Objetivos de aprendizaje
- 3.5.1 Utilizar una tabla de integrales para resolver problemas de integración.
- 3.5.2 Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para resolver problemas de integración.
Además de las técnicas de integración que ya hemos visto, hay otras herramientas ampliamente disponibles para ayudar en el proceso de integración. Entre estas herramientas se encuentran las tablas de integración, que están disponibles en muchos libros, incluidos los apéndices de este. También están disponibles los sistemas de álgebra computacional (CAS), que se encuentran en las calculadoras y en muchos laboratorios informáticos de los campus y son gratuitos en línea.
Tablas de integrales
Las tablas de integración, si se utilizan de forma correcta, pueden ser una forma práctica de evaluar o comprobar una integral rápidamente. Tenga en cuenta que al utilizar una tabla para comprobar una respuesta, es posible que dos soluciones completamente correctas parezcan muy diferentes. Por ejemplo, en la Sustitución trigonométrica, encontramos que, utilizando la sustitución podemos llegar a
Sin embargo, utilizando obtuvimos una solución diferente, concretamente,
Posteriormente demostramos algebraicamente que las dos soluciones son equivalentes. Es decir, demostramos que En este caso, las dos antiderivadas que encontramos son realmente iguales. Esto no tiene por qué ser así. Sin embargo, mientras la diferencia de las dos antiderivadas sea una constante, son equivalentes.
Ejemplo 3.36
Uso de una fórmula de una tabla para evaluar una integral
Utilice la fórmula de la tabla
para evaluar
Solución
Si observamos las tablas de integración, veremos que varias fórmulas contienen expresiones de la forma Esta expresión es en realidad similar a donde y Tenga en cuenta que también debemos tener Multiplicando el numerador y el denominador de la integral dada por debería ayudar a poner esta integral en una forma útil. Por lo tanto, ahora tenemos
Sustituyendo y produce A partir de la tabla de integración (N.º 88 del Apéndice A),
Por lo tanto,
Sistemas de álgebra computacional
Si está disponible, un CAS es una alternativa más rápida que una tabla para resolver un problema de integración. Muchos de estos sistemas están ampliamente disponibles y son, en general, bastante fáciles de usar.
Ejemplo 3.37
Uso de un sistema de álgebra computacional para evaluar una integral
Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar Compare este resultado con un resultado que podríamos haber obtenido si hubiéramos utilizado la sustitución trigonométrica.
Solución
Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos
Observe que
Como estas dos antiderivadas solo difieren en una constante, las soluciones son equivalentes. También podríamos haber demostrado que cada una de estas antiderivadas es correcta diferenciándolas.
Medios
Puede acceder a una calculadora de integrales para ver más ejemplos.
Ejemplo 3.38
Uso de un CAS para evaluar una integral
Evalúe utilizando un CAS. Compare el resultado con el resultado que podríamos haber obtenido mediante la técnica de integración de potencias impares de que ya se ha comentado en este capítulo.
Solución
Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos
Esto parece bastante diferente de Para ver que estas antiderivadas son equivalentes, podemos hacer uso de algunas identidades trigonométricas:
Por lo tanto, las dos antiderivadas son idénticas.
También podemos utilizar un CAS para comparar los gráficos de las dos funciones, como se muestra en la siguiente figura.
Punto de control 3.21
Utilice un CAS para evaluar
Sección 3.5 ejercicios
Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales.
Utilice un CAS para evaluar las siguientes integrales. También se pueden utilizar tablas para verificar las respuestas.
[T]
[T]
[T]
[T]
[T]
[T]
Utilice una calculadora o un CAS para evaluar las siguientes integrales.
[T]
[T]
[T]
Utilice las tablas para evaluar las integrales. Es posible que tenga que completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en la forma dada en la tabla.
Utilice las tablas para realizar la integración.
La región delimitada entre la curva y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Utilice una tabla de integrales para calcular el volumen del sólido generado. (Redondee la respuesta a dos decimales).
Utilice la sustitución y una tabla de integrales para hallar el área de la superficie generada al girar la curva alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).
[T] Utilice una tabla de integrales y una calculadora para hallar el área de la superficie generada al girar la curva alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).
[T] Utilice un CAS o tablas para hallar el área de la superficie generada al girar la curva alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).
Halle la longitud de la curva en
Halle el área de la superficie formada al girar el gráfico de en el intervalo alrededor del eje x.
Aproxime la longitud de arco de la curva en el intervalo (Redondee la respuesta a tres decimales).