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Cálculo volumen 2

5.3 Las pruebas de divergencia e integral

Cálculo volumen 25.3 Las pruebas de divergencia e integral

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.3.1 Utilizar la prueba de divergencia para determinar si una serie converge o diverge.
  • 5.3.2 Utilizar la prueba de la integral para determinar la convergencia de una serie.
  • 5.3.3 Estimar el valor de una serie encontrando los límites de su término restante.

En el apartado anterior, determinamos la convergencia o divergencia de varias series calculando explícitamente el límite de la secuencia de sumas parciales {Sk}.{Sk}. En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Por suerte, existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia de muchos tipos de series. En esta sección, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de divergencia y la prueba de la integral. En el resto de este capítulo examinaremos otras pruebas y luego resumiremos cómo y cuándo utilizarlas.

Prueba de divergencia

Para que una serie n=1ann=1an converja, la ené−ésimoené−ésimo término anan debe satisfacer an0an0 a medida que n.n.

Por lo tanto, a partir de las propiedades del límite algebraico de las secuencias,

límkak=límk(SkSk1)=límkSklímkSk1=SS=0.límkak=límk(SkSk1)=límkSklímkSk1=SS=0.

Por lo tanto, si n=1ann=1an converge, el ené−ésimoené−ésimo término an0an0 a medida que n.n. Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente afirmación:

Sian0a medida quen,n=1andiverge.Sian0a medida quen,n=1andiverge.
(5.8)

Esta prueba se conoce como prueba de divergencia porque proporciona una forma de demostrar que una serie diverge.

Teorema 5.8

Prueba de divergencia

Si límnan=c0límnan=c0 o límnanlímnan no existe, entonces la serie n=1ann=1an diverge.

Es importante señalar que la inversa de este teorema no es cierta. Es decir, si límnan=0,límnan=0, no podemos hacer ninguna conclusión sobre la convergencia de n=1an.n=1an. Por ejemplo, límn(1/n)=0,límn(1/n)=0, pero la serie armónica n=11/nn=11/n diverge. En esta sección y en las restantes de este capítulo, mostramos muchos más ejemplos de este tipo de series. En consecuencia, aunque podemos utilizar la prueba de divergencia para demostrar que una serie diverge, no podemos utilizarla para demostrar que una serie converge. En concreto, si an0,an0, la prueba de divergencia no es concluyente.

Ejemplo 5.13

Utilización de la prueba de divergencia

Para cada una de las siguientes series, aplique la prueba de divergencia. Si la prueba de divergencia demuestra que la serie es divergente, indíquelo. En caso contrario, indique que la prueba de divergencia no es concluyente.

  1. n=1n3n1n=1n3n1
  2. n=11n3n=11n3
  3. n=1e1/n2 n=1e1/n2

Punto de control 5.12

¿Qué nos dice la prueba de divergencia sobre la serie n=1cos(1/n2 )?n=1cos(1/n2 )?

Prueba de la integral

En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge observando la secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} y demostrando que S2 k>1+k/2 S2 k>1+k/2 para todos los enteros positivos k.k. En esta sección utilizamos una técnica diferente para demostrar la divergencia de la serie armónica. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral, compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante señalar que esta prueba solo puede aplicarse cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos.

Para ilustrar cómo funciona la prueba de la integral, utilice la serie armónica como ejemplo. En la Figura 5.12, representamos la serie armónica dibujando una secuencia de rectángulos con áreas 1,1/2 ,1/3,1/4,…1,1/2 ,1/3,1/4,… junto con la función f(x)=1/x.f(x)=1/x. En el gráfico vemos que

n=1k1n=1+12 +13++1k>1k+11xdx.n=1k1n=1+12 +13++1k>1k+11xdx.

Por lo tanto, para cada k,k, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk satisface

Sk=n=1k1n>1k+11xdx=lnx|1k+1=ln(k+1)ln(1)=ln(k+1).Sk=n=1k1n>1k+11xdx=lnx|1k+1=ln(k+1)ln(1)=ln(k+1).

Dado que límkln(k+1)=,límkln(k+1)=, vemos que la secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} no está delimitada. Por lo tanto, {Sk}{Sk} diverge y, en consecuencia, la serie n=11nn=11n también diverge.

Este es un gráfico en el cuadrante 1 de una curva cóncava decreciente hacia arriba que se acerca al eje x - f(x) = 1/x. Se dibujan cinco rectángulos de base 1 en el intervalo [1, 6]. La altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo de la base del rectángulo. Las áreas para cada una están marcadas: 1, 1/2, 1/3, 1/4 y 1/5.
Figura 5.12 La suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área entre la curva f ( x ) = 1 / x f ( x ) = 1 / x y el eje x x para x 1 . x 1 . Como el área delimitada por la curva es infinita (calculada por una integral impropia), la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita.

Ahora consideremos la serie n=11/n2 .n=11/n2 . Mostramos cómo se puede utilizar una integral para demostrar que esta serie converge. En la Figura 5.13, dibujamos una secuencia de rectángulos con áreas 1,1/2 2 ,1/32 ,…1,1/2 2 ,1/32 ,… junto con la función f(x)=1/x2 .f(x)=1/x2 . En el gráfico vemos que

n=1k1n2 =1+12 2 +132 ++1k2 <1+1k1x2 dx.n=1k1n2 =1+12 2 +132 ++1k2 <1+1k1x2 dx.

Por lo tanto, para cada k,k, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk satisface

Sk=n=1k1n2 <1+1k1x2 dx=11x|1k=11k+1=2 1k<2 .Sk=n=1k1n2 <1+1k1x2 dx=11x|1k=11k+1=2 1k<2 .

Concluimos que la secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} está delimitada. También vemos que {Sk}{Sk} es una secuencia creciente:

Sk=Sk1+1k2 parak2 .Sk=Sk1+1k2 parak2 .

Dado que {Sk}{Sk} es creciente y está delimitada, por el teorema de convergencia monótona, converge. Por lo tanto, la serie n=11/n2 n=11/n2 converge.

Este es un gráfico en el cuadrante 1 de la curva cóncava decreciente hacia arriba f(x) = 1/(x^2), que se acerca al eje x. Los rectángulos de base 1 se dibujan en el intervalo [0, 5]. La altura de cada rectángulo viene determinada por el valor de la función en el extremo derecho de su base. Las áreas de cada uno están marcadas: 1, 1/(2^2), 1/(3^2), 1/(4^2) y 1/(5^2).
Figura 5.13 La suma de las áreas de los rectángulos es menor que la suma del área del primer rectángulo y el área entre la curva f ( x ) = 1 / x 2 f ( x ) = 1 / x 2 y el eje x x para x 1 . x 1 . Como el área delimitada por la curva es finita, la suma de las áreas de los rectángulos también lo es.

Podemos extender esta idea para demostrar la convergencia o divergencia de muchas series diferentes. Supongamos que n=1ann=1an es una serie con términos positivos anan tal que existe una función continua, positiva y decreciente ff donde f(n)=anf(n)=an para todos los enteros positivos. Entonces, como en la Figura 5.14(a), para cualquier número entero k,k, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk satisface

Sk=a1+a2 +a3++ak<a1+1kf(x)dx<a1+1f(x)dx.Sk=a1+a2 +a3++ak<a1+1kf(x)dx<a1+1f(x)dx.

Por lo tanto, si 1f(x)dx1f(x)dx converge, entonces la secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} está delimitada. Dado que {Sk}{Sk} es una secuencia creciente, si además es una secuencia delimitada, entonces por el teorema de convergencia monótona, converge. Concluimos que si 1f(x)dx1f(x)dx converge, entonces la serie n=1ann=1an también converge. Por otra parte, a partir de la Figura 5.14(b), para cualquier número entero k,k, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk satisface

Sk=a1+a2 +a3++ak>1k+1f(x)dx.Sk=a1+a2 +a3++ak>1k+1f(x)dx.

Si límk1k+1f(x)dx=,límk1k+1f(x)dx=, entonces {Sk}{Sk} es una secuencia no delimitada y por lo tanto diverge. Como resultado, la serie n=1ann=1an también diverge. Concluimos que si 1f(x)dx1f(x)dx diverge, entonces n=1ann=1an diverge.

Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro de la misma función y = f(x), una curva cóncava decreciente hacia arriba que se acerca al eje x. Los rectángulos se dibujan con base 1 en los intervalos [0, 6] y [1, 6]. En el gráfico de la izquierda, la altura de cada rectángulo viene determinada por el valor de la función en el extremo derecho de su base. En el gráfico de la derecha, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo de su base. Las áreas a_1 a a_6 están marcadas en el gráfico de la izquierda, y lo mismo para a_1 a a_5 en la derecha.
Figura 5.14 (a) Si podemos inscribir rectángulos dentro de una región delimitada por una curva y = f ( x ) y = f ( x ) y la intersección en eje x x , y el área delimitada por esas curvas para x 1 x 1 es finita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es finita. (b) Si un conjunto de rectángulos circunscribe la región delimitada por y = f ( x ) y = f ( x ) y la intersección en eje x x para x 1 x 1 y la región tiene un área infinita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita.

Teorema 5.9

Prueba de la integral

Supongamos que n=1ann=1an es una serie con términos positivos an.an. Supongamos que existe una función ff y un número entero positivo NN de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:

  1. ff es continua,
  2. ff es decreciente y
  3. f(n)=anf(n)=an para todos los enteros nN.nN.
    Entonces
    n=1anyNf(x)dxn=1anyNf(x)dx

    ambas convergen o ambas divergen (vea la Figura 5.14).

Si bien la convergencia de Nf(x)dxNf(x)dx implica la convergencia de las series relacionadas n=1an,n=1an, no implica que el valor de la integral y de la serie sea el mismo. Pueden ser diferentes, y a menudo lo son. Por ejemplo,

n=1(1e)n=1e+(1e)2 +(1e)3+n=1(1e)n=1e+(1e)2 +(1e)3+

es una serie geométrica con término inicial a=1/ea=1/e y cociente r=1/e,r=1/e, que converge a

1/e1(1/e)=1/e(e1)/e=1e1.1/e1(1/e)=1/e(e1)/e=1e1.

Sin embargo, la integral relacionada 1(1/e)xdx1(1/e)xdx satisface

1(1e)xdx=1exdx=límb1bexdx=límbex|1b=límb[eb+e−1]=1e.1(1e)xdx=1exdx=límb1bexdx=límbex|1b=límb[eb+e−1]=1e.

Ejemplo 5.14

Uso de la prueba de la integral

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba integral para determinar si la serie converge o diverge. Supongamos que se cumplen todas las condiciones de la prueba de la integral.

  1. n=11/n3n=11/n3
  2. n=11/2 n1n=11/2 n1

Punto de control 5.13

Utilice la prueba integral para determinar si la serie n=1n3n2 +1n=1n3n2 +1 converge o diverge.

La serie p

La serie armónica n=11/nn=11/n y la serie n=11/n2 n=11/n2 son ambos ejemplos de un tipo de serie llamada serie p.

Definición

Para cualquier número real p,p, la serie

n=11npn=11np

se llama serie p.

Sabemos que la serie p converge si p=2 p=2 y diverge si p=1.p=1. ¿Qué pasa con otros valores de p?p? En general, es difícil, si no imposible, calcular el valor exacto de la mayoría de las series pp. Sin embargo, podemos utilizar las pruebas presentadas hasta ahora para demostrar si una serie pp converge o diverge.

Si p<0,p<0, entonces 1/np,1/np, y si p=0,p=0, entonces 1/np1.1/np1. Por lo tanto, por la prueba de divergencia,

n=11/npdiverge sip0.n=11/npdiverge sip0.

Si p>0,p>0, entonces f(x)=1/xpf(x)=1/xp es una función positiva, continua y decreciente. Por lo tanto, para p>0,p>0, utilizamos la prueba integral, comparando

n=11npy11xpdx.n=11npy11xpdx.

Ya hemos considerado el caso cuando p=1.p=1. Aquí consideramos el caso cuando p>0,p1.p>0,p1. Para este caso,

11xpdx=límb1b1xpdx=límb11px1p|1b=límb11p[b1p1].11xpdx=límb1b1xpdx=límb11px1p|1b=límb11p[b1p1].

Dado que

b1p0sip>1yb1psip<1,b1p0sip>1yb1psip<1,

concluimos que

11xpdx={1p1sip>1sip1.11xpdx={1p1sip>1sip1.

Por lo tanto, n=11/npn=11/np converge si p>1p>1 y diverge si 0<p<1.0<p<1.

En resumen,

n=11np{converge sip>1diverge sip1.n=11np{converge sip>1diverge sip1.
(5.9)

Ejemplo 5.15

Pruebas de convergencia de las series p

Para cada una de las siguientes series, determine si converge o diverge.

  1. n=11n4n=11n4
  2. n=11n2 /3n=11n2 /3

Punto de control 5.14

¿La serie n=11n5/4n=11n5/4 converge o diverge?

Estimar el valor de una serie

Supongamos que sabemos que una serie n=1ann=1an converge y queremos estimar la suma de esa serie. Ciertamente podemos aproximar esa suma utilizando cualquier suma finita n=1Nann=1Nan donde NN es cualquier número entero positivo. La cuestión que abordamos aquí es, para una serie convergente n=1an,n=1an, ¿qué tan buena es la aproximación n=1Nan?n=1Nan? Más concretamente, si suponemos que

RN=n=1ann=1NanRN=n=1ann=1Nan

es el resto cuando la suma de una serie infinita se aproxima por la NsimoNsimo suma parcial, ¿qué tan grande es RN?RN? Para algunos tipos de series, podemos utilizar las ideas de la prueba de la integral para estimar RN.RN.

Teorema 5.10

Estimación del resto de la prueba de la integral

Supongamos que n=1ann=1an es una serie convergente con términos positivos. Supongamos que existe una función ff que satisface las tres condiciones siguientes:

  1. ff es continua,
  2. ff es decreciente y
  3. f(n)=anf(n)=an para todos los enteros n1.n1.

Supongamos que SNSN es la enésima suma parcial de n=1an.n=1an. Para todos los enteros positivos N,N,

SN+N+1f(x)dx<n=1an<SN+Nf(x)dx.SN+N+1f(x)dx<n=1an<SN+Nf(x)dx.

En otras palabras, el resto RN=n=1anSN=n=N+1anRN=n=1anSN=n=N+1an satisface la siguiente estimación:

N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.
(5.10)

Es lo que se conoce como estimación del resto.

Ilustramos la Estimación del resto de la prueba de la integral en la Figura 5.15. En particular, al representar el resto RN=aN+1+aN+2 +aN+3+RN=aN+1+aN+2 +aN+3+ como la suma de las áreas de los rectángulos, vemos que el área de esos rectángulos está delimitada por encima por Nf(x)dxNf(x)dx y delimitada por debajo por N+1f(x)dx.N+1f(x)dx. En otras palabras,

RN=aN+1+aN+2 +aN+3+>N+1f(x)dxRN=aN+1+aN+2 +aN+3+>N+1f(x)dx

y

RN=aN+1+aN+2 +aN+3+<Nf(x)dx.RN=aN+1+aN+2 +aN+3+<Nf(x)dx.

Concluimos que

N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx.

Dado que

n=1an=SN+RN,n=1an=SN+RN,

donde SNSN es la enésimoenésimo suma parcial, concluimos que

SN+N+1f(x)dx<n=1an<SN+Nf(x)dx.SN+N+1f(x)dx<n=1an<SN+Nf(x)dx.
Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro de la misma función cóncava ascendente decreciente y = f(x) que se acerca al eje x en el cuadrante 1. Los rectángulos se dibujan con base 1 en los intervalos N a N + 4. Las alturas de los rectángulos en el primer gráfico están determinadas por el valor de la función en los puntos extremos de la derecha de las bases, y las del segundo gráfico están determinadas por el valor en los puntos extremos de la izquierda de las bases. Las áreas de los rectángulos están marcadas: a_(N + 1), a_(N + 2), hasta a_(N + 4).
Figura 5.15 Dada una función continua, positiva y decreciente f f y una secuencia de términos positivos a n a n tal que a n = f ( n ) a n = f ( n ) para todos los enteros positivos n , n , (a) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + < N f ( x ) d x , a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + < N f ( x ) d x , o (b) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + > N + 1 f ( x ) d x . a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + > N + 1 f ( x ) d x . Por lo tanto, la integral es una sobreestimación o una subestimación del error.

Ejemplo 5.16

Estimar el valor de una serie

Considere la serie n=11/n3.n=11/n3.

  1. Calcule S10=n=1101/n3S10=n=1101/n3 y estime el error.
  2. Determine el menor valor de NN necesario para que SNSN estime n=11/n3n=11/n3 con una precisión de 0,001.0,001.

Punto de control 5.15

Para n=11n4,n=11n4, calcule S5S5 y estime el error R5.R5.

Sección 5.3 ejercicios

Para cada una de las siguientes series, si se aplica la prueba de divergencia, indique que límnanlímnan no existe o halle límnan.límnan. Si la prueba de divergencia no aplica, explique por qué.

138.

a n = n n + 2 a n = n n + 2

139.

a n = n 5 n 2 3 a n = n 5 n 2 3

140.

a n = n 3 n 2 + 2 n + 1 a n = n 3 n 2 + 2 n + 1

141.

a n = ( 2 n + 1 ) ( n 1 ) ( n + 1 ) 2 a n = ( 2 n + 1 ) ( n 1 ) ( n + 1 ) 2

142.

a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n

143.

a n = 2 n 3 n / 2 a n = 2 n 3 n / 2

144.

a n = 2 n + 3 n 10 n / 2 a n = 2 n + 3 n 10 n / 2

145.

a n = e −2 / n a n = e −2 / n

146.

a n = cos n a n = cos n

147.

a n = tan n a n = tan n

148.

an=1cos2 (1/n)sen2 (2 /n)an=1cos2 (1/n)sen2 (2 /n) grandes.

149.

a n = ( 1 1 n ) 2 n a n = ( 1 1 n ) 2 n

150.

a n = ln n n a n = ln n n

151.

a n = ( ln n ) 2 n a n = ( ln n ) 2 n

Indique si la serie pp converge.

152.

n = 1 1 n n = 1 1 n

153.

n = 1 1 n n n = 1 1 n n

154.

n = 1 1 n 2 3 n = 1 1 n 2 3

155.

n = 1 1 n 4 3 n = 1 1 n 4 3

156.

n = 1 n e n π n = 1 n e n π

157.

n = 1 n π n 2 e n = 1 n π n 2 e

Utilice la prueba de la integral para determinar si las siguientes sumas convergen.

158.

n = 1 1 n + 5 n = 1 1 n + 5

159.

n = 1 1 n + 5 3 n = 1 1 n + 5 3

160.

n = 2 1 n ln n n = 2 1 n ln n

161.

n = 1 n 1 + n 2 n = 1 n 1 + n 2

162.

n = 1 e n 1 + e 2 n n = 1 e n 1 + e 2 n

163.

n = 1 2 n 1 + n 4 n = 1 2 n 1 + n 4

164.

n = 2 1 n ln 2 n n = 2 1 n ln 2 n

Exprese las siguientes sumas como series pp y determine si cada una converge.

165.

n=12 lnnn=12 lnn (Pista: 2 lnn=1/nln2 2 lnn=1/nln2 ).

166.

n=13lnnn=13lnn (Pista: 3lnn=1/nln33lnn=1/nln3).

167.

n = 1 n 2 −2 ln n n = 1 n 2 −2 ln n

168.

n = 1 n 3 −2 ln n n = 1 n 3 −2 ln n

Utilice la estimación RNNf(t)dtRNNf(t)dt para calcular un límite para el resto RN=n=1ann=1NanRN=n=1ann=1Nan donde an=f(n).an=f(n).

169.

n = 1 1.000 1 n 2 n = 1 1.000 1 n 2

170.

n = 1 1.000 1 n 3 n = 1 1.000 1 n 3

171.

n = 1 1.000 1 1 + n 2 n = 1 1.000 1 1 + n 2

172.

n = 1 100 n / 2 n n = 1 100 n / 2 n

[T] Halle el valor mínimo de NN tal que la estimación del resto N+1f<RN<NfN+1f<RN<Nf garantice que n=1Nann=1Nan estima n=1an,n=1an, con una precisión dentro del error dado.

173.

an=1n2 ,an=1n2 , error <10−4<10−4

174.

an=1n1,1,an=1n1,1, error <10−4<10−4

175.

an=1n1,01,an=1n1,01, error <10−4<10−4

176.

an=1nln2 n,an=1nln2 n, error <10−3<10−3

177.

an=11+n2 ,an=11+n2 , error <10−3<10−3

En los siguientes ejercicios, halle un valor de NN tal que RNRN sea menor que el error deseado. Calcule la suma correspondiente n=1Nann=1Nan y compárela con la estimación dada de la serie infinita.

178.

an=1n11,an=1n11, error <10−4,<10−4, n=11n11=1,000494n=11n11=1,000494

179.

an=1en,an=1en, error <10−5,<10−5, n=11en=1e1=0,581976n=11en=1e1=0,581976

180.

an=1en2 ,an=1en2 , error <10−5,<10−5, n=1n/en2 =0,40488139857n=1n/en2 =0,40488139857

181.

an=1/n4,an=1/n4, error <10−4,<10−4, n=11/n4=π4/90=1,08232...n=11/n4=π4/90=1,08232...

182.

an=1/n6,an=1/n6, error <10−6,<10−6, n=11/n4=π6/945=1,01734306...,n=11/n4=π6/945=1,01734306...,

183.

Calcule el límite a medida que nn de 1n+1n+1++12 n.1n+1n+1++12 n. (Pista: Compare con n2 n1tdt.).n2 n1tdt.). grandes.

184.

Calcule el límite a medida que nn de 1n+1n+1++13n1n+1n+1++13n

Los siguientes ejercicios pretenden dar una idea de las aplicaciones en las que surgen las sumas parciales de las series armónicas.

185.

En ciertas aplicaciones de la probabilidad, como el llamado estimador de Watterson para predecir las tasas de mutación en genética de poblaciones, es importante tener una estimación precisa del número Hk=(1+12 +13++1k).Hk=(1+12 +13++1k). Recordemos que Tk=HklnkTk=Hklnk es decreciente. Calcule T=límkTkT=límkTk con cuatro decimales. (Pista: 1k+1<kk+11xdx1k+1<kk+11xdx).

186.

[T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado problema del recolector de cupones se plantea de la siguiente manera: Suponga que tiene NN artículos únicos en una papelera. En cada paso, se elige un artículo al azar, se identifica y se devuelve a la papelera. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos E(N)E(N) que se necesita para sacar cada artículo único al menos una vez. Resulta que E(N)=NE(N)=N. HN=N(1+12 +13++1N)HN=N(1+12 +13++1N). Calcule E(N)E(N) para N=10,20,y50N=10,20,y50.

187.

[T] La forma más sencilla de barajar las cartas es tomar la carta superior e insertarla en un lugar aleatorio del mazo, lo que se llama inserción aleatoria superior, y luego repetir. Consideraremos que un mazo se baraja aleatoriamente una vez que se han realizado suficientes inserciones aleatorias en la parte superior como para que la carta que estaba originalmente en la parte inferior haya llegado a la parte superior y haya sido insertada aleatoriamente. Si el mazo tiene nn cartas, entonces la probabilidad de que la inserción esté por debajo de la carta inicialmente en la parte inferior (llamémosla carta B)B) es 1/n.1/n. Así, el número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que BB ya no esté en el fondo es n. Una vez que una carta esté por debajo de B,B, hay dos lugares debajo de BB y la probabilidad de que una carta insertada al azar quede por debajo de BB es 2 /n.2 /n. El número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que esto ocurra es n/2 .n/2 . Las dos cartas debajo de BB están ahora en orden aleatorio. Siguiendo así, halle una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias superiores necesarias para considerar que el mazo se barajea al azar.

188.

Supongamos que un scooter puede viajar 100100 km con el depósito lleno. Suponiendo que el combustible se puede transferir de un scooter a otro, pero solo se puede llevar en el depósito, presente un procedimiento que permita a uno de los scooters viajar 100HN100HN km, donde HN=1+1/2 ++1/N.HN=1+1/2 ++1/N.

189.

Demuestre que para que la estimación del resto se aplique en [N,)[N,) es suficiente que f(x)f(x) sea decreciente en [N,),[N,), pero ff no tiene por qué ser decreciente en [1,).[1,).

190.

[T] Utilice la estimación del resto y la integración por partes para aproximar n=1n/enn=1n/en con un error menor que 0,0001.0,0001.

191.

¿ n=2 1n(lnn)pn=2 1n(lnn)p converge si pp es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p?p?

192.

[T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente n=1N1n.n=1N1n. Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100.100.

193.

[T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente n=2 N1nlnn.n=2 N1nlnn. Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100.100.

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