Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

5.4 Pruebas de comparación

Objetivos de aprendizaje

5.4.1 Utilizar la prueba de comparación para comprobar la convergencia de una serie.
5.4.2 Utilizar la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Hemos visto que la prueba de la integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo utilizar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce. Normalmente, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de las series que son similares a las series geométricas o a las series p.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, hemos hablado de dos grandes clases de series: las series geométricas y las series p. Sabemos exactamente cuándo estas series convergen y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo utilizar la convergencia o divergencia de estas series para demostrar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Por ejemplo, consideremos la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} .

Esta serie es similar a la serie convergente

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Como los términos de cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente. Además, como

0 < \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}

para todos los enteros positivos $n,$ la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}$ satisface

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2} + 1} < \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

(Vea la Figura 5.16(a) y la Tabla 5.1). Como la serie de la derecha converge, la secuencia ${S_{k}}$ está delimitada por encima. Concluimos que ${S_{k}}$ es una secuencia monótona creciente que está delimitada por encima. Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, ${S_{k}}$ converge, y por lo tanto

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

converge.

Del mismo modo, consideremos la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2} .

Esta serie se parece a la serie divergente

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} .

La secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente y

\frac{1}{n - 1 / 2} > \frac{1}{n} > 0

para cada número entero positivo $n .$ Por lo tanto, la $k −ésima$ suma parcial $S_{k}$ de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2}$ satisface

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n - 1 / 2} > \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} .

(Vea la Figura 5.16(b) y la Tabla 5.2). Dado que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales $\sum_{n = 1}^{k} 1 / n$ no está delimitada. En consecuencia, ${S_{k}}$ es una secuencia no delimitada, y por lo tanto diverge. Concluimos que

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2}

diverge.

Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro. El primero muestra los puntos trazados para las sumas parciales para la suma de 1/n^2 y la suma 1/(n^2 + 1). Cada una de las sumas parciales de la segunda es menor que la correspondiente suma parcial de la primera. El segundo muestra los puntos trazados para las sumas parciales para la suma de 1/(n - 0,5) y la suma 1/n. Cada una de las sumas parciales de la segunda es menor que la correspondiente suma parcial de la primera. — Figura 5.16 (a) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es menor que la correspondiente suma parcial de la $serie .$ (b) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es mayor que la correspondiente suma parcial de la serie armónica divergente.

$k$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2} + 1}$	$0,5$	$0,7$	$0,8$	$0,8588$	$0,8973$	$0,9243$	$0,9443$	$0,9597$
$\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}}$	$1$	$\begin{array}{l} 1,25 \end{array}$	$1,3611$	$1,4236$	$1,4636$	$1,4914$	$1,5118$	$1,5274$

Tabla 5.1 Comparación de una serie con una serie p (p = 2)

$k$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n - 1 / 2}$	$2$	$2,6667$	$3,0667$	$3,3524$	$3,5746$	$3,7564$	$3,9103$	$4,0436$
$\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n}$	$1$	$1,5$	$\begin{array}{l} 1,8333 \end{array}$	$2,0933$	$2,2833$	$2,45$	$2,5929$	$2,7179$

Tabla 5.2 Comparación de una serie con la serie armónica

Teorema 5.11

Prueba de comparación

Supongamos que existe un número entero $N$ tal que $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ para todo $n \geq N .$ Si $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.
Supongamos que existe un número entero $N$ tal que $a_{n} \geq b_{n} \geq 0$ para todo $n \geq N .$ Si $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

Prueba

Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Supongamos que ${S_{k}}$ es la secuencia de sumas parciales asociadas a $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ y supongamos que $L = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ Dado que los términos $a_{n} \geq 0,$

S_{k} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} \leq a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} + a_{k + 1} = S_{k + 1} .

Por tanto, la secuencia de sumas parciales es creciente. Además, como $a_{n} \leq b_{n}$ para todo $n \geq N,$ entonces

\sum_{n = N}^{k} a_{n} \leq \sum_{n = N}^{k} b_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = L .

Por lo tanto, para todo $k \geq 1,$

S_{k} = (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}) + \sum_{n = N}^{k} a_{n} \leq (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}) + L .

Dado que $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}$ es un número finito, concluimos que la secuencia ${S_{k}}$ está delimitada por encima. Por lo tanto, ${S_{k}}$ es una secuencia creciente que está delimitada por encima. Por el teorema de convergencia monótona, concluimos que ${S_{k}}$ converge, y por tanto la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

□

Para utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ es necesario hallar una serie adecuada con la que compararla. Dado que conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y de las series p, estas series se utilizan a menudo. Si existe un número entero $N$ tal que para todo $n \geq N,$ cada término $a_{n}$ es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge. Del mismo modo, si existe un número entero $N$ tal que para todo $n \geq N,$ cada término $a_{n}$ es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

Ejemplo 5.17

Uso de la prueba de comparación

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 3 n + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1}$
$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{ln (n)}$

Solución

Compare con $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ es una serie p con $p = 3,$ converge. Además,

$\frac{1}{n^{3} + 3 n + 1} < \frac{1}{n^{3}}$

para cada número entero positivo $n .$ Por lo tanto, podemos concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 3 n + 1}$ converge.
Compare con $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} .$ Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$ es una serie geométrica con $r = 1 / 2$ y $| 1 / 2 | < 1,$ converge. También,

$\frac{1}{2^{n} + 1} < \frac{1}{2^{n}}$

para cada número entero positivo $n .$ Por lo tanto, vemos que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1}$ converge.
Compare con $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} .$ Dado que

$\frac{1}{ln (n)} > \frac{1}{n}$

para cada número entero $n \geq 2$ y $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n$ diverge, tenemos que $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{ln (n)}$ diverge.

Punto de control 5.16

Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{3} + n + 1}$ converge o diverge.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona bien si podemos hallar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces puede ser difícil hallar una serie adecuada. Considere la serie

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} .

Es natural comparar esta serie con la serie convergente

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque

\frac{1}{n^{2} - 1} > \frac{1}{n^{2}}

para todos los enteros $n \geq 2 .$ Aunque podríamos buscar otra serie con la que comparar $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / (n^{2} - 1),$ en cambio, mostramos cómo podemos utilizar la prueba de comparación de límites para comparar

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} y \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Consideremos dos series $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ con términos positivos $a_{n} y b_{n}$ y evaluemos

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n}}{b_{n}} .

Si

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n}}{b_{n}} = L \neq 0,

entonces, para $n$ suficientemente grande, $a_{n} \approx L b_{n} .$ Por lo tanto, o ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / (n^{2} - 1)$ y $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n^{2},$ vemos que

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1 / (n^{2} - 1)}{1 / n^{2}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{n^{2}}{n^{2} - 1} = 1 .

Dado que $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n^{2}$ converge, concluimos que

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1}

converge.

La prueba de comparación de límites puede utilizarse en otros dos casos. Supongamos que

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 .

En este caso, ${a_{n} / b_{n}}$ es una secuencia delimitada. Como resultado, existe una constante $M$ tal que $a_{n} \leq M b_{n} .$ Por lo tanto, si $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge. Por otro lado, supongamos que

\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \infty .

En este caso, ${a_{n} / b_{n}}$ es una secuencia no delimitada. Por lo tanto, para cada constante $M$ existe un número entero $N$ tal que $a_{n} \geq M b_{n}$ para todo $n \geq N .$ Por lo tanto, si $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ también diverge.

Teorema 5.12

Prueba de comparación de límites

Supongamos que $a_{n}, b_{n} \geq 0$ para todo $n \geq 1 .$

Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} = L \neq 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ ambas convergen o ambas divergen.
Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} = 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.
Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} = \infty$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

Observe que si $a_{n} / b_{n} \to 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Del mismo modo, si $a_{n} / b_{n} \to \infty$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, consideremos las dos series $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Estas series son ambas series pcon $p = 1 / 2$ y $p = 2,$ respectivamente. Dado que $p = 1 / 2 < 1,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{n}$ diverge. Por otra parte, dado que $p = 2 > 1,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la $serie p$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$ como nuestra serie de comparación. En primer lugar, vemos que

\frac{1 / \sqrt{n}}{1 / n^{3}} = \frac{n^{3}}{\sqrt{n}} = n^{5 / 2} \to \infty a medida que n \to \infty .

Del mismo modo, vemos que

\frac{1 / n^{2}}{1 / n^{3}} = n \to \infty a medida que n \to \infty .

Por lo tanto, si $a_{n} / b_{n} \to \infty$ cuando $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$

Ejemplo 5.18

Uso de la prueba de comparación de límites

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, indíquelo.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln (n)}{n^{2}}$

Solución

Compare esta serie con $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} .$ Calcule

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1 / (\sqrt{n} + 1)}{1 / \sqrt{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \begin{matrix} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \end{matrix} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{1 + 1 / \sqrt{n}} = 1 .$
Por la prueba de comparación de límites, dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ diverge.
Compare esta serie con $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n} .$ Vemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{(2^{n} + 1) / 3^{n}}{2^{n} / 3^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}} . \frac{3^{n}}{2^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{2^{n} + 1}{2^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} [1 + {(\frac{1}{2})}^{n}] = 1 .$

Por lo tanto,

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{(2^{n} + 1) / 3^{n}}{2^{n} / 3^{n}} = 1 .$

Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}$ converge, concluimos que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$ converge.
Dado que $ln n < n,$ compare con $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} .$ Vemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n}{n^{2}} . \frac{n}{1} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n}{n} .$

Para evaluar $\underset{n \to \infty}{lím} ln n / n,$ evalúe el límite a medida que $x \to \infty$ de la función de valor real $ln (x) / x .$ Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite utilizar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{x} = 0 .$

Por lo tanto, $\underset{n \to \infty}{lím} ln n / n = 0,$ y, en consecuencia,

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n} = 0 .$

Dado que el límite es $0$ pero $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.
Compare con $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ en su lugar. En este caso,

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n^{2}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n}{n^{2}} . \frac{n^{2}}{1} = \underset{n \to \infty}{lím} ln n = \infty .$

Dado que el límite es $\infty$ pero $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge, la prueba sigue sin proporcionar ninguna información.
Así que ahora probamos una serie entre las dos que ya hemos probado. Si elegimos la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}},$ vemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n^{3 / 2}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n}{n^{2}} . \frac{n^{3 / 2}}{1} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{ln n}{\sqrt{n}} .$

Como en el caso anterior, para evaluar $\underset{n \to \infty}{lím} ln n / \sqrt{n},$ evalúe el límite a medida que $x \to \infty$ de la función de valor real $ln x / \sqrt{x} .$ Usando la regla de L'Hôpital,

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{\sqrt{x}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 \sqrt{x}}{x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0 .$

Dado que el límite es $0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}}$ converge, podemos concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln n}{n^{2}}$ converge.

Punto de control 5.17

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^{n}}{3^{n} + 2}$ converge o diverge.

Sección 5.4 ejercicios

Utilice la prueba de comparación para determinar si las siguientes series convergen.

194.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ donde $a_{n} = \frac{2}{n (n + 1)}$ grandes.

195.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ donde $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1 / 2)}$

196.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 (n + 1)}$ grandes.

197.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n - 1}$

198.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{{(n ln n)}^{2}}$

199.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{(n + 2)!}$

200.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

201.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sen (1 / n)}{n}$

202.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{sen}^{2} n}{n^{2}}$

203.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sen (1 / n)}{(\sqrt{n})^{3}}$

204.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{1,2} - 1}{n^{2,3} + 1}$

205.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n}$

206.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^{4} + n^{2}}}$

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge.

207.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{ln n}{n})}^{2}$

208.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{ln n}{n^{0,6}})}^{2}$

209.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln (1 + \frac{1}{n})}{n}$

210.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln (1 + \frac{1}{n^{2}})$ grandes.

211.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4^{n} - 3^{n}}$

212.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - n sen n}$

213.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1,1) n} - 3^{n}}$

214.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1,01) n} - 3^{n}}$

215.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + 1 / n}}$

216.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{1 + 1 / n} n^{1 + 1 / n}}$

217.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - sen (\frac{1}{n}))$

218.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - cos (\frac{1}{n}))$ grandes.

219.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{π}{2} - {tan}^{−1} n)$

220.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n . n}$ (Pista: ${(1 - \frac{1}{n})}^{n} \to 1 / e .)$ grandes.

221.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - e^{−1 / n})$ (Pista: $1 / e \approx {(1 - 1 / n)}^{n},$ así que $1 - e^{−1 / n} \approx 1 / n .)$

222.

¿ $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{{(ln n)}^{p}}$ converge si $p$ es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles $p ?$

223.

¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{(ln n)}{n})}^{p}$ converge si $p$ es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles $p ?$

224.

¿Para cuáles $p$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{p n} / 3^{n}$ converge?

225.

¿Para cuáles $p > 0$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p}}{2^{n}}$ converge?

226.

¿Para cuáles $r > 0$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{n^{2}}}{2^{n}}$ converge?

227.

¿Para cuáles $r > 0$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{r^{n^{2}}}$ converge?

228.

Halle todos los valores de $p$ y $q$ tal que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p}}{{(n!)}^{q}}$ converge.

229.

¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{sen}^{2} (n r / 2)}{n}$ converge o diverge? Explique.

230.

Explique por qué, para cada $n,$ al menos uno de ${| sen n |, | sen (n + 1) |,..., | sen n + 6 |}$ es mayor que $1 / 2 .$ Utilice esta relación para comprobar la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{| sen n |}{\sqrt{n}} .$

231.

Supongamos que $a_{n} \geq 0$ y $b_{n} \geq 0$ y que $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b^{2}_{n}$ convergen. Demuestre que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ converge y $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} \leq \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2}) .$

232.

¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{− ln ln n}$ converge? (Pista: Escriba $2^{ln ln n}$ como potencia de $ln n .)$

233.

¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} {(ln n)}^{− ln n}$ converge? (Pista: Utilice $n = e^{ln (n)}$ para comparar con una $serie .)$ grandes.

234.

¿ $\sum_{n = 2}^{\infty} {(ln n)}^{− ln ln n}$ converge? (Pista: Compare $a_{n}$ a $1 / n .)$

235.

Demuestre que si $a_{n} \geq 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ converge. Si $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ converge, ¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge necesariamente?

236.

Supongamos que $a_{n} > 0$ para todo $n$ y que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge. Supongamos que $b_{n}$ es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ converge necesariamente?

237.

Supongamos que $a_{n} > 0$ para todo $n$ y que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge. Supongamos que $b_{n}$ es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitos términos iguales a uno. ¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ necesariamente diverge?

238.

Complete los detalles del siguiente argumento: Si $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ converge a una suma finita $s,$ entonces $\frac{1}{2} s = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ⋯$ y $s - \frac{1}{2} s = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ .$ ¿Por qué esto lleva a una contradicción?

239.

Demuestre que si $a_{n} \geq 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} {sen}^{2} (a_{n})$ converge.

240.

Supongamos que $a_{n} / b_{n} \to 0$ en la prueba de comparación, donde $a_{n} \geq 0$ y $b_{n} \geq 0,$ Demuestre que si $\sum b_{n}$ converge, entonces $\sum a_{n}$ converge.

241.

Supongamos que $b_{n}$ es una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $x = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} / 2^{n} ?$

242.

Supongamos que $d_{n}$ es una secuencia infinita de dígitos, es decir $d_{n}$ toma valores en ${0, 1,…, 9} .$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} / 10^{n}$ que converge?

243.

Explique por qué, si $x > 1 / 2,$ entonces $x$ no se puede escribir $x = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{b_{n}}{2^{n}} (b_{n} = 0 o 1, b_{1} = 0) .$

244.

[T] Evelyn tiene una balanza perfecta, un número ilimitado de pesos de $1 −kg$ y una de $1 / 2 −kg, 1 / 4 −kg, 1 / 8 −kg,$ y así sucesivamente. Desea pesar un meteorito de origen no especificado con una precisión arbitraria. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

245.

[T] Robert quiere saber su masa corporal con una precisión arbitraria. Tiene una balanza grande que funciona perfectamente, una colección ilimitada de pesos de $1 −kg$ y nueve de $0,1 −kg,$ $0,01 −kg, 0,001 −kg,$ y así sucesivamente. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

246.

La serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n}$ es la mitad de la serie armónica y, por esto, diverge. Se obtiene a partir de la serie armónica eliminando todos los términos en los que $n$ es impar. Supongamos que $m > 1$ es fijo. Demuestre, de forma más general, que la eliminación de todos los términos $1 / n$ donde $n = m k$ para algún número entero $k$ también da como resultado una serie divergente.

247.

A la vista del ejercicio anterior, puede sorprender que una subserie de la serie armónica en la que se suprime aproximadamente uno de cada cinco términos pueda converger. Una serie armónica agotada es una serie obtenida a partir de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ eliminando cualquier término $1 / n$ si una cifra determinada, por ejemplo $9,$ aparece en la expansión decimal de $n .$ Argumente que esta serie armónica agotada converge respondiendo a las siguientes preguntas.

¿Cuántos números enteros $n$ tienen $d$ dígitos?
¿Cuántos números enteros con $dígitos d$ $h (d) .$ no contienen $9$ como uno o más de sus dígitos?
¿Cuál es el menor número con $dígitos d$ $m (d) ?$
Explique por qué la serie armónica suprimida está delimitada por $\sum_{d = 1}^{\infty} \frac{h (d)}{m (d)} .$
Demuestre que $\sum_{d = 1}^{\infty} \frac{h (d)}{m (d)}$ converge.

248.

Supongamos que una secuencia de números $a_{n} > 0$ tiene la propiedad de que $a_{1} = 1$ y $a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} S_{n},$ donde $S_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n} .$ ¿Puede determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge? (Pista: $S_{n}$ es monótona).

249.

Supongamos que una secuencia de números $a_{n} > 0$ tiene la propiedad de que $a_{1} = 1$ y $a_{n + 1} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} S_{n},$ donde $S_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n} .$ ¿Puede determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge? (Pista: $S_{2} = a_{2} + a_{1} = a_{2} + S_{1} = a_{2} + 1 = 1 + 1 / 4 = (1 + 1 / 4) S_{1},$ $S_{3} = \frac{1}{3^{2}} S_{2} + S_{2} = (1 + 1 / 9) S_{2} = (1 + 1 / 9) (1 + 1 / 4) S_{1},$ etc. Mire $ln (S_{n}),$ y utilice $ln (1 + t) \leq t,$ $t > 0 .)$