Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

7.4.1 Aplicar la fórmula del área de una región en coordenadas polares.
7.4.2 Determinar la longitud de arco de una curva polar.

En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función $y = f (x)$ definida a partir de $x = a$ a $x = b$ donde $f (x) > 0$ en este intervalo, el área entre la curva y el eje x está dada por $A = \int_{a}^{b} f (x) d x .$ Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el teorema fundamental del cálculo. Del mismo modo, la longitud de arco de esta curva está dada por $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x .$ En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para el área y la longitud de arco en el sistema de coordenadas polares.

Áreas de regiones delimitadas por curvas polares

Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo.

Consideremos una curva definida por la función $r = f (θ),$ donde $α \leq θ \leq β .$ Nuestro primer paso es dividir el intervalo $[α, β]$ en n subintervalos de igual ancho. El ancho de cada subintervalo está dado por la fórmula $Δ θ = (β - α) / n,$ y el i−ésimo punto de partición $θ_{i}$ está dado por la fórmula $θ_{i} = α + i Δ θ .$ Cada punto de partición $θ = θ_{i}$ define una línea con pendiente $tan θ_{i}$ que pasa por el polo como se muestra en el siguiente gráfico.

En el plano de coordenadas polares, se dibuja una curva en el primer cuadrante, y hay semirrectas desde el origen que intersecan esta curva en un intervalo regular. Cada vez que uno de estas semirrectas cruza la curva, se hace una línea perpendicular desde la semirrecta hasta la siguiente. La primera instancia de una intersección semirrecta-curva está marcada como θ = α; la última instancia está marcada como θ = β. Los intermedios están marcados como θ1, θ2, ..., θn-1.

Figura 7.39 Una partición de una curva típica en coordenadas polares.

Los segmentos de la línea están conectados por arcos de radio constante. Esto define sectores cuyas áreas pueden calcularse mediante una fórmula geométrica. El área de cada sector se utiliza entonces para aproximar el área entre los segmentos de línea sucesivos. A continuación, sumamos las áreas de los sectores para aproximarnos al área total. Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula del área de un sector del círculo se ilustra en la siguiente figura.

Se dibuja un círculo de radio r y un sector de ángulo θ. Se observa que A = (1/2) θ r2.

Figura 7.40 El área de un sector de un círculo está dada por

A = \frac{1}{2} θ r^{2} .

Recordemos que el área de un círculo es $A = π r^{2} .$ Al medir los ángulos en radianes, 360 grados es igual a $2 π$ radianes. Por lo tanto, una fracción de un círculo se puede medir por el ángulo central $θ .$ La fracción del círculo está dada por $\frac{θ}{2 π},$ por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total:

A = (\frac{θ}{2 π}) π r^{2} = \frac{1}{2} θ r^{2} .

Dado que el radio de un sector típico en la Figura 7.39 está dado por $r_{i} = f (θ_{i}),$ el área del i−ésimo sector está dada por

A_{i} = \frac{1}{2} (Δ θ) {(f (θ_{i}))}^{2} .

Por lo tanto, una suma de Riemann que aproxima el área está dada por

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} A_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} (Δ θ) {(f (θ_{i}))}^{2} .

Tomamos el límite a medida que $n \to \infty$ para obtener el área exacta:

A = \underset{n \to \infty}{lím} A_{n} = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {(f (θ))}^{2} d θ .

Esto da el siguiente teorema.

Teorema 7.6

Área de una región delimitada por una curva polar

Supongamos que $f$ es continua y no negativa en el intervalo $α \leq θ \leq β$ con $0 < β - α \leq 2 π .$ El área de la región delimitada por el gráfico de $r = f (θ)$ entre las líneas radiales $θ = α$ y $θ = β$ es

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {[f (θ)]}^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} d θ .

(7.9)

Ejemplo 7.16

Hallar el área de una región polar

Halle el área de un pétalo de la rosa definida por la ecuación $r = 3 sen (2 θ) .$

Solución

El gráfico de $r = 3 sen (2 θ)$ es el siguiente.

Una rosa de cuatro pétalos con la extensión más lejana 3 del origen en π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4.

Figura 7.41 El gráfico de

r = 3 sen (2 θ) .

Cuando $θ = 0$ tenemos $r = 3 sen (2 (0)) = 0 .$ El siguiente valor para el que $r = 0$ es $θ = π / 2 .$ Esto se puede ver resolviendo la ecuación $3 sen (2 θ) = 0$ para $θ .$ Por lo tanto, los valores $θ = 0$ a $θ = π / 2$ traza el primer pétalo de la rosa. Para hallar el área dentro de este pétalo, utilice la Ecuación 7.9 con $f (θ) = 3 sen (2 θ),$ $α = 0,$ y $β = π / 2 :$

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {[f (θ)]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} {[3 sen (2 θ)]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} 9 {sen}^{2} (2 θ) d θ . \end{matrix}

Para evaluar esta integral, utilice la fórmula ${sen}^{2} α = (1 - cos (2 α)) / 2$ con $α = 2 θ :$

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} 9 {sen}^{2} (2 θ) d θ \\ = \frac{9}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{(1 - cos (4 θ))}{2} d θ \\ = \frac{9}{4} (\int_{0}^{π / 2} 1 - cos (4 θ) d θ) \\ = \frac{9}{4} {(θ - \frac{sen (4 θ)}{4})}_{0}^{π / 2} \\ = \frac{9}{4} (\frac{π}{2} - \frac{sen 2 π}{4}) - \frac{9}{4} (0 - \frac{sen 4 (0)}{4}) \\ = \frac{9 π}{8} . \end{matrix}

Punto de control 7.15

Halle el área dentro de la cardioide definida por la ecuación $r = 1 - cos θ .$

El Ejemplo 7.16 implicaba hallar el área dentro de una curva. También podemos utilizar Área de una región delimitada por una curva polar para hallar el área entre dos curvas polares. Sin embargo, a menudo necesitamos hallar los puntos de intersección de las curvas y determinar qué función define la curva exterior o la curva interna entre estos dos puntos.

Ejemplo 7.17

Hallar el área entre dos curvas polares

Halle el área fuera de la cardioide $r = 2 + 2 sen θ$ y dentro del círculo $r = 6 sen θ .$

Solución

Primero dibuje un gráfico que contenga ambas curvas como se muestra.

Se muestra una cardioide con ecuación r = 2 + 2 senθ, por lo que tiene su parte superior del corazón en el origen y el resto de la cardioide apunta hacia arriba. Existe un círculo de radio 6 centrado en (3, π/2). El área por encima de la cardioide, pero por debajo del círculo, está sombreada en anaranjado.

Figura 7.42 La región entre las curvas

r = 2 + 2 sen θ

y

r = 6 sen θ .

Para determinar los límites de la integración, primero hay que hallar los puntos de intersección fijando las dos funciones iguales entre sí y resolviendo para $θ :$

\begin{matrix} 6 sen θ & = & 2 + 2 sen θ \\ 4 sen θ & = & 2 \\ sen θ & = & \frac{1}{2} . \end{matrix}

Esto da las soluciones $θ = \frac{π}{6}$ y $θ = \frac{5 π}{6},$ que son los límites de la integración. El círculo $r = 3 sen θ$ es el gráfico rojo, que es la función exterior, y la cardioide $r = 2 + 2 sen θ$ es el gráfico azul, que es la función interna. Para calcular el área entre las curvas, comience con el área dentro del círculo entre $θ = \frac{π}{6}$ y $θ = \frac{5 π}{6},$ luego reste el área dentro de la cardioide entre $θ = \frac{π}{6}$ y $θ = \frac{5 π}{6} :$

\begin{matrix} A & = círculo - cardioide \\ = \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} {[6 sen θ]}^{2} d θ - \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} {[2 + 2 sen θ]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} 36 {sen}^{2} θ d θ - \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} [4 + 8 sen θ + 4 {sen}^{2} θ] d θ \\ = 18 \int_{π / 6}^{5 π / 6} \frac{1 - cos (2 θ)}{2} d θ - 2 \int_{π / 6}^{5 π / 6} [1 + 2 sen θ + \frac{1 - cos (2 θ)}{2}] d θ \\ = 9 {[θ - \frac{sen (2 θ)}{2}]}_{π / 6}^{5 π / 6} - 2 {[\frac{3 θ}{2} - 2 cos θ - \frac{sen (2 θ)}{4}]}_{π / 6}^{5 π / 6} \\ = 9 (\frac{5 π}{6} - \frac{sen 2 (5 π / 6)}{2}) - 9 (\frac{π}{6} - \frac{sen 2 (π / 6)}{2}) \\ − (3 (\frac{5 π}{6}) - 4 cos \frac{5 π}{6} - \frac{sen 2 (5 π / 6)}{2}) + (3 (\frac{π}{6}) - 4 cos \frac{π}{6} - \frac{sen 2 (π / 6)}{2}) \\ = 4 π . \end{matrix}

Punto de control 7.16

Halle el área dentro del círculo $r = 4 cos θ$ y fuera del círculo $r = 2 .$

En el Ejemplo 7.17 hallamos el área dentro del círculo y fuera de la cardioide hallando primero sus puntos de intersección. Observe que al resolver la ecuación directamente para $θ$ ha aportado dos soluciones $θ = \frac{π}{6}$ y $θ = \frac{5 π}{6} .$ Sin embargo, en el gráfico hay tres puntos de intersección. El tercer punto de intersección es el origen. La razón por la que este punto no aparece como solución es porque el origen está en ambos gráficos pero para diferentes valores de $θ .$ Por ejemplo, para la cardioide obtenemos

\begin{matrix} 2 + 2 sen θ & = & 0 \\ sen θ & = & −1, \end{matrix}

por lo que los valores de $θ$ que resuelven esta ecuación son $θ = \frac{3 π}{2} + 2 n π,$ donde n es un número entero cualquiera. Para el círculo obtenemos

6 sen θ = 0 .

Las soluciones de esta ecuación son de la forma $θ = n π$ para cualquier valor entero de n. Estos dos conjuntos de soluciones no tienen puntos en común. Independientemente de este hecho, las curvas se cruzan en el origen. Este caso debe tenerse siempre en cuenta.

Longitud del arco en curvas polares

Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares.

En coordenadas rectangulares, la longitud de arco de una curva parametrizada $(x (t), y (t))$ para $a \leq t \leq b$ está dada por

L = \int_{a}^{b} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .

En coordenadas polares definimos la curva mediante la ecuación $r = f (θ),$ donde $α \leq θ \leq β .$ Para adaptar la fórmula de la longitud de arco para una curva polar, utilizamos las ecuaciones

x = r cos θ = f (θ) cos θ y y = r sen θ = f (θ) sen θ,

y sustituimos el parámetro t por $θ .$ Entonces

\begin{matrix} \frac{d x}{d θ} = f^{'} (θ) cos θ - f (θ) sen θ \\ \frac{d y}{d θ} = f^{'} (θ) sen θ + f (θ) cos θ . \end{matrix}

Reemplazamos $d t$ por $d θ,$ y los límites inferior y superior de integración son $α$ y $β,$ respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud de arco se convierte en

\begin{matrix} L & = \int_{a}^{b} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d θ})}^{2} + {(\frac{d y}{d θ})}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ) cos θ - f (θ) sen θ)}^{2} + {(f^{'} (θ) sen θ + f (θ) cos θ)}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ))}^{2} ({cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ) + {(f (θ))}^{2} ({cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ)} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ))}^{2} + {(f (θ))}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ . \end{matrix}

Esto nos da el siguiente teorema.

Teorema 7.7

Longitud de arco de una curva definida por una función polar

Supongamos que $f$ es una función cuya derivada es continua en un intervalo $α \leq θ \leq β .$ La longitud del gráfico de $r = f (θ)$ de $θ = α$ a $θ = β$ es

L = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ .

(7.10)

Ejemplo 7.18

Hallar la longitud del arco de una curva polar

Halle la longitud de arco de la cardioide $r = 2 + 2 cos θ .$

Solución

Cuando $θ = 0, r = 2 + 2 cos 0 = 4.$ Además, como $θ$ va de $0$ a $2 π,$ la cardioide se traza exactamente una vez. Por lo tanto, estos son los límites de la integración. Al usar $f (θ) = 2 + 2 cos θ,$ $α = 0,$ y $β = 2 π,$ la Ecuación 7.10 se convierte en

\begin{matrix} L & = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{[2 + 2 cos θ]}^{2} + {[- 2 sen θ]}^{2}} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 + 8 cos θ + 4 {cos}^{2} θ + 4 {sen}^{2} θ} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 + 8 cos θ + 4 ({cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ)} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{8 + 8 cos θ} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 cos θ} d θ . \end{matrix}

A continuación, utilizando la identidad $cos (2 α) = 2 {cos}^{2} α - 1,$ sume 1 a ambos lados y multiplique por 2. Esto da $2 + 2 cos (2 α) = 4 {cos}^{2} α .$ Sustituyendo $α = θ / 2$ da como resultado $2 + 2 cos θ = 4 {cos}^{2} (θ / 2),$ por lo que la integral se convierte en

\begin{matrix} L & = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 cos θ} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 {cos}^{2} (\frac{θ}{2})} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} 2 | cos (\frac{θ}{2}) | d θ . \end{matrix}

El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambie los límites de $0$ a $π$ y duplique la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre $0$ y $\frac{π}{2} .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} L & = 4 \int_{0}^{2 π} | cos (\frac{θ}{2}) | d θ \\ = 8 \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ \\ = 8 {(2 sen (\frac{θ}{2}))}_{0}^{π} \\ = 16. \end{matrix}

Punto de control 7.17

Halle la longitud de arco total de $r = 3 sen θ .$

Sección 7.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área.

188.

Región delimitada por $r = 4$

189.

Región delimitada por $r = 3 sen θ$

190.

Región en el primer cuadrante dentro de la cardioide $r = 1 + sen θ$

191.

Región delimitada por un pétalo de $r = 8 sen (2 θ)$ grandes.

192.

Región delimitada por un pétalo de $r = cos (3 θ)$

193.

Región por debajo del eje polar y delimitada por $r = 1 - sen θ$

194.

Región del primer cuadrante delimitada por $r = 2 - cos θ$

195.

Región delimitada por el lazo interno de $r = 2 - 3 sen θ$

196.

Región delimitada por el lazo interno de $r = 3 - 4 cos θ$

197.

Región delimitada por $r = 1 - 2 cos θ$ y fuera del lazo interno

198.

Región común a $r = 3 sen θ y r = 2 - sen θ$

199.

Región común a $r = 2 y r = 4 cos θ$

200.

Región común a $r = 3 cos θ y r = 3 sen θ$

En los siguientes ejercicios, halle el área de la región descrita.

201.

Delimitada por $r = 6 sen θ$

202.

Por encima del eje polar delimitado por $r = 2 + sen θ$

203.

Por debajo del eje polar y delimitado por $r = 2 - cos θ$

204.

Delimitada por un pétalo de $r = 4 cos (3 θ)$

205.

Delimitada por un pétalo de $r = 3 cos (2 θ)$ grandes.

206.

Delimitada por $r = 1 + sen θ$

207.

Delimitada por el lazo interno de $r = 3 + 6 cos θ$

208.

Delimitada por $r = 2 + 4 cos θ$ y fuera del lazo interno

209.

Interior común de $r = 4 sen (2 θ) y r = 2$

210.

Interior común de $r = 3 - 2 sen θ y r = −3 + 2 sen θ$

211.

Interior común de $r = 6 sen θ y r = 3$

212.

Dentro de $r = 1 + cos θ$ y fuera de $r = cos θ$

213.

Interior común de $r = 2 + 2 cos θ y r = 2 sen θ$

En los siguientes ejercicios, calcule una integral definida que represente la longitud del arco.

214.

$r = 4 cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

215.

$r = 1 + sen θ$ en el intervalo $0 \leq θ \leq 2 π$

216.

$r = 2 s θ en el intervalo 0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$

217.

$r = e^{θ} en el intervalo 0 \leq θ \leq 1$

En los siguientes ejercicios, halle la longitud de la curva en el intervalo dado.

218.

$r = 6 en el intervalo 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

219.

$r = e^{3 θ} en el intervalo 0 \leq θ \leq 2$

220.

$r = 6 cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

221.

$r = 8 + 8 cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

222.

$r = 1 - sen θ en el intervalo 0 \leq θ \leq 2 π$

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.

223.

[T] $r = 3 θ en el intervalo 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

224.

[T] $r = \frac{2}{θ} en el intervalo π \leq θ \leq 2 π$

225.

[T] $r = {sen}^{2} (\frac{θ}{2}) en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

226.

[T] $r = 2 θ^{2} en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

227.

[T] $r = sen (3 cos θ) en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar el área de la región descrita y luego confirme utilizando la integral definida.

228.

$r = 3 sen θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

229.

$r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

230.

$r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar la longitud de la curva y luego confirme utilizando la integral definida.

231.

$r = 3 sen θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

232.

$r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

233.

$r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 \leq θ \leq π$

234.

Compruebe que si $y = r sen θ = f (θ) sen θ$ entonces $\frac{d y}{d θ} = f' (θ) sen θ + f (θ) cos θ .$

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de una línea tangente a una curva polar $r = f (θ) .$ Supongamos que $x = r cos θ = f (θ) cos θ$ y $y = r sen θ = f (θ) sen θ,$ por lo que la ecuación polar $r = f (θ)$ se escribe ahora en forma paramétrica.

235.

Utilice la definición de la derivada $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$ y la regla del producto para calcular la derivada de una ecuación polar.

236.

$r = 1 - sen θ;$ $(\frac{1}{2}, \frac{π}{6})$ grandes.

237.

$r = 4 cos θ;$ $(2, \frac{π}{3})$

238.

$r = 8 sen θ;$ $(4, \frac{5 π}{6})$ grandes.

239.

$r = 4 + sen θ;$ $(3, \frac{3 π}{2})$

240.

$r = 6 + 3 cos θ;$ $(3, π)$ grandes.

241.

$r = 4 cos (2 θ);$ puntas de las hojas

242.

$r = 2 sen (3 θ);$ puntas de las hojas

243.

$r = 2 θ;$ $(\frac{π}{2}, \frac{π}{4})$

244.

Halle los puntos del intervalo $− π \leq θ \leq π$ en los que la cardioide $r = 1 - cos θ$ tiene una línea tangente vertical u horizontal.

245.

Para la cardioide $r = 1 + sen θ,$ halle la pendiente de la línea tangente cuando $θ = \frac{π}{3} .$

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de $θ .$

246.

$r = 3 cos θ, θ = \frac{π}{3}$

247.

$r = θ,$ $θ = \frac{π}{2}$

248.

$r = ln θ,$ $θ = e$

249.

[T] Utilice un dispositivo tecnológico: $r = 2 + 4 cos θ$ en $θ = \frac{π}{6}$

En los siguientes ejercicios, halle los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical.

250.

$r = 4 cos θ$

251.

$r^{2} = 4 cos (2 θ)$

252.

$r = 2 sen (2 θ)$

253.

La cardioide $r = 1 + sen θ$

254.

Demuestre que la curva $r = sen θ tan θ$ (llamada cisoide de Diocles) tiene la línea $x = 1$ como asíntota vertical.

7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

Áreas de regiones delimitadas por curvas polares

Área de una región delimitada por una curva polar

Hallar el área de una región polar

Solución

Hallar el área entre dos curvas polares

Solución

Longitud del arco en curvas polares

Longitud de arco de una curva definida por una función polar

Hallar la longitud del arco de una curva polar

Solución

Sección 7.4 ejercicios