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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

4.2

5 5

4.3

y = 2 x 2 + 3 x + 2 y = 2 x 2 + 3 x + 2

4.5

y = 1 3 x 3 2 x 2 + 3 x 6 e x + 14 y = 1 3 x 3 2 x 2 + 3 x 6 e x + 14

4.6

v ( t ) = −9,8 t v ( t ) = −9,8 t

4.8


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha en y = -4 y y = 4. Las flechas apuntan hacia arriba para y > -4 y hacia abajo para y < -4. Cerca de y = 4, las flechas son más horizontales, pero cuanto más lejos, más verticales se vuelven.


Las soluciones de equilibrio son y=−2y=−2 y y=2 .y=2 . Para esta ecuación, y=−2y=−2 es una solución de equilibrio inestable, e y=2 y=2 es una solución de equilibrio semiestable.

4.9
nn xnxn yn=yn1+hf(xn1,yn1)yn=yn1+hf(xn1,yn1) grandes.
00 11 −2−2
11 1,11,1 y1=y0+hf(x0,y0)=−1,5y1=y0+hf(x0,y0)=−1,5
2 2 1,21,2 y2 =y1+hf(x1,y1)=–1,1419y2 =y1+hf(x1,y1)=–1,1419
33 1.31.3 y3=y2 +hf(x2 ,y2 )=–0,8387y3=y2 +hf(x2 ,y2 )=–0,8387
44 1,41,4 y4=y3+hf(x3,y3)=–0,5487y4=y3+hf(x3,y3)=–0,5487
55 1,51,5 y5=y4+hf(x4,y4)=–0,2442y5=y4+hf(x4,y4)=–0,2442
66 1,61,6 y6=y5+hf(x5,y5)=0,0993y6=y5+hf(x5,y5)=0,0993
77 1,71,7 y7=y6+hf(x6,y6)=0,5099y7=y6+hf(x6,y6)=0,5099
88 1,81,8 y8=y7+hf(x7,y7)=1,0272y8=y7+hf(x7,y7)=1,0272
99 1,91,9 y9=y8+hf(x8,y8)=1,7159y9=y8+hf(x8,y8)=1,7159
1010 2 2 y10=y9+hf(x9,y9)=2,6962y10=y9+hf(x9,y9)=2,6962
4.10

y = 2 + C e x 2 + 3 x y = 2 + C e x 2 + 3 x

4.11

y = 4 + 14 e x 2 + x 1 7 e x 2 + x y = 4 + 14 e x 2 + x 1 7 e x 2 + x

4.12

Problema de valor inicial:

d u d t = 2,4 2 u 25 , u ( 0 ) = 3 d u d t = 2,4 2 u 25 , u ( 0 ) = 3

Solución: u ( t ) = 30 27 e t / 50 Solución: u ( t ) = 30 27 e t / 50

4.13
  1. Problema del valor inicial
    dTdt=k(T70),T(0)=450dTdt=k(T70),T(0)=450
  2. T(t)=70+380ektT(t)=70+380ekt
  3. Aproximadamente 114114 minutos.
4.14
  1. dPdt=0,04(1P750),P(0)=200dPdt=0,04(1P750),P(0)=200


  2. Un campo de direcciones con líneas horizontales en el eje x y y = 15. Las demás líneas son verticales, excepto las que se curvan en el eje x y y = 15. Se dibuja una solución que cruza el eje y cerca de (0, 4) y se acerca asintóticamente a y = 15.
  3. P(t)=3.000e0,04t11+4e0,04tP(t)=3.000e0,04t11+4e0,04t

  4. Después de 1212 meses, la población será P(12)278P(12)278 conejos.

4.15

y+15x+3y=10x20x+3;p(x)=15x+3y+15x+3y=10x20x+3;p(x)=15x+3 y q(x)=10x20x+3q(x)=10x20x+3

4.16

y = x 3 + x 2 + C x 2 y = x 3 + x 2 + C x 2

4.17

y = 2 x 5 2 + 1 2 e 2 x y = 2 x 5 2 + 1 2 e 2 x

4.18
  1. dvdt=v9,8v(0)=0dvdt=v9,8v(0)=0
  2. v(t)=9,8(et1)v(t)=9,8(et1) grandes.
  3. límtv(t)=límt(9,8(et1))=−9,8m/s21,922mphlímtv(t)=límt(9,8(et1))=−9,8m/s21,922mph
4.19

Problema de valor inicial:

8 q + 1 0,02 q = 20 sen 5 t , q ( 0 ) = 4 8 q + 1 0,02 q = 20 sen 5 t , q ( 0 ) = 4

q ( t ) = 10 sen 5 t 8 cos 5 t + 172 e −6,25 t 41 q ( t ) = 10 sen 5 t 8 cos 5 t + 172 e −6,25 t 41

Sección 4.1 ejercicios

1.

1 1

3.

3 3

5.

1 1

7.

1 1

19.

y = 4 + 3 x 4 4 y = 4 + 3 x 4 4

21.

y = 1 2 e x 2 y = 1 2 e x 2

23.

y = 2 e 1 / x y = 2 e 1 / x

25.

u = sen −1 ( e −1 + t ) u = sen −1 ( e −1 + t )

27.

y = x + 1 1 x 1 y = x + 1 1 x 1

29.

y=Cx+xlnxln(cosx)y=Cx+xlnxln(cosx) grandes.

31.

y=C+4xln(4)y=C+4xln(4) grandes.

33.

y = 2 3 t 2 + 16 ( t 2 + 16 ) + C y = 2 3 t 2 + 16 ( t 2 + 16 ) + C

35.

x = 2 15 4 + t ( 3 t 2 + 4 t 32 ) + C x = 2 15 4 + t ( 3 t 2 + 4 t 32 ) + C

37.

y = C x y = C x

39.

y = 1 t 2 2 , y = t 2 2 1 y = 1 t 2 2 , y = t 2 2 1

41.

y = e t , y = e t y = e t , y = e t

43.

y = 2 ( t 2 + 5 ) , t = 3 5 y = 2 ( t 2 + 5 ) , t = 3 5

45.

y=10e−2t,t=12 ln(110)y=10e−2t,t=12 ln(110) grandes.

47.

y=14(41e−4t),y=14(41e−4t), nunca

49.

La solución cambia de creciente a decreciente en y(0)=0y(0)=0

51.

La solución cambia de creciente a decreciente en y(0)=0y(0)=0

53.

v ( t ) = −32 t + a v ( t ) = −32 t + a

55.

00 ft/s.

57.

4,864,86 metros

59.

x=50t15π2 cos(πt)+3π2 ,2 x=50t15π2 cos(πt)+3π2 ,2 horas 11 minuto

61.

y = 4 e 3 t y = 4 e 3 t

63.

y = 3 2 t + t 2 y = 3 2 t + t 2

65.

y=1k(ekt1)y=1k(ekt1) y de y=xy=x

Sección 4.2 ejercicios

67.


Un gráfico del campo de direcciones dado con una línea plana dibujada en el eje. Las flechas apuntan hacia arriba para y < 0 y hacia abajo para y > 0. Cuanto más cerca están del eje x, más horizontales son las flechas, y cuanto más lejos están, más verticales son.
69.

y=0y=0 es un equilibrio estable

71.


Un campo de direcciones con flechas horizontales en y = 0 e y = 2. Las flechas apuntan hacia arriba para y > 2 y para y < 0. Las flechas apuntan hacia abajo para 0 < y < 2. Cuanto más cerca están las flechas de estas líneas, son más horizontales, y cuanto más lejos, son más verticales. Se dibuja una solución que sigue a y = 2 en el cuadrante dos, pasa por (0, 1) y luego sigue el eje x.
73.

y=0y=0 es un equilibrio estable y y=2 y=2 es inestable

75.


Un campo de direcciones sobre los cuatro cuadrantes. A medida que t va de 0 a infinito, las flechas se vuelven cada vez más verticales después de ser horizontales más cerca de x = 0.
77.


Un campo de direcciones en [-2, 2] en los ejes x y y. Las flechas apuntan ligeramente hacia abajo y hacia la derecha en [-2, 0] y se vuelven gradualmente verticales en [0, 2].
79.


Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en y = 1 y y = -1. Las flechas apuntan hacia arriba para y < -1 y para y > 1. Las flechas apuntan hacia abajo para -1 < y < 1. Cuanto más cerca estén las flechas de estas líneas, más horizontales serán, y cuanto más lejos estén, más verticales serán.
81.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha para casi todos los puntos en [-2, 2] en los ejes x y y. Cerca del origen, las flechas se vuelven más horizontales, apuntan hacia la parte superior derecha, se vuelven más horizontales y vuelven a apuntar hacia la derecha.
83.


Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x y x = -3. Por encima del eje x y para x < -3, las flechas apuntan hacia abajo. Para x > -3, las flechas apuntan hacia arriba. Por debajo del eje x y para x < -3, las flechas apuntan hacia arriba. Para x > -3, las flechas apuntan hacia abajo. Cuanto más lejos del eje x y de x = -3, las flechas se vuelven más verticales, y cuanto más cerca, más horizontales.
85.

E

87.

A

89.

B

91.

A

93.

C

95.

2,24,2,24, exacta: 33

97.

7,739364,7,739364, exacta: 5(e1)5(e1) grandes.

99.

−0,2535−0,2535 exacta: 00

101.

1,345,1,345, exacta: 1ln(2 )1ln(2 ) grandes.

103.

−4,−4, exacta: 1/2 1/2

105.


Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x y en y = 4. Las flechas debajo del eje x y encima de y = 4 apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Las flechas entre el eje x y y = 4 apuntan hacia arriba y hacia la derecha.
107.

y = 2 e t 2 / 2 y = 2 e t 2 / 2

109.

2 2

111.

3,2756 3,2756

113.

2 e2 e

Tamaño de paso Error
h=1h=1 0,39350,3935
h=10h=10 0,061630,06163
h=100h=100 0,0066120,006612
h=1.000h=1.000 0,00066610,0006661
115.


Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x. Por encima del eje x, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Debajo del eje x, las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Cuanto más cerca están las flechas del eje x, son más horizontales, y cuanto más lejos están del eje x, son más verticales.
117.

4,0741 e −10 4,0741 e −10

Sección 4.3 ejercicios

119.

y = e t 1 y = e t 1

121.

y = 1 C e t y = 1 C e t

123.

y = C x e −1 / x y = C x e −1 / x

125.

y = 1 C x 2 y = 1 C x 2

127.

y = 2 C + ln x y = 2 C + ln x

129.

y = C e x ( x + 1 ) + 1 y = C e x ( x + 1 ) + 1

131.

y=sen(lnt+C)y=sen(lnt+C) grandes.

133.

y=ln(ex)y=ln(ex) grandes.

135.

y = 1 2 e x 2 y = 1 2 e x 2

137.

y=tanh−1(x2 2 )y=tanh−1(x2 2 ) grandes.

139.

x=sen(1t+tlnt)x=sen(1t+tlnt) grandes.

141.

y=ln(ln(5))ln(2 5x)y=ln(ln(5))ln(2 5x) grandes.

143.

y=Ce−2x+12 y=Ce−2x+12

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en y = 0,5. Por encima de 0,5, las flechas se inclinan hacia abajo y hacia la derecha y son cada vez más verticales cuanto más lejos están de y = 0,5 Por debajo de 0,5, las flechas se inclinan hacia arriba y hacia la derecha y son cada vez más verticales cuanto más lejos están de y = 0,5.
145.

y=12 Cexy=12 Cex

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Son horizontales en el eje y. Cuanto más lejos estén las flechas del eje, más verticales serán. Apuntan hacia arriba por encima del eje x y hacia abajo por debajo del eje x.
147.

y=Cexxxy=Cexxx

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Las flechas son planas en y = 1. Cuanto más lejos están las flechas de ese punto, más inclinadas se vuelven. Apuntan hacia arriba por encima de esa línea y hacia abajo por debajo de ella.
149.

y = r d ( 1 e d t ) y = r d ( 1 e d t )

151.

y ( t ) = 10 9 e x / 50 y ( t ) = 10 9 e x / 50

153.

134,3134,3 kilogramos

155.

720720 segundos

157.

2424 horas 5757 minutos

159.

T ( t ) = 20 + 50 e −0,125 t T ( t ) = 20 + 50 e −0,125 t

161.

T ( t ) = 20 + 38,5 e −0,125 t T ( t ) = 20 + 38,5 e −0,125 t

163.

y = ( c + b a ) e a x b a y = ( c + b a ) e a x b a

165.

y ( t ) = c L + ( I c L ) e r t / L y ( t ) = c L + ( I c L ) e r t / L

167.

y=40(1e−0,1t),40y=40(1e−0,1t),40 g/cm2

Sección 4.4 ejercicios

169.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Las flechas son horizontales a lo largo del eje x. Las flechas apuntan hacia abajo por encima del eje x y por debajo del eje x. Cuanto más alejadas están las flechas del eje x, más verticales se vuelven las líneas.


P=0P=0 semiestable

171.

P = 10 e 10 x e 10 x + 4 P = 10 e 10 x e 10 x + 4

173.

P ( t ) = 10.000 e 0,02 t 150 + 50 e 0,02 t P ( t ) = 10.000 e 0,02 t 150 + 50 e 0,02 t

175.

6969 horas 55 minutos

177.

88 años 1111 meses

179.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo para P < 1.000, que apuntan hacia arriba para 1.000 < P < 8.500, y que apuntan hacia abajo para P > 8.500. Justo por encima de P = 8.500, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha.
181.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Alrededor de y = 4.000, las flechas son más horizontales. Cuanto más lejos están las flechas de esta línea, más verticales se vuelven.


P1P1 semiestable

183.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia arriba para P < 10.000 y flechas que apuntan hacia abajo para P > 10.000.


P2 >0P2 >0 estable

185.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha en P = 0. Por debajo de 0, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Por encima de 0, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Cuanto más se alejan de 0, más verticales se vuelven las flechas.


P1=0P1=0 es semiestable

187.

y = −20 4 × 10 −6 0,002 e 0,01 t y = −20 4 × 10 −6 0,002 e 0,01 t

189.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan horizontalmente hacia la derecha a lo largo de y = 2 y y = 10. Para P < 2, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Para 2 < P < 10, las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Para P > 10, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Cuanto más lejos están las flechas de 2 y 10, más inclinadas se vuelven, y cuanto más cerca están de 2 y 10, más horizontales se vuelven.
191.

P ( t ) = 850 + 500 e 0,009 t 85 + 5 e 0,009 t P ( t ) = 850 + 500 e 0,009 t 85 + 5 e 0,009 t

193.

1313 años meses

195.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha para P < 0, hacia arriba para 0 < P < 1.000, y hacia abajo para P > 1.000. Cuanto más lejos están las flechas de P = 0 y P = 1.000, más verticales se vuelven, y cuanto más cerca están, son más horizontales.
197.

31,46531,465 días

199.

Septiembre de 20082008

201.

K + T 2 K + T 2

203.

r = 0,0405 r = 0,0405

205.

α = 0,0081 α = 0,0081

207.

Logística: 361,361, Umbral: 436,436, Gompertz: 309.309.

Sección 4.5 ejercicios

209.

211.

213.

y x 3 y = sen x y x 3 y = sen x

215.

y + ( 3 x + 2 ) x y = e x y + ( 3 x + 2 ) x y = e x

217.

d y d t y x ( x + 1 ) = 0 d y d t y x ( x + 1 ) = 0

219.

e x e x

221.

ln(coshx)ln(coshx) grandes.

223.

y = C e 3 x 2 3 y = C e 3 x 2 3

225.

y = C x 3 + 6 x 2 y = C x 3 + 6 x 2

227.

y = C e x 2 / 2 3 y = C e x 2 / 2 3

229.

y=Ctan(x2 )2 x+4tan(x2 )ln(sen(x2 ))y=Ctan(x2 )2 x+4tan(x2 )ln(sen(x2 )) grandes.

231.

y = C x 3 x 2 y = C x 3 x 2

233.

y = C ( x + 2 ) 2 + 1 2 y = C ( x + 2 ) 2 + 1 2

235.

y = C x + 2 sen ( 3 t ) y = C x + 2 sen ( 3 t )

237.

y = C ( x + 1 ) 3 x 2 2 x 1 y = C ( x + 1 ) 3 x 2 2 x 1

239.

y = C e senoh −1 x 2 y = C e senoh −1 x 2

241.

y = x + 4 e x 1 y = x + 4 e x 1

243.

y=3x2 (x2 1)y=3x2 (x2 1) grandes.

245.

y = 1 e tan −1 x y = 1 e tan −1 x

247.

y=(x+2 )ln(x+2 2 )y=(x+2 )ln(x+2 2 ) grandes.

249.

y = 2 e 2 x 2 x 2 x 1 y = 2 e 2 x 2 x 2 x 1

251.

v ( t ) = g m k ( 1 e k t / m ) v ( t ) = g m k ( 1 e k t / m )

253.

40,45140,451 segundos

255.

g m k g m k

257.

y = C e x a ( x + 1 ) y = C e x a ( x + 1 )

259.

y = C e x 2 / 2 a y = C e x 2 / 2 a

261.

y = e k t e t k 1 y = e k t e t k 1

Ejercicios de repaso

263.

F

265.

T

267.

y ( x ) = 2 x ln ( 2 ) + x cos −1 x 1 x 2 + C y ( x ) = 2 x ln ( 2 ) + x cos −1 x 1 x 2 + C

269.

y(x)=ln(Ccosx)y(x)=ln(Ccosx) grandes.

271.

y ( x ) = e e C + x y ( x ) = e e C + x

273.

y ( x ) = 4 + 3 2 x 2 + 2 x sen x y ( x ) = 4 + 3 2 x 2 + 2 x sen x

275.

y(x)=2 1+3(x2 +2 senx)y(x)=2 1+3(x2 +2 senx) grandes.

277.

y ( x ) = –2 x 2 2 x 1 3 2 3 e 3 x y ( x ) = –2 x 2 2 x 1 3 2 3 e 3 x

279.


Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de una curva logarítmica que se acerca al infinito negativo a medida que x va a cero y aumenta a medida que x va al infinito.


y(x)=Cex+lnxy(x)=Cex+lnx

281.

Euler: 0,6939,0,6939, solución exacta: y(x)=3xe−2x2 +ln(3)y(x)=3xe−2x2 +ln(3)

283.

40494049 segundos

285.

x(t)=5.000+2459493t2459e5/3t,t=307,8x(t)=5.000+2459493t2459e5/3t,t=307,8 segundos

287.

T ( t ) = 200 ( 1 e t / 1.000 ) T ( t ) = 200 ( 1 e t / 1.000 )

289.

P ( t ) = 1.600.000 e 0,02 t 9840 + 160 e 0,02 t P ( t ) = 1.600.000 e 0,02 t 9840 + 160 e 0,02 t

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