Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

7.3.1 Localizar puntos en un plano utilizando coordenadas polares.
7.3.2 Convertir puntos entre coordenadas rectangulares y polares.
7.3.3 Dibujar curvas polares a partir de ecuaciones dadas.
7.3.4 Convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
7.3.5 Identificar la simetría en curvas y ecuaciones polares.

El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para asignar puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se llama un mapeo biunívoco de puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares ofrece un método alternativo para asignar puntos a pares ordenados. En esta sección vemos que, en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares.

Definición de coordenadas polares

Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la Figura 7.27. El punto $P$ tiene coordenadas cartesianas $(x, y) .$ El segmento de línea que conecta el origen con el punto $P$ mide la distancia desde el origen hasta $P$ y tiene longitud $r .$ El ángulo entre el eje $x$ positivo y el segmento de línea tiene medida $θ .$ Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas $(x, y)$ y los valores $r$ y $θ .$ Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Observe que cada punto del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: $r$ y $θ .$

Se da un punto P(x, y) en el primer cuadrante con líneas dibujadas para indicar sus valores x y y. Hay una línea desde el origen hasta P(x, y) marcada como r y esta línea forma un ángulo θ con el eje x.

Figura 7.27 Un punto arbitrario en el plano cartesiano.

Utilizando la trigonometría del triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto $P :$

cos θ = \frac{x}{r} así que x = r cos θ

sen θ = \frac{y}{r} así que y = r sen θ .

Además,

r^{2} = x^{2} + y^{2} y tan θ = \frac{y}{x} .

Cada punto $(x, y)$ en el sistema de coordenadas cartesianas puede representarse, por tanto, como un par ordenado $(r, θ)$ en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular. Cada punto del plano puede representarse de esta forma.

Observe que la ecuación $tan θ = y / x$ tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado $(x, y) .$ Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre $0$ y $2 π$ entonces podemos asignar una solución única al cuadrante en el que el punto original $(x, y)$ se encuentra. Entonces el valor correspondiente de r es positivo, por lo que $r^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Teorema 7.4

Conversión de puntos entre sistemas de coordenadas

Dado un punto $P$ en el plano con coordenadas cartesianas $(x, y)$ y coordenadas polares $(r, θ),$ las siguientes fórmulas de conversión son válidas:

x = r cos θ y y = r sen θ,

(7.7)

r^{2} = x^{2} + y^{2} y tan θ = \frac{y}{x} .

(7.8)

Estas fórmulas pueden utilizarse para convertir de coordenadas rectangulares a polares o de polares a rectangulares.

Ejemplo 7.10

Conversión entre coordenadas rectangulares y polares

Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas polares.

$(1, 1)$ grandes.
$(−3, 4)$ grandes.
$(0, 3)$ grandes.
$(5 \sqrt{3}, −5)$

Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas rectangulares.

$(3, π / 3)$ grandes.
$(2, 3 π / 2)$ grandes.
$(6, −5 π / 6)$

Solución

Utilice la sustitución en $x = 1$ y $y = 1$ en la Ecuación 7.8:

$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & 1^{2} + 1^{2} \\ r & = & \sqrt{2} \end{matrix} & y & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{1}{1} = 1 \\ θ & = & \frac{π}{4} . \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ en coordenadas polares.
Utilice la sustitución en $x = −3$ y $y = 4$ en la Ecuación 7.8:

$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(−3)}^{2} + {(4)}^{2} \\ r & = & 5 \end{matrix} & y & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & - \frac{4}{3} \\ θ & = & - \arctan (\frac{4}{3}) \\ \approx & 2.21 . \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(5, 2,21)$ en coordenadas polares.
Utilice la sustitución en $x = 0$ y $y = 3$ en la Ecuación 7.8:

$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(3)}^{2} + {(0)}^{2} \\ = & 9 + 0 \\ r & = & 3 \end{matrix} & y & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{3}{0} . \end{matrix} \end{matrix}$

La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división entre cero. Graficando el punto $(0, 3)$ en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está situado en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es $\frac{π}{2} .$ Por lo tanto, este punto se puede representar como $(3, \frac{π}{2})$ en coordenadas polares.
Utilice la sustitución en $x = 5 \sqrt{3}$ y $y = −5$ en la Ecuación 7.8:

$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(5 \sqrt{3})}^{2} + {(−5)}^{2} \\ = & 75 + 25 \\ r & = & 10 \end{matrix} & y & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{−5}{5 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ θ & = & - \frac{π}{6} . \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(10, - \frac{π}{6})$ en coordenadas polares.
Utilice la sustitución en $r = 3$ y $θ = \frac{π}{3}$ en la Ecuación 7.7:

$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 3 cos (\frac{π}{3}) \\ = & 3 (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \end{matrix} & y & \begin{matrix} y & = & r sen θ \\ = & 3 sen (\frac{π}{3}) \\ = & 3 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} . \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ en coordenadas rectangulares.
Utilice la sustitución en $r = 2$ y $θ = \frac{3 π}{2}$ en la Ecuación 7.7:

$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 2 cos (\frac{3 π}{2}) \\ = & 2 (0) = 0 \end{matrix} & y & \begin{matrix} y & = & r sen θ \\ = & 2 sen (\frac{3 π}{2}) \\ = & 2 (–1) = –2. \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(0, –2)$ en coordenadas rectangulares.
Utilice la sustitución en $r = 6$ y $θ = - \frac{5 π}{6}$ en la Ecuación 7.7:

$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 6 cos (- \frac{5 π}{6}) \\ = & 6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & −3 \sqrt{3} \end{matrix} & y & \begin{matrix} y & = & r sen θ \\ = & 6 sen (- \frac{5 π}{6}) \\ = & 6 (- \frac{1}{2}) \\ = & –3. \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(−3 \sqrt{3}, −3)$ en coordenadas rectangulares.

Punto de control 7.10

Convierta $(–8, −8)$ en coordenadas polares y $(4, \frac{2 π}{3})$ en coordenadas rectangulares.

La representación polar de un punto no es única. Por ejemplo, las coordenadas polares $(2, \frac{π}{3})$ y $(2, \frac{7 π}{3})$ representan ambas el punto $(1, \sqrt{3})$ en el sistema rectangular. Además, el valor de $r$ puede ser negativo. Por lo tanto, el punto con coordenadas polares $(–2, \frac{4 π}{3})$ también representa el punto $(1, \sqrt{3})$ en el sistema rectangular, como podemos ver utilizando la Ecuación 7.8:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & −2 cos (\frac{4 π}{3}) \\ = & −2 (- \frac{1}{2}) = 1 \end{matrix} & y & \begin{matrix} y & = & r sen θ \\ = & –2 sen (\frac{4 π}{3}) \\ = & −2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Cada punto del plano tiene un número infinito de representaciones en coordenadas polares. Sin embargo, cada punto del plano solo tiene una representación en el sistema de coordenadas rectangulares.

Tenga en cuenta que la representación polar de un punto en el plano también tiene una interpretación visual. En particular, $r$ es la distancia dirigida que el punto tiene al origen y $θ$ mide el ángulo que forma el segmento de línea desde el origen hasta el punto con el eje $x$ positivo. Los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el sentido de las agujas del reloj. El sistema de coordenadas polares aparece en la siguiente figura.

Se dibuja una serie de círculos concéntricos con radios que indican diferentes valores entre 0 y 2π en incrementos de π/12. El primer cuadrante comienza con 0 donde estaría el eje x, luego el siguiente radio está marcado con π/12, luego π/6, π/4, π/3, 5π/12, π/2, y así sucesivamente en el segundo, tercer y cuarto cuadrante. El eje polar se observa cerca de la antigua línea del eje x.

Figura 7.28 El sistema de coordenadas polares.

El segmento de línea que parte del centro del gráfico hacia la derecha (llamado eje x positivo en el sistema cartesiano) es el eje polar. El punto central es el polo, u origen, del sistema de coordenadas y corresponde a $r = 0 .$ El círculo más interno que se muestra en la Figura 7.28 contiene todos los puntos a una distancia de 1 unidad del polo, y está representado por la ecuación $r = 1 .$ Entonces $r = 2$ es el conjunto de puntos a 2 unidades del polo, y así sucesivamente. Los segmentos de línea que emanan del polo corresponden a ángulos fijos. Para trazar un punto en el sistema de coordenadas polares, comience con el ángulo. Si el ángulo es positivo, mida el ángulo desde el eje polar en sentido contrario a las agujas del reloj. Si es negativo, mida en el sentido de las agujas del reloj. Si el valor de $r$ es positivo, mueve esa distancia a lo largo de la semirrecta del ángulo. Si es negativo, mueva a lo largo de la semirrecta opuesta a la semirrecta terminal del ángulo dado.

Ejemplo 7.11

Trazado de puntos en el plano polar

Trace cada uno de los siguientes puntos en el plano polar.

$(2, \frac{π}{4})$ grandes.
$(−3, \frac{2 π}{3})$ grandes.
$(4, \frac{5 π}{4})$

Solución

Los tres puntos se representan en la siguiente figura.

Se marcan tres puntos en un plano de coordenadas polares, concretamente (2, π/4) en el primer cuadrante, (4, 5π/4) en el tercer cuadrante y (–3, 2π/3) en el cuarto cuadrante.

Figura 7.29 Tres puntos trazados en el sistema de coordenadas polares.

Punto de control 7.11

Trace $(4, \frac{5 π}{3})$ y $(−3, - \frac{7 π}{2})$ en el plano polar.

Curvas polares

Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos hablar de cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función $y = f (x)$ y crear una curva en el plano cartesiano. De forma similar, podemos graficar una curva generada por una función $r = f (θ) .$

La idea general de graficar una función en coordenadas polares es la misma que la de graficar una función en coordenadas rectangulares. Comience con una lista de valores para la variable independiente $(θ$ en este caso) y calcule los valores correspondientes de la variable dependiente $r .$ Este proceso genera una lista de pares ordenados, que pueden ser trazados en el sistema de coordenadas polares. Por último, conecte los puntos y aproveche los patrones que puedan aparecer. La función puede ser periódica, por ejemplo, lo que indica que solo se necesita un número limitado de valores para la variable independiente.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: Trazado de una curva en coordenadas polares

Cree una tabla con dos columnas. La primera columna es para $θ,$ y la segunda columna es para $r .$
Cree una lista de valores para $θ .$
Calcule los valores $r$ correspondientes para cada $θ .$
Trace cada par ordenado $(r, θ)$ en los ejes de coordenadas.
Conecte los puntos y busque un patrón.

Medios

Vea este video para obtener más información sobre el trazado de curvas polares.

Ejemplo 7.12

Graficar una función en coordenadas polares

Grafique la curva definida por la función $r = 4 sen θ .$ Identifique la curva y reescriba la ecuación en coordenadas rectangulares.

Solución

Como la función es un múltiplo de la función de seno, es periódica con periodo $2 π,$ por lo que hay que utilizar los valores de $θ$ entre 0 y $2 π .$ El resultado de los pasos del 1 al 3 aparece en la siguiente tabla. La Figura 7.30 muestra el gráfico basado en esta tabla.

$θ$	$r = 4 sen θ$	$θ$	$r = 4 sen θ$
0	0	$π$	0
$\frac{π}{6}$	$2$	$\frac{7 π}{6}$	$−2$
$\frac{π}{4}$	$2 \sqrt{2} \approx 2,8$	$\frac{5 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} \approx –2,8$
$\frac{π}{3}$	$2 \sqrt{3} \approx 3,4$	$\frac{4 π}{3}$	$−2 \sqrt{3} \approx –3,4$
$\frac{π}{2}$	$4$	$\frac{3 π}{2}$	$–4$
$\frac{2 π}{3}$	$2 \sqrt{3} \approx 3,4$	$\frac{5 π}{3}$	$−2 \sqrt{3} \approx –3,4$
$\frac{3 π}{4}$	$2 \sqrt{2} \approx 2,8$	$\frac{7 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} \approx –2,8$
$\frac{5 π}{6}$	$2$	$\frac{11 π}{6}$	$−2$
		$2 π$	0

En el plano de coordenadas polares, se dibuja un círculo de radio 2. Toca el origen, (2 veces la raíz cuadrada de 2, π/4), (4, π/2) y (2 veces la raíz cuadrada de 2, 3π/4).

Figura 7.30 El gráfico de la función

r = 4 sen θ

es un círculo.

Este es el gráfico de un círculo. La ecuación $r = 4 sen θ$ se puede convertir en coordenadas rectangulares multiplicando primero ambos lados por $r .$ Esto da la ecuación $r^{2} = 4 r sen θ .$ A continuación, utilice los hechos que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ y $y = r sen θ .$ Esto da $x^{2} + y^{2} = 4 y .$ Para poner esta ecuación en forma estándar, reste $4 y$ de ambos lados de la ecuación y complete el cuadrado:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 y & = & 0 \\ x^{2} + (y^{2} - 4 y) & = & 0 \\ x^{2} + (y^{2} - 4 y + 4) & = & 0 + 4 \\ x^{2} + {(y - 2)}^{2} & = & 4. \end{matrix}

Esta es la ecuación de un círculo con radio 2 y centro $(0, 2)$ en el sistema de coordenadas rectangulares.

Punto de control 7.12

Cree un gráfico de la curva definida por la función $r = 4 + 4 cos θ .$

El gráfico en el Ejemplo 7.12 era el de un círculo. La ecuación del círculo puede transformarse en coordenadas rectangulares utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas en la Ecuación 7.8. El Ejemplo 7.14 da algunos ejemplos más de funciones para transformar de coordenadas polares a rectangulares.

Ejemplo 7.13

Transformación de ecuaciones polares a coordenadas rectangulares

Reescriba cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas rectangulares e identifique el gráfico.

$θ = \frac{π}{3}$
$r = 3$
$r = 6 cos θ - 8 sen θ$

Solución

Tome la tangente de ambos lados. Esto da $tan θ = tan (π / 3) = \sqrt{3} .$ Dado que $tan θ = y / x$ podemos sustituir el lado izquierdo de esta ecuación por $y / x .$ Esto da como resultado $y / x = \sqrt{3},$ que se puede reescribir como $y = x \sqrt{3} .$ Es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente $\sqrt{3} .$ En general, cualquier ecuación polar de la forma $θ = K$ representa una línea recta que pasa por el polo con pendiente igual a $tan K .$
Primero, eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Esto da $r^{2} = 9 .$ Reemplace a continuación $r^{2}$ con $x^{2} + y^{2} .$ Esto da la ecuación $x^{2} + y^{2} = 9,$ que es la ecuación de un círculo centrado en el origen con radio 3. En general, cualquier ecuación polar de la forma $r = k$ donde k es una constante positiva representa un círculo de radio k centrado en el origen. (Nota: Al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto debe tenerse siempre en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos puntos nuevos). Por ejemplo, $(−3, \frac{π}{3})$ es el mismo punto que $(3, \frac{4 π}{3}) .)$
Multiplique ambos lados de la ecuación por $r .$ Esto lleva a $r^{2} = 6 r cos θ - 8 r sen θ .$ A continuación, utilice las fórmulas

$r^{2} = x^{2} + y^{2}, x = r cos θ, y = r sen θ .$

Esto da

$\begin{matrix} r^{2} & = & 6 (r cos θ) - 8 (r sen θ) \\ x^{2} + y^{2} & = & 6 x - 8 y . \end{matrix}$

Para poner esta ecuación en forma estándar, primero hay que mover las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, y luego completar el cuadrado.

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 6 x - 8 y \\ x^{2} - 6 x + y^{2} + 8 y & = & 0 \\ (x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 8 y) & = & 0 \\ (x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 8 y + 16) & = & 9 + 16 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} & = & 25. \end{matrix}$

Esta es la ecuación de un círculo con centro en $(3, –4)$ y radio 5. Observe que el círculo pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades.

Punto de control 7.13

Reescriba la ecuación $r = sec θ tan θ$ en coordenadas rectangulares e identifique su gráfico.

Ya hemos visto varios ejemplos de dibujo de gráficos de curvas definidas por ecuaciones polares. En las tablas siguientes se ofrece un resumen de algunas curvas comunes. En cada ecuación, a y b son constantes arbitrarias.

Esta tabla tiene tres columnas y 3 filas. La primera fila es una fila de cabecera y se da de izquierda a derecha como nombre, ecuación y ejemplo. La segunda fila es la línea que pasa por el polo con pendiente tan K; θ = K; y una imagen de una línea recta en el plano de coordenadas polares con θ = π/3. La tercera fila es Círculo; r = a cosθ + b senθ; y una imagen de un círculo en el plano de coordenadas polares con ecuación r = 2 cos(t) – 3 sen(t): el círculo toca el origen pero tiene centro en el tercer cuadrante.

Figura 7.31

Esta tabla tiene tres columnas y 3 filas. La primera fila es Espiral; r = a + bθ; y una imagen de una espiral que comienza en el origen con la ecuación r = θ/3. La segunda fila es Cardioide; r = a(1 + cosθ), r = a(1 – cosθ), r = a(1 + senθ), r = a(1 – senθ); y una imagen de una cardioide con ecuación r = 3(1 + cosθ): la cardioide parece un corazón girado de lado con un fondo redondeado en vez de puntiagudo. La tercera fila es Caracol; r = a cosθ + b, r = a senθ + b; y una imagen de un caracol con ecuación r = 2 + 4 senθ: la figura parece un círculo deformado con un lazo en su interior. La séptima fila es Rosa; r = a cos(bθ), r = a sen(bθ); y una imagen de una rosa con ecuación r = 3 sen(2θ): la rosa parece una flor con cuatro pétalos, un pétalo en cada cuadrante, cada uno con longitud 3 y que llega al origen entre cada pétalo.

Figura 7.32

Una cardioide es un caso especial de un caracol, en el que $a = b$ o $a = − b .$ La rosa es una curva muy interesante. Observe que el gráfico de $r = 3 sen 2 θ$ tiene cuatro pétalos. Sin embargo, el gráfico de $r = 3 sen 3 θ$ tiene tres pétalos como se muestra.

Una rosa con tres pétalos, uno en el primer cuadrante, otro en el segundo y el tercero en el tercer y cuarto cuadrante, cada uno con una longitud de 3. Cada pétalo comienza y termina en el origen.

Figura 7.33 Gráfico de

r = 3 sen 3 θ .

Si el coeficiente de $θ$ es par, el gráfico tiene el doble de pétalos que el coeficiente. Si el coeficiente de $θ$ es impar, entonces el número de pétalos es igual al coeficiente. Se le anima a explorar por qué ocurre esto. Los gráficos son aún más interesantes cuando el coeficiente de $θ$ no es un número entero. Por ejemplo, si es racional, entonces la curva es cerrada; es decir, termina finalmente donde empezó (Figura 7.34(a)). Sin embargo, si el coeficiente es irracional, la curva nunca se cierra (Figura 7.34(b)). Aunque pueda parecer que la curva está cerrada, un examen más detallado revela que los pétalos situados justo encima del eje x positivo son ligeramente más gruesos. Esto se debe a que el pétalo no coincide del todo con el punto de partida.

Aquí se muestran dos figuras. La primera es una rosa con tantos pétalos superpuestos que se desarrollan algunos patrones, comenzando con una estrella puntiaguda de 10 puntas en el centro y pasando a un conjunto de pétalos cada vez más redondeados. La segunda figura es una rosa con aún más pétalos superpuestos, tantos que es imposible saber qué ocurre en el centro, pero en los bordes exteriores hay un número de pétalos muy redondeados.

Figura 7.34 Gráficos de rosa polar de funciones con (a) coeficiente racional y (b) coeficiente irracional. Observe que la rosa de la parte (b) llenaría realmente todo el círculo si se trazara en su totalidad.

Dado que la curva definida por el gráfico de $r = 3 sen (π θ)$ nunca se cierra, la curva representada en la Figura 7.34(b) es solo una representación parcial. De hecho, este es un ejemplo de curva de relleno de espacio. Una curva de relleno de espacio es aquella que de hecho ocupa un subconjunto bidimensional del plano real. En este caso la curva ocupa el círculo de radio 3 centrado en el origen.

Ejemplo 7.14

Inicio del capítulo: Describir una espiral

Recordemos el Nautilus pompilius que se presentó en el primer capítulo. Esta criatura muestra una espiral cuando se corta la mitad del caparazón exterior. Es posible describir una espiral utilizando coordenadas rectangulares. La Figura 7.35 muestra una espiral en coordenadas rectangulares. ¿Cómo podemos describir esta curva matemáticamente?

Una espiral que comienza en el origen y aumenta continuamente su radio hasta un punto P(x, y).

Figura 7.35 ¿Cómo podemos describir matemáticamente un gráfico en espiral?

Solución

A medida que el punto P recorre la espiral en sentido contrario a las agujas del reloj, su distancia d al origen aumenta. Supongamos que la distancia d es un múltiplo constante k del ángulo $θ$ que el segmento de línea OP forma con el eje x positivo. Por lo tanto, $d (P, O) = k θ,$ donde $O$ es el origen. Ahora utilice la fórmula de distancia y algo de trigonometría:

\begin{matrix} d (P, O) & = & k θ \\ \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} & = & k arctan (\frac{y}{x}) \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} & = & k arctan (\frac{y}{x}) \\ arctan (\frac{y}{x}) & = & \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{k} \\ y & = & x tan (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{k}) . \end{matrix}

Si bien esta ecuación describe la espiral, no es posible resolverla directamente ni para x ni para y. Sin embargo, si utilizamos coordenadas polares, la ecuación se simplifica mucho. En particular, $d (P, O) = r,$ y $θ$ es la segunda coordenada. Por lo tanto, la ecuación de la espiral se convierte en $r = k θ .$ Tenga en cuenta que cuando $θ = 0$ también tenemos $r = 0,$ por lo que la espiral emana del origen. Podemos eliminar esta restricción añadiendo una constante a la ecuación. Entonces la ecuación de la espiral se convierte en $r = a + k θ$ para constantes arbitrarias $a$ y $k .$ Se denomina espiral de Arquímedes, en honor al matemático griego Arquímedes.

Otro tipo de espiral es la espiral logarítmica, descrita por la función $r = a . b^{θ} .$ Un gráfico de la función $r = 1,2 ({1,25}^{θ})$ se encuentra en la Figura 7.36. Esta espiral describe la forma de la concha del Nautilus pompilius.

Aquí se muestran dos figuras. La primera es una concha con muchas cámaras que aumentan de tamaño desde el centro hacia fuera. La segunda es una espiral con ecuación r = 1,2(1,25θ).

Figura 7.36 Una espiral logarítmica es similar a la forma de la concha del Nautilus pompilius (créditos: modificación del trabajo de Jitze Couperus, Flickr).

Supongamos que una curva se describe en el sistema de coordenadas polares mediante la función $r = f (θ) .$ Como tenemos fórmulas de conversión de coordenadas polares a rectangulares dadas por

\begin{matrix} x = r cos θ \\ y = r sen θ, \end{matrix}

es posible reescribir estas fórmulas utilizando la función

\begin{matrix} x = f (θ) cos θ \\ y = f (θ) sen θ . \end{matrix}

Este paso da una parametrización de la curva en coordenadas rectangulares utilizando $θ$ como parámetro. Por ejemplo, la fórmula de la espiral $r = a + b θ$ de la Figura 7.31 se convierte en

\begin{matrix} x = (a + b θ) cos θ \\ y = (a + b θ) sen θ . \end{matrix}

Suponiendo que $θ$ va desde $− \infty$ a $\infty$ , genera toda la espiral.

Simetría en coordenadas polares

Al estudiar la simetría de las funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma $y = f (x)),$ hablamos de simetría con respecto al eje y y de simetría con respecto al origen. En particular, si $f (− x) = f (x)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función par y su gráfico es simétrico con respecto al eje y. Si los valores de $f (− x) = − f (x)$ para todo $x$ en el dominio de $f,$ entonces $f$ es una función impar y su gráfico es simétrico con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría presenta un gráfico, podemos saber más sobre su forma y apariencia. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de forma similar.

Teorema 7.5

Simetría en curvas y ecuaciones polares

Consideremos una curva generada por la función $r = f (θ)$ en coordenadas polares.

La curva es simétrica respecto al eje polar si para cada punto $(r, θ)$ en el gráfico, el punto $(r, − θ)$ también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación $r = f (θ)$ no se modifica al sustituir $θ$ con $− θ .$
La curva es simétrica respecto al polo si para cada punto $(r, θ)$ en el gráfico, el punto $(r, π + θ)$ también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación $r = f (θ)$ no se modifica al sustituir $r$ con $− r,$ o $θ$ con $π + θ .$
La curva es simétrica respecto a la línea vertical $θ = \frac{π}{2}$ si para cada punto $(r, θ)$ en el gráfico, el punto $(r, π - θ)$ también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación $r = f (θ)$ no se modifica cuando $θ$ se sustituye por $π - θ .$

La siguiente tabla muestra ejemplos de cada tipo de simetría.

Esta tabla tiene tres filas y dos columnas. La primera fila dice: "Simetría con respecto al eje polar": Para cada punto (r, θ) del gráfico, hay también un punto reflejado directamente en el eje horizontal (polar)" y tiene una imagen de una cardioide con ecuación r = 2 – 2 cosθ: esta cardioide tiene puntos marcados (r, θ) y (r, –θ), que son simétricos respecto al eje x, y toda la cardioide es simétrica respecto al eje x. La segunda fila dice: "Simetría con respecto al polo": Para cada punto (r, θ) del gráfico, hay también un punto del gráfico que se refleja a través del polo también" y tiene una imagen de un símbolo de infinito sesgado con ecuación r2 = 9 cos(2θ – π/2): esta figura tiene puntos marcados (r, θ) y (–r, θ), que son simétricos respecto al polo, y toda la figura es simétrica respecto al polo. La tercera fila dice: "Simetría con respecto a la línea vertical θ = π/2: Para cada punto (r, θ) del gráfico, hay también un punto reflejado directamente a través del eje vertical" y hay una imagen de una cardioide con ecuación r = 2 – 2 senθ: esta figura tiene puntos marcados (r, θ) y (r, π – θ), que son simétricos respecto a la línea vertical θ = π/2, y toda la cardioide es simétrica respecto a la línea vertical θ = π/2.

Ejemplo 7.15

Uso de la simetría para graficar una ecuación polar

Halle la simetría de la rosa definida por la ecuación $r = 3 sen (2 θ)$ y cree un gráfico.

Solución

Supongamos que el punto $(r, θ)$ está en el gráfico de $r = 3 sen (2 θ) .$

Para comprobar la simetría con respecto al eje polar, intente primero sustituir $θ$ con $− θ .$ Esto da $r = 3 sen (2 (− θ)) = −3 sen (2 θ) .$ Como esto cambia la ecuación original, esta prueba no se satisface. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo $r$ con $− r$ y $θ$ con $π - θ$ se obtiene

$\begin{matrix} − r = 3 sen (2 (π - θ)) \\ − r = 3 sen (2 π - 2 θ) \\ − r = 3 sen (−2 θ) \\ − r = −3 sen 2 θ . \end{matrix}$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $−1$ da como resultado $r = 3 sen 2 θ,$ que es la ecuación original. Esto demuestra que el gráfico es simétrico con respecto al eje polar.
Para comprobar la simetría con respecto al polo, primero hay que sustituir $r$ con $− r,$ que da como resultado $− r = 3 sen (2 θ) .$ Multiplicando ambos lados por –1 se obtiene $r = −3 sen (2 θ),$ que no coincide con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo $θ$ con $θ + π$ da como resultado

$\begin{matrix} r & = 3 sen (2 (θ + π)) \\ = 3 sen (2 θ + 2 π) \\ = 3 (sen 2 θ cos 2 π + cos 2 θ sen 2 π) \\ = 3 sen 2 θ . \end{matrix}$

Como esto coincide con la ecuación original, el gráfico es simétrico respecto al polo.
Para comprobar la simetría con respecto a la línea vertical $θ = \frac{π}{2},$ sustituya primero ambos $r$ con $− r$ y $θ$ con $− θ .$

$\begin{matrix} − r = 3 sen (2 (− θ)) \\ − r = 3 sen (−2 θ) \\ − r = −3 sen 2 θ . \end{matrix}$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $−1$ da como resultado $r = 3 sen 2 θ,$ que es la ecuación original. Por lo tanto, el gráfico es simétrico respecto a la línea vertical $θ = \frac{π}{2} .$

Este gráfico tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que pasa por el polo. Para graficar la función, tabule los valores de $θ$ entre 0 y $π / 2$ y luego refleje el gráfico resultante.

$θ$	$r$
$0$	$0$
$\frac{π}{6}$	$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2,6$
$\frac{π}{4}$	$3$
$\frac{π}{3}$	$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2,6$
$\frac{π}{2}$	$0$

Esto da un pétalo de la rosa, como se muestra en el siguiente gráfico.

Un solo pétalo se grafica con la ecuación r = 3 sen(2θ) para 0 ≤ θ ≤ π/2. Comienza en el origen y alcanza una distancia máxima desde el origen de 3.

Figura 7.37 El gráfico de la ecuación entre

θ = 0

y

θ = π / 2 .

Reflejando esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo que se muestra.

Una rosa de cuatro pétalos se grafica con la ecuación r = 3 sen(2θ). Cada pétalo comienza en el origen y alcanza una distancia máxima del origen de 3.

Figura 7.38 El gráfico completa de la ecuación se llama rosa de cuatro pétalos.

Punto de control 7.14

Determine la simetría del gráfico determinado por la ecuación $r = 2 cos (3 θ)$ y cree un gráfico.

Sección 7.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, trace el punto cuyas coordenadas polares están dadas construyendo primero el ángulo $θ$ y luego marcando la distancia r a lo largo del rayo.

125.

$(3, \frac{π}{6})$

126.

$(–2, \frac{5 π}{3})$ grandes.

127.

$(0, \frac{7 π}{6})$

128.

$(−4, \frac{3 π}{4})$ grandes.

129.

$(1, \frac{π}{4})$

130.

$(2, \frac{5 π}{6})$ grandes.

131.

$(1, \frac{π}{2})$

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico polar que aparece a continuación. Da dos conjuntos de coordenadas polares para cada punto.

El plano de coordenadas polares está dividido en 12 sectores. El punto A se dibuja en el primer círculo del primer radio sobre la línea θ = 0 en el primer cuadrante. El punto B se dibuja en el cuarto cuadrante del tercer círculo y el segundo radio por debajo de la línea θ = 0. El punto C se dibuja en la línea θ = π del tercer círculo. El punto D se dibuja en el cuarto círculo del primer radio por debajo de la línea θ = π.

132.

Coordenadas del punto A.

133.

Coordenadas del punto B.

134.

Coordenadas del punto C.

135.

Coordenadas del punto D.

En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Halle dos conjuntos de coordenadas polares para el punto en $(0, 2 π] .$ Redondee a tres decimales.

136.

$(2, 2)$ grandes.

137.

$(3, –4)$ grandes.

138.

$(8, 15)$ grandes.

139.

$(–6, 8)$ grandes.

140.

$(4, 3)$ grandes.

141.

$(3, − \sqrt{3})$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas rectangulares para el punto dado en coordenadas polares.

142.

$(2, \frac{5 π}{4})$ grandes.

143.

$(–2, \frac{π}{6})$ grandes.

144.

$(5, \frac{π}{3})$ grandes.

145.

$(1, \frac{7 π}{6})$ grandes.

146.

$(−3, \frac{3 π}{4})$ grandes.

147.

$(0, \frac{π}{2})$ grandes.

148.

$(–4,5, 6,5)$

En los siguientes ejercicios, determine si los gráficos de la ecuación polar son simétricos respecto al eje $x$ , al eje $y$ o al origen.

149.

$r = 3 sen (2 θ)$

150.

$r^{2} = 9 cos θ$

151.

$r = cos (\frac{θ}{5})$

152.

$r = 2 s θ$

153.

$r = 1 + cos θ$

En los siguientes ejercicios, describa el gráfico de cada ecuación polar. Confirme cada descripción convirtiéndola en una ecuación rectangular.

154.

$r = 3$

155.

$θ = \frac{π}{4}$

156.

$r = sec θ$

157.

$r = csc θ$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico.

158.

$x^{2} + y^{2} = 16$

159.

$x^{2} - y^{2} = 16$

160.

$x = 8$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico.

161.

$3 x - y = 2$

162.

$y^{2} = 4 x$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar en forma rectangular y dibuje su gráfico.

163.

$r = 4 sen θ$

164.

$r = 6 cos θ$

165.

$r = θ$

166.

$r = cot θ csc θ$

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la ecuación polar e identifique cualquier simetría.

167.

$r = 1 + sen θ$

168.

$r = 3 - 2 cos θ$

169.

$r = 2 - 2 sen θ$

170.

$r = 5 - 4 sen θ$

171.

$r = 3 cos (2 θ)$

172.

$r = 3 sen (2 θ)$ grandes.

173.

$r = 2 cos (3 θ)$

174.

$r = 3 cos (\frac{θ}{2})$ grandes.

175.

$r^{2} = 4 cos (2 θ)$

176.

$r^{2} = 4 sen θ$

177.

$r = 2 θ$

178.

[T] El gráfico de $r = 2 cos (2 θ) sec (θ) .$ se denomina estrofoide. Utilice una herramienta gráfica para dibujar el gráfico y, a partir de este, determine la asíntota.

179.

[T] Utilice una herramienta gráfica y dibuje el gráfico de $r = \frac{6}{2 sen θ - 3 cos θ} .$

180.

[T] Utilice una herramienta gráfica para graficar $r = \frac{1}{1 - cos θ} .$

181.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar $r = e^{sen (θ)} - 2 cos (4 θ) .$

182.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar $r = sen (\frac{3 θ}{7})$ (utilice el intervalo $0 \leq θ \leq 14 π) .$

183.

Sin utilizar ningún dispositivo tecnológico, dibuje la curva polar $θ = \frac{2 π}{3} .$

184.

[T] Utilice una herramienta gráfica para trazar $r = θ sen θ$ para $− π \leq θ \leq π .$

185.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar $r = e^{–0,1 θ}$ para $−10 \leq θ \leq 10 .$

186.

[T] Hay una curva conocida como el "agujero negro". Utilice un dispositivo tecnológico para trazar $r = e^{–0,01 θ}$ para $–100 \leq θ \leq 100 .$

187.

[T] Utilice los resultados de los dos problemas anteriores para explorar los gráficos de $r = e^{–0,001 θ}$ y $r = e^{–0,0001 θ}$ para $| θ | > 100 .$

7.3 Coordenadas polares

Definición de coordenadas polares

Conversión de puntos entre sistemas de coordenadas

Conversión entre coordenadas rectangulares y polares

Solución

Trazado de puntos en el plano polar

Solución

Curvas polares

Estrategia de resolución de problemas: Trazado de una curva en coordenadas polares

Graficar una función en coordenadas polares

Solución

Transformación de ecuaciones polares a coordenadas rectangulares

Solución

Inicio del capítulo: Describir una espiral

Solución

Simetría en coordenadas polares

Simetría en curvas y ecuaciones polares

Uso de la simetría para graficar una ecuación polar

Solución

Sección 7.3 ejercicios