm{-1}}{2}\hfill \end{array}\right)$ grandes.

$\left(\begin{array}{cc}0,\hfill & 0\hfill \end{array}\right)$ grandes.

Simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen.

Simetría con respecto al eje x solamente.

Simetría con respecto al eje x solamente.

La línea $y=x$

$y=1$

Hipérbola; forma polar $r^2\text{cos}(2\theta )=16$ o $r^2=16\text{sec}(2\theta ).$

$r=\frac{2}{3\text{cos}\theta -\text{sen}\theta }$

$x^2+y^2=4y$

$x\text{tan}\sqrt{x^2+y^2}=y$

simetría del eje y

simetría del eje y

simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo

simetría del eje x

simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo

sin simetría

una línea

Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente.

$\frac{9}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\text{sen}}^2\theta d\theta }$

$32{\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}{\text{sen}}^2(2\theta )d\theta }$

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\pi }^{2\pi }{\left(1-\text{sen}\theta \right)}^{2}d\theta }$

${\displaystyle {\int }_{{\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\left(2\text{/}3\right)}^{\pi \text{/}2}{\left(2-3\text{sen}\theta \right)}^2}d\theta$

${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}3}^{\pi }{\left(1-2\text{cos}\theta \right)}^{2}d\theta -{\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}3}{\left(1-2\text{cos}\theta \right)}^2}}d\theta$

$4{\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}3}d\theta +16{\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}3}^{\pi \text{/}2}\left({\text{cos}}^2\theta \right)}}d\theta$

$9\pi$

$\frac{9\pi }{4}$

$\frac{9\pi }{8}$

$\frac{18\pi -27\sqrt{3}}{2}$

$\frac{4}{3}\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)$

$\frac{3}{2}\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)$

$2\pi -4$

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\left(1+\text{sen}\theta \right)}^2+{\text{cos}}^2\theta }}d\theta$

$\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{\theta }d\theta }$

$\frac{\sqrt{10}}{3}\left(e^6-1\right)$ grandes.

32

6,238

2

4,39

$A=\pi {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{2}\text{y}\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(1+2\text{sen}\theta \text{cos}\theta \right)}d\theta =\frac{\pi }{2}$

$C=2\pi \left(\frac{3}{2}\right)=3\pi \text{y}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }3}d\theta =3\pi$

$C=2\pi \left(5\right)=10\pi \text{y}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }10}d\theta =10\pi$

$\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime }(\theta )\text{sen}\theta +f\left(\theta \right)\text{cos}\theta }{f^{\prime }\left(\theta \right)\text{cos}\theta -f(\theta )\text{sen}\theta }$

La pendiente es $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

La pendiente es 0.

En $\left(4,0\right),$ la pendiente es indefinida. En $\left(\mathrm{-4},\frac{\pi }{2}\right),$ la pendiente es 0.

La pendiente es indefinida en $\theta =\frac{\pi }{4}.$

Pendiente = –1.

La pendiente es $\frac{\mathrm{-2}}{\pi }.$

Respuesta de la calculadora: –0,836.

Tangente horizontal en $\left(\text{±}\sqrt{2},\frac{\pi }{6}\right),$ $\left(\text{±}\sqrt{2},-\frac{\pi }{6}\right).$

Tangentes horizontales en $\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}.$ Tangentes verticales en $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ y también en el polo $(0,0).$

$y^2=16x$

$x^2=2y$

$x^2=\mathrm{-4}\left(y-3\right)$

${\left(x+3\right)}^2=8\left(y-3\right)$

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$

$\frac{{\left(y-1\right)}^2}{16}+\frac{{\left(x+3\right)}^2}{12}=1$

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{11}=1$

$\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$

$\frac{{\left(y+2\right)}^2}{4}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{32}=1$

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$

$e=1,$ parábola

$e=\frac{1}{2},$ elipse

$e=3,$ hipérbola

$r=\frac{4}{5+\text{cos}\theta }$

$r=\frac{4}{1+2\text{sen}\theta }$

Hipérbola

Elipse

Elipse

En el punto 2,25 pies por encima del vértice.

0,5625 pies

La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26,53 pies.

$r=\frac{\mathrm{2,616}}{1+\mathrm{0,995}\text{cos}\theta }$

$r=\frac{\mathrm{5,192}}{1+\mathrm{0,0484}\text{cos}\theta }$

Verdadero.

Falso. Imagine $y=t+1,$ $x=\text{−}t+1.$

$y=1-x^3$

$\frac{x^2}{16}+{(y-1)}^2=1$

Simetría alrededor del eje polar

$r^2=\frac{4}{{\text{sen}}^2\theta -{\text{cos}}^2\theta }$

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$\frac{e^2}{2}$

$9\sqrt{10}$

${\left(y+5\right)}^2=\mathrm{-8}x+32$

$\frac{{\left(y+1\right)}^2}{16}-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{9}=1$

$e=\frac{2}{3},$ elipse

$\frac{y^2}{{\mathrm{19,03}}^2}+\frac{x^2}{{\mathrm{19,63}}^2}=1,$ $e=\mathrm{0,2447}$