Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 2

5.5 Series alternadas

Cálculo volumen 25.5 Series alternadas

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.5.1 Utilizar la prueba de series alternadas para comprobar la convergencia de una serie alterna.
  • 5.5.2 Estimar la suma de una serie alternada.
  • 5.5.3 Explicar el significado de convergencia absoluta y convergencia condicional.

Hasta ahora en este capítulo, hemos hablado principalmente de series con términos positivos. En esta sección introducimos las series alternadas, es decir, aquellas series cuyos términos alternan su signo. En un capítulo posterior mostraremos que estas series surgen a menudo cuando se estudian las series de potencias. Después de definir las series alternadas, introducimos la prueba de las series alternadas para determinar si una serie de este tipo converge.

La prueba de las series alternadas

Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternada. Por ejemplo, las series

n=1(12 )n=12 +1418+116n=1(12 )n=12 +1418+116
(5.11)

y

n=1(–1)n+1n=112 +1314+n=1(–1)n+1n=112 +1314+
(5.12)

son ambas series alternadas.

Definición

Toda serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alternada. Una serie alternada puede escribirse de la forma

n=1(–1)n+1bn=b1b2 +b3b4+n=1(–1)n+1bn=b1b2 +b3b4+
(5.13)

o

n=1(–1)nbn=b1+b2 b3+b4n=1(–1)nbn=b1+b2 b3+b4
(5.14)

Donde bn>0bn>0 para todos los enteros positivos n.

La serie (1), que se muestra en la Ecuación 5.11, es una serie geométrica. Dado que |r|=|1/2 |<1,|r|=|1/2 |<1, la serie converge. La serie (2), que se muestra en la Ecuación 5.12, se denomina serie armónica alternada. Demostraremos que mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternada converge.

Para demostrarlo, observamos la secuencia de sumas parciales {Sk}{Sk} (Figura 5.17).

Prueba

Considere los términos impares S2 k+1S2 k+1 para k0.k0. Dado que 1/(2 k+1)<1/2 k,1/(2 k+1)<1/2 k,

S2 k+1=S2 k112 k+12 k+1<S2 k1.S2 k+1=S2 k112 k+12 k+1<S2 k1.

Por lo tanto, {S2 k+1}{S2 k+1} es una secuencia decreciente. También,

S2 k+1=(112 )+(1314)++(12 k112 k)+12 k+1>0.S2 k+1=(112 )+(1314)++(12 k112 k)+12 k+1>0.

Por lo tanto, {S2 k+1}{S2 k+1} está delimitada por debajo. Dado que {S2 k+1}{S2 k+1} es una secuencia decreciente que está delimitada por debajo, por el teorema de convergencia monótona, {S2 k+1}{S2 k+1} converge. Del mismo modo, los términos pares {S2 k}{S2 k} forman una secuencia creciente que está delimitada por encima porque

S2 k=S2 k2 +12 k112 k>S2 k2 S2 k=S2 k2 +12 k112 k>S2 k2

y

S2 k=1+(12 +13)++(12 k2 +12 k1)12 k<1.S2 k=1+(12 +13)++(12 k2 +12 k1)12 k<1.

Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia {S2 k}{S2 k} también converge. Dado que

S2 k+1=S2 k+12 k+1,S2 k+1=S2 k+12 k+1,

sabemos que

límkS2 k+1=límkS2 k+límk12 k+1.límkS2 k+1=límkS2 k+límk12 k+1.

Suponiendo que S=límkS2 k+1S=límkS2 k+1 y utilizando el hecho de que 1/(2 k+1)0,1/(2 k+1)0, concluimos que límkS2 k=S.límkS2 k=S. Dado que los términos pares e impares de la secuencia de sumas parciales convergen al mismo límite S,S, se puede demostrar que la secuencia de sumas parciales converge a S,S, y por tanto la serie armónica alternada converge a S.S.

También se puede demostrar que S=ln2 ,S=ln2 , y podemos escribir

n=1(–1)n+1n=112 +1314+=ln(2 ).n=1(–1)n+1n=112 +1314+=ln(2 ).
Este gráfico demuestra la serie armónica alternada en el primer cuadrante. La línea más alta 1 se dibuja en S1, la siguiente línea -1/2 se dibuja en S2, la siguiente línea +1/3 se dibuja en S3, la línea -1/4 se dibuja en S4, y la última línea +1/5 se dibuja en S5. Los términos impares son decrecientes y están delimitados por debajo, y los pares son crecientes y están delimitados por encima. Parece converger a S, que está en medio de S2, S4 y S5, S3, S1.
Figura 5.17 Para la serie armónica alternada, los términos impares S 2 k + 1 S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k S 2 k son crecientes y están delimitados por encima.

De forma más general, cualquier serie alternada de la forma (3) (Ecuación 5.13) o (4) (Ecuación 5.14) converge siempre que b1b2 b3b1b2 b3 y bn0bn0 (Figura 5.18). La prueba es similar a la de la serie armónica alternada.

Este diagrama ilustra una serie alternada en el cuadrante 1. La línea más alta b1 se dibuja hasta S1, la siguiente línea -b2 se dibuja hasta S2, la siguiente línea b3 se dibuja hasta S3, la siguiente línea -b4 se dibuja hasta S4, y la última línea se dibuja hasta S5. Parece que converge a S, que está entre S2, S4 y S5, S3 y S1. Los términos impares son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares son crecientes y están delimitados por encima.
Figura 5.18 Para una serie alternada b 1 b 2 + b 3 b 1 b 2 + b 3 en la que b 1 > b 2 > b 3 > , b 1 > b 2 > b 3 > , los términos impares S 2 k + 1 S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k S 2 k son crecientes y están delimitados por encima.

Teorema 5.13

Prueba de series alternadas

Una serie alternada de la forma

n=1(–1)n+1bnon=1(–1)nbnn=1(–1)n+1bnon=1(–1)nbn

converge si

  1. 0<bn+1bn0<bn+1bn para todo n1n1 y
  2. límnbn=0.límnbn=0.

Esto se conoce como la prueba de series alternadas.

Observamos que este teorema es cierto de forma más general siempre que exista algún número entero NN tal que 0<bn+1bn0<bn+1bn para todo nN.nN.

Ejemplo 5.19

Convergencia de las series alternadas

Para cada una de las siguientes series alternadas, determine si la serie converge o diverge.

  1. n=1(–1)n+1/n2 n=1(–1)n+1/n2
  2. n=1(–1)n+1n/(n+1)n=1(–1)n+1n/(n+1)

Punto de control 5.18

Determine si la serie n=1(–1)n+1n/2 nn=1(–1)n+1n/2 n converge o diverge.

Resto de una serie alternada

Es difícil calcular de manera explícita la suma de la mayoría de las series alternadas, por lo que normalmente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternada

n=1(–1)n+1bnn=1(–1)n+1bn

que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que SS denota la suma de esta serie y {Sk}{Sk} sea la secuencia correspondiente de sumas parciales. En la Figura 5.18 vemos que para cualquier número entero N1,N1, el resto RNRN satisface

|RN|=|SSN||SN+1SN|=bn+1.|RN|=|SSN||SN+1SN|=bn+1.

Teorema 5.14

Resto de series alternadas

Consideremos una serie alternada de la forma

n=1(–1)n+1bnon=1(–1)nbnn=1(–1)n+1bnon=1(–1)nbn

que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que SS denota la suma de la serie y SNSN denota la ené−ésimaené−ésima suma parcial. Para cualquier número entero N1,N1, el resto RN=SSNRN=SSN satisface

|RN|bN+1.|RN|bN+1.

En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternadas, entonces el error de aproximación de la serie infinita por la ené−ésimaené−ésima suma parcial SNSN es, como máximo, del tamaño del siguiente término bN+1.bN+1.

Ejemplo 5.20

Estimación del resto de una serie alternada

Consideremos la serie alternada

n=1(–1)n+1n2 .n=1(–1)n+1n2 .

Utilice la estimación del resto para determinar un límite en el error R10R10 si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial S10.S10.

Punto de control 5.19

Halle un límite para R20R20 cuando se aproxima n=1(–1)n+1/nn=1(–1)n+1/n por S20.S20.

Convergencia absoluta y condicional

Considere una serie n=1ann=1an y la serie relacionada n=1|an|.n=1|an|. Aquí hablamos sobre las posibilidades de la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, consideremos la serie armónica alternada n=1(–1)n+1/n.n=1(–1)n+1/n. La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, dado que n=1|(–1)n+1/n|=n=11/n.n=1|(–1)n+1/n|=n=11/n. Como la serie armónica alternada converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternada presenta una convergencia condicional.

En comparación, considere la serie n=1(–1)n+1/n2 .n=1(–1)n+1/n2 . La serie cuyos términos son los valores absolutos de los términos de esta serie es la serie n=11/n2 .n=11/n2 . Como ambas series convergen, decimos que la serie n=1(–1)n+1/n2 n=1(–1)n+1/n2 presenta una convergencia absoluta.

Definición

Una serie n=1ann=1an presenta una convergencia absoluta si n=1|an|n=1|an| converge. Una serie n=1ann=1an presenta una convergencia condicional si n=1ann=1an converge, pero n=1|an|n=1|an| diverge.

Como muestra la serie armónica alternada, una serie n=1ann=1an puede converger, pero n=1|an|n=1|an| puede divergir. En el siguiente teorema, sin embargo, demostramos que si n=1|an|n=1|an| converge, entonces n=1ann=1an converge.

Teorema 5.15

La convergencia absoluta implica convergencia

Si n=1|an|n=1|an| converge, entonces n=1ann=1an converge.

Prueba

Supongamos que n=1|an|n=1|an| converge. Lo demostramos utilizando el hecho de que an=|an|an=|an| o an=|an|an=|an| y por lo tanto |an|+an=2 |an||an|+an=2 |an| o |an|+an=0.|an|+an=0. Por lo tanto, 0|an|+an2 |an|.0|an|+an2 |an|. En consecuencia, por la prueba de comparación, dado que 2 n=1|an|2 n=1|an| converge, la serie

n=1(|an|+an)n=1(|an|+an)

converge. Utilizando las propiedades algebraicas para las series convergentes, concluimos que

n=1an=n=1(|an|+an)n=1|an|n=1an=n=1(|an|+an)n=1|an|

converge.

Ejemplo 5.21

Convergencia absoluta y condicional

Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

  1. n=1(–1)n+1/(3n+1)n=1(–1)n+1/(3n+1) grandes.
  2. n=1cos(n)/n2 n=1cos(n)/n2

Punto de control 5.20

Determine si la serie n=1(–1)n+1n/(2 n3+1)n=1(–1)n+1n/(2 n3+1) converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

Para ver la diferencia entre la convergencia absoluta y la condicional, observe lo que ocurre cuando reordenamos los términos de la serie armónica alternada n=1(–1)n+1/n.n=1(–1)n+1/n. Demostramos que podemos reordenar los términos para que la nueva serie sea divergente. Seguramente, si reordenamos los términos de una suma finita, la suma no cambia. Sin embargo, cuando trabajamos con una suma infinita, pueden ocurrir cosas interesantes.

Comience sumando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que algún número real M>0.M>0. Por ejemplo, supongamos que M=10,M=10, y halle un número entero kk tal que

1+13+15++12 k1>10.1+13+15++12 k1>10.

(Podemos hacerlo porque la serie n=11/(2 n1)n=11/(2 n1) diverge hasta el infinito) A continuación, reste 1/2 .1/2 . Luego, sume más términos positivos hasta que la suma llegue a 100. Es decir, halle otro número entero j>kj>k tal que

1+13++12 k112 +12 k+1++12 j+1>100.1+13++12 k112 +12 k+1++12 j+1>100.

A continuación, reste 1/4.1/4. Continuando de esta manera, hemos encontrado una forma de reordenar los términos de la serie armónica alternada de manera que la secuencia de sumas parciales para la serie reordenada no está delimitada y por lo tanto es divergente.

Los términos de la serie armónica alternada también pueden reordenarse para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el Ejemplo 5.22, mostramos cómo reordenar los términos para crear una nueva serie que converja a 3ln(2 )/2 .3ln(2 )/2 . Señalamos que la serie armónica alternada puede reordenarse para crear una serie que converja a cualquier número real r;r; sin embargo, la prueba de este hecho está fuera del alcance de este texto.

En general, cualquier serie n=1ann=1an que converge condicionalmente se puede reordenar para que la nueva serie diverja o converja a un número real diferente. Una serie que converge absolutamente no tiene esta propiedad. Para cualquier serie n=1ann=1an que converge absolutamente, el valor de n=1ann=1an es el mismo para cualquier reordenación de los términos. Este resultado se conoce como el de Riemann sobre la reordenación, que está fuera del alcance de este libro.

Ejemplo 5.22

Reorganización de la serie

Utilice el hecho de que

112 +1314+15=ln2 112 +1314+15=ln2

para reordenar los términos de la serie armónica alternada de modo que la suma de la serie reordenada sea 3ln(2 )/2 .3ln(2 )/2 .

Sección 5.5 ejercicios

Indique si cada una de las siguientes series converge absolutamente, condicionalmente o no converge.

250.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n n + 3 n = 1 ( –1 ) n + 1 n n + 3

251.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n + 1 n + 3 n = 1 ( –1 ) n + 1 n + 1 n + 3

252.

n = 1 ( –1 ) n + 1 1 n + 3 n = 1 ( –1 ) n + 1 1 n + 3

253.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n + 3 n n = 1 ( –1 ) n + 1 n + 3 n

254.

n = 1 ( –1 ) n + 1 1 n ! n = 1 ( –1 ) n + 1 1 n !

255.

n = 1 ( –1 ) n + 1 3 n n ! n = 1 ( –1 ) n + 1 3 n n !

256.

n = 1 ( –1 ) n + 1 ( n 1 n ) n n = 1 ( –1 ) n + 1 ( n 1 n ) n

257.

n = 1 ( –1 ) n + 1 ( n + 1 n ) n n = 1 ( –1 ) n + 1 ( n + 1 n ) n

258.

n = 1 ( –1 ) n + 1 sen 2 n n = 1 ( –1 ) n + 1 sen 2 n

259.

n = 1 ( –1 ) n + 1 cos 2 n n = 1 ( –1 ) n + 1 cos 2 n

260.

n=1(–1)n+1sen2 (1/n)n=1(–1)n+1sen2 (1/n) grandes.

261.

n=1(–1)n+1cos2 (1/n)n=1(–1)n+1cos2 (1/n) grandes.

262.

n=1(–1)n+1ln(1/n)n=1(–1)n+1ln(1/n) grandes.

263.

n=1(–1)n+1ln(1+1n)n=1(–1)n+1ln(1+1n) grandes.

264.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n 2 1 + n 4 n = 1 ( –1 ) n + 1 n 2 1 + n 4

265.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n e 1 + n π n = 1 ( –1 ) n + 1 n e 1 + n π

266.

n = 1 ( –1 ) n + 1 2 1 / n n = 1 ( –1 ) n + 1 2 1 / n

267.

n = 1 ( –1 ) n + 1 n 1 / n n = 1 ( –1 ) n + 1 n 1 / n

268.

n=1(–1)n(1n1/n)n=1(–1)n(1n1/n) (Pista: n1/n1+ln(n)/nn1/n1+ln(n)/n para n.)n.) grandes.

269.

n=1(–1)n+1n(1cos(1n))n=1(–1)n+1n(1cos(1n)) (Pista: cos(1/n)11/n2 cos(1/n)11/n2 para n.)n.) grandes.

270.

n=1(–1)n+1(n+1n)n=1(–1)n+1(n+1n) (Pista: racionalice el numerador).

271.

n=1(–1)n+1(1n1n+1)n=1(–1)n+1(1n1n+1) (Pista: halle el denominador común y luego racionalice el numerador).

272.

n=1(–1)n+1(ln(n+1)lnn)n=1(–1)n+1(ln(n+1)lnn) grandes.

273.

n=1(–1)n+1n(tan–1(n+1)tan−1n)n=1(–1)n+1n(tan–1(n+1)tan−1n) (Pista: utilice el teorema de valor medio).

274.

n=1(–1)n+1((n+1)2 n2 )n=1(–1)n+1((n+1)2 n2 ) grandes.

275.

n = 1 ( –1 ) n + 1 ( 1 n 1 n + 1 ) n = 1 ( –1 ) n + 1 ( 1 n 1 n + 1 )

276.

n = 1 cos ( n π ) n n = 1 cos ( n π ) n

277.

n = 1 cos ( n π ) n 1 / n n = 1 cos ( n π ) n 1 / n

278.

n=11nsen(nπ2 )n=11nsen(nπ2 ) grandes.

279.

n=1sen(nπ/2 )sen(1/n)n=1sen(nπ/2 )sen(1/n) grandes.

En cada uno de los siguientes problemas, utilice la estimación |RN|bN+1|RN|bN+1 para hallar un valor de NN que garantice que la suma de los primeros términos NN de la serie alternada n=1(–1)n+1bnn=1(–1)n+1bn difiera de la suma infinita como máximo en el error dado. Calcule la suma parcial SNSN para este N.N.

280.

[T] bn=1/n,bn=1/n, error <10−5<10−5

281.

[T] bn=1/ln(n),bn=1/ln(n), n2 ,n2 , error <10−1<10−1

282.

[T] bn=1/n,bn=1/n, error <10−3<10−3

283.

[T] bn=1/2 n,bn=1/2 n, error <10−6<10−6

284.

[T] bn=ln(1+1n),bn=ln(1+1n), error <10−3<10−3

285.

[T] bn=1/n2 ,bn=1/n2 , error <10−6<10−6

En los siguientes ejercicios, indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que lo sea.

286.

Si bn0bn0 es decreciente y límnbn=0,límnbn=0, entonces n=1(b2 n1b2 n)n=1(b2 n1b2 n) converge absolutamente.

287.

Si bn0bn0 es decreciente, entonces n=1(b2 n1b2 n)n=1(b2 n1b2 n) converge absolutamente.

288.

Si bn0bn0 y límnbn=0límnbn=0 entonces n=1(12 (b3n2 +b3n1)b3n)n=1(12 (b3n2 +b3n1)b3n) converge.

289.

Si bn0bn0 es decreciente y n=1(b3n2 +b3n1b3n)n=1(b3n2 +b3n1b3n) converge, entonces n=1b3n2 n=1b3n2 converge.

290.

Si bn0bn0 es decreciente y n=1(–1)n1bnn=1(–1)n1bn converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces bnbn no tiende a cero.

291.

Supongamos que an+=anan+=an si an0an0 y an=anan=an si an<0.an<0. (También, an+=0sian<0an+=0sian<0 y an=0sian0.)an=0sian0.) Si n=1ann=1an converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces ni n=1an+n=1an+ ni n=1ann=1an convergen.

292.

Supongamos que anan es una secuencia de números reales positivos y que n=1ann=1an converge.

Supongamos que bnbn es una secuencia arbitraria de unos y menos unos. ¿ n=1anbnn=1anbn converge necesariamente?

293.

Supongamos que anan es una secuencia tal que n=1anbnn=1anbn converge para cualquier secuencia posible bnbn de ceros y unos. ¿ n=1ann=1an converge absolutamente?

Las siguientes series no satisfacen las hipótesis de la prueba de series alternadas, tal y como se indica.

En cada caso, indique cuál hipótesis no se satisface. Indique si la serie converge absolutamente.

294.

n = 1 ( –1 ) n + 1 sen 2 n n n = 1 ( –1 ) n + 1 sen 2 n n

295.

n = 1 ( –1 ) n + 1 cos 2 n n n = 1 ( –1 ) n + 1 cos 2 n n

296.

1 + 1 2 1 3 1 4 + 1 5 + 1 6 1 7 1 8 + 1 + 1 2 1 3 1 4 + 1 5 + 1 6 1 7 1 8 +

297.

1 + 1 2 1 3 + 1 4 + 1 5 1 6 + 1 7 + 1 8 1 9 + 1 + 1 2 1 3 + 1 4 + 1 5 1 6 + 1 7 + 1 8 1 9 +

298.

Demuestre que la serie alternada 112 +12 14+1316+1418+112 +12 14+1316+1418+

no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple?

299.

Supongamos que anan converge absolutamente. Demuestre que la serie formada por los términos positivos anan también converge.

300.

Demuestre que la serie alternada 2 335+4759+2 335+4759+ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple?

301.

La fórmula cosθ=1θ2 2 !+θ44!θ66!+cosθ=1θ2 2 !+θ44!θ66!+ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto |RN|bN+1|RN|bN+1 para hallar un límite para el error de estimación cosθcosθ por la quinta suma parcial 1θ2 /2 !+θ4/4!θ6/6!+θ8/8!1θ2 /2 !+θ4/4!θ6/6!+θ8/8! para θ=1,θ=1, θ=π/6,θ=π/6, y θ=π.θ=π.

302.

La fórmula senθ=θθ33!+θ55!θ77!+senθ=θθ33!+θ55!θ77!+ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto |RN|bN+1|RN|bN+1 para hallar un límite para el error de estimación senθsenθ por la quinta suma parcial θθ3/3!+θ5/5!θ7/7!+θ9/9!θθ3/3!+θ5/5!θ7/7!+θ9/9! para θ=1,θ=1, θ=π/6,θ=π/6, y θ=π.θ=π.

303.

¿Cuántos términos en cosθ=1θ2 2 !+θ44!θ66!+cosθ=1θ2 2 !+θ44!θ66!+ son necesarios para aproximar cos1cos1 con un error máximo de 0,00001?0,00001?

304.

¿Cuántos términos en senθ=θθ33!+θ55!θ77!+senθ=θθ33!+θ55!θ77!+ son necesarios para aproximar sen1sen1 con un error máximo de 0,00001?0,00001?

305.

A veces la serie alternada n=1(–1)n1bnn=1(–1)n1bn converge a una determinada fracción de una serie absolutamente convergente n=1bnn=1bn a una tasa más rápida. Dado que n=11n2 =π2 6,n=11n2 =π2 6, calcule 12=112 2 +132 142 +.12=112 2 +132 142 +. ¿Cuál de las series 6n=11n2 6n=11n2 y Sn=1(–1)n1n2 Sn=1(–1)n1n2 ofrece una mejor estimación de π2 π2 utilizando 1.0001.000 términos?

Las siguientes series alternadas convergen a múltiplos determinados de π.π. Halle el valor de NN que se predice mediante la estimación del resto, de manera que la enésimoenésimo suma parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo dentro del error dado. Halle el NN mínimo para los que el límite de error se mantiene e indique el valor aproximado deseado en cada caso. Hasta 1515 decimales, π=3,141592653589793.π=3,141592653589793.

306.

[T] π4=n=0(–1)n2 n+1,π4=n=0(–1)n2 n+1, error <0,0001<0,0001

307.

[T] π12=k=0(−3)k2 k+1,π12=k=0(−3)k2 k+1, error <0,0001<0,0001

308.

[T] La serie n=0sen(x+πn)x+πnn=0sen(x+πn)x+πn desempeña un papel importante en el procesamiento de señales. Demuestre que n=0sen(x+πn)x+πnn=0sen(x+πn)x+πn converge siempre que 0<x<π.0<x<π. (Pista: utilice la fórmula del seno de una suma de ángulos).

309.

[T] Si n=1N(–1)n11nln2 ,n=1N(–1)n11nln2 , ¿qué es 1+13+1512 1416+17+19+11118110112+?1+13+1512 1416+17+19+11118110112+?

310.

[T] Grafique la serie n=1100cos(2 πnx)nn=1100cos(2 πnx)n para 0x<1.0x<1. Explique por qué n=1100cos(2 πnx)nn=1100cos(2 πnx)n diverge cuando x=0,1.x=0,1. ¿Cómo se comporta la serie para otros x?x?

311.

[T] Grafique la serie n=1100sen(2 πnx)nn=1100sen(2 πnx)n para 0x<10x<1 y comente su comportamiento

312.

[T] Grafique la serie n=1100cos(2 πnx)n2 n=1100cos(2 πnx)n2 para 0x<10x<1 y describa su gráfico.

313.

[T] La serie armónica alternada converge debido a la cancelación entre sus términos. Su suma se conoce porque la cancelación puede describirse de manera explícita. Una serie armónica aleatoria es una de la forma n=1Snn,n=1Snn, donde snsn es una secuencia generada aleatoriamente de ±1's±1's en la que los valores ±1±1 son igualmente probables. Utilice un generador de números aleatorios para producir 1.0001.000 aleatorio ±1s±1s y grafique las sumas parciales SN=n=1NsnnSN=n=1Nsnn de su secuencia armónica aleatoria para N=1N=1 a 1.000.1.000. Compare con un gráfico de las primeras 1.0001.000 sumas parciales de la serie armónica.

314.

[T] Las estimaciones de n=11n2 n=11n2 se pueden acelerar escribiendo sus sumas parciales como n=1N1n2 =n=1N1n(n+1)+n=1N1n2 (n+1)n=1N1n2 =n=1N1n(n+1)+n=1N1n2 (n+1) y recordando que n=1N1n(n+1)=11N+1n=1N1n(n+1)=11N+1 converge a uno cuando N.N. Compare la estimación de π2 /6π2 /6 utilizando las sumas n=11.0001n2 n=11.0001n2 con la estimación utilizando 1+n=11.0001n2 (n+1).1+n=11.0001n2 (n+1).

315.

[T] La transformada de Euler reescribe S=n=0(–1)nbnS=n=0(–1)nbn como S=n=0(–1)n2 n1m= 0,0n(nm)bnm.S=n=0(–1)n2 n1m= 0,0n(nm)bnm. Para la serie armónica alternada, toma la forma ln(2 )=n=1(–1)n1n=n=11n2 n.ln(2 )=n=1(–1)n1n=n=11n2 n. Calcule las sumas parciales de n=11n2 nn=11n2 n hasta que se aproximen ln(2 )ln(2 ) con una precisión de 0,0001.0,0001. ¿Cuántos términos se necesitan? Compare esta respuesta con el número de términos de la serie armónica alternada que son necesarios para estimar ln(2 ).ln(2 ).

316.

[T] En el texto se dijo que una serie convergente condicionalmente se puede reordenar para converger a cualquier número. A continuación, presentamos un hecho algo más sencillo, pero similar. Si an0an0 es tal que an0an0 a medida que nn pero n=1ann=1an diverge, entonces, dado cualquier número AA hay una secuencia snsn de ±1's±1's tal que n=1ansnA.n=1ansnA. Muestre esto para A>0A>0 de la siguiente forma.

  1. Defina de manera repetida snsn por sn=1sn=1 si Sn1=k=1n1aksk<ASn1=k=1n1aksk<A y sn=−1sn=−1 por lo contrario.
  2. Explique por qué eventualmente SnA,SnA, y para cualquier mm mayor que este n,n, AamSmA+am.AamSmA+am.
  3. Explique por qué esto implica que SnASnA a medida que n.n.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.