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Punto de control

3.1

x e 2 x d x = 1 2 x e 2 x 1 4 e 2 x + C x e 2 x d x = 1 2 x e 2 x 1 4 e 2 x + C

3.2

1 2 x 2 ln x 1 4 x 2 + C 1 2 x 2 ln x 1 4 x 2 + C

3.3

x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C

3.4

π 2 1 π 2 1

3.5

1 5 sen 5 x + C 1 5 sen 5 x + C

3.6

1 3 sen 3 x 1 5 sen 5 x + C 1 3 sen 3 x 1 5 sen 5 x + C

3.7

1 2 x + 1 4 sen ( 2 x ) + C 1 2 x + 1 4 sen ( 2 x ) + C

3.8

sen x 1 3 sen 3 x + C sen x 1 3 sen 3 x + C

3.9

1 2 x + 1 12 sen ( 6 x ) + C 1 2 x + 1 12 sen ( 6 x ) + C

3.10

1 2 sen x + 1 22 sen ( 11 x ) + C 1 2 sen x + 1 22 sen ( 11 x ) + C

3.11

1 6 tan 6 x + C 1 6 tan 6 x + C

3.12

1 9 sec 9 x 1 7 sec 7 x + C 1 9 sec 9 x 1 7 sec 7 x + C

3.13

sec 5 x d x = 1 4 sec 3 x tan x + 3 4 sec 3 x sec 5 x d x = 1 4 sec 3 x tan x + 3 4 sec 3 x

3.14

125 sen 3 θ d θ 125 sen 3 θ d θ

3.15

32 tan 3 θ sec 3 θ d θ 32 tan 3 θ sec 3 θ d θ

3.16

ln | x 2 + x 2 4 2 | + C ln | x 2 + x 2 4 2 | + C

3.17

x 5 ln | x + 2 | + C x 5 ln | x + 2 | + C

3.18

2 5 ln | x + 3 | + 3 5 ln | x 2 | + C 2 5 ln | x + 3 | + 3 5 ln | x 2 | + C

3.19

x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x 4 ) 2 = A x + 3 + B ( x + 3 ) 2 + C ( x + 3 ) 3 + D ( x 4 ) + E ( x 4 ) 2 x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x 4 ) 2 = A x + 3 + B ( x + 3 ) 2 + C ( x + 3 ) 3 + D ( x 4 ) + E ( x 4 ) 2

3.20

x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 = A x + 2 + B x 3 + C ( x 3 ) 2 + D x + E x 2 + 4 + F x + G ( x 2 + 4 ) 2 x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 = A x + 2 + B x 3 + C ( x 3 ) 2 + D x + E x 2 + 4 + F x + G ( x 2 + 4 ) 2

3.21

Las posibles soluciones incluyen senoh−1(x2 )+Csenoh−1(x2 )+C y ln|x2 +4+x|+C.ln|x2 +4+x|+C.

3.22

24 35 24 35

3.23

17 24 17 24

3.24

0,0074, 1,1 %

3.25

1 192 1 192

3.26

25 36 25 36

3.27

e3,e3, converge

3.28

+,+, diverge

3.29

Dado que e+1xdx=+,e+1xdx=+, e+lnxxdxe+lnxxdx diverge.

Sección 3.1 ejercicios

1.

u = x 3 u = x 3

3.

u = y 3 u = y 3

5.

u = sen ( 2 x ) u = sen ( 2 x )

7.

x + x ln x + C x + x ln x + C

9.

x tan −1 x 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C x tan −1 x 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C

11.

1 2 x cos ( 2 x ) + 1 4 sen ( 2 x ) + C 1 2 x cos ( 2 x ) + 1 4 sen ( 2 x ) + C

13.

e x ( −1 x ) + C e x ( −1 x ) + C

15.

2 x cos x + ( −2 + x 2 ) sen x + C 2 x cos x + ( −2 + x 2 ) sen x + C

17.

1 2 ( 1 + 2 x ) ( –1 + ln ( 1 + 2 x ) ) + C 1 2 ( 1 + 2 x ) ( –1 + ln ( 1 + 2 x ) ) + C

19.

1 2 e x ( cos x + sen x ) + C 1 2 e x ( cos x + sen x ) + C

21.

e x 2 2 + C e x 2 2 + C

23.

1 2 x cos [ ln ( 2 x ) ] + 1 2 x sen [ ln ( 2 x ) ] + C 1 2 x cos [ ln ( 2 x ) ] + 1 2 x sen [ ln ( 2 x ) ] + C

25.

2 x 2 x ln x + x ( ln x ) 2 + C 2 x 2 x ln x + x ( ln x ) 2 + C

27.

( x 3 9 + 1 3 x 3 ln x ) + C ( x 3 9 + 1 3 x 3 ln x ) + C

29.

1 2 1 4 x 2 + x cos −1 ( 2 x ) + C 1 2 1 4 x 2 + x cos −1 ( 2 x ) + C

31.

( −2 + x 2 ) cos x + 2 x sen x + C ( −2 + x 2 ) cos x + 2 x sen x + C

33.

x ( −6 + x 2 ) cos x + 3 ( −2 + x 2 ) sen x + C x ( −6 + x 2 ) cos x + 3 ( −2 + x 2 ) sen x + C

35.

1 2 x ( 1 1 x 2 + x . sec −1 x ) + C 1 2 x ( 1 1 x 2 + x . sec −1 x ) + C

37.

cosh x + x senoh x + C cosh x + x senoh x + C

39.

1 4 3 4 e 2 1 4 3 4 e 2

41.

2

43.

2 π 2 π

45.

−2 + π −2 + π

47.

sen ( x ) + ln [ sen ( x ) ] sen x + C sen ( x ) + ln [ sen ( x ) ] sen x + C

49.

Las respuestas varían

51.

a. 2 5(1+x)(−3+2 x)3/2 +C2 5(1+x)(−3+2 x)3/2 +C b. 2 5(1+x)(−3+2 x)3/2 +C2 5(1+x)(−3+2 x)3/2 +C

53.

No utilice la integración por partes. Elija u para que sea lnx,lnx, y la integral sea de la forma u2 du.u2 du.

55.

No utilice la integración por partes. Supongamos que u=x2 3,u=x2 3, y la integral se puede poner en la forma eudu.eudu.

57.

No utilice la integración por partes. Elija u para que sea u=3x3+2 u=3x3+2 y la integral se puede poner en la forma sen(u)du.sen(u)du.

59.

El área bajo el gráfico es 0,39535

Esta figura es el gráfico de y=e^-x =sen(pi*x). La curva comienza en el tercer cuadrante en x=0,5, aumenta a través del origen, alcanza un punto alto entre 0,5 y 0,75, y luego disminuye, pasando por x=1.
61.

2 π e 2 π e

63.

2,05

65.

12 π 12 π

67.

8 π 2 8 π 2

Sección 3.2 ejercicios

69.

cos 2 x cos 2 x

71.

1 cos ( 2 x ) 2 1 cos ( 2 x ) 2

73.

sen 4 x 4 + C sen 4 x 4 + C

75.

1 12 tan 6 ( 2 x ) + C 1 12 tan 6 ( 2 x ) + C

77.

sec 2 ( x 2 ) + C sec 2 ( x 2 ) + C

79.

cos x + 1 3 cos 2 x + C cos x + 1 3 cos 2 x + C

81.

12 cos2 x+C12 cos2 x+C o 12 sen2 x+C12 sen2 x+C

83.

1 3 cos 3 x + 2 5 cos 5 x 1 7 cos 7 x + C 1 3 cos 3 x + 2 5 cos 5 x 1 7 cos 7 x + C

85.

2 3 ( sen x ) 3 2 + C 2 3 ( sen x ) 3 2 + C

87.

sec x + C sec x + C

89.

1 2 sec x tan x 1 2 ln ( sec x + tan x ) + C 1 2 sec x tan x 1 2 ln ( sec x + tan x ) + C

91.

2 tanx3+13sec(x)2 tanx2 tanx3+13sec(x)2 tanx =tanx+tan3x3+C=tanx+tan3x3+C

93.

ln | cot x + csc x | + C ln | cot x + csc x | + C

95.

sen 3 ( a x ) 3 a + C sen 3 ( a x ) 3 a + C

97.

π 2 π 2

99.

x 2 + 1 12 sen ( 6 x ) + C x 2 + 1 12 sen ( 6 x ) + C

101.

x+Cx+C

103.

0

105.

0

107.

0

109.

Aproximadamente 0,239

111.

2 2

113.

1,0

115.

0

117.

3 θ 8 1 4 π sen ( 2 π θ ) + 1 32 π sen ( 4 π θ ) + C = f ( x ) 3 θ 8 1 4 π sen ( 2 π θ ) + 1 32 π sen ( 4 π θ ) + C = f ( x )

119.

ln ( 3 ) ln ( 3 )

121.

π π sen ( 2 x ) cos ( 3 x ) d x = 0 π π sen ( 2 x ) cos ( 3 x ) d x = 0

123.

tan ( x ) x ( 8 tan x 21 + 2 7 sec x 2 tan x ) + C = f ( x ) tan ( x ) x ( 8 tan x 21 + 2 7 sec x 2 tan x ) + C = f ( x )

125.

La segunda integral es más difícil porque la primera integral es simplemente un tipo de sustitución en u.

Sección 3.3 ejercicios

127.

9 tan 2 θ 9 tan 2 θ

129.

a 2 cosh 2 θ a 2 cosh 2 θ

131.

4 ( x 1 2 ) 2 4 ( x 1 2 ) 2

133.

( x + 1 ) 2 + 5 ( x + 1 ) 2 + 5

135.

ln | x + a 2 + x 2 | + C ln | x + a 2 + x 2 | + C

137.

1 3 ln | 9 x 2 + 1 + 3 x | + C 1 3 ln | 9 x 2 + 1 + 3 x | + C

139.

1 x 2 x + C 1 x 2 x + C

141.

9 [ x x 2 + 9 18 + 1 2 l n | x 2 + 9 3 + x 3 | ] + C 9 [ x x 2 + 9 18 + 1 2 l n | x 2 + 9 3 + x 3 | ] + C

143.

1 3 9 θ 2 ( 18 + θ 2 ) + C 1 3 9 θ 2 ( 18 + θ 2 ) + C

145.

( –1 + x 2 ) ( 2 + 3 x 2 ) x 6 x 8 15 x 3 + C ( –1 + x 2 ) ( 2 + 3 x 2 ) x 6 x 8 15 x 3 + C

147.

x 9 −9 + x 2 + C x 9 −9 + x 2 + C

149.

1 2 ( ln | x + x 2 1 | + x x 2 1 ) + C 1 2 ( ln | x + x 2 1 | + x x 2 1 ) + C

151.

1 + x 2 x + C 1 + x 2 x + C

153.

1 8 ( x ( 5 2 x 2 ) 1 x 2 + 3 arcsen x ) + C 1 8 ( x ( 5 2 x 2 ) 1 x 2 + 3 arcsen x ) + C

155.

ln x ln | 1 + 1 x 2 | + C ln x ln | 1 + 1 x 2 | + C

157.

−1 + x 2 x + ln | x + −1 + x 2 | + C −1 + x 2 x + ln | x + −1 + x 2 | + C

159.

1 + x 2 x + arcsenh x + C 1 + x 2 x + arcsenh x + C

161.

1 1 + x + C 1 1 + x + C

163.

2 −10 + x x ln | −10 + x + x | ( 10 x ) x + C 2 −10 + x x ln | −10 + x + x | ( 10 x ) x + C

165.

9π2 ;9π2 ; área de un semicírculo de radio 3

167.

arcsen(x)+Carcsen(x)+C es la respuesta habitual.

169.

12 ln(1+x2 )+C12 ln(1+x2 )+C es el resultado utilizando cualquiera de los dos métodos.

171.

Utilice la sustitución trigonométrica. Supongamos que x=sec(θ).x=sec(θ).

173.

4,367

175.

π 2 8 + π 4 π 2 8 + π 4

177.

y = 1 16 ln | x + 8 x 8 | + 3 y = 1 16 ln | x + 8 x 8 | + 3

179.

24,6 m3

181.

2 π 3 2 π 3

Sección 3.4 ejercicios

183.

2 x + 1 + 5 2 ( x + 2 ) + 1 2 x 2 x + 1 + 5 2 ( x + 2 ) + 1 2 x

185.

1 x 2 + 3 x 1 x 2 + 3 x

187.

2 x 2 + 4 x + 8 + 16 x 2 2 x 2 + 4 x + 8 + 16 x 2

189.

1 x 2 1 x + 1 x 1 1 x 2 1 x + 1 x 1

191.

12 (x2 )+12 (x1)16x+16(x3)12 (x2 )+12 (x1)16x+16(x3) grandes.

193.

1 x 1 + 2 x + 1 x 2 + x + 1 1 x 1 + 2 x + 1 x 2 + x + 1

195.

2 x + 1 + x x 2 + 4 1 ( x 2 + 4 ) 2 2 x + 1 + x x 2 + 4 1 ( x 2 + 4 ) 2

197.

ln | 2 x | + 2 ln | 4 + x | + C ln | 2 x | + 2 ln | 4 + x | + C

199.

1 2 ln | 4 x 2 | + C 1 2 ln | 4 x 2 | + C

201.

2 ( x + 1 3 arctan ( 1 + x 3 ) ) + C 2 ( x + 1 3 arctan ( 1 + x 3 ) ) + C

203.

2 ln | x | 3 ln | 1 + x | + C 2 ln | x | 3 ln | 1 + x | + C

205.

1 16 ( 4 −2 + x ln | −2 + x | + ln | 2 + x | ) + C 1 16 ( 4 −2 + x ln | −2 + x | + ln | 2 + x | ) + C

207.

1 30 ( −2 5 arctan [ 1 + x 5 ] + 2 ln | −4 + x | ln | 6 + 2 x + x 2 | ) + C 1 30 ( −2 5 arctan [ 1 + x 5 ] + 2 ln | −4 + x | ln | 6 + 2 x + x 2 | ) + C

209.

3 x + 4 ln | x + 2 | + x + C 3 x + 4 ln | x + 2 | + x + C

211.

ln | 3 x | + 1 2 ln | x 2 + 4 | + C ln | 3 x | + 1 2 ln | x 2 + 4 | + C

213.

ln | x 2 | 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + C ln | x 2 | 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + C

215.

x + ln | 1 e x | + C x + ln | 1 e x | + C

217.

1 5 ln | cos x + 3 cos x 2 | + C 1 5 ln | cos x + 3 cos x 2 | + C

219.

1 2 2 e 2 t + C 1 2 2 e 2 t + C

221.

2 1 + x 2 ln | 1 + 1 + x | + C 2 1 + x 2 ln | 1 + 1 + x | + C

223.

ln | sen x 1 sen x | + C ln | sen x 1 sen x | + C

225.

3 4 3 4

227.

x ln ( 1 + e x ) + C x ln ( 1 + e x ) + C

229.

6 x 1 / 6 3 x 1 / 3 + 2 x 6 ln ( 1 + x 1 / 6 ) + C 6 x 1 / 6 3 x 1 / 3 + 2 x 6 ln ( 1 + x 1 / 6 ) + C

231.

4 3 π arctanh [ 1 3 ] = 1 3 π ln 4 4 3 π arctanh [ 1 3 ] = 1 3 π ln 4

233.

x = ln | t 3 | + ln | t 4 | + ln 2 x = ln | t 3 | + ln | t 4 | + ln 2

235.

x = ln | t 1 | 2 arctan ( 2 t ) 1 2 ln ( t 2 + 1 2 ) + 2 arctan ( 2 2 ) + 1 2 ln 4,5 x = ln | t 1 | 2 arctan ( 2 t ) 1 2 ln ( t 2 + 1 2 ) + 2 arctan ( 2 2 ) + 1 2 ln 4,5

237.

2 5 π ln 28 13 2 5 π ln 28 13

239.

arctan [ –1 + 2 x 3 ] 3 + 1 3 ln | 1 + x | 1 6 ln | 1 x + x 2 | + C arctan [ –1 + 2 x 3 ] 3 + 1 3 ln | 1 + x | 1 6 ln | 1 x + x 2 | + C

241.

2,0 in2

243.

3 ( −8 + x ) 1 / 3 3 ( −8 + x ) 1 / 3
−2 3 arctan [ –1 + ( −8 + x ) 1 / 3 3 ] −2 3 arctan [ –1 + ( −8 + x ) 1 / 3 3 ]
−2 ln [ 2 + ( −8 + x ) 1 / 3 ] −2 ln [ 2 + ( −8 + x ) 1 / 3 ]
+ ln [ 4 2 ( −8 + x ) 1 / 3 + ( −8 + x ) 2 / 3 ] + C + ln [ 4 2 ( −8 + x ) 1 / 3 + ( −8 + x ) 2 / 3 ] + C

Sección 3.5 ejercicios

245.

1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + 2 arctan ( x + 1 ) + C 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + 2 arctan ( x + 1 ) + C

247.

cosh −1 ( x + 3 3 ) + C cosh −1 ( x + 3 3 ) + C

249.

2 x 2 1 ln 2 + C 2 x 2 1 ln 2 + C

251.

arcsen ( y 2 ) + C arcsen ( y 2 ) + C

253.

1 2 csc ( 2 w ) + C 1 2 csc ( 2 w ) + C

255.

9 6 2 9 6 2

257.

2 π 2 2 π 2

259.

1 12 tan 4 ( 3 x ) 1 6 tan 2 ( 3 x ) + 1 3 ln | sec ( 3 x ) | + C 1 12 tan 4 ( 3 x ) 1 6 tan 2 ( 3 x ) + 1 3 ln | sec ( 3 x ) | + C

261.

2 cot ( w 2 ) 2 csc ( w 2 ) + w + C 2 cot ( w 2 ) 2 csc ( w 2 ) + w + C

263.

1 5 ln | 2 ( 5 + 4 sen t 3 cos t ) 4 cos t + 3 sen t | 1 5 ln | 2 ( 5 + 4 sen t 3 cos t ) 4 cos t + 3 sen t |

265.

6 x 1 / 6 3 x 1 / 3 + 2 x 6 ln [ 1 + x 1 / 6 ] + C 6 x 1 / 6 3 x 1 / 3 + 2 x 6 ln [ 1 + x 1 / 6 ] + C

267.

x 3 cos x + 3 x 2 sen x + 6 x cos x 6 sen x + C x 3 cos x + 3 x 2 sen x + 6 x cos x 6 sen x + C

269.

1 2 ( x 2 + ln | 1 + e x 2 | ) + C 1 2 ( x 2 + ln | 1 + e x 2 | ) + C

271.

2 arctan ( x 1 ) + C 2 arctan ( x 1 ) + C

273.

0,5 = 1 2 0,5 = 1 2

275.

8,0

277.

1 3 arctan ( 1 3 ( x + 2 ) ) + C 1 3 arctan ( 1 3 ( x + 2 ) ) + C

279.

1 3 arctan ( x + 1 3 ) + C 1 3 arctan ( x + 1 3 ) + C

281.

ln ( e x + 4 + e 2 x ) + C ln ( e x + 4 + e 2 x ) + C

283.

ln x 1 6 ln ( x 6 + 1 ) arctan ( x 3 ) 3 x 3 + C ln x 1 6 ln ( x 6 + 1 ) arctan ( x 3 ) 3 x 3 + C

285.

ln | x + 16 + x 2 | + C ln | x + 16 + x 2 | + C

287.

1 4 cot ( 2 x ) + C 1 4 cot ( 2 x ) + C

289.

1 2 arctan 10 1 2 arctan 10

291.

1276,14

293.

7,21

295.

5 2 + ln | 2 + 2 2 1 + 5 | 5 2 + ln | 2 + 2 2 1 + 5 |

297.

1 3 arctan ( 3 ) 0,416 1 3 arctan ( 3 ) 0,416

Sección 3.6 ejercicios

299.

0,696

301.

9,298

303.

0,5000

305.

T 4 = 18,75 T 4 = 18,75

307.

0,500

309.

1,2819

311.

0,6577

313.

0,0213

315.

1,5629

317.

1,9133

319.

T(4) = 0,1088 T(4) = 0,1088

321.

1,0

323.

El error aproximado es de 0,000325.

325.

1 7938 1 7938

327.

81 25 , 000 81 25 , 000

329.

475

331.

174

333.

0,1544

335.

6,2807

337.

4,606

339.

3,41 pies

341.

T16=100,125;T16=100,125; error absoluto = 0,125

343.

unos 89.250 m2

345.

parábola

Sección 3.7 ejercicios

347.

divergente

349.

π 2 π 2

351.

2 e 2 e

353.

Converge

355.

Converge a 1/2.

357.

−4

359.

π π

361.

diverge

363.

diverge

365.

1,5

367.

diverge

369.

diverge

371.

diverge

373.

Ambas integrales divergen.

375.

diverge

377.

diverge

379.

π π

381.

0,0

383.

0,0

385.

6,0

387.

π 2 π 2

389.

8 ln ( 16 ) 4 8 ln ( 16 ) 4

391.

1,047 1,047

393.

−1 + 2 3 −1 + 2 3

395.

7,0

397.

5 π 2 5 π 2

399.

3 π 3 π

401.

1 s , s > 0 1 s , s > 0

403.

s s 2 + 4 , s > 0 s s 2 + 4 , s > 0

405.

Las respuestas variarán.

407.

0,8775

Ejercicios de repaso

409.

Falso

411.

Falso

413.

x 2 + 16 16 x + C x 2 + 16 16 x + C

415.

1 10 ( 4 ln ( 2 x ) + 5 ln ( x + 1 ) 9 ln ( x + 3 ) ) + C 1 10 ( 4 ln ( 2 x ) + 5 ln ( x + 1 ) 9 ln ( x + 3 ) ) + C

417.

4 sen 2 ( x ) sen ( x ) x 2 + C 4 sen 2 ( x ) sen ( x ) x 2 + C

419.

1 15 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 ( 3 x 2 4 ) + C 1 15 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 ( 3 x 2 4 ) + C

421.

1 16 ln ( x 2 + 2 x + 2 x 2 2 x + 2 ) 1 8 tan –1 ( 1 x ) + 1 8 tan –1 ( x + 1 ) + C 1 16 ln ( x 2 + 2 x + 2 x 2 2 x + 2 ) 1 8 tan –1 ( 1 x ) + 1 8 tan –1 ( x + 1 ) + C

423.

M 4 = 3,312 , T 4 = 3,354 , S 4 = 3,326 M 4 = 3,312 , T 4 = 3,354 , S 4 = 3,326

425.

M 4 = −0,982 , T 4 = −0,917 , S 4 = −0,952 M 4 = −0,982 , T 4 = −0,917 , S 4 = −0,952

427.

aproximadamente 0,2194

431.

Las respuestas pueden variar. Ej.: 9,4059,405 km

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