Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

3.5 Otras estrategias de integración

Objetivos de aprendizaje

3.5.1 Utilizar una tabla de integrales para resolver problemas de integración.
3.5.2 Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para resolver problemas de integración.

Además de las técnicas de integración que ya hemos visto, hay otras herramientas ampliamente disponibles para ayudar en el proceso de integración. Entre estas herramientas se encuentran las tablas de integración, que están disponibles en muchos libros, incluidos los apéndices de este. También están disponibles los sistemas de álgebra computacional (CAS), que se encuentran en las calculadoras y en muchos laboratorios informáticos de los campus y son gratuitos en línea.

Tablas de integrales

Las tablas de integración, si se utilizan de forma correcta, pueden ser una forma práctica de evaluar o comprobar una integral rápidamente. Tenga en cuenta que al utilizar una tabla para comprobar una respuesta, es posible que dos soluciones completamente correctas parezcan muy diferentes. Por ejemplo, en la Sustitución trigonométrica, encontramos que, utilizando la sustitución $x = tan θ,$ podemos llegar a

\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + C .

Sin embargo, utilizando $x = senoh θ,$ obtuvimos una solución diferente, concretamente,

\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = {senoh}^{−1} x + C .

Posteriormente demostramos algebraicamente que las dos soluciones son equivalentes. Es decir, demostramos que ${senoh}^{−1} x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .$ En este caso, las dos antiderivadas que encontramos son realmente iguales. Esto no tiene por qué ser así. Sin embargo, mientras la diferencia de las dos antiderivadas sea una constante, son equivalentes.

Ejemplo 3.36

Uso de una fórmula de una tabla para evaluar una integral

Utilice la fórmula de la tabla

\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u = - \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u} - {sen}^{−1} \frac{u}{a} + C

para evaluar $\int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x .$

Solución

Si observamos las tablas de integración, veremos que varias fórmulas contienen expresiones de la forma $\sqrt{a^{2} - u^{2}} .$ Esta expresión es en realidad similar a $\sqrt{16 - e^{2 x}},$ donde $a = 4$ y $u = e^{x} .$ Tenga en cuenta que también debemos tener $d u = e^{x} dx .$ Multiplicando el numerador y el denominador de la integral dada por $e^{x}$ debería ayudar a poner esta integral en una forma útil. Por lo tanto, ahora tenemos

\int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x = \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{2 x}} e^{x} d x .

Sustituyendo $u = e^{x}$ y $d u = e^{x} dx$ produce $\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u .$ A partir de la tabla de integración (N.º 88 del Apéndice A),

\int \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u = - \frac{\sqrt{a^{2} - u^{2}}}{u} - {sen}^{−1} \frac{u}{a} + C .

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{x}} d x & = \int \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{e^{2 x}} e^{x} d x & Sustituya u = e^{x} y d u = e^{x} d x . \\ = \int \frac{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}{u^{2}} d u & Aplique la fórmula utilizando a = 4 . \\ = - \frac{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}{u} - {sen}^{−1} \frac{u}{4} + C & Sustituya u = e^{x} . \\ = - \frac{\sqrt{16 - e^{2 x}}}{u} - {sen}^{−1} (\frac{e^{x}}{4}) + C . \end{matrix}

Sistemas de álgebra computacional

Si está disponible, un CAS es una alternativa más rápida que una tabla para resolver un problema de integración. Muchos de estos sistemas están ampliamente disponibles y son, en general, bastante fáciles de usar.

Ejemplo 3.37

Uso de un sistema de álgebra computacional para evaluar una integral

Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 4}} .$ Compare este resultado con $ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2} + \frac{x}{2} | + C,$ un resultado que podríamos haber obtenido si hubiéramos utilizado la sustitución trigonométrica.

Solución

Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = ln | \sqrt{x^{2} - 4} + x | + C .

Observe que

ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2} + \frac{x}{2} | + C = ln | \frac{\sqrt{x^{2} - 4} + x}{2} | + C = ln | \sqrt{x^{2} - 4} + x | - ln 2 + C .

Como estas dos antiderivadas solo difieren en una constante, las soluciones son equivalentes. También podríamos haber demostrado que cada una de estas antiderivadas es correcta diferenciándolas.

Medios

Puede acceder a una calculadora de integrales para ver más ejemplos.

Ejemplo 3.38

Uso de un CAS para evaluar una integral

Evalúe $\int^{} {sen}^{3} x d x$ utilizando un CAS. Compare el resultado con $\frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x + C,$ el resultado que podríamos haber obtenido mediante la técnica de integración de potencias impares de $sen x$ que ya se ha comentado en este capítulo.

Solución

Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos

\int {sen}^{3} x d x = \frac{1}{12} (cos (3 x) - 9 cos x) + C .

Esto parece bastante diferente de $\frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x + C .$ Para ver que estas antiderivadas son equivalentes, podemos hacer uso de algunas identidades trigonométricas:

\begin{matrix} \frac{1}{12} (cos (3 x) - 9 cos x) & = \frac{1}{12} (cos (x + 2 x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (cos (x) cos (2 x) - sen (x) sen (2 x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (cos x (2 {cos}^{2} x - 1) - sen x (2 sen x cos x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (2 {cos}^{3} x - cos x - 2 cos x (1 - {cos}^{2} x) - 9 cos x) \\ = \frac{1}{12} (4 {cos}^{3} x - 12 cos x) \\ = \frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x . \end{matrix}

Por lo tanto, las dos antiderivadas son idénticas.

También podemos utilizar un CAS para comparar los gráficos de las dos funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Este es el gráfico de una función periódica. Las ondas tienen una amplitud de aproximadamente 0,7 y un periodo de aproximadamente 10. El gráfico representa las funciones y = cos^3(x)/3 - cos(x) y y = 1/12(cos(3x)-9cos(x). El gráfico es el mismo para ambas funciones. — Figura 3.12 Los gráficos de $y = \frac{1}{3} {cos}^{3} x - cos x$ como $y = \frac{1}{12} (cos (3 x) - 9 cos x)$ son idénticos.

Punto de control 3.21

Utilice un CAS para evaluar $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 4}} .$

Sección 3.5 ejercicios

Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales.

244.

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

245.

$\int \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x + 2} d x$

246.

$\int x^{3} \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

247.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x}} d x$

248.

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

249.

$\int x . 2^{x^{2}} d x$

250.

$\int \frac{1}{4 x^{2} + 25} d x$

251.

$\int \frac{d y}{\sqrt{4 - y^{2}}}$

252.

$\int {sen}^{3} (2 x) cos (2 x) d x$

253.

$\int csc (2 w) cot (2 w) d w$

254.

$\int 2^{y} d y$

255.

$\int_{0}^{1} \frac{3 x d x}{\sqrt{x^{2} + 8}}$

256.

$\int_{−1 / 4}^{1 / 4} {sec}^{2} (π x) tan (π x) d x$

257.

$\int_{0}^{π / 2} {tan}^{2} (\frac{x}{2}) d x$

258.

$\int {cos}^{3} x d x$

259.

$\int {tan}^{5} (3 x) d x$

260.

$\int {sen}^{2} y {cos}^{3} y d y$

Utilice un CAS para evaluar las siguientes integrales. También se pueden utilizar tablas para verificar las respuestas.

261.

[T] $\int \frac{d w}{1 + sec (\frac{w}{2})}$ grandes.

262.

[T] $\int \frac{d w}{1 - cos (7 w)}$

263.

[T] $\int_{0}^{t} \frac{d t}{4 cos t + 3 sen t}$

264.

[T] $\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{3 x} d x$

265.

[T] $\int \frac{d x}{x^{1 / 2} + x^{1 / 3}}$

266.

[T] $\int \frac{d x}{x \sqrt{x - 1}}$

267.

[T] $\int x^{3} sen x d x$

268.

[T] $\int x \sqrt{x^{4} - 9} d x$

269.

[T] $\int \frac{x}{1 + e^{– x^{2}}} d x$

270.

[T] $\int \frac{\sqrt{3 - 5 x}}{2 x} d x$

271.

[T] $\int \frac{d x}{x \sqrt{x - 1}}$

272.

[T] $\int e^{x} {cos}^{−1} (e^{x}) d x$

Utilice una calculadora o un CAS para evaluar las siguientes integrales.

273.

[T] $\int_{0}^{π / 4} cos (2 x) d x$

274.

[T] $\int_{0}^{1} x . e^{– x^{2}} d x$

275.

[T] $\int_{0}^{8} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

276.

[T] $\int_{0}^{2 / \sqrt{3}} \frac{1}{4 + 9 x^{2}} d x$

277.

[T] $\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 13}$

278.

[T] $\int \frac{d x}{1 + sen x}$

Utilice las tablas para evaluar las integrales. Es posible que tenga que completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en la forma dada en la tabla.

279.

$\int \frac{d x}{x^{2} + 2 x + 10}$

280.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 6 x}}$

281.

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 4}} d x$

282.

$\int \frac{cos x}{{sen}^{2} x + 2 sen x} d x$

283.

$\int \frac{arctan (x^{3})}{x^{4}} d x$

284.

$\int \frac{ln | x | arcsen (ln | x |)}{x} d x$

Utilice las tablas para realizar la integración.

285.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

286.

$\int \frac{3 x}{2 x + 7} d x$

287.

$\int \frac{d x}{1 - cos (4 x)}$ grandes.

288.

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x + 1}}$

289.

Halle el área delimitada por $y (4 + 25 x^{2}) = 5, x = 0, y = 0, y x = 4 .$ Utilice una tabla de integrales o un CAS.

290.

La región delimitada entre la curva $y = \frac{1}{\sqrt{1 + cos x}}, 0,3 \leq x \leq 1,1,$ y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Utilice una tabla de integrales para calcular el volumen del sólido generado. (Redondee la respuesta a dos decimales).

291.

Utilice la sustitución y una tabla de integrales para hallar el área de la superficie generada al girar la curva $y = e^{x}, 0 \leq x \leq 3,$ alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

292.

[T] Utilice una tabla de integrales y una calculadora para hallar el área de la superficie generada al girar la curva $y = \frac{x^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1,$ alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

293.

[T] Utilice un CAS o tablas para hallar el área de la superficie generada al girar la curva $y = cos x, 0 \leq x \leq \frac{π}{2},$ alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos decimales).

294.

Halle la longitud de la curva $y = \frac{x^{2}}{4}$ en $[0, 8] .$

295.

Halle la longitud de la curva $y = e^{x}$ en $[0, ln (2)] .$

296.

Halle el área de la superficie formada al girar el gráfico de $y = 2 \sqrt{x}$ en el intervalo $[0, 9]$ alrededor del eje x.

297.

Calcule el valor promedio de la función $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ en el intervalo $[−3, 3] .$

298.

Aproxime la longitud de arco de la curva $y = tan (π x)$ en el intervalo $[0, \frac{1}{4}] .$ (Redondee la respuesta a tres decimales).