Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

379.

Si los valores de $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

380.

Si los valores de $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} \neq 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

381.

Si los valores de $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

382.

Si los valores de $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} a_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} {(−2)}^{n} a_{n}$ converge.

¿Es la secuencia delimitada, monótona y convergente o divergente? Si es convergente, calcule el límite.

383.

$a_{n} n = \frac{3 + n^{2}}{1 - n}$

384.

$a_{n} = ln (\frac{1}{n})$ grandes.

385.

$a_{n} = \frac{ln (n + 1)}{\sqrt{n + 1}}$

386.

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{5^{n}}$

387.

$a_{n} = \frac{ln (cos n)}{n}$

¿La serie es convergente o divergente?

388.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 5 n + 4}$

389.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln (\frac{n + 1}{n})$

390.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{4}}$

391.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n!}$

392.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n^{− (n + 1 / n)}$

¿La serie es convergente o divergente? Si es convergente, ¿es absolutamente convergente?

393.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{\sqrt{n}}$

394.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} n!}{3^{n}}$

395.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} n!}{n^{n}}$

396.

$\sum_{n = 1}^{\infty} sen (\frac{n π}{2})$ grandes.

397.

$\sum_{n = 1}^{\infty} cos (π n) e^{− n}$

Evalúe

398.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n + 4}}{7^{n}}$

399.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ grandes.

400.

Una leyenda de la India cuenta que un matemático inventó el ajedrez para un rey. El rey disfrutó tanto del juego que permitió al matemático exigir cualquier pago. El matemático pidió un grano de arroz para la primera casilla del tablero, dos granos de arroz para la segunda casilla del tablero, cuatro granos de arroz para la tercera casilla del tablero, y así sucesivamente. Halle una expresión exacta para el pago total (en granos de arroz) solicitado por el matemático. Suponiendo que haya $30,000$ granos de arroz en $1$ libra, y $2,000$ libras en $1$ tonelada, ¿cuántas toneladas de arroz intentó recibir el matemático?

Los siguientes problemas consideran un modelo de población simple de la mosca doméstica, que puede ser exhibido mediante la fórmula recursiva $x_{n + 1} = b x_{n},$ donde $x_{n}$ es la población de moscas domésticas en la generación $n,$ y $b$ es el número promedio de crías por mosca doméstica que sobreviven a la siguiente generación. Supongamos una población inicial $x_{0} .$

401.

Halle $\underset{n \to \infty}{lím} x_{n}$ si $b > 1,$ $b < 1,$ y $b = 1 .$

402.

Halle una expresión para $S_{n} = \sum_{i = 0}^{n} x_{i}$ en términos de $b$ y $x_{0} .$ ¿Qué representa físicamente?

403.

Si los valores de $b = \frac{3}{4}$ y $x_{0} = 100,$ calcule $S_{10}$ y $\underset{n \to \infty}{lím} S_{n}$

404.

¿Para qué valores de $b$ la serie converge y diverge? ¿A qué converge la serie?