Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.6.1 Utilizar el criterio del cociente para determinar la convergencia absoluta de una serie.
5.6.2 Utilizar el criterio de la raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
5.6.3 Describir una estrategia para comprobar la convergencia de una serie dada.

En esta sección, demostramos las dos últimas pruebas de convergencia de las series: el criterio del cociente y el criterio de la raíz. Estas pruebas son especialmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. El criterio del cociente será especialmente útil en la discusión de las series de potencias en el próximo capítulo.

A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia utilizar para una serie determinada.

Criterio del cociente

Considere una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0$ no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos $a_{n} \to 0,$ sino que necesitamos $a_{n} \to 0$ lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ y la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Sabemos que $1 / n \to 0$ y $1 / n^{2} \to 0 .$ Sin embargo, solo la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ converge. La serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ diverge porque los términos de la secuencia ${1 / n}$ no se acercan a cero lo suficientemente rápido a medida que $n \to \infty .$ Aquí introducimos el criterio del cociente, que proporciona una forma de medir la rapidez con la que los términos de una serie se acercan a cero.

Teorema 5.16

Criterio del cociente

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie con términos distintos de cero. Supongamos que

ρ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | .

Si los valores de $0 \leq ρ < 1,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente.
Si los valores de $ρ > 1$ o $ρ = \infty,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.
Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no proporciona ninguna información.

Prueba

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie con términos distintos de cero.

Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso, $ρ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1 .$ Dado que $0 \leq ρ < 1,$ existe $R$ tal que $0 \leq ρ < R < 1 .$ Supongamos que $ε = R - ρ > 0 .$ Por la definición de límite de una secuencia, existe algún número entero $N$ tal que

| | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | - ρ | < ε para todo n \geq N .

Por lo tanto,

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < ρ + ε = R para todo n \geq N

y, por lo tanto,

\begin{array}{l} | a_{N + 1} | < R | a_{N} | \\ | a_{N + 2} | < R | a_{N + 1} | < R^{2} | a_{N} | \\ | a_{N + 3} | < R | a_{N + 2} | < R^{2} | a_{N + 1} | < R^{3} | a_{N} | \\ | a_{N + 4} | < R | a_{N + 3} | < R^{2} | a_{N + 2} | < R^{3} | a_{N + 1} | < R^{4} | a_{N} | \\ ⋮ . \end{array}

Dado que $R < 1,$ la serie geométrica

R | a_{N} | + R^{2} | a_{N} | + R^{3} | a_{N} | + ⋯

converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + | a_{N + 4} | + ⋯

converge. Por lo tanto, ya que

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | = \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} | + \sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |

donde $\sum_{n = 1}^{N} | a_{n} |$ es una suma finita y $\sum_{n = N + 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, concluimos que $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge.

Para la parte ii.

ρ = \underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | > 1 .

Dado que $ρ > 1,$ existe $R$ tal que $ρ > R > 1 .$ Supongamos que $ε = ρ - R > 0 .$ Por la definición de límite de una secuencia, existe un número entero $N$ tal que

| | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | - ρ | < ε para todo n \geq N .

Por lo tanto,

R = ρ - ε < | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | para todo n \geq N,

y, por lo tanto,

\begin{array}{l} | a_{N + 1} | > R | a_{N} | \\ | a_{N + 2} | > R | a_{N + 1} | > R^{2} | a_{N} | \\ | a_{N + 3} | > R | a_{N + 2} | > R^{2} | a_{N + 1} | > R^{3} | a_{N} | \\ | a_{N + 4} | > R | a_{N + 3} | > R^{2} | a_{N + 2} | > R^{3} | a_{N + 1} | > R^{4} | a_{N} | . \end{array}

Dado que $R > 1,$ la serie geométrica

R | a_{N} | + R^{2} | a_{N} | + R^{3} | a_{N} | + ⋯

diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie

| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + ⋯

diverge, y por lo tanto la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ diverge.

Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si $ρ = 1$ considerando la $serie p$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p} .$ Para cualquier número real $p,$

ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1 / {(n + 1)}^{p}}{1 / n^{p}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{n^{p}}{{(n + 1)}^{p}} = 1 .

Sin embargo, sabemos que si $p \leq 1,$ la $serie p$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ diverge, mientras que $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ converge si $p > 1 .$

□

El criterio del cociente es particularmente útil para las series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde el cociente de los términos simplifica la expresión. El criterio del cociente es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información sobre la convergencia.

Ejemplo 5.23

Utilización del criterio del cociente

Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio del cociente para determinar si la serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} {(n!)}^{2}}{(2 n)!}$

Solución

A partir del criterio del cociente, podemos ver que

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{2^{n + 1} / (n + 1)!}{2^{n} / n!} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} . \frac{n!}{2^{n}} .$

Dado que $(n + 1)! = (n + 1) . n!,$

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{2}{n + 1} = 0 .$

Dado que $ρ < 1,$ la serie converge.
Podemos ver que

$\begin{matrix} ρ & = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{{(n + 1)}^{n + 1} / (n + 1)!}{n^{n} / n!} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)!} . \frac{n!}{n^{n}} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} {(\frac{n + 1}{n})}^{n} = \underset{n \to \infty}{lím} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e . \end{matrix}$

Dado que $ρ > 1,$ la serie diverge.
Dado que

$\begin{matrix} | \frac{{(–1)}^{n + 1} {((n + 1)!)}^{2} / (2 (n + 1))!}{{(–1)}^{n} {(n!)}^{2} / (2 n)!} | & = \frac{(n + 1)! (n + 1)!}{(2 n + 2)!} . \frac{(2 n)!}{n! n!} \\ = \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \end{matrix}$

vemos que

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{(n + 1) (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} = \frac{1}{4} .$

Dado que $ρ < 1,$ la serie converge.

Punto de control 5.21

Utilice el criterio del cociente para determinar si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}}$ converge o diverge.

Criterio de la raíz

El enfoque del criterio de la raíz es similar al del criterio del cociente. Considere una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ tal que $\underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{| a_{n} |} = ρ$ para algún número real $ρ .$ Entonces para $N$ suficientemente grande, $| a_{N} | \approx ρ^{N} .$ Por lo tanto, podemos aproximar $\sum_{n = N}^{\infty} | a_{n} |$ escribiendo

| a_{N} | + | a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + ⋯ \approx ρ^{N} + ρ^{N + 1} + ρ^{N + 2} + ⋯ .

La expresión del lado derecho es una serie geométrica. Al igual que en el criterio del cociente, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente si $0 \leq ρ < 1$ y la serie diverge si $ρ \geq 1 .$ Si $ρ = 1,$ la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p, $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p},$ vemos que

ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{| \frac{1}{n^{p}} |} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{p / n}} .

Para evaluar este límite, utilizamos la función del logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que

ln ρ = ln (\underset{n \to \infty}{lím} \frac{1}{n^{p / n}}) = \underset{n \to \infty}{lím} ln {(\frac{1}{n})}^{p / n} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{p}{n} . ln (\frac{1}{n}) = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{p ln (1 / n)}{n} .

Utilizando la regla de L'Hôpital, se deduce que $ln ρ = 0,$ y por lo tanto $ρ = 1$ para todo $p .$ Sin embargo, sabemos que la serie p solo converge si $p > 1$ y diverge si $p < 1 .$

Teorema 5.17

Criterio de la raíz

Considere la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Supongamos que

ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{| a_{n} |} .

Si los valores de $0 \leq ρ < 1,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente.
Si los valores de $ρ > 1$ o $ρ = \infty,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.
Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no proporciona ninguna información.

El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos incluyen exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos $a_{n}$ satisfacen $| a_{n} | = b_{n}^{n},$ entonces $\sqrt[n]{| a_{n} |} = b_{n}$ y solo tenemos que evaluar $\underset{n \to \infty}{lím} b_{n} .$

Ejemplo 5.24

Uso del criterio de la raíz

Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n^{2} + 3 n)}^{n}}{{(4 n^{2} + 5)}^{n}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{{(ln (n))}^{n}}$

Solución

Para aplicar el criterio de la raíz, calculamos

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{{(n^{2} + 3 n)}^{n} / {(4 n^{2} + 5)}^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{n^{2} + 3 n}{4 n^{2} + 5} = \frac{1}{4} .$

Dado que $ρ < 1,$ la serie converge absolutamente.
Tenemos

$ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{n^{n} / {(ln n)}^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{n}{ln n} = \infty por la regla de L'Hôpital .$

Dado que $ρ = \infty,$ la serie diverge.

Punto de control 5.22

Utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{n}$ converge o diverge.

Elegir una prueba de convergencia

En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas pueden utilizarse para todas las series. Ante una serie, debemos determinar qué prueba es mejor utilizar. He aquí una estrategia para encontrar la mejor prueba a aplicar.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Cómo elegir una prueba de convergencia para una serie

Considere una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ En los siguientes pasos, esbozamos una estrategia para determinar si la serie converge.

¿ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie conocida? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alternada (que converge)? ¿Es una $serie p$ o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia $p$ o el cociente $r$ para determinar si la serie converge.
¿Es una serie alternada? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa saber si la serie converge, aplique la prueba de series alternadas. Si estamos interesados en la convergencia absoluta, procedemos al paso $3,$ considerando la serie de valores absolutos $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | .$
¿Es la serie similar a una $serie p$ o a una serie geométrica? Si es así, intente la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites.
¿Los términos de la serie contienen un factorial o una potencia? Si los términos son potencias tales que $a_{n} = b_{n}^{n},$ intente primero el criterio del raíz. Si no es así, intente primero el criterio del cociente.
Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, intente la prueba de la integral.

Medios

Visite este sitio web para obtener más información sobre la comprobación de la convergencia de las series, además de información general sobre secuencias y series.

Ejemplo 5.25

Uso de las pruebas de convergencia

Para cada una de las siguientes series, determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué. A continuación, determine si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alternada, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1} (3 n + 1)}{n!}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

Solución

Paso 1. La serie no es una $serie p$ ni una serie geométrica.
Paso 2. La serie no es alternada.
Paso 3. Para valores grandes de $n,$ aproximamos la serie mediante la expresión

$\frac{n^{2} + 2 n}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} \approx \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n} .$

Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites utilizando la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$ Utilizando la prueba de comparación de límites, vemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{(n^{2} + 2 n) / (n^{3} + 3 n^{2} + 1)}{1 / n} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{n^{3} + 2 n^{2}}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} = 1 .$

Dado que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ diverge, esta serie también diverge.
Paso 1. La serie no es una serie conocida.
Paso 2. La serie es alternada. Como nos interesa la convergencia absoluta, considere la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n}{(n + 1)!} .$

Paso 3. La serie no es similar a una serie p ni a una serie geométrica.
Paso 4. Como cada término contiene un factorial, aplique el criterio del cociente. Vemos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{(3 (n + 1)) / (n + 1)!}{(3 n + 1) / n!} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{3 n + 3}{(n + 1)!} . \frac{n!}{3 n + 1} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{3 n + 3}{(n + 1) (3 n + 1)} = 0 .$

Por lo tanto, esta serie converge, y concluimos que la serie original converge absolutamente, y por lo tanto converge.
Paso 1. Esta serie no es una serie conocida.
Paso 2. No se trata de una serie alternada.
Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie.
Paso 4. No hay ningún factorial. Hay una potencia, pero no es una situación ideal para el criterio del cociente.
Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que

$\underset{n \to \infty}{lím} \frac{e^{n}}{n^{3}} = \infty .$

Por lo tanto, por la prueba de divergencia, la serie diverge.
Paso 1. Esta serie no es una serie conocida.
Paso 2. No se trata de una serie alternada.
Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie.
Paso 4. Como cada término es una potencia de $n,$ podemos aplicar el criterio del cociente. Dado que

$\underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{{(\frac{3}{n + 1})}^{n}} = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{3}{n + 1} = 0,$

por el criterio del cociente, concluimos que la serie converge.

Punto de control 5.23

Para la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n} + n},$ determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué.

En la Tabla 5.3, resumimos las pruebas de convergencia y cuándo puede aplicarse cada una de ellas. Observe que mientras la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba de la integral requieren que la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ tenga términos no negativos, si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ tiene términos negativos, estas pruebas pueden aplicarse a $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ para comprobar la convergencia absoluta.

Serie o prueba	Conclusiones	Comentarios
Prueba de divergencia Para cualquier serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ evalúe $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} .$	Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} = 0,$ la prueba no es concluyente.	Esta prueba no puede demostrar la convergencia de una serie.
	Si los valores de $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} \neq 0,$ la serie diverge.
Serie geométrica $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$	Si $\| r \| < 1,$ la serie converge a $a / (1 - r) .$	Se puede cambiar el índice de cualquier serie geométrica para escribirla en la forma $a + a r + a r^{2} + ⋯,$ donde $a$ es el término inicial y $r$ es el cociente.
Serie geométrica $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$	Si los valores de $\| r \| \geq 1,$ la serie diverge.
Serie p $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$	Si $p > 1,$ la serie converge.	Para $p = 1,$ tenemos la serie armónica $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n .$
Serie p $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$	Si $p \leq 1,$ la serie diverge.
Prueba de comparación Para $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos no negativos, compare con una serie conocida $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$	Si los valores de $a_{n} \leq b_{n}$ para todo $n \geq N$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.	Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie $p$ . A veces puede ser difícil encontrar una serie adecuada.
	Si los valores de $a_{n} \geq b_{n}$ para todo $n \geq N$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.
Prueba de comparación de límites Para $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos positivos, compare con una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ evaluando $L = \underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{n}}{b_{n}} .$	Si los valores de $L$ es un número real y $L \neq 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ ambas convergen o ambas divergen.	Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie $p$ . A menudo es más fácil de aplicar que la prueba de comparación.
	Si los valores de $L = 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.
	Si los valores de $L = \infty$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge.
Prueba de la integral Si existe una función positiva, continua y decreciente $f$ tal que $a_{n} = f (n)$ para todo $n \geq N,$ evalúe $\int_{N}^{\infty} f (x) d x .$	$\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ambas convergen o ambas divergen.	Limitado a aquellas series para las que la función correspondiente $f$ puede integrarse fácilmente.
Series alternadas $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n} o \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n}$	Si $b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todo $n \geq 1$ como de $b_{n} \to 0,$ entonces la serie converge.	Solo se aplica a las series alternadas.
Criterio del cociente Para cualquier serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos distintos de cero, supongamos que $ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \| .$	Si los valores de $0 \leq ρ < 1,$ la serie converge absolutamente.	A menudo se utiliza para series que implican factoriales o exponenciales.
	Si los valores de $ρ > 1 o ρ = \infty,$ la serie diverge.
	Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no es concluyente.
Criterio de la raíz Para cualquier serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ supongamos que $ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{\| a_{n} \|} .$	Si los valores de $0 \leq ρ < 1,$ la serie converge absolutamente.	A menudo se utiliza para series en las que $\| a_{n} \| = b_{n}^{n} .$
	Si los valores de $ρ > 1 o ρ = \infty,$ la serie diverge.
	Si los valores de $ρ = 1,$ la prueba no es concluyente.

Tabla 5.3 Resumen de las pruebas de convergencia

Proyecto de estudiante

Serie que converge a $π$ y $1 / π$

Existen decenas de series que convergen a $π$ o una expresión algebraica que contenga $π .$ Aquí vemos varios ejemplos y comparamos sus órdenes de convergencia. Por orden de convergencia se entiende el número de términos necesarios para que una suma parcial se sitúe dentro de una determinada cantidad del valor real. Las representaciones en serie de $π$ en los dos primeros ejemplos puede explicarse utilizando las series de Maclaurin, que se analizan en el siguiente capítulo. El tercer ejemplo se basa en material que va más allá del alcance de este texto.

La serie

$π = 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1}}{2 n - 1} = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - ⋯$

fue descubierta por Gregory y Leibniz a finales de 1.600II.1.600II. Este resultado se desprende de la serie de Maclaurin para f(x)=tan−1x.f(x)=tan−1x. Hablaremos de esta serie en el próximo capítulo.
1. Demuestre que esta serie converge.
2. Evalúe las sumas parciales $S_{n}$ para $n = 10, 20, 50, 100 .$
3. Utilice la estimación del resto de las series alternadas para obtener un límite en el error $R_{n} .$
4. ¿Cuál es el valor más pequeño de $N$ que garantiza $| R_{N} | < 0,01 ?$ Evalúe $S_{N} .$
La serie

$\begin{matrix} π & = 6 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{2^{4 n + 1} {(n!)}^{2} (2 n + 1)} \\ = 6 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1.3}{2.4.5} . {(\frac{1}{2})}^{5} + \frac{1.3.5}{2.4.6.7} {(\frac{1}{2})}^{7} + ⋯) \end{matrix}$

se ha atribuido a Newton a finales del siglo XVII.XVII. La prueba de este resultado utiliza la serie de Maclaurin para f(x)=sen−1x.f(x)=sen−1x.
1. Demuestra que la serie converge.
2. Evalúe las sumas parciales $S_{n}$ para $n = 5, 10, 20 .$
3. Compare $S_{n}$ a $π$ para $n = 5, 10, 20$ y discuta el número de decimales correctos.
La serie

$\frac{1}{π} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)! (1.103 + 26390 n)}{{(n!)}^{4} 396^{4 n}}$

fue descubierta por Ramanujan a principios del siglo 1900X.1900X. William Gosper, Jr., utilizó esta serie para calcular ππ con una exactitud de más de 1717 millones de dígitos a mediados de1980.a mediados de1980. En ese momento, eso era un récord mundial. Desde entonces, esta serie y otras de Ramanujan han llevado a los matemáticos a encontrar muchas otras representaciones en serie para ππ y 1/π.1/π.
1. Demuestre que esta serie converge.
2. Evalúe el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de $π$ en una herramienta de cálculo. ¿Con cuántos decimales coinciden estos dos números? ¿Y si sumamos los dos primeros términos de la serie?
3. Investigue sobre la vida de Srinivasa Ramanujan $(1887 − 1920)$ y escriba un breve resumen. Ramanujan es una de las historias más fascinantes de la historia de las matemáticas. Fue básicamente autodidacta, sin educación formal en matemáticas, y sin embargo contribuyó de forma muy original a muchas áreas avanzadas de las matemáticas.

Sección 5.6 ejercicios

Utilice el criterio del cociente para determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, donde $a_{n}$ en los siguientes problemas. Indique si el criterio del cociente no es concluyente.

317.

$a_{n} = 1 / n!$

318.

$a_{n} = 10^{n} / n!$

319.

$a_{n} = n^{2} / 2^{n}$

320.

$a_{n} = n^{10} / 2^{n}$

321.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

322.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{3 n} {(n!)}^{3}}{(3 n)!}$

323.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{2 n}}$

324.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(2 n)}^{n}}$

325.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{{(n / e)}^{n}}$

326.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{{(n / e)}^{2 n}}$

327.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(2^{n} n!)}^{2}}{{(2 n)}^{2 n}}$

Utilice el criterio de la raíz para determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, donde $a_{n}$ es el siguiente.

328.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$

329.

$a_{k} = {(\frac{2 k^{2} - 1}{k^{2} + 3})}^{k}$

330.

$a_{n} = \frac{{(ln n)}^{2 n}}{n^{n}}$

331.

$a_{n} = n / 2^{n}$

332.

$a_{n} = n / e^{n}$

333.

$a_{k} = \frac{k^{e}}{e^{k}}$

334.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$

335.

$a_{n} = {(\frac{1}{e} + \frac{1}{n})}^{n}$

336.

$a_{k} = \frac{1}{{(1 + ln k)}^{k}}$

337.

$a_{n} = \frac{{(ln (1 + ln n))}^{n}}{{(ln n)}^{n}}$

En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente o el criterio de la raíz, según corresponda, para determinar si la serie $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ con términos dados $a_{k}$ converge, o bien indique si la prueba no es concluyente.

338.

$a_{k} = \frac{k!}{1.3.5 ⋯ (2 k - 1)}$ grandes.

339.

$a_{k} = \frac{2.4.6 ⋯ 2 k}{(2 k)!}$

340.

$a_{k} = \frac{1.4.7 ⋯ (3 k - 2)}{3^{k} k!}$

341.

$a_{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n^{2}}$

342.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{2 k})}^{k}$ (Pista: Compare $a_{k}^{1 / k}$ a $\int_{k}^{2 k} \frac{d t}{t} .)$ grandes.

343.

$a_{k} = {(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ⋯ + \frac{1}{3 k})}^{k}$

344.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$

Utilice el criterio del cociente para determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, o bien indique si el criterio del cociente no es concluyente.

345.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n^{2}}}{2^{n^{3}}}$

346.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n^{n} n!}$

Utilice el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites para determinar si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge.

347.

$a_{n} = 1 / x_{n}^{n}$ donde $x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} + \frac{1}{x_{n}},$ $x_{1} = 1$ (Pista: Calcule el límite de ${x_{n}} .)$

En los siguientes ejercicios, utilice una prueba adecuada para determinar si la serie converge.

348.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1)}{n^{3} + n^{2} + n + 1}$

349.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n + 1} (n + 1)}{n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1}$

350.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{3} + {(1,1)}^{n}}$

351.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n - 1)}^{n}}{{(n + 1)}^{n}}$

352.

$a_{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n}$ (Pista: ${(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}} \approx e .)$ grandes.

353.

$a_{k} = 1 / 2^{{sen}^{2} k}$

354.

$a_{k} = 2^{− sen (1 / k)}$ grandes.

355.

$a_{n} = 1 / (\begin{matrix} n + 2 \\ n \end{matrix})$ donde $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

356.

$a_{k} = 1 / (\begin{array}{l} 2 k \\ k \end{array})$ grandes.

357.

$a_{k} = 2^{k} / (\begin{array}{l} 3 k \\ k \end{array})$ grandes.

358.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{k}$ (Pista: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k} \approx e^{− ln k} .)$ grandes.

359.

$a_{k} = {(\frac{k}{k + ln k})}^{2 k}$ (Pista: $a_{k} = {(1 + \frac{ln k}{k})}^{− (k / ln k) ln k^{2}} .)$ grandes.

Las siguientes series convergen por el criterio del cociente. Utilice la suma por partes, $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) = [a_{n + 1} b_{n + 1} - a_{1} b_{1}] - \sum_{k = 1}^{n} b_{k + 1} (a_{k + 1} - a_{k}),$ para calcular la suma de la serie dada.

360.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}}$ (Pista: Tome $a_{k} = k$ y $b_{k} = 2^{1 - k} .)$ grandes.

361.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{c^{k}},$ donde $c > 1$ (Pista: Tome $a_{k} = k$ y $b_{k} = c^{1 - k} / (c - 1) .)$

362.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$

363.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{2^{n}}$

El k−ésimo término de cada una de las siguientes series tiene un factor $x^{k} .$ Calcule el rango de $x$ para los que el criterio del cociente implica que la serie converge.

364.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}$

365.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{k^{2}}$

366.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{3^{k}}$

367.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$

368.

¿Existe un número $p$ tal que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{p}}$ converja?

369.

Supongamos que $0 < r < 1 .$ ¿Para qué números reales $p$ $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{p} r^{n}$ converge?

370.

Supongamos que $\underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ ¿Para cuáles valores de $p$ debe $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} a_{n}$ converger?

371.

Supongamos que $\underset{n \to \infty}{lím} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = p .$ ¿Para cuáles valores de $r > 0$ se garantiza la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{n} a_{n}$ ?

372.

Supongamos que $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq {(n + 1)}^{p}$ para todo $n = 1, 2,…$ donde $p$ es un número real fijo. ¿Para qué valores de $p$ se garantiza la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} n! a_{n}$ ?

373.

¿Para qué valores de $r > 0,$ si es que los hay, $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{\sqrt{n}}$ converge? (Pista: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = k^{2}}^{{(k + 1)}^{2} - 1} a_{n} .)$ grandes.

374.

Supongamos que $| \frac{a_{n + 2}}{a_{n}} | \leq r < 1$ para todo $n .$ ¿Puede concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge?

375.

Supongamos que $a_{n} = 2^{− [n / 2]}$ donde $[x]$ es el mayor número entero menor o igual a $x .$ Determine si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge y justifique su respuesta.

Los siguientes ejercicios avanzados utilizan un criterio del cociente generalizado para determinar la convergencia de algunas series que surgen en aplicaciones particulares cuando las pruebas de este capítulo, incluso los criterios del cociente y la raíz, no son lo suficientemente convincentes para determinar su convergencia. La prueba establece que si $\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{2 n}}{a_{n}} < 1 / 2,$ entonces $\sum a_{n}$ converge, mientras que si $\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{2 n + 1}}{a_{n}} > 1 / 2,$ entonces $\sum a_{n}$ diverge.

376.

Supongamos que $a_{n} = \frac{1}{4} \frac{3}{6} \frac{5}{8} ⋯ \frac{2 n - 1}{2 n + 2} = \frac{1.3.5 \dots (2 n - 1)}{2^{n} (n + 1)!} .$ Explique por qué el criterio del cociente no puede determinar la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Utilice el hecho de que $1 - 1 / (4 k)$ está aumentando $k$ para estimar $\underset{n \to \infty}{lím} \frac{a_{2 n}}{a_{n}} .$

377.

Supongamos que $a_{n} = \frac{1}{1 + x} \frac{2}{2 + x} ⋯ \frac{n}{n + x} \frac{1}{n} = \frac{(n - 1)!}{(1 + x) (2 + x) ⋯ (n + x)} .$ Demuestre que $a_{2 n} / a_{n} \leq e^{– x / 2} / 2 .$ ¿Para cuál $x > 0$ el criterio del cociente generalizado implica la convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ?$ (Pista: Escriba $2 a_{2 n} / a_{n}$ como producto de $n$ factores cada vez más pequeños que $1 / (1 + x / (2 n)) .)$ grandes.

378.

Supongamos que $a_{n} = \frac{n^{ln n}}{{(ln n)}^{n}} .$ Demuestre que $\frac{a_{2 n}}{a_{n}} \to 0$ a medida que $n \to \infty .$

5.6 Criterios del cociente y la raíz

Criterio del cociente

Criterio del cociente

Prueba

Utilización del criterio del cociente

Solución

Criterio de la raíz

Criterio de la raíz

Uso del criterio de la raíz

Solución

Elegir una prueba de convergencia

Estrategia para la resolución de problemas: Cómo elegir una prueba de convergencia para una serie

Uso de las pruebas de convergencia

Solución

Serie que converge a ππ y 1/π1/π

Sección 5.6 ejercicios

Serie que converge a $π$ y $1 / π$