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Cálculo volumen 2

7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

Cálculo volumen 27.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 7.4.1 Aplicar la fórmula del área de una región en coordenadas polares.
  • 7.4.2 Determinar la longitud de arco de una curva polar.

En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función y=f(x)y=f(x) definida a partir de x=ax=a a x=bx=b donde f(x)>0f(x)>0 en este intervalo, el área entre la curva y el eje x está dada por A=abf(x)dx.A=abf(x)dx. Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el teorema fundamental del cálculo. Del mismo modo, la longitud de arco de esta curva está dada por L=ab1+(f(x))2 dx.L=ab1+(f(x))2 dx. En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para el área y la longitud de arco en el sistema de coordenadas polares.

Áreas de regiones delimitadas por curvas polares

Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo.

Consideremos una curva definida por la función r=f(θ),r=f(θ), donde αθβ.αθβ. Nuestro primer paso es dividir el intervalo [α,β][α,β] en n subintervalos de igual ancho. El ancho de cada subintervalo está dado por la fórmula Δθ=(βα)/n,Δθ=(βα)/n, y el i−ésimo punto de partición θiθi está dado por la fórmula θi=α+iΔθ.θi=α+iΔθ. Cada punto de partición θ=θiθ=θi define una línea con pendiente tanθitanθi que pasa por el polo como se muestra en el siguiente gráfico.

En el plano de coordenadas polares, se dibuja una curva en el primer cuadrante, y hay semirrectas desde el origen que intersecan esta curva en un intervalo regular. Cada vez que uno de estas semirrectas cruza la curva, se hace una línea perpendicular desde la semirrecta hasta la siguiente. La primera instancia de una intersección semirrecta-curva está marcada como θ = α; la última instancia está marcada como θ = β. Los intermedios están marcados como θ1, θ2, ..., θn-1.
Figura 7.39 Una partición de una curva típica en coordenadas polares.

Los segmentos de la línea están conectados por arcos de radio constante. Esto define sectores cuyas áreas pueden calcularse mediante una fórmula geométrica. El área de cada sector se utiliza entonces para aproximar el área entre los segmentos de línea sucesivos. A continuación, sumamos las áreas de los sectores para aproximarnos al área total. Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula del área de un sector del círculo se ilustra en la siguiente figura.

Se dibuja un círculo de radio r y un sector de ángulo θ. Se observa que A = (1/2) θ r2.
Figura 7.40 El área de un sector de un círculo está dada por A = 1 2 θ r 2 . A = 1 2 θ r 2 .

Recordemos que el área de un círculo es A=πr2 .A=πr2 . Al medir los ángulos en radianes, 360 grados es igual a 2 π2 π radianes. Por lo tanto, una fracción de un círculo se puede medir por el ángulo central θ.θ. La fracción del círculo está dada por θ2 π,θ2 π, por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total:

A=(θ2 π)πr2 =12 θr2 .A=(θ2 π)πr2 =12 θr2 .

Dado que el radio de un sector típico en la Figura 7.39 está dado por ri=f(θi),ri=f(θi), el área del i−ésimo sector está dada por

Ai=12 (Δθ)(f(θi))2 .Ai=12 (Δθ)(f(θi))2 .

Por lo tanto, una suma de Riemann que aproxima el área está dada por

An=i=1nAii=1n12 (Δθ)(f(θi))2 .An=i=1nAii=1n12 (Δθ)(f(θi))2 .

Tomamos el límite a medida que nn para obtener el área exacta:

A=límnAn=12 αβ(f(θ))2 dθ.A=límnAn=12 αβ(f(θ))2 dθ.

Esto da el siguiente teorema.

Teorema 7.6

Área de una región delimitada por una curva polar

Supongamos que ff es continua y no negativa en el intervalo αθβαθβ con 0<βα2 π.0<βα2 π. El área de la región delimitada por el gráfico de r=f(θ)r=f(θ) entre las líneas radiales θ=αθ=α y θ=βθ=β es

A=12 αβ[f(θ)]2 dθ=12 αβr2 dθ.A=12 αβ[f(θ)]2 dθ=12 αβr2 dθ.
(7.9)

Ejemplo 7.16

Hallar el área de una región polar

Halle el área de un pétalo de la rosa definida por la ecuación r=3sen(2 θ).r=3sen(2 θ).

Punto de control 7.15

Halle el área dentro de la cardioide definida por la ecuación r=1cosθ.r=1cosθ.

El Ejemplo 7.16 implicaba hallar el área dentro de una curva. También podemos utilizar Área de una región delimitada por una curva polar para hallar el área entre dos curvas polares. Sin embargo, a menudo necesitamos hallar los puntos de intersección de las curvas y determinar qué función define la curva exterior o la curva interna entre estos dos puntos.

Ejemplo 7.17

Hallar el área entre dos curvas polares

Halle el área fuera de la cardioide r=2 +2 senθr=2 +2 senθ y dentro del círculo r=6senθ.r=6senθ.

Punto de control 7.16

Halle el área dentro del círculo r=4cosθr=4cosθ y fuera del círculo r=2 .r=2 .

En el Ejemplo 7.17 hallamos el área dentro del círculo y fuera de la cardioide hallando primero sus puntos de intersección. Observe que al resolver la ecuación directamente para θθ ha aportado dos soluciones θ=π6θ=π6 y θ=5π6.θ=5π6. Sin embargo, en el gráfico hay tres puntos de intersección. El tercer punto de intersección es el origen. La razón por la que este punto no aparece como solución es porque el origen está en ambos gráficos pero para diferentes valores de θ.θ. Por ejemplo, para la cardioide obtenemos

2 +2 senθ=0senθ=−1,2 +2 senθ=0senθ=−1,

por lo que los valores de θθ que resuelven esta ecuación son θ=3π2 +2 nπ,θ=3π2 +2 nπ, donde n es un número entero cualquiera. Para el círculo obtenemos

6senθ=0.6senθ=0.

Las soluciones de esta ecuación son de la forma θ=nπθ=nπ para cualquier valor entero de n. Estos dos conjuntos de soluciones no tienen puntos en común. Independientemente de este hecho, las curvas se cruzan en el origen. Este caso debe tenerse siempre en cuenta.

Longitud del arco en curvas polares

Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares.

En coordenadas rectangulares, la longitud de arco de una curva parametrizada (x(t),y(t))(x(t),y(t)) para atbatb está dada por

L=ab(dxdt)2 +(dydt)2 dt.L=ab(dxdt)2 +(dydt)2 dt.

En coordenadas polares definimos la curva mediante la ecuación r=f(θ),r=f(θ), donde αθβ.αθβ. Para adaptar la fórmula de la longitud de arco para una curva polar, utilizamos las ecuaciones

x=rcosθ=f(θ)cosθyy=rsenθ=f(θ)senθ,x=rcosθ=f(θ)cosθyy=rsenθ=f(θ)senθ,

y sustituimos el parámetro t por θ.θ. Entonces

dxdθ=f(θ)cosθf(θ)senθdydθ=f(θ)senθ+f(θ)cosθ.dxdθ=f(θ)cosθf(θ)senθdydθ=f(θ)senθ+f(θ)cosθ.

Reemplazamos dtdt por dθ,dθ, y los límites inferior y superior de integración son αα y β,β, respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud de arco se convierte en

L=ab(dxdt)2 +(dydt)2 dt=αβ(dxdθ)2 +(dydθ)2 dθ=αβ(f(θ)cosθf(θ)senθ)2 +(f(θ)senθ+f(θ)cosθ)2 dθ=αβ(f(θ))2 (cos2 θ+sen2 θ)+(f(θ))2 (cos2 θ+sen2 θ)dθ=αβ(f(θ))2 +(f(θ))2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.L=ab(dxdt)2 +(dydt)2 dt=αβ(dxdθ)2 +(dydθ)2 dθ=αβ(f(θ)cosθf(θ)senθ)2 +(f(θ)senθ+f(θ)cosθ)2 dθ=αβ(f(θ))2 (cos2 θ+sen2 θ)+(f(θ))2 (cos2 θ+sen2 θ)dθ=αβ(f(θ))2 +(f(θ))2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.

Esto nos da el siguiente teorema.

Teorema 7.7

Longitud de arco de una curva definida por una función polar

Supongamos que ff es una función cuya derivada es continua en un intervalo αθβ.αθβ. La longitud del gráfico de r=f(θ)r=f(θ) de θ=αθ=α a θ=βθ=β es

L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.
(7.10)

Ejemplo 7.18

Hallar la longitud del arco de una curva polar

Halle la longitud de arco de la cardioide r=2 +2 cosθ. r=2 +2 cosθ.

Punto de control 7.17

Halle la longitud de arco total de r=3senθ.r=3senθ.

Sección 7.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área.

188.

Región delimitada por r=4r=4

189.

Región delimitada por r=3senθr=3senθ

190.

Región en el primer cuadrante dentro de la cardioide r=1+senθr=1+senθ

191.

Región delimitada por un pétalo de r=8sen(2 θ)r=8sen(2 θ) grandes.

192.

Región delimitada por un pétalo de r=cos(3θ)r=cos(3θ)

193.

Región por debajo del eje polar y delimitada por r=1senθr=1senθ

194.

Región del primer cuadrante delimitada por r=2 cosθr=2 cosθ

195.

Región delimitada por el lazo interno de r=2 3senθr=2 3senθ

196.

Región delimitada por el lazo interno de r=34cosθr=34cosθ

197.

Región delimitada por r=12 cosθr=12 cosθ y fuera del lazo interno

198.

Región común a r=3senθyr=2 senθr=3senθyr=2 senθ

199.

Región común a r=2 yr=4cosθr=2 yr=4cosθ

200.

Región común a r=3cosθyr=3senθr=3cosθyr=3senθ

En los siguientes ejercicios, halle el área de la región descrita.

201.

Delimitada por r=6senθr=6senθ

202.

Por encima del eje polar delimitado por r=2 +senθr=2 +senθ

203.

Por debajo del eje polar y delimitado por r=2 cosθr=2 cosθ

204.

Delimitada por un pétalo de r=4cos(3θ)r=4cos(3θ)

205.

Delimitada por un pétalo de r=3cos(2 θ)r=3cos(2 θ) grandes.

206.

Delimitada por r=1+senθr=1+senθ

207.

Delimitada por el lazo interno de r=3+6cosθr=3+6cosθ

208.

Delimitada por r=2 +4cosθr=2 +4cosθ y fuera del lazo interno

209.

Interior común de r=4sen(2 θ)yr=2 r=4sen(2 θ)yr=2

210.

Interior común de r=32 senθyr=−3+2 senθr=32 senθyr=−3+2 senθ

211.

Interior común de r=6senθyr=3r=6senθyr=3

212.

Dentro de r=1+cosθr=1+cosθ y fuera de r=cosθr=cosθ

213.

Interior común de r=2 +2 cosθyr=2 senθr=2 +2 cosθyr=2 senθ

En los siguientes ejercicios, calcule una integral definida que represente la longitud del arco.

214.

r = 4 cos θ en el intervalo 0 θ π 2 r = 4 cos θ en el intervalo 0 θ π 2

215.

r=1+senθr=1+senθ en el intervalo 0θ2 π0θ2 π

216.

r = 2 s θ en el intervalo 0 θ π 3 r = 2 s θ en el intervalo 0 θ π 3

217.

r = e θ en el intervalo 0 θ 1 r = e θ en el intervalo 0 θ 1

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de la curva en el intervalo dado.

218.

r = 6 en el intervalo 0 θ π 2 r = 6 en el intervalo 0 θ π 2

219.

r = e 3 θ en el intervalo 0 θ 2 r = e 3 θ en el intervalo 0 θ 2

220.

r = 6 cos θ en el intervalo 0 θ π 2 r = 6 cos θ en el intervalo 0 θ π 2

221.

r = 8 + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π r = 8 + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π

222.

r = 1 sen θ en el intervalo 0 θ 2 π r = 1 sen θ en el intervalo 0 θ 2 π

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.

223.

[T] r=3θen el intervalo0θπ2 r=3θen el intervalo0θπ2

224.

[T] r=2 θen el intervaloπθ2 πr=2 θen el intervaloπθ2 π

225.

[T] r=sen2 (θ2 )en el intervalo0θπr=sen2 (θ2 )en el intervalo0θπ

226.

[T] r=2 θ2 en el intervalo0θπr=2 θ2 en el intervalo0θπ

227.

[T] r=sen(3cosθ)en el intervalo0θπr=sen(3cosθ)en el intervalo0θπ

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar el área de la región descrita y luego confirme utilizando la integral definida.

228.

r = 3 sen θ en el intervalo 0 θ π r = 3 sen θ en el intervalo 0 θ π

229.

r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 θ π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 θ π

230.

r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar la longitud de la curva y luego confirme utilizando la integral definida.

231.

r = 3 sen θ en el intervalo 0 θ π r = 3 sen θ en el intervalo 0 θ π

232.

r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 θ π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 θ π

233.

r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 θ π

234.

Compruebe que si y=rsenθ=f(θ)senθy=rsenθ=f(θ)senθ entonces dydθ=f(θ)senθ+f(θ)cosθ.dydθ=f(θ)senθ+f(θ)cosθ.

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de una línea tangente a una curva polar r=f(θ).r=f(θ). Supongamos que x=rcosθ=f(θ)cosθx=rcosθ=f(θ)cosθ y y=rsenθ=f(θ)senθ,y=rsenθ=f(θ)senθ, por lo que la ecuación polar r=f(θ)r=f(θ) se escribe ahora en forma paramétrica.

235.

Utilice la definición de la derivada dydx=dy/dθdx/dθdydx=dy/dθdx/dθ y la regla del producto para calcular la derivada de una ecuación polar.

236.

r=1senθ;r=1senθ; (12 ,π6)(12 ,π6) grandes.

237.

r=4cosθ;r=4cosθ; (2 ,π3)(2 ,π3)

238.

r=8senθ;r=8senθ; (4,5π6)(4,5π6) grandes.

239.

r=4+senθ;r=4+senθ; (3,3π2 )(3,3π2 )

240.

r=6+3cosθ;r=6+3cosθ; (3,π)(3,π) grandes.

241.

r=4cos(2 θ);r=4cos(2 θ); puntas de las hojas

242.

r=2 sen(3θ);r=2 sen(3θ); puntas de las hojas

243.

r=2 θ;r=2 θ; (π2 ,π4)(π2 ,π4)

244.

Halle los puntos del intervalo πθππθπ en los que la cardioide r=1cosθr=1cosθ tiene una línea tangente vertical u horizontal.

245.

Para la cardioide r=1+senθ,r=1+senθ, halle la pendiente de la línea tangente cuando θ=π3.θ=π3.

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de θ.θ.

246.

r = 3 cos θ , θ = π 3 r = 3 cos θ , θ = π 3

247.

r=θ,r=θ, θ=π2 θ=π2

248.

r=lnθ,r=lnθ, θ=eθ=e

249.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico: r=2 +4cosθr=2 +4cosθ en θ=π6θ=π6

En los siguientes ejercicios, halle los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical.

250.

r = 4 cos θ r = 4 cos θ

251.

r 2 = 4 cos ( 2 θ ) r 2 = 4 cos ( 2 θ )

252.

r = 2 sen ( 2 θ ) r = 2 sen ( 2 θ )

253.

La cardioide r=1+senθr=1+senθ

254.

Demuestre que la curva r=senθtanθr=senθtanθ (llamada cisoide de Diocles) tiene la línea x=1x=1 como asíntota vertical.

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