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Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

Conceptos clave

5.1 Secuencias

  • Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita an=f(n),an=f(n), utilizamos las propiedades de los límites de las funciones.
  • Si {an}{an} y {bn}{bn} son secuencias convergentes que convergen a AA y B,B, respectivamente, y cc es un número real cualquiera, entonces la secuencia {can}{can} converge a c.A,c.A, las secuencias {an±bn}{an±bn} convergen a A±B,A±B, la secuencia {an.bn}{an.bn} converge a A.B,A.B, y la secuencia {an/bn}{an/bn} converge a A/B,A/B, siempre que B0.B0.
  • Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas.
  • Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas.
  • La secuencia geométrica {rn}{rn} converge si y solo si |r|<1|r|<1 o r=1.r=1.

5.2 Serie infinita

  • Dada la serie infinita
    n=1an=a1+a2 +a3+n=1an=a1+a2 +a3+

    y la correspondiente secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} donde
    Sk=n=1kan=a1+a2 +a3++ak,Sk=n=1kan=a1+a2 +a3++ak,

    la serie converge si y solo si la secuencia {Sk}{Sk} converge.
  • La serie geométrica n=1arn1n=1arn1 converge si |r|<1|r|<1 y diverge si |r|1.|r|1. Para |r|<1,|r|<1,
    n=1arn1=a1r.n=1arn1=a1r.
  • La serie armónica
    n=11n=1+12 +13+n=11n=1+12 +13+

    diverge.
  • Una serie de la forma n=1[bnbn+1]=[b1b2 ]+[b2 b3]+[b3b4]++[bnbn+1]+n=1[bnbn+1]=[b1b2 ]+[b2 b3]+[b3b4]++[bnbn+1]+
    es una serie telescópica. La k−ésimok−ésimo suma parcial de esta serie está dada por Sk=b1bk+1.Sk=b1bk+1. La serie convergerá si y solo si límkbk+1límkbk+1 existe. En ese caso,
    n=1[bnbn+1]=b1límk(bk+1).n=1[bnbn+1]=b1límk(bk+1).

5.3 Las pruebas de divergencia e integral

  • Si límnan0,límnan0, entonces la serie n=1ann=1an diverge.
  • Si límnan=0,límnan=0, la serie n=1ann=1an puede converger o divergir.
  • Si n=1ann=1an es una serie con términos positivos anan y ff es una función continua y decreciente tal que f(n)=anf(n)=an para todos los enteros positivos n,n, entonces
    n=1any1f(x)dxn=1any1f(x)dx

    ambas convergen o ambas divergen. Además, si n=1ann=1an converge, entonces la enésimoenésimo aproximación de la suma parcial SNSN es precisa a un error RNRN donde N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.
  • La serie p n=11/npn=11/np converge si p>1p>1 y diverge si p1.p1.

5.4 Pruebas de comparación

  • Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
  • Al utilizar las pruebas de comparación, una serie n=1ann=1an se compara a menudo con una serie geométrica o p.

5.5 Series alternadas

  • Para una serie alternada n=1(–1)n+1bn,n=1(–1)n+1bn, si bk+1bkbk+1bk para todo kk y bk0bk0 a medida que k,k, la serie alternada converge.
  • Si n=1|an|n=1|an| converge, entonces n=1ann=1an converge.

5.6 Criterios del cociente y la raíz

  • Para el criterio del cociente, consideramos
    ρ=límn|an+1an|.ρ=límn|an+1an|.

    Si ρ<1,ρ<1, la serie n=1ann=1an converge absolutamente. Si los valores de ρ>1,ρ>1, la serie diverge. Si los valores de ρ=1,ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales.
  • Para el criterio de la raíz, consideramos
    ρ=límn|an|n.ρ=límn|an|n.

    Si ρ<1,ρ<1, la serie n=1ann=1an converge absolutamente. Si los valores de ρ>1,ρ>1, la serie diverge. Si los valores de ρ=1,ρ=1, la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias.
  • Para una serie que es similar a una serie geométrica o una serie p,serie p, considere una de las pruebas de comparación.
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