Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.6.1 Aproximar el valor de una integral definida utilizando las reglas del punto medio y la trapezoidal.
3.6.2 Determinar el error absoluto y relativo al utilizar una técnica de integración numérica.
3.6.3 Estimar el error absoluto y relativo mediante una fórmula de limitación de errores.
3.6.4 Reconocer cuándo las reglas del punto medio y trapezoidal sobrestiman o subestiman el valor real de una integral.
3.6.5 Utilizar la regla de Simpson para aproximar el valor de una integral definida con una exactitud determinada.

Las antiderivadas de muchas funciones no se pueden expresar o no se pueden expresar fácilmente en forma cerrada (es decir, en términos de funciones conocidas). En consecuencia, en vez de evaluar directamente las integrales definidas de estas funciones, recurrimos a diversas técnicas de integración numérica para aproximar sus valores. En esta sección exploramos varias de estas técnicas. Además, examinamos el proceso de estimación del error al utilizar estas técnicas.

La regla del punto medio

Anteriormente en este texto hemos definido la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de las sumas de Riemann. En general, cualquier suma de Riemann de una función $f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ puede verse como una estimación de $\int_{a}^{b} f (x) d x .$ Recordemos que la suma de Riemann de una función $f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ se obtiene seleccionando una partición

P = {x_{0}, x_{1}, x_{2},…, x_{n}}, donde a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = b

y un conjunto

S = {x_{1}^{*}, x_{2}^{*},…, x_{n}^{*}}, donde x_{i - 1} \leq x_{i}^{*} \leq x_{i} para todo i .

La suma de Riemann correspondiente a la partición $P$ y el conjunto $S$ está dado por $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x_{i},$ donde $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1},$ la longitud del i−ésimo subintervalo.

La regla del punto medio para estimar una integral definida utiliza una suma de Riemann con subintervalos de igual ancho y los puntos medios, $m_{i},$ de cada subintervalo en vez de $x_{i}^{*} .$ Formalmente, enunciamos un teorema relativo a la convergencia de la regla del punto medio de la siguiente forma.

Teorema 3.3

La regla del punto medio

Supongamos que $f (x)$ es continua en $[a, b] .$ Supongamos que n es un número entero positivo y $Δ x = \frac{b - a}{n} .$ Si $[a, b]$ se divide en $n$ subintervalos, cada uno de ellos de longitud $Δ x,$ y $m_{i}$ es el punto medio del i−ésimo subintervalo, establezca

M_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) Δ x .

(3.10)

Entonces $\underset{n \to \infty}{lím} M_{n} = \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Como podemos ver en la Figura 3.13, si $f (x) \geq 0$ en $[a, b],$ entonces $\sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) Δ x$ corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan el área entre el gráfico de $f (x)$ y el eje x en $[a, b] .$ El gráfico muestra los rectángulos correspondientes a $M_{4}$ para una función no negativa en un intervalo cerrado $[a, b] .$

Esta figura es un gráfico de una función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. Comenzando en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0, hay rectángulos sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de msub1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 y b = x sub 4.

Figura 3.13 La regla del punto medio aproxima el área entre el gráfico de

f (x)

y el eje x sumando las áreas de los rectángulos con puntos medios que son puntos en

f (x) .

Ejemplo 3.39

Usar la regla del punto medio con $M_{4}$

Utilice la regla del punto medio para estimar $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ utilizando cuatro subintervalos. Compare el resultado con el valor real de esta integral.

Solución

Cada subintervalo tiene una longitud $Δ x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4} .$ Por lo tanto, los subintervalos están compuestos por

[0, \frac{1}{4}], [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}], y [\frac{3}{4}, 1] .

Los puntos medios de estos subintervalos son ${\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}} .$ Por lo tanto,

M_{4} = \frac{1}{4} f (\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{3}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{5}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{7}{8}) = \frac{1}{4} . \frac{1}{64} + \frac{1}{4} . \frac{9}{64} + \frac{1}{4} . \frac{25}{64} + \frac{1}{4} . \frac{49}{64} = \frac{21}{64} .

Dado que

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} y | \frac{1}{3} - \frac{21}{64} | = \frac{1}{192} \approx 0,0052,

vemos que la regla del punto medio produce una estimación algo cercana al valor real de la integral definida.

Ejemplo 3.40

Usar la regla del punto medio con $M_{6}$

Utilice $M_{6}$ para estimar la longitud de la curva $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $[1, 4] .$

Solución

La longitud de $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $[1, 4]$ es

\int_{1}^{4} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x .

Dado que $\frac{d y}{d x} = x,$ esta integral se convierte en $\int_{1}^{4} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

Si $[1, 4]$ se divide en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud $Δ x = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2}$ y los puntos medios de los subintervalos son ${\frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4}, \frac{11}{4}, \frac{13}{4}, \frac{15}{4}} .$ Si establecemos que $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}},$

\begin{matrix} M_{6} & = \frac{1}{2} f (\frac{5}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{7}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{9}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{11}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{13}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{15}{4}) \\ \approx \frac{1}{2} (1,6008 + 2,0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810) = 8,1431. \end{matrix}

Punto de control 3.22

Utilice la regla del punto medio con $n = 2$ para estimar $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x .$

La regla trapezoidal

También podemos aproximar el valor de una integral definida utilizando trapecios en vez de rectángulos. En la Figura 3.14, el área bajo la curva se aproxima mediante trapecios en vez de rectángulos.

Figura 3.14 Los trapecios pueden utilizarse para aproximar el área bajo una curva, aproximando así la integral definida.

La regla trapezoidal para estimar integrales definidas utiliza trapecios en vez de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Para comprender la forma final de la regla, consideremos los trapecios que se muestran en la Figura 3.14. Suponemos que la longitud de cada subintervalo está dada por $Δ x .$ En primer lugar, recordemos que el área de un trapecio con una altura h y bases de longitud $b_{1}$ como de $b_{2}$ está dada por $Área = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2}) .$ Vemos que el primer trapecio tiene una altura $Δ x$ y bases paralelas de longitud $f (x_{0})$ y $f (x_{1}) .$ Por lo tanto, el área del primer trapecio en la Figura 3.14 es

\frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + f (x_{1})) .

Las áreas de los tres trapecios restantes son

\frac{1}{2} Δ x (f (x_{1}) + f (x_{2})), \frac{1}{2} Δ x (f (x_{2}) + f (x_{3})), y \frac{1}{2} Δ x (f (x_{3}) + f (x_{4})) .

En consecuencia,

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + f (x_{1})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{1}) + f (x_{2})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{2}) + f (x_{3})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Después de sacar un factor común de $\frac{1}{2} Δ x$ y combinando términos semejantes, tenemos

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 2 f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Generalizando, enunciamos formalmente la siguiente regla.

Teorema 3.4

La regla trapezoidal

Supongamos que $f (x)$ es continua en $[a, b] .$ Supongamos que n es un número entero positivo y $Δ x = \frac{b - a}{n} .$ Supongamos que $[a, b]$ se divide en $n$ subintervalos, cada uno de ellos de longitud $Δ x,$ con puntos finales en $P = {x_{0}, x_{1}, x_{2} …, x_{n}} .$ Establezca que

T_{n} = \frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + \dots + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})) .

(3.11)

Entonces, $\underset{n \to + \infty}{lím} T_{n} = \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Antes de continuar, hagamos algunas observaciones sobre la regla trapezoidal. En primer lugar, es útil señalar que

T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}) donde L_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x y R_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x .

Es decir, $L_{n}$ y $R_{n}$ aproximan la integral utilizando los puntos extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo, respectivamente. Además, un análisis cuidadoso de la Figura 3.15 nos lleva a hacer las siguientes observaciones sobre el uso de las reglas trapezoidales y las reglas del punto medio para estimar la integral definida de una función no negativa. La regla trapezoidal tiende a sobreestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y a subestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Por otro lado, la regla del punto medio tiende a promediar un poco estos errores al sobrestimar y subestimar parcialmente el valor de la integral definida en estos mismos tipos de intervalos. Esto nos lleva a plantear la hipótesis de que, en general, la regla del punto medio tiende a ser más precisa que la regla trapezoidal.

Esta figura tiene dos gráficos, ambos de la misma función no negativa en el primer cuadrante. La función aumenta y disminuye. El cuadrante está dividido en una cuadrícula. En el primer gráfico, comenzando en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0, hay trapecios sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de a = x sub 0, xsub1, x sub 2, x sub 3 y b = x sub 4. El segundo gráfico comienza en el eje x en el punto marcado como a = x sub 0. Hay rectángulos sombreados cuyas alturas son aproximadamente la altura de la curva. El eje x está escalado por incrementos de m sub 1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 y b = x sub 4.

Figura 3.15 La regla trapezoidal tiende a ser menos precisa que la regla del punto medio.

Ejemplo 3.41

Uso de la regla trapezoidal

Utilice la regla trapezoidal para estimar $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ utilizando cuatro subintervalos.

Solución

Los puntos finales de los subintervalos están formados por elementos del conjunto $P = {0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1}$ y $Δ x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4} .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x^{2} d x & \approx \frac{1}{2} . \frac{1}{4} (f (0) + 2 f (\frac{1}{4}) + 2 f (\frac{1}{2}) + 2 f (\frac{3}{4}) + f (1)) \\ = \frac{1}{8} (0 + 2 . \frac{1}{16} + 2 . \frac{1}{4} + 2 . \frac{9}{16} + 1) \\ = \frac{11}{32} . \end{matrix}

Punto de control 3.23

Utilice la regla trapezoidal con $n = 2$ para estimar $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x .$

Error absoluto y relativo

Un aspecto importante de la utilización de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error cuando se utilizan para estimar el valor de una integral definida. Primero tenemos que definir el error absoluto y el error relativo.

Definición

Si $B$ es nuestra estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de $A,$ entonces el error absoluto está dado por $| A - B | .$ El error relativo es el error en porcentaje del valor absoluto y está dado por $| \frac{A - B}{A} | = | \frac{A - B}{A} | . 100 % .$

Ejemplo 3.42

Cálculo del error en la regla del punto medio

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ utilizando la regla del punto medio, que se encuentra en el Ejemplo 3.39.

Solución

El valor calculado es $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ y nuestra estimación del ejemplo es $M_{4} = \frac{21}{64} .$ Por lo tanto, el error absoluto está dado por $| (\frac{1}{3}) - (\frac{21}{64}) | = \frac{1}{192} \approx 0,0052 .$ El error relativo es

\frac{1 / 192}{1 / 3} = \frac{1}{64} \approx 0,015625 \approx 1,6 % .

Ejemplo 3.43

Cálculo del error en la regla trapezoidal

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ utilizando la regla trapezoidal, que se encuentra en el Ejemplo 3.41.

Solución

El valor calculado es $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ y nuestra estimación del ejemplo es $T_{4} = \frac{11}{32} .$ Por lo tanto, el error absoluto está dado por $| \frac{1}{3} - \frac{11}{32} | = \frac{1}{96} \approx 0,0104 .$ El error relativo está dado por

\frac{1 / 96}{1 / 3} = 0,03125 \approx 3,1 % .

Punto de control 3.24

En un punto de control anterior, estimamos $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$ para que fuera $\frac{24}{35}$ utilizando $T_{2} .$ El valor real de esta integral es $ln 2 .$ Utilizando $\frac{24}{35} \approx 0,6857$ y $ln 2 \approx 0,6931,$ calcule el error absoluto y el error relativo.

En los dos ejemplos anteriores, pudimos comparar nuestra estimación de una integral con el valor real de la misma; sin embargo, no solemos tener este lujo. En general, si estamos aproximando una integral, lo hacemos porque no podemos calcular fácilmente el valor exacto de la propia integral. Por lo tanto, a menudo es útil poder determinar un límite superior para el error en una aproximación de una integral. El siguiente teorema proporciona límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal. El teorema se enuncia sin pruebas.

Teorema 3.5

Límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal

Supongamos que $f (x)$ es una función continua en $[a, b],$ que tiene una segunda derivada $f ″ (x)$ en este intervalo. Si $M$ es el valor máximo de $| f ″ (x) |$ en $[a, b],$ entonces los límites superiores para el error en el uso de $M_{n}$ y $T_{n}$ para estimar $\int_{a}^{b} f (x) d x$ son

Error en M_{n} \leq \frac{M {(b - a)}^{3}}{24 n^{2}}

(3.12)

y

Error en T_{n} \leq \frac{M {(b - a)}^{3}}{12 n^{2}} .

(3.13)

Podemos utilizar estos límites para determinar el valor de $n$ necesario para garantizar que el error de una estimación sea inferior a un valor específico.

Ejemplo 3.44

Determinación del número de intervalos a utilizar

¿Qué valor de $n$ debe utilizarse para garantizar que una estimación de $\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x$ tiene una precisión de 0,01 si utilizamos la regla del punto medio?

Solución

Empezamos por determinar el valor de $M,$ el valor máximo de $| f ″ (x) |$ en $[0, 1]$ para $f (x) = e^{x^{2}} .$ Dado que $f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}},$ tenemos

f^{″} (x) = 2 e^{x^{2}} + 4 x^{2} e^{x^{2}} .

Por lo tanto,

| f ″ (x) | = 2 e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2}) \leq 2 . e . 3 = 6 e .

A partir del límite de error en la Ecuación 3.12, tenemos

Error en M_{n} \leq \frac{M {(b - a)}^{3}}{24 n^{2}} \leq \frac{6 e {(1 - 0)}^{3}}{24 n^{2}} = \frac{6 e}{24 n^{2}} .

Ahora resolvemos la siguiente inecuación para $n :$

\frac{6 e}{24 n^{2}} \leq 0,01 .

Por lo tanto, $n \geq \sqrt{\frac{600 e}{24}} \approx 8,24 .$ Dado que $n$ debe ser un número entero que satisfaga esta inecuación, una elección de $n = 9$ garantizaría que $| \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x - M_{n} | < 0,01 .$

Análisis

Podríamos haber estado tentados de redondear $8,24$ hacia abajo y elegir $n = 8,$ pero esto sería incorrecto porque debemos tener un número entero mayor o igual a $8,24 .$ Debemos tener en cuenta que las estimaciones de error solo proporcionan un límite superior para el error. De hecho, la estimación real puede ser una aproximación mucho mejor de lo que indica el límite de error.

Punto de control 3.25

Utilice la Ecuación 3.13 para hallar un límite superior para el error al utilizar $M_{4}$ para estimar $\int_{0}^{1} x^{2} d x .$

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos las áreas de las regiones bajo las curvas utilizando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes a trozos. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva utilizando funciones lineales a trozos. ¿Y si, en cambio, aproximáramos una curva utilizando funciones cuadráticas a trozos? Con la regla de Simpson hacemos precisamente esto. Partimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de ellos de igual ancho. En el primer par de subintervalos aproximamos $\int_{x_{0}}^{x_{2}} f (x) d x$ con $\int_{x_{0}}^{x_{2}} p (x) d x,$ donde $p (x) = A x^{2} + B x + C$ es la función cuadrática que pasa por $(x_{0}, f (x_{0})),$ $(x_{1}, f (x_{1})),$ y $(x_{2}, f (x_{2}))$ (Figura 3.16). En el siguiente par de subintervalos aproximamos $\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x$ con la integral de otra función cuadrática que pasa por $(x_{2}, f (x_{2})),$ $(x_{3}, f (x_{3})),$ y $(x_{4}, f (x_{4})) .$ Este proceso se continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

Figura 3.16 Con la regla de Simpson aproximamos una integral definida integrando una función cuadrática a trozos.

Para entender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, empezamos por derivar una fórmula para esta aproximación sobre los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la derivación, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

\begin{matrix} f (x_{0}) = p (x_{0}) = A x_{0}^{2} + B x_{0} + C \\ f (x_{1}) = p (x_{1}) = A x_{1}^{2} + B x_{1} + C \\ f (x_{2}) = p (x_{2}) = A x_{2}^{2} + B x_{2} + C \end{matrix}

$x_{2} - x_{0} = 2 Δ x,$ donde $Δ x$ es la longitud de un subintervalo.

x_{2} + x_{0} = 2 x_{1}, dado que x_{1} = \frac{(x_{2} + x_{0})}{2} .

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{x_{0}}^{x_{2}} f (x) d x & \approx \int_{x_{0}}^{x_{2}} p (x) d x \\ = \int_{x_{0}}^{x_{2}} (A x^{2} + B x + C) d x \\ = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x | \begin{matrix} ^{x_{2}} \\ _{x_{0}} \end{matrix} & Calcule la antiderivada. \\ = \frac{A}{3} (x_{2}^{3} - x_{0}^{3}) + \frac{B}{2} (x_{2}^{2} - x_{0}^{2}) + C (x_{2} - x_{0}) & Evalúe la antiderivada. \\ = \frac{A}{3} (x_{2} - x_{0}) (x_{2}^{2} + x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) \\ + \frac{B}{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} + x_{0}) + C (x_{2} - x_{0}) \\ = \frac{x_{2} - x_{0}}{6} (2 A (x_{2}^{2} + x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) + 3 B (x_{2} + x_{0}) + 6 C) & Saque el factor común \frac{x_{2} - x_{0}}{6} . \\ = \frac{Δ x}{3} ((A x_{2}^{2} + B x_{2} + C) + (A x_{0}^{2} + B x_{0} + C) \\ + A (x_{2}^{2} + 2 x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) + 2 B (x_{2} + x_{0}) + 4 C) \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + f (x_{0}) + A {(x_{2} + x_{0})}^{2} + 2 B (x_{2} + x_{0}) + 4 C) & Reordene los términos. \\ \begin{matrix} Factorice y sustituya \\ f (x_{2}) = A x_{2}^{2} + B x_{2} + C y \\ f (x_{0}) = A x_{0}^{2} + B x_{0} + C . \end{matrix} \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + f (x_{0}) + A {(2 x_{1})}^{2} + 2 B (2 x_{1}) + 4 C) & Sustituya x_{2} + x_{0} = 2 x_{1} . \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + 4 f (x_{1}) + f (x_{0})) . & \begin{matrix} Expanda y sustituya \\ f (x_{1}) = A x_{1}^{2} + B x_{1} + C . \end{matrix} \end{matrix}

Si aproximamos $\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x$ utilizando el mismo método, vemos que tenemos

\int_{x_{0}}^{x_{4}} f (x) d x \approx \frac{Δ x}{3} (f (x_{4}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{2})) .

Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos

\int_{x_{0}}^{x_{4}} f (x) d x = \frac{Δ x}{3} (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{4})) .

El patrón continúa a medida que añadimos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede ser la siguiente.

Teorema 3.6

Regla de Simpson

Supongamos que $f (x)$ es continua en $[a, b] .$ Supongamos que n es un número entero par positivo y $Δ x = \frac{b - a}{n} .$ Supongamos que $[a, b]$ se divide en $n$ subintervalos, cada uno de ellos de longitud $Δ x,$ con puntos finales en $P = {x_{0}, x_{1}, x_{2},…, x_{n}} .$ Establezca que

S_{n} = \frac{Δ x}{3} (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + 2 f (x_{4}) + \dots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})) .

(3.14)

Entonces,

\underset{n \to + \infty}{lím} S_{n} = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Al igual que la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y de la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson puede obtenerse a partir de las reglas del punto medio y de la trapezoidal utilizando un promedio ponderado. Se puede demostrar que $S_{2 n} = (\frac{2}{3}) M_{n} + (\frac{1}{3}) T_{n} .$

También es posible poner un límite al error cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite del error viene dado por la siguiente regla:

Regla: límite de error para la regla de Simpson

Supongamos que $f (x)$ es una función continua en $[a, b]$ que tiene una cuarta derivada, $f^{(4)} (x),$ en este intervalo. Si $M$ es el valor máximo de $| f^{(4)} (x) |$ en $[a, b],$ entonces el límite superior del error al utilizar $S_{n}$ para estimar $\int_{a}^{b} f (x) d x$ está dada por

Error en S_{n} \leq \frac{M {(b - a)}^{5}}{180 n^{4}} .

(3.15)

Ejemplo 3.45

Aplicación de la regla de Simpson 1

Utilice $S_{2}$ para aproximar a $\int_{0}^{1} x^{3} d x .$ Estime un límite para el error en $S_{2} .$

Solución

Dado que $[0, 1]$ se divide en dos intervalos, cada subintervalo tiene una longitud $Δ x = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2} .$ Los puntos finales de estos subintervalos son ${0, \frac{1}{2}, 1} .$ Si establecemos que $f (x) = x^{3},$ entonces

$S_{4} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} (f (0) + 4 f (\frac{1}{2}) + f (1)) = \frac{1}{6} (0 + 4 . \frac{1}{8} + 1) = \frac{1}{4} .$ Dado que $f^{(4)} (x) = 0$ y en consecuencia $M = 0,$ vemos que

Error en S_{2} \leq \frac{0 {(1)}^{5}}{180 \cdot 2^{4}} = 0 .

Este límite indica que el valor obtenido mediante la regla de Simpson es exacto. Una comprobación rápida lo verificará, de hecho, $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} .$

Ejemplo 3.46

Aplicación de la regla de Simpson 2

Utilice $S_{6}$ para estimar la longitud de la curva $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $[1, 4] .$

Solución

La longitud de $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $[1, 4]$ es $\int_{1}^{4} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$ Si dividimos $[1, 4]$ en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud $Δ x = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2},$ y los puntos finales de los subintervalos son ${1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, 4} .$ Si establecemos que $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}},$

S_{6} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} (f (1) + 4 f (\frac{3}{2}) + 2 f (2) + 4 f (\frac{5}{2}) + 2 f (3) + 4 f (\frac{7}{2}) + f (4)) .

Tras la sustitución, tenemos

\begin{matrix} S_{6} & = \frac{1}{6} (1,4142 + 4 . 1,80278 + 2 . 2,23607 + 4 . 2,69258 + 2 . 3,16228 + 4 . 3,64005 + 4,12311) \\ \approx 8,14594. \end{matrix}

Punto de control 3.26

Utilice $S_{2}$ para estimar $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x .$

Sección 3.6 ejercicios

Aproxime las siguientes integrales utilizando la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson, según se indique (redondee las respuestas a tres decimales).

299.

$\int_{1}^{2} \frac{d x}{x};$ regla trapezoidal; $n = 5$

300.

$\int_{0}^{3} \sqrt{4 + x^{3}} d x;$ regla trapezoidal; $n = 6$

301.

$\int_{0}^{3} \sqrt{4 + x^{3}} d x;$ regla trapezoidal; $n n = 3$

302.

$\int_{0}^{12} x^{2} d x;$ regla del punto medio; $n = 6$

303.

$\int_{0}^{1} {sen}^{2} (π x) d x;$ regla del punto medio; $n n = 3$

304.

Utilice la regla del punto medio con ocho subdivisiones para estimar $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$

305.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$

306.

Halle el valor exacto de $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$ Calcule el error de aproximación entre el valor exacto y el valor calculado mediante la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones. Dibuje un gráfico para ilustrarlo.

Aproxime la integral a tres decimales utilizando la regla indicada.

307.

$\int_{0}^{1} {sen}^{2} (π x) d x;$ regla trapezoidal; $n = 6$

308.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + x^{3}} d x;$ regla trapezoidal; $n = 6$

309.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + x^{3}} d x;$ regla trapezoidal; $n n = 3$

310.

$\int_{0}^{0,8} e^{– x^{2}} d x;$ regla trapezoidal; $n = 4$

311.

$\int_{0}^{0,8} e^{– x^{2}} d x;$ regla de Simpson; $n = 4$

312.

$\int_{0}^{0,4} sen (x^{2}) d x;$ regla trapezoidal; $n = 4$

313.

$\int_{0}^{0,4} sen (x^{2}) d x;$ regla de Simpson; $n = 4$

314.

$\int_{0,1}^{0,5} \frac{cos x}{x} d x;$ regla trapezoidal; $n = 4$

315.

$\int_{0,1}^{0,5} \frac{cos x}{x} d x;$ regla de Simpson; $n = 4$

316.

Evalúe $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$ exactamente y demuestre que el resultado es $π / 4 .$ A continuación, halle el valor aproximado de la integral utilizando la regla trapezoidal con $n = 4$ subdivisiones. Utilice el resultado para aproximar el valor de $π .$

317.

Aproxime $\int_{2}^{4} \frac{1}{ln x} d x$ utilizando la regla del punto medio con cuatro subdivisiones y redondee a cuatro decimales.

318.

Aproxime $\int_{2}^{4} \frac{1}{ln x} d x$ utilizando la regla trapezoidal con ocho subdivisiones y redondee a cuatro decimales.

319.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar $\int_{0}^{0,8} x^{3} d x$ con cuatro decimales.

320.

Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar $\int_{0}^{0,8} x^{3} d x .$ Compare este valor con el valor exacto y calcule la estimación del error.

321.

Utilizando la regla de Simpson con cuatro subdivisiones, calcule $\int_{0}^{π / 2} cos (x) d x .$

322.

Demuestre que el valor exacto de $\int_{0}^{1} x e^{– x} d x = 1 - \frac{2}{e} .$ Calcule el error absoluto si aproxima la integral utilizando la regla del punto medio con 16 subdivisiones.

323.

Dada $\int_{0}^{1} x e^{– x} d x = 1 - \frac{2}{e},$ utilice la regla trapezoidal con 16 subdivisiones para aproximar la integral y hallar el error absoluto.

324.

Halle un límite superior para el error de estimación $\int_{0}^{3} (5 x + 4) d x$ utilizando la regla trapezoidal con seis pasos.

325.

Halle un límite superior para el error de estimación $\int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x$ utilizando la regla trapezoidal con siete subdivisiones.

326.

Halle un límite superior para el error de estimación $\int_{0}^{3} (6 x^{2} - 1) d x$ utilizando la regla de Simpson con $n = 10$ pasos.

327.

Halle un límite superior para el error de estimación $\int_{2}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$ utilizando la regla de Simpson con $n = 10$ pasos.

328.

Halle un límite superior para el error de estimación $\int_{0}^{π} 2 x cos (x) d x$ utilizando la regla de Simpson con cuatro pasos.

329.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral $\int_{1}^{4} (5 x^{2} + 8) d x$ con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

330.

Determine un valor n tal que la regla trapezoidal aproxime la integral $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d x$ con un error no superior a 0,01.

331.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral $\int_{2}^{3} (2 x^{3} + 4 x) d x$ con un error de magnitud inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

332.

Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral $\int_{3}^{4} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x$ con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal.

333.

Utilice la regla de Simpson con cuatro subdivisiones para aproximar el área bajo la función de densidad de probabilidad $y = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{– x^{2} / 2}$ de $x = 0$ hasta $x = 0,4 .$

334.

Utilice la regla de Simpson con $n = 14$ para aproximar (con tres decimales) el área de la región delimitada por los gráficos de $y = 0,$ $x = 0,$ y $x = π / 2 .$

335.

La longitud de un arco de la curva $y = 3 sen (2 x)$ está dada por $L = \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 + 36 {cos}^{2} (2 x)} d x .$ Estime L utilizando la regla trapezoidal con $n = 6 .$

336.

La longitud de la elipse $x = a cos (t), y = b sen (t), 0 \leq t \leq 2 π$ está dada por $L = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} {cos}^{2} (t)} d t,$ donde e es la excentricidad de la elipse. Utilice la regla de Simpson con $n = 6$ subdivisiones para estimar la longitud de la elipse cuando $a = 2$ y $e = 1 / 3 .$

337.

Estime el área superficial generada cuando se gira la curva $y = cos (2 x), 0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ alrededor del eje x. Utilice la regla trapezoidal con seis subdivisiones.

338.

Estime el área superficial generada cuando se gira la curva $y = 2 x^{2},$ $0 \leq x \leq 3$ alrededor del eje x. Utilice la regla de Simpson con $n = 6 .$

339.

La tasa de crecimiento de un determinado árbol (en pies) está dada por $y = \frac{2}{t + 1} + e^{− t^{2} / 2},$ donde t es el tiempo en años. Estime el crecimiento del árbol hasta el final del segundo año utilizando la regla de Simpson con dos subintervalos (redondee la respuesta a la centésima más cercana).

340.

[T] Use una calculadora para aproximar $\int_{0}^{1} sen (π x) d x$ utilizando la regla del punto medio con 25 subdivisiones. Calcule el error relativo de aproximación.

341.

[T] Dada $\int_{1}^{5} (3 x^{2} - 2 x) d x = 100,$ aproxime el valor de esta integral utilizando la regla trapezoidal con 16 subdivisiones y determine el error absoluto.

342.

Dado que conocemos el teorema fundamental del cálculo, ¿por qué querríamos desarrollar métodos numéricos para integrales definidas?

343.

La tabla representa las coordenadas $(x, y)$ que dan el límite de un terreno. Las unidades de medida son metros. Utilice la regla trapezoidal para estimar el número de metros cuadrados de terreno que hay en este terreno.

x	y	x	y
0	125	600	95
100	125	700	88
200	120	800	75
300	112	900	35
400	90	1.000	0
500	90

344.

Elija la respuesta correcta. Cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar la integral definida, es necesario que el número de particiones sea____

un número par
un número impar
un número par o impar
un múltiplo de 4

345.

La suma de "Simpson" se basa en el área bajo un ____.

346.

La fórmula de error de la regla de Simpson depende de___.

$f (x)$ grandes.
$f^{'} (x)$ grandes.
$f^{(4)} (x)$
el número de pasos

3.6 Integración numérica

La regla del punto medio

La regla del punto medio

Usar la regla del punto medio con M4M4

Solución

Usar la regla del punto medio con M6M6

Solución

La regla trapezoidal

La regla trapezoidal

Uso de la regla trapezoidal

Solución

Error absoluto y relativo

Cálculo del error en la regla del punto medio

Solución

Cálculo del error en la regla trapezoidal

Solución

Límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal

Determinación del número de intervalos a utilizar

Solución

Análisis

Regla de Simpson

Regla de Simpson

Aplicación de la regla de Simpson 1

Solución

Aplicación de la regla de Simpson 2

Solución

Sección 3.6 ejercicios

Usar la regla del punto medio con $M_{4}$

Usar la regla del punto medio con $M_{6}$