Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.5.1 Utilizar la prueba de series alternadas para comprobar la convergencia de una serie alterna.
5.5.2 Estimar la suma de una serie alternada.
5.5.3 Explicar el significado de convergencia absoluta y convergencia condicional.

Hasta ahora en este capítulo, hemos hablado principalmente de series con términos positivos. En esta sección introducimos las series alternadas, es decir, aquellas series cuyos términos alternan su signo. En un capítulo posterior mostraremos que estas series surgen a menudo cuando se estudian las series de potencias. Después de definir las series alternadas, introducimos la prueba de las series alternadas para determinar si una serie de este tipo converge.

La prueba de las series alternadas

Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternada. Por ejemplo, las series

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{n} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - ⋯

(5.11)

y

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯

(5.12)

son ambas series alternadas.

Definición

Toda serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alternada. Una serie alternada puede escribirse de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n} = b_{1} - b_{2} + b_{3} - b_{4} + ⋯

(5.13)

o

\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n} = − b_{1} + b_{2} - b_{3} + b_{4} - ⋯

(5.14)

Donde $b_{n} > 0$ para todos los enteros positivos n.

La serie (1), que se muestra en la Ecuación 5.11, es una serie geométrica. Dado que $| r | = | − 1 / 2 | < 1,$ la serie converge. La serie (2), que se muestra en la Ecuación 5.12, se denomina serie armónica alternada. Demostraremos que mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternada converge.

Para demostrarlo, observamos la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ (Figura 5.17).

Prueba

Considere los términos impares $S_{2 k + 1}$ para $k \geq 0 .$ Dado que $1 / (2 k + 1) < 1 / 2 k,$

S_{2 k + 1} = S_{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k + 1} < S_{2 k - 1} .

Por lo tanto, ${S_{2 k + 1}}$ es una secuencia decreciente. También,

S_{2 k + 1} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ⋯ + (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k}) + \frac{1}{2 k + 1} > 0 .

Por lo tanto, ${S_{2 k + 1}}$ está delimitada por debajo. Dado que ${S_{2 k + 1}}$ es una secuencia decreciente que está delimitada por debajo, por el teorema de convergencia monótona, ${S_{2 k + 1}}$ converge. Del mismo modo, los términos pares ${S_{2 k}}$ forman una secuencia creciente que está delimitada por encima porque

S_{2 k} = S_{2 k - 2} + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} > S_{2 k - 2}

y

S_{2 k} = 1 + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + ⋯ + (- \frac{1}{2 k - 2} + \frac{1}{2 k - 1}) - \frac{1}{2 k} < 1 .

Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia ${S_{2 k}}$ también converge. Dado que

S_{2 k + 1} = S_{2 k} + \frac{1}{2 k + 1},

sabemos que

\underset{k \to \infty}{lím} S_{2 k + 1} = \underset{k \to \infty}{lím} S_{2 k} + \underset{k \to \infty}{lím} \frac{1}{2 k + 1} .

Suponiendo que $S = \underset{k \to \infty}{lím} S_{2 k + 1}$ y utilizando el hecho de que $1 / (2 k + 1) \to 0,$ concluimos que $\underset{k \to \infty}{lím} S_{2 k} = S .$ Dado que los términos pares e impares de la secuencia de sumas parciales convergen al mismo límite $S,$ se puede demostrar que la secuencia de sumas parciales converge a $S,$ y por tanto la serie armónica alternada converge a $S .$

También se puede demostrar que $S = ln 2,$ y podemos escribir

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ = ln (2) .

Este gráfico demuestra la serie armónica alternada en el primer cuadrante. La línea más alta 1 se dibuja en S1, la siguiente línea -1/2 se dibuja en S2, la siguiente línea +1/3 se dibuja en S3, la línea -1/4 se dibuja en S4, y la última línea +1/5 se dibuja en S5. Los términos impares son decrecientes y están delimitados por debajo, y los pares son crecientes y están delimitados por encima. Parece converger a S, que está en medio de S2, S4 y S5, S3, S1.

Figura 5.17 Para la serie armónica alternada, los términos impares

S_{2 k + 1}

en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares

S_{2 k}

son crecientes y están delimitados por encima.

□

De forma más general, cualquier serie alternada de la forma (3) (Ecuación 5.13) o (4) (Ecuación 5.14) converge siempre que $b_{1} \geq b_{2} \geq b_{3} \geq ⋯$ y $b_{n} \to 0$ (Figura 5.18). La prueba es similar a la de la serie armónica alternada.

Este diagrama ilustra una serie alternada en el cuadrante 1. La línea más alta b1 se dibuja hasta S1, la siguiente línea -b2 se dibuja hasta S2, la siguiente línea b3 se dibuja hasta S3, la siguiente línea -b4 se dibuja hasta S4, y la última línea se dibuja hasta S5. Parece que converge a S, que está entre S2, S4 y S5, S3 y S1. Los términos impares son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares son crecientes y están delimitados por encima.

Figura 5.18 Para una serie alternada

b_{1} - b_{2} + b_{3} - ⋯

en la que

b_{1} > b_{2} > b_{3} > ⋯,

los términos impares

S_{2 k + 1}

en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares

S_{2 k}

son crecientes y están delimitados por encima.

Teorema 5.13

Prueba de series alternadas

Una serie alternada de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n} o \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n}

converge si

$0 < b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todo $n \geq 1$ y
$\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = 0 .$

Esto se conoce como la prueba de series alternadas.

Observamos que este teorema es cierto de forma más general siempre que exista algún número entero $N$ tal que $0 < b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todo $n \geq N .$

Ejemplo 5.19

Convergencia de las series alternadas

Para cada una de las siguientes series alternadas, determine si la serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n^{2}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n / (n + 1)$

Solución

Dado que
$\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} < \frac{1}{n^{2}} y \frac{1}{n^{2}} \to 0,$
la serie converge.
Dado que $n / (n + 1) ↛ 0$ a medida que $n \to \infty,$ no podemos aplicar la prueba de series alternadas. En su lugar, utilizamos la prueba del enésimo término para la divergencia. Dado que
$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{{(–1)}^{n + 1} n}{n + 1} \neq 0,$
la serie diverge.

Punto de control 5.18

Determine si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n / 2^{n}$ converge o diverge.

Resto de una serie alternada

Es difícil calcular de manera explícita la suma de la mayoría de las series alternadas, por lo que normalmente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternada

\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n}

que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que $S$ denota la suma de esta serie y ${S_{k}}$ sea la secuencia correspondiente de sumas parciales. En la Figura 5.18 vemos que para cualquier número entero $N \geq 1,$ el resto $R_{N}$ satisface

| R_{N} | = | S - S_{N} | \leq | S_{N + 1} - S_{N} | = b_{n + 1} .

Teorema 5.14

Resto de series alternadas

Consideremos una serie alternada de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n} o \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n}

que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que $S$ denota la suma de la serie y $S_{N}$ denota la $ené −ésima$ suma parcial. Para cualquier número entero $N \geq 1,$ el resto $R_{N} = S - S_{N}$ satisface

| R_{N} | \leq b_{N + 1} .

En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternadas, entonces el error de aproximación de la serie infinita por la $ené −ésima$ suma parcial $S_{N}$ es, como máximo, del tamaño del siguiente término $b_{N + 1} .$

Ejemplo 5.20

Estimación del resto de una serie alternada

Consideremos la serie alternada

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1}}{n^{2}} .

Utilice la estimación del resto para determinar un límite en el error $R_{10}$ si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial $S_{10} .$

Solución

A partir del teorema anterior,

$| R_{10} | \leq b_{11} = \frac{1}{11^{2}} \approx 0,008265 .$

Punto de control 5.19

Halle un límite para $R_{20}$ cuando se aproxima $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n$ por $S_{20} .$

Convergencia absoluta y condicional

Considere una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y la serie relacionada $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$ Aquí hablamos sobre las posibilidades de la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, consideremos la serie armónica alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n .$ La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} | {(–1)}^{n + 1} / n | = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$ Como la serie armónica alternada converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternada presenta una convergencia condicional.

En comparación, considere la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n^{2} .$ La serie cuyos términos son los valores absolutos de los términos de esta serie es la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Como ambas series convergen, decimos que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n^{2}$ presenta una convergencia absoluta.

Definición

Una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ presenta una convergencia absoluta si $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge. Una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ presenta una convergencia condicional si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, pero $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ diverge.

Como muestra la serie armónica alternada, una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ puede converger, pero $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ puede divergir. En el siguiente teorema, sin embargo, demostramos que si $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

Teorema 5.15

La convergencia absoluta implica convergencia

Si $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

Prueba

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge. Lo demostramos utilizando el hecho de que $a_{n} = | a_{n} |$ o $a_{n} = − | a_{n} |$ y por lo tanto $| a_{n} | + a_{n} = 2 | a_{n} |$ o $| a_{n} | + a_{n} = 0 .$ Por lo tanto, $0 \leq | a_{n} | + a_{n} \leq 2 | a_{n} | .$ En consecuencia, por la prueba de comparación, dado que $2 \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} (| a_{n} | + a_{n})

converge. Utilizando las propiedades algebraicas para las series convergentes, concluimos que

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (| a_{n} | + a_{n}) − \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

converge.

□

Ejemplo 5.21

Convergencia absoluta y condicional

Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / (3 n + 1)$ grandes.
$\sum_{n = 1}^{\infty} cos (n) / n^{2}$

Solución

Podemos ver que

$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{{(–1)}^{n + 1}}{3 n + 1} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3 n + 1}$

diverge utilizando la prueba de comparación de límites con la serie armónica. De hecho,

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1 / (3 n + 1)}{1 / n} = \frac{1}{3} .$

Por lo tanto, la serie no converge absolutamente. Sin embargo, como

$\frac{1}{3 (n + 1) + 1} < \frac{1}{3 n + 1} y \frac{1}{3 n + 1} \to 0,$

la serie converge. Podemos concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / (3 n + 1)$ converge condicionalmente.
Si observamos que $| cos n | \leq 1,$ para determinar si la serie converge absolutamente, compare

$\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{cos n}{n^{2}} |$

con la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ converge, por la prueba de comparación, $\sum_{n = 1}^{\infty} | cos n / n^{2} |$ converge, y por lo tanto $\sum_{n = 1}^{\infty} cos n / n^{2}$ converge absolutamente.

Punto de control 5.20

Determine si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n / (2 n^{3} + 1)$ converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

Para ver la diferencia entre la convergencia absoluta y la condicional, observe lo que ocurre cuando reordenamos los términos de la serie armónica alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} / n .$ Demostramos que podemos reordenar los términos para que la nueva serie sea divergente. Seguramente, si reordenamos los términos de una suma finita, la suma no cambia. Sin embargo, cuando trabajamos con una suma infinita, pueden ocurrir cosas interesantes.

Comience sumando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que algún número real $M > 0 .$ Por ejemplo, supongamos que $M = 10,$ y halle un número entero $k$ tal que

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{2 k - 1} > 10 .

(Podemos hacerlo porque la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / (2 n - 1)$ diverge hasta el infinito) A continuación, reste $1 / 2 .$ Luego, sume más términos positivos hasta que la suma llegue a 100. Es decir, halle otro número entero $j > k$ tal que

1 + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 k + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 j + 1} > 100 .

A continuación, reste $1 / 4 .$ Continuando de esta manera, hemos encontrado una forma de reordenar los términos de la serie armónica alternada de manera que la secuencia de sumas parciales para la serie reordenada no está delimitada y por lo tanto es divergente.

Los términos de la serie armónica alternada también pueden reordenarse para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el Ejemplo 5.22, mostramos cómo reordenar los términos para crear una nueva serie que converja a $3 ln (2) / 2 .$ Señalamos que la serie armónica alternada puede reordenarse para crear una serie que converja a cualquier número real $r;$ sin embargo, la prueba de este hecho está fuera del alcance de este texto.

En general, cualquier serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ que converge condicionalmente se puede reordenar para que la nueva serie diverja o converja a un número real diferente. Una serie que converge absolutamente no tiene esta propiedad. Para cualquier serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ que converge absolutamente, el valor de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es el mismo para cualquier reordenación de los términos. Este resultado se conoce como el de Riemann sobre la reordenación, que está fuera del alcance de este libro.

Ejemplo 5.22

Reorganización de la serie

Utilice el hecho de que

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - ⋯ = ln 2

para reordenar los términos de la serie armónica alternada de modo que la suma de la serie reordenada sea $3 ln (2) / 2 .$

Solución

Supongamos que

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ⋯ .

Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = ln (2),$ por las propiedades algebraicas de las series convergentes,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} a_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + ⋯ = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{ln 2}{2} .

Ahora introduzca la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ tal que para todo $n \geq 1,$ $b_{2 n - 1} = 0$ y $b_{2 n} = a_{n} / 2 .$ Entonces

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = 0 + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + ⋯ = \frac{ln 2}{2} .

Entonces, utilizando las propiedades del límite algebraico de las series convergentes, dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ convergen, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ converge y

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = ln 2 + \frac{ln 2}{2} = \frac{3 ln 2}{2} .

Ahora sumando los términos correspondientes, $a_{n}$ y $b_{n},$ vemos que

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) & = (1 + 0) + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + 0) + (- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + 0) + (- \frac{1}{6} + \frac{1}{6}) \\ + (\frac{1}{7} + 0) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{8}) + ⋯ \\ = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + ⋯ . \end{matrix}

Observamos que la serie a la derecha del signo de igualdad es una reordenación de la serie armónica alternada. Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = 3 ln (2) / 2,$ concluimos que

1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + ⋯ = \frac{3 ln (2)}{2} .

Por lo tanto, hemos encontrado un reordenamiento de la serie armónica alternada que tiene la propiedad deseada.

Sección 5.5 ejercicios

Indique si cada una de las siguientes series converge absolutamente, condicionalmente o no converge.

250.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{n}{n + 3}$

251.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{\sqrt{n} + 1}{\sqrt{n} + 3}$

252.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n + 3}}$

253.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{\sqrt{n + 3}}{n}$

254.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{1}{n!}$

255.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{3^{n}}{n!}$

256.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {(\frac{n - 1}{n})}^{n}$

257.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

258.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {sen}^{2} n$

259.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {cos}^{2} n$

260.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {sen}^{2} (1 / n)$ grandes.

261.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} {cos}^{2} (1 / n)$ grandes.

262.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} ln (1 / n)$ grandes.

263.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} ln (1 + \frac{1}{n})$ grandes.

264.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{n^{2}}{1 + n^{4}}$

265.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{n^{e}}{1 + n^{π}}$

266.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} 2^{1 / n}$

267.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n^{1 / n}$

268.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} (1 - n^{1 / n})$ (Pista: $n^{1 / n} \approx 1 + ln (n) / n$ para $n .)$ grandes.

269.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n (1 - cos (\frac{1}{n}))$ (Pista: $cos (1 / n) \approx 1 - 1 / n^{2}$ para $n .)$ grandes.

270.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$ (Pista: racionalice el numerador).

271.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})$ (Pista: halle el denominador común y luego racionalice el numerador).

272.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} (ln (n + 1) - ln n)$ grandes.

273.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} n ({tan}^{–1} (n + 1) - {tan}^{−1} n)$ (Pista: utilice el teorema de valor medio).

274.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} ({(n + 1)}^{2} - n^{2})$ grandes.

275.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$

276.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (n π)}{n}$

277.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (n π)}{n^{1 / n}}$

278.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} sen (\frac{n π}{2})$ grandes.

279.

$\sum_{n = 1}^{\infty} sen (n π / 2) sen (1 / n)$ grandes.

En cada uno de los siguientes problemas, utilice la estimación $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ para hallar un valor de $N$ que garantice que la suma de los primeros términos $N$ de la serie alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n}$ difiera de la suma infinita como máximo en el error dado. Calcule la suma parcial $S_{N}$ para este $N .$

280.

[T] $b_{n} = 1 / n,$ error $< 10^{−5}$

281.

[T] $b_{n} = 1 / ln (n),$ $n \geq 2,$ error $< 10^{−1}$

282.

[T] $b_{n} = 1 / \sqrt{n},$ error $< 10^{−3}$

283.

[T] $b_{n} = 1 / 2^{n},$ error $< 10^{−6}$

284.

[T] $b_{n} = ln (1 + \frac{1}{n}),$ error $< 10^{−3}$

285.

[T] $b_{n} = 1 / n^{2},$ error $< 10^{−6}$

En los siguientes ejercicios, indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que lo sea.

286.

Si $b_{n} \geq 0$ es decreciente y $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{2 n - 1} - b_{2 n})$ converge absolutamente.

287.

Si $b_{n} \geq 0$ es decreciente, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{2 n - 1} - b_{2 n})$ converge absolutamente.

288.

Si $b_{n} \geq 0$ y $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} = 0$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} (b_{3 n - 2} + b_{3 n - 1}) − b_{3 n})$ converge.

289.

Si $b_{n} \geq 0$ es decreciente y $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{3 n - 2} + b_{3 n - 1} - b_{3 n})$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{3 n - 2}$ converge.

290.

Si $b_{n} \geq 0$ es decreciente y $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} b_{n}$ converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces $b_{n}$ no tiende a cero.

291.

Supongamos que $a_{n}^{+} = a_{n}$ si $a_{n} \geq 0$ y $a_{n}^{-} = − a_{n}$ si $a_{n} < 0 .$ (También, $a_{n}^{+} = 0 si a_{n} < 0$ y $a_{n}^{-} = 0 si a_{n} \geq 0 .)$ Si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces ni $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ ni $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ convergen.

292.

Supongamos que $a_{n}$ es una secuencia de números reales positivos y que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

Supongamos que $b_{n}$ es una secuencia arbitraria de unos y menos unos. ¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ converge necesariamente?

293.

Supongamos que $a_{n}$ es una secuencia tal que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ converge para cualquier secuencia posible $b_{n}$ de ceros y unos. ¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente?

Las siguientes series no satisfacen las hipótesis de la prueba de series alternadas, tal y como se indica.

En cada caso, indique cuál hipótesis no se satisface. Indique si la serie converge absolutamente.

294.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{{sen}^{2} n}{n}$

295.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{{cos}^{2} n}{n}$

296.

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ⋯$

297.

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + ⋯$

298.

Demuestre que la serie alternada $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ⋯$

no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple?

299.

Supongamos que $\sum a_{n}$ converge absolutamente. Demuestre que la serie formada por los términos positivos $a_{n}$ también converge.

300.

Demuestre que la serie alternada $\frac{2}{3} - \frac{3}{5} + \frac{4}{7} - \frac{5}{9} + ⋯$ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple?

301.

La fórmula $cos θ = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{θ^{6}}{6!} + ⋯$ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ para hallar un límite para el error de estimación $cos θ$ por la quinta suma parcial $1 - θ^{2} / 2! + θ^{4} / 4! − θ^{6} / 6! + θ^{8} / 8!$ para $θ = 1,$ $θ = π / 6,$ y $θ = π .$

302.

La fórmula $sen θ = θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{7}}{7!} + ⋯$ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto $| R_{N} | \leq b_{N + 1}$ para hallar un límite para el error de estimación $sen θ$ por la quinta suma parcial $θ - θ^{3} / 3! + θ^{5} / 5! − θ^{7} / 7! + θ^{9} / 9!$ para $θ = 1,$ $θ = π / 6,$ y $θ = π .$

303.

¿Cuántos términos en $cos θ = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{θ^{6}}{6!} + ⋯$ son necesarios para aproximar $cos 1$ con un error máximo de $0,00001 ?$

304.

¿Cuántos términos en $sen θ = θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{7}}{7!} + ⋯$ son necesarios para aproximar $sen 1$ con un error máximo de $0,00001 ?$

305.

A veces la serie alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} b_{n}$ converge a una determinada fracción de una serie absolutamente convergente $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ a una tasa más rápida. Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6},$ calcule $12 = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + ⋯ .$ ¿Cuál de las series $6 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ y $S \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n^{2}}$ ofrece una mejor estimación de $π^{2}$ utilizando $1.000$ términos?

Las siguientes series alternadas convergen a múltiplos determinados de $π .$ Halle el valor de $N$ que se predice mediante la estimación del resto, de manera que la $ené simo$ suma parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo dentro del error dado. Halle el $N$ mínimo para los que el límite de error se mantiene e indique el valor aproximado deseado en cada caso. Hasta $15$ decimales, $π = 3,141592653589793 … .$

306.

[T] $\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{2 n + 1},$ error $< 0,0001$

307.

[T] $\frac{π}{\sqrt{12}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(−3)}^{− k}}{2 k + 1},$ error $< 0,0001$

308.

[T] La serie $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{sen (x + π n)}{x + π n}$ desempeña un papel importante en el procesamiento de señales. Demuestre que $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{sen (x + π n)}{x + π n}$ converge siempre que $0 < x < π .$ (Pista: utilice la fórmula del seno de una suma de ángulos).

309.

[T] Si $\sum_{n = 1}^{N} {(–1)}^{n - 1} \frac{1}{n} \to ln 2,$ ¿qué es $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + ⋯ ?$

310.

[T] Grafique la serie $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n}$ para $0 \leq x < 1 .$ Explique por qué $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n}$ diverge cuando $x = 0, 1 .$ ¿Cómo se comporta la serie para otros $x ?$

311.

[T] Grafique la serie $\sum_{n = 1}^{100} \frac{sen (2 π n x)}{n}$ para $0 \leq x < 1$ y comente su comportamiento

312.

[T] Grafique la serie $\sum_{n = 1}^{100} \frac{cos (2 π n x)}{n^{2}}$ para $0 \leq x < 1$ y describa su gráfico.

313.

[T] La serie armónica alternada converge debido a la cancelación entre sus términos. Su suma se conoce porque la cancelación puede describirse de manera explícita. Una serie armónica aleatoria es una de la forma $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{S_{n}}{n},$ donde $s_{n}$ es una secuencia generada aleatoriamente de $\pm 1's$ en la que los valores $\pm 1$ son igualmente probables. Utilice un generador de números aleatorios para producir $1.000$ aleatorio $\pm 1 s$ y grafique las sumas parciales $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{s_{n}}{n}$ de su secuencia armónica aleatoria para $N = 1$ a $1.000 .$ Compare con un gráfico de las primeras $1.000$ sumas parciales de la serie armónica.

314.

[T] Las estimaciones de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ se pueden acelerar escribiendo sus sumas parciales como $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n (n + 1)} + \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^{2} (n + 1)}$ y recordando que $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n (n + 1)} = 1 - \frac{1}{N + 1}$ converge a uno cuando $N \to \infty .$ Compare la estimación de $π^{2} / 6$ utilizando las sumas $\sum_{n = 1}^{1.000} \frac{1}{n^{2}}$ con la estimación utilizando $1 + \sum_{n = 1}^{1.000} \frac{1}{n^{2} (n + 1)} .$

315.

[T] La transformada de Euler reescribe $S = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n}$ como $S = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} 2^{− n - 1} \sum_{m = 0, 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) b_{n - m} .$ Para la serie armónica alternada, toma la forma $ln (2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} .$ Calcule las sumas parciales de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}$ hasta que se aproximen $ln (2)$ con una precisión de $0,0001 .$ ¿Cuántos términos se necesitan? Compare esta respuesta con el número de términos de la serie armónica alternada que son necesarios para estimar $ln (2) .$

316.

[T] En el texto se dijo que una serie convergente condicionalmente se puede reordenar para converger a cualquier número. A continuación, presentamos un hecho algo más sencillo, pero similar. Si $a_{n} \geq 0$ es tal que $a_{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty$ pero $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge, entonces, dado cualquier número $A$ hay una secuencia $s_{n}$ de $\pm 1's$ tal que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} s_{n} \to A .$ Muestre esto para $A > 0$ de la siguiente forma.

Defina de manera repetida $s_{n}$ por $s_{n} = 1$ si $S_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k} s_{k} < A$ y $s_{n} = −1$ por lo contrario.
Explique por qué eventualmente $S_{n} \geq A,$ y para cualquier $m$ mayor que este $n,$ $A - a_{m} \leq S_{m} \leq A + a_{m} .$
Explique por qué esto implica que $S_{n} \to A$ a medida que $n \to \infty .$

5.5 Series alternadas

La prueba de las series alternadas

Prueba

Prueba de series alternadas

Convergencia de las series alternadas

Solución

Resto de una serie alternada

Resto de series alternadas

Estimación del resto de una serie alternada

Solución

Convergencia absoluta y condicional

La convergencia absoluta implica convergencia

Prueba

Convergencia absoluta y condicional

Solución

Reorganización de la serie

Solución

Sección 5.5 ejercicios