Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.3.1 Utilizar la prueba de divergencia para determinar si una serie converge o diverge.
5.3.2 Utilizar la prueba de la integral para determinar la convergencia de una serie.
5.3.3 Estimar el valor de una serie encontrando los límites de su término restante.

En el apartado anterior, determinamos la convergencia o divergencia de varias series calculando explícitamente el límite de la secuencia de sumas parciales ${S_{k}} .$ En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Por suerte, existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia de muchos tipos de series. En esta sección, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de divergencia y la prueba de la integral. En el resto de este capítulo examinaremos otras pruebas y luego resumiremos cómo y cuándo utilizarlas.

Prueba de divergencia

Para que una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converja, la $ené −ésimo$ término $a_{n}$ debe satisfacer $a_{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

Por lo tanto, a partir de las propiedades del límite algebraico de las secuencias,

\underset{k \to \infty}{lím} a_{k} = \underset{k \to \infty}{lím} (S_{k} - S_{k - 1}) = \underset{k \to \infty}{lím} S_{k} - \underset{k \to \infty}{lím} S_{k - 1} = S - S = 0 .

Por lo tanto, si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, el $ené −ésimo$ término $a_{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$ Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente afirmación:

Si a_{n} ↛ 0 a medida que n \to \infty, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} diverge .

(5.8)

Esta prueba se conoce como prueba de divergencia porque proporciona una forma de demostrar que una serie diverge.

Teorema 5.8

Prueba de divergencia

Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = c \neq 0$ o $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n}$ no existe, entonces la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

Es importante señalar que la inversa de este teorema no es cierta. Es decir, si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0,$ no podemos hacer ninguna conclusión sobre la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Por ejemplo, $\underset{n \to \infty}{lím} (1 / n) = 0,$ pero la serie armónica $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ diverge. En esta sección y en las restantes de este capítulo, mostramos muchos más ejemplos de este tipo de series. En consecuencia, aunque podemos utilizar la prueba de divergencia para demostrar que una serie diverge, no podemos utilizarla para demostrar que una serie converge. En concreto, si $a_{n} \to 0,$ la prueba de divergencia no es concluyente.

Ejemplo 5.13

Utilización de la prueba de divergencia

Para cada una de las siguientes series, aplique la prueba de divergencia. Si la prueba de divergencia demuestra que la serie es divergente, indíquelo. En caso contrario, indique que la prueba de divergencia no es concluyente.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3 n - 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} e^{1 / n^{2}}$

Solución

Dado que $n / (3 n - 1) \to 1 / 3 \neq 0,$ por la prueba de divergencia, podemos concluir que

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3 n - 1}$

diverge.
Dado que $1 / n^{3} \to 0,$ la prueba de divergencia no es concluyente.
Dado que $e^{1 / n^{2}} \to 1 \neq 0,$ por la prueba de divergencia, la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} e^{1 / n^{2}}$

diverge.

Punto de control 5.12

¿Qué nos dice la prueba de divergencia sobre la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} cos (1 / n^{2}) ?$

Prueba de la integral

En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge observando la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ y demostrando que $S_{2^{k}} > 1 + k / 2$ para todos los enteros positivos $k .$ En esta sección utilizamos una técnica diferente para demostrar la divergencia de la serie armónica. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral, compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante señalar que esta prueba solo puede aplicarse cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos.

Para ilustrar cómo funciona la prueba de la integral, utilice la serie armónica como ejemplo. En la Figura 5.12, representamos la serie armónica dibujando una secuencia de rectángulos con áreas $1, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4,…$ junto con la función $f (x) = 1 / x .$ En el gráfico vemos que

\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{k} > \int_{1}^{k + 1} \frac{1}{x} d x .

Por lo tanto, para cada $k,$ la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ satisface

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} > \int_{1}^{k + 1} \frac{1}{x} d x = ln x |_{1}^{k + 1} = ln (k + 1) - ln (1) = ln (k + 1) .

Dado que $\underset{k \to \infty}{lím} ln (k + 1) = \infty,$ vemos que la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ no está delimitada. Por lo tanto, ${S_{k}}$ diverge y, en consecuencia, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ también diverge.

Este es un gráfico en el cuadrante 1 de una curva cóncava decreciente hacia arriba que se acerca al eje x - f(x) = 1/x. Se dibujan cinco rectángulos de base 1 en el intervalo [1, 6]. La altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo de la base del rectángulo. Las áreas para cada una están marcadas: 1, 1/2, 1/3, 1/4 y 1/5.

Figura 5.12 La suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área entre la curva

f (x) = 1 / x

y el eje

x

para

x \geq 1 .

Como el área delimitada por la curva es infinita (calculada por una integral impropia), la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita.

Ahora consideremos la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Mostramos cómo se puede utilizar una integral para demostrar que esta serie converge. En la Figura 5.13, dibujamos una secuencia de rectángulos con áreas $1, 1 / 2^{2}, 1 / 3^{2},…$ junto con la función $f (x) = 1 / x^{2} .$ En el gráfico vemos que

\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ⋯ + \frac{1}{k^{2}} < 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x .

Por lo tanto, para cada $k,$ la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ satisface

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} < 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x = 1 - {\frac{1}{x} |}_{1}^{k} = 1 - \frac{1}{k} + 1 = 2 - \frac{1}{k} < 2 .

Concluimos que la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ está delimitada. También vemos que ${S_{k}}$ es una secuencia creciente:

S_{k} = S_{k - 1} + \frac{1}{k^{2}} para k \geq 2 .

Dado que ${S_{k}}$ es creciente y está delimitada, por el teorema de convergencia monótona, converge. Por lo tanto, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ converge.

Este es un gráfico en el cuadrante 1 de la curva cóncava decreciente hacia arriba f(x) = 1/(x^2), que se acerca al eje x. Los rectángulos de base 1 se dibujan en el intervalo [0, 5]. La altura de cada rectángulo viene determinada por el valor de la función en el extremo derecho de su base. Las áreas de cada uno están marcadas: 1, 1/(2^2), 1/(3^2), 1/(4^2) y 1/(5^2).

Figura 5.13 La suma de las áreas de los rectángulos es menor que la suma del área del primer rectángulo y el área entre la curva

f (x) = 1 / x^{2}

y el eje

x

para

x \geq 1 .

Como el área delimitada por la curva es finita, la suma de las áreas de los rectángulos también lo es.

Podemos extender esta idea para demostrar la convergencia o divergencia de muchas series diferentes. Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie con términos positivos $a_{n}$ tal que existe una función continua, positiva y decreciente $f$ donde $f (n) = a_{n}$ para todos los enteros positivos. Entonces, como en la Figura 5.14(a), para cualquier número entero $k,$ la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ satisface

S_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k} < a_{1} + \int_{1}^{k} f (x) d x < a_{1} + \int_{1}^{\infty} f (x) d x .

Por lo tanto, si $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ converge, entonces la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ está delimitada. Dado que ${S_{k}}$ es una secuencia creciente, si además es una secuencia delimitada, entonces por el teorema de convergencia monótona, converge. Concluimos que si $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ converge, entonces la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ también converge. Por otra parte, a partir de la Figura 5.14(b), para cualquier número entero $k,$ la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ satisface

S_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k} > \int_{1}^{k + 1} f (x) d x .

Si $\underset{k \to \infty}{lím} \int_{1}^{k + 1} f (x) d x = \infty,$ entonces ${S_{k}}$ es una secuencia no delimitada y por lo tanto diverge. Como resultado, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ también diverge. Concluimos que si $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro de la misma función y = f(x), una curva cóncava decreciente hacia arriba que se acerca al eje x. Los rectángulos se dibujan con base 1 en los intervalos [0, 6] y [1, 6]. En el gráfico de la izquierda, la altura de cada rectángulo viene determinada por el valor de la función en el extremo derecho de su base. En el gráfico de la derecha, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo de su base. Las áreas a_1 a a_6 están marcadas en el gráfico de la izquierda, y lo mismo para a_1 a a_5 en la derecha.

Figura 5.14 (a) Si podemos inscribir rectángulos dentro de una región delimitada por una curva

y = f (x)

y la intersección en eje

x

, y el área delimitada por esas curvas para

x \geq 1

es finita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es finita. (b) Si un conjunto de rectángulos circunscribe la región delimitada por

y = f (x)

y la intersección en eje

x

para

x \geq 1

y la región tiene un área infinita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita.

Teorema 5.9

Prueba de la integral

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie con términos positivos $a_{n} .$ Supongamos que existe una función $f$ y un número entero positivo $N$ de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:

$f$ es continua,
$f$ es decreciente y
$f (n) = a_{n}$ para todos los enteros $n \geq N .$
Entonces

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} y \int_{N}^{\infty} f (x) d x$

ambas convergen o ambas divergen (vea la Figura 5.14).

Si bien la convergencia de $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ implica la convergencia de las series relacionadas $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ no implica que el valor de la integral y de la serie sea el mismo. Pueden ser diferentes, y a menudo lo son. Por ejemplo,

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{e})}^{n} = \frac{1}{e} + {(\frac{1}{e})}^{2} + {(\frac{1}{e})}^{3} + ⋯

es una serie geométrica con término inicial $a = 1 / e$ y cociente $r = 1 / e,$ que converge a

\frac{1 / e}{1 - (1 / e)} = \frac{1 / e}{(e - 1) / e} = \frac{1}{e - 1} .

Sin embargo, la integral relacionada $\int_{1}^{\infty} {(1 / e)}^{x} d x$ satisface

\int_{1}^{\infty} {(\frac{1}{e})}^{x} d x = \int_{1}^{\infty} e^{– x} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \int_{1}^{b} e^{– x} d x = \underset{b \to \infty}{lím} - e^{– x} |_{1}^{b} = \underset{b \to \infty}{lím} [− e^{− b} + e^{−1}] = \frac{1}{e} .

Ejemplo 5.14

Uso de la prueba de la integral

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba integral para determinar si la serie converge o diverge. Supongamos que se cumplen todas las condiciones de la prueba de la integral.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{2 n - 1}$

Solución

Compare

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} y \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x .$

Tenemos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{3}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} [- \frac{1}{2 x^{2}} |_{1}^{b}] = \underset{b \to \infty}{lím} [- \frac{1}{2 b^{2}} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} .$

Así, la integral $\int_{1}^{\infty} 1 / x^{3} d x$ converge, y por lo tanto también lo hace la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} .$
Compare

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n - 1}} y \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x .$

Dado que

$\begin{matrix} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x & = \underset{b \to \infty}{lím} \int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \sqrt{2 x - 1} |_{1}^{b} \\ = \underset{b \to \infty}{lím} [\sqrt{2 b - 1} - 1] = \infty, \end{matrix}$

la integral $\int_{1}^{\infty} 1 / \sqrt{2 x - 1} d x$ diverge, y por lo tanto

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n - 1}}$

diverge.

Punto de control 5.13

Utilice la prueba integral para determinar si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3 n^{2} + 1}$ converge o diverge.

La serie p

La serie armónica $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ y la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ son ambos ejemplos de un tipo de serie llamada serie p.

Definición

Para cualquier número real $p,$ la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}

se llama serie p.

Sabemos que la serie p converge si $p = 2$ y diverge si $p = 1 .$ ¿Qué pasa con otros valores de $p ?$ En general, es difícil, si no imposible, calcular el valor exacto de la mayoría de las series $p$ . Sin embargo, podemos utilizar las pruebas presentadas hasta ahora para demostrar si una serie $p$ converge o diverge.

Si $p < 0,$ entonces $1 / n^{p} \to \infty,$ y si $p = 0,$ entonces $1 / n^{p} \to 1 .$ Por lo tanto, por la prueba de divergencia,

\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p} diverge si p \leq 0 .

Si $p > 0,$ entonces $f (x) = 1 / x^{p}$ es una función positiva, continua y decreciente. Por lo tanto, para $p > 0,$ utilizamos la prueba integral, comparando

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} y \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x .

Ya hemos considerado el caso cuando $p = 1 .$ Aquí consideramos el caso cuando $p > 0, p \neq 1 .$ Para este caso,

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{p}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \frac{1}{1 - p} x^{1 - p} |_{1}^{b} = \underset{b \to \infty}{lím} \frac{1}{1 - p} [b^{1 - p} - 1] .

Dado que

b^{1 - p} \to 0 si p > 1 y b^{1 - p} \to \infty si p < 1,

concluimos que

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x = {\begin{matrix} \frac{1}{p - 1} si p > 1 \\ \infty si p \leq 1 \end{matrix} .

Por lo tanto, $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ converge si $p > 1$ y diverge si $0 < p < 1 .$

En resumen,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} converge si p > 1 \\ diverge si p \leq 1 \end{cases} .

(5.9)

Ejemplo 5.15

Pruebas de convergencia de las series p

Para cada una de las siguientes series, determine si converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 / 3}}$

Solución

Se trata de una serie p con $p = 4 > 1,$ para que la serie converja.
Dado que $p = 2 / 3 < 1,$ la serie diverge.

Punto de control 5.14

¿La serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{5 / 4}}$ converge o diverge?

Estimar el valor de una serie

Supongamos que sabemos que una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge y queremos estimar la suma de esa serie. Ciertamente podemos aproximar esa suma utilizando cualquier suma finita $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ donde $N$ es cualquier número entero positivo. La cuestión que abordamos aquí es, para una serie convergente $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ ¿qué tan buena es la aproximación $\sum_{n = 1}^{N} a_{n} ?$ Más concretamente, si suponemos que

R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

es el resto cuando la suma de una serie infinita se aproxima por la $N simo$ suma parcial, ¿qué tan grande es $R_{N} ?$ Para algunos tipos de series, podemos utilizar las ideas de la prueba de la integral para estimar $R_{N} .$

Teorema 5.10

Estimación del resto de la prueba de la integral

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie convergente con términos positivos. Supongamos que existe una función $f$ que satisface las tres condiciones siguientes:

$f$ es continua,
$f$ es decreciente y
$f (n) = a_{n}$ para todos los enteros $n \geq 1 .$

Supongamos que $S_{N}$ es la enésima suma parcial de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Para todos los enteros positivos $N,$

S_{N} + \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < S_{N} + \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

En otras palabras, el resto $R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - S_{N} = \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n}$ satisface la siguiente estimación:

\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

(5.10)

Es lo que se conoce como estimación del resto.

Ilustramos la Estimación del resto de la prueba de la integral en la Figura 5.15. En particular, al representar el resto $R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯$ como la suma de las áreas de los rectángulos, vemos que el área de esos rectángulos está delimitada por encima por $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ y delimitada por debajo por $\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x .$ En otras palabras,

R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ > \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x

y

R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Concluimos que

\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Dado que

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{N} + R_{N},

donde $S_{N}$ es la $ené simo$ suma parcial, concluimos que

S_{N} + \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < S_{N} + \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro de la misma función cóncava ascendente decreciente y = f(x) que se acerca al eje x en el cuadrante 1. Los rectángulos se dibujan con base 1 en los intervalos N a N + 4. Las alturas de los rectángulos en el primer gráfico están determinadas por el valor de la función en los puntos extremos de la derecha de las bases, y las del segundo gráfico están determinadas por el valor en los puntos extremos de la izquierda de las bases. Las áreas de los rectángulos están marcadas: a_(N + 1), a_(N + 2), hasta a_(N + 4).

Figura 5.15 Dada una función continua, positiva y decreciente

f

y una secuencia de términos positivos

a_{n}

tal que

a_{n} = f (n)

para todos los enteros positivos

n,

(a) las áreas

a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ < \int_{N}^{\infty} f (x) d x,

o (b) las áreas

a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ > \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x .

Por lo tanto, la integral es una sobreestimación o una subestimación del error.

Ejemplo 5.16

Estimar el valor de una serie

Considere la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3} .$

Calcule $S_{10} = \sum_{n = 1}^{10} 1 / n^{3}$ y estime el error.
Determine el menor valor de $N$ necesario para que $S_{N}$ estime $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$ con una precisión de $0,001 .$

Solución

Utilizando una herramienta de cálculo, tenemos

$S_{10} = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + ⋯ + \frac{1}{10^{3}} \approx 1,19753 .$

Por la estimación del resto, sabemos que

$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x .$

Tenemos

$\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} \int_{10}^{b} \frac{1}{x^{3}} d x = \underset{b \to \infty}{lím} [- \frac{1}{2 x^{2}}]_{N}^{b} = \underset{b \to \infty}{lím} [- \frac{1}{2 b^{2}} + \frac{1}{2 N^{2}}] = \frac{1}{2 N^{2}} .$

Por lo tanto, el error es $R_{10} < 1 / 2 {(10)}^{2} = 0,005 .$
Calcule $N$ tal que $R_{N} < 0,001 .$ En la parte a. demostramos que $R_{N} < 1 / 2 N^{2} .$ Por lo tanto, el resto $R_{N} < 0,001$ siempre y cuando $1 / 2 N^{2} < 0,001 .$ Es decir, necesitamos $2 N^{2} > 1.000 .$ Resolviendo esta inecuación para $N,$ vemos que necesitamos $N > 22,36 .$ Para asegurarnos de que el resto está dentro de la cantidad deseada, tenemos que redondear al entero más cercano. Por lo tanto, el valor mínimo necesario es $N = 23 .$

Punto de control 5.15

Para $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}},$ calcule $S_{5}$ y estime el error $R_{5} .$

Sección 5.3 ejercicios

Para cada una de las siguientes series, si se aplica la prueba de divergencia, indique que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n}$ no existe o halle $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} .$ Si la prueba de divergencia no aplica, explique por qué.

138.

$a_{n} = \frac{n}{n + 2}$

139.

$a_{n} = \frac{n}{5 n^{2} - 3}$

140.

$a_{n} = \frac{n}{\sqrt{3 n^{2} + 2 n + 1}}$

141.

$a_{n} = \frac{(2 n + 1) (n - 1)}{{(n + 1)}^{2}}$

142.

$a_{n} = \frac{{(2 n + 1)}^{2 n}}{{(3 n^{2} + 1)}^{n}}$

143.

$a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n / 2}}$

144.

$a_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{10^{n / 2}}$

145.

$a_{n} = e^{−2 / n}$

146.

$a_{n} = cos n$

147.

$a_{n} = tan n$

148.

$a_{n} = \frac{1 - {cos}^{2} (1 / n)}{{sen}^{2} (2 / n)}$ grandes.

149.

$a_{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{2 n}$

150.

$a_{n} = \frac{ln n}{n}$

151.

$a_{n} = \frac{{(ln n)}^{2}}{\sqrt{n}}$

Indique si la serie $p$ converge.

152.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

153.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$

154.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}$

155.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}}$

156.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{e}}{n^{π}}$

157.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{π}}{n^{2 e}}$

Utilice la prueba de la integral para determinar si las siguientes sumas convergen.

158.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 5}}$

159.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n + 5}}$

160.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n ln n}$

161.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{1 + n^{2}}$

162.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{1 + e^{2 n}}$

163.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n}{1 + n^{4}}$

164.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n {ln}^{2} n}$

Exprese las siguientes sumas como series $p$ y determine si cada una converge.

165.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{− ln n}$ (Pista: $2^{− ln n} = 1 / n^{ln 2}$ ).

166.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 3^{− ln n}$ (Pista: $3^{− ln n} = 1 / n^{ln 3}$ ).

167.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n 2^{−2 ln n}$

168.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n 3^{−2 ln n}$

Utilice la estimación $R_{N} \leq \int_{N}^{\infty} f (t) d t$ para calcular un límite para el resto $R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ donde $a_{n} = f (n) .$

169.

$\sum_{n = 1}^{1.000} \frac{1}{n^{2}}$

170.

$\sum_{n = 1}^{1.000} \frac{1}{n^{3}}$

171.

$\sum_{n = 1}^{1.000} \frac{1}{1 + n^{2}}$

172.

$\sum_{n = 1}^{100} n / 2^{n}$

[T] Halle el valor mínimo de $N$ tal que la estimación del resto $\int_{N + 1}^{\infty} f < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f$ garantice que $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ estima $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ con una precisión dentro del error dado.

173.

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}},$ error $< 10^{−4}$

174.

$a_{n} = \frac{1}{n^{1,1}},$ error $< 10^{−4}$

175.

$a_{n} = \frac{1}{n^{1,01}},$ error $< 10^{−4}$

176.

$a_{n} = \frac{1}{n {ln}^{2} n},$ error $< 10^{−3}$

177.

$a_{n} = \frac{1}{1 + n^{2}},$ error $< 10^{−3}$

En los siguientes ejercicios, halle un valor de $N$ tal que $R_{N}$ sea menor que el error deseado. Calcule la suma correspondiente $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ y compárela con la estimación dada de la serie infinita.

178.

$a_{n} = \frac{1}{n^{11}},$ error $< 10^{−4},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{11}} = 1,000494 …$

179.

$a_{n} = \frac{1}{e^{n}},$ error $< 10^{−5},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{n}} = \frac{1}{e - 1} = 0,581976 …$

180.

$a_{n} = \frac{1}{e^{n^{2}}},$ error $< 10^{−5},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} n / e^{n 2} = 0,40488139857 …$

181.

$a_{n} = 1 / n^{4},$ error $< 10^{−4},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{4} = π^{4} / 90 = 1,08232 ...$

182.

$a_{n} = 1 / n^{6},$ error $< 10^{−6},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{4} = π^{6} / 945 = 1,01734306...,$

183.

Calcule el límite a medida que $n \to \infty$ de $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 n} .$ (Pista: Compare con $\int_{n}^{2 n} \frac{1}{t} d t .).$ grandes.

184.

Calcule el límite a medida que $n \to \infty$ de $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{3 n}$

Los siguientes ejercicios pretenden dar una idea de las aplicaciones en las que surgen las sumas parciales de las series armónicas.

185.

En ciertas aplicaciones de la probabilidad, como el llamado estimador de Watterson para predecir las tasas de mutación en genética de poblaciones, es importante tener una estimación precisa del número $H_{k} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{k}) .$ Recordemos que $T_{k} = H_{k} - ln k$ es decreciente. Calcule $T = \underset{k \to \infty}{lím} T_{k}$ con cuatro decimales. (Pista: $\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x$ ).

186.

[T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado problema del recolector de cupones se plantea de la siguiente manera: Suponga que tiene $N$ artículos únicos en una papelera. En cada paso, se elige un artículo al azar, se identifica y se devuelve a la papelera. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos $E (N)$ que se necesita para sacar cada artículo único al menos una vez. Resulta que $E (N) = N$ . $H_{N} = N (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{N})$ . Calcule $E (N)$ para $N = 10, 20, y 50$ .

187.

[T] La forma más sencilla de barajar las cartas es tomar la carta superior e insertarla en un lugar aleatorio del mazo, lo que se llama inserción aleatoria superior, y luego repetir. Consideraremos que un mazo se baraja aleatoriamente una vez que se han realizado suficientes inserciones aleatorias en la parte superior como para que la carta que estaba originalmente en la parte inferior haya llegado a la parte superior y haya sido insertada aleatoriamente. Si el mazo tiene $n$ cartas, entonces la probabilidad de que la inserción esté por debajo de la carta inicialmente en la parte inferior (llamémosla carta $B)$ es $1 / n .$ Así, el número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que $B$ ya no esté en el fondo es n. Una vez que una carta esté por debajo de $B,$ hay dos lugares debajo de $B$ y la probabilidad de que una carta insertada al azar quede por debajo de $B$ es $2 / n .$ El número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que esto ocurra es $n / 2 .$ Las dos cartas debajo de $B$ están ahora en orden aleatorio. Siguiendo así, halle una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias superiores necesarias para considerar que el mazo se barajea al azar.

188.

Supongamos que un scooter puede viajar $100$ km con el depósito lleno. Suponiendo que el combustible se puede transferir de un scooter a otro, pero solo se puede llevar en el depósito, presente un procedimiento que permita a uno de los scooters viajar $100 H_{N}$ km, donde $H_{N} = 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / N .$

189.

Demuestre que para que la estimación del resto se aplique en $[N, \infty)$ es suficiente que $f (x)$ sea decreciente en $[N, \infty),$ pero $f$ no tiene por qué ser decreciente en $[1, \infty) .$

190.

[T] Utilice la estimación del resto y la integración por partes para aproximar $\sum_{n = 1}^{\infty} n / e^{n}$ con un error menor que $0,0001 .$

191.

¿ $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n {(ln n)}^{p}}$ converge si $p$ es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles $p ?$

192.

[T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} .$ Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere $100 .$

193.

[T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente $\sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{n ln n} .$ Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere $100 .$

5.3 Las pruebas de divergencia e integral

Prueba de divergencia

Prueba de divergencia

Utilización de la prueba de divergencia

Solución

Prueba de la integral

Prueba de la integral

Uso de la prueba de la integral

Solución

La serie p

Pruebas de convergencia de las series p

Solución

Estimar el valor de una serie

Estimación del resto de la prueba de la integral

Estimar el valor de una serie

Solución

Sección 5.3 ejercicios