La prueba de comparación porque $2^{n} / (3^{n} + n) < 2^{n} / 3^{n}$ para todos los enteros positivos $n .$ También podría utilizarse la prueba de comparación de límites.

Sección 5.1 ejercicios

1.

$a_{n} = 0$ si $n$ es impar y $a_{n} = 2$ si $n$ es par

3.

${a_{n}} = {1, 3, 6, 10, 15, 21,…}$

5.

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

7.

$a_{n} = 4 n - 7$

9.

$a_{n} = {3,10}^{1 - n} = {30,10}^{− n}$

11.

$a_{n} = 2^{n - 1} - 1$

13.

$a_{n} = \frac{{(–1)}^{n - 1}}{2 n - 1}$

15.

$f (n) = 2^{n}$

17.

$f (n) = n! / 2^{n - 2}$

19.

Los términos oscilan por encima y por debajo de $5 / 3$ y parecen converger a $5 / 3 .$

21.

Los términos oscilan por encima y por debajo de $y \approx 1,57 ...$ y parecen converger a un límite.

Este es un gráfico de la secuencia oscilante. Los términos oscilan por encima y por debajo de y = 1,57 y parecen converger a 1,57.

23.

$7$

25.

$0$

27.

$0$

29.

$1$

31.

delimitada, decreciente para $n \geq 1$

33.

delimitada, no monótona

35.

delimitada, decreciente

37.

no monótona, no delimitada

39.

$a_{n}$ es decreciente y está delimitada por debajo de $2 .$ El límite $a$ debe satisfacer $a = \sqrt{2 a}$ así que $a = 2,$ independiente del valor inicial.

41.

$0$

43.

$0 : | sen x | \leq | x |$ y $| sen x | \leq 1$ así que $- \frac{1}{n} \leq a_{n} \leq \frac{1}{n}) .$

45.

El gráfico oscila y no sugiere ningún límite.

Se trata de un gráfico que oscila entre 1 y -1 de 0 a 25 en el eje x. Parece que no hay límite.

47.

$n^{1 / n} \to 1$ y $2^{1 / n} \to 1,$ así que $a_{n} \to 0$

49.

Dado que ${(1 + 1 / n)}^{n} \to e,$ se tiene ${(1 - 2 / n)}^{n} \approx {(1 + k)}^{−2 k} \to e^{−2}$ como $k \to \infty .$

51.

$2^{n} + 3^{n} \leq 2 . 3^{n}$ y $3^{n} / 4^{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty,$ así que $a_{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

53.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = n! / (n + 1) (n + 2) ⋯ (2 n)$ $= \frac{1.2.3 ⋯ n}{(n + 1) (n + 2) ⋯ (2 n)} < 1 / 2^{n} .$ En particular, $a_{n + 1} / a_{n} \leq 1 / 2,$ así que $a_{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

55.

$x_{n + 1} = x_{n} - ({(x_{n} - 1)}^{2} - 2) / 2 (x_{n} - 1);$ $x = 1 + \sqrt{2},$ $x \approx 2,4142,$ $n = 5$

57.

$x_{n + 1} = x_{n} - x_{n} (ln (x_{n}) - 1);$ $x = e,$ $x \approx 2,7183,$ $n = 5$

59.

a. Sin pérdidas, la población obedecería $P_{n} = 1,06 P_{n - 1} .$ La sustracción de $150$ contabiliza las pérdidas de peces. b. Después de $12$ meses, tenemos $P_{12} \approx 1.494 .$

61.

a. El estudiante debe $$ 9.383$ después de $12$ meses. b. El préstamo se pagará en su totalidad después de $139$ meses u once años y medio.

63.

$b_{1} = 0,$ $x_{1} = 2 / 3,$ $b_{2} = 1,$ $x_{2} = 4 / 3 - 1 = 1 / 3,$ para que el patrón se repita, y $1 / 3 = 0,010101 … .$

65.

Para los valores iniciales $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,…,$ $a_{1} = 10,$ los correspondientes promedios de bits calculados por el método indicado son $0,5220,$ $0,5000,$ $0,4960,$ $0,4870,$ $0,4860,$ $0,4680,$ $0,5130,$ $0,5210,$ $0,5040,$ y $0,4840 .$ Aquí hay un ejemplo de diez promedios correspondientes de cadenas de $1.000$ bits generados por un generador de números aleatorios $0,4880,$ $0,4870,$ $0,5150,$ $0,5490,$ $0,5130,$ $0,5180,$ $0,4860,$ $0,5030,$ $0,5050,$ $0,4980 .$ No hay un patrón real en ninguno de los dos tipos de promedio. Los promedios generados por números aleatorios oscilan entre $0,4860$ y $0,5490,$ un rango de $0,0630,$ mientras que los promedios de bits de PRNG calculados oscilan entre $0,4680$ y $0,5220,$ un rango de $0,0540 .$

Sección 5.2 ejercicios

67.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

69.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n}$

71.

$1, 3, 6, 10$

73.

$1, 1, 0, 0$

75.

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} .$ La serie converge a $S = 1 .$

77.

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}} .$ La serie diverge porque las sumas parciales no están delimitadas.

79.

$S_{1} = 1 / 3,$ $S_{2} = 1 / 3 + 2 / 4 > 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3,$ $S_{3} = 1 / 3 + 2 / 4 + 3 / 5 > 3 . (1 / 3) = 1 .$ En general $S_{k} > k / 3 .$ La serie diverge.

81.

$\begin{array}{l} S_{1} = 1 / (2,3) = 1 / 6 = 2 / 3 - 1 / 2, \\ S_{2} = 1 / (2,3) + 1 / (3,4) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 - 1 / 2, \\ S_{3} = 1 / (2,3) + 1 / (3,4) + 1 / (4,5) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 - 1 / 2, \\ S_{4} = 1 / (2,3) + 1 / (3,4) + 1 / (4,5) + 1 / (5,6) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 - 1 / 2 . \end{array}$

El patrón es $S_{k} = (k + 1) / (k + 2) - 1 / 2$ y la serie converge a $1 / 2 .$

83.

$0$

85.

$−3$

87.

diverge, $\sum_{n = 1.001}^{\infty} \frac{1}{n}$

89.

series geométricas convergentes, $r = 1 / 10 < 1$

91.

series geométricas convergentes, $r = π / e^{2} < 1$

93.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 . {(−1 / 5)}^{n},$ converge a $−5 / 6$

95.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 100 . {(1 / 10)}^{n},$ converge a $100 / 9$

97.

$x \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} x^{n}$

99.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {sen}^{2 n} (x)$ grandes.

101.

$S_{k} = 2 - 2^{1 / (k + 1)} \to 1$ como $k \to \infty .$

103.

$S_{k} = 1 - \sqrt{k + 1}$ diverge

105.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln n - ln (n + 1), S_{k} = − ln (k + 1)$ grandes.

107.

$a_{n} = \frac{1}{ln n} - \frac{1}{ln (n + 1)}$ y $S_{k} = \frac{1}{ln (2)} - \frac{1}{ln (k + 1)} \to \frac{1}{ln (2)}$ grandes.

109.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = f (1) - f (2)$ grandes.

111.

$c_{0} + c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} = 0$

113.

$\frac{2}{n^{3} - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{2}{n} + \frac{1}{n + 1},$ $S_{n} = (1 - 1 + 1 / 3) + (1 / 2 - 2 / 3 + 1 / 4)$ $+ (1 / 3 - 2 / 4 + 1 / 5) + (1 / 4 - 2 / 5 + 1 / 6) + ⋯ = 1 / 2$

115.

$t_{k}$ converge a $0,57721 … t_{k}$ es una suma de rectángulos de altura $1 / k$ en el intervalo $[k, k + 1]$ que se encuentran por encima del gráfico de $1 / x .$

Este es un gráfico de una secuencia en el cuadrante uno que comienza cerca de 0 y parece converger a 0,57721.

117.

$N = 22,$ $S_{N} = 6,1415$

119.

$N = 3,$ $S_{N} = 1,559877597243667 ...$

121.

a. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada de resultados para $n$ lanzamientos de monedas es $1 / 2^{n} .$ b. La probabilidad de salir cara por primera vez en el $n$ −ésimo lanzamiento es la probabilidad de la secuencia $T T … T H$ que es $1 / 2^{n} .$ La probabilidad de salir cara por primera vez en un lanzamiento par es $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{2 n}$ o $1 / 3 .$

123.

$5 / 9$

125.

$E = \sum_{n = 1}^{\infty} n / 2^{n + 1} = 1,$ como puede demostrarse utilizando la suma por partes

127.

La parte de la primera dosis después de $n$ horas es $d r^{n},$ la parte de la segunda dosis es $d r^{n - N},$ y, en general, la parte que queda de la $m sima$ dosis es $d r^{n - m N},$ así que

$A (n) = \sum_{l = 0}^{m} d r^{n - l N} = \sum_{l = 0}^{m} d r^{k + (m - l) N} = \sum_{q = 0}^{m} d r^{k + q N} = d r^{k} \sum_{q = 0}^{m} r^{N q} = d r^{k} \frac{1 - r^{(m + 1) N}}{1 - r^{N}}, n = k + m N .$

129.

$S_{N + 1} = a_{N + 1} + S_{N} \geq S_{N}$

131.

Dado que $S > 1,$ $a_{2} > 0,$ y dado que $k < 1,$ $S_{2} = 1 + a_{2} < 1 + (S - 1) = S .$ Si $S_{n} > S$ para algún n, entonces hay un n más pequeño. Para este n, $S > S_{n - 1},$ así que $S_{n} = S_{n - 1} + k (S - S_{n - 1})$ $= k S + (1 - k) S_{n - 1} < S,$ una contradicción. Así, $S_{n} < S$ y $a_{n + 1} > 0$ para todo n, por lo que $S_{n}$ es creciente y está delimitada por $S .$ Supongamos que $S_{∗} = lím S_{n} .$ Si $S_{∗} < S,$ entonces $δ = k (S - S_{∗}) > 0,$ pero podemos hallar n tal que $S_{*} - S_{n} < δ / 2,$ lo que implica que $S_{n + 1} = S_{n} + k (S - S_{n})$ $> S_{*} + δ / 2,$ lo que contradice que $S_{n}$ está aumentando a $S_{∗} .$ Así que $S_{n} \to S .$

133.

Supongamos que $S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n}$ y $S_{k} \to L .$ Entonces $S_{k}$ finalmente se acerca arbitrariamente a $L,$ lo que significa que $L - S_{N} = \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n}$ se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que $N \to \infty .$

135.

$L = (1 + \frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{n} n = \frac{3}{2} .$

137.

En la primera fase, un cuadrado de área $1 / 9$ se retira, en la etapa $2$ se retiran $8$ cuadrados de área $1 / 9^{2},$ en la tercera etapa se eliminan $8^{2}$ cuadrados de área $1 / 9^{3},$ y así sucesivamente. El área total eliminada después de $N$ etapas es $\sum_{n = 0}^{N - 1} 8^{N} / 9^{N + 1} = \frac{1}{8} (1 - {(8 / 9)}^{N}) / (1 - 8 / 9) \to 1$

a medida que $N \to \infty .$ El perímetro total es $4 + 4 \sum_{n = 0} 8^{N} / 3^{N + 1} \to \infty .$

Sección 5.3 ejercicios

139.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0 .$ La prueba de divergencia no aplica.

141.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 2 .$ La serie diverge.

143.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = \infty$ (no existe). La serie diverge.

145.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 1 .$ La serie diverge.

147.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n}$ no existe. La serie diverge.

149.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 1 / e^{2} .$ La serie diverge.

151.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0 .$ La prueba de divergencia no aplica.

153.

La serie converge, $p > 1 .$

155.

La serie converge, $p = 4 / 3 > 1 .$

157.

La serie converge, $p = 2 e - π > 1 .$

159.

La serie diverge por comparación con $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{{(x + 5)}^{1 / 3}} .$

161.

La serie diverge por comparación con $\int_{1}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x .$

163.

La serie converge por comparación con $\int_{1}^{\infty} \frac{2 x}{1 + x^{4}} d x .$

165.

$2^{− ln n} = 1 / n^{ln 2} .$ Dado que $ln 2 < 1,$ diverge por la serie $p$ .

167.

$2^{−2 ln n} = 1 / n^{2 ln 2} .$ Dado que $2 ln 2 - 1 < 1,$ diverge por la serie $p$ .

169.

$R_{1.000} \leq \int_{1.000}^{\infty} \frac{d t}{t^{2}} = - \frac{1}{t} |_{1.000}^{\infty} = 0,001$

171.

$R_{1.000} \leq \int_{1.000}^{\infty} \frac{d t}{1 + t^{2}} = {tan}^{−1} \infty - {tan}^{–1} (1.000) = π / 2 - {tan}^{–1} (1.000) \approx 0,000999$

173.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = 1 / N, N > 10^{4}$

175.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{x^{1,01}} = 100 N^{−0,01}, N > 10^{600}$

177.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{1 + x^{2}} = π / 2 - {tan}^{–1} (N), N > tan (π / 2 - 10^{−3}) \approx 1.000$

179.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{d x}{e^{x}} = e^{− N}, N > 5 ln (10),$ está bien si $N = 12; \sum_{n = 1}^{12} e^{− n} = 0,581973... .$ La estimación coincide con $1 / (e - 1)$ con cinco decimales.

181.

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} d x / x^{4} = 1 / 3 N^{3}, N > {(10^{4} / 3)}^{1 / 3},$ está bien si $N = 15;$

$\sum_{n = 1}^{15} 1 / n^{4} = 1,08226 … .$ La estimación coincide con la suma con precisión de tres decimales.

183.

$ln (2)$

185.

$T = 0,5772 ...$

187.

El número esperado de inserciones aleatorias para que $B$ llegue a la parte superior es $n + n / 2 + n / 3 + ⋯ + n / (n - 1) .$ Entonces una inserción más pone $B$ de nuevo en una posición aleatoria. Por lo tanto, el número esperado de barajadas para que el mazo quede distribuido de manera aleatoria es $n (1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / n) .$

189.

Establezca $b_{n} = a_{n + N}$ y $g (t) = f (t + N)$ tal que $f$ es decreciente en $[t, \infty) .$

191.

La serie converge para $p > 1$ por la prueba de la integral utilizando el cambio de variable.

193.

$N = e^{e^{100}} \approx e^{10^{43}}$ términos son necesarios.

Sección 5.4 ejercicios

195.

Converge por comparación con $1 / n^{2} .$

197.

Diverge por comparación con la serie armónica, dado que $2 n - 1 \geq n .$

199.

$a_{n} = 1 / (n + 1) (n + 2) < 1 / n^{2} .$ Converge por comparación con la serie p, $p = 2 .$

201.

$sen (1 / n) \leq 1 / n,$ por lo que converge por comparación con la serie p, $p = 2 .$

203.

$sen (1 / n) \leq 1,$ por lo que converge por comparación con la serie p, $p = 3 / 2 .$

205.

Dado que $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = 1 / (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) \leq 2 / \sqrt{n},$ la serie converge por comparación con la serie p para $p = 1,5.$

207.

Converge por comparación de límites con la serie p para $p > 1 .$

209.

Converge por comparación de límites con la serie p, $p = 2 .$

211.

Converge por comparación de límites con $4^{− n} .$

213.

Converge por comparación de límites con $1 / e^{1,1 n} .$

215.

Diverge por comparación de límites con la serie armónica.

217.

Converge por comparación de límites con la serie p, $p = 3 .$

219.

Converge por comparación de límites con la serie p, $p = 3 .$

221.

Diverge por comparación de límites con $1 / n .$

223.

Converge para $p > 1$ en comparación con una serie $p$ para un p un poco más pequeño $p .$

225.

Converge para todo $p > 0 .$

227.

Converge para todo $r > 1 .$ Si $r > 1$ entonces $r^{n} > 4,$ digamos, una vez $n > ln (2) / ln (r)$ y entonces la serie converge por comparación de límites con una serie geométrica con razón $1 / 2 .$

229.

El numerador es igual a $1$ cuando $n$ es impar y $0$ cuando $n$ es par, por lo que la serie se puede reescribir $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n + 1},$ que diverge por comparación de límites con la serie armónica.

231.

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ o $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b,$ por lo que la convergencia se deduce de la comparación de $2 a_{n} b_{n}$ con $a^{2} n + b^{2} n .$ Como las sumas parciales de la izquierda están delimitadas por las de la derecha, la desigualdad se mantiene para la serie infinita.

233.

${(ln n)}^{− ln n} = e^{− ln (n) ln ln (n)} .$ Si $n$ es lo suficientemente grande, entonces $ln ln n > 2,$ tal que ${(ln n)}^{− ln n} < 1 / n^{2},$ y la serie converge por comparación con una $serie .$

235.

$a_{n} \to 0,$ así que $a^{2}_{n} \leq | a_{n} |$ para $n .$ La convergencia se desprende de la comparación de límites. $\sum 1 / n^{2}$ converge, pero $\sum 1 / n$ no lo hace, por lo que el hecho de que $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ converge no implica que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

237.

No. $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ diverge. Supongamos que $b_{k} = 0$ a menos que $k = n^{2}$ para algunos $n .$ Entonces $\sum_{k} b_{k} / k = \sum 1 / k^{2}$ converge.

239.

$| sen t | \leq | t |,$ por lo que el resultado se desprende de la prueba de comparación.

241.

Por la prueba de comparación, $x = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} / 2^{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / 2^{n} = 1$

243.

Si $b_{1} = 0,$ entonces, en comparación, $x \leq \sum_{n = 2}^{\infty} 1 / 2^{n} = 1 / 2 .$

245.

Sí. Siga añadiendo pesos de $1 −kg$ hasta que la balanza se incline hacia el lado de los pesos. Si se equilibra perfectamente, con Robert de pie en el otro lado, deténgase. En caso contrario, elimine uno de los pesos de $1 −kg$ y añada pesos de $0,1 −kg$ uno a la vez. Si se equilibra después de añadir algunos de estos, deténgase. De lo contrario, si se inclina hacia los pesos, retire el último peso de $0,1 −kg$ . Empiece a añadir pesos de $0,01 −kg$ . Si se equilibra, deténgase. Si se inclina hacia el lado con los pesos, retire el último peso de $0,01 −kg$ que se añadió. Continúe así para los pesos de $0,001 −kg$ y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, se tiene una serie finita de la forma $A + \sum_{n = 1}^{N} s_{n} / 10^{n}$ donde $A$ es el número de pesos completos en kg y $d_{n}$ es el número de pesos de $1 / 10^{n} −kg$ que se añadieron. Si en algún estado esta serie es el peso exacto de Robert, el proceso se detendrá. En caso contrario, representa la $enésima simo$ suma parcial de una serie infinita que da el peso exacto de Robert, y el error de esta suma es como máximo $1 / 10^{N} .$

247.

a. $10^{d} - 10^{d - 1} < 10^{d}$ b. $h (d) < 9^{d}$ c. $m (d) = 10^{d - 1} + 1$ d. Agrupe los términos de la serie armónica eliminada por el número de dígitos $h (d)$ delimita el número de términos, y cada término es como máximo $1 / m (d) .$ $\sum_{d = 1}^{\infty} h (d) / m (d) \leq \sum_{d = 1}^{\infty} 9^{d} / {(10)}^{d - 1} \leq 90.$ En realidad se puede utilizar la comparación para estimar el valor a menor que $80 .$ El valor real es menor que $23 .$

249.

Siguiendo la pista, da $S_{N} = (1 + 1 / N^{2}) (1 + 1 / {(N - 1)}^{2} … (1 + 1 / 4)) .$ Entonces $ln (S_{N}) = ln (1 + 1 / N^{2}) + ln (1 + 1 / {(N - 1)}^{2}) + ⋯ + ln (1 + 1 / 4) .$ Dado que $ln (1 + t)$ está delimitada por una constante de t veces $t,$ cuando $0 < t < 1$ se tiene $ln (S_{N}) \leq C \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2}},$ que converge por comparación con la serie p para $p = 2 .$

Sección 5.5 ejercicios

251.

No converge por la prueba de divergencia. Los términos no tienden a cero.

253.

Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas, dado que $\sqrt{n + 3} / n$ es decreciente. No converge absolutamente por comparación con la serie p, $p = 1 / 2 .$

255.

Converge absolutamente por comparación de límites a $3^{n} / 4^{n},$ por ejemplo.

257.

Diverge por la prueba de divergencia dado que $\underset{n \to \infty}{lím} | a_{n} | = e .$

259.

No converge. Los términos no tienden a cero.

261.

$\underset{n \to \infty}{lím} {cos}^{2} (1 / n) = 1 .$ Diverge por la prueba de divergencia.

263.

Converge por la prueba de series alternadas.

265.

Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas. No converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, $p = π - e$

267.

Diverge; los términos no tienden a cero.

269.

Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica.

271.

Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, $p = 3 / 2,$ después de aplicar la pista.

273.

Converge por la prueba de series alternadas ya que $n ({tan}^{–1} (n + 1) − {tan}^{−1} n)$ es decreciente hasta cero para $n$ No converge absolutamente por comparación de límites con la serie armónica después de aplicar la pista.

275.

Converge absolutamente, ya que $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ son términos de una serie telescópica.

277.

Los términos no tienden a cero. La serie diverge por la prueba de divergencia.

279.

Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica.

281.

$ln (N + 1) > 10,$ $N + 1 > e^{10},$ $N \geq 22026;$ $S_{22026} = −0,9743 …$

283.

$2^{N + 1} > 10^{6}$ o $N + 1 > 6 ln (10) / ln (2) = 19,93 .$ o $N \geq 19;$ $S_{19} = 0,333333969 …$

285.

${(N + 1)}^{2} > 10^{6}$ o $N > 999;$ $S_{1.000} \approx 0,822466 .$

287.

Verdadero. $b_{n}$ no necesita tender a cero ya que si $c_{n} = b_{n} - lím b_{n},$ entonces $c_{2 n - 1} - c_{2 n} = b_{2 n - 1} - b_{2 n} .$

289.

Verdadero. $b_{3 n - 1} - b_{3 n} \geq 0,$ por lo que la convergencia de $\sum b_{3 n - 2}$ se deduce de la prueba de comparación.

291.

Verdadero. Si una de ellas converge, la otro también debe hacerlo, lo que implica una convergencia absoluta.

293.

Sí. Tome $b_{n} = 1$ si $a_{n} \geq 0$ y $b_{n} = 0$ si $a_{n} < 0 .$ Entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} = \sum_{n : a_{n} \geq 0} a_{n}$ converge. Del mismo modo, se puede mostrar que $\sum_{n : a_{n} < 0} a_{n}$ converge. Como ambas series convergen, la serie debe converger absolutamente.

295.

No disminuye. No converge absolutamente.

297.

No es alternada. Puede expresarse como $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{3 n - 2} + \frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n}),$ que diverge en comparación con $\sum \frac{1}{3 n - 2} .$

299.

Supongamos que $a^{+}_{n} = a_{n}$ si $a_{n} \geq 0$ y $a^{+}_{n} = 0$ si $a_{n} < 0 .$ Entonces $a^{+}_{n} \leq | a_{n} |$ para todo $n$ por lo que la secuencia de sumas parciales de $a^{+}_{n}$ es creciente y está delimitada por encima por la secuencia de sumas parciales de $| a_{n} |,$ que converge; por esto, $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{+}_{n}$ converge.

301.

Para $N = 5$ se tiene $| R_{N} | b_{6} = θ^{10} / 10! .$ Cuando $θ = 1,$ $R_{5} \leq 1 / 10! \approx 2,75 \times 10^{−7} .$ Cuando $θ = π / 6,$ $R_{5} \leq {(π / 6)}^{10} / 10! \approx 4,26 \times 10^{−10} .$ Cuando $θ = π,$ $R_{5} \leq π^{10} / 10! = 0,0258 .$

303.

Supongamos que $b_{n} = 1 / (2 n - 2)! .$ Entonces $R_{N} \leq 1 / (2 N)! < 0,00001$ cuando $(2 N)! > 10^{5}$ o $N = 5$ y $1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} + \frac{1}{8!} = 0,540325 …,$ mientras que $cos 1 = 0,5403023 …$

305.

Supongamos que $T = \sum \frac{1}{n^{2}} .$ Entonces $T - S = \frac{1}{2} T,$ así que $S = T / 2 .$ $\sqrt{6 \times \sum_{n = 1}^{1.000} 1 / n^{2}} = 3,140638 …;$ $\sqrt{12 \times \sum_{n = 1}^{1.000} {(–1)}^{n - 1} / n^{2}} = 3,141591 …;$

$π = 3,141592 … .$ Las series alternadas son más precisas para $1.000$ términos.

307.

$N = 6,$ $S_{N} = 0,9068$

309.

$ln (2) .$ La $3 ené simo$ suma parcial es la misma que la de la serie armónica alternada.

311.

La serie salta rápidamente cerca de los puntos finales. Para $x$ lejos de los puntos finales, el gráfico tiene el siguiente aspecto $π (1 / 2 - x) .$

Esto muestra una función en los cuadrantes 1 y 4 que comienza en (0, 0), aumenta bruscamente hasta justo por debajo de 1,5 cerca del eje y, disminuye linealmente, cruza el eje x en 0,5, continúa disminuyendo linealmente, y aumenta bruscamente justo antes de 1 hasta 0.

313.

Este es un resultado típico. La curva superior está formada por sumas parciales de las series armónicas. La curva inferior representa sumas parciales de una serie armónica aleatoria.

Este muestra dos curvas. La parte superior es una curva cóncava creciente hacia abajo. La parte inferior es un gráfico de serie armónica irregular que se mantiene cerca de 0.

315.

Por la prueba de series alternadas, $| S_{n} - S | \leq b_{n + 1},$ por lo que se necesitan $10^{4}$ términos de la serie armónica alternada para estimar $ln (2)$ con una precisión de $0,0001 .$ Las primeras $10$ sumas parciales de la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}$ son (hasta cuatro decimales) $0,5000, 0,6250, 0,6667, 0,6823, 0,6885, 0,6911, 0,6923, 0,6928, 0,6930, 0,6931$ y la décima suma parcial está dentro de $0,0001$ de $ln (2) = 0,6931 … .$

Sección 5.6 ejercicios

317.

$a_{n + 1} / a_{n} \to 0 .$ Converge.

319.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{2} {(\frac{n + 1}{n})}^{2} \to 1 / 2 < 1 .$ Converge.

321.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 1 / 27 < 1 .$ Converge.

323.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 4 / e^{2} < 1 .$ Converge.

325.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \to 1 .$ El criterio del cociente no es concluyente.

327.

$\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \to 1 / e^{2} .$ Converge.

329.

${(a_{k})}^{1 / k} \to 2 > 1 .$ Diverge.

331.

${(a_{n})}^{1 / n} \to 1 / 2 < 1 .$ Converge.

333.

${(a_{k})}^{1 / k} \to 1 / e < 1 .$ Converge.

335.

$a_{n}^{1 / n} = \frac{1}{e} + \frac{1}{n} \to \frac{1}{e} < 1 .$ Converge.

337.

$a_{n}^{1 / n} = \frac{(ln (1 + ln n))}{(ln n)} \to 0$ por la regla de L'Hôpital. Converge.

339.

$\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{1}{2 k + 1} \to 0 .$ Converge por el criterio del cociente.

341.

${(a_{n})}^{1 / n} \to 1 / e .$ Converge por el criterio de la raíz.

343.

$a_{k}^{1 / k} \to ln (3) > 1 .$ Diverge por el criterio de la raíz.

345.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} =$ $\frac{3^{2 n + 1}}{2^{3 n^{2} + 3 n + 1}} \to 0 .$ Converge.

347.

Converge por el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites ya que $x_{n} \to \sqrt{2} .$

349.

Converge absolutamente por comparación de límites con la $serie p,$ $p = 2 .$

351.

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 1 / e^{2} \neq 0 .$ La serie diverge.

353.

Los términos no tienden a cero: $a_{k} \geq 1 / 2,$ dado que ${sen}^{2} x \leq 1 .$

355.

$a_{n} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)},$ que converge por comparación con la $serie p$ para $p = 2 .$

357.

$a_{k} = \frac{2^{k} 1.2 ⋯ k}{(2 k + 1) (2 k + 2) ⋯ 3 k} \leq {(2 / 3)}^{k}$ converge por comparación con la serie geométrica.

359.

$a_{k} \approx e^{− ln k^{2}} = 1 / k^{2} .$ La serie converge por comparación de límites con la $serie p,$ $p = 2 .$

361.

Si $b_{k} = c^{1 - k} / (c - 1)$ y $a_{k} = k,$ entonces $b_{k + 1} - b_{k} = − c^{− k}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{k}{c^{k}} = a_{1} b_{1} + \frac{1}{c - 1} \sum_{k = 1}^{\infty} c^{− k} = \frac{c}{{(c - 1)}^{2}} .$

363.

$6 + 4 + 1 = 11$

365.

$| x | \leq 1$

367.

$| x | < \infty$

369.

Todos los números reales $p$ mediante el criterio del cociente.

371.

$r < 1 / p$

373.

$0 < r < 1 .$ Observe que los criterios del cociente y la raíz no son concluyentes. Utilizando la pista, hay $2 k$ términos $r^{\sqrt{n}}$ para $k^{2} \leq n < {(k + 1)}^{2},$ y para $r < 1$ cada término es de al menos $r^{k} .$ Por lo tanto, $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{\sqrt{n}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = k^{2}}^{{(k + 1)}^{2} - 1} r^{\sqrt{n}}$ $\geq \sum_{k = 1}^{\infty} 2 k r^{k},$ que converge mediante el criterio del cociente para $r < 1 .$ Para $r \geq 1$ la serie diverge por la prueba de divergencia.

375.

Se tiene $a_{1} = 1,$ $a_{2} = a_{3} = 1 / 2,… a_{2 n} = a_{2 n + 1} = 1 / 2^{n} .$ El criterio del cociente no aplica porque $a_{n + 1} / a_{n} = 1$ si $n$ es par. Sin embargo, $a_{n + 2} / a_{n} = 1 / 2,$ por lo que la serie converge según el ejercicio anterior. Por supuesto, la serie es solo una serie geométrica duplicada.

377.

$a_{2 n} / a_{n} = \frac{1}{2} . \frac{n + 1}{n + 1 + x} \frac{n + 2}{n + 2 + x} ⋯ \frac{2 n}{2 n + x} .$ La inversa del $k −ésimo$ factor es $(n + k + x) / (n + k) > 1 + x / (2 n)$ para que el producto sea menor que ${(1 + x / (2 n))}^{− n} \approx e^{– x / 2} .$ Por lo tanto, para $x > 0,$ $\frac{a_{2 n}}{a_{n}} \leq \frac{1}{2} e^{– x / 2} .$ La serie converge para $x > 0 .$