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Cálculo volumen 2

5.4 Pruebas de comparación

Cálculo volumen 25.4 Pruebas de comparación

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.4.1 Utilizar la prueba de comparación para comprobar la convergencia de una serie.
  • 5.4.2 Utilizar la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Hemos visto que la prueba de la integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo utilizar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce. Normalmente, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de las series que son similares a las series geométricas o a las series p.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, hemos hablado de dos grandes clases de series: las series geométricas y las series p. Sabemos exactamente cuándo estas series convergen y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo utilizar la convergencia o divergencia de estas series para demostrar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Por ejemplo, consideremos la serie

n=11n2 +1.n=11n2 +1.

Esta serie es similar a la serie convergente

n=11n2 .n=11n2 .

Como los términos de cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente. Además, como

0<1n2 +1<1n2 0<1n2 +1<1n2

para todos los enteros positivos n,n, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk de n=11n2 +1n=11n2 +1 satisface

Sk=n=1k1n2 +1<n=1k1n2 <n=11n2 .Sk=n=1k1n2 +1<n=1k1n2 <n=11n2 .

(Vea la Figura 5.16(a) y la Tabla 5.1). Como la serie de la derecha converge, la secuencia {Sk}{Sk} está delimitada por encima. Concluimos que {Sk}{Sk} es una secuencia monótona creciente que está delimitada por encima. Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, {Sk}{Sk} converge, y por lo tanto

n=11n2 +1n=11n2 +1

converge.

Del mismo modo, consideremos la serie

n=11n1/2 .n=11n1/2 .

Esta serie se parece a la serie divergente

n=11n.n=11n.

La secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente y

1n1/2 >1n>01n1/2 >1n>0

para cada número entero positivo n.n. Por lo tanto, la k−ésimak−ésima suma parcial SkSk de n=11n1/2 n=11n1/2 satisface

Sk=n=1k1n1/2 >n=1k1n.Sk=n=1k1n1/2 >n=1k1n.

(Vea la Figura 5.16(b) y la Tabla 5.2). Dado que la serie n=11/nn=11/n diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales n=1k1/nn=1k1/n no está delimitada. En consecuencia, {Sk}{Sk} es una secuencia no delimitada, y por lo tanto diverge. Concluimos que

n=11n1/2 n=11n1/2

diverge.

Aquí se muestran dos gráficos uno al lado del otro. El primero muestra los puntos trazados para las sumas parciales para la suma de 1/n^2 y la suma 1/(n^2 + 1). Cada una de las sumas parciales de la segunda es menor que la correspondiente suma parcial de la primera. El segundo muestra los puntos trazados para las sumas parciales para la suma de 1/(n - 0,5) y la suma 1/n. Cada una de las sumas parciales de la segunda es menor que la correspondiente suma parcial de la primera.
Figura 5.16 (a) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es menor que la correspondiente suma parcial de la serie . serie . (b) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es mayor que la correspondiente suma parcial de la serie armónica divergente.
kk 11 2 2 33 44 55 66 77 88
n=1k1n2 +1n=1k1n2 +1 0,50,5 0,70,7 0,80,8 0,85880,8588 0,89730,8973 0,92430,9243 0,94430,9443 0,95970,9597
n=1k1n2 n=1k1n2 11 1,251,25 1,36111,3611 1,42361,4236 1,46361,4636 1,49141,4914 1,51181,5118 1,52741,5274
Tabla 5.1 Comparación de una serie con una serie p (p = 2)
kk 11 2 2 33 44 55 66 77 88
n=1k1n1/2 n=1k1n1/2 2 2 2,66672,6667 3,06673,0667 3,35243,3524 3,57463,5746 3,75643,7564 3,91033,9103 4,04364,0436
n=1k1nn=1k1n 11 1,51,5 1,83331,8333 2,09332,0933 2,28332,2833 2,452,45 2,59292,5929 2,71792,7179
Tabla 5.2 Comparación de una serie con la serie armónica

Teorema 5.11

Prueba de comparación

  1. Supongamos que existe un número entero NN tal que 0anbn0anbn para todo nN.nN. Si n=1bnn=1bn converge, entonces n=1ann=1an converge.
  2. Supongamos que existe un número entero NN tal que anbn0anbn0 para todo nN.nN. Si n=1bnn=1bn diverge, entonces n=1ann=1an diverge.

Prueba

Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Supongamos que {Sk}{Sk} es la secuencia de sumas parciales asociadas a n=1an,n=1an, y supongamos que L=n=1bn.L=n=1bn. Dado que los términos an0,an0,

Sk=a1+a2 ++aka1+a2 ++ak+ak+1=Sk+1.Sk=a1+a2 ++aka1+a2 ++ak+ak+1=Sk+1.

Por tanto, la secuencia de sumas parciales es creciente. Además, como anbnanbn para todo nN,nN, entonces

n=Nkann=Nkbnn=1bn=L.n=Nkann=Nkbnn=1bn=L.

Por lo tanto, para todo k1,k1,

Sk=(a1+a2 ++aN1)+n=Nkan(a1+a2 ++aN1)+L.Sk=(a1+a2 ++aN1)+n=Nkan(a1+a2 ++aN1)+L.

Dado que a1+a2 ++aN1a1+a2 ++aN1 es un número finito, concluimos que la secuencia {Sk}{Sk} está delimitada por encima. Por lo tanto, {Sk}{Sk} es una secuencia creciente que está delimitada por encima. Por el teorema de convergencia monótona, concluimos que {Sk}{Sk} converge, y por tanto la serie n=1ann=1an converge.

Para utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie n=1an,n=1an, es necesario hallar una serie adecuada con la que compararla. Dado que conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y de las series p, estas series se utilizan a menudo. Si existe un número entero NN tal que para todo nN,nN, cada término anan es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entonces n=1ann=1an converge. Del mismo modo, si existe un número entero NN tal que para todo nN,nN, cada término anan es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entonces n=1ann=1an diverge.

Ejemplo 5.17

Uso de la prueba de comparación

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

  1. n=11n3+3n+1n=11n3+3n+1
  2. n=112 n+1n=112 n+1
  3. n=2 1ln(n)n=2 1ln(n)

Punto de control 5.16

Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie n=1nn3+n+1n=1nn3+n+1 converge o diverge.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona bien si podemos hallar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces puede ser difícil hallar una serie adecuada. Considere la serie

n=2 1n2 1.n=2 1n2 1.

Es natural comparar esta serie con la serie convergente

n=2 1n2 .n=2 1n2 .

Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque

1n2 1>1n2 1n2 1>1n2

para todos los enteros n2 .n2 . Aunque podríamos buscar otra serie con la que comparar n=2 1/(n2 1),n=2 1/(n2 1), en cambio, mostramos cómo podemos utilizar la prueba de comparación de límites para comparar

n=2 1n2 1yn=2 1n2 .n=2 1n2 1yn=2 1n2 .

Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Consideremos dos series n=1ann=1an y n=1bn.n=1bn. con términos positivos anybnanybn y evaluemos

límnanbn.límnanbn.

Si

límnanbn=L0,límnanbn=L0,

entonces, para nn suficientemente grande, anLbn.anLbn. Por lo tanto, o ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie n=2 1/(n2 1)n=2 1/(n2 1) y n=2 1/n2 ,n=2 1/n2 , vemos que

límn1/(n2 1)1/n2 =límnn2 n2 1=1.límn1/(n2 1)1/n2 =límnn2 n2 1=1.

Dado que n=2 1/n2 n=2 1/n2 converge, concluimos que

n=2 1n2 1n=2 1n2 1

converge.

La prueba de comparación de límites puede utilizarse en otros dos casos. Supongamos que

límnanbn=0.límnanbn=0.

En este caso, {an/bn}{an/bn} es una secuencia delimitada. Como resultado, existe una constante MM tal que anMbn.anMbn. Por lo tanto, si n=1bnn=1bn converge, entonces n=1ann=1an converge. Por otro lado, supongamos que

límnanbn=.límnanbn=.

En este caso, {an/bn}{an/bn} es una secuencia no delimitada. Por lo tanto, para cada constante MM existe un número entero NN tal que anMbnanMbn para todo nN.nN. Por lo tanto, si n=1bnn=1bn diverge, entonces n=1ann=1an también diverge.

Teorema 5.12

Prueba de comparación de límites

Supongamos que an,bn0an,bn0 para todo n1.n1.

  1. Si límnan/bn=L0,límnan/bn=L0, entonces n=1ann=1an y n=1bnn=1bn ambas convergen o ambas divergen.
  2. Si límnan/bn=0límnan/bn=0 y n=1bnn=1bn converge, entonces n=1ann=1an converge.
  3. Si límnan/bn=límnan/bn= y n=1bnn=1bn diverge, entonces n=1ann=1an diverge.

Observe que si an/bn0an/bn0 y n=1bnn=1bn diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Del mismo modo, si an/bnan/bn y n=1bnn=1bn converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, consideremos las dos series n=11/nn=11/n y n=11/n2 .n=11/n2 . Estas series son ambas series pcon p=1/2 p=1/2 y p=2 ,p=2 , respectivamente. Dado que p=1/2 <1,p=1/2 <1, la serie n=11/nn=11/n diverge. Por otra parte, dado que p=2 >1,p=2 >1, la serie n=11/n2 n=11/n2 converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie pserie p n=11/n3n=11/n3 como nuestra serie de comparación. En primer lugar, vemos que

1/n1/n3=n3n=n5/2 a medida quen.1/n1/n3=n3n=n5/2 a medida quen.

Del mismo modo, vemos que

1/n2 1/n3=na medida quen.1/n2 1/n3=na medida quen.

Por lo tanto, si an/bnan/bn cuando n=1bnn=1bn converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de n=1an.n=1an.

Ejemplo 5.18

Uso de la prueba de comparación de límites

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, indíquelo.

  1. n=11n+1n=11n+1
  2. n=12 n+13nn=12 n+13n
  3. n=1ln(n)n2 n=1ln(n)n2

Punto de control 5.17

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie n=15n3n+2 n=15n3n+2 converge o diverge.

Sección 5.4 ejercicios

Utilice la prueba de comparación para determinar si las siguientes series convergen.

194.

n=1ann=1an donde an=2 n(n+1)an=2 n(n+1) grandes.

195.

n=1ann=1an donde an=1n(n+1/2 )an=1n(n+1/2 )

196.

n=112 (n+1)n=112 (n+1) grandes.

197.

n = 1 1 2 n 1 n = 1 1 2 n 1

198.

n = 2 1 ( n ln n ) 2 n = 2 1 ( n ln n ) 2

199.

n = 1 n ! ( n + 2 ) ! n = 1 n ! ( n + 2 ) !

200.

n = 1 1 n ! n = 1 1 n !

201.

n = 1 sen ( 1 / n ) n n = 1 sen ( 1 / n ) n

202.

n = 1 sen 2 n n 2 n = 1 sen 2 n n 2

203.

n = 1 sen ( 1 / n ) ( n ) 3 n = 1 sen ( 1 / n ) ( n ) 3

204.

n = 1 n 1,2 1 n 2,3 + 1 n = 1 n 1,2 1 n 2,3 + 1

205.

n = 1 n + 1 n n n = 1 n + 1 n n

206.

n = 1 n 4 n 4 + n 2 3 n = 1 n 4 n 4 + n 2 3

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge.

207.

n = 1 ( ln n n ) 2 n = 1 ( ln n n ) 2

208.

n = 1 ( ln n n 0,6 ) 2 n = 1 ( ln n n 0,6 ) 2

209.

n = 1 ln ( 1 + 1 n ) n n = 1 ln ( 1 + 1 n ) n

210.

n=1ln(1+1n2 )n=1ln(1+1n2 ) grandes.

211.

n = 1 1 4 n 3 n n = 1 1 4 n 3 n

212.

n = 1 1 n 2 n sen n n = 1 1 n 2 n sen n

213.

n = 1 1 e ( 1,1 ) n 3 n n = 1 1 e ( 1,1 ) n 3 n

214.

n = 1 1 e ( 1,01 ) n 3 n n = 1 1 e ( 1,01 ) n 3 n

215.

n = 1 1 n 1 + 1 / n n = 1 1 n 1 + 1 / n

216.

n = 1 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n n = 1 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n

217.

n = 1 ( 1 n sen ( 1 n ) ) n = 1 ( 1 n sen ( 1 n ) )

218.

n=1(1cos(1n))n=1(1cos(1n)) grandes.

219.

n = 1 1 n ( π 2 tan −1 n ) n = 1 1 n ( π 2 tan −1 n )

220.

n=1(11n)n.nn=1(11n)n.n (Pista:(11n)n1/e.)(11n)n1/e.) grandes.

221.

n=1(1e−1/n)n=1(1e−1/n) (Pista:1/e(11/n)n,1/e(11/n)n, así que 1e−1/n1/n.)1e−1/n1/n.)

222.

¿ n=2 1(lnn)pn=2 1(lnn)p converge si pp es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p?p?

223.

¿ n=1((lnn)n)pn=1((lnn)n)p converge si pp es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p?p?

224.

¿Para cuáles pp la serie n=12 pn/3nn=12 pn/3n converge?

225.

¿Para cuáles p>0p>0 la serie n=1np2 nn=1np2 n converge?

226.

¿Para cuáles r>0r>0 la serie n=1rn2 2 nn=1rn2 2 n converge?

227.

¿Para cuáles r>0r>0 la serie n=12 nrn2 n=12 nrn2 converge?

228.

Halle todos los valores de pp y qq tal que n=1np(n!)qn=1np(n!)q converge.

229.

¿ n=1sen2 (nr/2 )nn=1sen2 (nr/2 )n converge o diverge? Explique.

230.

Explique por qué, para cada n,n, al menos uno de {|senn|,|sen(n+1)|,...,|senn+6|}{|senn|,|sen(n+1)|,...,|senn+6|} es mayor que 1/2 .1/2 . Utilice esta relación para comprobar la convergencia de n=1|senn|n.n=1|senn|n.

231.

Supongamos que an0an0 y bn0bn0 y que n=1a2 nn=1a2 n y n=1b2 nn=1b2 n convergen. Demuestre que n=1anbnn=1anbn converge y n=1anbn12 (n=1an2 +n=1bn2 ).n=1anbn12 (n=1an2 +n=1bn2 ).

232.

¿ n=12 lnlnnn=12 lnlnn converge? (Pista: Escriba 2 lnlnn2 lnlnn como potencia de lnn.)lnn.)

233.

¿ n=1(lnn)lnnn=1(lnn)lnn converge? (Pista: Utilice n=eln(n)n=eln(n) para comparar con una serie .)serie .) grandes.

234.

¿ n=2 (lnn)lnlnnn=2 (lnn)lnlnn converge? (Pista: Compare anan a 1/n.)1/n.)

235.

Demuestre que si an0an0 y n=1ann=1an converge, entonces n=1a2 nn=1a2 n converge. Si n=1a2 nn=1a2 n converge, ¿n=1ann=1an converge necesariamente?

236.

Supongamos que an>0an>0 para todo nn y que n=1ann=1an converge. Supongamos que bnbn es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿ n=1anbnn=1anbn converge necesariamente?

237.

Supongamos que an>0an>0 para todo nn y que n=1ann=1an diverge. Supongamos que bnbn es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitos términos iguales a uno. ¿ n=1anbnn=1anbn necesariamente diverge?

238.

Complete los detalles del siguiente argumento: Si n=11nn=11n converge a una suma finita s,s, entonces 12 s=12 +14+16+12 s=12 +14+16+ y s12 s=1+13+15+.s12 s=1+13+15+. ¿Por qué esto lleva a una contradicción?

239.

Demuestre que si an0an0 y n=1a2 nn=1a2 n converge, entonces n=1sen2 (an)n=1sen2 (an) converge.

240.

Supongamos que an/bn0an/bn0 en la prueba de comparación, donde an0an0 y bn0,bn0, Demuestre que si bnbn converge, entonces anan converge.

241.

Supongamos que bnbn es una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de x=n=1bn/2 n?x=n=1bn/2 n?

242.

Supongamos que dndn es una secuencia infinita de dígitos, es decir dndn toma valores en {0,1,…,9}.{0,1,…,9}. ¿Cuál es el mayor valor posible de x=n=1dn/10nx=n=1dn/10n que converge?

243.

Explique por qué, si x>1/2 ,x>1/2 , entonces xx no se puede escribir x=n=2 bn2 n(bn=0o1,b1=0).x=n=2 bn2 n(bn=0o1,b1=0).

244.

[T] Evelyn tiene una balanza perfecta, un número ilimitado de pesos de 1−kg1−kg y una de 1/2 −kg,1/4−kg,1/8−kg,1/2 −kg,1/4−kg,1/8−kg, y así sucesivamente. Desea pesar un meteorito de origen no especificado con una precisión arbitraria. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

245.

[T] Robert quiere saber su masa corporal con una precisión arbitraria. Tiene una balanza grande que funciona perfectamente, una colección ilimitada de pesos de 1−kg1−kg y nueve de 0,1−kg,0,1−kg, 0,01−kg,0,001−kg,0,01−kg,0,001−kg, y así sucesivamente. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas?

246.

La serie n=112 nn=112 n es la mitad de la serie armónica y, por esto, diverge. Se obtiene a partir de la serie armónica eliminando todos los términos en los que nn es impar. Supongamos que m>1m>1 es fijo. Demuestre, de forma más general, que la eliminación de todos los términos 1/n1/n donde n=mkn=mk para algún número entero kk también da como resultado una serie divergente.

247.

A la vista del ejercicio anterior, puede sorprender que una subserie de la serie armónica en la que se suprime aproximadamente uno de cada cinco términos pueda converger. Una serie armónica agotada es una serie obtenida a partir de n=11nn=11n eliminando cualquier término 1/n1/n si una cifra determinada, por ejemplo 9,9, aparece en la expansión decimal de n.n. Argumente que esta serie armónica agotada converge respondiendo a las siguientes preguntas.

  1. ¿Cuántos números enteros nn tienen dd dígitos?
  2. ¿Cuántos números enteros con dígitosddígitosd h(d).h(d). no contienen 99 como uno o más de sus dígitos?
  3. ¿Cuál es el menor número con dígitosddígitosd m(d)?m(d)?
  4. Explique por qué la serie armónica suprimida está delimitada por d=1h(d)m(d).d=1h(d)m(d).
  5. Demuestre que d=1h(d)m(d)d=1h(d)m(d) converge.
248.

Supongamos que una secuencia de números an>0an>0 tiene la propiedad de que a1=1a1=1 y an+1=1n+1Sn,an+1=1n+1Sn, donde Sn=a1++an.Sn=a1++an. ¿Puede determinar si n=1ann=1an converge? (Pista: SnSn es monótona).

249.

Supongamos que una secuencia de números an>0an>0 tiene la propiedad de que a1=1a1=1 y an+1=1(n+1)2 Sn,an+1=1(n+1)2 Sn, donde Sn=a1++an.Sn=a1++an. ¿Puede determinar si n=1ann=1an converge? (Pista: S2 =a2 +a1=a2 +S1=a2 +1=1+1/4=(1+1/4)S1,S2 =a2 +a1=a2 +S1=a2 +1=1+1/4=(1+1/4)S1, S3=132 S2 +S2 =(1+1/9)S2 =(1+1/9)(1+1/4)S1,S3=132 S2 +S2 =(1+1/9)S2 =(1+1/9)(1+1/4)S1, etc. Mire ln(Sn),ln(Sn), y utilice ln(1+t)t,ln(1+t)t, t>0.)t>0.)

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