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Cálculo volumen 2

3.7 Integrales impropias

Cálculo volumen 23.7 Integrales impropias

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.7.1 Evaluar una integral en un intervalo infinito.
  • 3.7.2 Evaluar una integral en un intervalo cerrado con una discontinuidad infinita dentro del intervalo.
  • 3.7.3 Utilizar el teorema de comparación para determinar si una integral definida es convergente.

El área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+)[1,+) ¿es finita o infinita? Si esta misma región se hace girar alrededor del eje x, ¿el volumen es finito o infinito? Sorprendentemente, el área de la región descrita es infinita, pero el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor del eje x es finito.

En esta sección, definimos las integrales en un intervalo infinito, así como las integrales de funciones que contienen una discontinuidad en el intervalo. Las integrales de este tipo se llaman integrales impropias. Examinamos varias técnicas para evaluar integrales impropias, todas las cuales implican tomar límites.

Integración en un intervalo infinito

¿Cómo podemos definir una integral del tipo a+f(x)dx?a+f(x)dx? Podemos integrar atf(x)dxatf(x)dx para cualquier valor de t,t, por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de t.t. La Figura 3.17 muestra que atf(x)dxatf(x)dx puede interpretarse como área para varios valores de t.t. En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

Esta figura tiene tres gráficos. Todos los gráficos tienen la misma curva, que es f(x). La curva es no negativa, solo en el primer cuadrante, y decreciente. Debajo de las tres curvas hay una región sombreada delimitada por a en el eje x y t en el eje x. La región de la primera curva es pequeña, y se amplía progresivamente bajo el segundo y tercer gráfico a medida que t se aleja más a la derecha de a en el eje x.
Figura 3.17 Para integrar una función en un intervalo infinito, consideramos el límite de la integral a medida que el límite superior aumenta sin límite.

Definición

  1. Supongamos que f(x)f(x) es continua en un intervalo de la forma [a,+).[a,+). Entonces
    a+f(x)dx=límt+atf(x)dx,a+f(x)dx=límt+atf(x)dx,
    (3.16)

    siempre que exista este límite.
  2. Supongamos que f(x)f(x) es continua en un intervalo de la forma (,b].(,b]. Entonces
    bf(x)dx=límttbf(x)dx,bf(x)dx=límttbf(x)dx,
    (3.17)

    siempre que exista este límite.
    En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.
  3. Supongamos que f(x)f(x) es continua en (,+).(,+). Entonces
    +f(x)dx=0f(x)dx+0+f(x)dx,+f(x)dx=0f(x)dx+0+f(x)dx,
    (3.18)

    siempre que 0f(x)dx0f(x)dx y 0+f(x)dx0+f(x)dx ambas convergen. Si cualquiera de estas dos o ambas integrales divergen, entonces +f(x)dx+f(x)dx diverge. (Se puede demostrar que, de hecho, +f(x)dx=af(x)dx+a+f(x)dx+f(x)dx=af(x)dx+a+f(x)dx para cualquier valor de a.)a.)

En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al principio de esta sección: El área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje xx en el intervalo [1,+)[1,+) ¿es finita o infinita?

Ejemplo 3.47

Hallar un área

Determine si el área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+)[1,+) es finita o infinita.

Ejemplo 3.48

Calcular un volumen

Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+)[1,+) alrededor del eje xx.

En conclusión, aunque el área de la región entre el eje x y el gráfico de f(x)=1/xf(x)=1/x en el intervalo [1,+)[1,+) es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje x es finito. El sólido generado se conoce como el cuerno de Gabriel.

Medios

Visite este sitio web para leer más sobre el cuerno de Gabriel.

Ejemplo 3.49

Inicio del capítulo: Accidentes de tráfico en una ciudad

Esta es una imagen de una calle de la ciudad con una señal de tráfico. La imagen tiene carriles muy transitados de tráfico en ambas direcciones
Figura 3.20 (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr).

En el inicio del capítulo, planteamos el siguiente problema: supongamos que en una intersección muy concurrida se producen accidentes de tráfico a una tasa promedio de uno cada tres meses. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de 8 meses sin accidentes es fruto de la casualidad?

La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos es k,k, la probabilidad de que X,X, el tiempo entre eventos, esté entre aa y bb está dada por

P(axb)=abf(x)dxdondef(x)={0six<0kekxsix0.P(axb)=abf(x)dxdondef(x)={0six<0kekxsix0.

Por lo tanto, si los accidentes se producen a una tasa de uno cada 3 meses, la probabilidad de que X,X, el tiempo entre accidentes, esté entre aa y bb está dada por

P(axb)=abf(x)dxdondef(x)={0six<03e−3xsix0.P(axb)=abf(x)dxdondef(x)={0six<03e−3xsix0.

Para responder la pregunta, debemos calcular P(X8)=8+3e−3xdxP(X8)=8+3e−3xdx y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin que se produzca un accidente si no hubiera mejorado la situación del tráfico.

Ejemplo 3.50

Evaluación de una integral impropia en un intervalo infinito

Evalúe 01x2 +4dx.01x2 +4dx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Ejemplo 3.51

Evaluación de una integral impropia en (,+)(,+)

Evalúe +xexdx.+xexdx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Punto de control 3.27

Evalúe −3+exdx.−3+exdx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Integración de un integrando discontinuo

Ahora vamos a examinar las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el que se produce la integración. Consideremos una integral de la forma abf(x)dx,abf(x)dx, donde f(x)f(x) es continua en [a,b)[a,b) y discontinua en b.b. Dado que la función f(x)f(x) es continua en [a,t][a,t] para todos los valores de tt que satisface a<t<b,a<t<b, la integral atf(x)dxatf(x)dx se define para todos esos valores de t.t. Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de atf(x)dxatf(x)dx a medida que tt se acerca a bb para a<t<b.a<t<b. Es decir, definimos abf(x)dx=límtbatf(x)dx,abf(x)dx=límtbatf(x)dx, siempre que exista este límite. La Figura 3.21 ilustra atf(x)dxatf(x)dx como áreas de regiones para valores de tt que se acercan a b.b.

Esta figura tiene tres gráficos. Todos los gráficos tienen la misma curva, que es f(x). La curva es no negativa, solo en el primer cuadrante, y creciente. Debajo de las tres curvas hay una región sombreada delimitada por a en el eje x y t en el eje x. También hay una asíntota vertical en x = b. La región de la primera curva es pequeña, y se amplía progresivamente bajo el segundo y tercer gráfico a medida que t se aleja de a, y se acerca a b en el eje x.
Figura 3.21 A medida que t se acerca a b por la izquierda, el valor del área de a a t se acerca al área de a a b.

Utilizamos un enfoque similar para definir abf(x)dx,abf(x)dx, donde f(x)f(x) es continua en (a,b](a,b] y discontinua en a.a. Procedemos ahora a una definición formal.

Definición

  1. Supongamos que f(x)f(x) es continua en [a,b).[a,b). Entonces,
    abf(x)dx=límtbatf(x)dx.abf(x)dx=límtbatf(x)dx.
    (3.19)
  2. Supongamos que f(x)f(x) es continua en (a,b].(a,b]. Entonces,
    abf(x)dx=límta+tbf(x)dx.abf(x)dx=límta+tbf(x)dx.
    (3.20)

    En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.
  3. Si los valores de f(x)f(x) es continua en [a,b][a,b] excepto en un punto cc en (a,b),(a,b), entonces
    abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx,abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx,
    (3.21)

    siempre que ambas acf(x)dxacf(x)dx y cbf(x)dxcbf(x)dx converjan. Si cualquiera de estas integrales diverge, entonces abf(x)dxabf(x)dx diverge.

Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición.

Ejemplo 3.52

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe 0414xdx,0414xdx, si es posible. Indique si la integral converge o diverge.

Ejemplo 3.53

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe 02 xlnxdx.02 xlnxdx. Indique si la integral converge o diverge.

Ejemplo 3.54

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe –111x3dx.–111x3dx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Punto de control 3.28

Evalúe 02 1xdx.02 1xdx. Indique si la integral converge o diverge.

Un teorema de comparación

No siempre es fácil, o incluso posible, evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, comparándola con otra integral elegida cuidadosamente, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas f(x)f(x) y g(x)g(x) que satisface 0f(x)g(x)0f(x)g(x) para xaxa (Figura 3.22). En este caso, podemos ver integrales de estas funciones en intervalos de la forma [a,t][a,t] como áreas, por lo que tenemos la relación

0atf(x)dxatg(x)dxparata.0atf(x)dxatg(x)dxparata.
Esta figura tiene dos gráficos. Los gráficos son f(x) y g(x). El primer gráfico f(x) es una función decreciente y no negativa con una asíntota horizontal en el eje x. Tiene una curva más pronunciada en comparación con g(x). El gráfico de g(x) es una función decreciente y no negativa con una asíntota horizontal en el eje x.
Figura 3.22 Si los valores de 0 f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) para x a , x a , entonces para t a , t a , a t f ( x ) d x a t g ( x ) d x . a t f ( x ) d x a t g ( x ) d x .

Por lo tanto, si

a+f(x)dx=límt+atf(x)dx=+,a+f(x)dx=límt+atf(x)dx=+,

entonces

a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=+a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=+ también. Es decir, si el área de la región entre el gráfico de f(x)f(x) y el eje x en [a,+)[a,+) es infinita, entonces el área de la región entre el gráfico de g(x)g(x) y el eje x en [a,+)[a,+) también es infinita.

Por otro lado, si

a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=La+g(x)dx=límt+atg(x)dx=L para algún número real L,L, entonces

a+f(x)dx=límt+atf(x)dxa+f(x)dx=límt+atf(x)dx debe converger a algún valor menor o igual a L,L, dado que atf(x)dxatf(x)dx aumenta a medida que tt aumenta y atf(x)dxLatf(x)dxL para todo ta.ta.

Si el área de la región entre el gráfico de g(x)g(x) y el eje x en [a,+)[a,+) es finita, entonces el área de la región entre el gráfico de f(x)f(x) y el eje x en [a,+)[a,+) también es finita.

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 3.7

Un teorema de comparación

Supongamos que f(x)f(x) y g(x)g(x) es continua en [a,+).[a,+). Supongamos que 0f(x)g(x)0f(x)g(x) para xa.xa.

  1. Si los valores de a+f(x)dx=límt+atf(x)dx=+,a+f(x)dx=límt+atf(x)dx=+, entonces a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=+.a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=+.
  2. Si los valores de a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=L,a+g(x)dx=límt+atg(x)dx=L, donde LL es un número real, entonces a+f(x)dx=límt+atf(x)dx=Ma+f(x)dx=límt+atf(x)dx=M para algún número real ML.ML.

Ejemplo 3.55

Aplicación del teorema de comparación

Utilice una comparación para demostrar que 1+1xexdx1+1xexdx converge.

Ejemplo 3.56

Aplicación del teorema de comparación

Utilice el teorema de la comparación para demostrar que 1+1xpdx1+1xpdx diverge para todo p<1.p<1.

Punto de control 3.29

Utilice una comparación para demostrar que e+lnxxdxe+lnxxdx diverge.

Proyecto de estudiante

Transformadas de Laplace

En los últimos capítulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformada de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el ámbito de la frecuencia son mucho más sencillos que los requeridos en el ámbito del tiempo.

La transformada de Laplace se define en términos de una integral como

L{f(t)}=F(s)=0estf(t)dt.L{f(t)}=F(s)=0estf(t)dt.

Tenga en cuenta que la entrada de una transformada de Laplace es una función del tiempo, f(t),f(t), y la salida es una función de la frecuencia, F(s).F(s). Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (que implican el número imaginario i=−1),i=−1), en este proyecto nos limitamos a funciones de números reales.

Empecemos con un ejemplo sencillo. Aquí calculamos la transformada de Laplace de f(t)=tf(t)=t. Tenemos

L{t}=0testdt.L{t}=0testdt.

Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, lo que da

L{t}=0testdt=límz0ztestdt.L{t}=0testdt=límz0ztestdt.

Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Observe que estamos integrando con respecto a t, por lo que tratamos la variable s como una constante. Tenemos

u=tdv=estdtdu=dtv=1sest.u=tdv=estdtdu=dtv=1sest.

Entonces obtenemos

límz0ztestdt=límz[[tsest]|0z+1s0zestdt]=límz[[zsesz+0se−0s]+1s0zestdt]=límz[[zsesz+0]1s[ests]|0z]=límz[[zsesz]1s2 [esz1]]=límz[zsesz]límz[1s2 esz]+límz1s2 =00+1s2 =1s2 .límz0ztestdt=límz[[tsest]|0z+1s0zestdt]=límz[[zsesz+0se−0s]+1s0zestdt]=límz[[zsesz+0]1s[ests]|0z]=límz[[zsesz]1s2 [esz1]]=límz[zsesz]límz[1s2 esz]+límz1s2 =00+1s2 =1s2 .
  1. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=1.f(t)=1.
  2. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=e−3t.f(t)=e−3t.
  3. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=t2 .f(t)=t2 . (Observe que tendrá que integrar por partes dos veces).
    Las transformadas de Laplace se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales no se tratan en detalle hasta más adelante en este libro; pero, por ahora, veamos la relación entre la transformada de Laplace de una función y la transformada de Laplace de su derivada.
    Comencemos con la definición de la transformada de Laplace. Tenemos
    L{f(t)}=0estf(t)dt=límz0zestf(t)dt.L{f(t)}=0estf(t)dt=límz0zestf(t)dt.
  4. Utilice la integración por partes para evaluar límz0zestf(t)dt.límz0zestf(t)dt. (Supongamos que u=f(t)u=f(t) y dv=estdt.)dv=estdt.)
    Después de integrar por partes y evaluar el límite, debería ver que
    L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f(t)}].L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f(t)}].

    Entonces,
    L{f(t)}=sL{f(t)}f(0).L{f(t)}=sL{f(t)}f(0).

    Por lo tanto, la diferenciación en el ámbito del tiempo se simplifica a la multiplicación por s en el ámbito de la frecuencia.
    Lo último que vemos en este proyecto es cómo las transformadas de Laplace de f(t)f(t) y su antiderivada están relacionadas. Supongamos que g(t)=0tf(u)du.g(t)=0tf(u)du. Entonces,
    L{g(t)}=0estg(t)dt=límz0zestg(t)dt.L{g(t)}=0estg(t)dt=límz0zestg(t)dt.
  5. Utilice la integración por partes para evaluar límz0zestg(t)dt.límz0zestg(t)dt. (Supongamos que u=g(t)u=g(t) y dv=estdt.dv=estdt. Por cierto, observe que hemos definido g(t),g(t), du=f(t)dt.)du=f(t)dt.)
    Como es de esperar, debería ver que
    L{g(t)}=1s.L{f(t)}.L{g(t)}=1s.L{f(t)}.

    La integración en el ámbito del tiempo se simplifica a la división por s en el ámbito de la frecuencia.

Sección 3.7 ejercicios

Evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, responda "divergente"

347.

2 4 d x ( x 3 ) 2 2 4 d x ( x 3 ) 2

348.

0 1 4 + x 2 d x 0 1 4 + x 2 d x

349.

0 2 1 4 x 2 d x 0 2 1 4 x 2 d x

350.

1 1 x ln x d x 1 1 x ln x d x

351.

1 x e x d x 1 x e x d x

352.

x x 2 + 1 d x x x 2 + 1 d x

353.

Sin integrar, determine si la integral 11x3+1dx11x3+1dx converge o diverge comparando la función f(x)=1x3+1f(x)=1x3+1 con g(x)=1x3.g(x)=1x3.

354.

Sin integrar, determine si la integral 11x+1dx11x+1dx converge o diverge.

Determine si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determine el valor de las integrales que convergen.

355.

0 e x cos x d x 0 e x cos x d x

356.

1 ln x x d x 1 ln x x d x

357.

0 1 ln x x d x 0 1 ln x x d x

358.

0 1 ln x d x 0 1 ln x d x

359.

1 x 2 + 1 d x 1 x 2 + 1 d x

360.

1 5 d x x 1 1 5 d x x 1

361.

−2 2 d x ( 1 + x ) 2 −2 2 d x ( 1 + x ) 2

362.

0 e x d x 0 e x d x

363.

0 sen x d x 0 sen x d x

364.

e x 1 + e 2 x d x e x 1 + e 2 x d x

365.

0 1 d x x 3 0 1 d x x 3

366.

0 2 d x x 3 0 2 d x x 3

367.

−1 2 d x x 3 −1 2 d x x 3

368.

0 1 d x 1 x 2 0 1 d x 1 x 2

369.

0 3 1 x 1 d x 0 3 1 x 1 d x

370.

1 5 x 3 d x 1 5 x 3 d x

371.

3 5 5 ( x 4 ) 2 d x 3 5 5 ( x 4 ) 2 d x

Determine la convergencia de cada una de las siguientes integrales por comparación con la integral dada. Si la integral converge, halle el número al que converge.

372.

1dxx2 +4x;1dxx2 +4x; compare con 1dxx2 .1dxx2 .

373.

1dxx+1;1dxx+1; compare con 1dx2 x.1dx2 x.

Evalúe las integrales. Si la integral diverge, responda "diverge".

374.

1 d x x e 1 d x x e

375.

0 1 d x x π 0 1 d x x π

376.

0 1 d x 1 x 0 1 d x 1 x

377.

0 1 d x 1 x 0 1 d x 1 x

378.

0 d x x 2 + 1 0 d x x 2 + 1

379.

–1 1 d x 1 x 2 –1 1 d x 1 x 2

380.

0 1 ln x x d x 0 1 ln x x d x

381.

0 e ln ( x ) d x 0 e ln ( x ) d x

382.

0 x e x d x 0 x e x d x

383.

x ( x 2 + 1 ) 2 d x x ( x 2 + 1 ) 2 d x

384.

0 e x d x 0 e x d x

Evalúe las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita, ya sea en un punto final o en un punto interior del intervalo.

385.

0 9 d x 9 x 0 9 d x 9 x

386.

−27 1 d x x 2 / 3 −27 1 d x x 2 / 3

387.

0 3 d x 9 x 2 0 3 d x 9 x 2

388.

6 24 d t t t 2 36 6 24 d t t t 2 36

389.

0 4 x ln ( 4 x ) d x 0 4 x ln ( 4 x ) d x

390.

0 3 x 9 x 2 d x 0 3 x 9 x 2 d x

391.

Evalúe 0,51dx1x2 .0,51dx1x2 . (¡Cuidado!) (Exprese su respuesta con tres decimales).

392.

Evalúe 14dxx2 1.14dxx2 1. (Exprese la respuesta en forma exacta).

393.

Evalúe 2 dx(x2 1)3/2 .2 dx(x2 1)3/2 .

394.

Halla el área de la región en el primer cuadrante entre la curva y=e−6xy=e−6x y el eje x.

395.

Halle el área de la región delimitada por la curva y=7x2 ,y=7x2 , el eje x, y a la izquierda por x=1.x=1.

396.

Halle el área bajo la curva y=1(x+1)3/2 ,y=1(x+1)3/2 , delimitada a la izquierda por x=3.x=3.

397.

Halle el área bajo y=51+x2 y=51+x2 en el primer cuadrante.

398.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo la curva y=3xy=3x de x=1x=1 a x=.x=.

399.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la región bajo la curva y=6e−2xy=6e−2x en el primer cuadrante.

400.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x el área bajo la curva y=3exy=3ex en el primer cuadrante.

La transformada de Laplace de una función continua en el intervalo [0,)[0,) se define por F(s)=0esxf(x)dxF(s)=0esxf(x)dx (vea el proyecto estudiantil). Esta definición se utiliza para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se verá más adelante. El dominio de F es el conjunto de todos los números reales s tales que la integral impropia converge. Calcule la transformada de Laplace F de cada una de las siguientes funciones e indique el dominio de F.

401.

f ( x ) = 1 f ( x ) = 1

402.

f ( x ) = x f ( x ) = x

403.

f(x)=cos(2 x)f(x)=cos(2 x) grandes.

404.

f ( x ) = e a x f ( x ) = e a x

405.

Utilice la fórmula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo x2 +y2 =1x2 +y2 =1 es 2 π.2 π.

Una función no negativa es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición f(t)dt=1.f(t)dt=1. La probabilidad de que una variable aleatoria x se encuentre entre a y b está dada por P(axb)=abf(t)dt.P(axb)=abf(t)dt.

406.

Demuestre que f(x)={0six<07e−7xsix0f(x)={0six<07e−7xsix0 es una función de densidad de probabilidad.

407.

Calcule la probabilidad de que x esté entre 0 y 0,3. (Utilice la función definida en el problema anterior). Utilice una exactitud de cuatro decimales.

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