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Cálculo volumen 2

Términos clave

Cálculo volumen 2Términos clave

Términos clave

convergencia absoluta
si la serie n=1|an|n=1|an| converge, la serie n=1ann=1an se dice que converge absolutamente
convergencia condicional
si la serie n=1ann=1an converge, pero la serie n=1|an|n=1|an| diverge, la serie n=1ann=1an se dice que converge condicionalmente
convergencia de una serie
una serie converge si la secuencia de sumas parciales de esa serie converge
criterio de la raíz
para una serie n=1an,n=1an, supongamos que ρ=límn|an|n;ρ=límn|an|n; si 0ρ<1,0ρ<1, la serie converge absolutamente; si ρ>1,ρ>1, la serie diverge; si ρ=1,ρ=1, la prueba no es concluyente
criterio del cociente
para una serie n=1ann=1an con términos distintos de cero, supongamos que ρ=límn|an+1/an|;ρ=límn|an+1/an|; si 0ρ<1,0ρ<1, la serie converge absolutamente; si ρ>1,ρ>1, la serie diverge; si ρ=1,ρ=1, la prueba no es concluyente
delimitada por debajo
una secuencia {an}{an} está delimitada por debajo si existe una constante MM tal que ManMan para todos los enteros positivos nn
delimitada por encima de
una secuencia {an}{an} está delimitada por encima si existe una constante MM tal que anManM para todos los enteros positivos nn
divergencia de una serie
una serie diverge si la secuencia de sumas parciales de esa serie diverge
estimación del resto
para una serie n=1ann=1an con términos positivos anan y una función continua y decreciente ff tal que f(n)=anf(n)=an para todos los enteros positivos n,n, el resto RN=n=1ann=1NanRN=n=1ann=1Nan satisface la siguiente estimación:
N+1f(x)dx<RN<Nf(x)dxN+1f(x)dx<RN<Nf(x)dx
fórmula explícita
una secuencia puede ser definida por una fórmula explícita tal que an=f(n)an=f(n)
límite de una secuencia
el número real LL a la que converge una secuencia se llama límite de la secuencia
prueba de comparación
si 0anbn0anbn para todo nNnN y n=1bnn=1bn converge, entonces n=1ann=1an converge; si anbn0anbn0 para todo nNnN y n=1bnn=1bn diverge, entonces n=1ann=1an diverge
prueba de comparación de límites
supongamos que an,bn0an,bn0 para todo n1.n1. Si límnan/bnL0,límnan/bnL0, entonces n=1ann=1an y n=1bnn=1bn ambas convergen o ambas divergen; si límnan/bn0límnan/bn0 y n=1bnn=1bn converge, entonces n=1ann=1an converge. Si límnan/bn,límnan/bn, y n=1bnn=1bn diverge, entonces n=1ann=1an diverge
prueba de divergencia
si límnan0,límnan0, entonces la serie n=1ann=1an diverge
prueba de la integral
para una serie n=1ann=1an con términos positivos an,an, si existe una función continua y decreciente ff tal que f(n)=anf(n)=an para todos los enteros positivos n,n, entonces
n=1any1f(x)dxn=1any1f(x)dx

ambas convergen o ambas divergen
prueba de series alternadas
para una serie alternada de cualquier forma, si bn+1bnbn+1bn para todos los enteros n1n1 como de bn0,bn0, entonces una serie alternada converge
relación de recurrencia
una relación de recurrencia es una relación en la que un término anan en una secuencia se define en términos de términos anteriores en la secuencia
secuencia
una lista ordenada de números de la forma a1,a2 ,a3,…a1,a2 ,a3,… es una secuencia
secuencia aritmética
una secuencia en la que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma, se llama secuencia aritmética
secuencia convergente
una secuencia convergente es una secuencia {an}{an} para la que existe un número real LL tal que anan está arbitrariamente cerca de LL siempre y cuando nn es lo suficientemente grande
secuencia delimitada
una secuencia {an}{an} está delimitada si existe una constante MM tal que |an|M|an|M para todos los enteros positivos nn
secuencia divergente
una secuencia que no es convergente, es divergente
secuencia geométrica
una secuencia {an}{an}, en la que la relación an+1/anan+1/an es la misma para todos los enteros positivos, nn se llama secuencia geométrica
secuencia monótona
una secuencia creciente o decreciente
secuencia no delimitada
una secuencia que no está delimitada se llama no delimitada
serie armónica
la serie armónica toma la forma
n=11n=1+12 +13+n=11n=1+12 +13+
serie geométrica
una serie geométrica es una serie que se puede escribir de la forma
n=1arn1=a+ar+ar2 +ar3+n=1arn1=a+ar+ar2 +ar3+
serie infinita
una serie infinita es una expresión de la forma
a1+a2 +a3+=n=1ana1+a2 +a3+=n=1an
serie p
una serie de la forma n=11/npn=11/np
serie telescópica
una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales
series alternadas
una serie de la forma n=1(–1)n+1bnn=1(–1)n+1bn o n=1(–1)nbn,n=1(–1)nbn, donde bn0,bn0, se denomina serie alternada
suma parcial
la k−ésimak−ésima suma parcial de la serie infinita n=1ann=1an es la suma finita
Sk=n=1kan=a1+a2 +a3++akSk=n=1kan=a1+a2 +a3++ak
término
el número anan en la secuencia {an}{an} se llama el enésimoenésimo término de la secuencia
variable de índice
el subíndice utilizado para definir los términos de una secuencia se llama índice
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