3.7 Integrales impropias

Integración en un intervalo infinito

¿Cómo podemos definir una integral del tipo ${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx}?$ Podemos integrar ${\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx}$ para cualquier valor de $t,$ por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de $t.$ La Figura 3.17 muestra que ${\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx}$ puede interpretarse como área para varios valores de $t.$ En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

Figura 3.17 Para integrar una función en un intervalo infinito, consideramos el límite de la integral a medida que el límite superior aumenta sin límite.

En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al principio de esta sección: El área entre el gráfico de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ y el eje $x$ en el intervalo $[1,\text{+}\infty )$ ¿es finita o infinita?

Ejemplo 3.47

Hallar un área

Determine si el área entre el gráfico de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ y el eje x en el intervalo $[1,\text{+}\infty )$ es finita o infinita.

Solución

En primer lugar, hacemos un dibujo rápido de la región en cuestión, como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 3.18 Podemos hallar el área entre la curva $f(x)=1\text{/}x$ y el eje x en un intervalo infinito.

Podemos ver que el área de esta región está dada por $A={\displaystyle {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx}.$ Entonces tenemos

$$\begin{array}{ccccc}\hfill A& ={\displaystyle {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx}\hfill & & & \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_1^t\frac{1}{x}dx}\hfill & & & \text{Reescriba la integral impropia como un límite.}\hfill \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}\text{ln}\left|x\right||{}_{\begin{array}{c}\\ 1\end{array}}^{\begin{array}{c}t\\ \end{array}}\hfill & & & \text{Calcule la antiderivada.}\hfill \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}(\text{ln}\left|t\right|-\text{ln}1)\hfill & & & \text{Evalúe la antiderivada.}\hfill \\ & =\text{+}\infty .\hfill & & & \text{Evalúe el límite.}\hfill \end{array}$$

Como la integral impropia diverge a $+\infty ,$ el área de la región es infinita.

Ejemplo 3.48

Calcular un volumen

Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ y el eje x en el intervalo $[1,\text{+}\infty )$ alrededor del eje $x$.

Solución

El sólido se muestra en la Figura 3.19. Utilizando el método del disco, vemos que el volumen V es

$$V=\pi {\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx}.$$

Figura 3.19 El sólido de revolución puede generarse girando un área infinita alrededor del eje x.

Entonces tenemos

$$\begin{array}{ccccc}\hfill V& =\pi {\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx}\hfill & & & \\ & =\pi \underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_1^t\frac{1}{x^2}dx}\hfill & & & \text{Reescriba como un límite.}\hfill \\ & =\pi \underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}-\frac{1}{x}|{}_{\begin{array}{c}\\ 1\end{array}}^{\begin{array}{c}t\\ \end{array}}\hfill & & & \text{Calcule la antiderivada.}\hfill \\ & =\pi \underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}\left(\text{−}\frac{1}{t}+1\right)\hfill & & & \text{Evalúe la antiderivada.}\hfill \\ & =\pi .\hfill & & & \end{array}$$

La integral impropia converge a $\pi .$ Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es $\pi .$

En conclusión, aunque el área de la región entre el eje x y el gráfico de $f\left(x\right)=1\text{/}x$ en el intervalo $[1,\text{+}\infty )$ es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje x es finito. El sólido generado se conoce como el cuerno de Gabriel.

Ejemplo 3.49

Inicio del capítulo: Accidentes de tráfico en una ciudad

Figura 3.20 (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr).

En el inicio del capítulo, planteamos el siguiente problema: supongamos que en una intersección muy concurrida se producen accidentes de tráfico a una tasa promedio de uno cada tres meses. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de 8 meses sin accidentes es fruto de la casualidad?

La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos es $k,$ la probabilidad de que $X,$ el tiempo entre eventos, esté entre $a$ y $b$ está dada por

$$P\left(a\le x\le b\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\text{donde}f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}0\text{si}x<0\\ k{e}^{\text{−}kx}\text{si}x\ge 0\end{array}.$$

Por lo tanto, si los accidentes se producen a una tasa de uno cada 3 meses, la probabilidad de que $X,$ el tiempo entre accidentes, esté entre $a$ y $b$ está dada por

$$P\left(a\le x\le b\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\text{donde}f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}0\text{si}x<0\\ 3e^{\mathrm{-3}x}\text{si}x\ge 0\end{array}.$$

Para responder la pregunta, debemos calcular $P\left(X\ge 8\right)={\displaystyle {\int }_8^{+\infty }3e^{\mathrm{-3}x}dx}$ y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin que se produzca un accidente si no hubiera mejorado la situación del tráfico.

Solución

Tenemos que calcular la probabilidad como una integral impropia:

$$\begin{array}{cc}\hfill P\left(X\ge 8\right)& ={\displaystyle {\int }_8^{+\infty }3e^{\mathrm{-3}x}dx}\hfill \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_8^{t}3e^{\mathrm{-3}x}dx}\hfill \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\text{−}{e}^{\mathrm{-3}x}|}_8^t\hfill \\ & =\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}(\text{−}{e}^{\mathrm{-3}t}+e^{\mathrm{-24}})\hfill \\ & \approx \mathrm{3,8}\times {10}^{\mathrm{-11}}.\hfill \end{array}$$

El valor $\mathrm{3,8}\times {10}^{\mathrm{-11}}$ representa la probabilidad de que no haya accidentes en 8 meses en las condiciones iniciales. Como este valor es muy, muy pequeño, es razonable concluir que los cambios fueron efectivos.

Integración de un integrando discontinuo

Ahora vamos a examinar las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el que se produce la integración. Consideremos una integral de la forma ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx,}$ donde $f(x)$ es continua en $[a,b)$ y discontinua en $b.$ Dado que la función $f(x)$ es continua en $[a,t]$ para todos los valores de $t$ que satisface $a<t<b,$ la integral ${\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)dx}$ se define para todos esos valores de $t.$ Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de ${\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)dx}$ a medida que $t$ se acerca a $b$ para $a<t<b.$ Es decir, definimos ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)dx}},$ siempre que exista este límite. La Figura 3.21 ilustra ${\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)dx}$ como áreas de regiones para valores de $t$ que se acercan a $b.$

Figura 3.21 A medida que t se acerca a b por la izquierda, el valor del área de a a t se acerca al área de a a b.

Utilizamos un enfoque similar para definir ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx,}$ donde $f(x)$ es continua en $(a,b]$ y discontinua en $a.$ Procedemos ahora a una definición formal.

Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición.

Un teorema de comparación

No siempre es fácil, o incluso posible, evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, comparándola con otra integral elegida cuidadosamente, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ que satisface $0\le f(x)\le g(x)$ para $x\ge a$ (Figura 3.22). En este caso, podemos ver integrales de estas funciones en intervalos de la forma $[a,t]$ como áreas, por lo que tenemos la relación

Figura 3.22 Si los valores de $0\le f(x)\le g(x)$ para $x\ge a,$ entonces para $t\ge a,$ ${\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)dx\le {\displaystyle {\int }_a^{t}g(x)dx}}.$

Por lo tanto, si

entonces

${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }g\left(x\right)dx=\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_a^{t}g\left(x\right)dx=\text{+}\infty }}$ también. Es decir, si el área de la región entre el gráfico de $f(x)$ y el eje x en $[a,\text{+}\infty )$ es infinita, entonces el área de la región entre el gráfico de $g(x)$ y el eje x en $[a,\text{+}\infty )$ también es infinita.

Por otro lado, si

${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }g\left(x\right)dx=\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_a^{t}g\left(x\right)dx=L}}$ para algún número real $L,$ entonces

${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx=\underset{t\to \text{+}\infty }{\text{lím}}{\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx}}$ debe converger a algún valor menor o igual a $L,$ dado que ${\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx}$ aumenta a medida que $t$ aumenta y ${\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)dx\le L}$ para todo $t\ge a.$

Si el área de la región entre el gráfico de $g(x)$ y el eje x en $[a,\text{+}\infty )$ es finita, entonces el área de la región entre el gráfico de $f(x)$ y el eje x en $[a,\text{+}\infty )$ también es finita.

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.