Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.1.1 Hallar la fórmula del término general de una secuencia.
5.1.2 Calcular el límite de una secuencia si existe.
5.1.3 Determinar la convergencia o divergencia de una secuencia dada.

En esta sección, introducimos las secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Se muestra cómo calcular los límites de las secuencias que convergen, a menudo utilizando las propiedades de los límites de las funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el teorema de convergencia monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen.

Terminología de las secuencias

Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. En primer lugar, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma

a_{1}, a_{2}, a_{3},…, a_{n},… .

Cada uno de los números de la secuencia se llama término. El símbolo $n$ se llama la variable de índice de la secuencia. Utilizamos la notación

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}, o simplemente {a_{n}},

para denotar esta secuencia. Se utiliza una notación similar para los conjuntos, pero una secuencia es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Porque un número determinado $a_{n}$ existe para cada entero positivo $n,$ también podemos definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

Consideremos la lista infinita y ordenada

2, 4, 8, 16, 32,… .

Se trata de una secuencia en la que el primer, segundo y tercer término están dados por $a_{1} = 2,$ $a_{2} = 4,$ y $a_{3} = 8 .$ Probablemente pueda ver que los términos de esta secuencia tienen el siguiente patrón:

a_{1} = 2^{1}, a_{2} = 2^{2}, a_{3} = 2^{3}, a_{4} = 2^{4}, y a_{5} = 2^{5} .

Suponiendo que este patrón continúe, podemos escribir el $ené simo$ término de la secuencia por la fórmula explícita $a_{n} = 2^{n} .$ Utilizando esta notación, podemos escribir esta secuencia como

{2^{n}}_{n = 1}^{\infty} o {2^{n}} .

También podemos describir esta secuencia de otra manera. Dado que cada término es el doble del término anterior, esta secuencia puede definirse en forma repetida expresando el $ené −ésimo$ término $a_{n}$ en términos del término anterior $a_{n - 1} .$ En particular, podemos definir esta secuencia como la secuencia ${a_{n}}$ donde $a_{1} = 2$ y para todo $n \geq 2,$ cada término $a_{n}$ se define por la relación de recurrencia $a_{n} = 2 a_{n - 1} .$

Definición

Una secuencia infinita ${a_{n}}$ es una lista ordenada de números de la forma

a_{1}, a_{2},…, a_{n},… .

El subíndice $n$ se llama la variable de índice de la secuencia. Cada número $a_{n}$ es un término de la secuencia. A veces las secuencias se definen mediante fórmulas explícitas, en cuyo caso $a_{n} = f (n)$ para alguna función $f (n)$ definido sobre los enteros positivos. En otros casos, las secuencias se definen utilizando una relación de recurrencia. En una relación de recurrencia, un término (o más) de la secuencia se da explícitamente, y los términos subsiguientes se definen en términos de términos anteriores de la secuencia.

Tenga en cuenta que el índice no tiene que empezar en $n = 1$ pero podría empezar con otros enteros. Por ejemplo, una secuencia dada por la fórmula explícita $a_{n} = f (n)$ podría empezar en $n = 0,$ en cuyo caso la secuencia sería

a_{0}, a_{1}, a_{2},… .

Del mismo modo, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término $a_{0}$ puede darse explícitamente, y los términos $a_{n}$ para $n \geq 1$ puede definirse en términos de $a_{n - 1} .$ Ya que una secuencia ${a_{n}}$ tiene exactamente un valor por cada entero positivo $n,$ se puede describir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. En consecuencia, tiene sentido hablar del gráfico de una secuencia. El gráfico de una secuencia ${a_{n}}$ se compone de todos los puntos $(n, a_{n})$ para todos los enteros positivos $n .$ La Figura 5.2 muestra el gráfico de ${2^{n}} .$

Un gráfico en el cuadrante uno que contiene los siguientes puntos: (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16).

Figura 5.2 Los puntos trazados son un gráfico de la secuencia

{2^{n}} .

Hay dos tipos de secuencias que se dan con frecuencia y que reciben nombres especiales: las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas. En una secuencia aritmética, la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, consideremos la secuencia

3, 7, 11, 15, 19,… .

Se puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es $4 .$ Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia aritmética. Se puede describir utilizando la relación de recurrencia

{\begin{matrix} a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 4 para n \geq 2 . \end{matrix}

Tenga en cuenta que

\begin{array}{l} a_{2} = 3 + 4 \\ a_{3} = 3 + 4 + 4 = 3 + 2.4 \\ a_{4} = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3.4 . \end{array}

Así, la secuencia también puede describirse mediante la fórmula explícita

\begin{matrix} a_{n} & n = 3 + 4 (n - 1) \\ = 4 n - 1 . \end{matrix}

En general, una secuencia aritmética es cualquier secuencia de la forma $a_{n} = c n + b .$

En una secuencia geométrica, el cociente de cada par de términos consecutivos es el mismo. Por ejemplo, consideremos la secuencia

2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, - \frac{2}{27}, \frac{2}{81},… .

Vemos que el cociente de cualquier término con el término anterior es $- \frac{1}{3} .$ Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia geométrica. Se puede definir de manera repetida como

\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n} = - \frac{1}{3} . a_{n - 1} para n \geq 2 . \end{matrix}

Como alternativa, ya que

\begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{3} . 2 \\ a_{3} = (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (2) = {(- \frac{1}{3})}^{2} . 2 \\ a_{4} = (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (2) = {(- \frac{1}{3})}^{3} . 2, \end{matrix}

vemos que la secuencia puede describirse utilizando la fórmula explícita

a_{n} = 2 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} .

La secuencia ${2^{n}}$ que comentamos anteriormente es una secuencia geométrica, donde el cociente de cualquier término con el anterior es $2 .$ En general, una secuencia geométrica es cualquier secuencia de la forma $a_{n} = c r^{n} .$

Ejemplo 5.1

Hallar fórmulas explícitas

Para cada una de las siguientes secuencias, halle una fórmula explícita para el $ené enésimo$ término de la secuencia.

$- \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, - \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, - \frac{5}{6},…$
$\frac{3}{4}, \frac{9}{7}, \frac{27}{10}, \frac{81}{13}, \frac{243}{16},…$

Solución

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la secuencia va alternando de negativo a positivo. Los términos impares de la secuencia son negativos y los pares son positivos. Por lo tanto, el $ené simo$ término incluye un factor de ${(–1)}^{n} .$ A continuación, consideremos la secuencia de numeradores ${1, 2, 3,…}$ y la secuencia de denominadores ${2, 3, 4,…} .$ Podemos ver que ambas secuencias son aritméticas. El $simo$ término en la secuencia de numeradores es $n,$ y el $ené simo$ término en la secuencia de denominadores es $n + 1 .$ Por lo tanto, la secuencia puede describirse mediante la fórmula explícita

$a_{n} = \frac{{(–1)}^{n} n}{n + 1} .$
La secuencia de numeradores $3, 9, 27, 81, 243,…$ es una secuencia geométrica. El numerador del $ené simo$ término es $3^{n}$ La secuencia de denominadores $4, 7, 10, 13, 16,…$ es una secuencia aritmética. El denominador del $ené simo$ término es $4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1 .$ Por lo tanto, podemos describir la secuencia mediante la fórmula explícita $a_{n} n = \frac{3^{n}}{3 n + 1} .$

Punto de control 5.1

Halle una fórmula explícita para el $ené simo$ término de la secuencia ${\frac{1}{5}, - \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{11},…} .$

Ejemplo 5.2

Definida por relaciones de recurrencia

Para cada una de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, halle una fórmula explícita para la secuencia.

$a_{1} = 2,$ $a_{n} = −3 a_{n - 1}$ para $n \geq 2$
$a_{1} = \frac{1}{2},$ $a_{n} = a_{n - 1} + {(\frac{1}{2})}^{n}$ para $n \geq 2$

Solución

Escribiendo los primeros términos, tenemos

$\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{2} = −3 a_{1} = −3 (2) \\ a_{3} = −3 a_{2} = {(−3)}^{2} 2 \\ a_{4} = −3 a_{3} = {(−3)}^{3} 2 . \end{matrix}$

En general,

$a_{n} = 2 {(−3)}^{n - 1} .$
Escriba los primeros términos:

$\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{2} = a_{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ a_{3} = a_{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \\ a_{4} = a_{3} + {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} . \end{matrix}$

A partir de este patrón, derivamos la fórmula explícita

$a_{n} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}} .$

Punto de control 5.2

Halle una fórmula explícita para la secuencia definida de forma repetida tal que $a_{1} = −4$ y $a_{n} = a_{n - 1} + 6 .$

Límite de una secuencia

Una cuestión fundamental que se plantea respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que $n$ se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida sobre los enteros positivos, tiene sentido hablar del límite de los términos como $n \to \infty .$ Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como $n \to \infty$ (vea la Figura 5.3):

${1 + 3 n} = {4, 7, 10, 13,…} .$ Los términos $1 + 3 n$ se vuelven arbitrariamente grandes a medida que $n \to \infty .$ En este caso, decimos que $1 + 3 n \to \infty$ a medida que $n \to \infty .$
${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}} = {\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16},…} .$ Los términos $1 - {(\frac{1}{2})}^{n} \to 1$ a medida que $n \to \infty .$
${{(–1)}^{n}} = {− 1, 1, –1, 1,…} .$ Los términos se alternan pero no se acercan a un único valor a medida que $n \to \infty .$
${\frac{{(–1)}^{n}}{n}} = {−1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4},…} .$ Los términos se alternan también para esta secuencia, pero $\frac{{(–1)}^{n}}{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

Cuatro gráficos en los cuadrantes 1 y 4, marcados de la a a la d. El eje horizontal es para el valor de n y el eje vertical es para el valor del término a _n. El gráfico a tiene los puntos (1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13) y (5, 16). El gráfico b tiene los puntos (1, 1/2), (2, 3/4), (3, 7/8) y (4, 15/16). El gráfico c tiene los puntos (1, -1), (2, 1), (3, -1), (4, 1) y (5, -1). El gráfico d tiene los puntos (1, -1), (2, 1/2), (3, -1/3), (4, 1/4) y (5, -1/5).

Figura 5.3 (a) Los términos de la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que

n \to \infty .

(b) Los términos en la secuencia se aproximan a

1

a medida que

n \to \infty .

(c) Los términos de la secuencia alternan entre

1

y

−1

como

n \to \infty .

d) Los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos pero se acercan a

0

a medida que

n \to \infty .

A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades de comportamiento de los términos de una secuencia a medida que $n \to \infty .$ En dos de las secuencias, los términos se aproximan a un número finito a medida que $n \to \infty .$ En las otras dos secuencias, los términos no lo hacen. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito $L$ como $n \to \infty,$ decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real $L$ es el límite de la secuencia. Aquí podemos dar una definición informal.

Definición

Dada una secuencia ${a_{n}},$ si los términos $a_{n}$ se acercan arbitrariamente a un número finito $L$ como $n$ se hace lo suficientemente grande, decimos ${a_{n}}$ es una secuencia convergente y $L$ es el límite de la secuencia. En este caso, escribimos

\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = L .

Si una secuencia ${a_{n}}$ no es convergente, decimos que es una secuencia divergente.

En la Figura 5.3, vemos que los términos de la secuencia ${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}$ se están acercando arbitrariamente a $1$ a medida que $n$ se hace muy grande. Concluimos que ${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}$ es una secuencia convergente y su límite es $1 .$ En cambio, en la Figura 5.3, vemos que los términos de la secuencia $1 + 3 n$ no se acercan a un número finito a medida que $n$ se hace más grande. Decimos que ${1 + 3 n}$ es una secuencia divergente.

En la definición informal del límite de una secuencia, utilizamos los términos "arbitrariamente cercano" y "suficientemente grande" Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, presentamos ahora la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en la Figura 5.4.

Definición

Una secuencia ${a_{n}}$ converge a un número real $L$ si para todo $ε > 0,$ existe un número entero $N$ tal que $| a_{n} - L | < ε$ si $n \geq N .$ El número $L$ es el límite de la secuencia y escribimos

\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = L o r a_{n} \to L .

En este caso, decimos que la secuencia ${a_{n}}$ es una secuencia convergente. Si una sucesión no converge, es una secuencia divergente, y decimos que el límite no existe.

Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia ${a_{n}}$ solo depende de lo que ocurra con los términos $a_{n}$ a medida que $n \to \infty .$ Por lo tanto, si un número finito de términos $b_{1}, b_{2},…, b_{N}$ se colocan antes de $a_{1}$ para crear una nueva secuencia

b_{1}, b_{2},…, b_{N}, a_{1}, a_{2},…,

esta nueva secuencia convergerá si ${a_{n}}$ converge y diverge si ${a_{n}}$ diverge. Además, si la secuencia ${a_{n}}$ converge a $L,$ esta nueva secuencia también convergerá a $L .$

Un gráfico en el cuadrante 1 con los ejes marcados como n y a_n en vez de x y y, respectivamente. Se marca un punto positivo N en el eje n. De menor a mayor, los puntos L - épsilon, L y L + épsilon están marcados en el eje a_n, con el mismo intervalo épsilon entre L y los otros dos. Se dibuja una línea azul y = L, así como otras rojas punteadas para y = L + épsilon y L - épsilon. Los puntos del cuadrante 1 se trazan por encima y por debajo de estas líneas para x < N. Sin embargo, después de N, los puntos permanecen dentro de las líneas y = L + épsilon y L - épsilon, convergiendo en L.

Figura 5.4 A medida que

n

aumenta, los términos

a_{n}

se acercan a

L .

Para los valores de

n \geq N,

la distancia entre cada punto

(n, a_{n})

y la línea

y = L

es menor que

ε .

Como se ha definido anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias ${1 + 3 n}$ y ${{(–1)}^{n}}$ que se muestra en la Figura 5.4 divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes maneras. La secuencia ${{(–1)}^{n}}$ diverge porque los términos se alternan entre $1$ y $−1,$ pero no se acercan a un valor a medida que $n \to \infty .$ Por otro lado, la secuencia ${1 + 3 n}$ diverge porque los términos $1 + 3 n \to \infty$ a medida que $n \to \infty .$ Decimos que la secuencia ${1 + 3 n}$ diverge al infinito y la escribimos $\underset{n \to \infty}{lím} (1 + 3 n) = \infty .$ Es importante reconocer que esta notación no implica que el límite de la secuencia ${1 + 3 n}$ existe. La secuencia es, de hecho, divergente. Escribir que el límite es el infinito solo pretende dar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir hasta el infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia ${− 5 n + 2}$ diverge al infinito negativo porque $−5 n + 2 \to − \infty$ a medida que $n \to − \infty .$ La escribimos como $\underset{n \to \infty}{lím} (−5 n + 2) = \to − \infty .$

Como una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, podemos utilizar las propiedades de los límites de las funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, consideremos una secuencia ${a_{n}}$ y una función correspondiente $f$ definidas en todos los números reales positivos tales que $f (n) = a_{n}$ para todos los enteros $n \geq 1 .$ Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de $f,$ si $\underset{x \to \infty}{lím} f (x)$ existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, consideremos la secuencia ${\frac{1}{n}}$ y la función correspondiente $f (x) = \frac{1}{x} .$ Dado que la función $f$ definida en todos los números reales $x > 0$ satisface $f (x) = \frac{1}{x} \to 0$ cuando $x \to \infty,$ la secuencia ${\frac{1}{n}}$ debe satisfacer $\frac{1}{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

Teorema 5.1

Límite de una secuencia definida por una función

Considere una secuencia ${a_{n}}$ tal que $a_{n} = f (n)$ para todo $n \geq 1 .$ Si existe un número real $L$ tal que

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = L,

entonces ${a_{n}}$ converge y

\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = L .

Podemos utilizar este teorema para evaluar $\underset{n \to \infty}{lím} r^{n}$ para $0 \leq r \leq 1 .$ Por ejemplo, consideremos la secuencia ${{(1 / 2)}^{n}}$ y la función exponencial correspondiente $f (x) = {(1 / 2)}^{x} .$ Dado que $\underset{x \to \infty}{lím} {(1 / 2)}^{x} = 0,$ concluimos que la secuencia ${{(1 / 2)}^{n}}$ converge y su límite es $0 .$ Del mismo modo, para cualquier número real $r$ tal que $0 \leq r < 1,$ $\underset{x \to \infty}{lím} r^{x} = 0,$ y, por tanto, la secuencia ${r^{n}}$ converge. Por otro lado, si $r = 1,$ entonces $\underset{x \to \infty}{lím} r^{x} = 1,$ y por tanto el límite de la secuencia ${1^{n}}$ es $1 .$ Si $r > 1,$ $\underset{x \to \infty}{lím} r^{x} = \infty,$ y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, al igual que la función $r^{x}$ crece sin límites a medida que $n \to \infty,$ los términos $r^{n}$ en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que $n \to \infty,$ y concluimos que la secuencia ${r^{n}}$ diverge al infinito si $r > 1 .$

Resumimos estos resultados con respecto a la secuencia geométrica ${r^{n}} :$

\begin{matrix} r^{n} \to 0 si 0 < r < 1 \\ r^{n} \to 1 si r = 1 \\ r^{n} \to \infty si r > 1 . \end{matrix}

Más adelante en esta sección se considera el caso en que $r < 0 .$

Consideramos ahora secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia ${{(2 / 3)}^{n} + {(1 / 4)}^{n}} .$ Los términos de esta secuencia son más complicados que los de otras secuencias que hemos discutido, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias ${{(2 / 3)}^{n}}$ y ${{(1 / 4)}^{n}} .$ Como describimos en las siguientes leyes de límites algebraicos, dado que ${{(2 / 3)}^{n}}$ y ${{1 / 4)}^{n}}$ ambas convergen a $0,$ la secuencia ${{(2 / 3)}^{n} + {(1 / 4)}^{n}}$ converge a $0 + 0 = 0 .$ Así como pudimos evaluar un límite que implica una combinación algebraica de funciones $f$ y $g$ mirando los límites de $f$ y $g$ (vea Introducción a los límites), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de $a_{n}$ y $b_{n}$ evaluando los límites de ${a_{n}}$ y ${b_{n}} .$

Teorema 5.2

Leyes de límites algebraicos

Secuencias dadas ${a_{n}}$ y ${b_{n}}$ y cualquier número real $c,$ si existen constantes $A$ y $B$ tal que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = A$ y $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = B,$ entonces

$\underset{n \to \infty}{lím} c = c$
$\underset{n \to \infty}{lím} c a_{n} = c \underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = c A$
$\underset{n \to \infty}{lím} (a_{n} \pm b_{n}) = \underset{n \to \infty}{lím} a_{n} \pm \underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = A \pm B$
$\underset{n \to \infty}{lím} (a_{n} . b_{n}) = (\underset{n \to \infty}{lím} a_{n}) . (\underset{n \to \infty}{lím} b_{n}) = A . B$
$\underset{n \to \infty}{lím} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{\underset{n \to \infty}{lím} a_{n}}{\underset{n \to \infty}{lím} b_{n}} = \frac{A}{B},$ siempre que $B \neq 0$ y cada $b_{n} \neq 0 .$

Prueba

Demostramos la parte iii.

Supongamos que $ϵ > 0 .$ Dado que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = A,$ existe un número entero positivo constante $N_{1}$ tal que $| a_{n} - A | < \frac{ε}{2}$ para todo $n \geq N_{1} .$ Dado que $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = B,$ existe una constante $N_{2}$ tal que $| b_{n} - B | < ε / 2$ para todo $n \geq N_{2} .$ Supongamos que $N$ es el mayor de $N_{1}$ y $N_{2} .$ Por lo tanto, para todo $n \geq N,$

$| (a_{n} + b_{n}) − (A + B) | \leq | a_{n} - A | + | b_{n} - B | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$

□

Las leyes de límites algebraicos nos permiten evaluar los límites de muchas secuencias. Por ejemplo, consideremos la secuencia ${\frac{1}{n^{2}}} .$ Como se ha mostrado anteriormente, $\underset{n \to \infty}{lím} 1 / n = 0 .$ Del mismo modo, para cualquier número entero positivo $k,$ podemos concluir que

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{k}} = 0 .

En el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límites para evaluar los límites de otras secuencias.

Ejemplo 5.3

Determinar convergencia y calcular límites

Para cada una de las siguientes secuencias, determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite.

${5 - \frac{3}{n^{2}}}$
${\frac{3 n^{4} - 7 n^{2} + 5}{6 - 4 n^{4}}}$
${\frac{2^{n}}{n^{2}}}$
${{(1 + \frac{4}{n})}^{n}}$

Solución

Sabemos que $1 / n \to 0 .$ Utilizando este hecho, concluimos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{2}} = \underset{n \to \infty}{lím} (\frac{1}{n}) . \underset{n \to \infty}{lím} (\frac{1}{n}) = 0 .$

Por lo tanto,

$\underset{n \to \infty}{lím} (5 - \frac{3}{n^{2}}) = \underset{n \to \infty}{lím} 5 - 3 \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{2}} = 5 - 3.0 = 5 .$

La secuencia converge y su límite es $5 .$
Factorizando $n^{4}$ fuera del numerador y del denominador y utilizando las leyes de límites anteriores, tenemos

$\begin{matrix} \underset{n \to \infty}{lím} \frac{3 n^{4} - 7 n^{2} + 5}{6 - 4 n^{4}} & = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{3 - \frac{7}{n^{2}} + \frac{5}{n^{4}}}{\frac{6}{n^{4}} - 4} \\ = \frac{\underset{n \to \infty}{lím} (3 - \frac{7}{n^{2}} + \frac{5}{n^{4}})}{\underset{n \to \infty}{lím} (\frac{6}{n^{4}} - 4)} \\ = \frac{(\underset{n \to \infty}{lím} (3) − \underset{n \to \infty}{lím} \frac{7}{n^{2}} + \underset{n \to \infty}{lím} \frac{5}{n^{4}})}{(\underset{n \to \infty}{lím} \frac{6}{n^{4}} - \underset{n \to \infty}{lím} (4))} \\ = \frac{(\underset{n \to \infty}{lím} (3) − 7 . \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{2}} + 5 . \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{4}})}{(6 . \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{4}} - \underset{n \to \infty}{lím} (4))} \\ = \frac{3 - 7.0 + 5.0}{6.0 - 4} = - \frac{3}{4} . \end{matrix}$

La secuencia converge y su límite es $−3 / 4 .$
Considere la función correspondiente $f (x) = 2^{x} / x^{2}$ definida en todos los números reales $x > 0 .$ Dado que $2^{x} \to \infty$ y $x^{2} \to \infty$ cuando $x \to \infty,$ aplique la regla de L'Hôpital y escriba

$\begin{matrix} \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2^{x}}{x^{2}} & = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2^{x} ln 2}{2 x} & Tome las derivadas del numerador y del denominador. \\ = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2^{x} {(ln 2)}^{2}}{2} & Vuelva a tomar las derivadas. \\ = \infty . \end{matrix}$

Concluimos que la secuencia diverge.
Considere la función $f (x) = {(1 + \frac{4}{x})}^{x}$ definida en todos los números reales $x > 0 .$ Esta función tiene la forma indeterminada $1^{\infty}$ cuando $x \to \infty .$ Supongamos que

$y = \underset{x \to \infty}{lím} {(1 + \frac{4}{x})}^{x} .$

Ahora tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, obtenemos

$ln (y) = ln [\underset{x \to \infty}{lím} {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] .$

Dado que la función $f (x) = ln x$ es continua en su dominio, podemos intercambiar el límite y el logaritmo natural. Por lo tanto,

$ln (y) = \underset{x \to \infty}{lím} [ln {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] .$

Utilizando las propiedades de los logaritmos, escribimos

$\underset{x \to \infty}{lím} [ln {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] = \underset{x \to \infty}{lím} x ln (1 + \frac{4}{x}) .$

Como el lado derecho de esta ecuación tiene la forma indeterminada $\infty . 0,$ reescríbala como una fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Escriba

$\underset{x \to \infty}{lím} x ln (1 + \frac{4}{x}) = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln (1 + 4 / x)}{1 / x} .$

Como el lado derecho está ahora en la forma indeterminada $0 / 0,$ podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Concluimos que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln (1 + 4 / x)}{1 / x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{4}{1 + 4 / x} = 4 .$

Por lo tanto, $ln (y) = 4$ en tanto que $y = e^{4} .$ Por lo tanto, dado que $\underset{x \to \infty}{lím} {(1 + \frac{4}{x})}^{x} = e^{4},$ podemos concluir que la secuencia ${{(1 + \frac{4}{n})}^{n}}$ converge a $e^{4} .$

Punto de control 5.3

Considere la secuencia ${(5 n^{2} + 1) / e^{n}} .$ Determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite.

Recordemos que si $f$ es una función continua en un valor $L,$ entonces $f (x) \to f (L)$ cuando $x \to L .$ Esta idea se aplica también a las secuencias. Supongamos que una secuencia $a_{n} \to L,$ y una función $f$ es continua en $L .$ Entonces $f (a_{n}) \to f (L) .$ Esta propiedad nos permite a menudo hallar límites para secuencias complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia $\sqrt{5 - \frac{3}{n^{2}}} .$ Del Ejemplo 5.3a. conocemos la secuencia $5 - \frac{3}{n^{2}} \to 5 .$ Dado que $\sqrt{x}$ es una función continua en $x = 5,$

\underset{n \to \infty}{lím} \sqrt{5 - \frac{3}{n^{2}}} = \sqrt{\underset{n \to \infty}{lím} (5 - \frac{3}{n^{2}})} = \sqrt{5} .

Teorema 5.3

Funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Considere una secuencia ${a_{n}}$ y supongamos que existe un número real $L$ tal que la secuencia ${a_{n}}$ converge a $L .$ Supongamos que $f$ es una función continua en $L .$ Entonces existe un número entero $N$ tal que $f$ se define en todos los valores $a_{n}$ para $n \geq N,$ y la secuencia ${f (a_{n})}$ converge a $f (L)$ (Figura 5.5).

Prueba

Supongamos que $ϵ > 0 .$ Dado que $f$ es continua en $L,$ existe $δ > 0$ tal que $| f (x) - f (L) | < ε$ si $| x - L | < δ .$ Ya que la secuencia ${a_{n}}$ converge a $L,$ existe $N$ tal que $| a_{n} - L | < δ$ para todo $n \geq N .$ Por lo tanto, para todo $n \geq N,$ $| a_{n} - L | < δ,$ lo que implica que $| f (a_{n}) − f (L) | < ε .$ Concluimos que la secuencia ${f (a_{n})}$ converge a $f (L) .$

□

Un gráfico en el cuadrante 1 con los puntos (a_1, f(a_1)), (a_3, f(a_3)), (L, f(L)), (a_4, f(a_4)) y (a_2, f(a_2)) conectados por curvas suaves.

Figura 5.5 Debido a que

f

es una función continua a medida que las entradas

a_{1}, a_{2}, a_{3},…

se acercan a

L,

las salidas

f (a_{1}), f (a_{2}), f (a_{3}),…

se acercan a

f (L) .

Ejemplo 5.4

Límites de funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Determinar si la secuencia ${cos (3 / n^{2})}$ converge. Si converge, calcule su límite.

Solución

Dado que la secuencia ${3 / n^{2}}$ converge a $0$ y $cos x$ es continua en $x = 0,$ podemos concluir que la secuencia ${cos (3 / n^{2})}$ converge y

\underset{n \to \infty}{lím} cos (\frac{3}{n^{2}}) = cos (0) = 1 .

Punto de control 5.4

Determine si la secuencia ${\sqrt{\frac{2 n + 1}{3 n + 5}}}$ converge. Si converge, calcule su límite.

Otro teorema que involucra límites de secuencias es una extensión del teorema del emparedado para límites que se discutió en Introducción a los límites.

Teorema 5.4

Teorema del emparedado para secuencias

Considere las secuencias ${a_{n}},$ ${b_{n}},$ y ${c_{n}} .$ Supongamos que existe un número entero $N$ tal que

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} para todo n \geq N .

Si existe un número real $L$ tal que

\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = L = \underset{n \to \infty}{lím} c_{n},

entonces ${b_{n}}$ converge y $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = L$ (Figura 5.6).

Prueba

Supongamos que $ε > 0 .$ Ya que la secuencia ${a_{n}}$ converge a $L,$ existe un número entero $N_{1}$ tal que $| a_{n} - L | < ε$ para todo $n \geq N_{1} .$ Del mismo modo, dado que ${c_{n}}$ converge a $L,$ existe un número entero $N_{2}$ tal que $| c_{n} - L | < ε$ para todo $n \geq N_{2} .$ Por supuesto, existe un número entero $N$ tal que $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ para todo $n \geq N .$ Supongamos que $M$ es el mayor de $N_{1}, N_{2},$ y $N .$ Debemos demostrar que $| b_{n} - L | < ε$ para todo $n \geq M .$ Para todo $n \geq M,$

− ε < − | a_{n} - L | \leq a_{n} - L \leq b_{n} - L \leq c_{n} - L \leq | c_{n} - L | < ε .

Por lo tanto, $− ε < b_{n} - L < ε,$ y concluimos que $| b_{n} - L | < ε$ para todo $n \geq M,$ y concluimos que la secuencia ${b_{n}}$ converge a $L .$

□

Un gráfico en el cuadrante 1 con la línea y = L y el eje x marcado como eje n. Los puntos se trazan por encima y por debajo de la línea, convergiendo a L a medida que n va al infinito. Los puntos a_n, b_n y c_n se representan con el mismo valor n. A_n y b_n están por encima de y = L, y c_n está por debajo.

Figura 5.6 Cada término

b_{n}

satisface

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

y las secuencias

{a_{n}}

y

{c_{n}}

convergen al mismo límite, por lo que la secuencia

{b_{n}}

debe converger también al mismo límite.

Ejemplo 5.5

Utilizar el teorema del emparedado

Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias.

${\frac{cos n}{n^{2}}}$
${{(- \frac{1}{2})}^{n}}$

Solución

Dado que $−1 \leq cos n \leq 1$ para todos los enteros $n,$ tenemos

$- \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{cos n}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}} .$

Dado que $−1 / n^{2} \to 0$ y $1 / n^{2} \to 0,$ concluimos que $cos n / n^{2} \to 0$ también.
Dado que

$- \frac{1}{2^{n}} \leq {(- \frac{1}{2})}^{n} \leq \frac{1}{2^{n}}$

para todos los enteros positivos $n,$ $−1 / 2^{n} \to 0$ y $1 / 2^{n} \to 0,$ podemos concluir que ${(−1 / 2)}^{n} \to 0 .$

Punto de control 5.5

Calcule $\underset{n \to \infty}{lím} \frac{2 n - sen n}{n} .$

Utilizando la idea del Ejemplo 5.5b. concluimos que $r^{n} \to 0$ para cualquier número real $r$ tal que $−1 < r < 0 .$ Si $r < − 1,$ la secuencia ${r^{n}}$ diverge porque los términos oscilan y se vuelven arbitrariamente más grandes en magnitud. Si $r = −1,$ la secuencia ${r^{n}} = {{(–1)}^{n}}$ diverge, como ya se ha comentado. A continuación, un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas.

r^{n} \to 0 si | r | < 1

(5.1)

r^{n} \to 1 si r = 1

(5.2)

r^{n} \to \infty si r > 1

(5.3)

{r^{n}} diverge si r \leq − 1

(5.4)

Secuencias delimitadas

Ahora nos centraremos en uno de los teoremas más importantes sobre las secuencias: el teorema de convergencia monótona. Antes de enunciar el teorema, debemos introducir algo de terminología y motivación. Empezamos por definir lo que significa que una secuencia esté delimitada.

Definición

Una secuencia ${a_{n}}$ está delimitada por encima si existe un número real $M$ tal que

a_{n} \leq M

para todos los enteros positivos $n .$

Una secuencia ${a_{n}}$ está delimitada por debajo si existe un número real $M$ tal que

M \leq a_{n}

para todos los enteros positivos $n .$

Una secuencia ${a_{n}}$ es una secuencia delimitada si está delimitada por encima y por debajo.

Si una secuencia no está delimitada, es una secuencia no delimitada.

Por ejemplo, la secuencia ${1 / n}$ está delimitada por encima porque $1 / n \leq 1$ para todos los enteros positivos $n .$ También está delimitada por debajo porque $1 / n \geq 0$ para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, ${1 / n}$ es una secuencia delimitada. Por otro lado, consideremos la secuencia ${2^{n}} .$ Dado que $2^{n} \geq 2$ para todo $n \geq 1,$ la secuencia está delimitada por debajo. Sin embargo, la secuencia no está delimitada por encima. Por lo tanto, ${2^{n}}$ es una secuencia no delimitada.

Ahora discutimos la relación entre la delimitación y la convergencia. Supongamos que una secuencia ${a_{n}}$ no está delimitada. Entonces no está delimitada por encima, o no está delimitada por debajo, o por ninguna de las dos partes. En cualquier caso, hay términos $a_{n}$ que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que $n$ se hace más grande. Como resultado, la secuencia ${a_{n}}$ no puede converger. Por lo tanto, estar delimitada es una condición necesaria para que una secuencia converja.

Teorema 5.5

Las secuencias convergentes están delimitadas

Si una secuencia ${a_{n}}$ converge, entonces está delimitada.

Observe que el hecho de que una secuencia esté delimitada no es condición suficiente para que una secuencia converja. Por ejemplo, la secuencia ${{(–1)}^{n}}$ está delimitada, pero la secuencia diverge porque la secuencia oscila entre $1$ y $−1$ y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una secuencia delimitada converja.

Consideremos una secuencia delimitada ${a_{n}} .$ Supongamos que la secuencia ${a_{n}}$ es creciente. Es decir, $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} … .$ Como la secuencia es creciente, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La secuencia podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, dado que la secuencia está delimitada, está delimitada por encima y la secuencia no puede divergir al infinito. Concluimos que ${a_{n}}$ converge. Por ejemplo, consideremos la secuencia

{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5},…} .

Como esta secuencia es creciente y delimitada por encima, converge. A continuación, consideremos la secuencia

{2, 0, 3, 0, 4, 0, 1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4},…} .

Aunque la secuencia no es creciente para todos los valores de $n,$ vemos que $−1 / 2 < − 1 / 3 < − 1 / 4 < ⋯ .$ Por lo tanto, a partir del octavo término, $a_{8} = −1 / 2,$ la secuencia es creciente. En este caso, decimos que la secuencia es eventualmente creciente. Como la secuencia está delimitada por encima, converge. También es cierto que si una secuencia es decreciente (o eventualmente decreciente) y delimitada por debajo, también converge.

Definición

Una secuencia ${a_{n}}$ es creciente para todo $n \geq n_{0}$ si

a_{n} \leq a_{n + 1} para todo n \geq n_{0} .

Una secuencia ${a_{n}}$ es decreciente para todo $n \geq n_{0}$ si

a_{n} \geq a_{n + 1} para todo n \geq n_{0} .

Una secuencia ${a_{n}}$ es una secuencia monótona para todo $n \geq n_{0}$ si es creciente para todo $n \geq n_{0}$ o decreciente para todo $n \geq n_{0} .$

Ahora tenemos las definiciones necesarias para enunciar el teorema de convergencia monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia.

Teorema 5.6

Teorema de convergencia monótona

Si ${a_{n}}$ es una secuencia delimitada y existe un número entero positivo $n_{0}$ tal que ${a_{n}}$ es monótona para todo $n \geq n_{0},$ entonces ${a_{n}}$ converge.

La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto. En su lugar, proporcionamos un gráfico para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido (Figura 5.7).

Un gráfico en el cuadrante 1 con los ejes x y y marcados como n y a_n, respectivamente. Se traza una línea horizontal punteada desde el eje a_n hacia el cuadrante 1. Muchos puntos se trazan bajo la línea de puntos, aumentando el valor de a_n y convergiendo a la línea punteada.

Figura 5.7 Dado que la secuencia

{a_{n}}

es creciente y delimitada por encima, debe converger.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el teorema de convergencia monótona para demostrar la convergencia de una secuencia.

Ejemplo 5.6

Uso del teorema de convergencia monótona

Para cada una de las siguientes secuencias, utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que la secuencia converge y calcule su límite.

${\frac{4^{n}}{n!}}$
${a_{n}}$ definidas de forma repetida tal que

$a_{1} = 2 y a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} para todo n \geq 2 .$

Solución

Escribiendo los primeros términos, vemos que

${\frac{4^{n}}{n!}} = {4, 8, \frac{32}{3}, \frac{32}{3}, \frac{128}{15},…} .$

Al principio, los términos aumentan. Sin embargo, a partir del tercer término, los términos disminuyen. De hecho, los términos disminuyen para todo $n \geq 3 .$ Podemos demostrarlo de la siguiente manera.

$a_{n + 1} = \frac{4^{n + 1}}{(n + 1)!} = \frac{4}{n + 1} . \frac{4^{n}}{n!} = \frac{4}{n + 1} . a_{n} \leq a_{n} i f n \geq 3 .$

Por lo tanto, la secuencia es decreciente para todo $n \geq 3 .$ Además, la secuencia está delimitada por $0$ porque $4^{n} / n! \geq 0$ para todos los enteros positivos $n .$ Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia converge.
Para calcular el límite, utilizamos el hecho de que la secuencia converge y suponemos que $L = \underset{n \to \infty}{lím} a_{n} .$ Ahora, tenga en cuenta esta importante observación. Considere $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n + 1} .$ Dado que

${a_{n + 1}} = {a_{2,} a_{3}, a_{4},…},$
la única diferencia entre las secuencias ${a_{n + 1}}$ y ${a_{n}}$ es que ${a_{n + 1}}$ omite el primer término. Dado que un número finito de términos no afecta a la convergencia de una secuencia,

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n + 1} = \underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = L .$

Combinando este hecho con la ecuación

$a_{n + 1} = \frac{4}{n + 1} a_{n}$

y tomando el límite de ambos lados de la ecuación

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n + 1} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{4}{n + 1} a_{n},$

podemos concluir que

$L = 0 . L = 0 .$
Escribiendo los primeros términos,

${2, \frac{5}{4}, \frac{41}{40}, \frac{3281}{3280},…} .$

podemos conjeturar que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo por $1 .$ Para demostrar que la secuencia está delimitada por debajo de $1,$ podemos demostrar que

$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \geq 1 .$

Para demostrarlo, primero hay que reescribir

$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} .$

Dado que $a_{1} > 0$ y $a_{2}$ se define como una suma de términos positivos, $a_{2} > 0 .$ Del mismo modo, todos los términos $a_{n} > 0 .$ Por lo tanto,

$\frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} \geq 1$

si y solo si

$a_{n}^{2} + 1 \geq 2 a_{n} .$

Reescribiendo la inecuación $a_{n}^{2} + 1 \geq 2 a_{n}$ como $a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 1 \geq 0,$ y utilizando el hecho de que

$a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 1 = {(a_{n} - 1)}^{2} \geq 0$

porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo, podemos concluir que

$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \geq 1 .$

Para demostrar que la secuencia es decreciente, debemos demostrar que $a_{n + 1} \leq a_{n}$ para todo $n \geq 1 .$ Dado que $1 \leq a_{n}^{2},$ se deduce que

$a_{n}^{2} + 1 \leq 2 a_{n}^{2} .$

Dividiendo ambos lados entre $2 a_{n},$ obtenemos

$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \leq a_{n} .$

Utilizando la definición de $a_{n + 1},$ concluimos que

$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \leq a_{n} .$

Dado que ${a_{n}}$ está delimitada por debajo y es decreciente, por el teorema de convergencia monótona, converge.
Para calcular el límite, supongamos que $L = \underset{n \to \infty}{lím} a_{n} .$ Entonces, utilizando la relación de recurrencia y el hecho de que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = \underset{n \to \infty}{lím} a_{n + 1},$ tenemos

$\underset{n \to \infty}{lím} a_{n + 1} = \underset{n \to \infty}{lím} (\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}}),$

y por lo tanto

$L = \frac{L}{2} + \frac{1}{2 L} .$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $2 L,$ llegamos a la ecuación

$2 L^{2} = L^{2} + 1 .$

Si resolvemos esta ecuación para $L,$ concluimos que $L^{2} = 1,$ lo que implica que $L = ± 1 .$ Como todos los términos son positivos, el límite $L = 1 .$

Punto de control 5.6

Considere la secuencia ${a_{n}}$ definida de forma repetida de manera que $a_{1} = 1,$ $a_{n} = a_{n - 1} / 2 .$ Utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que esta secuencia converge y calcule su límite.

Proyecto de estudiante

Serie de Fibonacci

La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia ${F_{n}}$ donde $F_{0} = 0,$ $F_{1} = 1$ y para $n \geq 2,$

F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} .

Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci.

Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci.
Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos.
1. Considere la secuencia definida de forma repetida ${x_{n}}$ donde $x_{o} = c$ y $x_{n + 1} = a x_{n} .$ Demuestre que esta secuencia puede describirse mediante la fórmula cerrada $x_{n} = c a^{n}$ para todo $n \geq 0 .$
2. Utilizando el resultado de la parte a. como motivación, halle una solución de la ecuación
  
  $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$
  
  de la forma $F_{n} = c λ^{n} .$ Determine cuáles dos valores para $λ$ permitirán que $F_{n}$ satisfaga esta ecuación.
3. Considere las dos soluciones de la parte b.: $λ_{1}$ y $λ_{2} .$ Supongamos que $F_{n} = c_{1} λ_{1}^{n} + c_{2} λ_{2}^{n} .$ Utilice las condiciones iniciales $F_{0}$ y $F_{1}$ para determinar los valores de las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ y escriba la fórmula cerrada $F_{n} .$
Utilice la respuesta en 2 c. para demostrar que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

El número $ϕ = (1 + \sqrt{5}) / 2$ se conoce como el numero áureo (Figura 5.8 y Figura 5.9)

Figura 5.8 Las semillas de un girasol presentan patrones en espiral que se curvan hacia la izquierda y hacia la derecha. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci (créditos: modificación del trabajo de Esdras Calderan, Wikimedia Commons).

Figura 5.9 El número áureo aparece en muchos ejemplos famosos de arte y arquitectura. El antiguo templo griego conocido como el Partenón fue diseñado con estas proporciones, y la proporción aparece de nuevo en muchos de los detalles más pequeños (créditos: modificación del trabajo de TravelingOtter, Flickr).

Sección 5.1 ejercicios

Halle los seis primeros términos de cada una de las siguientes secuencias, empezando por $n = 1 .$

1.

$a_{n} = 1 + {(–1)}^{n}$ para $n \geq 1$

2.

$a_{n} = n^{2} - 1$ para $n \geq 1$

3.

$a_{1} = 1$ y $a_{n} = a_{n - 1} + n$ para $n \geq 2$

4.

$a_{1} = 1,$ $a_{2} = 1$ y $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ para $n \geq 1$

5.

Halle una fórmula explícita para $a_{n}$ donde $a_{1} = 1$ y $a_{n} = a_{n - 1} + n$ para $n \geq 2 .$

6.

Halle una fórmula $a_{n}$ para el $ené simo$ término de la secuencia aritmética cuyo primer término es $a_{1} = 1$ tal que $a_{n + 1} - a_{n} = 17$ para $n \geq 1 .$

7.

Halle una fórmula $a_{n}$ para el $ené simo$ término de la secuencia aritmética cuyo primer término es $a_{1} = −3$ tal que $a_{n + 1} - a_{n} = 4$ para $n \geq 1 .$

8.

Halle una fórmula $a_{n}$ para el $ené simo$ término de la secuencia geométrica cuyo primer término es $a_{1} = 1$ tal que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 10$ para $n \geq 1 .$

9.

Halle una fórmula $a_{n}$ para el $ené simo$ término de la secuencia geométrica cuyo primer término es $a_{1} = 3$ tal que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 / 10$ para $n \geq 1 .$

10.

Halle una fórmula explícita para el $ené simo$ término de la secuencia cuyos primeros términos son ${0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99,…} .$ (Pista: Primero añada uno a cada término).

11.

Halle una fórmula explícita para el $ené simo$ término de la secuencia que satisface $a_{1} = 0$ y $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1$ para $n \geq 2 .$

Halle una fórmula para el término general $a_{n}$ de cada una de las siguientes secuencias.

12.

${1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0,…}$ (Pista: Halle el valor donde $sen x$ toma estos valores)

13.

${1, − 1 / 3, 1 / 5, − 1 / 7,…}$

Calcule una función $f (n)$ que identifique el $ené −ésimo$ término $a_{n}$ de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, como $a_{n} = f (n) .$

14.

$a_{1} = 1$ y $a_{n + 1} = − a_{n}$ para $n \geq 1$

15.

$a_{1} = 2$ y $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ para $n \geq 1$

16.

$a_{1} = 1$ y $a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ para $n \geq 1$

17.

$a_{1} = 2$ y $a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} / 2$ para $n \geq 1$

18.

$a_{1} = 1$ y $a_{n + 1} = a_{n} / 2^{n}$ para $n \geq 1$

Grafique los primeros $N$ términos de cada secuencia. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge.

19.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ y para $n \geq 2,$ $a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + a_{n - 2});$ $N = 30$

20.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3$ y para $n \geq 4,$ $a_{n} = \frac{1}{3} (a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3}),$ $N = 30$

21.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ y para $n \geq 3,$ $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} a_{n - 2}};$ $N = 30$

22.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3,$ y para $n \geq 4,$ $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} a_{n - 2} a_{n - 3}};$ $N = 30$

Supongamos que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 1,$ $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = −1,$ y $0 < − b_{n} < a_{n}$ para todo $n .$ Evalúe cada uno de los siguientes límites, o afirme que el límite no existe, o afirme que no hay suficiente información para determinar si el límite existe.

23.

$\underset{n \to \infty}{lím} (3 a_{n} - 4 b_{n})$ grandes.

24.

$\underset{n \to \infty}{lím} (\frac{1}{2} b_{n} - \frac{1}{2} a_{n})$ grandes.

25.

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{n} - b_{n}}$

26.

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n} - b_{n}}{a_{n} + b_{n}}$

Calcule el límite de cada una de las siguientes secuencias, utilizando la regla de L'Hôpital cuando sea adecuado.

27.

$\frac{n^{2}}{2^{n}}$

28.

$\frac{{(n - 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$

29.

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$

30.

$n^{1 / n}$ (Pista: $n^{1 / n} = e^{\frac{1}{n} ln n})$

Para cada una de las siguientes secuencias, cuyos $ené −ésimos$ se indican, especifique si la secuencia está delimitada y si es eventualmente monótona, creciente o decreciente.

31.

$n / 2^{n},$ $n \geq 2$

32.

$ln (1 + \frac{1}{n})$ grandes.

33.

$sen n$

34.

$cos (n^{2})$ grandes.

35.

$n^{1 / n},$ $n \geq 3$

36.

$n^{−1 / n},$ $n \geq 3$

37.

$tan n$

38.

Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite.

$a_{1} = \sqrt{2},$ $a_{2} = \sqrt{2 \sqrt{2}},$ $a_{3} = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}$ etc.

39.

Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite.

$a_{1} = 3,$ $a_{n} = \sqrt{2 a_{n - 1}},$ $n = 2, 3,… .$

Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias.

40.

$n sen (1 / n)$ grandes.

41.

$\frac{cos (1 / n) - 1}{1 / n}$

42.

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$

43.

$a_{n} = sen n sen (1 / n)$ grandes.

Para las siguientes secuencias, grafique los primeros $25$ términos de la secuencia y diga si la evidencia gráfico sugiere que la secuencia converge o diverge.

44.

[T] $a_{n} = sen n$

45.

[T] $a_{n} = cos n$

Determine el límite de la secuencia o demuestre que la secuencia diverge. Si converge, calcule su límite.

46.

$a_{n} = {tan}^{–1} (n^{2})$ grandes.

47.

$a_{n} = {(2 n)}^{1 / n} - n^{1 / n}$

48.

$a_{n} = \frac{ln (n^{2})}{ln (2 n)}$ grandes.

49.

$a_{n} = {(1 - \frac{2}{n})}^{n}$

50.

$a_{n} = ln (\frac{n + 2}{n^{2} - 3})$ grandes.

51.

$a_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{4^{n}}$

52.

$a_{n} = \frac{{(1.000)}^{n}}{n!}$

53.

$a_{n} = \frac{{(n!)}^{2}}{(2 n)!}$

El método de Newton busca aproximar una solución $f (x) = 0$ que parte de una aproximación inicial $x_{0}$ y define sucesivamente una secuencia $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} .$ Para la elección dada de $f$ y $x_{0},$ escriba la fórmula para $x_{n + 1} .$ Si la secuencia parece converger, escriba una fórmula exacta para la solución $x,$ luego identifique el límite $x$ con una precisión de cuatro decimales y el n más pequeño $n$ tal que $x_{n}$ coincida con $x$ hasta cuatro decimales.

54.

[T] $f (x) = x^{2} - 2,$ $x_{0} = 1$

55.

[T] $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2,$ $x_{0} = 2$

56.

[T] $f (x) = e^{x} - 2,$ $x_{0} = 1$

57.

[T] $f (x) = ln x - 1,$ $x_{0} = 2$

58.

[T] Supongamos que comienza con un litro de vinagre y remueve repetidamente $0,1 L,$ sustituye con agua, mezcla y repite.

Halle una fórmula para la concentración después de $n$ pasos.
¿Después de cuántos pasos la mezcla contiene menos de $10 %$ de vinagre?

59.

[T] Un lago contiene inicialmente $2000$ peces. Supongamos que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en $6 %$ cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, $150$ peces se pierden cada mes.

Explique por qué la población de peces después de $n$ meses está modelada por $P_{n} = 1,06 P_{n - 1} - 150$ con $P_{0} = 2000 .$
¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año?

60.

[T] Una cuenta bancaria gana $5 %$ de intereses compuestos mensualmente. Supongamos que se deposita inicialmente $$ 1.000$ en la cuenta, pero que se retiran $$ 10$ cada mes.

Demuestre que el saldo de la cuenta después de $n$ meses es $A_{n} = (1 + 0,05 / 12) A_{n - 1} - 10;$ $A_{0} = 1.000 dólares.$
¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de $1$ año?
¿El saldo aumenta o disminuye?
Supongamos que en vez de $$ 10 dólares,$ una cantidad fija de $d$ dólares se retira cada mes. Halle un valor de $d$ de manera que el saldo de la cuenta después de cada mes siga siendo $$ 1.000 dólares.$
¿Qué pasa si $d$ es mayor que este saldo?

61.

[T] Un estudiante pide un préstamo universitario de $$ 10.000$ a una tasa anual equivalente de $6 %,$ compuesto mensualmente.

Si el estudiante realiza pagos de $$ 100$ al mes, ¿cuánto debe el estudiante después de $12$ meses?
¿Después de cuántos meses se pagará el préstamo?

62.

[T] Considere una serie que combina el crecimiento geométrico y la disminución aritmética. Supongamos que $a_{1} = 1 .$ Establezca $a > 1$ y $0 < b < a .$ Establezca $a_{n + 1} = a . a_{n} - b .$ Halle una fórmula para $a_{n + 1}$ en términos de $a^{n},$ $a,$ y $b$ y una relación entre $a$ y $b$ tal que $a_{n}$ converge.

63.

[T] La representación binaria $x = 0 . b_{1} b_{2} b_{3} ...$ de un número $x$ entre $0$ y $1$ puede definirse de la siguiente forma. Supongamos que $b_{1} = 0$ si $x < 1 / 2$ y $b_{1} = 1$ si $1 / 2 \leq x < 1 .$ Supongamos que $x_{1} = 2 x - b_{1} .$ Supongamos que $b_{2} = 0$ si $x_{1} < 1 / 2$ y $b_{2} = 1$ si $1 / 2 \leq x < 1 .$ Supongamos que $x_{2} = 2 x_{1} - b_{2}$ y en general, $x_{n} = 2 x_{n - 1} - b_{n}$ y $b_{n - 1} = 0$ si $x_{n} < 1 / 2$ y $b_{n - 1} = 1$ si $1 / 2 \leq x_{n} < 1 .$ Calcule la expansión binaria de $1 / 3 .$

64.

[T] Para calcular una aproximación para $π,$ establezca $a_{0} = \sqrt{2 + 1},$ $a_{1} = \sqrt{2 + a_{0}},$ y, en general, $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_{n}} .$ Por último, establezca $p_{n} = {3,2}^{n} \sqrt{2 - a_{n}} .$ Halle los diez primeros términos de $p_{n}$ y compare los valores con $π .$

En los dos ejercicios siguientes, suponga que tiene acceso a un programa de computadora o un recurso en internet que puede generar una lista de ceros y unos de la longitud que desee. Los generadores de números pseudoaleatorios (Pseudorandom number generator, PRNG) desempeñan un papel importante en la simulación del ruido aleatorio en los sistemas físicos, ya que crean secuencias de ceros y unos que parecen el resultado de lanzar una moneda repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define de forma repetida una secuencia de aspecto aleatorio de $N$ enteros $a_{1}, a_{2},…, a_{N}$ fijando dos enteros especiales $K$ y $M$ y suponiendo que $a_{n + 1}$ es el resto después de dividir $K . a_{n}$ en $M,$ crea entonces una secuencia de bits de ceros y unos cuyo $ené −ésimo$ término $b_{n}$ es igual a uno si $a_{n}$ es impar e igual a cero si $a_{n}$ es par. Si los bits $b_{n}$ son pseudoaleatorios, entonces el comportamiento de su promedio $(b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{N}) / N$ debe ser similar al comportamiento de los promedios de los bits realmente generados al azar.

65.

[T] A partir de $K = 16.807$ y $M = 2.147.483.647,$ utilizando diez valores iniciales diferentes de $a_{1},$ calcule secuencias de bits $b_{n}$ hasta $n = 1.000,$ y compare sus promedios con diez secuencias de este tipo generadas por un generador de bits aleatorio.

66.

[T] Halle los primeros $1.000$ dígitos de $π$ utilizando un programa de computadora o un recurso en Internet. Cree una secuencia de bits $b_{n}$ suponiendo que $b_{n} = 1$ si el $ené simo$ dígito de $π$ es impar y $b_{n} = 0$ si el $ené simo$ dígito de $π$ es par. Calcule el valor promedio de $b_{n}$ y el valor promedio de $d_{n} = | b_{n + 1} - b_{n} |,$ $n = 1,..., 999 .$ ¿La secuencia $b_{n}$ parece aleatoria? ¿Las diferencias entre los elementos sucesivos de $b_{n}$ parece aleatoria?

5.1 Secuencias

Terminología de las secuencias

Hallar fórmulas explícitas

Solución

Definida por relaciones de recurrencia

Solución

Límite de una secuencia

Límite de una secuencia definida por una función

Leyes de límites algebraicos

Prueba

Determinar convergencia y calcular límites

Solución

Funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Prueba

Límites de funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Solución

Teorema del emparedado para secuencias

Prueba

Utilizar el teorema del emparedado

Solución

Secuencias delimitadas

Las secuencias convergentes están delimitadas

Teorema de convergencia monótona

Uso del teorema de convergencia monótona

Solución

Serie de Fibonacci

Sección 5.1 ejercicios