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Cálculo volumen 2

3.6 Integración numérica

Cálculo volumen 23.6 Integración numérica

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.6.1 Aproximar el valor de una integral definida utilizando las reglas del punto medio y la trapezoidal.
  • 3.6.2 Determinar el error absoluto y relativo al utilizar una técnica de integración numérica.
  • 3.6.3 Estimar el error absoluto y relativo mediante una fórmula de limitación de errores.
  • 3.6.4 Reconocer cuándo las reglas del punto medio y trapezoidal sobrestiman o subestiman el valor real de una integral.
  • 3.6.5 Utilizar la regla de Simpson para aproximar el valor de una integral definida con una exactitud determinada.

Las antiderivadas de muchas funciones no se pueden expresar o no se pueden expresar fácilmente en forma cerrada (es decir, en términos de funciones conocidas). En consecuencia, en vez de evaluar directamente las integrales definidas de estas funciones, recurrimos a diversas técnicas de integración numérica para aproximar sus valores. En esta sección exploramos varias de estas técnicas. Además, examinamos el proceso de estimación del error al utilizar estas técnicas.

La regla del punto medio

Anteriormente en este texto hemos definido la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de las sumas de Riemann. En general, cualquier suma de Riemann de una función f(x)f(x) en un intervalo [a,b][a,b] puede verse como una estimación de abf(x)dx.abf(x)dx. Recordemos que la suma de Riemann de una función f(x)f(x) en un intervalo [a,b][a,b] se obtiene seleccionando una partición

P={x0,x1,x2 ,…,xn},dondea=x0<x1<x2 <<xn=bP={x0,x1,x2 ,…,xn},dondea=x0<x1<x2 <<xn=b

y un conjunto

S={x1*,x2 *,…,xn*},dondexi1xi*xipara todoi.S={x1*,x2 *,…,xn*},dondexi1xi*xipara todoi.

La suma de Riemann correspondiente a la partición PP y el conjunto SS está dado por i=1nf(xi*)Δxi,i=1nf(xi*)Δxi, donde Δxi=xixi1,Δxi=xixi1, la longitud del i−ésimo subintervalo.

La regla del punto medio para estimar una integral definida utiliza una suma de Riemann con subintervalos de igual ancho y los puntos medios, mi,mi, de cada subintervalo en vez de xi*.xi*. Formalmente, enunciamos un teorema relativo a la convergencia de la regla del punto medio de la siguiente forma.

Teorema 3.3

La regla del punto medio

Supongamos que f(x)f(x) es continua en [a,b].[a,b]. Supongamos que n es un número entero positivo y Δx=ban.Δx=ban. Si [a,b][a,b] se divide en nn subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δx,Δx, y mimi es el punto medio del i−ésimo subintervalo, establezca

Mn=i=1nf(mi)Δx.Mn=i=1nf(mi)Δx.
(3.10)

Entonces límnMn=abf(x)dx.límnMn=abf(x)dx.

Como podemos ver en la Figura 3.13, si f(x)0f(x)0 en [a,b],[a,b], entonces i=1nf(mi)Δxi=1nf(mi)Δx corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan el área entre el gráfico de f(x)f(x) y el eje x en [a,b].[a,b]. El gráfico muestra los rectángulos correspondientes a M4M4 para una función no negativa en un intervalo cerrado [a,b].[a,b].

Esta figura es un gráfico de una función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. Comenzando en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0, hay rectángulos sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de msub1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 y b = x sub 4.
Figura 3.13 La regla del punto medio aproxima el área entre el gráfico de f ( x ) f ( x ) y el eje x sumando las áreas de los rectángulos con puntos medios que son puntos en f ( x ) . f ( x ) .

Ejemplo 3.39

Usar la regla del punto medio con M4M4

Utilice la regla del punto medio para estimar 01x2 dx01x2 dx utilizando cuatro subintervalos. Compare el resultado con el valor real de esta integral.

Ejemplo 3.40

Usar la regla del punto medio con M6M6

Utilice M6M6 para estimar la longitud de la curva y=12 x2 y=12 x2 en [1,4].[1,4].

Punto de control 3.22

Utilice la regla del punto medio con n=2 n=2 para estimar 12 1xdx.12 1xdx.

La regla trapezoidal

También podemos aproximar el valor de una integral definida utilizando trapecios en vez de rectángulos. En la Figura 3.14, el área bajo la curva se aproxima mediante trapecios en vez de rectángulos.

Esta figura es un gráfico de una función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. Comenzando en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0, hay trapecios sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de a = x sub 0, x sub 1, x sub 2, x sub 3, y b = x sub 4.
Figura 3.14 Los trapecios pueden utilizarse para aproximar el área bajo una curva, aproximando así la integral definida.

La regla trapezoidal para estimar integrales definidas utiliza trapecios en vez de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Para comprender la forma final de la regla, consideremos los trapecios que se muestran en la Figura 3.14. Suponemos que la longitud de cada subintervalo está dada por Δx.Δx. En primer lugar, recordemos que el área de un trapecio con una altura h y bases de longitud b1b1 como de b2 b2 está dada por Área=12 h(b1+b2 ).Área=12 h(b1+b2 ). Vemos que el primer trapecio tiene una altura ΔxΔx y bases paralelas de longitud f(x0)f(x0) y f(x1).f(x1). Por lo tanto, el área del primer trapecio en la Figura 3.14 es

12 Δx(f(x0)+f(x1)).12 Δx(f(x0)+f(x1)).

Las áreas de los tres trapecios restantes son

12 Δx(f(x1)+f(x2 )),12 Δx(f(x2 )+f(x3)),y12 Δx(f(x3)+f(x4)).12 Δx(f(x1)+f(x2 )),12 Δx(f(x2 )+f(x3)),y12 Δx(f(x3)+f(x4)).

En consecuencia,

abf(x)dx12 Δx(f(x0)+f(x1))+12 Δx(f(x1)+f(x2 ))+12 Δx(f(x2 )+f(x3))+12 Δx(f(x3)+f(x4)).abf(x)dx12 Δx(f(x0)+f(x1))+12 Δx(f(x1)+f(x2 ))+12 Δx(f(x2 )+f(x3))+12 Δx(f(x3)+f(x4)).

Después de sacar un factor común de 12 Δx12 Δx y combinando términos semejantes, tenemos

abf(x)dx12 Δx(f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2 )+2 f(x3)+f(x4)).abf(x)dx12 Δx(f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2 )+2 f(x3)+f(x4)).

Generalizando, enunciamos formalmente la siguiente regla.

Teorema 3.4

La regla trapezoidal

Supongamos que f(x)f(x) es continua en [a,b].[a,b]. Supongamos que n es un número entero positivo y Δx=ban.Δx=ban. Supongamos que [a,b][a,b] se divide en nn subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δx,Δx, con puntos finales en P={x0,x1,x2 ,xn}.P={x0,x1,x2 ,xn}. Establezca que

Tn=12 Δx(f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2 )++2 f(xn1)+f(xn)).Tn=12 Δx(f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2 )++2 f(xn1)+f(xn)).
(3.11)

Entonces, límn+Tn=abf(x)dx.límn+Tn=abf(x)dx.

Antes de continuar, hagamos algunas observaciones sobre la regla trapezoidal. En primer lugar, es útil señalar que

Tn=12 (Ln+Rn)dondeLn=i=1nf(xi1)ΔxyRn=i=1nf(xi)Δx.Tn=12 (Ln+Rn)dondeLn=i=1nf(xi1)ΔxyRn=i=1nf(xi)Δx.

Es decir, LnLn y RnRn aproximan la integral utilizando los puntos extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo, respectivamente. Además, un análisis cuidadoso de la Figura 3.15 nos lleva a hacer las siguientes observaciones sobre el uso de las reglas trapezoidales y las reglas del punto medio para estimar la integral definida de una función no negativa. La regla trapezoidal tiende a sobreestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y a subestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Por otro lado, la regla del punto medio tiende a promediar un poco estos errores al sobrestimar y subestimar parcialmente el valor de la integral definida en estos mismos tipos de intervalos. Esto nos lleva a plantear la hipótesis de que, en general, la regla del punto medio tiende a ser más precisa que la regla trapezoidal.

Esta figura tiene dos gráficos, ambos de la misma función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. En el primer gráfico, comenzando en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0, hay trapecios sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de a = x sub 0, xsub1, x sub 2, x sub 3 y b = x sub 4. El segundo gráfico comienza en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0. Hay rectángulos sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de m sub 1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 y b = x sub 4.
Figura 3.15 La regla trapezoidal tiende a ser menos precisa que la regla del punto medio.

Ejemplo 3.41

Uso de la regla trapezoidal

Utilice la regla trapezoidal para estimar 01x2 dx01x2 dx utilizando cuatro subintervalos.

Punto de control 3.23

Utilice la regla trapezoidal con n=2 n=2 para estimar 12 1xdx.12 1xdx.

Error absoluto y relativo

Un aspecto importante de la utilización de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error cuando se utilizan para estimar el valor de una integral definida. Primero tenemos que definir el error absoluto y el error relativo.

Definición

Si BB es nuestra estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de A,A, entonces el error absoluto está dado por |AB|.|AB|. El error relativo es el error en porcentaje del valor absoluto y está dado por |ABA|=|ABA|.100 %.|ABA|=|ABA|.100 %.

Ejemplo 3.42

Cálculo del error en la regla del punto medio

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de 01x2 dx01x2 dx utilizando la regla del punto medio, que se encuentra en el Ejemplo 3.39.

Ejemplo 3.43

Cálculo del error en la regla trapezoidal

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de 01x2 dx01x2 dx utilizando la regla trapezoidal, que se encuentra en el Ejemplo 3.41.

Punto de control 3.24

En un punto de control anterior, estimamos 12 1xdx12 1xdx para que fuera 24352435 utilizando T2 .T2 . El valor real de esta integral es ln2 .ln2 . Utilizando 24350,685724350,6857 y ln2 0,6931,ln2 0,6931, calcule el error absoluto y el error relativo.

En los dos ejemplos anteriores, pudimos comparar nuestra estimación de una integral con el valor real de la misma; sin embargo, no solemos tener este lujo. En general, si estamos aproximando una integral, lo hacemos porque no podemos calcular fácilmente el valor exacto de la propia integral. Por lo tanto, a menudo es útil poder determinar un límite superior para el error en una aproximación de una integral. El siguiente teorema proporciona límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal. El teorema se enuncia sin pruebas.

Teorema 3.5

Límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal

Supongamos que f(x)f(x) es una función continua en [a,b],[a,b], que tiene una segunda derivada f(x)f(x) en este intervalo. Si MM es el valor máximo de |f(x)||f(x)| en [a,b],[a,b], entonces los límites superiores para el error en el uso de MnMn y TnTn para estimar abf(x)dxabf(x)dx son

Error enMnM(ba)324n2 Error enMnM(ba)324n2
(3.12)

y

Error enTnM(ba)312n2 .Error enTnM(ba)312n2 .
(3.13)

Podemos utilizar estos límites para determinar el valor de nn necesario para garantizar que el error de una estimación sea inferior a un valor específico.

Ejemplo 3.44

Determinación del número de intervalos a utilizar

¿Qué valor de nn debe utilizarse para garantizar que una estimación de 01ex2 dx01ex2 dx tiene una precisión de 0,01 si utilizamos la regla del punto medio?

Análisis

Podríamos haber estado tentados de redondear 8,248,24 hacia abajo y elegir n=8,n=8, pero esto sería incorrecto porque debemos tener un número entero mayor o igual a 8,24.8,24. Debemos tener en cuenta que las estimaciones de error solo proporcionan un límite superior para el error. De hecho, la estimación real puede ser una aproximación mucho mejor de lo que indica el límite de error.

Punto de control 3.25

Utilice la Ecuación 3.13 para hallar un límite superior para el error al utilizar M4M4 para estimar 01x2 dx.01x2 dx.

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos las áreas de las regiones bajo las curvas utilizando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes a trozos. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva utilizando funciones lineales a trozos. ¿Y si, en cambio, aproximáramos una curva utilizando funciones cuadráticas a trozos? Con la regla de Simpson hacemos precisamente esto. Partimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de ellos de igual ancho. En el primer par de subintervalos aproximamos x0x2 f(x)dxx0x2 f(x)dx con x0x2 p(x)dx,x0x2 p(x)dx, donde p(x)=Ax2 +Bx+Cp(x)=Ax2 +Bx+C es la función cuadrática que pasa por (x0,f(x0)),(x0,f(x0)), (x1,f(x1)),(x1,f(x1)), y (x2 ,f(x2 ))(x2 ,f(x2 )) (Figura 3.16). En el siguiente par de subintervalos aproximamos x2 x4f(x)dxx2 x4f(x)dx con la integral de otra función cuadrática que pasa por (x2 ,f(x2 )),(x2 ,f(x2 )), (x3,f(x3)),(x3,f(x3)), y (x4,f(x4)).(x4,f(x4)). Este proceso se continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

Esta figura tiene dos gráficos, ambos de la misma función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. En el primer gráfico, comenzando en el eje x en el punto marcado como x sub 0, hay trapecios sombreados cuyas alturas están representadas por la función p(x), que es una curva que sigue una trayectoria aproximada del gráfico original. El eje x está escalado por incrementos de x sub 0, x sub 1, x sub 2. El segundo gráfico comienza en el eje x en el punto marcado como x sub 0. Hay regiones sombreadas bajo la curva, divididas por x sub 0, x sub 1, x sub 2, x sub 3 y x sub 4. La curva se divide en dos partes diferentes por encima de las zonas sombreadas. Estas dos partes se denominan p sub 1(x) y p sub 2(x).
Figura 3.16 Con la regla de Simpson aproximamos una integral definida integrando una función cuadrática a trozos.

Para entender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, empezamos por derivar una fórmula para esta aproximación sobre los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la derivación, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

f(x0)=p(x0)=Ax02 +Bx0+Cf(x1)=p(x1)=Ax12 +Bx1+Cf(x2 )=p(x2 )=Ax2 2 +Bx2 +Cf(x0)=p(x0)=Ax02 +Bx0+Cf(x1)=p(x1)=Ax12 +Bx1+Cf(x2 )=p(x2 )=Ax2 2 +Bx2 +C

x2 x0=2 Δx,x2 x0=2 Δx, donde ΔxΔx es la longitud de un subintervalo.

x2 +x0=2 x1,dado quex1=(x2 +x0)2 .x2 +x0=2 x1,dado quex1=(x2 +x0)2 .

Por lo tanto,

x0x2 f(x)dxx0x2 p(x)dx=x0x2 (Ax2 +Bx+C)dx=A3x3+B2 x2 +Cx|x2 x0Calcule la antiderivada.=A3(x2 3x03)+B2 (x2 2 x02 )+C(x2 x0)Evalúe la antiderivada.=A3(x2 x0)(x2 2 +x2 x0+x02 )+B2 (x2 x0)(x2 +x0)+C(x2 x0)=x2 x06(2 A(x2 2 +x2 x0+x02 )+3B(x2 +x0)+6C)Saque el factor comúnx2 x06.=Δx3((Ax2 2 +Bx2 +C)+(Ax02 +Bx0+C)+A(x2 2 +2 x2 x0+x02 )+2 B(x2 +x0)+4C)=Δx3(f(x2 )+f(x0)+A(x2 +x0)2 +2 B(x2 +x0)+4C)Reordene los términos.Factorice y sustituyaf(x2 )=Ax2 2 +Bx2 +Cyf(x0)=Ax02 +Bx0+C.=Δx3(f(x2 )+f(x0)+A(2 x1)2 +2 B(2 x1)+4C)Sustituyax2 +x0=2 x1.=Δx3(f(x2 )+4f(x1)+f(x0)).Expanda y sustituyaf(x1)=Ax12 +Bx1+C.x0x2 f(x)dxx0x2 p(x)dx=x0x2 (Ax2 +Bx+C)dx=A3x3+B2 x2 +Cx|x2 x0Calcule la antiderivada.=A3(x2 3x03)+B2 (x2 2 x02 )+C(x2 x0)Evalúe la antiderivada.=A3(x2 x0)(x2 2 +x2 x0+x02 )+B2 (x2 x0)(x2 +x0)+C(x2 x0)=x2 x06(2 A(x2 2 +x2 x0+x02 )+3B(x2 +x0)+6C)Saque el factor comúnx2 x06.=Δx3((Ax2 2 +Bx2 +C)+(Ax02 +Bx0+C)+A(x2 2 +2 x2 x0+x02 )+2 B(x2 +x0)+4C)=Δx3(f(x2 )+f(x0)+A(x2 +x0)2 +2 B(x2 +x0)+4C)Reordene los términos.Factorice y sustituyaf(x2 )=Ax2 2 +Bx2 +Cyf(x0)=Ax02 +Bx0+C.=Δx3(f(x2 )+f(x0)+A(2 x1)2 +2 B(2 x1)+4C)Sustituyax2 +x0=2 x1.=Δx3(f(x2 )+4f(x1)+f(x0)).Expanda y sustituyaf(x1)=Ax12 +Bx1+C.

Si aproximamos x2 x4f(x)dxx2 x4f(x)dx utilizando el mismo método, vemos que tenemos

x0x4f(x)dxΔx3(f(x4)+4f(x3)+f(x2 )).x0x4f(x)dxΔx3(f(x4)+4f(x3)+f(x2 )).

Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos

x0x4f(x)dx=Δx3(f(x0)+4f(x1)+2 f(x2 )+4f(x3)+f(x4)).x0x4f(x)dx=Δx3(f(x0)+4f(x1)+2 f(x2 )+4f(x3)+f(x4)).

El patrón continúa a medida que añadimos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede ser la siguiente.

Teorema 3.6

Regla de Simpson

Supongamos que f(x)f(x) es continua en [a,b].[a,b]. Supongamos que n es un número entero par positivo y Δx=ban.Δx=ban. Supongamos que [a,b][a,b] se divide en nn subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δx,Δx, con puntos finales en P={x0,x1,x2 ,…,xn}.P={x0,x1,x2 ,…,xn}. Establezca que

Sn=Δx3(f(x0)+4f(x1)+2 f(x2 )+4f(x3)+2 f(x4)++2 f(xn2 )+4f(xn1)+f(xn)).Sn=Δx3(f(x0)+4f(x1)+2 f(x2 )+4f(x3)+2 f(x4)++2 f(xn2 )+4f(xn1)+f(xn)).
(3.14)

Entonces,

límn+Sn=abf(x)dx.límn+Sn=abf(x)dx.

Al igual que la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y de la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson puede obtenerse a partir de las reglas del punto medio y de la trapezoidal utilizando un promedio ponderado. Se puede demostrar que S2 n=(2 3)Mn+(13)Tn.S2 n=(2 3)Mn+(13)Tn.

También es posible poner un límite al error cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite del error viene dado por la siguiente regla:

Regla: límite de error para la regla de Simpson

Supongamos que f(x)f(x) es una función continua en [a,b][a,b] que tiene una cuarta derivada, f(4)(x),f(4)(x), en este intervalo. Si MM es el valor máximo de |f(4)(x)||f(4)(x)| en [a,b],[a,b], entonces el límite superior del error al utilizar SnSn para estimar abf(x)dxabf(x)dx está dada por

Error enSnM(ba)5180n4.Error enSnM(ba)5180n4.
(3.15)

Ejemplo 3.45

Aplicación de la regla de Simpson 1

Utilice S2 S2 para aproximar a 01x3dx.01x3dx. Estime un límite para el error en S2 .S2 .

Ejemplo 3.46

Aplicación de la regla de Simpson 2

Utilice S6S6 para estimar la longitud de la curva y=12 x2 y=12 x2 en [1,4].[1,4].

Punto de control 3.26

Utilice S2 S2 para estimar 12 1xdx.12 1xdx.

Sección 3.6 ejercicios

Aproxime las siguientes integrales utilizando la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson, según se indique (redondee las respuestas a tres decimales).

299.

12 dxx;12 dxx; regla trapezoidal; n=5n=5

300.

034+x3dx;034+x3dx; regla trapezoidal; n=6n=6

301.

034+x3dx;034+x3dx; regla trapezoidal; nn =3nn =3

302.

012x2 dx;012x2 dx; regla del punto medio; n=6n=6

303.

01sen2 (πx)dx;01sen2 (πx)dx; regla del punto medio; nn =3nn =3

304.

Utilice la regla del punto medio con ocho subdivisiones para estimar 2 4x2 dx.2 4x2 dx.

305.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar 2 4x2 dx.2 4x2 dx.

306.

Halle el valor exacto de 2 4x2 dx.2 4x2 dx. Calcule el error de aproximación entre el valor exacto y el valor calculado mediante la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones. Dibuje un gráfico para ilustrarlo.

Aproxime la integral a tres decimales utilizando la regla indicada.

307.

01sen2 (πx)dx;01sen2 (πx)dx; regla trapezoidal; n=6n=6

308.

0311+x3dx;0311+x3dx; regla trapezoidal; n=6n=6

309.

0311+x3dx;0311+x3dx; regla trapezoidal; nn =3nn =3

310.

00,8ex2 dx;00,8ex2 dx; regla trapezoidal; n=4n=4

311.

00,8ex2 dx;00,8ex2 dx; regla de Simpson; n=4n=4

312.

00,4sen(x2 )dx;00,4sen(x2 )dx; regla trapezoidal; n=4n=4

313.

00,4sen(x2 )dx;00,4sen(x2 )dx; regla de Simpson; n=4n=4

314.

0,10,5cosxxdx;0,10,5cosxxdx; regla trapezoidal; n=4n=4

315.

0,10,5cosxxdx;0,10,5cosxxdx; regla de Simpson; n=4n=4

316.

Evalúe 01dx1+x2 01dx1+x2 exactamente y demuestre que el resultado es π/4.π/4. A continuación, halle el valor aproximado de la integral utilizando la regla trapezoidal con n=4n=4 subdivisiones. Utilice el resultado para aproximar el valor de π.π.

317.

Aproxime 2 41lnxdx2 41lnxdx utilizando la regla del punto medio con cuatro subdivisiones y redondee a cuatro decimales.

318.

Aproxime 2 41lnxdx2 41lnxdx utilizando la regla trapezoidal con ocho subdivisiones y redondee a cuatro decimales.

319.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar 00,8x3dx00,8x3dx con cuatro decimales.

320.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar 00,8x3dx.00,8x3dx. Compare este valor con el valor exacto y calcule la estimación del error.

321.

Utilizando la regla de Simpson con cuatro subdivisiones, calcule 0π/2 cos(x)dx.0π/2 cos(x)dx.

322.

Demuestre que el valor exacto de 01xexdx=12 e.01xexdx=12 e. Calcule el error absoluto si aproxima la integral utilizando la regla del punto medio con 16 subdivisiones.

323.

Dada 01xexdx=12 e,01xexdx=12 e, utilice la regla trapezoidal con 16 subdivisiones para aproximar la integral y hallar el error absoluto.

324.

Halle un límite superior para el error de estimación 03(5x+4)dx03(5x+4)dx utilizando la regla trapezoidal con seis pasos.

325.

Halle un límite superior para el error de estimación 451(x1)2 dx451(x1)2 dx utilizando la regla trapezoidal con siete subdivisiones.

326.

Halle un límite superior para el error de estimación 03(6x2 1)dx03(6x2 1)dx utilizando la regla de Simpson con n=10n=10 pasos.

327.

Halle un límite superior para el error de estimación 2 51x1dx2 51x1dx utilizando la regla de Simpson con n=10n=10 pasos.

328.

Halle un límite superior para el error de estimación 0π2 xcos(x)dx0π2 xcos(x)dx utilizando la regla de Simpson con cuatro pasos.

329.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral 14(5x2 +8)dx14(5x2 +8)dx con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

330.

Determine un valor n tal que la regla trapezoidal aproxime la integral 011+x2 dx011+x2 dx con un error no superior a 0,01.

331.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral 2 3(2 x3+4x)dx2 3(2 x3+4x)dx con un error de magnitud inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

332.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral 341(x1)2 dx341(x1)2 dx con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

333.

Utilice la regla de Simpson con cuatro subdivisiones para aproximar el área bajo la función de densidad de probabilidad y=12 πex2 /2 y=12 πex2 /2 de x=0x=0 hasta x=0,4.x=0,4.

334.

Utilice la regla de Simpson con n=14n=14 para aproximar (con tres decimales) el área de la región delimitada por los gráficos de y=0,y=0, x=0,x=0, y x=π/2 .x=π/2 .

335.

La longitud de un arco de la curva y=3sen(2 x)y=3sen(2 x) está dada por L=0π/2 1+36cos2 (2 x)dx.L=0π/2 1+36cos2 (2 x)dx. Estime L utilizando la regla trapezoidal con n=6.n=6.

336.

La longitud de la elipse x=acos(t),y=bsen(t),0t2 πx=acos(t),y=bsen(t),0t2 π está dada por L=4a0π/2 1e2 cos2 (t)dt,L=4a0π/2 1e2 cos2 (t)dt, donde e es la excentricidad de la elipse. Utilice la regla de Simpson con n=6n=6 subdivisiones para estimar la longitud de la elipse cuando a=2 a=2 y e=1/3.e=1/3.

337.

Estime el área superficial generada cuando se gira la curva y=cos(2 x),0xπ4y=cos(2 x),0xπ4 alrededor del eje x. Utilice la regla trapezoidal con seis subdivisiones.

338.

Estime el área superficial generada cuando se gira la curva y=2 x2 ,y=2 x2 , 0x30x3 alrededor del eje x. Utilice la regla de Simpson con n=6.n=6.

339.

La tasa de crecimiento de un determinado árbol (en pies) está dada por y=2 t+1+et2 /2 ,y=2 t+1+et2 /2 , donde t es el tiempo en años. Estime el crecimiento del árbol hasta el final del segundo año utilizando la regla de Simpson con dos subintervalos (redondee la respuesta a la centésima más cercana).

340.

[T] Use una calculadora para aproximar 01sen(πx)dx01sen(πx)dx utilizando la regla del punto medio con 25 subdivisiones. Calcule el error relativo de aproximación.

341.

[T] Dada 15(3x2 2 x)dx=100,15(3x2 2 x)dx=100, aproxime el valor de esta integral utilizando la regla trapezoidal con 16 subdivisiones y determine el error absoluto.

342.

Dado que conocemos el teorema fundamental del cálculo, ¿por qué querríamos desarrollar métodos numéricos para integrales definidas?

343.

La tabla representa las coordenadas (x,y)(x,y) que dan el límite de un terreno. Las unidades de medida son metros. Utilice la regla trapezoidal para estimar el número de metros cuadrados de terreno que hay en este terreno.

x y x y
0 125 600 95
100 125 700 88
200 120 800 75
300 112 900 35
400 90 1.000 0
500 90
344.

Elija la respuesta correcta. Cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar la integral definida, es necesario que el número de particiones sea____

  1. un número par
  2. un número impar
  3. un número par o impar
  4. un múltiplo de 4
345.

La suma de "Simpson" se basa en el área bajo un ____.

346.

La fórmula de error de la regla de Simpson depende de___.

  1. f(x)f(x) grandes.
  2. f(x)f(x) grandes.
  3. f(4)(x)f(4)(x)
  4. el número de pasos
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