Conceptos clave
5.1 Secuencias
- Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita utilizamos las propiedades de los límites de las funciones.
- Si y son secuencias convergentes que convergen a y respectivamente, y es un número real cualquiera, entonces la secuencia converge a las secuencias convergen a la secuencia converge a y la secuencia converge a siempre que
- Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas.
- Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas.
- La secuencia geométrica converge si y solo si o
5.2 Serie infinita
- Dada la serie infinita
y la correspondiente secuencia de sumas parciales donde
la serie converge si y solo si la secuencia converge. - La serie geométrica converge si y diverge si Para
- La serie armónica
diverge. - Una serie de la forma
es una serie telescópica. La suma parcial de esta serie está dada por La serie convergerá si y solo si existe. En ese caso,
5.3 Las pruebas de divergencia e integral
- Si entonces la serie diverge.
- Si la serie puede converger o divergir.
- Si es una serie con términos positivos y es una función continua y decreciente tal que para todos los enteros positivos entonces
ambas convergen o ambas divergen. Además, si converge, entonces la aproximación de la suma parcial es precisa a un error donde - La serie p converge si y diverge si
5.4 Pruebas de comparación
- Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
- Al utilizar las pruebas de comparación, una serie se compara a menudo con una serie geométrica o p.
5.5 Series alternadas
- Para una serie alternada si para todo y a medida que la serie alternada converge.
- Si converge, entonces converge.
5.6 Criterios del cociente y la raíz
- Para el criterio del cociente, consideramos
Si la serie converge absolutamente. Si los valores de la serie diverge. Si los valores de la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales. - Para el criterio de la raíz, consideramos
Si la serie converge absolutamente. Si los valores de la serie diverge. Si los valores de la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias. - Para una serie que es similar a una serie geométrica o una considere una de las pruebas de comparación.