5.1 Secuencias

Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita $a_{n} = f (n),$ utilizamos las propiedades de los límites de las funciones.
Si ${a_{n}}$ y ${b_{n}}$ son secuencias convergentes que convergen a $A$ y $B,$ respectivamente, y $c$ es un número real cualquiera, entonces la secuencia ${c a_{n}}$ converge a $c . A,$ las secuencias ${a_{n} \pm b_{n}}$ convergen a $A \pm B,$ la secuencia ${a_{n} . b_{n}}$ converge a $A . B,$ y la secuencia ${a_{n} / b_{n}}$ converge a $A / B,$ siempre que $B \neq 0 .$
Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas.
Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas.
La secuencia geométrica ${r^{n}}$ converge si y solo si $| r | < 1$ o $r = 1 .$

5.2 Serie infinita

Dada la serie infinita

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯$

y la correspondiente secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ donde

$S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k},$

la serie converge si y solo si la secuencia ${S_{k}}$ converge.
La serie geométrica $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ converge si $| r | < 1$ y diverge si $| r | \geq 1 .$ Para $| r | < 1,$

$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r} .$
La serie armónica

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯$

diverge.
Una serie de la forma $\sum_{n = 1}^{\infty} [b_{n} - b_{n + 1}] = [b_{1} - b_{2}] + [b_{2} - b_{3}] + [b_{3} - b_{4}] + ⋯ + [b_{n} - b_{n + 1}] + ⋯$
es una serie telescópica. La $k −ésimo$ suma parcial de esta serie está dada por $S_{k} = b_{1} - b_{k + 1} .$ La serie convergerá si y solo si $\underset{k \to \infty}{lím} b_{k + 1}$ existe. En ese caso,

$\sum_{n = 1}^{\infty} [b_{n} - b_{n + 1}] = b_{1} - \underset{k \to \infty}{lím} (b_{k + 1}) .$

Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} \neq 0,$ entonces la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.
Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ puede converger o divergir.
Si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie con términos positivos $a_{n}$ y $f$ es una función continua y decreciente tal que $f (n) = a_{n}$ para todos los enteros positivos $n,$ entonces

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} y \int_{1}^{\infty} f (x) d x$

ambas convergen o ambas divergen. Además, si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, entonces la $ené simo$ aproximación de la suma parcial $S_{N}$ es precisa a un error $R_{N}$ donde $\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .$
La serie p $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ converge si $p > 1$ y diverge si $p \leq 1 .$

Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
Al utilizar las pruebas de comparación, una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ se compara a menudo con una serie geométrica o p.

Para una serie alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n},$ si $b_{k + 1} \leq b_{k}$ para todo $k$ y $b_{k} \to 0$ a medida que $k \to \infty,$ la serie alternada converge.
Si $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

Para el criterio del cociente, consideramos

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | .$

Si $ρ < 1,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente. Si los valores de $ρ > 1,$ la serie diverge. Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales.
Para el criterio de la raíz, consideramos

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{| a_{n} |} .$

Si $ρ < 1,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente. Si los valores de $ρ > 1,$ la serie diverge. Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias.
Para una serie que es similar a una serie geométrica o una $serie p,$ considere una de las pruebas de comparación.