Capítulo 4

$5$

$y=2x^2+3x+2$

$y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-6e^x+14$

$v(t)=\mathrm{-9,8}t$

Las soluciones de equilibrio son $y=\mathrm{-2}$ y $y=2.$ Para esta ecuación, $y=\mathrm{-2}$ es una solución de equilibrio inestable, e $y=2$ es una solución de equilibrio semiestable.

$y=2+C{e}^{x^2+3x}$

$y=\frac{4+14e^{x^2+x}}{1-7e^{x^2+x}}$

Problema de valor inicial:

$\frac{du}{dt}=\mathrm{2,4}-\frac{2u}{25},u\left(0\right)=3$

$\text{Solución:}u\left(t\right)=30-27e^{\text{−}t\text{/}50}$

1. Problema del valor inicial
   $\frac{dT}{dt}=k\left(T-70\right),T\left(0\right)=450$
2. $T\left(t\right)=70+380e^{kt}$
3. Aproximadamente $114$ minutos.

1. $\frac{dP}{dt}=\mathrm{0,04}\left(1–\frac{P}{750}\right),P(0)=200$

2. 
   

   

3. $P\left(t\right)=\frac{3.000e^{\mathrm{0,04}t}}{11+4e^{\mathrm{0,04}t}}$

4. Después de $12$ meses, la población será $P(12)\approx 278$ conejos.

$y\prime +\frac{15}{x+3}y=\frac{10x-20}{x+3};p\left(x\right)=\frac{15}{x+3}$ y $q\left(x\right)=\frac{10x-20}{x+3}$

$y=\frac{x^3+x^2+C}{x-2}$

$y=–2x–\frac{5}{2}+\frac{1}{2}{e}^{2x}$

1. $\begin{array}{ccc}\hfill \frac{dv}{dt}& =\hfill & \text{−}v-\mathrm{9,8}\hfill \\ \hfill v\left(0\right)& =\hfill & 0\hfill \end{array}$
2. $v\left(t\right)=\mathrm{9,8}\left(e^{\text{−}t}-1\right)$ grandes.
3. $\underset{t\to \infty }{\text{lím}}v\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\text{lím}}\left(\mathrm{9,8}\left(e^{\text{−}t}-1\right)\right)=\mathrm{-9,8}\text{m/s}\approx -\mathrm{21,922}\text{mph}$

Problema de valor inicial:

$8q^{\prime }+\frac{1}{\mathrm{0,02}}q=20\text{sen}5t,q\left(0\right)=4$

$q\left(t\right)=\frac{10\text{sen}5t-8\text{cos}5t+172e^{\mathrm{-6,25}t}}{41}$

$1$

$3$

$1$

$1$

$y=4+\frac{3x^4}{4}$

$y=\frac{1}{2}{e}^{x^2}$

$y=2e^{\text{−}1\text{/}x}$

$u={\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\left(e^{\mathrm{-1}+t}\right)$

$y=-\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1-x}}–1$

$y=C-x+x\text{ln}x-\text{ln}(\text{cos}x)$ grandes.

$y=C+\frac{4^x}{\text{ln}(4)}$ grandes.

$y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\left(t^2+16\right)+C$

$x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\left(3t^2+4t-32\right)+C$

$y=Cx$

$y=1-\frac{t^2}{2},y=-\frac{t^2}{2}–1$

$y=e^{\text{−}t},y=\text{−}{e}^{\text{−}t}$

$y=2\left(t^2+5\right),t=3\sqrt{5}$

$y=10e^{\mathrm{-2}t},t=-\frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{1}{10}\right)$ grandes.

$y=\frac{1}{4}\left(41-e^{\mathrm{-4}t}\right),$ nunca

La solución cambia de creciente a decreciente en $y(0)=0$

La solución cambia de creciente a decreciente en $y(0)=0$

$v(t)=\mathrm{-32}t+a$

$0$ ft/s.

$\mathrm{4,86}$ metros

$x=50t-\frac{15}{{\pi }^2}\text{cos}(\pi t)+\frac{3}{{\pi }^2},2$ horas $1$ minuto

$y=4e^{3t}$

$y=3-2t+t^2$

$y=\frac{1}{k}\left(e^{kt}-1\right)$ y de $y=x$

$y=0$ es un equilibrio estable

$y=0$ es un equilibrio estable y $y=2$ es inestable

E

A

B

A

C

$\mathrm{2,24},$ exacta: $3$

$\mathrm{7,739364},$ exacta: $5(e-1)$ grandes.

$\mathrm{-0,2535}$ exacta: $0$

$\mathrm{1,345},$ exacta: $\frac{1}{\text{ln}(2)}$ grandes.

$\mathrm{-4},$ exacta: $\text{−}1\text{/}2$

$y\prime =2e^{t^2\text{/}2}$

$2$

$\mathrm{3,2756}$

$2\sqrt{e}$

$\mathrm{4,0741}{e}^{\mathrm{-10}}$

$y=e^t-1$

$y=1-C{e}^{\text{−}t}$

$y=Cx{e}^{\mathrm{-1}\text{/}x}$

$y=\frac{1}{C-x^2}$

$y=-\frac{2}{C+\text{ln}x}$

$y=C{e}^x\left(x+1\right)+1$

$y=\text{sen}\left(\text{ln}t+C\right)$ grandes.

$y=\text{−}\text{ln}(e^{\text{–}x})$ grandes.

$y=\frac{1}{\sqrt{2-e^{x^2}}}$

$y={\text{tanh}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x^2}{2}\right)$ grandes.

$x=\text{sen}\left(1–t+t\text{ln}t\right)$ grandes.

$y=\text{ln}(\text{ln}(5))-\text{ln}(2-5^x)$ grandes.

$y=C{e}^{\mathrm{-2}x}+\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{C-e^x}}$

$y=C{e}^{\text{–}x}{x}^x$

$y=\frac{r}{d}\left(1-e^{\text{−}dt}\right)$

$y(t)=10-9e^{\text{–}x\text{/}50}$

$\mathrm{134,3}$ kilogramos

$720$ segundos

$24$ horas $57$ minutos

$T(t)=20+50e^{\mathrm{-0,125}t}$

$T(t)=20+\mathrm{38,5}{e}^{\mathrm{-0,125}t}$

$y=\left(c+\frac{b}{a}\right)e^{ax}-\frac{b}{a}$

$y(t)=cL+(I-cL)e^{\text{−}rt\text{/}L}$

$y=40\left(1-e^{\mathrm{-0,1}t}\right),40$ g/cm²

$P=0$ semiestable

$P=\frac{10e^{10x}}{e^{10x}+4}$

$P\left(t\right)=\frac{10.000e^{\mathrm{0,02}t}}{150+50e^{\mathrm{0,02}t}}$

$69$ horas $5$ minutos

$8$ años $11$ meses

$P_1$ semiestable

$P_2>0$ estable

$P_1=0$ es semiestable

$y=\frac{\mathrm{-20}}{4\times {10}^{\mathrm{-6}}-\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,01}t}}$

$P\left(t\right)=\frac{850+500e^{\mathrm{0,009}t}}{85+5e^{\mathrm{0,009}t}}$

$13$ años meses

$\mathrm{31,465}$ días

Septiembre de $2008$

$\frac{K+T}{2}$

$r=\mathrm{0,0405}$

$\alpha =\mathrm{0,0081}$

Logística: $361,$ Umbral: $436,$ Gompertz: $309.$

Sí

Sí

$y\prime -x^{3}y=\text{sen}x$

$y\prime +\frac{\left(3x+2\right)}{x}y=\text{−}{e}^x$

$\frac{dy}{dt}-yx\left(x+1\right)=0$

$e^x$

$\text{−}\text{ln}\left(\text{cosh}x\right)$ grandes.

$y=C{e}^{3x}-\frac{2}{3}$

$y=C{x}^3+6x^2$

$y=C{e}^{x^2\text{/}2}-3$

$y=C\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)-2x+4\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right)\text{ln}\left(\text{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\right)$ grandes.

$y=C{x}^3-x^2$

$y=C{(x+2)}^2+\frac{1}{2}$

$y=\frac{C}{\sqrt{x}}+2\text{sen}(3t)$

$y=C{(x+1)}^3-x^2-2x–1$

$y=C{e}^{{\text{senoh}}^{\mathrm{-1}}x}-2$

$y=x+4e^x–1$

$y=-\frac{3x}{2}\left(x^2–1\right)$ grandes.

$y=1-e^{{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}x}$

$y=(x+2)\text{ln}\left(\frac{x+2}{2}\right)$ grandes.

$y=2e^{2\sqrt{x}}-2x-2\sqrt{x}–1$

$v(t)=\frac{gm}{k}\left(1-e^{\text{−}kt\text{/}m}\right)$

$\mathrm{40,451}$ segundos

$\sqrt{\frac{gm}{k}}$

$y=C{e}^x–a(x+1)$

$y=C{e}^{x^2\text{/}2}-a$

$y=\frac{e^{kt}-e^t}{k-1}$

F

T

$y\left(x\right)=\frac{2^x}{\text{ln}\left(2\right)}+x{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}x–\sqrt{1-x^2}+C$

$y(x)=\text{ln}\left(C-\text{cos}x\right)$ grandes.

$y(x)=e^{e^{C+x}}$

$y(x)=4+\frac{3}{2}{x}^2+2x-\text{sen}x$

$y(x)=-\frac{2}{1+3\left(x^2+2\text{sen}x\right)}$ grandes.

$y(x)=\mathrm{–2}{x}^2-2x–\frac{1}{3}-\frac{2}{3}{e}^{3x}$

$y(x)=C{e}^{\text{–}x}+\text{ln}x$

Euler: $\mathrm{0,6939},$ solución exacta: $y(x)=\frac{3^x-e^{\mathrm{-2}x}}{2+\text{ln}\left(3\right)}$

$\frac{40}{49}$ segundos

$x(t)=5.000+\frac{245}{9}-\frac{49}{3}t-\frac{245}{9}{e}^{\text{−}5\text{/}3t},t=\mathrm{307,8}$ segundos

$T(t)=200\left(1-e^{\text{−}t\text{/}1.000}\right)$

$P(t)=\frac{\mathrm{1.600.000}{e}^{\mathrm{0,02}t}}{9840+160e^{\mathrm{0,02}t}}$