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Cálculo volumen 2

5.1 Secuencias

Cálculo volumen 25.1 Secuencias

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.1.1 Hallar la fórmula del término general de una secuencia.
  • 5.1.2 Calcular el límite de una secuencia si existe.
  • 5.1.3 Determinar la convergencia o divergencia de una secuencia dada.

En esta sección, introducimos las secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Se muestra cómo calcular los límites de las secuencias que convergen, a menudo utilizando las propiedades de los límites de las funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el teorema de convergencia monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen.

Terminología de las secuencias

Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. En primer lugar, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma

a1,a2 ,a3,…,an,….a1,a2 ,a3,…,an,….

Cada uno de los números de la secuencia se llama término. El símbolo nn se llama la variable de índice de la secuencia. Utilizamos la notación

{an}n=1,o simplemente{an},{an}n=1,o simplemente{an},

para denotar esta secuencia. Se utiliza una notación similar para los conjuntos, pero una secuencia es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Porque un número determinado anan existe para cada entero positivo n,n, también podemos definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

Consideremos la lista infinita y ordenada

2 ,4,8,16,32,….2 ,4,8,16,32,….

Se trata de una secuencia en la que el primer, segundo y tercer término están dados por a1=2 ,a1=2 , a2 =4,a2 =4, y a3=8.a3=8. Probablemente pueda ver que los términos de esta secuencia tienen el siguiente patrón:

a1=2 1,a2 =2 2 ,a3=2 3,a4=2 4,ya5=2 5.a1=2 1,a2 =2 2 ,a3=2 3,a4=2 4,ya5=2 5.

Suponiendo que este patrón continúe, podemos escribir el enésimoenésimo término de la secuencia por la fórmula explícita an=2 n.an=2 n. Utilizando esta notación, podemos escribir esta secuencia como

{2 n}n=1o{2 n}.{2 n}n=1o{2 n}.

También podemos describir esta secuencia de otra manera. Dado que cada término es el doble del término anterior, esta secuencia puede definirse en forma repetida expresando el ené−ésimoené−ésimo término anan en términos del término anterior an1.an1. En particular, podemos definir esta secuencia como la secuencia {an}{an} donde a1=2 a1=2 y para todo n2 ,n2 , cada término anan se define por la relación de recurrenciaan=2 an1.an=2 an1.

Definición

Una secuencia infinita{an}{an} es una lista ordenada de números de la forma

a1,a2 ,…,an,….a1,a2 ,…,an,….

El subíndice nn se llama la variable de índice de la secuencia. Cada número anan es un término de la secuencia. A veces las secuencias se definen mediante fórmulas explícitas, en cuyo caso an=f(n)an=f(n) para alguna función f(n)f(n) definido sobre los enteros positivos. En otros casos, las secuencias se definen utilizando una relación de recurrencia. En una relación de recurrencia, un término (o más) de la secuencia se da explícitamente, y los términos subsiguientes se definen en términos de términos anteriores de la secuencia.

Tenga en cuenta que el índice no tiene que empezar en n=1n=1 pero podría empezar con otros enteros. Por ejemplo, una secuencia dada por la fórmula explícita an=f(n)an=f(n) podría empezar en n=0,n=0, en cuyo caso la secuencia sería

a0,a1,a2 ,….a0,a1,a2 ,….

Del mismo modo, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término a0a0 puede darse explícitamente, y los términos anan para n1n1 puede definirse en términos de an1.an1. Ya que una secuencia {an}{an} tiene exactamente un valor por cada entero positivo n,n, se puede describir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. En consecuencia, tiene sentido hablar del gráfico de una secuencia. El gráfico de una secuencia {an}{an} se compone de todos los puntos (n,an)(n,an) para todos los enteros positivos n.n. La Figura 5.2 muestra el gráfico de {2 n}.{2 n}.

Un gráfico en el cuadrante uno que contiene los siguientes puntos: (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16).
Figura 5.2 Los puntos trazados son un gráfico de la secuencia { 2 n } . { 2 n } .

Hay dos tipos de secuencias que se dan con frecuencia y que reciben nombres especiales: las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas. En una secuencia aritmética, la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, consideremos la secuencia

3,7,11,15,19,….3,7,11,15,19,….

Se puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es 4.4. Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia aritmética. Se puede describir utilizando la relación de recurrencia

{a1=3an=an1+4paran2 .{a1=3an=an1+4paran2 .

Tenga en cuenta que

a2 =3+4a3=3+4+4=3+2 .4a4=3+4+4+4=3+3.4.a2 =3+4a3=3+4+4=3+2 .4a4=3+4+4+4=3+3.4.

Así, la secuencia también puede describirse mediante la fórmula explícita

ann =3+4(n1)=4n1.ann =3+4(n1)=4n1.

En general, una secuencia aritmética es cualquier secuencia de la forma an=cn+b.an=cn+b.

En una secuencia geométrica, el cociente de cada par de términos consecutivos es el mismo. Por ejemplo, consideremos la secuencia

2 ,2 3,2 9,2 27,2 81,….2 ,2 3,2 9,2 27,2 81,….

Vemos que el cociente de cualquier término con el término anterior es 13.13. Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia geométrica. Se puede definir de manera repetida como

a1=2 an=13.an1paran2 .a1=2 an=13.an1paran2 .

Como alternativa, ya que

a2 =13.2 a3=(13)(13)(2 )=(13)2 .2 a4=(13)(13)(13)(2 )=(13)3.2 ,a2 =13.2 a3=(13)(13)(2 )=(13)2 .2 a4=(13)(13)(13)(2 )=(13)3.2 ,

vemos que la secuencia puede describirse utilizando la fórmula explícita

an=2 (13)n1.an=2 (13)n1.

La secuencia {2 n}{2 n} que comentamos anteriormente es una secuencia geométrica, donde el cociente de cualquier término con el anterior es 2 .2 . En general, una secuencia geométrica es cualquier secuencia de la forma an=crn.an=crn.

Ejemplo 5.1

Hallar fórmulas explícitas

Para cada una de las siguientes secuencias, halle una fórmula explícita para el enéenésimoenéenésimo término de la secuencia.

  1. 12 ,23,34,45,56,…12 ,23,34,45,56,…
  2. 34,97,2710,8113,24316,…34,97,2710,8113,24316,…

Punto de control 5.1

Halle una fórmula explícita para el enésimoenésimo término de la secuencia {15,17,19,111,…}.{15,17,19,111,…}.

Ejemplo 5.2

Definida por relaciones de recurrencia

Para cada una de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, halle una fórmula explícita para la secuencia.

  1. a1=2 ,a1=2 , an=−3an1an=−3an1 para n2 n2
  2. a1=12 ,a1=12 , an=an1+(12 )nan=an1+(12 )n para n2 n2

Punto de control 5.2

Halle una fórmula explícita para la secuencia definida de forma repetida tal que a1=−4a1=−4 y an=an1+6.an=an1+6.

Límite de una secuencia

Una cuestión fundamental que se plantea respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que nn se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida sobre los enteros positivos, tiene sentido hablar del límite de los términos como n.n. Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como nn (vea la Figura 5.3):

  1. {1+3n}={4,7,10,13,…}.{1+3n}={4,7,10,13,…}. Los términos 1+3n1+3n se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n.n. En este caso, decimos que 1+3n1+3n a medida que n.n.
  2. {1(12 )n}={12 ,34,78,1516,…}.{1(12 )n}={12 ,34,78,1516,…}. Los términos 1(12 )n11(12 )n1 a medida que n.n.
  3. {(–1)n}={1,1,–1,1,…}.{(–1)n}={1,1,–1,1,…}. Los términos se alternan pero no se acercan a un único valor a medida que n.n.
  4. {(–1)nn}={−1,12 ,13,14,…}.{(–1)nn}={−1,12 ,13,14,…}. Los términos se alternan también para esta secuencia, pero (–1)nn0(–1)nn0 a medida que n.n.
Cuatro gráficos en los cuadrantes 1 y 4, marcados de la a a la d. El eje horizontal es para el valor de n y el eje vertical es para el valor del término a _n. El gráfico a tiene los puntos (1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13) y (5, 16). El gráfico b tiene los puntos (1, 1/2), (2, 3/4), (3, 7/8) y (4, 15/16). El gráfico c tiene los puntos (1, -1), (2, 1), (3, -1), (4, 1) y (5, -1). El gráfico d tiene los puntos (1, -1), (2, 1/2), (3, -1/3), (4, 1/4) y (5, -1/5).
Figura 5.3 (a) Los términos de la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n . n . (b) Los términos en la secuencia se aproximan a 1 1 a medida que n . n . (c) Los términos de la secuencia alternan entre 1 1 y −1 −1 como n . n . d) Los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos pero se acercan a 0 0 a medida que n . n .

A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades de comportamiento de los términos de una secuencia a medida que n.n. En dos de las secuencias, los términos se aproximan a un número finito a medida que n.n. En las otras dos secuencias, los términos no lo hacen. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito LL como n,n, decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real LL es el límite de la secuencia. Aquí podemos dar una definición informal.

Definición

Dada una secuencia {an},{an}, si los términos anan se acercan arbitrariamente a un número finito LL como nn se hace lo suficientemente grande, decimos {an}{an} es una secuencia convergente y LL es el límite de la secuencia. En este caso, escribimos

límnan=L.límnan=L.

Si una secuencia {an}{an} no es convergente, decimos que es una secuencia divergente.

En la Figura 5.3, vemos que los términos de la secuencia {1(12 )n}{1(12 )n} se están acercando arbitrariamente a 11 a medida que nn se hace muy grande. Concluimos que {1(12 )n}{1(12 )n} es una secuencia convergente y su límite es 1.1. En cambio, en la Figura 5.3, vemos que los términos de la secuencia 1+3n1+3n no se acercan a un número finito a medida que nn se hace más grande. Decimos que {1+3n}{1+3n} es una secuencia divergente.

En la definición informal del límite de una secuencia, utilizamos los términos "arbitrariamente cercano" y "suficientemente grande" Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, presentamos ahora la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en la Figura 5.4.

Definición

Una secuencia {an}{an} converge a un número real LL si para todo ε>0,ε>0, existe un número entero NN tal que |anL|<ε|anL|<ε si nN.nN. El número LL es el límite de la secuencia y escribimos

límnan=LoranL.límnan=LoranL.

En este caso, decimos que la secuencia {an}{an} es una secuencia convergente. Si una sucesión no converge, es una secuencia divergente, y decimos que el límite no existe.

Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia {an}{an} solo depende de lo que ocurra con los términos anan a medida que n.n. Por lo tanto, si un número finito de términos b1,b2 ,…,bNb1,b2 ,…,bN se colocan antes de a1a1 para crear una nueva secuencia

b1,b2 ,…,bN,a1,a2 ,…,b1,b2 ,…,bN,a1,a2 ,…,

esta nueva secuencia convergerá si {an}{an} converge y diverge si {an}{an} diverge. Además, si la secuencia {an}{an} converge a L,L, esta nueva secuencia también convergerá a L.L.

Un gráfico en el cuadrante 1 con los ejes marcados como n y a_n en vez de x y y, respectivamente. Se marca un punto positivo N en el eje n. De menor a mayor, los puntos L - épsilon, L y L + épsilon están marcados en el eje a_n, con el mismo intervalo épsilon entre L y los otros dos. Se dibuja una línea azul y = L, así como otras rojas punteadas para y = L + épsilon y L - épsilon. Los puntos del cuadrante 1 se trazan por encima y por debajo de estas líneas para x < N. Sin embargo, después de N, los puntos permanecen dentro de las líneas y = L + épsilon y L - épsilon, convergiendo en L.
Figura 5.4 A medida que n n aumenta, los términos a n a n se acercan a L . L . Para los valores de n N , n N , la distancia entre cada punto ( n , a n ) ( n , a n ) y la línea y = L y = L es menor que ε . ε .

Como se ha definido anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias {1+3n}{1+3n} y {(–1)n}{(–1)n} que se muestra en la Figura 5.4 divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes maneras. La secuencia {(–1)n}{(–1)n} diverge porque los términos se alternan entre 11 y −1,−1, pero no se acercan a un valor a medida que n.n. Por otro lado, la secuencia {1+3n}{1+3n} diverge porque los términos 1+3n1+3n a medida que n.n. Decimos que la secuencia {1+3n}{1+3n} diverge al infinito y la escribimos límn(1+3n)=.límn(1+3n)=. Es importante reconocer que esta notación no implica que el límite de la secuencia {1+3n}{1+3n} existe. La secuencia es, de hecho, divergente. Escribir que el límite es el infinito solo pretende dar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir hasta el infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia {5n+2 }{5n+2 } diverge al infinito negativo porque −5n+2 −5n+2 a medida que n.n. La escribimos como límn(−5n+2 )=.límn(−5n+2 )=.

Como una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, podemos utilizar las propiedades de los límites de las funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, consideremos una secuencia {an}{an} y una función correspondiente ff definidas en todos los números reales positivos tales que f(n)=anf(n)=an para todos los enteros n1.n1. Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de f,f, si límxf(x)límxf(x) existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, consideremos la secuencia {1n}{1n} y la función correspondiente f(x)=1x.f(x)=1x. Dado que la función ff definida en todos los números reales x>0x>0 satisface f(x)=1x0f(x)=1x0 cuando x,x, la secuencia {1n}{1n} debe satisfacer 1n01n0 a medida que n.n.

Teorema 5.1

Límite de una secuencia definida por una función

Considere una secuencia {an}{an} tal que an=f(n)an=f(n) para todo n1.n1. Si existe un número real LL tal que

límxf(x)=L,límxf(x)=L,

entonces {an}{an} converge y

límnan=L.límnan=L.

Podemos utilizar este teorema para evaluar límnrnlímnrn para 0r1.0r1. Por ejemplo, consideremos la secuencia {(1/2 )n}{(1/2 )n} y la función exponencial correspondiente f(x)=(1/2 )x.f(x)=(1/2 )x. Dado que límx(1/2 )x=0,límx(1/2 )x=0, concluimos que la secuencia {(1/2 )n}{(1/2 )n} converge y su límite es 0.0. Del mismo modo, para cualquier número real rr tal que 0r<1,0r<1, límxrx=0,límxrx=0, y, por tanto, la secuencia {rn}{rn} converge. Por otro lado, si r=1,r=1, entonces límxrx=1,límxrx=1, y por tanto el límite de la secuencia {1n}{1n} es 1.1. Si r>1,r>1, límxrx=,límxrx=, y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, al igual que la función rxrx crece sin límites a medida que n,n, los términos rnrn en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n,n, y concluimos que la secuencia {rn}{rn} diverge al infinito si r>1.r>1.

Resumimos estos resultados con respecto a la secuencia geométrica {rn}:{rn}:

rn0si0<r<1rn1sir=1 rnsir>1.rn0si0<r<1rn1sir=1 rnsir>1.

Más adelante en esta sección se considera el caso en que r<0.r<0.

Consideramos ahora secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia {(2 /3)n+(1/4)n}.{(2 /3)n+(1/4)n}. Los términos de esta secuencia son más complicados que los de otras secuencias que hemos discutido, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias {(2 /3)n}{(2 /3)n} y {(1/4)n}.{(1/4)n}. Como describimos en las siguientes leyes de límites algebraicos, dado que {(2 /3)n}{(2 /3)n} y {1/4)n}{1/4)n} ambas convergen a 0,0, la secuencia {(2 /3)n+(1/4)n}{(2 /3)n+(1/4)n} converge a 0+0=0.0+0=0. Así como pudimos evaluar un límite que implica una combinación algebraica de funciones ff y gg mirando los límites de ff y gg (vea Introducción a los límites), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de anan y bnbn evaluando los límites de {an}{an} y {bn}.{bn}.

Teorema 5.2

Leyes de límites algebraicos

Secuencias dadas {an}{an} y {bn}{bn} y cualquier número real c,c, si existen constantes AA y BB tal que límnan=Alímnan=A y límnbn=B,límnbn=B, entonces

  1. límnc=clímnc=c
  2. límncan=clímnan=cAlímncan=clímnan=cA
  3. límn(an±bn)=límnan±límnbn=A±Blímn(an±bn)=límnan±límnbn=A±B
  4. límn(an.bn)=(límnan).(límnbn)=A.Blímn(an.bn)=(límnan).(límnbn)=A.B
  5. límn(anbn)=límnanlímnbn=AB,límn(anbn)=límnanlímnbn=AB, siempre que B0B0 y cada bn0.bn0.

Prueba

Demostramos la parte iii.

Supongamos que ϵ>0.ϵ>0. Dado que límnan=A,límnan=A, existe un número entero positivo constante N1N1 tal que |anA|<ε2 |anA|<ε2 para todo nN1.nN1. Dado que límnbn=B,límnbn=B, existe una constante N2 N2 tal que |bnB|<ε/2 |bnB|<ε/2 para todo nN2 .nN2 . Supongamos que NN es el mayor de N1N1 y N2 .N2 . Por lo tanto, para todo nN,nN,

|(an+bn)(A+B)||anA|+|bnB|<ε2 +ε2 =ε.|(an+bn)(A+B)||anA|+|bnB|<ε2 +ε2 =ε.

Las leyes de límites algebraicos nos permiten evaluar los límites de muchas secuencias. Por ejemplo, consideremos la secuencia {1n2 }.{1n2 }. Como se ha mostrado anteriormente, límn1/n=0.límn1/n=0. Del mismo modo, para cualquier número entero positivo k,k, podemos concluir que

límn1nk=0.límn1nk=0.

En el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límites para evaluar los límites de otras secuencias.

Ejemplo 5.3

Determinar convergencia y calcular límites

Para cada una de las siguientes secuencias, determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite.

  1. {53n2 }{53n2 }
  2. {3n47n2 +564n4}{3n47n2 +564n4}
  3. {2 nn2 }{2 nn2 }
  4. {(1+4n)n}{(1+4n)n}

Punto de control 5.3

Considere la secuencia {(5n2 +1)/en}.{(5n2 +1)/en}. Determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite.

Recordemos que si ff es una función continua en un valor L,L, entonces f(x)f(L)f(x)f(L) cuando xL.xL. Esta idea se aplica también a las secuencias. Supongamos que una secuencia anL,anL, y una función ff es continua en L.L. Entonces f(an)f(L).f(an)f(L). Esta propiedad nos permite a menudo hallar límites para secuencias complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia 53n2 .53n2 . Del Ejemplo 5.3a. conocemos la secuencia 53n2 5.53n2 5. Dado que xx es una función continua en x=5,x=5,

límn53n2 =límn(53n2 )=5.límn53n2 =límn(53n2 )=5.

Teorema 5.3

Funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Considere una secuencia {an}{an} y supongamos que existe un número real LL tal que la secuencia {an}{an} converge a L.L. Supongamos que ff es una función continua en L.L. Entonces existe un número entero NN tal que ff se define en todos los valores anan para nN,nN, y la secuencia {f(an)}{f(an)} converge a f(L)f(L) (Figura 5.5).

Prueba

Supongamos que ϵ>0.ϵ>0. Dado que ff es continua en L,L, existe δ>0δ>0 tal que |f(x)f(L)|<ε|f(x)f(L)|<ε si |xL|<δ.|xL|<δ. Ya que la secuencia {an}{an} converge a L,L, existe NN tal que |anL|<δ|anL|<δ para todo nN.nN. Por lo tanto, para todo nN,nN, |anL|<δ,|anL|<δ, lo que implica que |f(an)f(L)|<ε.|f(an)f(L)|<ε. Concluimos que la secuencia {f(an)}{f(an)} converge a f(L).f(L).

Un gráfico en el cuadrante 1 con los puntos (a_1, f(a_1)), (a_3, f(a_3)), (L, f(L)), (a_4, f(a_4)) y (a_2, f(a_2)) conectados por curvas suaves.
Figura 5.5 Debido a que f f es una función continua a medida que las entradas a 1 , a 2 , a 3 ,… a 1 , a 2 , a 3 ,… se acercan a L , L , las salidas f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , f ( a 3 ) ,… f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , f ( a 3 ) ,… se acercan a f ( L ) . f ( L ) .

Ejemplo 5.4

Límites de funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Determinar si la secuencia {cos(3/n2 )}{cos(3/n2 )} converge. Si converge, calcule su límite.

Punto de control 5.4

Determine si la secuencia {2 n+13n+5}{2 n+13n+5} converge. Si converge, calcule su límite.

Otro teorema que involucra límites de secuencias es una extensión del teorema del emparedado para límites que se discutió en Introducción a los límites.

Teorema 5.4

Teorema del emparedado para secuencias

Considere las secuencias {an},{an}, {bn},{bn}, y {cn}.{cn}. Supongamos que existe un número entero NN tal que

anbncnpara todonN.anbncnpara todonN.

Si existe un número real LL tal que

límnan=L=límncn,límnan=L=límncn,

entonces {bn}{bn} converge y límnbn=Llímnbn=L (Figura 5.6).

Prueba

Supongamos que ε>0.ε>0. Ya que la secuencia {an}{an} converge a L,L, existe un número entero N1N1 tal que |anL|<ε|anL|<ε para todo nN1.nN1. Del mismo modo, dado que {cn}{cn} converge a L,L, existe un número entero N2 N2 tal que |cnL|<ε|cnL|<ε para todo nN2 .nN2 . Por supuesto, existe un número entero NN tal que anbncnanbncn para todo nN.nN. Supongamos que MM es el mayor de N1,N2 ,N1,N2 , y N.N. Debemos demostrar que |bnL|<ε|bnL|<ε para todo nM.nM. Para todo nM,nM,

ε<|anL|anLbnLcnL|cnL|<ε.ε<|anL|anLbnLcnL|cnL|<ε.

Por lo tanto, ε<bnL<ε,ε<bnL<ε, y concluimos que |bnL|<ε|bnL|<ε para todo nM,nM, y concluimos que la secuencia {bn}{bn} converge a L.L.

Un gráfico en el cuadrante 1 con la línea y = L y el eje x marcado como eje n. Los puntos se trazan por encima y por debajo de la línea, convergiendo a L a medida que n va al infinito. Los puntos a_n, b_n y c_n se representan con el mismo valor n. A_n y b_n están por encima de y = L, y c_n está por debajo.
Figura 5.6 Cada término b n b n satisface a n b n c n a n b n c n y las secuencias { a n } { a n } y { c n } { c n } convergen al mismo límite, por lo que la secuencia { b n } { b n } debe converger también al mismo límite.

Ejemplo 5.5

Utilizar el teorema del emparedado

Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias.

  1. {cosnn2 }{cosnn2 }
  2. {(12 )n}{(12 )n}

Punto de control 5.5

Calcule límn2 nsennn.límn2 nsennn.

Utilizando la idea del Ejemplo 5.5b. concluimos que rn0rn0 para cualquier número real rr tal que −1<r<0.−1<r<0. Si r<1,r<1, la secuencia {rn}{rn} diverge porque los términos oscilan y se vuelven arbitrariamente más grandes en magnitud. Si r=−1,r=−1, la secuencia {rn}={(–1)n}{rn}={(–1)n} diverge, como ya se ha comentado. A continuación, un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas.

rn0si|r|<1rn0si|r|<1
(5.1)
rn1sir=1rn1sir=1
(5.2)
rnsir>1rnsir>1
(5.3)
{rn}diverge sir1{rn}diverge sir1
(5.4)

Secuencias delimitadas

Ahora nos centraremos en uno de los teoremas más importantes sobre las secuencias: el teorema de convergencia monótona. Antes de enunciar el teorema, debemos introducir algo de terminología y motivación. Empezamos por definir lo que significa que una secuencia esté delimitada.

Definición

Una secuencia {an}{an} está delimitada por encima si existe un número real MM tal que

anManM

para todos los enteros positivos n.n.

Una secuencia {an}{an} está delimitada por debajo si existe un número real MM tal que

ManMan

para todos los enteros positivos n.n.

Una secuencia {an}{an} es una secuencia delimitada si está delimitada por encima y por debajo.

Si una secuencia no está delimitada, es una secuencia no delimitada.

Por ejemplo, la secuencia {1/n}{1/n} está delimitada por encima porque 1/n11/n1 para todos los enteros positivos n.n. También está delimitada por debajo porque 1/n01/n0 para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, {1/n}{1/n} es una secuencia delimitada. Por otro lado, consideremos la secuencia {2 n}.{2 n}. Dado que 2 n2 2 n2 para todo n1,n1, la secuencia está delimitada por debajo. Sin embargo, la secuencia no está delimitada por encima. Por lo tanto, {2 n}{2 n} es una secuencia no delimitada.

Ahora discutimos la relación entre la delimitación y la convergencia. Supongamos que una secuencia {an}{an} no está delimitada. Entonces no está delimitada por encima, o no está delimitada por debajo, o por ninguna de las dos partes. En cualquier caso, hay términos anan que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que nn se hace más grande. Como resultado, la secuencia {an}{an} no puede converger. Por lo tanto, estar delimitada es una condición necesaria para que una secuencia converja.

Teorema 5.5

Las secuencias convergentes están delimitadas

Si una secuencia {an}{an} converge, entonces está delimitada.

Observe que el hecho de que una secuencia esté delimitada no es condición suficiente para que una secuencia converja. Por ejemplo, la secuencia {(–1)n}{(–1)n} está delimitada, pero la secuencia diverge porque la secuencia oscila entre 11 y −1−1 y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una secuencia delimitada converja.

Consideremos una secuencia delimitada {an}.{an}. Supongamos que la secuencia {an}{an} es creciente. Es decir, a1a2 a3.a1a2 a3. Como la secuencia es creciente, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La secuencia podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, dado que la secuencia está delimitada, está delimitada por encima y la secuencia no puede divergir al infinito. Concluimos que {an}{an} converge. Por ejemplo, consideremos la secuencia

{12 ,23,34,45,…}.{12 ,23,34,45,…}.

Como esta secuencia es creciente y delimitada por encima, converge. A continuación, consideremos la secuencia

{2 ,0,3,0,4,0,1,12 ,13,14,…}.{2 ,0,3,0,4,0,1,12 ,13,14,…}.

Aunque la secuencia no es creciente para todos los valores de n,n, vemos que −1/2 <1/3<1/4<.−1/2 <1/3<1/4<. Por lo tanto, a partir del octavo término, a8=−1/2 ,a8=−1/2 , la secuencia es creciente. En este caso, decimos que la secuencia es eventualmente creciente. Como la secuencia está delimitada por encima, converge. También es cierto que si una secuencia es decreciente (o eventualmente decreciente) y delimitada por debajo, también converge.

Definición

Una secuencia {an}{an} es creciente para todo nn0nn0 si

anan+1para todonn0.anan+1para todonn0.

Una secuencia {an}{an} es decreciente para todo nn0nn0 si

anan+1para todonn0.anan+1para todonn0.

Una secuencia {an}{an} es una secuencia monótona para todo nn0nn0 si es creciente para todo nn0nn0 o decreciente para todo nn0.nn0.

Ahora tenemos las definiciones necesarias para enunciar el teorema de convergencia monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia.

Teorema 5.6

Teorema de convergencia monótona

Si {an}{an} es una secuencia delimitada y existe un número entero positivo n0n0 tal que {an}{an} es monótona para todo nn0,nn0, entonces {an}{an} converge.

La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto. En su lugar, proporcionamos un gráfico para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido (Figura 5.7).

Un gráfico en el cuadrante 1 con los ejes x y y marcados como n y a_n, respectivamente. Se traza una línea horizontal punteada desde el eje a_n hacia el cuadrante 1. Muchos puntos se trazan bajo la línea de puntos, aumentando el valor de a_n y convergiendo a la línea punteada.
Figura 5.7 Dado que la secuencia { a n } { a n } es creciente y delimitada por encima, debe converger.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el teorema de convergencia monótona para demostrar la convergencia de una secuencia.

Ejemplo 5.6

Uso del teorema de convergencia monótona

Para cada una de las siguientes secuencias, utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que la secuencia converge y calcule su límite.

  1. {4nn!}{4nn!}
  2. {an}{an} definidas de forma repetida tal que
    a1=2 yan+1=an2 +12 anpara todon2 .a1=2 yan+1=an2 +12 anpara todon2 .

Punto de control 5.6

Considere la secuencia {an}{an} definida de forma repetida de manera que a1=1,a1=1, an=an1/2 .an=an1/2 . Utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que esta secuencia converge y calcule su límite.

Proyecto de estudiante

Serie de Fibonacci

La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia {Fn}{Fn} donde F0=0,F0=0, F1=1F1=1 y para n2 ,n2 ,

Fn=Fn1+Fn2 .Fn=Fn1+Fn2 .

Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci.

  1. Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci.
  2. Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos.
    1. Considere la secuencia definida de forma repetida {xn}{xn} donde xo=cxo=c y xn+1=axn.xn+1=axn. Demuestre que esta secuencia puede describirse mediante la fórmula cerrada xn=canxn=can para todo n0.n0.
    2. Utilizando el resultado de la parte a. como motivación, halle una solución de la ecuación
      Fn=Fn1+Fn2 Fn=Fn1+Fn2

      de la forma Fn=cλn.Fn=cλn. Determine cuáles dos valores para λλ permitirán que FnFn satisfaga esta ecuación.
    3. Considere las dos soluciones de la parte b.: λ1λ1 y λ2 .λ2 . Supongamos que Fn=c1λ1n+c2 λ2 n.Fn=c1λ1n+c2 λ2 n. Utilice las condiciones iniciales F0F0 y F1F1 para determinar los valores de las constantes c1c1 y c2 c2 y escriba la fórmula cerrada Fn.Fn.
  3. Utilice la respuesta en 2 c. para demostrar que
    límnFn+1Fn=1+52 .límnFn+1Fn=1+52 .

    El número ϕ=(1+5)/2 ϕ=(1+5)/2 se conoce como el numero áureo (Figura 5.8 y Figura 5.9)
    Esta es una foto de un girasol, en particular las curvas de las semillas en su centro. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci.
    Figura 5.8 Las semillas de un girasol presentan patrones en espiral que se curvan hacia la izquierda y hacia la derecha. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci (créditos: modificación del trabajo de Esdras Calderan, Wikimedia Commons).

    Esta es una foto del Partenón, un antiguo templo griego que fue diseñado con las proporciones del número áureo. Toda la fachada del templo encaja perfectamente en un rectángulo con esas proporciones, al igual que las columnas, el nivel entre las columnas y el tejado, y una parte de la moldura bajo el tejado.
    Figura 5.9 El número áureo aparece en muchos ejemplos famosos de arte y arquitectura. El antiguo templo griego conocido como el Partenón fue diseñado con estas proporciones, y la proporción aparece de nuevo en muchos de los detalles más pequeños (créditos: modificación del trabajo de TravelingOtter, Flickr).

Sección 5.1 ejercicios

Halle los seis primeros términos de cada una de las siguientes secuencias, empezando por n=1.n=1.

1.

an=1+(–1)nan=1+(–1)n para n1n1

2.

an=n2 1an=n2 1 para n1n1

3.

a1=1a1=1 y an=an1+nan=an1+n para n2 n2

4.

a1=1,a1=1, a2 =1a2 =1 y an+2 =an+an+1an+2 =an+an+1 para n1n1

5.

Halle una fórmula explícita para anan donde a1=1a1=1 y an=an1+nan=an1+n para n2 .n2 .

6.

Halle una fórmula anan para el enésimoenésimo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a1=1a1=1 tal que an+1an=17an+1an=17 para n1.n1.

7.

Halle una fórmula anan para el enésimoenésimo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a1=−3a1=−3 tal que an+1an=4an+1an=4 para n1.n1.

8.

Halle una fórmula anan para el enésimoenésimo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a1=1a1=1 tal que an+1an=10an+1an=10 para n1.n1.

9.

Halle una fórmula anan para el enésimoenésimo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a1=3a1=3 tal que an+1an=1/10an+1an=1/10 para n1.n1.

10.

Halle una fórmula explícita para el enésimoenésimo término de la secuencia cuyos primeros términos son {0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}.{0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}. (Pista: Primero añada uno a cada término).

11.

Halle una fórmula explícita para el enésimoenésimo término de la secuencia que satisface a1=0a1=0 y an=2 an1+1an=2 an1+1 para n2 .n2 .

Halle una fórmula para el término general anan de cada una de las siguientes secuencias.

12.

{1,0,–1,0,1,0,–1,0,…}{1,0,–1,0,1,0,–1,0,…} (Pista: Halle el valor donde senxsenx toma estos valores)

13.

{ 1 , 1 / 3 , 1 / 5 , 1 / 7 ,… } { 1 , 1 / 3 , 1 / 5 , 1 / 7 ,… }

Calcule una función f(n)f(n) que identifique el ené−ésimoené−ésimo término anan de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, como an=f(n).an=f(n).

14.

a1=1a1=1 y an+1=anan+1=an para n1n1

15.

a1=2 a1=2 y an+1=2 anan+1=2 an para n1n1

16.

a1=1a1=1 y an+1=(n+1)anan+1=(n+1)an para n1n1

17.

a1=2 a1=2 y an+1=(n+1)an/2 an+1=(n+1)an/2 para n1n1

18.

a1=1a1=1 y an+1=an/2 nan+1=an/2 n para n1n1

Grafique los primeros NN términos de cada secuencia. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge.

19.

[T] a1=1,a1=1, a2 =2 ,a2 =2 , y para n2 ,n2 , an=12 (an1+an2 );an=12 (an1+an2 ); N=30N=30

20.

[T] a1=1,a1=1, a2 =2 ,a2 =2 , a3=3a3=3 y para n4,n4, an=13(an1+an2 +an3),an=13(an1+an2 +an3), N=30N=30

21.

[T] a1=1,a1=1, a2 =2 ,a2 =2 , y para n3,n3, an=an1an2 ;an=an1an2 ; N=30N=30

22.

[T] a1=1,a1=1, a2 =2 ,a2 =2 , a3=3,a3=3, y para n4,n4, an=an1an2 an3;an=an1an2 an3; N=30N=30

Supongamos que límnan=1,límnan=1, límnbn=−1,límnbn=−1, y 0<bn<an0<bn<an para todo n.n. Evalúe cada uno de los siguientes límites, o afirme que el límite no existe, o afirme que no hay suficiente información para determinar si el límite existe.

23.

límn(3an4bn)límn(3an4bn) grandes.

24.

límn(12 bn12 an)límn(12 bn12 an) grandes.

25.

lím n a n + b n a n b n lím n a n + b n a n b n

26.

lím n a n b n a n + b n lím n a n b n a n + b n

Calcule el límite de cada una de las siguientes secuencias, utilizando la regla de L'Hôpital cuando sea adecuado.

27.

n 2 2 n n 2 2 n

28.

( n 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 ( n 1 ) 2 ( n + 1 ) 2

29.

n n + 1 n n + 1

30.

n1/nn1/n (Pista: n1/n=e1nlnn)n1/n=e1nlnn)

Para cada una de las siguientes secuencias, cuyos ené−ésimosené−ésimos se indican, especifique si la secuencia está delimitada y si es eventualmente monótona, creciente o decreciente.

31.

n/2 n,n/2 n, n2 n2

32.

ln(1+1n)ln(1+1n) grandes.

33.

sen n sen n

34.

cos(n2 )cos(n2 ) grandes.

35.

n1/n,n1/n, n3n3

36.

n−1/n,n−1/n, n3n3

37.

tan n tan n

38.

Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite.

a1=2 ,a1=2 , a2 =2 2 ,a2 =2 2 , a3=2 2 2 a3=2 2 2 etc.

39.

Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite.

a1=3,a1=3, an=2 an1,an=2 an1, n=2 ,3,….n=2 ,3,….

Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias.

40.

nsen(1/n)nsen(1/n) grandes.

41.

cos ( 1 / n ) 1 1 / n cos ( 1 / n ) 1 1 / n

42.

a n = n ! n n a n = n ! n n

43.

an=sennsen(1/n)an=sennsen(1/n) grandes.

Para las siguientes secuencias, grafique los primeros 2525 términos de la secuencia y diga si la evidencia gráfico sugiere que la secuencia converge o diverge.

44.

[T] an=sennan=senn

45.

[T] an=cosnan=cosn

Determine el límite de la secuencia o demuestre que la secuencia diverge. Si converge, calcule su límite.

46.

an=tan–1(n2 )an=tan–1(n2 ) grandes.

47.

a n = ( 2 n ) 1 / n n 1 / n a n = ( 2 n ) 1 / n n 1 / n

48.

an=ln(n2 )ln(2 n)an=ln(n2 )ln(2 n) grandes.

49.

a n = ( 1 2 n ) n a n = ( 1 2 n ) n

50.

an=ln(n+2 n2 3)an=ln(n+2 n2 3) grandes.

51.

a n = 2 n + 3 n 4 n a n = 2 n + 3 n 4 n

52.

a n = ( 1.000 ) n n ! a n = ( 1.000 ) n n !

53.

a n = ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! a n = ( n ! ) 2 ( 2 n ) !

El método de Newton busca aproximar una solución f(x)=0f(x)=0 que parte de una aproximación inicial x0x0 y define sucesivamente una secuencia xn+1=xnf(xn)f(xn).xn+1=xnf(xn)f(xn). Para la elección dada de ff y x0,x0, escriba la fórmula para xn+1.xn+1. Si la secuencia parece converger, escriba una fórmula exacta para la solución x,x, luego identifique el límite xx con una precisión de cuatro decimales y el n más pequeño nn tal que xnxn coincida con xx hasta cuatro decimales.

54.

[T] f(x)=x2 2 ,f(x)=x2 2 , x0=1x0=1

55.

[T] f(x)=(x1)2 2 ,f(x)=(x1)2 2 , x0=2 x0=2

56.

[T] f(x)=ex2 ,f(x)=ex2 , x0=1x0=1

57.

[T] f(x)=lnx1,f(x)=lnx1, x0=2 x0=2

58.

[T] Supongamos que comienza con un litro de vinagre y remueve repetidamente 0,1L,0,1L, sustituye con agua, mezcla y repite.

  1. Halle una fórmula para la concentración después de nn pasos.
  2. ¿Después de cuántos pasos la mezcla contiene menos de 10 %10 % de vinagre?
59.

[T] Un lago contiene inicialmente 20002000 peces. Supongamos que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en 6 %6 % cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, 150150 peces se pierden cada mes.

  1. Explique por qué la población de peces después de nn meses está modelada por Pn=1,06Pn1150Pn=1,06Pn1150 con P0=2000.P0=2000.
  2. ¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año?
60.

[T] Una cuenta bancaria gana 5 %5 % de intereses compuestos mensualmente. Supongamos que se deposita inicialmente $1.000$1.000 en la cuenta, pero que se retiran $10$10 cada mes.

  1. Demuestre que el saldo de la cuenta después de nn meses es An=(1+0,05/12)An110;An=(1+0,05/12)An110; A0=1.000 dólares.A0=1.000 dólares.
  2. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 11 año?
  3. ¿El saldo aumenta o disminuye?
  4. Supongamos que en vez de $10 dólares,$10 dólares, una cantidad fija de dd dólares se retira cada mes. Halle un valor de dd de manera que el saldo de la cuenta después de cada mes siga siendo $1.000 dólares.$1.000 dólares.
  5. ¿Qué pasa si dd es mayor que este saldo?
61.

[T] Un estudiante pide un préstamo universitario de $10.000$10.000 a una tasa anual equivalente de 6 %,6 %, compuesto mensualmente.

  1. Si el estudiante realiza pagos de $100$100 al mes, ¿cuánto debe el estudiante después de 1212 meses?
  2. ¿Después de cuántos meses se pagará el préstamo?
62.

[T] Considere una serie que combina el crecimiento geométrico y la disminución aritmética. Supongamos que a1=1.a1=1. Establezca a>1a>1 y 0<b<a.0<b<a. Establezca an+1=a.anb.an+1=a.anb. Halle una fórmula para an+1an+1 en términos de an,an, a,a, y bb y una relación entre aa y bb tal que anan converge.

63.

[T] La representación binaria x=0.b1b2 b3...x=0.b1b2 b3... de un número xx entre 00 y 11 puede definirse de la siguiente forma. Supongamos que b1=0b1=0 si x<1/2 x<1/2 y b1=1b1=1 si 1/2 x<1.1/2 x<1. Supongamos que x1=2 xb1.x1=2 xb1. Supongamos que b2 =0b2 =0 si x1<1/2 x1<1/2 y b2 =1b2 =1 si 1/2 x<1.1/2 x<1. Supongamos que x2 =2 x1b2 x2 =2 x1b2 y en general, xn=2 xn1bnxn=2 xn1bn y bn1=0bn1=0 si xn<1/2 xn<1/2 y bn1=1bn1=1 si 1/2 xn<1.1/2 xn<1. Calcule la expansión binaria de 1/3.1/3.

64.

[T] Para calcular una aproximación para π,π, establezca a0=2 +1,a0=2 +1, a1=2 +a0,a1=2 +a0, y, en general, an+1=2 +an.an+1=2 +an. Por último, establezca pn=3,2n2 an.pn=3,2n2 an. Halle los diez primeros términos de pnpn y compare los valores con π.π.

En los dos ejercicios siguientes, suponga que tiene acceso a un programa de computadora o un recurso en internet que puede generar una lista de ceros y unos de la longitud que desee. Los generadores de números pseudoaleatorios (Pseudorandom number generator, PRNG) desempeñan un papel importante en la simulación del ruido aleatorio en los sistemas físicos, ya que crean secuencias de ceros y unos que parecen el resultado de lanzar una moneda repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define de forma repetida una secuencia de aspecto aleatorio de NN enteros a1,a2 ,…,aNa1,a2 ,…,aN fijando dos enteros especiales KK y MM y suponiendo que an+1an+1 es el resto después de dividir K.anK.an en M,M, crea entonces una secuencia de bits de ceros y unos cuyo ené−ésimoené−ésimo término bnbn es igual a uno si anan es impar e igual a cero si anan es par. Si los bits bnbn son pseudoaleatorios, entonces el comportamiento de su promedio (b1+b2 ++bN)/N(b1+b2 ++bN)/N debe ser similar al comportamiento de los promedios de los bits realmente generados al azar.

65.

[T] A partir de K=16.807K=16.807 y M=2.147.483.647,M=2.147.483.647, utilizando diez valores iniciales diferentes de a1,a1, calcule secuencias de bits bnbn hasta n=1.000,n=1.000, y compare sus promedios con diez secuencias de este tipo generadas por un generador de bits aleatorio.

66.

[T] Halle los primeros 1.0001.000 dígitos de ππ utilizando un programa de computadora o un recurso en Internet. Cree una secuencia de bits bnbn suponiendo que bn=1bn=1 si el enésimoenésimo dígito de ππ es impar y bn=0bn=0 si el enésimoenésimo dígito de ππ es par. Calcule el valor promedio de bnbn y el valor promedio de dn=|bn+1bn|,dn=|bn+1bn|, n=1,...,999.n=1,...,999. ¿La secuencia bnbn parece aleatoria? ¿Las diferencias entre los elementos sucesivos de bnbn parece aleatoria?

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