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Cálculo volumen 2

3.4 Fracciones parciales

Cálculo volumen 23.4 Fracciones parciales

Objetivos de aprendizaje

  • 3.4.1 Integrar una función racional utilizando el método de las fracciones parciales.
  • 3.4.2 Reconocer factores lineales simples en una función racional.
  • 3.4.3 Reconocer los factores lineales repetidos en una función racional.
  • 3.4.4 Reconocer los factores cuadráticos de una función racional.

Hemos visto algunas técnicas que nos permiten integrar funciones racionales específicas. Por ejemplo, sabemos que

duu=ln|u|+Cyduu2 +a2 =1atan–1(ua)+C.duu=ln|u|+Cyduu2 +a2 =1atan–1(ua)+C.

Sin embargo, aún no disponemos de una técnica que nos permita abordar cocientes arbitrarios de este tipo. Por lo tanto, no es inmediatamente obvio cómo evaluar 3xx2 x2 dx.3xx2 x2 dx. Sin embargo, sabemos por el material desarrollado anteriormente que

(1x+1+2 x2 )dx=ln|x+1|+2 ln|x2 |+C.(1x+1+2 x2 )dx=ln|x+1|+2 ln|x2 |+C.

De hecho, al obtener un denominador común, vemos que

1x+1+2 x2 =3xx2 x2 .1x+1+2 x2 =3xx2 x2 .

En consecuencia,

3xx2 x2 dx=(1x+1+2 x2 )dx.3xx2 x2 dx=(1x+1+2 x2 )dx.

En esta sección, examinamos el método de descomposición en fracciones parciales, que nos permite descomponer funciones racionales en sumas de funciones racionales más simples y fáciles de integrar. Utilizando este método, podemos reescribir una expresión como: 3xx2 x2 3xx2 x2 en la forma 1x+1+2 x2 .1x+1+2 x2 .

La clave del método de descomposición en fracciones parciales es poder anticipar la forma que adoptará la descomposición de una función racional. Como veremos, esta forma es predecible y muy dependiente de la factorización del denominador de la función racional. También es muy importante tener en cuenta que la descomposición en fracciones parciales se puede aplicar a una función racional P(x)Q(x)P(x)Q(x) solo si deg(P(x))<deg(Q(x)).deg(P(x))<deg(Q(x)). En el caso de que deg(P(x))deg(Q(x)),deg(P(x))deg(Q(x)), debemos realizar primero la división larga para reescribir el cociente P(x)Q(x)P(x)Q(x) en la forma A(x)+R(x)Q(x),A(x)+R(x)Q(x), donde deg(R(x))<deg(Q(x)).deg(R(x))<deg(Q(x)). A continuación, hacemos una descomposición en fracciones parciales de R(x)Q(x).R(x)Q(x). El siguiente ejemplo, aunque no requiere la descomposición en fracciones parciales, ilustra nuestra aproximación a las integrales de funciones racionales de la forma P(x)Q(x)dx,P(x)Q(x)dx, donde deg(P(x))deg(Q(x)).deg(P(x))deg(Q(x)).

Ejemplo 3.28

Integración de P(x)Q(x)dx,P(x)Q(x)dx, donde deg(P(x))deg(Q(x))deg(P(x))deg(Q(x))

Evalúe x2 +3x+5x+1dx.x2 +3x+5x+1dx.

Medios

Visite este sitio web para repasar la división larga de polinomios.

Punto de control 3.17

Evalúe x3x+2 dx.x3x+2 dx.

Para integrar P(x)Q(x)dx,P(x)Q(x)dx, donde deg(P(x))<deg(Q(x)),deg(P(x))<deg(Q(x)), hay que empezar por factorizar Q(x).Q(x).

Factores lineales no repetidos

Si Q(x)Q(x) se puede factorizar como (a1x+b1)(a2 x+b2 )(anx+bn),(a1x+b1)(a2 x+b2 )(anx+bn), donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes A1,A2 ,…AnA1,A2 ,…An que satisfacen

P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2 a2 x+b2 ++Ananx+bn.P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2 a2 x+b2 ++Ananx+bn.

La prueba de que tales constantes existen está fuera del alcance de este curso.

En el siguiente ejemplo, vemos cómo utilizar fracciones parciales para integrar una función racional de este tipo.

Ejemplo 3.29

Fracciones parciales con factores lineales no repetidos

Evalúe 3x+2 x3x2 2 xdx.3x+2 x3x2 2 xdx.

En el siguiente ejemplo, integramos una función racional en la que el grado del numerador no es menor que el grado del denominador.

Ejemplo 3.30

Dividir antes de aplicar las fracciones parciales

Evalúe x2 +3x+1x2 4dx.x2 +3x+1x2 4dx.

Como vemos en el siguiente ejemplo, puede ser posible aplicar la técnica de descomposición en fracciones parciales a una función no racional. El truco consiste en convertir la función no racional en una función racional mediante una sustitución.

Ejemplo 3.31

Aplicar fracciones parciales tras una sustitución

Evalúe cosxsen2 xsenxdx.cosxsen2 xsenxdx.

Punto de control 3.18

Evalúe x+1(x+3)(x2 )dx.x+1(x+3)(x2 )dx.

Factores lineales repetidos

Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tienen denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma (ax+b)n,(ax+b)n, donde nn es un número entero positivo mayor o igual a 2 .2 . Si el denominador contiene el factor lineal repetido (ax+b)n,(ax+b)n, entonces la descomposición debe contener

A1ax+b+A2 (ax+b)2 ++An(ax+b)n.A1ax+b+A2 (ax+b)2 ++An(ax+b)n.

Como vemos en nuestro siguiente ejemplo, la técnica básica utilizada para resolver los coeficientes es la misma, pero requiere más álgebra para determinar los numeradores de las fracciones parciales.

Ejemplo 3.32

Fracciones parciales con factores lineales repetidos

Evalúe x2 (2 x1)2 (x1)dx.x2 (2 x1)2 (x1)dx.

Punto de control 3.19

Establezca la descomposición en fracciones parciales para x+2 (x+3)3(x4)2 dx.x+2 (x+3)3(x4)2 dx. (No halle los coeficientes ni complete la integración).

El método general

Ahora que empezamos a hacernos una idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, vamos a esbozar el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Descomposición en fracciones parciales

Para descomponer la función racional P(x)/Q(x),P(x)/Q(x), utilice los siguientes pasos:

  1. Asegúrese de que grado(P(x))<grado(Q(x)).grado(P(x))<grado(Q(x)). Si no es así, realice la división larga de polinomios.
  2. Factorice Q(x)Q(x) en el producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles. Un cuadrático irreducible es un cuadrático que no tiene ceros reales.
  3. Suponiendo que deg(P(x))<deg(Q(x)),deg(P(x))<deg(Q(x)), los factores de Q(x)Q(x) determinan la forma de la descomposición de P(x)/Q(x).P(x)/Q(x).
    1. Si Q(x)Q(x) se puede factorizar como (a1x+b1)(a2 x+b2 )(anx+bn),(a1x+b1)(a2 x+b2 )(anx+bn), donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes A1,A2 ,...AnA1,A2 ,...An que satisfacen
      P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2 a2 x+b2 ++Ananx+bn.P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2 a2 x+b2 ++Ananx+bn.
    2. Si Q(x)Q(x) contiene el factor lineal repetido (ax+b)n,(ax+b)n, entonces la descomposición debe contener
      A1ax+b+A2 (ax+b)2 ++An(ax+b)n.A1ax+b+A2 (ax+b)2 ++An(ax+b)n.
    3. Para cada factor cuadrático irreducible ax2 +bx+cax2 +bx+c que Q(x)Q(x) contiene, la descomposición debe incluir
      Ax+Bax2 +bx+c.Ax+Bax2 +bx+c.
    4. Para cada factor cuadrático irreducible repetido (ax2 +bx+c)n,(ax2 +bx+c)n, la descomposición debe incluir
      A1x+B1ax2 +bx+c+A2 x+B2 (ax2 +bx+c)2 ++Anx+Bn(ax2 +bx+c)n.A1x+B1ax2 +bx+c+A2 x+B2 (ax2 +bx+c)2 ++Anx+Bn(ax2 +bx+c)n.
    5. Una vez que determine la descomposición adecuada, halle las constantes.
    6. Por último, reescriba la integral en su forma descompuesta y evalúela utilizando las técnicas desarrolladas anteriormente o las fórmulas de integración.

Factores cuadráticos simples

Ahora vamos a ver la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recordemos que el factor cuadrático ax2 +bx+cax2 +bx+c es irreducible si ax2 +bx+c=0ax2 +bx+c=0 no tiene ceros reales, es decir, si b2 4ac<0.b2 4ac<0.

Ejemplo 3.33

Expresiones racionales con un factor cuadrático irreductible

Evalúe 2 x3x3+xdx.2 x3x3+xdx.

Ejemplo 3.34

Fracciones parciales con un factor cuadrático irreductible

Evalúe dxx38.dxx38.

Ejemplo 3.35

Cálculo de un volumen

Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada por el gráfico de f(x)=x2 (x2 +1)2 f(x)=x2 (x2 +1)2 y el eje x en el intervalo [0,1][0,1] alrededor del eje y.

Punto de control 3.20

Establezca la descomposición en fracciones parciales para x2 +3x+1(x+2 )(x3)2 (x2 +4)2 dx.x2 +3x+1(x+2 )(x3)2 (x2 +4)2 dx.

Sección 3.4 ejercicios

Exprese la función racional como una suma o diferencia de dos expresiones racionales más sencillas.

182.

1(x3)(x2 )1(x3)(x2 ) grandes.

183.

x2 +1x(x+1)(x+2 )x2 +1x(x+1)(x+2 ) grandes.

184.

1 x 3 x 1 x 3 x

185.

3 x + 1 x 2 3 x + 1 x 2

186.

3x2 x2 +13x2 x2 +1 (Pista: Utilice primero la división larga)

187.

2 x 4 x 2 2 x 2 x 4 x 2 2 x

188.

1(x1)(x2 +1)1(x1)(x2 +1) grandes.

189.

1x2 (x1)1x2 (x1) grandes.

190.

x x 2 4 x x 2 4

191.

1x(x1)(x2 )(x3)1x(x1)(x2 )(x3) grandes.

192.

1x41=1(x+1)(x1)(x2 +1)1x41=1(x+1)(x1)(x2 +1) grandes.

193.

3x2 x31=3x2 (x1)(x2 +x+1)3x2 x31=3x2 (x1)(x2 +x+1) grandes.

194.

2 x ( x + 2 ) 2 2 x ( x + 2 ) 2

195.

3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2 3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2

Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar cada una de las siguientes integrales.

196.

dx(x3)(x2 )dx(x3)(x2 ) grandes.

197.

3 x x 2 + 2 x 8 d x 3 x x 2 + 2 x 8 d x

198.

d x x 3 x d x x 3 x

199.

x x 2 4 d x x x 2 4 d x

200.

dxx(x1)(x2 )(x3)dxx(x1)(x2 )(x3) grandes.

201.

2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x

202.

d x x 2 5 x + 6 d x x 2 5 x + 6

203.

2 x x 2 + x d x 2 x x 2 + x d x

204.

2 x 2 x 6 d x 2 x 2 x 6 d x

205.

d x x 3 2 x 2 4 x + 8 d x x 3 2 x 2 4 x + 8

206.

d x x 4 10 x 2 + 9 d x x 4 10 x 2 + 9

Evalúe las siguientes integrales que tienen factores cuadráticos irreducibles.

207.

2 ( x 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x 2 ( x 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x

208.

x 2 x 3 x 2 + 4 x 4 d x x 2 x 3 x 2 + 4 x 4 d x

209.

x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x

210.

x ( x 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x x ( x 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x

Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar las siguientes integrales.

211.

3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 x ) d x 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 x ) d x

212.

2 ( x + 2 ) 2 ( 2 x ) d x 2 ( x + 2 ) 2 ( 2 x ) d x

213.

3x+4x32 x4dx3x+4x32 x4dx (Pista: Utilice el teorema de la raíz racional).

Utilice la sustitución para convertir las integrales en integrales de funciones racionales. A continuación, utilice las fracciones parciales para evaluar las integrales.

214.

01ex36e2 xdx01ex36e2 xdx (Indique la respuesta exacta y el equivalente decimal. Redondee a cinco decimales).

215.

e x d x e 2 x e x d x e x d x e 2 x e x d x

216.

sen x d x 1 cos 2 x sen x d x 1 cos 2 x

217.

sen x cos 2 x + cos x 6 d x sen x cos 2 x + cos x 6 d x

218.

1 x 1 + x d x 1 x 1 + x d x

219.

d t ( e t e t ) 2 d t ( e t e t ) 2

220.

1 + e x 1 e x d x 1 + e x 1 e x d x

221.

d x 1 + x + 1 d x 1 + x + 1

222.

d x x + x 4 d x x + x 4

223.

cos x sen x ( 1 sen x ) d x cos x sen x ( 1 sen x ) d x

224.

e x ( e 2 x 4 ) 2 d x e x ( e 2 x 4 ) 2 d x

225.

1 2 1 x 2 4 x 2 d x 1 2 1 x 2 4 x 2 d x

226.

1 2 + e x d x 1 2 + e x d x

227.

1 1 + e x d x 1 1 + e x d x

Utilice la sustitución dada para convertir la integral en una integral de una función racional, y luego evalúela.

228.

1 t t 3 d t t = x 3 1 t t 3 d t t = x 3

229.

1 x + x 3 d x ; x = u 6 1 x + x 3 d x ; x = u 6

230.

Grafique la curva y=x1+xy=x1+x en el intervalo [0,5].[0,5]. A continuación, halle el área de la región limitada por la curva, el eje x y la línea x=4.x=4.

Esta figura es un gráfico de la función y = x/(1 + x). El gráfico solo está en el primer cuadrante. Comienza en el origen y aumenta en el primer cuadrante. La curva se detiene en x = 5.
231.

Calcule el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por y=1/x(3x),y=1/x(3x), y=0,y=0, x=1,x=1, y x=2 x=2 se gira alrededor del eje x.

232.

La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea es una función del tiempo dada por v(t)=88t2 t2 +1.v(t)=88t2 t2 +1. Calcule la distancia que ha recorrido la partícula después de t=5t=5 seg.

Resuelva el problema de valor inicial para x en función de t.

233.

(t2 7t+12)dxdt=1,(t>4,x(5)=0)(t2 7t+12)dxdt=1,(t>4,x(5)=0) grandes.

234.

( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > 5 , x ( 1 ) = tan 1 ( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > 5 , x ( 1 ) = tan 1

235.

( 2 t 3 2 t 2 + t 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0 ( 2 t 3 2 t 2 + t 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0

236.

Halle la coordenada x del centroide del área delimitada por

y(x2 9)=1,y(x2 9)=1, y=0,x=4,yx=5.y=0,x=4,yx=5. (Redondee la respuesta a dos decimales).

237.

Calcule el volumen generado al girar el área delimitada por y=1x3+7x2 +6x,x=1,x=7,yy=0y=1x3+7x2 +6x,x=1,x=7,yy=0 alrededor del eje y.

238.

Halle el área delimitada por y=x12x2 8x20,y=x12x2 8x20, y=0,x=2 ,yx=4.y=0,x=2 ,yx=4. (Redondee la respuesta a la centésima más cercana).

239.

Evalúe la integral dxx3+1.dxx3+1.

Para los siguientes problemas, utilice las sustituciones tan(x2 )=t,tan(x2 )=t, dx=2 1+t2 dt,dx=2 1+t2 dt, senx=2 t1+t2 ,senx=2 t1+t2 , y cosx=1t2 1+t2 .cosx=1t2 1+t2 .

240.

d x 3 5 sen x d x 3 5 sen x

241.

Halle el área bajo la curva y=11+senxy=11+senx entre x=0x=0 y x=π.x=π. (Asuma que las dimensiones están en pulgadas).

242.

Dada tan(x2 )=t,tan(x2 )=t, derive las fórmulas dx=2 1+t2 dt,dx=2 1+t2 dt, senx=2 t1+t2 ,senx=2 t1+t2 , y cosx=1t2 1+t2 .cosx=1t2 1+t2 .

243.

Evalúe x83xdx.x83xdx.

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