Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

408.

$\int e^{x} sen (x) d x$ no puede integrarse por partes.

409.

$\int \frac{1}{x^{4} + 1} d x$ no se puede integrar utilizando fracciones parciales.

410.

En la integración numérica, el aumento del número de puntos disminuye el error.

411.

Con la integración por partes siempre se puede obtener la integral.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando el método especificado.

412.

$\int x^{2} sen (4 x) d x$ utilizando la integración por partes

413.

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$ utilizando la sustitución trigonométrica

414.

$\int \sqrt{x} ln (x) d x$ utilizando la integración por partes

415.

$\int \frac{3 x}{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6} d x$ utilizando fracciones parciales

416.

$\int \frac{x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{5 / 2}} d x$ utilizando la sustitución trigonométrica

417.

$\int \frac{\sqrt{4 - {sen}^{2} (x)}}{{sen}^{2} (x)} cos (x) d x$ utilizando una tabla de integrales o un CAS

En los siguientes ejercicios, integre utilizando cualquier método que elija.

418.

$\int {sen}^{2} (x) {cos}^{2} (x) d x$

419.

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} d x$

420.

$\int \frac{3 x^{2} + 1}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x} d x$

421.

$\int \frac{1}{x^{4} + 4} d x$

422.

$\int \frac{\sqrt{3 + 16 x^{4}}}{x^{4}} d x$

En los siguientes ejercicios, aproxime las integrales utilizando la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson con cuatro subintervalos y redondeando a tres decimales.

423.

[T] $\int_{1}^{2} \sqrt{x^{5} + 2} d x$

424.

[T] $\int_{0}^{\sqrt{π}} e^{− sen (x^{2})} d x$

425.

[T] $\int_{1}^{4} \frac{ln (1 / x)}{x} d x$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales, si es posible.

426.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{n}} d x,$ ¿para qué valores de $n$ esta integral converge o diverge?

427.

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{– x}}{x} d x$

En los siguientes ejercicios, considere la función gamma dada por $Γ (a) = \int_{0}^{\infty} e^{− y} y^{a - 1} d y .$

428.

Demuestre que $Γ (a) = (a - 1) Γ (a - 1) .$

429.

Amplíe para demostrar que $Γ (a) = (a - 1)!,$ asumiendo que $a$ es un número entero positivo.

El automóvil más rápido del mundo, el Bugati Veyron, puede alcanzar una velocidad máxima de 408 km/h. El gráfico representa su velocidad.

Esta figura tiene un gráfico en el primer cuadrante. Aumenta hasta que x es aproximadamente 03:00 mm:ss y luego desciende bruscamente. La altura máxima del gráfico, en la que se produce la caída, es de aproximadamente 420 km/h.

430.

[T] Utilice el gráfico para estimar la velocidad cada 20 segundos y ajústela a un gráfico de la forma $v (t) = a {exp}^{b x} sen (c x) + d .$ (Pista: Considere las unidades de tiempo).

431.

[T] Utilizando su función del problema anterior, calcule exactamente la distancia que recorrió el Bugati Veyron en los 1 min 40 s incluidos en el gráfico.