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Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

5.1 Secuencias

  • Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita an=f(n),an=f(n), utilizamos las propiedades de los límites de las funciones.
  • Si {an}{an} y {bn}{bn} son secuencias convergentes que convergen a AA y B,B, respectivamente, y cc es un número real cualquiera, entonces la secuencia {can}{can} converge a c.A,c.A, las secuencias {an±bn}{an±bn} convergen a A±B,A±B, la secuencia {an.bn}{an.bn} converge a A.B,A.B, y la secuencia {an/bn}{an/bn} converge a A/B,A/B, siempre que B0.B0.
  • Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas.
  • Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas.
  • La secuencia geométrica {rn}{rn} converge si y solo si |r|<1|r|<1 o r=1.r=1.

5.2 Serie infinita

  • Dada la serie infinita
    n=1an=a1+a2 +a3+n=1an=a1+a2 +a3+

    y la correspondiente secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} donde
    Sk=n=1kan=a1+a2 +a3++ak,Sk=n=1kan=a1+a2 +a3++ak,

    la serie converge si y solo si la secuencia {Sk}{Sk} converge.
  • La serie geométrica n=1arn1n=1arn1 converge si |r|<1|r|<1 y diverge si |r|1.|r|1. Para |r|<1,|r|<1,
    n=1arn1=a1r.n=1arn1=a1r.
  • La serie armónica
    n=11n=1+12 +13+n=11n=1+12 +13+

    diverge.
  • Una serie de la forma n=1[bnbn+1]=[b1b2 ]+[b2 b3]+[b3b4]++[bnbn+1]+n=1[bnbn+1]=[b1b2 ]+[b2 b3]+[b3b4]++[bnbn+1]+
    es una serie telescópica. La k−ésimok−ésimo suma parcial de esta serie está dada por Sk=b1bk+1.Sk=b1bk+1. La serie convergerá si y solo si límkbk+1límkbk+1 existe. En ese caso,
    n=1[bnbn+1]=b1límk(bk+1).n=1[bnbn+1]=b1límk(bk+1).

5.3 Las pruebas de divergencia e integral

  • Si límnan0,límnan0, entonces la serie n=1ann=1an diverge.
  • Si límnan=0,límnan=0, la serie n=1ann=1an puede converger o divergir.
  • Si n=1ann=1an es una serie con términos positivos anan y ff es una función continua y decreciente tal que f(n)=anf(n)=an para todos los enteros positivos n,n, entonces
    n=1any1f(x)dxn=1any1f(x)dx

    ambas convergen o ambas divergen. Además, si n=1ann=1an converge, entonces la enésimoenésimo aproximación de la suma parcial SNSN es precisa a un error RNRN donde N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.
  • La serie p n=11/npn=11/np converge si p>1p>1 y diverge si p1.p1.

5.4 Pruebas de comparación

  • Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
  • Al utilizar las pruebas de comparación, una serie n=1ann=1an se compara a menudo con una serie geométrica o p.

5.5 Series alternadas

  • Para una serie alternada n=1(–1)n+1bn,n=1(–1)n+1bn, si bk+1bkbk+1bk para todo kk y bk0bk0 a medida que k,k, la serie alternada converge.
  • Si n=1|an|n=1|an| converge, entonces n=1ann=1an converge.

5.6 Criterios del cociente y la raíz

  • Para el criterio del cociente, consideramos
    ρ=límn|an+1an|.ρ=límn|an+1an|.

    Si ρ<1,ρ<1, la serie n=1ann=1an converge absolutamente. Si los valores de ρ>1,ρ>1, la serie diverge. Si los valores de ρ=1,ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales.
  • Para el criterio de la raíz, consideramos
    ρ=límn|an|n.ρ=límn|an|n.

    Si ρ<1,ρ<1, la serie n=1ann=1an converge absolutamente. Si los valores de ρ>1,ρ>1, la serie diverge. Si los valores de ρ=1,ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias.
  • Para una serie que es similar a una serie geométrica o una serie p,serie p, considere una de las pruebas de comparación.
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