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Cálculo volumen 2

3.5 Otras estrategias de integración

Cálculo volumen 23.5 Otras estrategias de integración

Objetivos de aprendizaje

  • 3.5.1 Utilizar una tabla de integrales para resolver problemas de integración.
  • 3.5.2 Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para resolver problemas de integración.

Además de las técnicas de integración que ya hemos visto, hay otras herramientas ampliamente disponibles para ayudar en el proceso de integración. Entre estas herramientas se encuentran las tablas de integración, que están disponibles en muchos libros, incluidos los apéndices de este. También están disponibles los sistemas de álgebra computacional (CAS), que se encuentran en las calculadoras y en muchos laboratorios informáticos de los campus y son gratuitos en línea.

Tablas de integrales

Las tablas de integración, si se utilizan de forma correcta, pueden ser una forma práctica de evaluar o comprobar una integral rápidamente. Tenga en cuenta que al utilizar una tabla para comprobar una respuesta, es posible que dos soluciones completamente correctas parezcan muy diferentes. Por ejemplo, en la Sustitución trigonométrica, encontramos que, utilizando la sustitución x=tanθ,x=tanθ, podemos llegar a

dx1+x2 =ln(x+x2 +1)+C.dx1+x2 =ln(x+x2 +1)+C.

Sin embargo, utilizando x=senohθ,x=senohθ, obtuvimos una solución diferente, concretamente,

dx1+x2 =senoh−1x+C.dx1+x2 =senoh−1x+C.

Posteriormente demostramos algebraicamente que las dos soluciones son equivalentes. Es decir, demostramos que senoh−1x=ln(x+x2 +1).senoh−1x=ln(x+x2 +1). En este caso, las dos antiderivadas que encontramos son realmente iguales. Esto no tiene por qué ser así. Sin embargo, mientras la diferencia de las dos antiderivadas sea una constante, son equivalentes.

Ejemplo 3.36

Uso de una fórmula de una tabla para evaluar una integral

Utilice la fórmula de la tabla

a2 u2 u2 du=a2 u2 usen−1ua+Ca2 u2 u2 du=a2 u2 usen−1ua+C

para evaluar 16e2 xexdx.16e2 xexdx.

Sistemas de álgebra computacional

Si está disponible, un CAS es una alternativa más rápida que una tabla para resolver un problema de integración. Muchos de estos sistemas están ampliamente disponibles y son, en general, bastante fáciles de usar.

Ejemplo 3.37

Uso de un sistema de álgebra computacional para evaluar una integral

Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar dxx2 4.dxx2 4. Compare este resultado con ln|x2 42 +x2 |+C,ln|x2 42 +x2 |+C, un resultado que podríamos haber obtenido si hubiéramos utilizado la sustitución trigonométrica.

Medios

Puede acceder a una calculadora de integrales para ver más ejemplos.

Ejemplo 3.38

Uso de un CAS para evaluar una integral

Evalúe sen3xdxsen3xdx utilizando un CAS. Compare el resultado con 13cos3xcosx+C,13cos3xcosx+C, el resultado que podríamos haber obtenido mediante la técnica de integración de potencias impares de senxsenx que ya se ha comentado en este capítulo.

Punto de control 3.21

Utilice un CAS para evaluar dxx2 +4.dxx2 +4.

Sección 3.5 ejercicios

Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales.

244.

0 4 x 1 + 2 x d x 0 4 x 1 + 2 x d x

245.

x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x

246.

x 3 1 + 2 x 2 d x x 3 1 + 2 x 2 d x

247.

1 x 2 + 6 x d x 1 x 2 + 6 x d x

248.

x x + 1 d x x x + 1 d x

249.

x . 2 x 2 d x x . 2 x 2 d x

250.

1 4 x 2 + 25 d x 1 4 x 2 + 25 d x

251.

d y 4 y 2 d y 4 y 2

252.

sen 3 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x sen 3 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x

253.

csc ( 2 w ) cot ( 2 w ) d w csc ( 2 w ) cot ( 2 w ) d w

254.

2 y d y 2 y d y

255.

0 1 3 x d x x 2 + 8 0 1 3 x d x x 2 + 8

256.

−1 / 4 1 / 4 sec 2 ( π x ) tan ( π x ) d x −1 / 4 1 / 4 sec 2 ( π x ) tan ( π x ) d x

257.

0 π / 2 tan 2 ( x 2 ) d x 0 π / 2 tan 2 ( x 2 ) d x

258.

cos 3 x d x cos 3 x d x

259.

tan 5 ( 3 x ) d x tan 5 ( 3 x ) d x

260.

sen 2 y cos 3 y d y sen 2 y cos 3 y d y

Utilice un CAS para evaluar las siguientes integrales. También se pueden utilizar tablas para verificar las respuestas.

261.

[T] dw1+sec(w2 )dw1+sec(w2 ) grandes.

262.

[T] dw1cos(7w)dw1cos(7w)

263.

[T] 0tdt4cost+3sent0tdt4cost+3sent

264.

[T] x2 93xdxx2 93xdx

265.

[T] dxx1/2 +x1/3dxx1/2 +x1/3

266.

[T] dxxx1dxxx1

267.

[T] x3senxdxx3senxdx

268.

[T] xx49dxxx49dx

269.

[T] x1+ex2 dxx1+ex2 dx

270.

[T] 35x2 xdx35x2 xdx

271.

[T] dxxx1dxxx1

272.

[T] excos−1(ex)dxexcos−1(ex)dx

Utilice una calculadora o un CAS para evaluar las siguientes integrales.

273.

[T] 0π/4cos(2 x)dx0π/4cos(2 x)dx

274.

[T] 01x.ex2 dx01x.ex2 dx

275.

[T] 082 xx2 +36dx082 xx2 +36dx

276.

[T] 02 /314+9x2 dx02 /314+9x2 dx

277.

[T] dxx2 +4x+13dxx2 +4x+13

278.

[T] dx1+senxdx1+senx

Utilice las tablas para evaluar las integrales. Es posible que tenga que completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en la forma dada en la tabla.

279.

d x x 2 + 2 x + 10 d x x 2 + 2 x + 10

280.

d x x 2 6 x d x x 2 6 x

281.

e x e 2 x 4 d x e x e 2 x 4 d x

282.

cos x sen 2 x + 2 sen x d x cos x sen 2 x + 2 sen x d x

283.

arctan ( x 3 ) x 4 d x arctan ( x 3 ) x 4 d x

284.

ln | x | arcsen ( ln | x | ) x d x ln | x | arcsen ( ln | x | ) x d x

Utilice las tablas para realizar la integración.

285.

d x x 2 + 16 d x x 2 + 16

286.

3 x 2 x + 7 d x 3 x 2 x + 7 d x

287.

dx1cos(4x)dx1cos(4x) grandes.

288.

d x 4 x + 1 d x 4 x + 1

289.

Halle el área delimitada por y(4+25x2 )=5,x=0,y=0,yx=4.y(4+25x2 )=5,x=0,y=0,yx=4. Utilice una tabla de integrales o un CAS.

290.

La región delimitada entre la curva y=11+cosx,0,3x1,1,y=11+cosx,0,3x1,1, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Utilice una tabla de integrales para calcular el volumen del sólido generado. (Redondee la respuesta a dos decimales).

291.

Utilice la sustitución y una tabla de integrales para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y=ex,0x3,y=ex,0x3, alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

292.

[T] Utilice una tabla de integrales y una calculadora para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y=x2 2 ,0x1,y=x2 2 ,0x1, alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

293.

[T] Utilice un CAS o tablas para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y=cosx,0xπ2 ,y=cosx,0xπ2 , alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

294.

Halle la longitud de la curva y=x2 4y=x2 4 en [0,8].[0,8].

295.

Halle la longitud de la curva y=exy=ex en [0,ln(2 )].[0,ln(2 )].

296.

Halle el área de la superficie formada al girar el gráfico de y=2 xy=2 x en el intervalo [0,9][0,9] alrededor del eje x.

297.

Calcule el valor promedio de la función f(x)=1x2 +1f(x)=1x2 +1 en el intervalo [−3,3].[−3,3].

298.

Aproxime la longitud de arco de la curva y=tan(πx)y=tan(πx) en el intervalo [0,14].[0,14]. (Redondee la respuesta a tres decimales).

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